第10讲 一次函数
第10讲 一次函数
2019·数学·中考
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回归教材
人教版：八下第十九章P86~P109. 北师版：八上第四章P79~P101、 第五章P123~128.
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思维导图
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D
）
［解析］∵一次函数y=-x-1中k=-1<0,∴y随x的增大而减 小.又y1<y2<y3,∴x1>x2>x3.故选D.
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课堂讲义
焦点1
一次函数的图象和性质
变式训练
1.已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是一次函数y=1/3x+2图
象上的两点，下列判断中，正确的是（
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考点3
用待定系数法求一次函数表达式
2.常见类型 (1)已知两点坐标确定表达式； (2)已知两组函数对应值确定表达式；
(3)通过直线与平移规律确定函数表达式.
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考点3
用待定系数法求一次函数表达式
0时，求自变量x的值.
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考点5
用函数观点看方程（组）与不等式
2.一次函数与一元一次不等式 解关于x的一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜ 0(k≠0)相当于某个一次函数y=kx+b的函数值大于
第10讲-一次函数的图象与性质(课件)-2024年中考数学一轮复习讲练测(全国通用)全文编辑修改
）
C．一、三、四
D．二、三、四
【详解】解：∵正比例函数 = ( ≠ 0)的函数值随的增大而减小，
∴ < 0，∴− > 0,2 < 0，
∴一次函数 = − + 2的图象所经过第一，三，四象限，故选：C．
【对点训练1】（2022·河南南阳·统考三模）若一元二次方程x2−4x+4m=0有两个相等的实数根，则
y=kx+b(k≠0)探索并理解k>0和k＜0时图象的变
化情况.
➢ 会运用待定系数法确定一次函数的表达式.
稿定PPT
命题预测
一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要
的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点.各
地对一次函数的图象与性质的考察也主要集中在
一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方
程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面
y=kx+b中b=0时，y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.
一次函数的一般形式：y=kx+b（k，b是常数，k≠0）.
考点一 一次函数的相关概念
1. 一次函数一般形式的特征：1）k≠0； 2）x的次数为1； 3）常数b可以取任意实数.
2. 正比例函数是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
y随x的增大而减少
y
y
y
y
y
图象
x
O
经过象限
与y轴交点位置
x
O
x
x
O
O
b>0
b=0
b<0
b>0
一、二、三
一、三
一、三、四
一、二、四
y
x
O
b=0
第10讲 一次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练(浙江专用)(含解析)
第10讲一次函数 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·嘉兴）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx＋3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（）A．1 B．32C．2 D．52 2．（2022·杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2)．以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B．在M1( −√33，0)，M2( −√3，-1)，M3(1，4)，M4(2，112)四个点中，直线PB经过的点是()A．M1B．M2C．M3D．M4 3．（2022·绍兴）已知（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3 上的三个点，且x1＜x2＜x3，则以下判断正确的是（）A．若x1x2>0，则y1y3>0B．若x1x3<0，则y1y2>0 C．若x2x3>0，则y1y3>0D．若x2x3<0，则y1y2>0 4．（2022·萧山模拟）已知点P(m，n)在直线y=−x+4上，且2m−5n≥0，则()A．nm有最大值25B．nm有最小值C．mn有最大值52D．mn有最小值525．（2022·舟山模拟）如图，直线y =−34x+5交坐标轴于点A、B，与坐标原点构成的△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，边O′B′与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为（）A．165B．15C．10D．14 6．（2022·西湖模拟）如图，已知直角坐标系中的四个点：A(0，2)，B(1，0)，C(3，1)，D(2，3)．直线AB和直线CD的函数表达式分别为y1=k1x+b1和y=k2x+b2，则（）2A．k1=k2，b1>b2B．k1=k2，b1<b2C．k1≠k2，b1>b2D．k1≠k2，b1<b2 7．（2022·新昌模拟）若点P在一次函数y=2x+1的图象上，点P的坐标可能是（）A．(−1，0)B．(0，−1)C．(1，3)D．(2，4) 8．（2022·衢江模拟）甲、乙两辆遥控车沿直线AC作同方向的匀速运动.甲、乙同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处.已知甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t分钟后甲、乙两车与B处的距离分别为S1，S2，函数关系如图所示.当两车的距离小于10米时，信号会产生相互干扰.那么t是下列哪个值时两车的信号会相互干扰（）A．23B．2C．115D．135 9．（2022·诸暨模拟）已知P(−2，3)，Q(−3，2)，R(4，−6)，S(−6，9)中有三个点在同一直线y=kx上，不在此直线上的点是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S 10．（2022·上虞模拟）如图，在平面直角坐标系中，点（2，2）是一个光源，木杆AB 两端的坐标分别为（0，1），（3，1）．则木杆AB在x轴上的投影AB长为（）A．2 √3B．3 √2C．5D．6二、填空题11．（2022·桐乡模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(5，0)，点B为直线y=12x+2上的一点，连结AB，以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，其中∠ACB=90°.连结OC，则线段OC长度的最小值为.12．（2022·萧山模拟）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函数y＝（a＋1）x－2（a≠－1）图象上不同的两点.（1）若y1－y2＝2（x1－x2），则a＝；（2）若（x1－x2）（y1－y2）＜0，则a的取值范围是. 13．（2022·鹿城模拟）已知一次函数y=kx+b图象上有四个点，且它们的坐标如下表：若x4−x3=x3−x2=x2−x1，则m+n为14．（2022·瓯海模拟）直线y=-2x+3与x轴，y轴分别交于点A，B，将这条直线向左平移与x轴，y轴分别交于点C，D．若AB=AD，则点C的坐标是15．（2022·海曙模拟）在平面直角坐标系中，A(−1，1)，B(3，2)，C(2m，3m+ 1)，点D在直线y=−1上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为. 16．（2022·上虞模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x +4的图象与两坐标轴的正半轴分别交于点A，B，以AB为三角形一边作等边△ABC，顶点C在反比例函数y= kx的图象上，则k=17．（2022·拱墅模拟）A、B两地相距20km，甲乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速行驶，甲出发1小时后乙再出发，乙以2km/h的速度匀速行驶1小时后提高速度并继续匀速行驶，结果比甲提前到达甲、乙两人离开A地的距离y（km）与时间t（h）的关系如图所示，则乙出发小时后和甲相遇．18．（2021·拱墅模拟）A城有种农机30台，B城有该农机40台，现要将这些农机全部运往C，D两乡，调运任务承包给某运输公司.已知C乡需要农机34台，D乡需要农机36台，从A城往C，D两乡运送农机的费用分别为250元/台和200元/台，从B城往C，D两乡运送农机的费用分别为150元/台和240元/台.设A城运往C乡该农机x 台，运送全部农机的总费用为W元，则W关于x的函数关系式为.19．（2021·乐清模拟）如图，一次函数y= −34x+3的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点.C是线段AB上一点，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E，OD=2OE，则点C的坐标为20．（2021·余杭模拟）当kb＜0时，一次函数y＝kx+b的图象一定经过第象限.三、综合题21．（2021·台州）电子体重科读数直观又便于携带，为人们带来了方便.某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1，R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km+b（其中k，b为常数，0≤m≤120），其图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为8伏，定值电阻R0的阻值为30欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，该读数可以换算为人的质量m，温馨提示：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I＝UR；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压.（1）求k，b的值；（2）求R1关于U0的函数解析式；（3）用含U0的代数式表示m；（4）若电压表量程为0~6伏，为保护电压表，请确定该电子体重秤可称的最大质量.22．（2021·温州）某公司生产的一种营养品信息如下表.已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克.（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完.①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出.若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时，每日所获总利润最大？最大总利润为多少元？23．（2021·绍兴）I号无人机从海拔10m处出发，以10m/min的速度匀速上升，II号无人机从海拔30m处同时出发，以a（m/min）的速度匀速上升，经过5min两架无人机位于同一海拔高度b（m）.无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系如图.两架无人机都上升了15min.（1）求b的值及II号无人机海拔高度y（m）与时间x（min）的关系式.（2）问无人机上升了多少时间，I号无人机比II号无人机高28米. 24．（2021·宁波）某通讯公司就手机流量套餐推出三种方案，如下表：A，B，C三种方案每月所需的费用y（元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系如图所示.（1）请直接写出m，n的值.（2）在A方案中，当每月使用的流量不少于1024兆时，求每月所需的费用y （元）与每月使用的流量x（兆）之间的函数关系式.（3）在这三种方案中，当每月使用的流量超过多少兆时，选择C方案最划算？25．（2021·浙江模拟）某酒店新装修，计划购买A，B，C三种型号的餐桌共n套.已知一套A型餐桌（一桌四椅）需800元，一套B型餐桌（一桌六椅）需1000元，一套C型餐桌（一桌八椅）需1200元，要求购买C型餐桌的套数是A型餐桌的3倍，设购买x套A型餐桌，三种餐桌购买的总费用为y元.（1）当n=160时，①求y关于x的函数关系式.②若购买的B型餐桌套数不多于C型餐桌套数，求总费用y的最小值，并写出此时具体的购买方案.（2）已知酒店实际购买三种餐桌的总费用为18万元，记购买的三种餐桌椅子的总数最多的方案为最佳购买方案，求最佳购买方案的椅子总数m及相应n的值.答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】 解：∵点A （a ，b ），B （4，c ）在直线y=kx+3(k 为常数，k≠0)上，∴b=ak+3，c=4k+3，∴ab=a （ak+3）=ka 2+3a=k （a+32k ）2-94k ，∴当k ＜0时，ab 取最大值为-94k，∵ab 的最大值为9，∴-94k =9，解得k=-14， ∴c=4×（-14）+3，∴c=2. 故答案为：C.【分析】把点A （a ，b ），B （4，c ）分别代入一次函数解析式得b=ak+3，c=4k+3，再表示出ab=k （a+32k ）2-94k ，当k ＜0时，ab 取最大值为-94k ，又ab 的最大值为9，即-94k =9，求得k=-14，将k 值代入c=4k+3中计算，即可求出c 值. 2．【答案】B【解析】【解答】解：过点B 作BC ⊥y 轴于点C ，∴PA ⊥y 轴，PA=4，∵点A 按逆时针方向旋转60°，得点B ， ∴∠APB=60°，PA=PB=4， ∴∠CPB=90°-60°=30°， BC =√42−22=2√3，∴点B(2，2+2√3)，设直线BP的函数解析式为y=kx+b，{2k+b=2+2√3b=2解之：{k=√3b=2∴y=√3x+2，当y=0时x=−2√33，0) 不在直线BP上；∴点M1( −√33当x=-√3时y=-1，∴ M2( −√3，-1)在直线BP上；当x=1时y=√3+2，∴ M3(1，4) 不在直线PB上；当x=2时y=2√3+2，∴ M4(2，112) 不在直线PB上；故答案为：B.【分析】过点B作BC⊥y轴于点C，利用旋转的性质可知∠APB=60°，PA=PB=4，利用勾股定理求出BC的长，可得到点B的坐标；再利用待定系数法求出直线BP的函数解析式，将y=0代入函数解析式，可求出对应的x的值；再分别将x=-√3，1，2代入函数解析式，可得到对应的y的值，可得到直线PB所经过的点.3．【答案】D【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3，-2＜0，∴y随x的增大而减小，当y=0时x=1.5，∵（x1，x2），（x2，y2），（x3，y3）为直线y=-2x+3 上的三个点，且x1＜x2＜x3.A、若x2x1＞0，则x2，x1同号，不能确定出y1y3的正负，故A不符合题意；B、若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，故B不符合题意；C、若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，故C不符合题意；D、若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，∴y1，y2同时为正数，∴y1y2＞0，故D符合题意；故答案为：D.【分析】利用一次函数的性质可知y随x的增大而减小，当y=0时可知x=1.5，若x2x1＞0，则x2，x1同号，可对A作出判断；若x3x1＜0，则x3，x1异号，不能确定出y1y2的正负，可对B作出判断；若x3x2＞0，则x3，x2同号，不能确定出y1y3的正负，可对C作出判断；若x3x2＜0，则x3，x2异号，则x1，x2同时为负数，可对D作出判断. 4．【答案】A【解析】【解答】解：∵点P(m，n)在直线y=−x+4上，∴n=−m+4.∵2m−5n≥0，即2m−5(−m+4)≥0，∴m≥207.∵2m−5n≥0，∴2−5n m≥0，∴n m≤25，∴n m有最大值25.故答案为：A.【分析】将P（m，n）代入y=-x+4中可得n=-m+4，结合2m-5n≥0可得m的范围，给2m-5n≥0两边同时除以m可得nm的范围，据此可得nm的最大值.5．【答案】D【解析】【解答】解：在y =−34x+5中，令x＝0得y＝5，y＝0得x =203，∴A（203，0），B（0，5），∴S△AOB=12OA•OB =12×203×5 =503=S△A'B'O'，∵△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，∴x O'＝x E＝4，在y =−34x+5中，令x＝4得y＝2，∴E（4，2），∴O'E＝2，O'A＝OA﹣OO' =203−4 =83，∴S△AO'E=12O'A•O'E =12×83×2 =83，∴S阴影=503−83=14，故答案为：D.【分析】由y =−34x+5求出A（203，0），B（0，5），从而求出S△AOB=12OA•OB=503=S△A'B'O'，由平移的性质可得x O'＝x E＝4，即得E（4，2），从而求出S△AO'E=1 2O'A•O'E =83，利用S阴影=S△A'B'O'-S△AO'E即可求解.6．【答案】B【解析】【解答】解：如图，分别连接AB、AD、CD，BC，∵A（0，2），B（1，0），C（3，1），D（2，3），∴OB=CE=DH=AG=1，OA=GD=HC=BE=2，∠AOB=∠AGO=∠DHC=∠BEC=90°，∴△AOB≌△AGD≌△DHC≌△BEC（SAS），∴AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD为菱形，∴AB∥CD，∴直线AB和直线CD的k值相等，b值不相等且b1＜b2.故答案为：B.【分析】分别连接AB、AD、CD，BC，由A（0，2），B（1，0），C（3，1），D （2，3），从而得OB=CE=DH=AG=1，OA=GD=HC=BE=2，∠AOB=∠AGO=∠DHC=∠BEC=90°，利用“SAS”证得△AOB≌△AGD≌△DHC≌△BEC，进而得到四边形ABCD为菱形，即得AB∥CD，即可得出直线AB和直线CD的k值相等，b值不相等且b1＜b2.7．【答案】C【解析】【解答】解：A 、把(−1，0)代入得，2×（-1）+1=-1≠0，故本题选项错误； B 、把(0，−1)代入得，0×2+1=1≠-1，故本选项错误；C 、把(1，3)代入得，1×2+1=3，故本选项正确；D 、把(2，4)代入得，2×2+1=5≠4，故本选项错误.故答案为：C.【分析】分别将各个选项中的点的坐标代入y=2x+1中进行验证即可.8．【答案】D【解析】【解答】解：乙的速度v 2=120÷3=40（米/分），甲的速度v 甲=40×1.5=60米/分. 所以a=6060=1分. 设函数解析式为S 1=kt+b ，0≤t≤1时，把（0，60）和（1，0）代入得S 1=-60t+60，1＜t≤3时，把（1，0）和（3，120）代入得S 1=60t-60；S 2=40t ，当0≤t ＜1时，S 2+S 1＜10，即-60t+60+40t ＜10，解得t ＞2.5，因为0≤t ＜1，所以当0≤t ＜1时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；当1≤t≤3时，S 2-S 1＜10，即40t-（60t-60）＜10，所以t ＞2.5，当2.5＜t≤3时，两遥控车的信号会产生相互干扰.故答案为：D.【分析】由图象可得乙3分钟的路程为120，根据路程÷时间可得乙的速度，由甲的速度是乙的速度的1.5倍可求出甲的速度，然后求出a 的值，利用待定系数法求出S 1、S 2，令S 2+S 1＜10，求出t 的值，据此解答.9．【答案】B【解析】【解答】解：∵k=3−2=−64=−69≠2−3，∴点Q不在此直线上.故答案为：B.【分析】根据一次函数上点的坐标特征，即可得出答案.10．【答案】D【解析】【解答】解：如图，连接PA并延长交x轴于点A'，连接PB并延长交x轴于点B'，则A'B'即为AB在x轴上的投影，∵P（2，2），A（0，1），B（3，1），∴设直线PA'的解析式为y=kx+b，∴2=2k+b，b=1，解得k=0.5，∴直线PA'的解析式为y=0.5x+1，令y=0，x=-2，∴点A'（-2，0），同理：求出直线PB'的解析式为y=-x+4，∴点B'（4，0），∴A'B'=4-（-2）=6.故答案为：D.【分析】连接PA并延长交x轴于点A'，连接PB并延长交x轴于点B'，利用待定系数法求出直线PA'和直线PB'的解析式，从而求出点A'（-2，0），点B'（4，0），进而求得A'B'的长，即可解决问题.11．【答案】3√105【解析】【解答】解：如图，在y轴上取点D ，使得OA=OD ，即△AOD为等腰直角三角形，连接BD .∵△AOD和△ACB都为等腰直角三角形，∴∠CAB=∠OAD=45°，即AB=√2AC，AD=√2OA，∴∠CAO=∠BAD，ACAB=OAAD=√22，∴△AOC∽△ADB，∴OC BD=√2 2.由于点B为动点，点D为定点，要使OC有最小值，即求BD的最小值，易知当BD与直线y=12x+2垂直时，BD取得最小值.设直线y=12x+2与x轴交于点E ，与y轴交于点F ，则E(−4，0)，F(0，2).可得△EOF∽△DBF，即EFDF=EODB，∵OE=4，OF=2，DF=5−2=3，EF=√42+22=2√5，∴2√53=4BD，∴BD=6√55.∴OC=3√105.故答案为：3√105.【分析】在y轴上取点D，使得OA=OD ，即△AOD为等腰直角三角形，连接BD，易得∠CAB=∠OAD=45°，AB=√2AC，AD=√2OA，根据角的和差关系可得∠CAO=∠BAD，证明△AOC∽△ADB，得到OCBD=√22，易知当DB与直线垂直时，BD取得最小值，设直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，则E（-4，0），F（0，2），证明△EOF∽△DBF，根据相似三角形的性质可得BD，据此求解. 12．【答案】（1）1（2）a＜－1【解析】【解答】解：（1）y1－y2=（a＋1）x1－2−（a＋1）x2+2=（a＋1）(x1−x2)∴（a＋1）(x1−x2)=2(x1－x2)，∵A、B是一次函数图象上不同的两点，∴x1≠x2，即x1-x2≠0，∴a+1=2，∴a=1；（2）由（1）得：y1－y2=（a＋1）(x1−x2)，∵（x1－x2）（y1－y2）＜0，∴（a＋1）(x1−x2)(x1−x2)<0，即（a＋1）(x1−x2)2<0，∵x1-x2≠0，∴(x1−x2)2>0，∴a+1<0，∴a<-1.故答案为：（1）1；（2）a<-1.【分析】（1）根据一次函数的解析式可得y1-y2=(a+1)(x1-x2)，结合题意可得(a+1)(x1-x2)=2(x1-x2)，据此可求出a的值；（2）由（1）得y1-y2=(a+1)(x1-x2)，根据(x1-x2)( y1-y2)＜0可得(a+1)(x1-x2)2<0，据此不难求出a的范围.13．【答案】10【解析】【解答】解：∵kx1+b=3，kx4+b=7，kx2+b=m，kx3+b=n，∴kx4+b-kx3-b=7-n，即k（x4-x3）=7-n①，kx2+b-kx1-b=m-3，即k（x2-x1）=m-3②，∵x4-x3=x2-x1，由②-①得：0=m-3-7+n ，∴m+n=10.故答案为：10.【分析】先把x 1、x 2、x 3、x 4代入一次函数解析式得kx 1+b=3，kx 2+b=m ，kx 3+b=n ，kx 4+b=7，再表示出k （x 4-x 3）=7-n ①，k （x 2-x 1）=m-3②，结合x 4-x 3=x 2-x 1，由②-①得：0=m-3-7+n ，即可求得m+n 的值.14．【答案】(−32，0) 【解析】【解答】解：∵直线y=-2x+3与x 轴， y 轴分别交于点A ，B ，∴A （32，0），B （0，3）， ∵AB=AD ，OA ⊥BD ，∴OD=OB=3，∴D （0，-3） ，∴直线CD 的解析式为y=-2x-3，令y=0，则-2x-3=0，解得x=-32， ∴C （32，0）， 故答案为：（32，0）. 【分析】先求出点A 、B 的坐标，根据等腰三角形的性质得出点D 的坐标，从而得出直线CD 的解析式，再求出点C 的坐标即可得出答案.15．【答案】（0，-1），（2，-1）， (−143，−1) 【解析】【解答】解：∵点D 在直线 y =−1 上，∴设D （n ，-1），∵A(−1，1) ， B(3，2) ， C(2m ，3m +1) ，∴以A ，B ，C ，D 四点为顶点的四边形是平行四边形可得：①若四边形ABCD 为平行四边形，对角线中点坐标为： (−1+2m 2，1+3m+12) 或 (3+n 2，2−12) ， ∴{−1+2m =3+n 1+3m +1=2−1，解得： {m =−13n =−143， ∴D （- 143，-1）， ②若四边形ADBC 为平行四边形，对角线中点坐标为： (n+2m 2，1+3m−12) 或 (3−12，2+12) ， ∴{n +2m =3−11+3m −1=2+1， 解得： {m =1n =0， ∴D （0，-1），③若四边形ABDC 为平行四边形，对角线中点坐标为： (3+2m 2，3m+32) 或 (−1+n 2，1−12) ， ∴{3+2m =−1+n 3m +3=1−1， 解得： {m =−1n =2， ∴D （2，-1）.故答案为：（0，-1），（2，-1）或 (−143，−1) . 【分析】根据点D 在直线y=-1上可设D （n ，-1），然后分①四边形ABCD 为平行四边形，②四边形ADBC 为平行四边形，③四边形ABDC 为平行四边形，结合平行四边形的对角线互相平分可得m 、n 的值，据此可得点D 的坐标.16．【答案】8+5√3 或 8−5√3【解析】【解答】解：设C （x ，k x）， ∵一次函数y=-2x+4图象与坐标轴分别交于A 、B 两点，∴A （0，4），B （2，0），∴AC 2=x 2+（k x -4）2，BC 2=（x-2）2+k 2x 2，AB 2=20， ∵等边△ABC ，∴AC 2=BC 2，∴x 2+（k x -4）2=（x-2）2+k 2x 2， 整理得：4x-8k x+12=0，∴k=x 2+3x 2=x （x+3）2， ∴k 2=x 2（x+3）24，又∵BC 2=AB 2，∴BC 2=（x-2）2+k 2x 2=x 2-4x+4+（x+3）24=20， 整理得：x 2-2x-11=0，解得：x=1±2√3，∴k=x （x+3）2=（1+2√3）（1+2√3+3）2或k=x （x+3）2=（1−2√3）（1−2√3+3）2， 整理，解得：k=8+5√3或k=8-5√3.故答案为：8+5√3或8-5√3.【分析】设C （x ，k x），先求得A （0，4），B （2，0），由两点间距离公式表示出AC 2=x 2+（k x -4）2，BC 2=（x-2）2+k 2x 2，AB 2=20，再由等边三角形性质得AC 2=BC 2，BC 2=AB 2，从而得x 2+（k x -4）2=（x-2）2+k 2x 2，整理得：4x-8k x +12=0，即k=x 2+3x 2=x （x+3）2，从而得k 2=x 2（x+3）24，再由BC 2=（x-2）2+k 2x 2=x 2-4x+4+（x+3）24=20，整理得x 2-2x-11=0，解得x 后代入k=x （x+3）2，计算即可求得k 值.17．【答案】115【解析】【解答】解：乙提高后的速度为：(20−2)÷(4−1−1)=9(km/ℎ)， 由图象可得：s 甲=4t(0⩽t ⩽5)；s 乙={2(t −1)(1⩽t ⩽2)9(t −2)+2(2<t ⩽4)， 由方程组{s =4t s =9(t −2)+2，解得t =165， 165−1=115（小时）， 即乙出发115小时后和甲相遇.故答案为：115. 【分析】由图形可得：乙提高后(4-1-1)h 行驶的路程为(20-2)km ，根据路程÷时间=速度可得乙提高后的速度，由图形可得S 甲=4t ，表示出S 乙，联立可得t 的值，据此求解.18．【答案】W=140x+12540【解析】【解答】解：由题意得：因为A 城运往C 乡x 台农机，则A 城运往D 乡（30﹣x ）台农机，B 城运往C 乡（34﹣x ）台农机，B 城运往D 乡[40﹣（34﹣x ）]台农机 W ＝250x+200（30﹣x ）+150（34﹣x ）+240[40﹣（34﹣x ）]＝140x+12540，故答案为：W ＝140x+12540.【分析】抓住关键已知条件：A 城有种农机30台，B 城有该农机40台；C 乡需要农机34台，D 乡需要农机36台，分别用含x 的代数式表示出A 城运往D 乡农机的数量，B 城运往C 乡农机的数量，B 城运往D 乡农机的数量；再根据W=从A 城往C 乡送农机的费用+从A 城汪D 乡运送农机的费用+从B 城往C 乡送农机的费用+从B 城汪D 乡运送农机的费用，列出W 与x 之间的函数解析式.19．【答案】（ 125 ， 65） 【解析】【解答】解：∵矩形ODCE ，∴OE=CD ，CE=OD设点E 的坐标为（0，m ），∴OE=CD=m∵OD=2OE=2m∴点C （2m ，m ）∵点C 在一次函数图象上，∴−34×2m +3=m 解之：m =65∴2m =125∴点C (125，65). 故答案为：(125，65).【分析】利用矩形的性质可知的OE=CD ，CE=OD ，设点E 的坐标为（0，m ），利用OD=2OE ，可表示出OD 的长，可得到点C 的坐标；再将点C 的坐标代入函数解析式，求出m 的值，由此可求出点C 的坐标.20．【答案】一、四【解析】【解答】解：∵kb ＜0，∴k 、b 异号.当k ＞0，b ＜0时，y ＝kx+b 图象经过第一、三、四象限；当k ＜0，b ＞0时，y ＝kx+b 图象经过第一、二、四象限；综上，一次函数y ＝kx+b 的图象一定经过第一、四象限.故答案为：一、四.【分析】分情况讨论：当当k ＞0，b ＜0时；当k ＜0，b ＞0时，分别求出函数图象所在的象限，然后可得到次函数图象一定经过的象限.21．【答案】（1）解：把（0，240），（120，0）代入R 1＝km ＋b ，得 {240=b 0=120k +b，解得： {b =240k =−12 ； （2）解：∵U 030=8−U 0R 1， ∴R 1=240U 0−30 ； （3）解：由（1）可知： {b =240k =−12， ∴R 1＝ −12m ＋240， 又∵R 1=240U 0−30 ， ∴240U 0−30 = −12 m ＋240，即： m =540−480U 0； （4）解：∵电压表量程为0~6伏，∴当 U 0=6 时， m =540−4806=460 答：该电子体重秤可称的最大质量为460千克.【解析】【分析】（1） 将点（0，240），（120，0）代入R 1＝km ＋b ，建立关于b ，k 的方程组，解方程组求出k ，b 的值.（2）利用已知条件可得到R 1关于U 0的函数解析式.（3）利用（1）可得到R 1与m 的函数解析式，与（2）中函数解析式联立方程组，然后求出m与U0.的函数解析式（4）根据电压表量程为0~6伏，将U0=6代入（3）中的函数解析式，可求出m的值. 22．【答案】（1）解：设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元，由题意得802a−20a=1，解得a=20.经检验，a=20是所列方程的根，且符合题意.∴2a=40（元）.答：甲、乙两种食材每千克进价分别为40元、20元（2）解：①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克.由题意得{40x+20y=1800050x+10y=42(x+y)，解得{x=400y=100答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克.②设A为m包，则B为500−m0.25=(2000−4m)包.记总利润为W元，则W=45m+12(2000−4m)−18000−2000=−3m+4000.∵A的数量不低于B的数量，∴m≥2000−4m，m≥400.∵k=−3<0，∴W随m的增大而减小。
第10讲 一次函数
简记为“左加右减,上加下减”.
知识点四
常用方法
步骤
确定一次函数的表达式
待定系数法
(1)设函数表达式;(2)列方程(组);(3)解方程(组),确定待定系数;(4)写出函数表达式
常见类型 (1)已知两点坐标;(2)已知两对对应值;(3)利用平移规律;(4)利用实际问题中的数量关系
知识点五
一次函数与方程(组)、不等式的关系
待定系数法求函数表达式.
(2)表格型应用题:分析表格中数据,从表格中提取两组量,应用待定系数法求函数表达式.
(3)图象型应用题:从函数图象上找出两点,将其坐标代入求函数表达式;若函数为分段函数,则要注意
取同段函数图象上的两点,依此方法分别求各段函数的表达式,最后记得加上对应自变量的取值范围.
(4)方案选取问题:根据表达式分类讨论,比较几个方案在不同取值下的最优结果.
解:(1)当 x=100 时,y=- ×100+13=9,
∴B(100,9).
设线段 BC 的表达式为 y=kx+b(k≠0),
则
= ,
= + ,
解得
= + ,
=- ,
∴线段 BC 的表达式为
y= x- (100≤x≤140).
(2)如果从甲地到乙地全程为260 km,包括60 km限速为50 km/h的省道和200 km限速为120
A
B
C
D
)
[变式2] (2022眉山)一次函数y=(2m-1)x+2的值随x的增大而增大,则点P(-m,m)所在象限为(B
)
A.第一象限
第10讲 一次函数的图象与性质-中考数学一轮复习知识考点课件（35张）
A.y＝－ 1 x－5
2
C.y＝ 1 x－3
2
B.y＝
1 2
x＋3
D.y＝－2x－8
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9.(2020·内江)在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，
已知直线y＝tx＋2t＋2(t＞0)与两坐标轴围成的三角形区域(不含边界)中有且
只有4个整点，则t的取值范围是( D )
A. 1 ≤t＜2
2
C.1＜t≤2
B. 1 ＜t≤1
2
D. 1 ≤t≤2，且t≠1
2
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10.(绵阳中考)在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，P(－2，a)，
B(3，－3)三点. (1)求a的值；
(2)设这条直线与y轴相交于点D，则△OPD的面积为_____3_______.
解：(1)设直线的解析式为y＝kx＋b.
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2.(2019·荆门)若函数y＝kx＋b(k，b是常数)的图象不经过第二象限，则k，b
应满足的条件是( A ) A.k≥0，且b≤0
B.k＞0，且b≤0
C.k≥0，且b＜0
D.k＞0，且b＜0
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3.(2020·天门)对于一次函数y＝x＋2，下列说法不正确的是( D ) A.图象经过点(1，3) B.图象与x轴交于点(－2，0) C.图象不经过第四象限 D.当x＞2时，y＜4
对点训练 1.(2020·荆州)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( C )
A
B
C
D
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2.(2020·泰州)点P(a，b)在函数y＝3x＋2的图象上，则代数式6a－2b＋1的值
等于( C )Βιβλιοθήκη A.5B.3C.－3
中考数学复习课件：第1轮第3章第10讲 一次函数
第三章 函 数
第10讲 一次函数
1.(2019·广安)一次函数 y＝2x－3 的图象经过的 象限是( C )
A．一、二、三 B．二、三、四 C．一、三、四 D．一、二、四
2．(2019·天津)直线 y＝2x－1 与 x 轴的交点坐
标为 12，0
．
3．(2018·南充)直线 y＝2x 向下平移 2 个单位长
度得到的直线是( C )
A．y＝2(x＋2)
B．y＝2(x－2)
C．y＝2x－2
D．y＝2x＋2
4．(2007·东莞)如图，在直角坐标系中，已知矩
形 OABC 的两个顶点坐标 A(3，0)，B(3，2)，对角
线 AC 所在直线为 l，则直线 l 对应的函数解析式为 __y＝__－__23_x_＋__2______．
－3 的图象不经过第二象限，则 m 的取值范围是
(D) A．m＞－12
B．m＜3
C．－12＜m＜3
D．－12＜m≤3
6．(2020·遵义)如图，直线 y＝kx＋b(k、b 是常 数 k≠0)与直线 y＝2 交于点 A(4，2)，则关于 x 的不 等式 kx＋b＜2 的解集为__x_<_4____．
3．(2020·成都)一次函数 y＝(2m－1)x＋2 的值随 x 值的增大而增大，则常数 m 的取值范围为
1 __m__>_2___．
考点 求一次函数的解析式(5 年 5 考) 4．(2019 春·新蔡县)如图，直线 a 经过点 A(1， 6)，和点 B(－3，－2)． (1)求直线 a 的解析式；
A．x≤－2 B．x≤－4 C．x≥－2 D．x≥－4
A．夯实基础 1．(2020·上海)已知正比例函数 y＝kx(k 是常数， k≠0)的图象经过第二、四象限，那么 y 的值随着 x 的值增大而__减__小____．(填“增大”或“减小”) 2．(2020·苏州)若一次函数 y＝3x－6 的图象与 x 轴交于点(m，0)，则 m＝___2_____．
考点10 一次函数(精讲)(解析版)
考点10.一次函数（精讲）【命题趋势】一次函数的图象与性质是中考数学中比较重要的一个考点，也是知识点牵涉比较多的考点。
各地对一次函数的图象与性质的考查也主要集中在一次函数表达式与平移、图象的性质、图象与方程不等式的关系以及一次函数图象与几何图形面积等五个方面，年年考查，总分值为10分左右。
一次函数不仅是中考重要考点，也是反比例函数、二次函数学习的基础，而初中函数部分，更是和整个高中学习体系联系紧密，不管对于中考还是高中基础积累，一次函数学习都尤为重要。
故考生在复习这块知识点时，需要特别熟记对应考点的方法规律。
【知识清单】1：一次函数的相关概念（☆☆）1）正比例函数的概念：一般地，形如y =kx （k 是常数，k ≠0）的函数，叫正比例函数，其中k 叫正比例系数。
2）一次函数的定义：一般地，形如y =kx +b (k ，b 为常数，且k ≠0)的函数叫做x 的一次函数。
特别地，当一次函数y =kx +b 中的b =0时，y =kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数。
2：一次函数的图象与性质（☆☆☆）1）一次函数的图象特征与性质函数字母取值图象经过的象限函数性质y =kx +b (k ≠0)k >0，b >0一、二、三y 随x 的增大而增大k >0，b <0一、三、四k >0，b =0一、三y =kx +b (k ≠0)k <0，b >0一、二、四y 随x 的增大而减小k <0，b <0二、三、四k <0，b =0二、四2）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=-bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）。
①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴。
②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴。
3）两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直。
第10讲 一次函数及其图像(用)
C
B
C
7、已知一次函数y=(a-1)x+b的图象如图1所示，那么a的取值范 围是（ ） A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
AHale Waihona Puke 8、一次函数y=kx+（k-3）的函数图象不可能是（
A）
曾老师宝箱再再！开题 ！
这次发达了 ！
解：（1）由图象知：线段 BC经过点（20，500）和 （40，600）， ∴设解析式为：Q=kt+b，
∴解析式为：Q=5t+400（20≤t≤40）；
（2）设乙水库的供水速度为x万m3/h，甲水库一个闸门的灌溉速 度为y万m3/h，
∴乙水库供水速度为15万m3/h和甲水库一个排灌闸的灌溉速 度10万m3/h；
★理解一次函数概念应注意下面两点：
⑴、解析式中自变量x的次数是___ 1 次，
⑵、比例系数_____ k≠0 。
初级挑战1
下列函数哪些是正比例函数？
√ √
完成初级训练1
2.一次函数的图象
① 正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过点（_____ 0，0），(______) 1 ，k 一条直线 的 _________ 。 b （____， ②一次函数 y=kx+b(k≠0) 的图象是过点（ 0 ， ___), b 一条直线 0)的__________ 。 k ③一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与k,b符号的关系：
y
x2
解：（1）∵函数是关于x的正比例函数 ∴丨a丨-3=0,且2（a-3）≠0 故a=-3，则y=-12x （3）∵y随着x的增大而减小 ∴y1＞y2
o
x
中级挑战2
一次函数详细讲义
1变量和函数一、变量1.变量：在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.2.常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量为常量。
注意：（1）变量和常量是相对的，前提条件是在一个变化过程中；（2）常数也是常量，如圆周率要作为常量二、函数1.函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有惟一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。
如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
注意：①函数是相对自变量而言的，如对于两个变量x,y，y是x的函数，而不能简单的说出y是函数。
②判断一个关系式是否为函数关系：一看是否在一个变化过程中，二看是否只有两个变量，三看对于一个变量没取到一个确定的值时，另一个变量是否有唯一的值与其对应。
③函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系，函数本质就是变量间的对应关系④“y有唯一值与x对应”是指在自变量的取值范围内，x每取一个确定值，y都唯一的值与之相对应，否则y不是x的函数．⑤判断两个变量是否有函数关系,不仅要有关系式，还要满足上述确定的对应关系．x取不同的值，y的取值可以相同．例如:函数2(3)y x=-中，2x=时，1y=；4x=时，1y=．2.函数的三种表示形式（1）解析法：用数学式子表示函数的方法叫做解析法．（2）列表法：通过列表表示函数的方法．（3）图象法：用图象直观、形象地表示一个函数的方法．3确定函数解析式的步骤（1）根据题意列出两个变量的二元一次方程（2）用汉字变量的式子表示函数4确定自变量的取值范围（1）分母不为0（2）开平方时，被开方数非负性（3）实际问题对自变量的限制。
注意：（1）整式型：一切实数（2）根式型：当根指数为偶数时，被开方数为非负数．（3）分式型：分母不为0．（4）复合型：不等式组（5）应用型：实际有意义即可2.函数图象一、函数图象的概念一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应诃子分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象。
2020-2021【名校提分专用】中考数学系统复习 第三单元 函数 第10讲 第1课时 一次函数的图象与性质(8年真题
第10讲 一次函数第1课时 一次函数的图象与性质命题点1 一次函数的图象与性质1．(2011·河北T5·2分)一次函数y ＝6x ＋1的图象不经过(D)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．(2014·河北T6·2分)如图，直线l 经过第二、三、四象限，l 的解析式是y ＝(m －2)x ＋n ，则m 的取值范围在数轴上表示为(C)A BC D3．(2015·河北T14·2分)如图，直线l: y ＝－23x －3与直线y ＝a(a 为常数)的交点在第四象限，则a 可能在(D)A ．1＜a ＜2B ．－2＜a ＜0C ．－3≤a ≤－2D ．－10＜a ＜－44．(2016·河北T5·3分)若k ≠0，b ＜0，则y ＝kx ＋b 的图象可能是(B)A B C D命题点2 确定一次函数的解析式5．(2017·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，A(0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E.点B ，E 关于x 轴对称，连接AB.(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值； (3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．解：(1)把y ＝0代入y ＝－38x －398，得x ＝－13.∴C(－13，0).1分把x ＝－5代入y ＝－38x －398，得y ＝－3.∴E(－5，－3).2分∵点B ，E 关于x 轴对称，∴B(－5，3)． 设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝5，－5k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝25，b ＝5.∴直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.5分(2)∵CD ＝8，DE ＝DB ＝3，OA ＝OD ＝5. ∴S △CDE ＝12×8×3＝12，S 四边形ABDO ＝12×(3＋5)×5＝20.∴S ＝32.8分(3)当x ＝－13时，y ＝25x ＋5＝－15≠0，∴点C 不在直线AB 上，即A ，B ，C 三点不共线．∴他的想法错在将△CDB 与四边形ABDO 拼接后看成了△AOC.10分6．(2018·河北T24·10分)如图，直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝－12x ＋5的图象l 1分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象l 2与l 1交于点C(m ，4)． (1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值；(3)一次函数y ＝kx ＋1的图象为l 3，且l 1，l 2，l 3不能围成三角形，直接写出k 的值．解：(1)把C(m ，4)代入一次函数y ＝－12x ＋5，可得4＝－12m ＋5，解得m ＝2，∴C(2，4)．设l 2的解析式为y ＝ax ，则4＝2a ，解得a ＝2. ∴l 2的解析式为y ＝2x.(2)过点C 作CD ⊥AO 于点D ，CE ⊥BO 于点E ，则CD ＝4，CE ＝2，∵y ＝－12x ＋5的图象与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，令x ＝0，则y ＝5，令y ＝0，则x ＝10，∴A(10，0)，B(0，5)． ∴AO ＝10，BO ＝5.∴S △AOC －S △BOC ＝12×10×4－12×5×2＝15.(3)k 的值为32或2或－12.命题点3 一次函数的平移7．(2013·河北T23·10分)见本书P46变式训练3重难点1 一次函数的图象与性质已知，函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1，试解决下列问题：图1 图2(1)当m ≠12时，该函数是一次函数，当m ＝－12时，该函数是正比例函数；(2)当m ＝2时，直线所在的象限是第一、二、四象限； (3)函数的图象如图1所示，则m 的取值范围是－12<m<12；(4)当m<12时，y 随x 的增大而增大；(5)当函数y ＝(1－2m)x ＋2m ＋1向上平移3个单位长度时得到y ＝(1－2m)x ＋2，则m 的值为－1； (6)若函数图象与x 轴的交点坐标为A ，与y 轴的交点为B(0，3)，则△ABO 的面积为92；(7)函数图象必过点(1，2)；(8)若函数图象与直线y ＝x －1交于点(2，1)，则关于x 的不等式x －1>(1－2m)x ＋2m ＋1的解集是x>2； (9)当m ＝0时，y ＝x ＋1，将正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2按如图2所示方式放置，点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y ＝x ＋1和x 轴上，则点B 10的坐标是(210－1，29)． 【变式训练1】 (2018·湘潭)若b ＞0，则一次函数y ＝－x ＋b 的图象大致是(C)【变式训练2】 (2018·石家庄裕华区一模)一次函数y ＝(m －1)x ＋(m －2)的图象上有点M(x 1，y 1)和点N(x 2，y 2)，且x 1>x 2，下列叙述正确的是(B)A ．若该函数图象交y 轴于正半轴，则y 1<y 2B ．该函数图象必过点(－1，－1)C．无论m为何值，该函数图象一定过第四象限D．该函数图象向上平移一个单位长度后，会与x轴正半轴有交点方法指导根据图象经过的象限可确定k，b的符号：易错提示养成画图的习惯，注意数形结合的方法.重难点2 确定一次函数的解析式(2018·唐山乐亭县一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A(－6，0)的直线l1与直线l2：y＝2x相交于点B(m，4)．(1)求直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴交于点M，求△AOM的面积；(3)过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围．【变式】(4)将(3)中条件“过动点P(n，0)且垂直于x轴的直线l1，l2的交点分别为C，D”保持不变，“当点C 位于点D上方时”改为“且CD＝2”，求点C的坐标．【思路点拨】(1)点B在直线y＝2x上，所以m＝2，即点B(2，4)，利用待定系数法可得直线l1的解析式；(2)直线l1与y轴的交点坐标，利用三角形的面积公式求出三角形的面积；(3)点C位于点D的上方，l1>l2，即当n<2时．(4)当CD＝2时，需分点C在点D上方和下方进行讨论．【自主解答】解：(1)∵直线y＝2x经过点B，∴4＝2m，∴m＝2，即B(2，4)．设直线l1的解析式为y＝kx＋b，∵直线l1的经过点A，B，∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－6k ＋b ，4＝2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝3.∴直线l 1的解析式为y ＝12x ＋3.(2)∵当x ＝0时，y ＝3，∴M(0，3)． ∴S △AOM ＝12×6×3＝9.(3)n<2.(4)①当点C 在点D 上方时，有12x ＋3－2x ＝2，解得x ＝23.此时点C 的坐标为(23，103)；②当点C 在点D 下方时，有2x －(12x ＋3)＝2，解得x ＝103.此时点C 的坐标为(103，143)．【变式训练3】 (2018·郴州)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC ＝60°，A 点的坐标是(0，4)，则直线AC 的解析式是y ＝－33x ＋4． 【变式训练4】 (2013·河北T23·10分)如图，A(0，1)，M(3，2)，N(4，4)．动点P 从点A 出发，沿y 轴以每秒1个单位长度的速度向上移动，且过点P 的直线l ：y ＝－x ＋b 也随之移动，设移动时间为t 秒． (1)当t ＝3时，求l 的解析式；(2)若点M ，N 位于l 的异侧，确定t 的取值范围；(3)直接写出t 为何值时，点M 关于l 的对称点落在坐标轴上． 解：(1)∵直线y ＝－x ＋b 交y 轴于点P(0，b)， ∴由题意，得b ＞0，t ≥0，b ＝1＋t. 当t ＝3时，b ＝4， ∴y ＝－x ＋4.(2)当直线y ＝－x ＋b 过点M(3，2)时，2＝－3＋b ， 解得b ＝5.∵5＝1＋t ，∴t ＝4.当直线y ＝－x ＋b 过点N(4，4)时，4＝－4＋b ， 解得b ＝8.∵8＝1＋t ，∴t ＝7.∴4＜t ＜7.(3)当t ＝1时，该对称点落在y 轴上； 当t ＝2时，该对称点落在x 轴上．方法指导用待定系数法求函数解析式是必须掌握的一种方法．要熟练掌握解二元一次方程组的方法．一次函数的图象与坐标轴的交点坐标是直线上的特殊点，常常与其他点构成三角形等图形，也是常见的一种命题形式．易错提示注意“分类讨论”思想的应用． 重难点3 一次函数与方程、不等式的关系(2017·台州改编)如图，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P(1，b)．(1)求b ，m 的值；(2)直接写出关于x 的不等式2x ＋1<mx ＋4的解集；(3)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D.若线段CD 长为2，求a 的值．【思路点拨】 (1)把点P 的坐标代入l 1求出b ，再将(1，b)代入l 2求出m ；(2)观察图象，由两直线的交点P 的横坐标可得；(3)C ，D 两点横坐标相同时，线段CD 的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况．【自主解答】解：(1)∵点P(1，b)在直线l 1：y ＝2x ＋1上，∴b ＝2×1＋1＝3.∵点P(1，3)在直线l 2：y ＝mx ＋4上， ∴3＝m ＋4.∴m ＝－1. (2)x<1.(3)当x ＝a 时，y C ＝2a ＋1，y D ＝4－a.∵CD ＝2，∴|2a ＋1－(4－a)|＝2，解得a ＝13或a ＝53.∴a 的值为13或53.【变式训练5】(2018·河北模拟)观察函数y 1和y 2的图象，当x ＝0，两个函数值的大小关系为(A)A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1≥y 2 【变式训练6】(2018·呼和浩特)若以二元一次方程x ＋2y －b ＝0的解为坐标的点(x ，y)都在直线y ＝－12x ＋b －1上，则常数b ＝(B)A.12B ．2C ．－1D ．1【变式训练7】 (2018·资阳)已知直线y 1＝kx ＋1(k ＜0)与直线y 2＝mx(m ＞0)的交点坐标为(12，12m)，则不等式组mx －2＜kx ＋1＜mx 的解集为(B)A ．x ＞12B.12＜x ＜32C ．x ＜32D ．0＜x ＜32方法指导1．解决此类题一般是先找出两函数值相等时x 的值，然后过这点作x 轴的垂线，在这个点的左侧和右侧，必然存在不等关系，最后观察图象，上方的函数值大于下方的函数值．2.在坐标系内的线段长，若线段平行于x(y)轴，则线段长等于其横(纵)坐标的差．,易错提示)线段CD 长为2时，有两种情况，在交点P 的左右都有可能．1．(2018·玉林)等腰三角形底角与顶角之间的函数关系是(B)A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数2．(2018·沈阳)在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象如图所示，则k 和b 的取值范围是(C)A ．k>0，b>0B ．k>0，b<0C ．k<0，b>0D ．k<0，b<03．(2017·呼和浩特)一次函数y ＝kx ＋b 满足kb ＞0，且y 随x 的增大而减小，则此函数的图象不经过(A)A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．(2017·怀化)一次函数y ＝－2x ＋m 的图象经过点P(－2，3)，且与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，则△AOB 的面积是(B)A.12B.14C ．4D ．85．(2018·唐山乐亭县一模)如图的坐标平面上有四直线l 1，l 2，l 3，l 4，其中方程3x －5y ＋15＝0对应的直线为(A)A ．l 1B ．l 2C ．l 3D ．l 46．(2018·济宁)在平面直角坐标系中，已知一次函数y ＝－2x ＋1的图象经过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点．若x 1<x 2，则y 1>y 2.(填“>”“<”或“＝”)7．(2017·荆州)将直线y ＝x ＋b 沿y 轴向下平移3个单位长度，点A(－1，2)关于y 轴的对称点落在平移后的直线上，则b 的值为4．8．【分类讨论思想】(2018·昆明)如图，点A 的坐标为(4，2)，将点A 绕坐标原点O 旋转90°后，再向左平移1个单位长度得到点A ′，则过点A ′的正比例函数的解析式为y ＝－43x 或y ＝－4x ．9．(2018·淮安)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A(－2，6)，且与x 轴相交于点B ，与正比例函数y ＝3x 的图象相交于点C ，点C 的横坐标为1.(1)求k ，b 的值；(2)若点D 在y 轴负半轴上，且满足S △COD ＝13S △BOC ，求点D 的坐标．解：(1)当x ＝1时，y ＝3x ＝3， ∴点C 的坐标为(1，3)．将A(－2，6)，C(1，3)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝6，k ＋b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝4.(2)当y ＝0时，－x ＋4＝0. 解得x ＝4.∴点B 的坐标为(4，0)．设点D 的坐标为(0，m)(m ＜0)， ∵S △COD ＝13S △BOC ，即－12m ＝13×12×4×3.解得m ＝－4.∴点D 的坐标为(0，－4)． 10．【数形结合思想】(2018·廊坊模拟)如图，正方形ABCD 的边长为2，BC 边在x 轴上，BC 的中点与原点O 重合，过定点M(－2，0)与动点P(0，t)的直线MP 记作l.(1)若l 的解析式为y ＝2x ＋4，判断此时点A 是否在直线l 上，并说明理由； (2)当直线l 与AD 边有公共点时，求t 的取值范围．解：(1)此时点A 在直线l 上． ∵BC ＝AB ＝2，点O 为BC 中点，∴点B(－1，0)，A(－1，2)．把点A 的横坐标x ＝－1代入解析式y ＝2x ＋4，得 y ＝2，等于点A 的纵坐标2， ∴此时点A 在直线l 上．(2)由题意可得，点D(1，2)，及点M(－2，0)，当直线l 经过点D 时，设l 的解析式为y ＝kx ＋t(k ≠0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋t ＝0，k ＋t ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝23，t ＝43. 由(1)知，当直线l 经过点A 时，t ＝4.∴当直线l 与AD 边有公共点时，t 的取值范围是43≤t ≤4.11．(2018·保定竞秀区模拟)如图，已知直线l 1：y ＝－2x ＋4与直线l 2：y ＝kx ＋b(k ≠0)在第一象限交于点M.若直线l 2与x 轴的交点为A(－2，0)，则k 的取值范围是(D)A ．－2<k<2B ．－2<k<0C ．0<k<4D ．0<k<2 12．【数形结合思想】(2018·宿迁)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l ，若直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l 的条数是(C)A ．5B ．4C ．3D ．2 13．(2018·河北模拟)若P(m ＋1，m －1)在直线y ＝－x ＋3的下方，则m 的取值范围是m ＜32．14．(2018·保定竞秀区二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的解析式为：y ＝kx ＋x －k ＋1.若将直线l 绕A 点旋转，如图所示，当直线l 旋转到l 1位置时，k ＝2且l 1与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ；当直线l 旋转到l 2位置时，k ＝－25且l 2与y 轴交于点D.(1)求点A 的坐标；(2)直接写出B ，C ，D 三点的坐标，连接CD ，求△ADC 的面积；(3)已知坐标平面内一点E ，其坐标满足条件E(a ，a)，当点E 与点A 距离最小时，直接写出a 的值．解：(1)当k ＝2时，y ＝3x －1， 当k ＝－25时，y ＝35x ＋75.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x －1，y ＝35x ＋75，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点A 的坐标为(1，2)．(2)B(0，－1)，C(13，0)，D(0，75)．∴BD ＝125，OC ＝13.∴S △ADC ＝S △ADB －S △BDC ＝12×125×1－12×125×13 ＝45. (3)a ＝32.。
人教版九年级数学下册中考知识点梳理：第10讲一次函数
第10讲一次函数一、知识清单梳理知识点一：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K＞0，b＞0K＞0，b＜0K＞0，b=0k<0，b>0k<0，b<0k<0，b＝0（1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法.例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致图象经过象限一、二、三一、三、四一、三一、二、四二、三、四二、四图象性质y随x的增大而增大y随x的增大而减小3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是⎝⎛⎭⎪⎫－bk，0，与y轴的交点是(0，b)；(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）.知识点二：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)；②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出k与b的值，得到函数表达式．（2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可.(2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2.5.一次函数图象的平移规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h.例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x的方程中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（ ） A ．方差 B ．中位数C ．众数D ．平均数【答案】A【解析】试题分析：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，体现数据的稳定性，集中程度；方差越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．故教练要分析射击运动员成绩的波动程度，只需要知道训练成绩的方差即可． 故选A.考点：1、计算器-平均数，2、中位数，3、众数，4、方差2．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC =C ．4CD AC =D ．不能确定【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC. 【详解】∵AB=CD ， ∴AC+BC=BC+BD ， 即AC=BD ， 又∵BC=2AC ， ∴BC=2BD ， ∴CD=3BD=3AC. 故选B ． 【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点． 3．关于二次函数2241y x x =+-，下列说法正确的是（ ） A ．图像与y 轴的交点坐标为()0,1B ．图像的对称轴在y 轴的右侧C ．当0x <时，y 的值随x 值的增大而减小D ．y 的最小值为-3 【答案】D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．详解：∵y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，∴当x=0时，y=-1，故选项A错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B错误，当x＜-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当x=-1时，y取得最小值，此时y=-3，故选项D正确，故选D．点睛：本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，…，依次规律，第7个图形的小圆个数是()A．56 B．58 C．63 D．72【答案】B【解析】试题分析：第一个图形的小圆数量=1×2+2=4；第二个图形的小圆数量=2×3+2=8；第三个图形的小圆数量=3×4+2=14；则第n个图形的小圆数量=n(n+1)+2个，则第七个图形的小圆数量=7×8+2=58个. 考点：规律题5．如图，∠AOB＝45°，OC是∠AOB的角平分线，PM⊥OB，垂足为点M，PN∥OB，PN与OA相交于点N，那么PMPN的值等于（）A．12B．22C3D3【答案】B【解析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE=PM，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POM=∠OPN，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PNE=∠AOB，再根据直角三角形解答．【详解】如图，过点P作PE⊥OA于点E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PE＝PM，∵PN∥OB，∴∠POM＝∠OPN，∴∠PNE＝∠PON+∠OPN＝∠PON+∠POM＝∠AOB＝45°，∴PMPN＝22．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．6．如图，田亮同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（）A．垂线段最短B．经过一点有无数条直线C．两点之间，线段最短D．经过两点，有且仅有一条直线【答案】C【解析】用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，故选C．【点睛】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．7．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题． 【详解】在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1， ∴AC=22AB BC +=2286+=10，∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DF ∥BM ，DE=12BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ， ∵∠FCE=∠FCM ， ∴∠EFC=∠ECF ， ∴EC=EF=12AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2． 故选B ．8．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6 【答案】A【解析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．9．郑州某中学在备考2018河南中考体育的过程中抽取该校九年级20名男生进行立定跳远测试，以便知道下一阶段的体育训练，成绩如下所示：则下列叙述正确的是（）A．这些运动员成绩的众数是5B．这些运动员成绩的中位数是2.30C．这些运动员的平均成绩是2.25D．这些运动员成绩的方差是0.0725【答案】B【解析】根据方差、平均数、中位数和众数的计算公式和定义分别对每一项进行分析，即可得出答案．【详解】由表格中数据可得：A、这些运动员成绩的众数是2.35，错误；B、这些运动员成绩的中位数是2.30，正确；C、这些运动员的平均成绩是2.30，错误；D、这些运动员成绩的方差不是0.0725，错误；故选B．【点睛】考查了方差、平均数、中位数和众数，熟练掌握定义和计算公式是本题的关键，平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．10．如图，点C、D是线段AB上的两点，点D是线段AC的中点．若AB=10cm，BC=4cm，则线段DB 的长等于（）A．2cm B．3cm C．6cm D．7cm【答案】D【解析】先求AC,再根据点D是线段AC的中点，求出CD，再求BD.【详解】因为，AB=10cm，BC=4cm，所以，AC=AB-BC=10-4=6（cm）因为，点D是线段AC的中点，所以，CD=3cm,所以，BD=BC+CD=3+4=7（cm）故选D【点睛】本题考核知识点：线段的中点，和差.解题关键点：利用线段的中点求出线段长度.二、填空题（本题包括8个小题）11．化简:a ba b b a+--22＝__________.【答案】a+b【解析】将原式通分相减，然后用平方差公式分解因式，再约分化简即可。
第10讲 一次函数的图象与性质(讲练)(解析版)
备战2020年中考数学总复习一轮讲练测第三单元函数第10讲一次函数的图象与性质1、了解：一次函数的意义，了解一次函数与方程、不等式的关系；2、理解：正比例函数和一次函数的概念；3、会：画一次函数图象，利用待定系数法确定一次函数；结合图象与表达式，掌握k 、b 变化时，一次函数图象的变化情况；掌握一次函数的平移变换；4、能：运用一次函数与方程、不等式的关系内容解决有关问题。
1．（2019春•大兴区期末）一次函数31y x =-+的图象不经过( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：Q 一次函数31y x =-+，3k =-，1b =，∴该函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C ．2．（2019春•怀柔区期末）若点(1,)A m -，(4,)B n -在一次函数23y x =-+图象上，则m 与n 的大小关系是()A ．m n <B ．m n >C ．m n =D ．无法确定【解答】解：Q 一次函数23y x =-+ y ∴随x 的增大而减小，又14->-Q ， m n ∴<故选：A ．3．（2019春•门头沟区期末）如图，直线(0)y kx b k =+≠的图象如图所示．下列结论中，正确的是( )A ．0k >B ．方程0kx b +=的解为1x =C ．0b <D ．若点(1,)A m 、(3,)B n 在该直线图象上，则m n <【解答】解：Q 一次函数(0)y kx b k =+≠的图象过一、二、四象限， 0k ∴<，0b >，y ∴随x 的增大而减小，∴若点(1,)A m 、(3,)B n 在该直线图象上，则m n >．故A 、C 、D 均错误；Q 直线(0)y kx b k =+≠与x 轴的交点为(1,0)，∴方程0kx b +=的解是1x =，故B 正确．故选：B ．4．（2019春•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象互相平行，如果这两个函数的部分自变量和对应的函数值如表所示：那么m 的值是( ) A ．1-B ．2C ．3D ．4【解答】解：Q 一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象互相平行， 12k k ∴=，设12k k a ==，则11y ax b =+，22y ax b =+． 将(,2)m -、(0,0)代入11y ax b =+，得2am =-①； 将(,1)m 、(0,)n 、(2,7)代入22y ax b =+， 得1am n +=②，27a n +=③， ①代入②，得3n =， 把3n =代入③，得2a =， 把2a =代入①，得1m =-． 故选：A ．5．（2019春•房山区期末）如果一次函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限，请你写出一组满足条件的k ，b 的值：k = ，b = ．【解答】解：Q 一次函数y kx b =+的图象经过第二、三、四象限， 0k ∴<，0b <，则满足题意的一组值为1k =-，2b =-， 故答案为：1-；2-6．（2019•东城区二模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，若直线1y x a =-+与直线24y bx =-相交于点(1,3)P -，则关于x 的不等式4x a bx -+<-的解集是 ．【解答】解：当1x >时，函数y x a =-+的图象都在4y bx =-的图象下方，所以不等式4x a bx -+<-的解集为1x >； 故答案为1x >．7．（2019春•丰台区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2L y mx =-与直线2:L y x n =+相交于点P ，则关于x ，y 的二元一次方程组2mx y x y n -=⎧⎨-=-⎩的解是 ．【解答】解：Q 直线1:2L y mx =-与直线2:L y x n =+相交于点(1,2)P ， ∴关于x 、y 的二元一次方程组2mx y x y n -=⎧⎨-=-⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩．故答案为12x y =⎧⎨=⎩．8．（2019春•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+与x ，y 轴分别交于点A ，B ，若将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，则k 的值为 ． 【解答】解：令0y =，则3x k =-，即3(A k-，0)．令0x =，则3y =，即(0,3)B ．Q 将该直线向右平移5单位，线段AB 扫过区域的边界恰好为菱形，5AB ∴=，则225AB =．223()325k ∴-+=．解得34k =±．故答案是：34±．9．（2019春•北京期末）如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过A ，B 两点． （1）求此一次函数的解析式；（2）结合函数图象，直接写出关于x 的不等式4kx b +<的解集．【解答】解：（1）将点(3,4)A ，(0,2)B -的坐标分别代入y kx b =+中， 得342k b b +=⎧⎨=-⎩，解得22k b =⎧⎨=-⎩，故一次函数的解析式22y x =-；（2）观察图象可知：关于x 的不等式4kx b +<的解集为3x <．10．（2019春•石景山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点(0,4)A 的直线1l 与直线2:1l y x =+相交于点(,2)B m ． （1）求直线1l 的表达式；（2）过动点(,0)P n 且垂直于x 轴的直线与1l ，2l 的交点分别为M ，N ，当点M 位于点N 上方时，请直接写出n 的取值范围是 ．【解答】解：（1）Q 点B 在直线2l 上， 21m ∴=+， 1m ∴=，点(1,2)B设直线1l 的表达式为y kx b =+， 由题意42b k b =⎧⎨+=⎩，解得2k =-，4b =，∴直线1l 的表达式为24y x =-+．（2）由图象可知1n <，故答案为1n <．1．一次函数的概念一般地，形如y kx b =+（k 、b 是常数，0k ≠）的函数，则y 叫做x 的一次函数；特别地，当0b =时，y kx b =+即为y kx =（k 是常数，0k ≠），这时y 叫做x 的 正比例 函数；所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．2．一次函数的图象与性质参数特征0k >0k <0b >0b =0b <0b >0b =0b <图象形状 左下右上左上右下经过象限 一、二、三 一、三一、三、四 一、二、四、 二、四二、三、四变化趋势 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小3．一次函数解析式的确定（1）待定系数法求一次函数解析式：先设出一次函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．（2）用待定系数法求一次函数解析式的一般步骤：一设，二代，三解，四还原． 4．一次函数的图象变换一次函数()0y kx b k =+≠的图象可由正比例函数()0y kx k =≠的图象平移而来． （1）平移：上加下减 常数项、 左加右减 自变量一次函数y kx b =+的图象向上平移m 个单位，平移后解析式为y kx b m =++； 一次函数y kx b =+的图象向下平移m 个单位，平移后解析式为y kx b m =+-； 一次函数y kx b =+的图象向左平移m 个单位，平移后解析式为()y k x m b =++； 一次函数y kx b =+的图象向右平移m 个单位，平移后解析式为()y k x m b =-+．（2）对称：()0y kx b k =+≠关于x 轴对称：()0y kx b k =--≠； ()0y kx b k =+≠关于y 轴对称：()0y kx b k =-+≠； ()0y kx b k =+≠关于原点对称：()0y kx b k =-≠．5．直线()1110y k x b k =+≠与直线()2220y k x b k =+≠的位置关系 （1）两直线平行⇔12k k =且12b b ≠； （2）两直线相交12k k ⇔≠； （3）两直线垂直⇔121k k =-．6．一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式（组）（1）一次函数与一元一次方程：一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的值为0时，相应的自变量的值为方程0kx b +=的根．（2）一次函数与一元一次不等式：一次函数y kx b =+（k ，b 是常数，0k ≠）的值大于（或小于）0，相应的自变量的值为不等式0kx b +>（或0kx b +<）的解集．（3）一次函数与方程组：两直线交点的横纵坐标是两个一次函数解析式11y k x b =+和22y k x b =+所组成的关于x ，y 的方程组的解．考点一 函数图象上点的坐标例1．（2019春•房山区期末）下列各点在函数21y x =-的图象上的是( ) A ．(1,3)B ．(2,4)-C ．(3,5)D ．(1,0)-【解答】解：A 、当1x =时，211y x =-=，∴点(1,3)不在函数21y x =-的图象上；B 、当2x =-时，215y x =-=-，∴点(2,4)-不在函数21y x =-的图象上；C 、当3x =时，215y x =-=，∴点(3,5)在函数21y x =-的图象上；D 、当1x =-时，213y x =-=-，∴点(1,0)-不在函数21y x =-的图象上．故选：C ． 【专项训练】1．（2019春•北京期末）点(2,5)P 在一次函数3(0)y kx k =-≠的图象上，则k 的值为 ． 【解答】解：将点(2,5)P 代入一次函数3y kx =-中， 得523k =-， 4k ∴=；故答案为4．考点二 一次函数增减性及经过象限例2．（2019•门头沟区一模）请写出一个图象经过点(1,1)，且在第一象限内函数值随着自变量的增大而减小的函数解析式： ．【解答】解：由于y 随x 增大而减小，则0k <，取1k =-； 设一次函数的关系式为y x b =-+； 代入(1,1)得：2b =；则一次函数的解析式为：2(y x k =-+为负数即可）． 故答案为：2y x =-+．【专项训练】1、（2019•东城区二模）用一组k ，b 的值说明命题“若0k >，则一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限”是错误的，这组值可以是k = ，b = ．【解答】解：若0k >，则一次函数y kx b =+的图象经过第一、二、三象限，故0b >， 则说明此命题错误时，0b …即可．则这组值可以是2k =，3b =-（答案不唯一）．故答案为：2，3-（答案不唯一）．2．（2019春•石景山区期末）下列函数的图象不经过第三象限，且y 随x 的增大而减小的是（ ） A ．31y x =-+B ．31y x =--C ．31y x =+D ．31y x =-【解答】解：A 、31y x =-+的图象经过第一、二、四象限，且y 随x 的增大而减小，故选项正确；B 、31y x =--的图象经过第二、三、四象限，且y 随x 的增大而减小，故选项错误；C 、31y x =+的图象经过第一、二、三象限，且y 随x 的增大而增大，故选项错误；D 、31y x =-的图象经过第一、三、四象限，且y 随x 的增大而增大，故选项错误；故选：A ．例3．（2019春•延庆区期末）若1(2,)A y ，2(3,)B y 是一次函数31y x =-+的图象上的两个点，则1y 与2y 的大小关系是( ) A ．12y y <B ．12y y =C ．12y y >D ．不能确定【解答】解：Q 一次函数31y x =-+中，30k =-<， y ∴随着x 的增大而减小．1(2,)A y Q ，2(3,)B y 是一次函数31y x =-+的图象上的两个点，23<，12y y ∴>．故选：C ． 【专项训练】1．（2019春•东城区期末）函数(0)y kx k =≠的图象上有两个点11(A x ，1)y ，22(A x ，2)y ，当12x x <时，12y y >，写出一个满足条件的函数解析式 ．【解答】解：11(A x Q ，1)y ，22(A x ，2)y 满足12x x <时，12y y >，∴函数(0)y kx k =≠满足0k <(0y x k ∴=-<即可）； 故答案为：(0y x k =-<即可）．2．（2018春•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的顶点A 、D 的坐标分别为(3,0)-、(0,4)，若直线2y x b =-+与菱形ABCD 有公共点，则b 的取值范围是（ ）A ．64b -剟B ．48b 剟C ．68b -剟D ．614b -剟【解答】解：Q 菱形ABCD 的顶点A 、D 的坐标分别为(3,0)-、(0,4)， 22345CD AD ∴==+=，C ∴的坐标为(5,4)，直线2y x b =-+经过点A 时，60b +=，解得6b =-；直线2y x b =-+经过点B 时，104b -+=，解得14b =．则b 的取值范围是614b -剟．故选：D ．考点三 一次函数的平移例4．（2019春•石景山区期末）直线6y x =-向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为 ．【解答】解：直线6y x =-向上平移2个单位长度，则所得新直线的函数表达式为：62y x =-+． 故答案为：62y x =-+．【专项训练】1．（2019春•北京期末）要得到函数23y x =-+的图象，只需将函数2y x =-的图象( )A ．向上平移3个单位B ．向下平移3个单位C ．向左平移3个单位D ．向右平移3个单位 【解答】解：由题意得x 值不变y 增加3个单位应向上平移3个单位．故选：A ．考点四 一次函数与方程、不等式例5．（2019春•延庆区期末）如图，函数1y ax =和212y x b =-+的图象交于点P ，则根据图象可得，二元一次方程组1212y ax y x b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解是 ．【解答】解：由图可得，函数1y ax =和212y xb =-+的图象交于点(2,3)P ， ∴二元一次方程组1212y ax y x b =⎧⎪⎨=-+⎪⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩， 故答案为：23x y =⎧⎨=⎩． 【专项训练】1．（2019春•大兴区期末）一次函数y ax b =+的图象如图，则不等式0ax b +>的解集为 ．【解答】解：当1x >时，0y >，即0ax b +>．故答案为1x >．2．（2008•绍兴）如图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为 ．【解答】解：由图知：当直线y x b =+的图象在直线3y ax =+的上方时，不等式3x b ax +>+成立； 由于两直线的交点横坐标为：1x =，观察图象可知，当1x >时，3x b ax +>+；故答案为：1x >．考点五 求一次函数解析式例6．（2019春•怀柔区期末）请写出一个一次函数表达式，使此函数满足：①y 随x 的增大而减小；②函数图象过点(1,2)-，你写的函数表达式是 ．【解答】解：y Q 随着x 的增大而减小，∴设直线的解析式是y x b =-+，把(1,2)-代入得：1b =，1y x ∴=-+，故答案为：1y x =-+（答案不唯一）．【专项训练】1．（2019春•东城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，且(4,0)A ，(6,2)B ，则直线AC 的解析式为 ．【解答】解：Q 四边形OABC 是平行四边形，//OA BC ∴，OA BC =，(4,0)A Q ，(6,2)B ，(2,2)C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，∴2240k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：14k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为4y x =-+，故答案为：4y x =-+．2．（2019春•房山区期末）如图，已知函数1y x =+和3y ax =+的图象交于点P ，点P 的横坐标为1，则a 的值是 ．【解答】解：Q 函数1y x =+和3y ax =+的图象交于点P ，点P 的横坐标为1， ∴把1x =代入1y x =+得，2y =， ∴点(1,2)P ，把(1,2)P 代入3y ax =+得23a =+， 1a ∴=-，故答案为：1-．例7．（2019春•昌平区期末）直线y kx b =+与直线34y x =-+平行，且经过点(1,2)，则k = ，b = ．【解答】解：Q 直线y kx b =+与直线34y x =-+平行， 3k ∴=-，Q 直线3y x b =-+过点(1,2)，1(3)2b ∴⨯-+=，5b ∴=．故答案为3-，5．。
中考数学第10 讲 一次函数及其应用
解：(1)令点 P 的坐标为 P(x0，y0)，∵PM⊥y 轴，∴S△OPM＝12 OM·PM
数学
人教版
第10讲 一次函数及其应用
1. (2020·镇江)一次函数y＝kx＋3(k≠0)的函数值y随x的增大而增大，它的 图象不经过的象限是( D ) A. 第一 B. 第二 C. 第三 D. 第四 2. (2020·杭州)在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax＋a(a≠0)的图象过点 P(1，2)，则该函数的图象可能是( A )
9. (2019·苏州)若一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象经过点A(0，
－1)，B(1，1)，则不等式kx＋b＞1的解为(
)D
A．x＜0 B．x＞0 C．x＜1 D．x＞1
10. (2020·济宁)数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，直线y＝ x＋5和直线y＝ax＋b相交于点P，根据图象可知，方程x＋5＝ax＋b的解是 (A) A. x＝20 B. x＝5 C. x＝25 D. x＝15
(2)当 x＝0 时，y＝－x＋3＝3，则 B(0，3)，当 y＝0 时，2x－4＝0， 解得 x＝2，则直线 CD 与 x 轴的交点坐标为(2，0)；易得直线 CD 平移到经过点 B 时的直线解析式为 y＝2x＋3，当 y＝0 时，2x＋3 ＝0，解得 x＝－32 ，则直线 y＝2x＋3 与 x 轴的交点坐标为(－32 ， 0)，∴直线 CD 在平移过程中与 x 轴交点的横坐标的取值范围为－
一次函数
图象经过 ①一、 一、二、⑨一、三、一、二、⑩二、三、 ②二、四 象限 三 三 四 四 四
提示►一次函数(或正比例函数)的图象是一条直线，根据“两 点确定一条直线”，画它们的图象描出两个点即可；画正比例函数图 象一般取(0，0)和(1，k)两点；画一次函数的图象一般先取(0，b)， 再结合一次函数的特征取另一点．如画y＝ x－1的图象取(0，－1) 2 和(2，0)点．
变式运用► 的取值范围是( D ) A．m≥
1 3
y＝(m－3)x－3m＋1不经过第一象限，则m
1 3 1 3
B．m ≤ D.
1 3
C. ≤m<3
≤m≤3
D 由直线y＝(m－3)x－3m＋1不经过第一象限，则经过第二、
四象限或第二、三、四象限或三、四象限，∴有 解得
1 3
≤m ≤3.
类型2
一次函数图象与点的坐标规律
一设
待定系数法求一次函数y＝kx＋b的解析式的步骤
拓展►求一次函数解析式的常 见题型：①利用点的坐标求 函数解析式；②利用图象求 函数解析式；③利用表格信 息确定函数解析式；④根据 实际情况收集信息求函数解 析式；⑤根据一次函数图象 的平移求函数解析式
设出函数关系式的一般形式y＝kx或y＝kx ＋b 根据已知两点的坐标列出关于k，b的①二 二列 元一次方程组 三解 解这个②方程组，求出k，b的值 把求得的k，b的值代入③y＝kx＋b，写出 四写 函数解析式 可归纳为：“一设、二列、三解、四写”
考点4
与一次方程、不等式的关系
已知一次函数图象上的①两个点的坐标，用待定系数法列 与二元一 二元一次方程组确定一次函数的关系式．正比例函数只需 次方程组 确定图象上的②一个点(原点除外)的坐标 与一元一 一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点的横坐标是方 次方程 程③kx＋b＝0(k≠0)的解
2024中考数学专题过关检测专题10 一次函数的核心知识点精讲(讲义)(解析版)
专题10 一次函数的核心知识点精讲1、理解函数的意义，通过认识自变量与因变量之间的因果关系培养函数思想；2、掌握一次函数的定义，会用待定系数法求解析式，理解其图像的性质；3、理解一次函数与方程及不等式的关系，学会利用图像解决相关问题。
【题型1：一次函数的图像和性质】【典例1】（2023•益阳）关于一次函数y＝x+1，下列说法正确的是（ ）A．图象经过第一、三、四象限B．图象与y轴交于点（0，1）C．函数值y随自变量x的增大而减小D．当x＞﹣1时，y＜0【答案】B【解答】解：∵一次函数y＝x+1中，k＞0，b＞0，∴图象经过第一、二、三象限，故A不正确；当x＝0时，y＝1，∴图象与y轴交于点（0，1），故B正确；∵一次函数y＝x+1中，k＞0，∴函数值y随自变量x的增大而增大，故C不正确；∵当x＝﹣1时，y＝0，函数值y随自变量x的增大而增大，∴当x＞﹣1时，y＞0，故D不正确；故选：B．1．（2023•长沙）下列一次函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ）A．y＝2x+1B．y＝x﹣4C．y＝2x D．y＝﹣x+1【答案】D【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故A不符合题意；在一次函数y＝x﹣4中，∵1＞0，故B不符合题意；在一次函数y＝2x中，∵2＞0，∴y随着x增大而增大，故C不符合题意；在一次函数y＝﹣x+1中，∵﹣1＜0，∴y随着x增大而减小，故D符合题意，故选：D．2．（2023•临沂）对于某个一次函数y＝kx+b（k≠0），根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ）A．k＞0B．kb＜0C．k+b＞0D．k＝﹣b【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象不经过第二象限，∴b≤0，又∵函数图象经过点（2，0），∴图象经过第一、三、四象限，∴k＞0，k＝﹣b，∴kb＜0，∴k+b＝b＜0，∴错误的是k+b＞0．故选：C．3．（2022•兰州）若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【答案】A【解答】解：∵一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，∵点（﹣3，y1）和（4，y2）是一次函数y＝2x+1图象上的两个点，﹣3＜4，∴y1＜y2．故选：A．【题型2：确定一次函数的解析式】【典例2】（2022•陕西）在测浮力的实验中，将一长方体石块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F拉力（N）与石块下降的高度x（cm）之间的关系如图所示．（1）求AB所在直线的函数表达式；（2）当石块下降的高度为8cm时，求此刻该石块所受浮力的大小．（温馨提示：当石块位于水面上方时，F拉力＝G重力；当石块入水后，F拉力＝G重力﹣F浮力．）【答案】（1）F拉力＝﹣x+；（2）当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．【解答】解：（1）设AB所在直线的函数表达式为F拉力＝kx+b，将（6，4），（10，2.5）代入得：，解得，∴AB所在直线的函数表达式为F拉力＝﹣x+；（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，∵4﹣＝（N），∴当石块下降的高度为8cm时，该石块所受浮力为N．1．（2023•鄂州）象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点（﹣2，﹣1）的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ）A．y＝x+1B．y＝x﹣1C．y＝2x+1D．y＝2x﹣1【答案】A【解答】解：∵“帅”位于点（﹣2，﹣1）可得出“马”（1，2），设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝x+1，故选：A．2．（2021•乐山）如图，已知直线l1：y＝﹣2x+4与坐标轴分别交于A、B两点，那么过原点O且将△AOB 的面积平分的直线l2的解析式为（ ）A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x【答案】D【解答】解：如图，当y＝0，﹣2x+4＝0，解得x＝2，则A（2，0）；当x＝0，y＝4，则B（0，4），∴AB的中点坐标为（1，2），∵直线l2把△AOB面积平分∴直线l2过AB的中点，设直线l2的解析式为y＝kx，把（1，2）代入得2＝k，解得k＝2，∴l2的解析式为y＝2x，故选：D．3．（2021•呼和浩特）在平面直角坐标系中，点A（3，0），B（0，4）．以AB为一边在第一象限作正方形ABCD，则对角线BD所在直线的解析式为（ ）A．y＝﹣x+4B．y＝﹣x+4C．y＝﹣x+4D．y＝4【答案】A【解答】解：过D点作DH⊥x轴于H，如图，∵点A（3，0），B（0，4）．∴OA＝3，OB＝4，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵∠OBA+∠OAB＝90°，∠OAB+∠DAH＝90°，∴∠ABO＝∠DAH，在△ABO和△DAH中，，∴△ABO≌△DAH（AAS），∴AH＝OB＝4，DH＝OA＝3，∴D（7，3），设直线BD的解析式为y＝kx+b，把D（7，3），B（0，4）代入得，解得，∴直线BD的解析式为y＝﹣x+4．故选：A．【题型3：一次函数与方程不等式的关系】【典例3】（2023•丹东）如图，直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），则不等式ax+b＞0的解集是（ ）A．x＞4B．x＜4C．x＞3D．x＜3【答案】B【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，∴不等式ax+b＞0的解集为x＜4．故选：B．【典例4】（2022•鄂州）数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与直线y＝x都经过点A（3，1），当kx+b＜x时，根据图象可知，x的取值范围是（ ）【答案】A【解答】解：由图象可得，当x＞3时，直线y＝x在一次函数y＝kx+b的上方，∴当kx+b＜x时，x的取值范围是x＞3，故选：A．【典例5】（2022•梧州）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+b与直线y＝﹣3x+6相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：由图象可得直线的交点坐标是（1，3），∴方程组的解为．故选：B．1．（2022•南通）根据图象，可得关于x的不等式kx＞﹣x+3的解集是（ ）【答案】D【解答】解：根据图象可知：两函数图象的交点为（1，2），所以关于x的一元一次不等式kx＞﹣x+3的解集为x＞1，故选：D．2．（2021•贺州）直线y＝ax+b（a≠0）过点A（0，1），B（2，0），则关于x的方程ax+b＝0的解为（ ）A．x＝0B．x＝1C．x＝2D．x＝3【答案】C【解答】解：方程ax+b＝0的解，即为函数y＝ax+b图象与x轴交点的横坐标，∵直线y＝ax+b过B（2，0），∴方程ax+b＝0的解是x＝2，故选：C．3．（2022•扬州）如图，函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点P，则关于x的不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1 ．【答案】x＜﹣1．【解答】解：由图象可得，当x＝﹣1时，y＝3，该函数y随x的增大而减小，∴不等式kx+b＞3的解集为x＜﹣1，故答案为：x＜﹣1．4．（2022•西宁）如图，直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2）．当y1＜y2时，x的取值范围是x ＜1 ．【答案】x＜1．【解答】解：∵直线y1＝k1x与直线y2＝k2x+b交于点A（1，2），∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜1，故答案为：x＜1．【题型4：应用一次函数解决最有方案问题】【典例6】（2023•成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．（1）求A，B两种食材的单价；（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．【解答】（1）设A种食材的单价为x元/千克，B种食材的单价为y元/千克，由题意得：，解得：，∴A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；（2）设A种食材购买m千克，B种食材购买（36﹣m）千克，总费用为w元，由题意得：w＝38m+30（36﹣m）＝8m+1080，∵m≥2（36﹣m），∴24≤m＜36，∵k＝8＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝24时，w有最小值为：8×24+1080＝1272（元），∴A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元．1．（2023•呼和浩特）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量/（人/辆）4530租金/（元/辆）400280（1）参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？（2）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车6辆；（3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？【答案】（1）老师有6名，学生有234名；（2）6；（3）学校共有两套租车方案，最少费用为2160元．【解答】解：（1）设老师有x名，学生有y名，根据题意，列方程组为：，解得，答：老师有6名，学生有234名．（2）∵每辆车上至少有1名老师，∴汽车总数不能大于6辆，∵要保证240名师生有车坐，汽车总数不能少于（取整数6）辆，综合可知汽车总数为6辆．故答案为：6．（3）设租用甲客车x辆，则租车费用y（元）是x的函数，即：y＝400x+280（6﹣x），整理得：y＝120x+1680，∵学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，∴120x+1680≤2300，∴x≤，即x≤5．要保证240人有车坐，x不能小于4，所以有两种租车方案：方案一：租4辆甲种客车，2辆乙种客车；方案二：租5辆甲种客车，1辆乙种客车；∵y随x的增大而增大，∴当x＝4时，y最小，y＝120×4+1680＝2160．答：学校共有两套租车方案，最少费用为2160元，2．（2023•湘西州）2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，特别是在受到疫情冲击后的经济恢复期，“地摊经济”更是成为许多创业者的首选，甲经营了某种品牌小电器生意，采购2台A种品牌小电器和3台B种品牌小电器，共需要90元；采购3台A 种品牌小电器和1台B种品牌小电器，共需要65元．销售一台A种品牌小电器获利3元，销售一台B 种品牌小电器获利4元．（1）求购买1台A种品牌小电器和1台B种品牌小电器各需要多少元？（2）甲用不小于2750元，但不超过2850元的资金一次性购进A、B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围．（3）在（2）的条件下，所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些？并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元；（2）30≤a≤50；（3）A型30台，B型120台，最大利润是570元．【解答】解：（1）设A、B型品牌小电器每台的进价分别为x元、y元，根据题意得：，解得：，答：A、B型品牌小电器每台进价分别为15元、20元．（2）设购进A型品牌小电器a台，由题意得：，解得30≤a≤50，答：购进A种品牌小电器数量的取值范围30≤a≤50．（3）设获利为w元，由题意得：w＝3a+4（150﹣a）＝﹣a+600，∵所购进的A、B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，∴﹣a+600≥565，解得：a≤35，∴30≤a≤35，∵w随a的增大而减小，∴当a＝30台时获利最大，w最大＝﹣30+600＝570元，答：A型30台，B型120台，最大利润是570元．3.（2023•遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．①求W与m的函数关系式，并求出m的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；（2）①W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；≤m＜200（m为正整数）；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．【解答】解：（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据题意得：＝，解得x＝10，经检验，x＝10是原方程的根，此时x+2＝12，答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，根据题意得：W＝（12﹣10）m+（15﹣12）（200﹣m）＝2m+600﹣3m＝﹣m+600，∴W与m的函数关系式为W＝﹣m+600；甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，∴m≥2（200﹣m），解得m≥，∴≤m＜200（m为正整数）；②由①知，W＝﹣m+600，﹣1＜0，m为正整数，∴当m＝134时，W有最大值，最大值为466，此时200﹣134＝66，∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．4．（2023•达州）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？【答案】（1）每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；（2）该特产店有三种进货方案：购进豆笋120件，购进豆干80件；购进豆笋121件，购进豆干79件；购进豆笋122件，购进豆干78件；（3）购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．【解答】解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，由题意得：，解得：，∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，由题意可得：，解得：120≤a≤122，且a为整数，∴该特产店有以下三种进货方案：当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，（3）设总利润为w元，则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，∵5＞0，∴w随a的增大而增大，∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．1．（2023•吴兴区一模）一次函数y＝2x+1的图象不经过（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解答】解：在一次函数y＝2x+1中，k＝2＞0，b＝1＞0，∴一次函数y＝2x+1的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故选：D．2．（2023•东莞市校级一模）已知点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1，y2的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＝y2C．y1＞y2D．不能确定【答案】A【解答】解：∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，又∵点（﹣1，y1），（3，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣1＜3，∴y1＜y2．故选：A．3．（2023•皇姑区三模）一次函数y＝﹣x+4的图象经过（ ）A．第一二三象限B．第二三象限C．第一二四象限D．第二三四象限【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+4，k＝﹣1＜0，b＝4＞0，∴该函数图象经过第一、二、四象限，故选：C．4．（2023•花溪区模拟）若一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则k、b的取值范围是（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【答案】B【解答】解：观察图象可得，一次函数y＝kx+b的图象过一、三、四象限；故k＞0，b＜0；故选：B．5．（2023•东莞市校级二模）已知点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，则k等于（ ）A．2B．3C．﹣2D．﹣3【答案】C【解答】解：∵点（﹣3，2）在一次函数y＝kx﹣4的图象上，∴2＝﹣3k﹣4，解得：k＝﹣2．故选：C．6．（2023•蕉城区校级二模）直线y＝nx+2n的图象如图所示，则关于x的不等式nx+2n＞0的解集为（ ）A．x＞﹣1B．x＞﹣2C．x＜﹣2D．x＜﹣1【答案】B【解答】解：当y＝0时，x＝﹣2．∴函数图象与x轴交于点（﹣2，0），一次函数y＝nx+2n，当y＞0时，图象在x轴上方，∴不等式nx+2n＞0的解集为x＞﹣2，故选：B．7．（2023•宝鸡一模）如果直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），则解为的方程组是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵直线y＝3x+6与y＝2x﹣4交点坐标为（a，b），∴解为的方程组是，即，8．（2023•贵阳模拟）已知函数y＝（2m﹣1）x是正比例函数，且y随x的增大而增大，那么m的取值范围是（ ）A．m＞B．m＜C．m＞0D．m＜0【答案】A【解答】解：根据正比例函数图象的性质，知：当y随自变量x的增大而增大，即2m﹣1＞0，m＞．故选：A．9．（2023•黔东南州二模）在同一平面直角坐标系中，直线y＝x+1与y＝﹣x+m相交于点P（1，n），则关于x的方程组的解为（ ）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：∵直线y＝x+1与直线y＝﹣x+m交于点P（1，n），∴n＝1+1＝2，∴P（1，2），∴关于x，y的方程组的解；故选：B．10．（2023•霍林郭勒市校级三模）已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）A．y＝﹣x﹣2B．y＝﹣x﹣6C．y＝﹣x+10D．y＝﹣x﹣1【答案】C【解答】解：设一次函数的解析式为y＝kx+b．由题意可得出方程组，解得：，那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10．故选：C．11．（2023•晋州市模拟）一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（ ）A．（2，0）B．（0，4）C．（4，0）D．【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4，∴一次函数y＝﹣2x+4的图象与y轴交点的坐标是（0，4）．故选：B．12．（2023•沈河区校级模拟）对于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（ ）A．y值随x值的增大而增大B．它的图象与x轴交点坐标为（0，1）C．它的图象必经过点（﹣1，3）D．它的图象经过第一、二、三象限【答案】C【解答】解：A、∵k＝﹣2＜0，∴y值随x值的增大而减小，结论A不符合题意；B、当y＝0时，﹣2x+1＝0，解得：x＝，∴函数y＝﹣2x+1的图象与x轴交点坐标为（，0），结论B不符合题意；C、当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，∴函数y＝﹣2x+1的图象必经过点（﹣1，3），结论C符合题意；D、∵k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴函数y＝﹣2x+1的图象经过第一、二、四象限，结论D不符合题意．故选：C．13．（2023•武侯区校级三模）A（﹣1，y1），B（3，y2）是直线y＝﹣2x+b上的两点，则y1 ＞ y2（填＞或＜）【答案】见试题解答内容【解答】解：在一次函数y＝﹣2x+b中，∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，∵﹣1＜3，∴y1＞y2，故答案为：＞．14．（2023•柳州三模）若一次函数y＝x+b的图象过点A（1，﹣1），则b＝ ﹣2 ．【答案】见试题解答内容【解答】解：把点A（1，﹣1）代入一次函数y＝x+b得：1+b＝﹣1，解得b＝﹣2．15．（2023•播州区三模）在平面直角坐标系中，已知一次函数y1＝3x﹣5与y2＝2x﹣4．（1）求这两个函数图象的交点坐标；（2）求一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积．【答案】（1）（1，﹣2），（2）4．【解答】解：（1）由题意可得：一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4相交于一点，∴3x﹣5＝2x﹣4，解得：x＝1，当x＝1时，y1＝y2＝﹣2，∴一次函数y1＝3x﹣5与一次函数y2＝2x﹣4的交点坐标为：（1，﹣2）．（2）当x＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与y轴有交点，∴y＝﹣4，∴A（0，﹣4），当y＝0时，一次函数y2＝2x﹣4与x轴有交点，∴0＝2x﹣4，解得：x＝2，∴B（2，0），∴如图可知S＝，△AOB∴一次函数y2＝2x﹣4的图象与坐标轴所围成三角形的面积为4．16．（2022•岷县模拟）一次函数y＝kx+b的图象经过A（1，6），B（﹣3，﹣2）两点．（1）此一次函数的解析式；（2）求△AOB的面积．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）把A（1，6），B（﹣3，﹣2）代入y＝kx+b得到，解得，所以直线AB的解析式为y＝2x+4；（2）直线AB与y轴的交点坐标为（0，4），所以△AOB的面积＝×4×3+×4×1＝8．17．（2023•长沙县二模）小美打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花，在“母亲节”祝福妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．设买这束鲜花所需费用为w元，康乃馨有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【答案】（1）买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．【解答】解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，则根据题意得：，解得：，答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；（2）根据题意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥2，解得：x≤9，∵﹣1＜0，∴w随x的增大而减小，∴当x＝9时，w最小，即买9支康乃馨，买11﹣9＝2支百合费用最少，w min＝﹣9+55＝46（元），答：w与x之间的函数关系式：w＝﹣x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．18．（2021•普陀区模拟）某市出租车计费方法如图所示，x（km）表示行驶里程，y（元）表示车费，请根据图象回答下列问题：出租车的起步价是多少元？当x＞3时，求y关于x的函数关系式；若某乘客有一次乘出租车的车费为32元，求这位乘客乘车的里程．【答案】出租车的起步价是8元；y与x的函数关系式为：y＝2x+2；这位乘客乘车的里程是11km．【解答】解：由图象得：出租车的起步价是8元；设当x＞3时，y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），由函数图象，得，解得：，故y与x的函数关系式为：y＝2x+2；∵32元＞8元，∴当y＝32时，32＝2x+2，解得x＝15，答：这位乘客乘车的里程是15km．1．（2023•丹阳市二模）一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，它的图象不经过的象限是（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0，b＞0，∴该函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．2．（2023•河北模拟）已知点（﹣2，y1），（3，y2）都在直线y＝﹣x﹣5上，则y1，y2的值的大小关系是（ ）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．不能确定【答案】B【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝﹣1×（﹣2）﹣5＝﹣3，当x＝3时，y2＝﹣1×3﹣5＝﹣8．∵﹣3＞﹣8，∴y1＞y2．故选：B．3．（2023•榆阳区一模）一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）与一次函数y＝2x+1关于y轴对称，则一次函数y＝kx+b的表达式为（ ）A．B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣1D．【答案】B【解答】解：一次函数y＝2x+1，则与该一次函数的图象关于y轴对称的一次函数的表达式为：y＝2（﹣x）+1，即y＝﹣2x+1．故选：B．4．（2023•龙岩模拟）若k＜2，则函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象可能是（ ）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵k＜2，∴k﹣2＜0，2﹣k＞0，∴一次函数y＝（k﹣2）x+2﹣k的图象经过第一、二、四象限，故选：D．5．（2023•沭阳县模拟）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）间的关系如图所示，下列说法错误的是（ ）A．乙比甲提前出发1hB．甲行驶的速度为40km/hC．3h时，甲、乙两人相距80kmD．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km【答案】C【解答】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，故A正确；甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），故B正确；乙的速度是＝km/h，3h甲车行走的路程为40×（3﹣1）＝80（km），3h乙车行走的路程为×3＝40（km），∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km），故C错误；0.75h乙车走了0.75×＝10（km），甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶10km，1.125h乙走了1.125×＝15km，此时甲行走的路程为（1.125﹣1）×40＝5（km），乙车比甲车多走了15﹣5＝10（km），故D正确．故选：C．6．（2023•秦都区二模）一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（ ）A．﹣10B．﹣7C．7D．11【答案】B【解答】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），∴5＝﹣k+3，解得：k＝﹣2，∴y＝﹣2x+3，∵k＝﹣2，∴y随x的增大而减小，∵﹣2≤x≤5，∴当x＝5时，y的最小值为﹣2×5+3＝﹣7．故选：B．7．（2023•绍兴模拟）某商店以每件13元的价格购进某商品100件，售出部分商品后进行了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，则售完这100件商品可盈利（ ）元．A．200B．250C．400D．500【答案】B【解答】解：当x≥40时，设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0，k，b为常数），代入点（40，800）和点（80，1300），得，解得，∴y＝x+300（x≥40），当x＝100时，y＝＝1550，1550﹣13×100＝250（元），∴售完这100件商品可盈利250元，故选：B．8．（2023•合肥三模）直线l1：y＝kx+b和l2：y＝bx﹣k在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解答】解：∵直线l 1：经过第一、三象限，∴k ＞0，∴﹣k ＜0．又∵该直线与y 轴交于正半轴，∴b ＞0．∴直线l 2经过第一、三、四象限．故选：A ．二．解答题（共5小题）9．（2023•新县校级三模）“五一”劳动节到了，为在学生中弘扬劳动精神，让学生在做中学、学中做、家校合力共推劳动教育．五一假期老师布置了与父母互换身份，做一天父母的工作，体会劳动并感受父母的艰辛，理解、感恩父母，小李和妈妈互换身份，帮妈妈卖干果，他上午卖出4kg 甲种类和3kg 乙种类干果获得利润为85元，下午卖出7kg 甲种类和5kg 乙种类干果获得利润为145元．（1）求每千克甲种类干果和乙种类干果的销售利润各是多少；（2）小李的妈妈想一次购进两种干果共100kg 用于销售，其中乙种类干果的进货量不超过甲种类干果的进货量的，请你帮小李妈妈设计一种进货方案使销售总利润最大，并求出总利润的最大值．【答案】（1）每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元；（2）购进甲种类干果60kg ，乙种类干果40kg 时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．【解答】解：（1）设每千克甲种类干果的销售利润为x 元，每千克乙种类干果的销售利润为y 元，根据题意得：解得答：每千克甲种类干果的销售利润为10元，每千克乙种类干果的销售利润为15元．（2）设购进甲种类干果akg，则购进乙种类干果（100﹣a）kg，获得总利润为w元，w＝10a+15（100﹣a）＝﹣5a+1500，∵﹣5＜0，∴w的值随着a值的增大而减小，∵，∴a≥60，∴a＝60时，w＝﹣5×60+1500＝1200，100﹣a＝100﹣60＝40．答：购进甲种类干果60kg，乙种类干果40kg时，销售总利润最大，总利润的最大值为1200元．10．（2023•阿瓦提县模拟）某公司开发出一款新的节能产品，该产品的成本价为6元/件，该产品在正式投放市场前通过代销点进行了为期一个月（30天）的试营销，售价为8元/件，工作人员对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象．图中的折线ODE表示日销售量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，已知线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销售量减少5件．（1）第26天的日销售量是 320 件，日销售利润是 640 元．（2）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）日销售利润不低于600元的天数共有多少天？试销售期间，日销售最大利润是多少元？【答案】（1）320；640；（2）y＝；（3）日销售利润不低于600元的天数共有16天，日销售最大利润是720元．【解答】解：（1）340﹣（26﹣22）×5＝320（件），320×（8﹣6）＝640（元）．故答案为：320；640；（2）设线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝kx，将（17，340）代入y＝kx中，340＝17k，解得：k＝20，∴线段OD所表示的y与x之间的函数关系式为y＝20x．根据题意得：线段DE所表示的y与x之间的函数关系式为y＝340﹣5（x﹣22）＝﹣5x+450．联立两线段所表示的函数关系式成方程组，得，解得：，∴交点D的坐标为（18，360），∴y与x之间的函数关系式为y＝；（3）当0≤x≤18时，根据题意得：（8﹣6）×20x≥600，解得：x≥15；当18＜x≤30时，根据题意得：（8﹣6）×（﹣5x+450）≥600，解得：x≤30．∴15≤x≤30．30﹣15+1＝16（天），∴日销售利润不低于600元的天数共有16天．∵点D的坐标为（18，360），∴日最大销售量为360件，360×2＝720（元），∴试销售期间，日销售最大利润是720元．11．（2023•沭阳县模拟）如图，直线AB：y＝x+与坐标轴交于A、B两点，点C与点A关于y轴对称．CD⊥x轴与直线AB交于点D．（1）求点A和点B的坐标；（2）点P在直线CD上运动，且始终在直线AB下方，当△ABP的面积为时，求出点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q为直线CD上一动点，直接写出所有使△APQ是以AP为腰的等腰三角形的点Q的坐标．【答案】（1）点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）点P的坐标为（2，﹣）；（3）点Q的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．【解答】解：（1）对于y＝x+，令x＝0，则y＝，令y＝0，解得x＝﹣2，故点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，）；（2）设直线AP交y轴于点H，设直线AP的表达式为：y＝k（x+2），当x＝0时，y＝2k，当x＝2时，y＝4k，即点H、P的坐标分别为（0，2k），（2，4k），+S△HBA＝×AC×BH＝×（﹣2k）＝，则△ABP的面积＝S△HBP解得：k＝﹣，∴点P的坐标为（2，﹣）；（3）由（2）知，点P的坐标为（2，﹣），点A（﹣2，0），设点Q（2，t），由勾股定理得：AP2＝（2+2）2+（）2＝16+，同理可得：PQ2＝（t+）2，AQ2＝16+t2，当AP＝PQ时，即16+＝（t+）2，解得t＝或，故点Q的坐标为（2，）或（2，）；当AP＝AQ时，即16+＝16+t2，解得t＝（负值已舍去），故点Q的坐标为（2，）；综上，点Q 的坐标为：（2，）或（2，）或（2，）．12．（2023•乾安县一模）杆秤是我国传统的计重工具，如图，秤钩上所挂的不同重量的物体使得秤砣到秤纽的水平距离不同．称重时，秤钩所挂物重为x （斤）时，秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为y （厘米）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据，且y 是x 的一次函数．x （斤）0.751.001.502.253.25y （厘米）﹣2124711注：秤杆上秤砣在秤纽左侧时，水平距离y （厘米）为正，在右侧时为负．（1）根据题意，完成上表；（2）请求出y 与x 的关系式；（3）当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）由表格中的数据可得，每增加1厘米，重物增加0.25斤，故当y ＝4时，x ＝1.00+（4﹣2）×0.25＝1.50，当x ＝3.25时，y ＝7+（3.25﹣2.25）÷0.25＝11，故答案为：1.50，11；（2）设y 与x 的关系式为y ＝kx +b ，∵点（0，﹣2），（0.75，1）在该函数图象上，∴，解得，即y 与x 的关系式为y ＝4x ﹣2；（3）当y ＝15时，15＝4x ﹣2，解得x ＝4.25，即当秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为15厘米时，秤钩所挂物重是4.25斤．13．（2023•甘南县一模）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关。
(数学·云南·人教版)第10讲 一次函数
图 10－7第10讲┃ 一次函数
解：(1)∵直线 y＝－43x＋3 与 x 轴的交点坐标为(4，0)， 与 y 轴的交点坐标为(0，3)，
∴函数 y＝－34x＋3 的坐标三角形的三条边长分别为 3， 4，5.
y＝kx b＝0
图象 形状：一条直线
k<0
b>0 y＝kx＋b
b<0
经过点
(0，0)，
(1，_k_)
b 确定 直线与
(0，_b_)， y 轴的
－(_bk_，0)
交点位 置
性质
y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小 k 确定直线的变化趋势
第10讲┃ 一次函数
2. 平移规律：一次函数 y＝kx＋b 的图象可由正比例函 数 y＝kx 的图象平移得到，若 b>0，则向上平移 b 个单位； 若 b<0，则向下平移b个单位．
－bk，0，与 y 轴的交点坐标为(0，b)，与坐标轴围成的 三角形的面积为21·－bk·b＝12b2·1k.
第10讲┃ 一次函数
变式题 在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴 围成的三角形叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图 10－7 中的一次函数的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 A，B，则△OAB 为此函数的坐标三角形．
3．一次函数与方程组之间的关系：两直线的交点是两个 一次函数解析组 y＝k1x＋b1， __y_＝__k_2_x_＋__b_2 _的解．
第10讲┃ 一次函数
考点4 一次函数的应用
1．甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程 s(米)与赛跑时 间 t(秒)的关系如图 10－3 所示，则下列说法正确的是( B )
精讲本第10讲 一次函数的图象及性质
D．当x＞－
b k
时，y＞0
7．直线y＝kx＋b是由直线y＝－2x平移得到的，且经过
点P(2，0)，则k＋b的值为__2__．
考考点点精精讲讲
对应训练
一次函数解析式的确定 1．方法：待定系数法 2．步骤：设一次函数关系式y＝kx＋b⇨找出图象上的 两个点，将坐标代入关系式得到二元一次方程组⇨解方 程组得到k，b的值⇨k，b的值代入关系式
A．x＝－3 B．x＝4
C．x＝－43
D．x＝34
考点精讲
对对应应训训练练
10．(2019·贵阳)在平面直角坐标系内，一次函数 y
＝k1x＋b1 与 y＝k2x＋b2 的图象如图所示，则关于 x，
y 的方程组yy－ －kk12xx＝ ＝bb12， 的解是
x＝2，
y＝1 .
精讲释疑
一次函数与方程(组)、一次不等式
例 2.已知直线 l1：y＝－3x＋b 与直线 l2：y＝－kx＋1 在同一坐标系中的图象交于点(1，－2)，那么方程组
3x＋y＝b， kx＋y＝1
的解是(
A
)
A．xy＝＝－1 2
B．xy＝＝21
C．xy＝＝－－21
D．xy＝＝2－1
考点精讲
对对应应训训练练
1．(2019·梧州)下列函数中，正比例函数是( A )
A．y＝－8x C．y＝8x2
B．y＝ 8 x
D．y＝8x－4
2．函数y＝5x的图象经过的象限是 一、三 ．
3．P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是正比例函数y＝－x图象上的 两点，则下列判断正确的是( C )
A.y1＞y2 C．当x1＜x2时，y1＞y2
∴∠BAH＝30°，∵△ABC 为等边三角形，
第10讲一次函数的图像和性质
2．求图象经过点(2，－1)，且与直线 y＝2x＋1 平行的一次函 数的表达式．
[解析] 图象与y＝2x＋1平行的函数的解析式的一次项系数为2， 则可设此表达式为y＝2x＋b，再将点(2，－1)代入，求出b即可．
解：由题意可设所求函数表达式为y＝2x＋b， ∵图象经过点(2，－1)， ∴－1＝2×2＋b. ∴b＝－5， ∴所求一次函数的表达式为y＝2x－5.
3.若直线 y＝－2x－4 与 y＝4x＋b 的交点在第三象限，则 b 的取
值范围是( A )
A．－4＜b＜8
B．－4＜b＜0
C．b＜－4 或 b＞8
D．－4≤b≤8
4.已知一次函数的图象过点(3，5)与(－4，－9)，则该函数的图象
与 y 轴交点的坐标为___(0_，__－__1．)
5.已知一次函数 y＝2x－6 与 y＝－x＋3 的图象交于点 P，则点 P
性 质
与方程和不 等式的关系
知识点过关---相关概念
1.对于函数y＝(m－4)x＋(m2－16)，当m＝__－__4____时， 它是正比例函数；当m_≠__4_____时，它是一次函数．
2．定义[p，q]为一次函数y＝px＋q的特征数．若特征数 是[2，k－2]的一次函数为正比例函数，则k的值是_____2___．
4.下列图象中不可能是一次函数 y＝mx－(m－3)的图象的是( C )
5.若直线 y＝mx－2m－3 经过第二、三、四象限，则 m 的取值范围
是( B )
A．m<32
B．－32<m<0 C．m>32
D．m>0
知识点过关---待定系数法
1.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过(1，3)和(3，1)两点，且 与 x 轴，y 轴分别交于 A，B 两点．
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2.(2019 临沂)下列关于一次函数 y=kx+b(k<0,b>0)的说法,错误的是( D ) (A)图象经过第一、二、四象限 (B)y 随 x 的增大而减小 (C)图象与 y 轴交于点(0,b)
性质
y 随 x 的 增 大 而 y随x的增大而 y随x的增大而 y随x的增大而
增大 .
增大 .
减小 .
减小 .
3.一次函数图象的平移 一次函数y=kx+b的图象可以看作是由直线y=kx向上(下)平移 |b| 个单 位长度而得到的.当b>0时,将直线y=kx向上平移|b|个单位长度;当b<0时,将 直线y=kx向下平移|b|个单位长度.
x＞0, x＜
3,
∴无解;
kx＜x 0,b＞0，即
x＜0, x＞
3,
∴解集为-3<x<0,
∴不等式 x(kx+b)<0 的解集为-3<x<0.
6.(2018上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路 程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示.
(1)求y关于x的函数解析式;
解:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为 35 千瓦时时汽车已行驶了 150 千米. ∴当 0≤x≤150 时,1 千瓦时的电量汽车能行驶的路程为 150 =6 千米.
60 35
(2)当150≤x≤200时,求y关于x的函数解析式,并计算当汽车已行驶180千 米时,蓄电池的剩余电量.
思路点拨:(2)运用待定系数法求出y关于x的函数解析式,再把x=180代入即 可求出当汽车已行驶180千米时,蓄电池的剩余电量.
个条件(如点
一次函数与方程、不等式(组)的关系
1.一次函数与方程的关系 (1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标即为方程 kx+b=0 的解.
(2)一次函数y=kx+b与y=k1x+b1的交点坐标(x,y)即为二元一次方程组
y kx b
y
k1x
b1
的解.
2.一次函数与不等式的关系 (1)一次函数y=kx+b当y>0时,自变量x的取值范围即为不等式 kx+b>0 的
一次函数的应用
[例3] (2019绍兴)如图是某型号新能源纯电动汽车充满电后,蓄电池剩余 电量y(千瓦时)关于已行驶路程x(千米)的函数图象.
(1)根据图象,求出蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶的路程.当 0≤x≤150时,求1千瓦时的电量汽车能行驶的路程; 思路点拨:(1)由图象可知,蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150 千米,据此即可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程;
(D)当 x>- k 时,y>0 b
解析:∵y=kx+b(k<0,b>0),∴图象经过第一、二、四象限,故 A 选项正确; ∵k<0,∴y 随 x 的增大而减小,故 B 选项正确;令 x=0 时,y=b,∴图象与 y
轴的交点为(0,b),故选项 C 正确;令 y=0 时,x=- b ,当 x>- b 时,y<0,故 D
2
2
∵A,B,C 在同一直线上,∴把 xC=2 代入 y=2x-2,得 yC=2×2-2=2,
∴点 C 的坐标是(2,2). …………………………………… 8 分
注意:①设解析式后要列出方程组,不列方程组扣分.
②求出 k,b 的值后要写出解析式,否则扣分.
确定一次函数的解析式一般有两种方法 (1)用待定系数法求解析式; (2)根据实际问题中的关系,直接列出解析式.
k
k
选项错误;故选 D.
3.(2018枣庄)如图,直线l是一次函数y=kx+b的图象,若点A(3,m)在直线l上,则 m的值是( C )
(A)-5
(B) 3 2
(C) 5 2
(D)7
解析:将(-2,0),(0,1)代入 y=kx+b,
得
2k b 1,
b
0,
解得
k b
1 2 1,
,
∴y= 1 x+1, 2
解:(2)设当 150≤x≤200 时,y 关于 x 的函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 把点(150,35),(200,10)分别代入,得
150k 200k
b b
35, 10,
解得
k b
0.5, 110,
∴当 150≤x≤200 时,y 关于 x 的函数解析式为 y=-0.5x+110,
一次函数解析式的确定及应用(常考点)
1.用待定系数法确定一次函数的解析式,主要步骤有 “设”“列”“解”“写”四步,对于正比例函数只要 一 的坐标或一组x,y的值),对于一次函数需要 两 个条件. 2.一次函数的应用主要有: (1)已知自变量的值求函数值; (2)已知函数值求自变量的值; (3)利用图象分析实际问题,做出决策; (4)利用增减性确定最值.
一次函数与方程、不等式(组)的关系
[例 4]如图,一次函数 y=-x-2 与 y=2x+m 的图象相交于点 P(n,-4),则关于 x 的不
等式组
2x x
m＜ 2＜0
x
2,
的解集为
-2<x<2
.
思路点拨:先将点P(n,-4)代入y=-x-2求出点P的坐标,再求出y=-x-2与x轴 的交点坐标,最后观察y=2x+m的图象在y=-x-2的图象下方时对应的自变量 取值范围和y=-x-2的图象在x轴下方时对应的自变量取值范围,即得不等 式组的解集.
将点 A(3,m)代入,得 3 +1=m,即 m= 5 .
2
2
故选 C.
4.(2019潍坊)当直线y=(2-2k)x+k-3经过第二、三、四象限时,则k的取值
范围是 1<k<3
.
解析:y=(2-2k)x+k-3
经过第二、三、四象限,∴
2 k
2k＜0① 3＜0②
由①得,
k>1,由②得,k<3,∴k 的取值范围是 1<k<3.
思路点拨:(1)设出解析式,将点A,B坐标代入求解. 规范解答:
解:(1)设直线 AB 的解析式为 y=kx+b(k≠0), ∵直线 AB 过点 A(1,0),点 B(0,-2),
∴
k b
b 2,
0,
①
解得
k b
2, 2,
∴ 直线AB的解析式为y=2x 2. ……………………………………4 分
解集.
(2)一次函数y=kx+b与y1=k1x+b1当y>y1时,自变量x的取值范围即为不等式
kx+b>k1x+b1
的解集.
一次函数的图象和性质(常考点)
[例1] (2019杭州)已知一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠b),函数y1和y2的图 象可能是( A )
思路点拨:根据两条直线在坐标系中的位置分别判断出a,b的符号,再由a,b 的符号判断可能的图象. 解析:令l1为一次函数y1=ax+b的图象,l2为一次函数y2=bx+a的图象,则根据 A选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a>0,b>0和b>0,a>0;故A正确;根 据B选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a>0,b>0和b<0,a>0.故B错误; 根据C选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a<0,b>0和b<0,a>0;故C错 误;根据D选项图中两条直线在坐标系中的位置,知a>0,b<0和b<0,a<0;故D 错误.故选A.
对于一次函数y=kx+b的图象, (1)k>0时过第一、三象限,k<0时过第二、四象限. (2)b>0时交y轴于正半轴,b<0时交y轴于负半轴,b=0时过原点.
待定系数法求一次函数解析式 [例2] (8分)如图,直线AB与x轴交于点A(1,0),与y轴交于点B(0,-2).
(1)求直线AB的解析式;
解:(1)设该一次函数解析式为 y=kx+b(k≠0), 将(150,45),(0,60)代入 y=kx+b(k≠0),
得
150k b 60,
b
45,
解得
k b
1 10
60,
,
∴该一次函数的解析式为 y=- 1 x+60. 10
(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过 程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开 往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?
b 经过 k
,0和(0,
b
原点 的直线;一次函数y=kx+b的图象是 )的一条直线.
2.一次函数y=kx+b的性质(常考点)
k,b的符号
k>0,b>0
k>0,b<0
k<0,b>0
k<0,b<0
图象的 大致位置
经过象限
第 一、二、三 . 象限
第 一、三、. 四 象限
第 一、二、. 四 象限
第 二、三 . 四 象限
解:(2)当 y=- 1 x+60=8 时,解得 x=520. 10
即行驶 520 千米时,油箱中的剩余油量为 8 升. 530-520=10(千米), ∴油箱中的剩余油量为 8 升时,距离加油站 10 千米.