第10讲 一次函数

解集.
(2)一次函数y=kx+b与y1=k1x+b1当y>y1时,自变量x的取值范围即为不等式
kx+b>k1x+b1
的解集.
一次函数的图象和性质(常考点)
[例1] (2019杭州)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图 象可能是( A )
思路点拨:根据两条直线在坐标系中的位置分别判断出a,b的符号,再由a,b 的符号判断可能的图象. 解析:令l1为一次函数y1=ax+b的图象,l2为一次函数y2=bx+a的图象,则根据 A选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a>0,b>0和b>0,a>0;故A正确;根 据B选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a>0,b>0和b<0,a>0.故B错误; 根据C选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a<0,b>0和b<0,a>0;故C错 误;根据D选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a>0,b<0和b<0,a<0;故D 错误.故选A.
b 经过 k
,0和(0,
b
原点 的直线;一次函数y=kx+b的图象是 )的一条直线.
2.一次函数y=kx+b的性质(常考点)
k,b的符号
k>0,b>0
k>0,b<0
k<0,b>0
k<0,b<0
图象的 大致位置
经过象限
第 一、二、三 . 象限
第 一、三、. 四 象限
第 一、二、. 四 象限
第 二、三 . 四 象限
第10讲 一次函数
一次函数的概念 1.正比例函数:形如 y=kx (k是常数,k≠0)的函数. 2.一次函数:形如 y=kx+b (k,b是常数,k≠0)的函数. 3.正比例函数是一次函数y=kx+b当 b=0 时的一种特殊形式.
一次函数的图象与性质(常考点)
1.一次函数的图象
正比例函数的图象是一条过
将点 A(3,m)代入,得 3 +1=m,即 m= 5 .
2
2
故选 C.
4.(2019潍坊)当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,则k的取值
范围是 1<k<3
.
解析:y=(2-2k)x+k-3
经过第二、三、四象限,∴
2 k
2k＜0① 3＜0②
由①得,
k>1,由②得,k<3,∴k 的取值范围是 1<k<3.
k
k
选项错误;故选 D.
3.(2018枣庄)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则 m的值是( C )
(A)-5
(B) 3 2
(C) 5 2
(D)7
解析:将(-2,0),(0,1)代入 y=kx+b,
得
2k b 1,
b
0,
解得
k b
1 2 1,
,
∴y= 1 x+1, 2
解:(2)当 y=- 1 x+60=8 时,解得 x=520. 10
即行驶 520 千米时,油箱中的剩余油量为 8 升. 530-520=10(千米), ∴油箱中的剩余油量为 8 升时,距离加油站 10 千米.
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(D)当 x>- k 时,y>0 b
解析:∵y=kx+b(k<0,b>0),∴图象经过第一、二、四象限,故 A 选项正确; ∵k<0,∴y 随 x 的增大而减小,故 B 选项正确;令 x=0 时,y=b,∴图象与 y
轴的交点为(0,b),故选项 C 正确;令 y=0 时,x=- b ,当 x>- b 时,y<0,故 D
m＜ 2＜0
x
2,
的解集为-2<x<2.
利用函数图象解不等式的步骤 (1)先将不等式转化为函数值的大小形式; (2)观察或计算函数图象的交点的坐标; (3)利用图象的位置关系,得到不等式的解集.
1.(2019扬州)若点P在一次函数y=-x+4的图象上,则点P一定不在( C ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
一次函数与方程、不等式(组)的关系
[例 4]如图,一次函数 y=-x-2 与 y=2x+m 的图象相交于点 P(n,-4),则关于 x 的不
等式组
2x x
m＜ 2＜0
x
2,
的解集为
-2<x<2
.
思路点拨:先将点P(n,-4)代入y=-x-2求出点P的坐标,再求出y=-x-2与x轴 的交点坐标,最后观察y=2x+m的图象在y=-x-2的图象下方时对应的自变量 取值范围和y=-x-2的图象在x轴下方时对应的自变量取值范围,即得不等 式组的解集.
一次函数的应用
[例3] (2019绍兴)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余 电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,求出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当 0≤x≤150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程; 思路点拨:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150 千米,据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;
解:(1)设该一次函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 将(150,45),(0,60)代入 y=kx+b(k≠0),
得
150k b 60,
b
45,
解得
k b
1 10
60,
,
∴该一次函数的解析式为 y=- 1 x+60. 10
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过 程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开 往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
一次函数解析式的确定及应用(常考点)
1.用待定系数法确定一次函数的解析式,主要步骤有 “设”“列”“解”“写”四步,对于正比例函数只要 一 的坐标或一组x,y的值),对于一次函数需要 两 个条件. 2.一次函数的应用主要有: (1)已知自变量的值求函数值; (2)已知函数值求自变量的值; (3)利用图象分析实际问题,做出决策; (4)利用增减性确定最值.
对于一次函数y=kx+b的图象, (1)k>0时过第一、三象限,k<0时过第二、四象限. (2)b>0时交y轴于正半轴,b<0时交y轴于负半轴,b=0时过原点.
待定系数法求一次函数解析式 [例2] (8分)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)求直线AB的解析式;
解析:∵-1<0,4>0,∴一次函数y=-x+4的图象经过第一、二、四象限,不 经过第三象限.∵点P在一次函数y=-x+4的图象上,∴点P一定不在第三象 限.故选C.
2.(2019 临沂)下列关于一次函数 y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是( D ) (A)图象经过第一、二、四象限 (B)y 随 x 的增大而减小 (C)图象与 y 轴交于点(0,b)
解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米. ∴当 0≤x≤150 时,1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为 150 =6 千米.
60 35
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千 米时,蓄电池的剩余电量.
思路点拨:(2)运用待定系数法求出y关于x的函数解析式,再把x=180代入即 可求出当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
x＞0, x＜
3,
∴无解;
kx＜x 0,b＞0，即
x＜0, x＞
3,
∴解集为-3<x<0,
∴不等式 x(kx+b)<0 的解集为-3<x<0.
6.(2018上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路 程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
性质
y 随 x 的 增 大 而 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而
增大 .
增大 .
减小 .
减小 .
3.一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=kx向上(下)平移 |b| 个单 位长度而得到的.当b>0时,将直线y=kx向上平移|b|个单位长度;当b<0时,将 直线y=kx向下平移|b|个单位长度.
个条件(如点
一次函数与方程、不等式(组)的关系
1.一次函数与方程的关系 (1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标即为方程 kx+b=0 的解.
(2)一次函数y=kx+b与y=k1x+b1的交点坐标(x,y)即为二元一次方程组
y kx b
y
k1x
b1
的解.Hale Waihona Puke Baidu
2.一次函数与不等式的关系 (1)一次函数y=kx+b当y>0时,自变量x的取值范围即为不等式 kx+b>0 的
解析:∵一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4), ∴-4=-n-2,解得n=2, ∴P(2,-4), 点P在一次函数y=2x+m的图象上, ∴-4=2×2+m, 解得m=-8,
∴不等式组为
2x x
8＜ x 2, 2＜0，②
①
由①,得 x<2,
由②,得 x>-2,
∴关于
x
的不等式组
2x x
5.(2018十堰)如图,直线y=kx+b交x轴于点A,交y轴于点B,则不等式x(kx+b) <0的解集为 -3<x<0 .
解析:由图象知,
当 kx+b<0 时,x<-3;
当 kx+b>0 时,x>-3,
不等式
x(kx+b)<0
化为
x＞0, kx b＜0
或
x＜0, kx b＞0.
得
kx＞x 0,b＜0，即
当 x=180 时,y=-0.5×180+110=20, ∴当汽车已行驶 180 千米时,蓄电池的剩余电量为 20 千瓦时.
函数的应用问题是运用函数的有关概念、性质去解决实际问题.它要求通 过对题目的阅读理解,抽象出实际问题中的函数关系,建立函数模型,将实 际问题转化成数学问题,运用函数思想、数形结合思想、分类讨论思想等 解决问题.
②
(2)若直线AB上的点C在第一象限,且S△BOC=2,求点C的坐标.
思路点拨:(2)设点C的坐标为(x,y),根据S△BOC=2求出点C的横坐标,再代入 直线AB的解析式即可求出纵坐标.
规范解答:
解:(2)设点 C 的坐标为(xC,yC),由题意知,OB=2,
∵S△BOC=2,∴S△BOC= 1 OB·xC= 1 ×2xC=2,解得 xC=2,
思路点拨:(1)设出解析式,将点A,B坐标代入求解. 规范解答:
解:(1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0), ∵直线 AB 过点 A(1,0),点 B(0,-2),
∴
k b
b 2,
0,
①
解得
k b
2, 2,
∴ 直线AB的解析式为y=2x 2. ……………………………………4 分
解:(2)设当 150≤x≤200 时,y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 把点(150,35),(200,10)分别代入,得
150k 200k
b b
35, 10,
解得
k b
0.5, 110,
∴当 150≤x≤200 时,y 关于 x 的函数解析式为 y=-0.5x+110,
2
2
∵A,B,C 在同一直线上,∴把 xC=2 代入 y=2x-2,得 yC=2×2-2=2,
∴点 C 的坐标是(2,2). …………………………………… 8 分
注意:①设解析式后要列出方程组,不列方程组扣分.
②求出 k,b 的值后要写出解析式,否则扣分.
确定一次函数的解析式一般有两种方法 (1)用待定系数法求解析式; (2)根据实际问题中的关系,直接列出解析式.