精品 八年级数学下册平行四边形性质与判定 同步讲义+练习
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13.已知等腰三角形 ABC 的一腰, AB=9cm, 过底边上任一点 P 作两腰的平行线分别交 AB 于 M, 交 AC 于 N, 则 AM+AN= 14.已知平行四边形 ABCD 的周长为 36,过 D 作 AB,BC 边上的高 DE、DF,且 DE 4 3,DF 5 3 , 求平行四边形 ABCD 的面积.
15.如图所示,在△ABC 中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,求△DEF 的面积.
10
例 5.如图,□AECF 的对角线相交于点 O,DB 经过点 O,分别与 AE,CF 交于 B,D. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
2
八年级数学 例 6.如图所示,DB∥AC,且 DB= AC,E 是 AC 的中点,求证:BC=DE.
例 7.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上,∠EFB=60 ,DC=EF. (1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形; (2)若 BF=EF,求证:AE=AD.
例 3.如图,已知平行四边形 ABCD,DE⊥AD,与 CB 延长线交于 F 点,∠A=30 ,AD=4,CD=6,求 BF 及平行四边形 ABCD 的面积.
0
例 4.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动,到 D 点即 停止. 点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动,到 B 点即停止,直线 PQ 截梯形为两个四边形.问当 P, Q 同时 出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?
八年级数学
第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形的性质与判定
平行四边形定义: 平行四边形的性质:
平行四边形的判定:
中位线定义: 三角形中位线定理: 总结: 顺次连接四边形各边中点,所得的图形是 顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是 顺次连结矩形四边中点所得四边形是 顺次连结菱形四边中点所得四边形是 顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是 由此猜想: 顺次连结 顺次连结 ; ; ; ; ;
19.如图:已知 D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,求证:AE 与 DF 互相平分.
20.如图□ABCD 中,∠ABC=60 ,点 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,垂足为点 F,DF=2. (1)求证:D 是 EC 中点;(2)求 FC 的长.
0
6
八年级数学 21.如图,已知 E 为□ABCD 中 DC 边的延长线上的一点,且 CE=DC,连接 AE,分别交 BC,BD 于点 F,G,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OF,求证:AB=2OF.
Байду номын сангаас
) D.∠2+∠4=180°
C.∠3+∠4=180°
5.如图所示,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 BC 的中点.若 OE=3 cm,则 AB 的 长为( A.3cm ) B.6cm C.9cm D.12cm
6.如图,在平行四边形 ABCD 中,EF∥AB,GH∥AD,EF 与 GH 交于点 O,则该图中的平行四边形的个数共 有( ) A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.11 个
13.如图所示,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点,则四边形 EFGH 是平行四 边形吗?为什么?
14.如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若 AC 与 BD 交于点 O,求证:AO=CO.
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八年级数学
课堂检测 日期: 月 日 满分:100 分 姓名: 得分:
1.下面给出了四边形 ABCD 中∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比,其中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的 是( ) B.2:2:3:3 C.2:3:3:2 ). D.2:3:2:3
A.1:2:3:4
2.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( A.一组对边相等,另一组对边平行; B.一组对边平行,一组对角互补;
的四边形四边中点所得四边形是矩形; 的四边形四边中点所得四边形是菱形。
即新四边形的形状与原四边形的_______有关。 例 1.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 O(0,0) 、A(2,0) 、B(1,1) ,则第四个顶点 C 的坐标是 多少?
1
八年级数学 例 2.如图所示,□ABCD 中,AF 平分∠BAD 交 BC 于 F,DE⊥AF 交 CB 于 E.求证:BE=CF.
5.如图,□ABCD 的周长为 16 cm,AC、BD 相交于点 O,OE⊥AC 交 AD 于 E,则△DCE 的周长为( A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
)
6.如图,已知□ABCD 的对角线交点是 O,直线 EF 过 O 点,且平行于 BC,直线 GH 过且平行于 AB,则图中共有 ( )个平行四边形. A.5 B.6 C.7 D.10
3
八年级数学 例 10.等边三角形 ABC 的边长为 a,P 为△ABC 内一点,且 PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,那么,PD+PE+PF 的值为 一个定值.这个定值是多少?请说明理由.
课堂练习:
1.下面几组条件中,能判定一个四边形是平行四边形的是( A.一组对边相等; B.两条对角线互相平分 ) . D.两条对角线互相垂直 C.一组对边平行; ) D.4 个
0
例 8.如图,以△ABC 的三边为边,在 BC 的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF,那么,四边 形 AFED 是否为平行四边形?如果是,请证明之,如果不是,请说明理由.
例 9.如图,已知四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点,并且点 E、F、G、H 有在 同一条直线上.求证:EF 和 GH 互相平分.
0
C.一组对角相等,一组邻角互补; D.一组对角互补,另一组对角相等。 )
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B=110 ,延长 AD 至 F,延长 CD 至 E,连结 EF,则∠E+∠F=( A.110
0
B.30
0
C.50
0
D.70
0
4.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列各式不一定正确的是( A.∠1+∠2=180° B.∠2+∠3=180°
7.在□ABCD 中,已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O,△ABO 的周长为 17,AB=6,那么对角线 AC+BD= 8.如图所示,在△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 的中点,延长 DE 到 F,使 EF=DE,若 AB=10,BC=8,则四边形 BCFD 的周长=_________
15.在□ABCD 中,分别以 AD、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接 BE、DF.求证:四边形 BEDF 是 平行四边形.
16.如图,已知 D 是△ABC 的边 AB 上一点,CE∥AB,DE 交 AC 于点 O,且 OA=OC,猜想线段 CD 与线段 AE 的大 小关系和位置关系,并加以证明.
2.过不在同一直线上的三点,可作平行四边形的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个
3.以下结论正确的是(
A.对角线相等,且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B.一边长为 5cm,两条对角线分别是 4cm 和 6cm 的四边形是平行四边形 C.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形 4.如图,EF 过□ABCD 的对角线的交点 O,交 AD 于 E,交 BC 于 F,若 AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形 EFCD 的 周长是( A.16 ) B.14 C.12 D.10
5
八年级数学 17.已知:如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,EF 经过点 O 并且分别和 AB,CD 相交于 点 E,F,点 G,H 分别为 OA,OC 的中点.求证:四边形 EHFG 是平行四边形.
18.下图是某区部分街道示意图,CE 垂直平分 AF,AB∥DC,BC∥DF.从 B 站乘车到 E 站只有两条路线有直 接到达的公交车,路线 1 是 B--D--A--E,路线 2 是 B--C--F--E,请比较两条路线路程的长短,并给出证明.
22.如图所示,在△ABC 中,E 为 AB 的中点,CD 平分∠ACB,AD⊥CD 于点 D.
1 试说明:(1)DE∥BC;(2) DE ( BC AC ) . 2
23.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形 ABCD 为平行四边形,A、 B、 C 的坐标分别是 A (-3, 2 ) , B(-2, 3 2 ) ,C(2, 3 2 ) ,点 D 在第一象限. (1)求 D 点的坐标; (2)将平行四边形 ABCD 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度所得的四边形 A1B1C1D1 四个顶点的坐标是多少? (3)求平行四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 重叠部分的面积?
9.如图所示,DE 是△ABC 的中位线,BC=8,则 DE=_______. 10.在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别是 A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一 点 D,使四边形 ABCD 是平行四边形,那么点 D 的坐标是
9
八年级数学 11.已知四边形 ABCD 中,AD∥BC,分别添加下列条件:①AB∥CD;②AB=DC;③AD=BC;④∠A=∠C;⑤∠B=∠ C,能使四边形 ABCD 成为平行四边表的条件的序号是 12.在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于 O 点,且 OA=OC,OB=OD,△AOD 的周长比△AOB 的周长长 4cm, AD:AB=2:1,则四边形 ABCD 的周长为 .
7
八年级数学 24.在△ABC 中,AB=AC,点 P 为△ABC 所在平面内一点,过点 P 分别作 PE∥AC 交 AB 于点 E,PF∥AB 交 BC 于 点 D,交 AC 于点 F.若点 P 在 BC 边上(如图 1),此时 PD=0,可得结论:PD+PE+PF=AB. 请直接应用上述信息解决下列问题: 当点 P 分别在△ABC 内(如图 2),△ABC 外(如图 3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明; 若不成立,PD、PE、PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.
7.已知□ABCD 的周长为 60 cm,对角线 AC、BD 相交于点 O,△AOB 的周长比△BOC 的周长长 8cm,则这 个四边形各边长为
4
八年级数学 8.如图,如果△AOB 与△AOD 的周长之差为 8,而 AB:AD=3:2,那么□ABCD 的周长为
9.如图,在□ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 平分线交 AD 于点 E,交 CD 延长线于点 F,则 DF=_______cm. 10.一个四边形的边长依次为 a,b,c,d,且 a +b +c +d =2ac+2bd,则这个四边形是 11.□ABCD 中,AB=2,BC=3,∠B,∠C 的平分线交 AD 于 E、F,则 EF= 12.□ABCD 周长为 80cm,对角线 AC、BD 交于 O,若△OAB 周长比△OBC 周长小 8cm,则 AB= cm.
13.已知等腰三角形 ABC 的一腰, AB=9cm, 过底边上任一点 P 作两腰的平行线分别交 AB 于 M, 交 AC 于 N, 则 AM+AN= 14.已知平行四边形 ABCD 的周长为 36,过 D 作 AB,BC 边上的高 DE、DF,且 DE 4 3,DF 5 3 , 求平行四边形 ABCD 的面积.
15.如图所示,在△ABC 中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,求△DEF 的面积.
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例 5.如图,□AECF 的对角线相交于点 O,DB 经过点 O,分别与 AE,CF 交于 B,D. 求证:四边形 ABCD 是平行四边形.
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八年级数学 例 6.如图所示,DB∥AC,且 DB= AC,E 是 AC 的中点,求证:BC=DE.
例 7.如图,已知△ABC 是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上,∠EFB=60 ,DC=EF. (1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形; (2)若 BF=EF,求证:AE=AD.
例 3.如图,已知平行四边形 ABCD,DE⊥AD,与 CB 延长线交于 F 点,∠A=30 ,AD=4,CD=6,求 BF 及平行四边形 ABCD 的面积.
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例 4.如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD=24cm,BC=30cm,点 P 自点 A 向 D 以 1cm/s 的速度运动,到 D 点即 停止. 点 Q 自点 C 向 B 以 2cm/s 的速度运动,到 B 点即停止,直线 PQ 截梯形为两个四边形.问当 P, Q 同时 出发,几秒后其中一个四边形为平行四边形?
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第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形的性质与判定
平行四边形定义: 平行四边形的性质:
平行四边形的判定:
中位线定义: 三角形中位线定理: 总结: 顺次连接四边形各边中点,所得的图形是 顺次连接平行四边形各边中点所得的图形是 顺次连结矩形四边中点所得四边形是 顺次连结菱形四边中点所得四边形是 顺次连结等腰梯形四边中点所得四边形是 由此猜想: 顺次连结 顺次连结 ; ; ; ; ;
19.如图:已知 D、E、F 分别是△ABC 各边的中点,求证:AE 与 DF 互相平分.
20.如图□ABCD 中,∠ABC=60 ,点 E、F 分别在 CD、BC 的延长线上,AE∥BD,EF⊥BF,垂足为点 F,DF=2. (1)求证:D 是 EC 中点;(2)求 FC 的长.
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八年级数学 21.如图,已知 E 为□ABCD 中 DC 边的延长线上的一点,且 CE=DC,连接 AE,分别交 BC,BD 于点 F,G,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 OF,求证:AB=2OF.
Байду номын сангаас
) D.∠2+∠4=180°
C.∠3+∠4=180°
5.如图所示,平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,点 E 是 BC 的中点.若 OE=3 cm,则 AB 的 长为( A.3cm ) B.6cm C.9cm D.12cm
6.如图,在平行四边形 ABCD 中,EF∥AB,GH∥AD,EF 与 GH 交于点 O,则该图中的平行四边形的个数共 有( ) A.7 个 B.8 个 C.9 个 D.11 个
13.如图所示,在四边形 ABCD 中,E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,AD 的中点,则四边形 EFGH 是平行四 边形吗?为什么?
14.如图,在四边形 ABCD 中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为 E,F. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)若 AC 与 BD 交于点 O,求证:AO=CO.
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课堂检测 日期: 月 日 满分:100 分 姓名: 得分:
1.下面给出了四边形 ABCD 中∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比,其中能判定四边形 ABCD 是平行四边形的 是( ) B.2:2:3:3 C.2:3:3:2 ). D.2:3:2:3
A.1:2:3:4
2.下列条件中,能判定四边形是平行四边形的是( A.一组对边相等,另一组对边平行; B.一组对边平行,一组对角互补;
的四边形四边中点所得四边形是矩形; 的四边形四边中点所得四边形是菱形。
即新四边形的形状与原四边形的_______有关。 例 1.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为 O(0,0) 、A(2,0) 、B(1,1) ,则第四个顶点 C 的坐标是 多少?
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八年级数学 例 2.如图所示,□ABCD 中,AF 平分∠BAD 交 BC 于 F,DE⊥AF 交 CB 于 E.求证:BE=CF.
5.如图,□ABCD 的周长为 16 cm,AC、BD 相交于点 O,OE⊥AC 交 AD 于 E,则△DCE 的周长为( A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
)
6.如图,已知□ABCD 的对角线交点是 O,直线 EF 过 O 点,且平行于 BC,直线 GH 过且平行于 AB,则图中共有 ( )个平行四边形. A.5 B.6 C.7 D.10
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八年级数学 例 10.等边三角形 ABC 的边长为 a,P 为△ABC 内一点,且 PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,那么,PD+PE+PF 的值为 一个定值.这个定值是多少?请说明理由.
课堂练习:
1.下面几组条件中,能判定一个四边形是平行四边形的是( A.一组对边相等; B.两条对角线互相平分 ) . D.两条对角线互相垂直 C.一组对边平行; ) D.4 个
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例 8.如图,以△ABC 的三边为边,在 BC 的同侧分别作三个等边三角形即△ABD、△BCE、△ACF,那么,四边 形 AFED 是否为平行四边形?如果是,请证明之,如果不是,请说明理由.
例 9.如图,已知四边形 ABCD 中,点 E,F,G,H 分别是 AB、CD、AC、BD 的中点,并且点 E、F、G、H 有在 同一条直线上.求证:EF 和 GH 互相平分.
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C.一组对角相等,一组邻角互补; D.一组对角互补,另一组对角相等。 )
3.如图,在平行四边形 ABCD 中,∠B=110 ,延长 AD 至 F,延长 CD 至 E,连结 EF,则∠E+∠F=( A.110
0
B.30
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C.50
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D.70
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4.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列各式不一定正确的是( A.∠1+∠2=180° B.∠2+∠3=180°
7.在□ABCD 中,已知对角线 AC 和 BD 相交于点 O,△ABO 的周长为 17,AB=6,那么对角线 AC+BD= 8.如图所示,在△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 的中点,延长 DE 到 F,使 EF=DE,若 AB=10,BC=8,则四边形 BCFD 的周长=_________
15.在□ABCD 中,分别以 AD、BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF,连接 BE、DF.求证:四边形 BEDF 是 平行四边形.
16.如图,已知 D 是△ABC 的边 AB 上一点,CE∥AB,DE 交 AC 于点 O,且 OA=OC,猜想线段 CD 与线段 AE 的大 小关系和位置关系,并加以证明.
2.过不在同一直线上的三点,可作平行四边形的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个
3.以下结论正确的是(
A.对角线相等,且一组对角也相等的四边形是平行四边形 B.一边长为 5cm,两条对角线分别是 4cm 和 6cm 的四边形是平行四边形 C.一组对边平行,且一组对角相等的四边形是平行四边形 D.对角线相等的四边形是平行四边形 4.如图,EF 过□ABCD 的对角线的交点 O,交 AD 于 E,交 BC 于 F,若 AB=4,BC=5,OE=1.5,那么四边形 EFCD 的 周长是( A.16 ) B.14 C.12 D.10
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八年级数学 17.已知:如图所示,平行四边形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,EF 经过点 O 并且分别和 AB,CD 相交于 点 E,F,点 G,H 分别为 OA,OC 的中点.求证:四边形 EHFG 是平行四边形.
18.下图是某区部分街道示意图,CE 垂直平分 AF,AB∥DC,BC∥DF.从 B 站乘车到 E 站只有两条路线有直 接到达的公交车,路线 1 是 B--D--A--E,路线 2 是 B--C--F--E,请比较两条路线路程的长短,并给出证明.
22.如图所示,在△ABC 中,E 为 AB 的中点,CD 平分∠ACB,AD⊥CD 于点 D.
1 试说明:(1)DE∥BC;(2) DE ( BC AC ) . 2
23.如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,四边形 ABCD 为平行四边形,A、 B、 C 的坐标分别是 A (-3, 2 ) , B(-2, 3 2 ) ,C(2, 3 2 ) ,点 D 在第一象限. (1)求 D 点的坐标; (2)将平行四边形 ABCD 先向右平移 2 个单位长度,再向下平移 2 个单位长度所得的四边形 A1B1C1D1 四个顶点的坐标是多少? (3)求平行四边形 ABCD 与四边形 A1B1C1D1 重叠部分的面积?
9.如图所示,DE 是△ABC 的中位线,BC=8,则 DE=_______. 10.在平面直角坐标系中,点 A、B、C 的坐标分别是 A(-2,5),B(-3,-1),C(1,-1),在第一象限内找一 点 D,使四边形 ABCD 是平行四边形,那么点 D 的坐标是
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八年级数学 11.已知四边形 ABCD 中,AD∥BC,分别添加下列条件:①AB∥CD;②AB=DC;③AD=BC;④∠A=∠C;⑤∠B=∠ C,能使四边形 ABCD 成为平行四边表的条件的序号是 12.在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于 O 点,且 OA=OC,OB=OD,△AOD 的周长比△AOB 的周长长 4cm, AD:AB=2:1,则四边形 ABCD 的周长为 .
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八年级数学 24.在△ABC 中,AB=AC,点 P 为△ABC 所在平面内一点,过点 P 分别作 PE∥AC 交 AB 于点 E,PF∥AB 交 BC 于 点 D,交 AC 于点 F.若点 P 在 BC 边上(如图 1),此时 PD=0,可得结论:PD+PE+PF=AB. 请直接应用上述信息解决下列问题: 当点 P 分别在△ABC 内(如图 2),△ABC 外(如图 3)时,上述结论是否成立?若成立,请给予证明; 若不成立,PD、PE、PF 与 AB 之间又有怎样的数量关系,请写出你的猜想,不需要证明.
7.已知□ABCD 的周长为 60 cm,对角线 AC、BD 相交于点 O,△AOB 的周长比△BOC 的周长长 8cm,则这 个四边形各边长为
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八年级数学 8.如图,如果△AOB 与△AOD 的周长之差为 8,而 AB:AD=3:2,那么□ABCD 的周长为
9.如图,在□ABCD 中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC 平分线交 AD 于点 E,交 CD 延长线于点 F,则 DF=_______cm. 10.一个四边形的边长依次为 a,b,c,d,且 a +b +c +d =2ac+2bd,则这个四边形是 11.□ABCD 中,AB=2,BC=3,∠B,∠C 的平分线交 AD 于 E、F,则 EF= 12.□ABCD 周长为 80cm,对角线 AC、BD 交于 O,若△OAB 周长比△OBC 周长小 8cm,则 AB= cm.