胡云权运筹学课件2
合集下载
《运筹学教程》胡云权 第五版 运筹学--线性规划--2单纯形法
x1, x2, …, xn ≥ 0
其中bi ≥0 ，i = 1, 2, …, m
右端项非负
线性规划的求解方法——图解法
Max Z= x1 + 2 x2 2 x1 + 2 x2 ≤ 8 2 x1 + 2 x2 = 8
4
Z=6 3
最优解：x1=2, x2=2
最优值：Z=6
0 x1 + 2 x2 ≤ 4
线性规划问题数学模型的一般形式
Z c1x1 c2 x2 cn xn 目标函数： max(min)
三要素
a11 x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 约束条件： a21 x1 a22 x2 a2 n xn (, )b2 a x a x a x (, )b mn n m m1 1 m 2 2 x1 , x2 ,, xn 0
x1 , x2 ≥ 0
2
2 x2 = 4
图解法步骤：
Z=2 1 o 1 2 3 4 x1
1、建立直角坐标系；
2 、图示约束条件，判断可行域；
3 、图示目标函数和寻找最优解；
解的重要概念
可行解（或可行点） ：满足所有约束条件的向量 x ( x1 , x2 , xn ) 可行域：所有的可行解的全体
1 x1 2 x2 x3 x4 3 2 x1 x2 x , x , x , x 0 1 2 3 4
6个基，最多 C m 个 n
线性规划标准型解的概念
基解：当A中的基B取定后，不妨设B表示A中的前m列，则可 记 A (B N ) ，相应地X ( X B X N )T , 约束条件AX=b可表示为 X B ，即 X B1b B1NX ，当取 X 0 时，则 X B1b B N AX ( B N ) b N B
运筹学胡运权PPT课件
第5页/共89页
§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
2.多阶段决策问题举例
属于多阶段决策类的问题很多， 例如：
1)工厂生产过程：由于市场需 求是一随着时间而变化的因素，因此， 为了取得全年最佳经济效益，就要在 全年的生产过程中，逐月或者逐季度 地根据库存和需求情况决定生产计划 安排。
第6页/共89页
第24页/共89页
§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
(1) 阶 段 指 标 函 数 （ 也 称 阶 段 效 应 ） 。 用
gk(sk,uk)表示第k段处于sk状态且所作决策 为uk(sk)时的指标，则它就是第k段指标函 数，简记为gk 。图7-1的gk值就是从状态 sk到状 态 sk+1的 距离。 譬如， gk(A,B1)=4, 即A到B1的距离为3。
第20页/共89页
§2动 态规 划的 基本 概念 和基 本原 理
（三）决策、决策变量和允许决策集合
所谓决策，就是确定系统过程发展的方 案。决策的实质是关于状态的选择，是决策者 从给定阶段状态出发对下一阶段状态作出的选 择。
用以描述决策变化的量称之决策变量和 状态变量一样，决策变量可以用一个数，一组 数或一向量来描述，也可以是状态变量的函数，
状态
x1
阶段1状x态 2
阶段2状x3态...状x态k
阶段k状x态k+1...状态
阶段n
状 态
T1
T2
Tk
xn
Tn xn+1
第4页/共89页
§1多 阶段 决策 过程 的最 优化
1.多阶段决策过程的最优化
动态规划方法与“时间”关系很密 切，随着时间过程的发展而决定各时段的 决策，产生一个决策序列，这就是“动态” 的意思。然而它也可以处理与时间无关的 静态问题，只要在问题中人为地引入“时 段”因素，就可以将其转化为一个多阶段 决策问题。在本章中将介绍这种处理方法。
运筹学胡运权第五版课件
运筹学胡运权第五 版课件大纲
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
单击此处添加副标题
汇报人：
目录
添加目录项标题 运筹学基础知识 整数规划 图论与网络优化
课件概览 线性规划 动态规划
01
添加章节标题
02
课件概览
课件简介
课程名称：运筹学胡运权第五版课件 课程内容：包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图与网络优化等 课程目标：帮助学生掌握运筹学的基本理论和方法提高分析和解决问题的能力 课程特点：理论与实践相结合注重案例分析和实际问题的解决
最小生成树问题：在无向图中寻找最小生 成树
最大流问题：在流网络中寻找最大流
最小费用流问题：在流网络中寻找最小费 用流
网络可靠性问题：评估网络可靠性提高网 络稳定性
网络优化算法：如Dijkstr算法、Floyd算 法、Kruskl算法等
网络优化算法
最短路径算 法：Dijkstr
算法、 Floyd算法
等
图论与网络优化应用案例
物流网络优化：通过图论方 法优化物流网络降低物流成 本
社交网络优化：通过图论方 法优化社交网络提高社交网
络的稳定性和可靠性
交通网络优化：通过图论方 法优化交通网络提高交通效 率
电力网络优化：通过图论方 法优化电力网络提高电力系
统的稳定性和可靠性
感谢观看
汇报人：
课件结构
• 运筹学概述 • 线性规划 • 非线性规划 • 动态规划 • 随机规划 • 决策分析 • 网络规划 • 排队论 • 库存论 • 博弈论 • 运筹学应用案例 • 运筹学发展前景 • 运筹学与其他学科的关系 • 运筹学学习方法与技巧
课件特点
内容全面：涵盖了运筹学的基本概念、理论和方法 结构清晰：按照章节进行划分便于理解和掌握 实例丰富：提供了大量的实例和案例便于理解和应用 习题丰富：提供了大量的习题和练习便于巩固和提高
运筹学 胡运权 第二章
《运筹学》 运筹学》
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
第1页
第二章 线性规划的对偶理论
一、问题的提出: 设用两种原料（A、B）
生产三种产品的一个生产计划问题
m f ( x) = x1 + 2x2 + 4x3 ax x1 + 2x2 + 2x3 ≤ 25 s.t. 2x1 + x2 + 2x4 ≤15 x1, x2 , x3 ≥ 0
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第11页 11页
弱对偶性的推论： 对偶性的推论：
max问题的任何可行解目标函数值是其对偶min问 题目标函数值的下限； min问题的任何可行解目标 函数值是其对偶max问题目标函数值的上限。 如果原max(min)问题为无界解，则其对偶 min (max) max(min) 问题无可行解。 如果原max(min)问题有可行解，其对偶 min (max) 问题无可行解，则原问题为无界解。 存在原问题和对偶问题同时无可行解的情况。
华东师范大学
14 December 2010
《运筹学》 运筹学》
第10页 10页
1. 弱对偶性定理（P55） 对偶问题(min)的任何可行解Y0，其目 标函数值 bTY0 总是不小于原问题(max) 的任何可行解X0的目标函数值CTX0, 即 CTX0 ≤ bTY0
14 December 2010
14 December 2010
华东师范大学
《运筹学》 运筹学》
第8页
表2.1 对偶变换的规则
原问题(max,≤) ≤ 原问题 系数矩阵 A 目 标 系数 C 常数 项 b 第 i 行约束条件为 ≤ 型 第 i 行约束条件为 ≥ 型 第 i 行约束条件为 = 型 决策变量 xj ≥ 0 决策变量 xj ≤ 0 决策变量 xj ±不限 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ 对偶问题(min,≥) ≥ 对偶问题 系数矩阵 AT 常数项 b 目 标 系数 C 对偶变量 yi ≥ 0 对偶变量 yi ≤ 0 对偶变量 yi ±不限 第 j 行约束条件为 ≥ 型 第 j 行约束条件为 ≤ 型 第 j 行约束条件为 = 型
运筹学胡运权第02章
•极大化问题的每个约束对应于极小化问题 的一个变量，其每个变量对应于对偶问题 的一个约束。
max Z c1 x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题 的 定 义
a11 x1 a12 x 2 a1n x n (, )b1 a 21 x1 a 22 x 2 a 2 n x n (, )b2 a x a x a x (, )b m2 2 mn n m m1 1 x j 0( 0, 或符号不限) j 1 ~ n
c3 x3 c3 x3 max z c1 x1 c2 x2
对偶变量 y1 y2′
y2″
y3′
非 对 偶 形 式 的 原对 偶 问 题
例2-4
b2 y2 b3 y3 min w b1 y1 b2 y2
令各约束对应的对偶变量分别为y1、y2′、y2″、 -y3′
（2.4a） （2.4b） （2.4c）
（2.4d）
先转换成对称形式，如下：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 a13 x3 b1 a x a x a x a x b 2 21 1 22 2 23 3 23 3 s.t. a21 x1 a22 x2 a23 x3 a23 x3 b 2 a x a x a x a x b3 31 1 32 2 33 3 33 3 x1 0，x2 0，x3 0，x3 0
a11 y1 a21 y2 a21 y2 a31 y3 c1 a y a y a y a y c 2 12 1 22 2 22 2 32 3 s.t. a13 y1 a23 y2 a23 y2 a33 y3 c 3 a y a y a y a y c 3 23 2 33 3 13 1 23 2 y1 0，y2 0，y2 0，y3 0
(完整版)运筹学胡运权第五版课件(第1章)
四运筹学研究的基本特点?系统的整体优化?多学科的配合?模型方法的应用五五运筹学研究的基本步骤运筹学研究的基本步骤?分析与表述问题?建立数学模型?对问题求解?对模型和模型导出的解进行检验?建立对解的有效控制?方案的实施第一章线性规划及单纯形法linearprogrammingandsimplexmethodggp11一般线性规划问题的数学模型11问题的提出例1用一块边长为a的正方形铁皮做一个无盖长方体容器应如何裁剪可使做成的容器的容积最大
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
（3）L.P. 的顶点与基可行解一一对应。
§1.3 单纯形法（Simplex Method）原理
3-1 预备知识：凸集与顶点
（1）凸集：对于集合C中任意两点连线段上的点，若全在C内， 则称集合C为凸集。
直观特征：图形从内部向外部凸出。
凸集
非凸集
（2）顶点：凸集中不在任意两点的连线段内部的点。
X1
转化为
（2）若约束条件为不等式，
则依次引入松弛变量或剩余变量（统称为松弛变量），
转化为等式约束条件。
约束为≥不等式，减去松弛变量，化为等式约束条件；
多 退
约束为≤不等式，加上松弛变量，化为等式约束条件。
少 补
注意：松弛变量在目标函数中系数全为0。
例：max z=2 x1+3 x2
2 x1+2 x2 12
s.t.
4x1
16
5 x2 15
x10， x2 0
标准化
max z 2x1 3x2 0x3 0x4 0x5
2x1 2x2 x3
12
s.t.
4
x1
5 x2
x4 16 x5 15
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
（3）若决策变量xj≤0，则令
胡云权 运筹学课件第二部分
min w b1 y1 b2 y2 b2 y2 b3 y3
令y2= y2′-y2″， y3=-y3′，原问题的对偶问题为
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
——
a11 x a12 x a13 x3 b1 a11 y1 a21 y 2 a31 y 3 c1 a x a x a x b 2 a y1 a y 2 a y 3 c 2 21 1 22 2 23 3 12 22 32 s.t. s.t. a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 a13 y1 a23 y 2 a33 y 3 c 3 x1 0，x2 0，x3无约束 y1 0，y 2无约束，y3 0
对 偶 问 题 的 基 本 性 质
本章讨论先假定原问题及对偶问题 为对称形式线性规划问题：
原问题
max Z C X AX b X 0
对偶问题
min YT b AT Y CT Y 0
对称形式线性规划矩阵表达式加上松弛变量Xs后为：
max Z C X
•若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代后为
Pj′，则有Pj′=B-1Pj •当B为最优基时，表中应有
-1 -1
例3 参看例1中的原问题和对偶问题，并
单 纯 矩 形 阵 法 描 计 述 算 的
分别加上松弛变量和剩余变量，如下：
max z 2 x1 x 2 0 x3 0 x 4 0 x5
j j i i
x j ( j 1,..., n) xj 0 变量 xj 0 x 无约束 j
有m个（j=1，...,m） n aijxi bj i=1 约束条件 n aijxi bj i=1 n aijxi bj i=1
令y2= y2′-y2″， y3=-y3′，原问题的对偶问题为
max z c1 x1 c2 x2 c3 x3
min w b1 y1 b2 y2 b3 y3
——
a11 x a12 x a13 x3 b1 a11 y1 a21 y 2 a31 y 3 c1 a x a x a x b 2 a y1 a y 2 a y 3 c 2 21 1 22 2 23 3 12 22 32 s.t. s.t. a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3 a13 y1 a23 y 2 a33 y 3 c 3 x1 0，x2 0，x3无约束 y1 0，y 2无约束，y3 0
对 偶 问 题 的 基 本 性 质
本章讨论先假定原问题及对偶问题 为对称形式线性规划问题：
原问题
max Z C X AX b X 0
对偶问题
min YT b AT Y CT Y 0
对称形式线性规划矩阵表达式加上松弛变量Xs后为：
max Z C X
•若初始矩阵中变量xj的系数向量为Pj，迭代后为
Pj′，则有Pj′=B-1Pj •当B为最优基时，表中应有
-1 -1
例3 参看例1中的原问题和对偶问题，并
单 纯 矩 形 阵 法 描 计 述 算 的
分别加上松弛变量和剩余变量，如下：
max z 2 x1 x 2 0 x3 0 x 4 0 x5
j j i i
x j ( j 1,..., n) xj 0 变量 xj 0 x 无约束 j
有m个（j=1，...,m） n aijxi bj i=1 约束条件 n aijxi bj i=1 n aijxi bj i=1
16738-数学建模-运筹学PPT完整版胡运权
线性规划问题的数学模型
Page 18
3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
a11 a1m
B
(
p1
pm
)
am1
amm
称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 … … m) 为基向量。与基向量Pj
对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。
线性规划问题的数学模型
Page 29
基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件
方程②解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z
2 x1
x2
3(
x
3
x3)
0x4
0x5
5 x1
x2
(
x
3
x3)
x4
7
x1 x2 ( 5x1 x2
x3 2(
x
3
x3) x3)
真实系统
数据准备
系统分析 问题描述
模型建立 与修改
模型求解 与检验
结果分析与 实施
本课程授课方式与考核
讲授为主，结合习题作业
学科总成绩
平时成绩 （40％）
期末成绩 （60％）
课堂考勤 （50％）
平时作业 （50％）
第二章 对偶理论对偶单纯形法运筹学基础及其应用胡运权第五版
cj zj cs z s (c j z j ) (c s z s ) 0, 即 a rs a rs a rj a rj
最终目的就是在经过一次迭代以后，任然保持对偶 可行，即所有的检验系数非正。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
Page 5 of 9
【例2.10】用对偶单纯形法求解
min z 2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4 x , x , x 0 1 2 3
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1）， 同时转化为求最大，得到
c1 cm
x1 xm
b1 1 0 bm 0 1
j cj zj
0 0 m1
n
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
Page 3 of 9
（1）将线性规划的约束化为等式，求出一组基本解，因 为对偶问题可行，即全部检验数 λj≤0（max）或λj≥0（min）,当基本解可行时，则达到最优 解；若基本解不可行，即有某个基变量的解bi<0，则进行 换基计算； （2）先确定出基变量。 bi＝min bi | bi 0,行对应的变量xl l i 出基； （3）再选进基变量。求最小比值
Ch2 Dual Problem
Page 6 of 9
表2－4
XB b x1 x4 -3 -1 x5 -4 -2 检验数 0 -2 比值 1 x4 -1 0 x1 2 1 检验数 4 0 比值 — x2 0.4 0 x1 2.2 1 检验数 5.6 0 最优解： x2=0.4 x1=2.2 x2 -2 1 -3 — -2.5 -0.5 -4 1.6 1 0 0 x3 x4 -1 1 -3 0 -4 0 1.3333 — 0.5 1 1.5 0 -1 0 — — -0.2 -0.4 1.4 -0.2 -1.8 -1.6 Max z = -5.6 x5 0 1 0 — -0.5 -0.5 -1 2 0.2 -0.4 -0.2
最终目的就是在经过一次迭代以后，任然保持对偶 可行，即所有的检验系数非正。
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
Page 5 of 9
【例2.10】用对偶单纯形法求解
min z 2 x1 3 x2 4 x3 x1 2 x2 x3 3 2 x1 x2 3 x3 4 x , x , x 0 1 2 3
【解】先将约束不等式化为等式，再两边同乘以（－1）， 同时转化为求最大，得到
c1 cm
x1 xm
b1 1 0 bm 0 1
j cj zj
0 0 m1
n
§2.3 对偶单纯形法 The Dual Simplex Method
Ch2 Dual Problem
Page 3 of 9
（1）将线性规划的约束化为等式，求出一组基本解，因 为对偶问题可行，即全部检验数 λj≤0（max）或λj≥0（min）,当基本解可行时，则达到最优 解；若基本解不可行，即有某个基变量的解bi<0，则进行 换基计算； （2）先确定出基变量。 bi＝min bi | bi 0,行对应的变量xl l i 出基； （3）再选进基变量。求最小比值
Ch2 Dual Problem
Page 6 of 9
表2－4
XB b x1 x4 -3 -1 x5 -4 -2 检验数 0 -2 比值 1 x4 -1 0 x1 2 1 检验数 4 0 比值 — x2 0.4 0 x1 2.2 1 检验数 5.6 0 最优解： x2=0.4 x1=2.2 x2 -2 1 -3 — -2.5 -0.5 -4 1.6 1 0 0 x3 x4 -1 1 -3 0 -4 0 1.3333 — 0.5 1 1.5 0 -1 0 — — -0.2 -0.4 1.4 -0.2 -1.8 -1.6 Max z = -5.6 x5 0 1 0 — -0.5 -0.5 -1 2 0.2 -0.4 -0.2
运筹学PPT完整版胡运权
另外，还应用于设备维修、更新和可靠性分析，项目的选择 与评价，工程优化设计等。
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
运筹学在工商管理中的应用
Page 10
组织 联合航空公司 Citgo石油公司 AT&T 标准品牌公司 法国国家铁路公司 Taco Bell Delta航空公司
Interface上发表的部分获奖项目
应用
效果
在满足乘客需求的前提下，以最低成本进 行订票及机场工作班次安排
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,,5
解: 约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
5 A 10
1 6
1 2
1 0
0 1
r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即
5 1
1 1
5 0
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
Page 13
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。
(3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
复习2运筹学课件胡运权第四版复习要点
动态规划的基本步骤包括：划分阶段、确定状态、状态转移方程、选择最 优解的策略。
动态规划的解法
01
02
03
04
逆推法
从问题的最后阶段开始， 逆向推导每个子问题的 最优解，直到达到初始 阶段。
递推法
从问题的初始阶段开始， 逐步计算每个子问题的 最优解，直到达到最后 阶段。
分治法
将原问题分解为若干个 子问题，先求解子问题， 再合并子问题的解得到 原问题的最优解。
非线性规划
研究非线性目标函数在一定约束条件下的 最优解问题。
02 线性规划
线性规划的基本概念
01
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要研究在一定
约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
02
线性规划问题具有明确的目标函数、约束条件和决策
变量，且目标函数和约束条件都是线性函数。
03
线性规划问题可以通过几何意义、图解法和单纯形法
方法
概率加权和、敏感性分析等 。
不确定型决策分析
定义
在不确定型决策中，每个方案的结果是不确定的，无 法用概率来描述。
准则
最大可能准则、乐观准则、悲观准则、遗憾值准则等。
方法
后悔值分析、等概率转换等。
效用函数与决策分析
目的
反映决策者对风险的厌恶或偏好程度，帮助 决策者作出更符合其价值观的决策。
效用函数
等方法求解。
线性规划的解法
单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的最常用方法之一，其基 本思想是通过不断迭代寻找最优解。
迭代过程
在单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤，即检验步骤 和修正步骤。
ABCD
初始解
在单纯形法中，需要选择一个初始解，然后通过迭代逐 步逼近最优解。
动态规划的解法
01
02
03
04
逆推法
从问题的最后阶段开始， 逆向推导每个子问题的 最优解，直到达到初始 阶段。
递推法
从问题的初始阶段开始， 逐步计算每个子问题的 最优解，直到达到最后 阶段。
分治法
将原问题分解为若干个 子问题，先求解子问题， 再合并子问题的解得到 原问题的最优解。
非线性规划
研究非线性目标函数在一定约束条件下的 最优解问题。
02 线性规划
线性规划的基本概念
01
线性规划是运筹学的一个重要分支，主要研究在一定
约束条件下最大化或最小化线性目标函数的问题。
02
线性规划问题具有明确的目标函数、约束条件和决策
变量，且目标函数和约束条件都是线性函数。
03
线性规划问题可以通过几何意义、图解法和单纯形法
方法
概率加权和、敏感性分析等 。
不确定型决策分析
定义
在不确定型决策中，每个方案的结果是不确定的，无 法用概率来描述。
准则
最大可能准则、乐观准则、悲观准则、遗憾值准则等。
方法
后悔值分析、等概率转换等。
效用函数与决策分析
目的
反映决策者对风险的厌恶或偏好程度，帮助 决策者作出更符合其价值观的决策。
效用函数
等方法求解。
线性规划的解法
单纯形法
单纯形法是求解线性规划问题的最常用方法之一，其基 本思想是通过不断迭代寻找最优解。
迭代过程
在单纯形法中，每次迭代都包括两个步骤，即检验步骤 和修正步骤。
ABCD
初始解
在单纯形法中，需要选择一个初始解，然后通过迭代逐 步逼近最优解。
《运筹学》胡运权清华版-13-02风险决策
P ( I1 ) P ( S j ) P ( I1 S j ) 0.352
j 1
4
P( S1 I1 ) P( S2 I1 ) P( S3 I1 ) P( S4 I1 )
P( I1 S1 ) P ( S1 ) P( I1 ) P( I1 S 2 ) P( S 2 ) P( I1 ) P( I1 S3 ) P ( S3 ) P( I1 ) P( I1 S4 ) P( S4 ) P( I1 )
有油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U1 )＝0.1
无油地区，做试验结果好(F)的概率P(F2 )＝0.2 无油地区，做试验结果不好(U)的概率P(U2 )＝0.8
求：在该地区做试验后，有油和无油的概率 各为多少？
解 : 利用全概率公式计算各种试验结果的概率
做地震试验结果好的概率
P(F )＝ P(1 ) P(F1 )＋ P(2 ) P(F2)
结论：如果地震试验结果为“构造很好（I1）” ， 应选方案A1，自行钻井。
P(U )
=
0.45
=
9
做地震试验结果不好的条件下无油的概率
P(2 ) P(U 2 ) 0.40 8
P(2U )＝
P(U)
=
0.45
=
9
例3 该公司计划做一次地震试验，费用——12，000元 试验可能结果： I1——构造很好 I2——构造较好 I3——构造一般 I4——构造较差
根据过去经验，地质构造与出油量之间关系如下
j
利用它计算出事件（后验）概率。
复习——后验概率的计算
某钻井大队在某地进行石油勘探，主观 估计该地区为有油(1 )地区的概率为 P(1)＝0.5 , 没油(2 )的概率为
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A1
A2
/5 9 4
6
5
A3
/3 / 1
21
9
4 3
4 1
销量 3
OR2
12
例1 初始方案（续4）
圈定C23
B1 A1 A2 8 4 B2 7 7 B3 B4 产量 1 9 41
/1 2 /3 /5
9
43
A3
/3 /1
21
6
5
4 1
销量 3
OR2
13
例1 初始方案（续5）
圈定C22
OR2 8
例1 之初始方案（P119）
最小元素法：圈定C24
B1 8 4 2 B2 7 7 4 2 B3 3 5 9 4 产量 1 /5 9 4 B4 2 6 5 4
A1 A2
A3
销量 3
OR2
9
例1初始方案（续1）
圈定C31
B1 B2 B3 产量 2 1 /5 9 4 B4
A1 A2 A3
OR2
例四 结果：
生产 交货 . 生产 1季度正常生产 2季度正常生产 3季度正常生产 3季度加班生产 4季度正常生产 4季度加班生产 需求量
1 25
2
30
3 5 10
4
2 10
闲置 能力
产量 30 32 20 8 28 8 126 126
8 28 5 45
25
30
15
3 11
OR2
38
例题5 航运调度问题
26
A1 A2 A3 A4 销量
6 /30 8 7 5 30
4 /10 5 0/30 3 /10 2 / 30 0 5 6 0/50 1 /20 2 0 40 30 80 50 20 10
OR2
例2 初始方案：
.
B1 A1 A2 A3 A4 销量 30
B2 10 10 20 40
B3
B4 产量 30 70 40 50 50 20 80 180 180
航线 航行 天数 装卸 合计 航班 天数 数 载货 船数
1 2 3 4
OR2
17 3 7 13
2 2 2 2
19 5 9 15
3 2 1 1
B1
A1 A2 A3 +1 3-1 1-1 1+1 2 4 5
B2
B3 1
3
B4
5
产量 1
9 4
销量 3
OR2
19
新方案：
B1
A1 A2 A3 1 2 2 2 4 5
B2
B3 1
3
B4
5
产量 1
9 4
销量 3
此方案费用为：13+1 4+3 5+51+2 2+4 2=39
OR2
20
新方案检验
来，三四季度可加班，视同增加两个季度 需求量合计115台，生产能力合计126台， 供需不平衡，因此，增加一项闲置能力。
OR2
36
例四.建模：
.
成本 生产 交货
1
2
3
4
闲置 能力
产 量 30 32 20 8 28 8 126 126
37
1季度正常生产 10.55 10.67 10.79 10.91 0 2季度正常生产 M 10.8 10.92 11.04 0 M 11 11.12 0 3季度正常生产 M M 14 14.12 0 3季度加班生产 M M M 11.1 0 4季度正常生产 M M M 14.1 0 4季度加班生产 M 25 30 15 45 11 需求量
B2 7 7 4 2
B3 3 5 9 4
B4 2 1 6 5
产量 1 9 4 14
7
4.2.1求初始调运方案
用最小元素法（也可用西北角法或vogel
法）给出初始基可行解： 在运费表中找出最小元素，尽最大 可能用完一个厂的产量，或满足一个商 家的销量。得到满足者用线划去。 逐次寻找最小元素，直至分配完毕 注意：如填写一个数字同时满足了 一厂一商，则需在同行或同列中填写一 个数字0，以保证恰好有m+n-1个数字。
OR2
3
运输表
.
销地 产地
A1
A2
B1 C11 C21
B2 C12 C22
… … …
Bn C1n C2n
产量 a1 a2
…
Am 销量
OR2
…
Cm1 b1
…
Cm2 b2
…
… …
…
Cmn bn
…
am
4
运输问题的数学模型
设从Ai 到Bj的运输量为xij,（假定产销平衡）
则总运费： minZ= ∑∑ Cij xij j=1 i=1 n 产量约束： ∑xij = ai i=1,2,…m, j=1 m 销量约束： ∑xij = bj j=1,2,…n, i=1 非负性约束： xij ≥0
某航运公司承担六个城市A、B、C、D、E、F
之间的四条航线，已知各航线的起点、终点及 每天所需的航班数如下表。又知各城市之间的 航行天数，假定船只型号相同，装卸货时间各 一天，问该公司至少要配备多少条船才能满足 需要？ 航线 起点 终点 每天航班数 1 E D 3 2 B C 2 3 A F 1 4 D B 1
OR2 31
例题3：建模：
1
运价 地区 煤矿 甲1 A B C D 需求量 16 14 19 M 30
产量 甲2 乙 16 14 19 0 20 13 13 20 M 70 丙 22 19 23 0 30 丁1 丁2 17 12 25 M 10 17 12 25 0 50 50 60 50 50 210 210
8 4
7 7
3 5 9
4
/3 4
2
6
5
4 1
销量 3
OR2
10
例1初始方案（续2）
圈定C13
B1 8 4 B2 7 7 B3 B4 /1 2 5 产量 1
A1
A2
/5 9 4
6
5
A3
/3 4
2
9
4 3
4 1
销量 3
OR2
11
例1 初始方案（续3）
圈定C32
B1 8 4 B2 7 7 B3 B4 /1 2 5 产量 1
销量 3
此方案费用为40
OR2
15
4.2.2 最优性检验
最优性检验与单纯形法原理一致，计算
方法有位势法和闭回路法，这里讲位势 法。 位势法是任意给出一组数ui和vj，称之为 位势，有数字的格满足：ui+vj=cij 没数字的格计算： σij=cij-(ui+vj)
OR2
16
位势计算： ui+vj
32
OR2
例题3：最优解：
1
运价 地区 煤矿 甲1 甲2 乙 A B C D 需求量 50 20 0
产量 丙 丁1 丁2 10 30 30 30 20 50 50 60 50 50 210 210
33
30
20
30
20
70
10
OR2
4.4运输问题的计算机求解
AB：QM软件包，在module中选择
OR2
23
例题2.供大于求的运输问题
运费及产销量表
B1 A1 A2 A3 A4 销量 6 8 7 5 30 B2 4 3 5 1 40 B3 5 2 6 2 30 产量 70 40 50 20 180 100
24
OR2
例2 解：
引入虚拟销地B4，（或理解为仓库），
就地“销售”，运费为零
A1 A2 A3 A4 销量
先填写初始方案相应的运费，任意给出
一个ui或vj值，推出其它位势值。 计算ui+vj，填于空格处
B1 A1 A2 A3 B2 B3 B4
ui
vj
OR2
（3） （5） 7 （5） 2 4 1 3
3 （-1） 2 5 1 4 （2） （-2） 1 1 -3
17
检验数计算： σij=cij-(ui+vj)
新方案相应的运费填于表上,给定位势初
值，计算各位势值。
B1 （2） 4 2 2 B2 （4） （6） 4 4 B3 3 5 （3） 3 B4 ui （-1）0 1 2 （-1）0 -1
A1 A2 A3 vj
OR2
21
新方案检验
计算空格处（即非基变量）的检验数，
σij=cij-(ui+vj)，所有σij ≥0 ，已得最优解。
OR2 39
例5 城市之间航行天数表
.
Cij A B C D E F A 0 1 2 14 7 7 B 1 0 3 13 8 8 C D E 2 14 7 3 13 8 0 15 5 15 0 17 5 17 0 5 20 3 F 7 8 5 20 3 0
OR2
40
例5 问题分析
问题要求的是在保证需要的前提下， 至少需要多少船只。 所需船只包括两个部分：载货船、空 驶船 。
B1 A1 A2 A3 A4 vj
OR2
B2
B3
B4
ui
0 (3) (1) （2)
0 (2) 0 0 0 （ 1） (1) (3) 0 0 (2) (3)
29
例题3：弹性需求问题
设有三煤矿供应四地区，资料如下：
运价 地区 煤矿 A B C 最低需求 最高需求
OR2
甲 16 14 19 30 50
季度 正常生产能力 单位成本（万元）交货台数
1 2 3 4
OR2
30 32 20 28