集合的有关概念及其运算

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集合的概念及其运算

集合的概念及其运算

集合的概念及其运算1、集合中元素的性质:确定性,互异性,无序性2、有n个元素的集合的子集的个数是2n,真子集的个数是2n-13、自然数集N 正整数集N* 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数C4、交集:由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集,记为A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B}并集:由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集,记为A∪B,即A∪B={x|x∈A,或x∈B}补集:一般地设S是一个集合,A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A在全集S中的补集(或余集).5、真子集关系对于集合A、B,如果A ⊆ B,并且A≠B,我们就说集合A是集合B的真子集 显然,空集是任何非空集合的真子集1.设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.82.若集合A={x|x2-4x<0},则集合A∩Z中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.23.已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a= .4、已知集合A={1,3,5},B={2,4,6}.定义集合A+B={a+b|a∈A,b∈B},则A+B中元素的个数是( )A.9B.6C.5D.45、满足Φ A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A.7B.8C.6D.42>0},N={x|x>a}.若M⊆N,求实数a的取值范围6、 已知集合M={x|3+2x-x7、已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0},且M∩N=N,求实数a的值.8、集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.49、若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C,则一定有A. A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A=∅10、已知集合A={y|y=log2x,x>1},B={y|y=(1/2)x,x>1},则A∩B等于A. ∅B.{y|0<y<1}C.{y|1/2<y<1}D.{y|0<y<1/211、.设全集U是实数集R,M={x|x2>4},N={x|≥1},则下图中阴影部分所表示的集合是A.{x|-2≤x<1}B.{x|-2≤x≤2}C.{x|1<x≤2}D.{x|x<2}12、.设集合A={5,log2(a2-3a+6)},集合B={1,a,b},若A∩B ={2},则集合A∪B的真子集的个数是A.3个B.7个C.12个D.15个13、.设全集U=R,A={x|x<-3或x≥2},B={x|-1<x<5},则集合{x|-1<x<2}是A. (UA)∪(UB)B. U(A∪B)C. (UA)∩BD.A∩B14、定义集合A*B={x|x∈A,且xB},若A={1,3,5,7},B={2,3,5},则A*B的子集个数为10、A.1 B.2 C.3 D.415、.设集合M={x|x≤m},N={y|y=2-x,x∈R},若M∩N≠,则实数m 的取值范围是A.m≥0B.m>0C.m≤0D.m<016、.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;命题及其关系充要条件1、2. 用命题的等价性判断:判断p是q的什么条件,其实质是判断“若p,则q”及其逆命题“若q,则p”是真还是假,原命题为真而逆命题为假,p是q的充分不必要条件;原命题为假而逆命题为真,则p是q的必要不充分条件;原命题为真,逆命题为真,则p是q的充要条件;原命题为假,逆命题为假,则p是q的既不充分也不必要条件.3. 原命题为“若P则q,则它的逆命题为若q则p;否命题为若非p则非q,逆否命题为若非q则非p 原命题与它的逆否命题等价,逆命题与它的否命题等价1、写出“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题、否命题、逆否命题2、写出“若a>b且c>d,则a+c>b+d”的逆命题、否命题、逆否命题3、设原命题”若p则q”假,而逆命题真,则p是q的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件3、0<x<5是不等式lx-2l<4成立的()A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件4、1命题:“若x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是 ( )A.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.若-1<x<1,则x2<1C.若x>1或x<-1,则x2>1 D.若x≥1或x≤-1,则x2≥12.已知集合M={x|0<x<1},集合N={x|-2<x<1},那么“a∈N”是“a∈M”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件。

第1讲集合的概念和运算

第1讲集合的概念和运算

第1讲 集合的概念和运算必记考点1.集合的基本概念(1)集合元素的三个特征: 、 、 . (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号 或 表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.(4)常用数集: N ; N *(或N +) ; Z ;Q ; R . (5)集合的分类:按集合中元素个数划分,集合可以分为有限集、无限集、 . 2.集合间的基本关系(1)子集: ,则A ⊆B (或B ⊇A ). (2)真子集: 则A B (或B A ).若集合A 中含有n 个元素,则A 的子集有2n 个,A 的真子集有2n -1个.(3)空集:空集是 的子集,是 的真子集.即∅⊆A ,∅B (B ≠∅).(4)集合相等:若 ,则A =B . 3.集合的基本运算及其性质(1)并集:A ∪B = . (2)交集:A ∩B = .(3)补集:∁U A = ,U 为全集,∁U A 表示A 相对于全集U 的补集. (4)集合的运算性质①A ∪B =A ⇔B ⊆A ,A ∩B =A ⇔A ⊆B ; ②A ∩A =A ,A ∩∅=∅; ③A ∪A =A ,A ∪∅=A ;④A ∩∁U A =∅,A ∪∁U A =U ,∁U (∁U A )=A .考向一 集合的基本概念【例1】►已知a ∈R ,b ∈R ,若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ,b a ,1={a 2,a +b,0},则a 2 014+b 2 014=________.【训练1】集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪12x∈Z 中含有的元素个数为( ).考向二 集合间的基本关系【例2】已知集合A ={x |0<x ≤4},B =(-∞,a ),若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是________.【训练2】已知集合A ={x |-2≤x ≤7},B ={x |m +1<x <2m -1},若B ⊆A ,求实数m 的取值范围.考向三 集合的基本运算【例3】►(1)(2012·安徽)设集合A ={x |-3≤2x -1≤3},集合B 为函数y =lg(x -1)的定义域,则A ∩B =( ).A .(1,2)B .[1,2]C .[1,2)D .(1,2](2)(2012·山东)已知全集U ={0,1,2,3,4},集合A ={1,2,3},B ={2,4},则(∁U A )∪B 为( ). A .{1,2,4} B .{2,3,4} C .{0,2,4}D .{0,2,3,4}(3)设全集U ={1,2,3,4,5,6},集合A ={1,2,4},B ={3,4,5},则图中的阴影部分表示的集合为( ).A .{5}B .{4}C.{1,2} D.{3,5}基础演练1.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|-1<x<1},则().A.A B B.B AC.A=B D.A∩B=∅2.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,2,3,4},Q={3,4,5},则P∩(∁U Q)=().A.{1,2,3,4,6} B.{1,2,3,4,5}C.{1,2,5} D.{1,2}3.设集合U={x|x<5,x∈N*},M={x|x2-5x+6=0},则∁U M=().A.{1,4} B.{1,5}C.{2,3} D.{3,4}4.若集合A={x||x|>1,x∈R},B={y|y=2x2,x∈R},则(∁R A)∩B=().A.{x|-1≤x≤1} B.{x|x≥0}C.{x|0≤x≤1} D.∅5.设集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},则实数a=________. 6.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________.7.若集合A={-1,3},集合B={x|x2+ax+b=0},且A=B,求实数a,b.第2讲函数及其表示必记考点1.函数的概念一般地,设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应;那么就称:f:A→B为从集合A到集合B 的一个函数.记作.2.函数的三要素函数由、、三个要素构成,对函数y=f(x),x∈A,其中(1)定义域:.(2)值域:.(3)两个函数就相同: .3.函数的表示方法表示函数的常用方法有:解析法、图象法、列表法.4.分段函数若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.考向一函数的定义【例1】(1)下列各图形中是函数图象的是().2.下列各组函数表示相同函数的是().A.f(x)=x2,g(x)=(x)2B.f(x)=1,g(x)=x2C.f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x,x≥0,-x,x<0,g(t)=|t|D.f(x)=x+1,g(x)=x2-1x-1考向二 求函数的定义域、值域【例2】►(1) 函数y =x +1x 的定义域为________.(2)函数y =x -3x +1的值域为________.(3) 设函数f (x )=41-x ,若f (a )=2,实数a =________.考向三 分段函数及其应用【例3】(1) 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x ≤1,2x ,x >1,则f (f (3))=( ).A.15 B .3 C.23D.139(2)设f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x 为有理数,0,x 为无理数,则f (g (π))的值为( ).A .1B .0C .-1D .π(3)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x+1,x <1,x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a 等于( ).A.12 B.45 C .2 D .9基础演练1.函数f (x )=11-x +lg(1+x )的定义域是( ).A .(-∞,-1)B .(1,+∞)C .(-1,1)∪(1,+∞)D .(-∞,+∞)2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ). A .f (x )=x ,g (x )=(x )2 B .f (x )=x 2,g (x )=(x +1)2 C .f (x )=x 2,g (x )=|x |D .f (x )=0,g (x )=x -1+1-x3.设函数f (x )=⎩⎨⎧x ,x ≥0,-x ,x <0,若f (a )+f (-1)=2,则a =( ).A .-3B .±3C .-1D .±14.函数f (x )=lg 1-x 2的定义域为________.5.(2013·皖南八校联考)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2-x,x ≤0,log 2x ,x >0,则f ⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫-12=________. 6.已知f (x )是二次函数,若f (0)=0,且f (x +1)=f (x )+x +1.求函数f (x )的解析式.第3讲 函数的性质必记考点 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ,如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,①若 ,则f (x )在区间D 上是增函数;②若 ,则f (x )在区间D 上是减函数.(2)单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是 或 ,则区间D 叫做f (x )的单调区间.(3)用定义判断函数单调性的步骤: . 2. 函数的奇偶性(1)定义:如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有 ,那么函数f (x )就叫做偶函数.如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ,都有 ,那么函数f (x )就叫做奇函数.(2)性质:奇函数的图象关于 对称;偶函数的图象关于 对称.考向一 确定函数的单调性或单调区间【例1】(1)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ).A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .y =⎝⎛⎭⎫12xD .y =x +1x(2)函数y =-x 2+2x -3(x <0)的单调增区间是( ).A .(0,+∞)B .(-∞,1]C .(-∞,0)D .(-∞,-1]考向二 函数单调性的应用【例2】(1)若函数f (x )=4x 2-mx +5在[-2,+∞)上递增,在(-∞,-2]上递减,则f (1)=________. (2) 函数y =f(x)在R 上为增函数,且f(2m)>f(-m +9),则实数m 的取值范围是 .考向三 求函数的最值【例3】函数f (x )=2xx +1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________.考向四 判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性: (1)f (x )=x 3-2x ;(2)f (x )=x 2-1+1-x 2;(3)f (x )=(x -1)- 1+x1-x.考向五 函数奇偶性的应用【例5】(1)函数f (x )=(x +a )(x -4)为偶函数,则实数a =________.(2) 设函数f (x )=(x +1)(x +a )x 为奇函数,则a =________. (3) 设f (x )为定义在R 上的奇函数.当x ≥0时,f (x )=2x+2x +b (b 为常数),则f (-1)= .基础演练1.定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ,b ,总有f (a )-f (b )a -b>0,则必有( ).A .函数f (x )先增后减B .f (x )是R 上的增函数C .函数f (x )先减后增D .函数f (x )是R 上的减函数2.函数y =f (x )在R 上为减函数,且f (2m )>f (-m +9),则实数m 的取值范围是 .3.下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是( ).A .y =1xB .y =|x |+1C .y =-x 2+1D .y =-2x +14.已知f (x )=x 2-2mx +6在(-∞,-1]上是减函数,则m 的范围为________.5.已知函数f (x )为定义在区间[-1,1]上的增函数,则满足f (x )<f ⎝⎛⎭⎫12的实数x 的取值范围为________. 6.下列函数是偶函数的是( ).A .y =xB .y =2x 2-3C .y =1xD .y =x 2,x ∈[0,1]7. 设偶函数f (x )的定义域为R ,当x ∈[0,+∞)时,f (x )是增函数,则f (-2),f (π),f (-3)的大小关系是 .8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≤0时,f (x )=2x 2-x ,则f (1)=________.9.已知函数y =f (x )是偶函数,其图象与x 轴有四个交点,则方程f (x )=0的所有实根之和是________. 10.若f (x )=x 2+bx +c ,且f (1)=0,f (3)=0.(1)求b 与c 的值;(2)试证明函数f (x )在区间(2,+∞)上是增函数.第4讲 指数与指数函数必记考点1.指数与指数运算 (1)根式的概念若x n =a ,则x 叫 ,.式子na 叫做根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数.即x n=a ⇒⎩⎨⎧x =n a (当n 为奇数且n ∈N *时),x =±n a (当n 为偶数且n ∈N *时).(2)根式的性质①(na )n = .②当n 为奇数时,na n= ;当n 为偶数时,na n=|a |=⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)-a (a <0).(3)分数指数幂的含义正分数指数幂a m n =na m (a >0,m ,n ∈N *,n >1).负分数指数幂a -m n =1a m n =1na m (a >0,m ,n ∈N *,n >1).(4)幂指数的运算性质a r ·a s = rs aa= (a r )s = (ab )r =2.指数函数的图象与性质考向一 指数幂的化简与求值【例1】化简下列各式: (1)[(0.06415)-2.5]23- 3338-π0;(2) 2132a b ·(-31132a b )÷156613a b(3)a ·3a 25a ·3a考向二 指数函数的性质【例2】(1)方程2x -2+x =0的解的个数是________. (2) 下列各式比较大小正确的是( ). A .1.72.5>1.73 B .0.6-1>0.62C .0.8-0.1>1.250.2 D .1.70.3<0.93.1(3)已知函数f (x )=2x -12x +1,①讨论f (x )的奇偶性;②讨论f (x )的单调性.⎝⎛⎭⎫21412-⎝⎛⎭⎫-350-⎝⎛⎭⎫827-13=________. 已知函数f (x )=4+a x -1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ,则点P 的坐标是( ).函数y =1-3x 的定义域为________。

集合的概念与运算

集合的概念与运算

集合的概念与运算教案●知识梳理 1.集合的有关概念2.元素与集合、集合与集合之间的关系 (1)元素与集合:“∈”或“”.(2)集合与集合之间的关系:包含关系、相等关系. 3.集合的运算(1)交集:由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与B 的交集,记为A ∩B ,即A ∩B ={x |x ∈A 且x ∈B }. (2)并集:由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合,叫做集合A 与集合B 的并集,记为A ∪B ,即A ∪B ={x |x ∈A 或x ∈B }. (3)补集:一般地,设S 是一个集合,A 是S 的一个子集(即A S ),由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做子集A 在全集S 中的补集(或余集),记为SA ,即S A ={x |x ∈S 且x A }.●点击双基1.(2004年全国Ⅱ,1)已知集合M ={x |x 2<4},N ={x |x 2-2x -3<0},则集合M ∩N 等于A.{x |x <-2}B.{x |x >3}C.{x |-1<x <2}D.{x |2<x <3}2.(2005年北京西城区抽样测试题)已知集合A ={x ∈R|x <5-},B ={1,2,3,4},则(R A )∩B 等于A.{1,2,3,4}B.{2,3,4}C.{3,4}D.{4}∉⊆∉23.(2004年天津,1)设集合P ={1,2,3,4,5,6},Q ={x ∈R|2≤x ≤6},那么下列结论正确的是A.P ∩Q =PB.P ∩Q QC.P ∪Q =QD.P ∩Q P4.设U 是全集,非空集合P 、Q 满足P Q U ,若求含P 、Q 的一个集合运算表达式,使运算结果为空集,则这个运算表达式可以是_______________.5.已知集合A ={0,1},B ={x |x ∈A ,x ∈N*},C ={x |x A },则A 、B 、C 之间的关系是___________________.●典例剖析【例1】 已知A ={x |x 3+3x 2+2x >0},B ={x |x 2+ax +b ≤0}且A ∩B ={x |0<x ≤2},A ∪B ={x |x >-2},求a 、b 的值.深化拓展∅⊆(2004年上海,19)记函数f (x )=的定义域为A ,g (x )=lg [(x -a -1)(2a -x )](a <1)的定义域为B . (1)求A ;(2)若B A ,求实数a 的取值范围.【例2】 (2004年湖北)设集合P ={m |-1<m ≤0},Q ={m ∈R|mx 2+4mx -4<0对任意实数x 恒成立},则下列关系中成立的是 A.P Q B.Q P C.P =Q D.P ∩Q =Q132++-x x ⊆【例3】已知集合A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,0≤x≤2},如果A∩B≠,求实数m的取值范围.●闯关训练夯实基础1.集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B是A.(1,-1)B.C.{(1,-1)}D.{1,-1}2.(2004年上海,3)设集合A ={5,log 2(a +3)},集合B ={a ,b }.若A ∩B ={2},则A ∪B =______________.3.设A ={x |1<x <2},B ={x |x >a },若A B ,则a 的取值范围是___________________.4.已知集合A ={x ∈R|ax 2+2x +1=0,a ∈R}只有一个元素,则a 的值为__________________.5.(2004年全国Ⅰ,理6)设A 、B 、I 均为非空集合,且满足A B I ,则下列各式中错误..的是 A.(I A )∪B =I B.(I A )∪(I B )=I C.A ∩(I B )= D.(I A )∩(I B )=I B 6.(2005年春季北京,15)记函数f (x )=log 2(2x -3)的定义域为集合M ,函数g (x )= 的定义域为集合N .求:(1)集合M 、N ; (2)集合M ∩N 、M ∪N .⎩⎨⎧-==11y x ⊆⊆∅)1)(3(--x x培养能力7.已知A ={x ∈R|x 2+2x +p =0}且A ∩{x ∈R|x >0}=,求实数p 的取值范围.8.已知P ={(x ,y )|(x +2)2+(y -3)2≤4},Q ={(x ,y )|(x +1)2+(y -m )2<},且P ∩Q =Q ,求m 的取值范围.探究创新9.若B ={x |x 2-3x +2<0},是否存在实数a ,使A ={x |x 2-(a +a 2)x +a 3<0}且A ∩B =A ?请说明你的理由.41●思悟小结1.对于集合问题,要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形),然后确定处理此类问题的方法.2.关于集合的运算,一般应把各参与运算的集合化到最简,再进行运算.3.含参数的集合问题,多根据集合元素的互异性来处理.4.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要注意各类知识的融会贯通.解决问题时常用数形结合、分类讨论等数学思想.教学点睛1.对于集合问题,要首先确定属于哪类集合(数集、点集或某类图形),然后确定处理此类问题的方法.2.集合问题多与函数、方程、不等式有关,要注意各类知识的融会贯通.3.强化数形结合、分类讨论的数学思想.拓展题例【例1】设M、N是两个非空集合,定义M与N的差集为M-N={x|x∈M且x N},则M-(M-N)等于A.NB.M∩NC.M∪ND.M【例2】设集合P={1,a,b},Q={1,a2,b2},已知P=Q,求1+a2+b2的值.。

数学集合的概念运算

数学集合的概念运算

课前案1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:、、.(2)元素与集合的关系是或关系,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B,且存在x0∈B,x0∉AA B或B A 相等集合A,B的元素完全相同A⊆B,B⊆AA=B 空集不含任何元素的集合.空集是任何集合A的子集任意x,x∉∅,∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B=A∩B=∁U A=(1)并集的性质:A∪∅=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩∅=∅;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁U A)=U;A∩(∁U A)=∅.(4)∁U(∁U A)=A;∁U(A∪B)=(∁U A)∩(∁U B);∁U(A∩B)=(∁U A)∪(∁U B).课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1){x |y =x 2+1}={y |y =x 2+1}={(x ,y )|y =x 2+1}.( ) (2)若{x 2,1}={0,1},则x =0,1.( ) (3){x |x ≤1}={t |t ≤1}.( )(4)对于任意两个集合A ,B ,(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立. ( ) (5)若A ∩B =A ∩C ,则B =C .( ) [教材衍化]1.(必修1P12A 组T3改编)若集合P ={x ∈N |x ≤ 2 021},a =22,则( ) A .a ∈P B .{a }∈P C .{a }⊆P D .a ∉P2.(必修1P11例9改编)已知U ={α|0°<α<180°},A ={x |x 是锐角},B ={x |x 是钝角},则∁U (A ∪B )=________.3.(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ={(x ,y )|x 2+y 2=1},B ={(x ,y )|y =x },则A ∩B 中元素的个数为________.[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误; (2)忽视空集的情况致误; (3)忽视区间端点值致误. 1.已知集合A ={1,3,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________.2.已知集合A ={x |x 2-4x +3<0},B ={x |2<x <4},则A ∩B =________,A ∪B =________,(∁R A )∪B =________.3.已知集合M ={x |x -2=0},N ={x |ax -1=0},若M ∩N =N ,则实数a 的值是________. 二典型例题集合的含义(1)已知集合A ={0,1,2},则集合B ={(x ,y )|x ≥y ,x ∈A ,y ∈A }中元素的个数是( ) A .1 B .3 C .6 D .9(2)若集合A ={x ∈R |ax 2-3x +2=0}中只有一个元素,则a =( ) A .92 B .98 C .0 D .0或98(3)设a ,b ∈R ,集合{1,a +b ,a }=⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,b a ,b ,则b -a =________.与集合中的元素有关问题的求解步骤1.(2020·温州八校联考)已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为() A.1或-1 B.1或3 C.-1或3 D.1,-1或32.已知集合A={x|x∈Z,且32-x∈Z},则集合A中的元素个数为________.集合的基本关系(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为________.1.(变条件)在本例(2)中,若A⊆B,如何求解?2.(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A={x|x<-2或x>5},如何求解?1.设P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},则()A.P⊆Q B.Q⊆P C.∁R P⊆Q D.Q⊆∁R P2.(2020·绍兴调研)设A={1,4,2x},B={1,x2},若B⊆A,则x=________.3.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________.集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点,每年必考,常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题,主要以选择题的形式出现.试题多为低档题.主要命题角度有:(1)求集合间的交、并、补运算;(2)已知集合的运算结果求参数.角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁U A=()A.{1,6} B.{1,7} C.{6,7} D.{1,6,7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U=R,集合A={x|x2-x-2<0},B={x|1<x<3},则A∪B=________,∁U(A ∩B)=________.角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A={x|-1≤x<2},B={x|x<a},若A∩B≠∅,则a的取值范围是()A.-1<a≤2 B.a>2 C.a≥-1 D.a>-1(2)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3} B.{1,0 }C.{1,3} D.{1,5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的,常用Venn图求解.②若集合中的元素是连续的实数,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合,一般利用数轴解决,要注意端点值能否取到.②若集合能一一列举,则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.[提醒]在求出参数后,注意结果的验证(满足互异性).1.已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁R Q)=()A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.(-∞,-2]∪[1,+∞)2.设全集S={1,2,3,4},且A={x∈S|x2-5x+m=0},若∁S A={2,3},则m=________.核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ={x |x =m n ,m ∈A ,n ∈B }.已知集合A ={2,4,6},B ={x |x =k2-1,k∈A },则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A .6B .7C .8D .9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义型集合问题难点的关键所在.(2)用好集合的性质.集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.设数集M ={x |m ≤x ≤m +34},N ={x |n -13≤x ≤n },且M ,N 都是集合U ={x |0≤x ≤1}的子集,定义b -a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”,则集合M ∩N 的长度的最小值为________.课后案 [A 组]1.已知集合A ={1,2,3,4},B ={2,4,6,8},则A ∩B 中元素的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .42.(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ={}x |e x ≤1,B ={}x |ln x ≤0,则A ∪B =( ) A .(-∞,1] B .(0,1] C .[1,e] D .(0,e]3.已知全集U =A ∪B ={x ∈Z |0≤x ≤6},A ∩(∁U B )={1,3,5},则B =( ) A .{2,4,6} B .{1,3,5} C .{0,2,4,6} D .{x ∈Z |0≤x ≤6} 4.设集合A ={1,2,6},B ={2,4},C ={x ∈R |-1≤x ≤5},则(A ∪B )∩C =( ) A .{2} B .{1,2,4} C .{1,2,4,6} D .{x ∈R |-1≤x ≤5} 5.已知全集为R ,集合A ={x |x 2-5x -6<0},B ={x |2x <1},则图中阴影部分表示的集合是( )A .{x |2<x <3}B .{x |-1<x ≤0}C .{x |0≤x <6}D .{x |x <-1}6.已知集合A ={x |x 2-3x <0},B ={1,a },且A ∩B 有4个子集,则实数a 的取值范围是( ) A .(0,3) B .(0,1)∪(1,3) C .(0,1) D .(-∞,1)∪(3,+∞) 7.设U ={x ∈N *|x <9},A ={1,2,3},B ={3,4,5,6},则(∁U A )∩B =( ) A .{1,2,3} B .{4,5,6} C .{6,7,8} D .{4,5,6,7,8}8.设集合A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫5,b a ,a -b ,B ={b ,a +b ,-1},若A ∩B ={2,-1},则A ∪B =( )A .{-1,2,3,5}B .{-1,2,3}C .{5,-1,2}D .{2,3,5}9.已知集合P ={n |n =2k -1,k ∈N *,k ≤50},Q ={2,3,5},则集合T ={xy |x ∈P ,y ∈Q }中元素的个数为( ) A .147 B .140 C .130 D .11710.已知全集U =R ,集合A ={x |x 2-3x +2>0},B ={x |x -a ≤0},若∁U B ⊆A ,则实数a 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(-∞,2]C .[1,+∞)D .[2,+∞)11.集合A ={0,2,a },B ={1,a 2},若A ∪B ={0,1,2,4,16},则a 的值为________. 12.已知全集U =R ,集合A ={x |-1≤x ≤3},集合B ={x |log 2(x -2)<1},则A ∪B =________;A ∩(∁U B )=________.13.设集合A ={n |n =3k -1,k ∈Z },B ={x ||x -1|>3},则B =________,A ∩(∁R B )=________. 14.设全集为R ,集合M ={x ∈R |x 2-4x +3>0},集合N ={x ∈R |2x >4},则M ∩N =________;∁R (M ∩N )=________.15.已知集合M ={x |x 2-4x <0},N ={x |m <x <5},若M ∩N ={x |3<x <n },则m =________,n =________. 16.设全集U ={x ∈N *|x ≤9},∁U (A ∪B )={1,3},A ∩(∁U B )={2,4},则B =________. 17.已知集合A ={x |1≤x <5},C ={x |-a <x ≤a +3},若C ∩A =C ,则a 的取值范围是________.[B 组]1.已知全集U 为R ,集合A ={x |x 2<16},B ={x |y =log 3(x -4)},则下列关系正确的是( ) A .A ∪B =R B .A ∪(∁U B )=R C .(∁U A )∪B =R D .A ∩(∁U B )=A .2.集合A ={x |y =ln(1-x )},B ={x |x 2-2x -3≤0},全集U =A ∪B ,则∁U (A ∩B )=( )A .{x |x <-1或x ≥1}B .{x |1≤x ≤3或x <-1}C .{x |x ≤-1或x >1}D .{x |1<x ≤3或x ≤-1} 3.(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ={1,2,m },B ={1,m },若B ⊆A ,则m =________,∁A B =________.4.函数g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ∈P ,-x ,x ∈M ,其中P ,M 为实数集R 的两个非空子集,规定f (P )={y |y =g (x ),x ∈P },f (M )={y |y =g (x ),x ∈M }.给出下列四个命题:①若P ∩M =∅,则f (P )∩f (M )=∅; ②若P ∩M ≠∅,则f (P )∩f (M )≠∅; ③若P ∪M =R ,则f (P )∪f (M )=R ; ④若P ∪M ≠R ,则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________.5.设[x ]表示不大于x 的最大整数,集合A ={x |x 2-2[x ]=3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8,求A ∩B .6.已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }. (1)当m =-1时,求A ∪B ; (2)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围; (3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B =________;A ∩(∁U B )=________.13、 B =________,A ∩(∁R B )=_14. M ∩N =________;∁R (M ∩N )=________. 15. m =________,n =________.16. B =________. 17.B 组1 23. m =________,∁A B =________.4.5.设[x ]表示不大于x 的最大整数,集合A ={x |x 2-2[x ]=3},B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8,求A ∩B .6.已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }. (1)当m =-1时,求A ∪B ; (2)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围; (3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.。

高中数学集合知识点

高中数学集合知识点

高中数学集合知识点高中数学中的集合是一个非常重要且基础的概念,它在整个数学学科中都起着至关重要的作用。

集合论是数学中的一个重要分支,它研究的是数学中的集合、元素和其关系等概念。

在高中数学中,集合知识点主要包括集合的概念、基本运算、特殊集合、集合表示方法等内容。

下面将逐一介绍高中数学中的集合知识点。

一、集合的概念集合是由若干个元素组成的整体。

集合的概念是数学中最基本的概念之一,它用来表示相同或相似性质的对象的总体。

在数学中,集合通常用大写字母表示,其中的元素用小写字母表示。

例如,集合A={1,2,3,4,5}表示由数字1、2、3、4、5组成的一个集合。

集合中的元素可以是数字、字母、符号等。

二、基本运算在集合中,有几种基本的运算,包括并集、交集、补集和差集等。

1. 并集:集合A和集合B的并集是指包含了A和B中所有元素的集合,表示为A∪B。

例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}。

2. 交集:集合A和集合B的交集是指同时包含在A和B中的元素的集合,表示为A∩B。

例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4,5},则A∩B={3}。

3. 补集:集合A对于某个全集U,A相对于U的补集是指在U中而不在A中的元素组成的集合,表示为A的补集。

例如,集合A={1,2,3},全集U={1,2,3,4,5},则A的补集为U\A={4,5}。

4. 差集:集合A和集合B的差集是指除去A和B的交集外的元素组成的集合,表示为A-B。

例如,集合A={1,2,3},集合B={3,4,5},则A-B={1,2}。

三、特殊集合高中数学中还涉及到一些特殊的集合,如空集、全集、自然数集、整数集、有理数集、实数集等。

1. 空集:空集是不包含任何元素的集合,通常用符号∅或{}表示。

2. 全集:全集是指研究问题时所涉及的全部元素构成的集合。

3. 自然数集:自然数集是指正整数构成的集合,通常用符号N表示。

(完整版)《集合》知识点总结

(完整版)《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合有关概念1.集合的含义一般地,把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 2.集合中元素的三个特性:确定性 互异性 无序性3.集合的表示:{}⋅⋅⋅如:{}我校的篮球队员,{}太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋用拉丁字母表示集合:A ={}我校的篮球队员,B ={}1,2,3,4,5 集合的表示方法:列举法与描述法。

列举法:{,}a b ⋅⋅⋅,c,d,描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。

{|32}x x ->语言描述法:例:{}不是直角三角形的三角形Venn 图:注:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集 *N N +或 整数集Z 有理数集Q 实数集R4.集合的分类:有限集 含有有限个元素的集合 无限集 含有无限个元素的集合空集 不含任何元素的集合 例:2{|5}x x =-二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集 注意:A B ⊆有两种可能(1)A 是B 的一部分;(2)A 与B 是同一集合。

反之,集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ⊆/B 或B ⊇/A 2. “相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)例:设A={x|210x -=} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”① 任何一个集合是它本身的子集. A ⊆A②真子集:如果A ⊆B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作B A ⊆ (或B ⊇/A) ③如果A ⊆B, B ⊆C ,那么 A ⊆C④如果A ⊆B 同时 B ⊆A 那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,记为∅规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

结论:有n 个元素的集合,含有2n 个子集,12n -个真子集(2)交、并、补集的混合运算①集合交换律 A B B A ⋂=⋂ A B B A ⋃=⋃②集合结合律 ()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂ ()()A B C A B C ⋃⋃=⋃⋃③集合分配律 ()()()A B C A B A C ⋂⋃=⋂⋃⋂ ()()()A B C A B A C ⋃⋂=⋃⋂⋃ (3)容斥定理()()()()card A B card A card B card A B ⋃=+-⋂()()()()()card A B C card A card B card C card A B ⋃⋃=++-⋂()()()card A B card B C card A B C -⋂-⋂+⋂⋂card 表示有限集合A 中元素的个数。

重难点01 集合的概念与运算-2023年高考数学(热点 重点 难点)专练(全国通用)(解析版)

重难点01 集合的概念与运算-2023年高考数学(热点 重点 难点)专练(全国通用)(解析版)

重难点01 集合概念与运算1.集合的有关概念(1)集合中元素的三个特性:确定性、互异性、无序性。

(2)集合与元素的关系:若a 属于集合A,记作a∈A;若b不属于集合A,记作b∉A。

(3)集合的表示方法:列举法、描述法、图示法。

(4)五个特定的集合:集合非负整数集(或自然数集) 正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N+Z Q R 2.集合间的基本关系表示关系文字语言记法集合间的基本关系子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A 真子集集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于AA⊂B或B⊃A 相等集合A中的每一个元素都是集合B中的元素,集合B中的每一个元素也都是集合A中的元素A⊆B且B⊆A⇔A=B 空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅⊂B且B≠∅3.集合的三种基本运算符号表示图形表示符号语言集合的并集A∪B A∪B={x|x∈A,或x∈B}集合的交集 A ∩BA ∩B ={x |x ∈A ,且x ∈B }集合的补集若全集为U ,则集合A 的补集为∁U A∁U A ={x |x ∈U ,且x ∉A }4.集合基本运算的性质 (1)A ∩A =A ,A ∩∅=∅。

(2)A ∪A =A ,A ∪∅=A 。

(3)A ∩(∁U A )=∅,A ∪(∁U A )=U ,∁U (∁U A )=A 。

(4)A ⊆B ⇔A ∩B =A ⇔A ∪B =B ⇔∁U A ⊇∁U B ⇔A ∩(∁U B )=∅。

2023年高考中仍将与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、指数、对数不等式解法结合重点考查集合的交集运算,也可能考查集合的并集、补集运算,依然放在前2题位置,难度为基础题.(建议用时:20分钟)一、单选题1.设集合{1,3,5,7}A =,{|25}B x x =≤≤,则A B =( )(A ){1,3}(B ){3,5}(C ){5,7}(D ){1,7} 【答案】B【解析】由题知,}5,3{=⋂B A ,故选B.2.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===,,,则C U B A =( )A. {}1,6B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C【解析】由已知得{}1,6,7U C A =,所以U B C A ⋂={6,7},故选C .3.已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,集合{}2,3,5,6A =,集合{}1,3,4,6,7B =,则集合UAB =A .{}2,5B .{}3,6C .{}2,5,6D .{}2,3,5,6,8 【答案】A 【解析】{2,5,8}UB =,所以{2,5}UAB =,故选A.4.设集合},]2,0[,2{},21{∈==<-=x y y B x x A x 则=B A A . [0,2] B .(1,3) C . [1,3) D . (1,4) 【答案】B【解析】∵{}1,2B =-,∴A B ⋂={}2,故选B.5.设集合{|(1)(2)0}A=x x x +-<,集合{|13}B x x =<<,则A BA .{|13}x x -<<B .{|11}x x -<<C .{|12}x x <<D .{|23}x x << 【答案】A 【解析】{|12}A x x ,{|13}B x x ,∴{|13}A B x x .6.设集合{1,1,2,3,5},{2,3,4},{|13}A B C x x =-==∈<R ,则()A C B =A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,4 【答案】D【解析】由题知,{}1,2A C =,所以{}{}{}{}1,22,3,41,2,3,4A C B ==,故选D.7.设集合}034|{2<+-=x x x A ,}032|{>-=x x B ,则B A = A.3(3,)2-- B.3(3,)2- C.3(1,)2 D.3(,3)2【答案】D【解析】由题知A =(1,3),B=),23(+∞,所以B A =3(,3)2,故选D.8.已知集合A ={1,2,3,4,5},B ={(x ,y )|x ∈A ,y ∈A ,x y -∈A },则B 中所含元素的个数为A .3B .6C .8D .10【答案】D.【解析】B ={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},含10个元素,故选D.9.已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}UA B =,{1,2}B =,则UAB =A .{3}B .{4}C .{3,4}D .∅【答案】A【解析】由题意{}1,2,3AB =,且{1,2}B =,所以A 中必有3,没有4,{}3,4U C B =,故UAB ={}3.10.设集合{}1,2,4A =,{}240x x x m B =-+=.若{}1AB =,则B =A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,5 【答案】C 【解析】由{}1AB =得1B ∈,所以3m =,{}1,3B =,故选C 。

集合的概念与运算

集合的概念与运算

集合的概念与运算
数学中,把具有一样属性的事物的全体称为集合。

集合概念用来指称集合体,是由很多对象有机聚合构成的集合体。

集合体与其构成局部之间是整体与局部的关系。

数学中,把具有一样属性的事物的全体称为集合。

集合概念用来指称集合体,是由很多对象有机聚合构成的集合体。

集合体与其构成局部之间是整体与局部的关系。

集合的概念数学中,把具有一样属性的事物的全体称为集合。

在某一思维对象领域,思维对象可以有两种不同的存在方式。

一种是同类分子有机结合构成的集合体,另一种是具有一样属性对象组成的类。

集合的根本运算
交集、并集、相对补集、确定补集、子集。

〔1〕交集:集合论中,设A,B是两个集合,由全部属于集合A 且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与集合B的交集,记作A∩B。

〔2〕并集:给定两个集合A,B,把他们全部的元素合并在一起组成的集合,叫做集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作A并B。

集合的概念与运算

集合的概念与运算

集合的概念与运算1.集合与元素(1)集合元素的三个特征:、、.(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、.2.集合间的基本关系(1)(2)不含任何元素的集合叫做,记作,并规定空集是任何集合的,是任何非空集合的.1.易误点(1)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.(2)要注意区分元素与集合的从属关系;以及集合与集合的包含关系.(3)易忘空集的特殊性,在写集合的子集时不要忘了空集和它本身.(4)运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心.(5)在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.2.巧用数学思想-----转化与化归思想在集合的运算关系和两个集合的包含关系之间往往存在一定的联系,在一定的情况下可以相互转化,如A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔∁U A⊇∁U B⇔A∩(∁U B)=∅,在解题中运用这种转化能有效地简化解题过程.典型例题考点一集合的基本概念(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.9(2)已知集合M={1,m},N={n,log2n},若M=N,则(m-n)2 015=________.(3)若将本例(1)中的集合B更换为B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则集合B中有________个元素.总结:解决集合的概念问题应关注两点1.研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性,对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.2.对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等,分几种情况列出方程(组)进行求解,要注意检验是否满足互异性.考点二集合间的基本关系(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A⊆B,则实数c的取值范围是( )A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞)总结(1)判断两集合的关系常有两种方法:一是化简集合,从表达式中寻找两集合间的关系;二是用列举法表示各集合,从元素中寻找关系.(2)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子集,而集合A 的子集不一定是其真子集;若集合A有n个元素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.(3)题目中若有条件B⊆A,则应分B=∅和B≠∅两种情况进行讨论.考点三集合的基本运算(高频考点)对集合运算的考查主要有以下三个命题角度:(1)求集合间的交、并、补运算;(2)已知集合的运算结果求集合;(3)已知集合的运算结果求参数的值(或参数的取值范围).(1)已知全集U=R,集合A={x|lg x≤0},B={x|2x≤32},则A∪B=( ) A.∅ B.(0,13] C.[13,1] D.(-∞,1](2)设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=.(3)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)={4},B ={1,2},则A∩(∁U B)=________.(4)已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.在解决有关A∩B=∅时,往往忽略空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解.另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用.练习1.已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则( )A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D2.已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=( )A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}3.设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=( )A.∅ B.{2} C.{5} D.{2,5}4.由a2,2-a,4组成一个三元素集合A,则实数a的值可以是( )A.1 B.-2 C.6 D.25.已知集合A={-1,0,4},集合B={x|x2-2x-3≤0,x∈N},全集为U,则图中阴影部分表示的集合是________.6.已知集合M={1,m+2,m2+4},且5∈M,则m的值为( )A.1或-1 B.1或3 C.-1或3 D.1,-1或37.已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|a+1<x<2a-1},若B⊆A,则实数a的取值范围是________.8.(1)已知集合A={x|y=x},B={x|12<2x<4},则(∁RA)∩B等于( )A.{x|-1<x<2} B.{x|-1<x<0} C.{x|x<1} D.{x|-2<x<0}(2)集合M={2,log3a},N={a,b},若M∩N={1},则M∪N=( )A.{0,1,2} 你 B.{0,1,3} C.{0,2,3} D.{1,2,3}(3)设集合A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A∩B=∅,则实数a的取值范围是( )A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2或a≥4} C.{a|a≤0或a≥6}D.{a|2≤a≤4}1.已知集合A={1,2,4},则集合B={(x,y)|x∈A,y∈A}中元素的个数为( )A.3 B.6 C.8 D.92.已知集合A={x|y=1-x2,x∈R},B={x|x=m2,m∈A},则( )A.A B B.B A C.A⊆B D.B⊆A3.设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁R B)=( )A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3)4.已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若∁U B⊆A,则实数a的取值范围是( )A.(-∞,1) B.(-∞,2] C.[1,+∞) D.[2,+∞)5.已知集合A={x|x2-2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是________.6.已知R是实数集,集合M={x|3x<1},N={y|y=t-2t-3,t≥3},则N∩∁RM=______.7.已知全集U ={-2,-1,0,1,2},集合A =⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x =2n -1,x ,n ∈Z ,则∁U A =________.8.已知集合A ={-4,2a -1,a 2},B ={a -5,1-a ,9},分别求适合下列条件的a 的值.(1)9∈(A ∩B ); (2){9}=A ∩B .9.设全集I =R ,已知集合M ={x |(x +3)2≤0},N ={x |x 2+x -6=0}.(1)求(∁I M )∩N ;(2)记集合A =(∁I M )∩N ,已知集合B ={x |a -1≤x ≤5-a ,a ∈R },若A ∪B =A ,求实数a 的取值范围.1.已知集合A ={(x ,y )|x +y -1=0,x ,y ∈R },B ={(x ,y )|x 2+y 2=1,x ,y ∈R },则集合A ∩B 的元素个数是( )A .0B .1C .2D .32.已知集合A ={x |x 2-2x -8≤0},B ={x |x 2-(2m -3)x +m (m -3)≤0,m ∈R },若A ∩B =[2,4],则实数m =________.3.已知集合A ={x |1<x <3},集合B ={x |2m <x <1-m }.(1)当m =-1时,求A ∪B ;(2)若A ⊆B ,求实数m 的取值范围;(3)若A ∩B =∅,求实数m 的取值范围.。

集合的概念及运算

集合的概念及运算

10.集合 M={m | m=2a-1, aZ} 与 N={n | n=6b1, bZ} 之间的 关系是 N M .
11.已知 R 为全集, A={x | log 1(3-x)≥-2}, B={x | x 5 ≥1}, 求 +2 2 CRA∩B. (-2, -1)∪{3} 12.调查 100 名有携带药品出国的旅游者, 其中 75 人带有感冒 药, 80 人带有胃药, 那么既带感冒药又带胃药的人数的最大值 和最小值分别为多少? 解: 设既带感冒药又带胃药的人数为 x, 既不带感冒药又不带 胃药的人数为 a. 记这100名出国旅游者组成全集 I , 其中带感冒药的人组成集 合 A, 带胃药的人组成集合 B. 则 x=card(A∩B) 且 card(A)=75, card(B)=80, 依题意得: a+card(A)+card(B)-x=100, 0≤a≤20. ∴x=a+55, 0≤a≤20. ∴55≤x≤75. 故既带感冒药又带胃药的人数的最大值为 75, 最小值为 55. 13.已知函数 f(x)=ax2-1, aR, xR, 设集合 A={x | f(x)=x}, 集 合 B={x | f[f(x)]=x}, 且 A=B, 求实数 a 的取值范围.
2, a+b, 0}, 则 a2006+b2007= 1 . 1.若{a, b , 1}={ a a 2.若集合 M={-1, 1, 2}, N={y | y=x2, x∈M}, 则 M∩N 是 ( B ) A. {1, 2, 4} B. { 1 } C. {1, 4} D. x+1 3.若集合 M={12, a}, 集合P={x | x -2 ≤0, x∈Z} 且 M∩P={0}, 记 M∪P=S, 则集合 S 的真子集个数是 ( D) A. 8 B. 7 C. 16 D. 15 4.已知集合 S, M, N, P 如图所示, 则图中阴影部分表示的集合 S 是( D) A. M∩(N∪P) B. M∩Cs(N∩P) P M N C. M∪Cs(N∩P) D. M∩Cs(N∪P)

《集合》知识点总结

《集合》知识点总结

《集合》知识点总结一、集合的基本概念1、集合:一些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象称为元素。

2、集合的表示:用大括号{}或小括号()表示,元素与集合的关系为“属于”或“不属于”。

3、集合的特性:确定性、互异性、无序性。

二、常见集合的表示方法1、自然数集:N2、整数集:Z3、有理数集:Q4、实数集:R三、集合的运算1、交集:取两个集合的公共元素组成的集合,记作A∩B。

2、并集:把两个集合合并起来,记作A∪B。

3、补集:把属于一个集合但不在该集合的元素组成的集合,记作CuA。

四、集合间的关系1、子集:若一个集合A的每一个元素都是另一个集合B的元素,则称A是B的子集。

2、真子集:如果A是B的子集,且A≠B,则称A是B的真子集。

3、相等:当且仅当两个集合的元素完全相同,且不强调元素的顺序时,两个集合相等。

五、集合的基本运算性质1、若A、B为两个集合,有A∩B=B∩A。

2、若A、B为两个集合,有Cu(A∩B)=CuA∪CuB。

3、若A、B、C为三个集合,有(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

4、若A、B为两个集合,有(CuA)∪B=(A∪B)∩CuB。

5、若A、B、C为三个集合,有(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)。

6、若A、B为两个集合,有(CuA)∩B=Cu(A∪B)。

7、若A、B为两个集合,有(CuA)∪(CuB)=Cu(A∩B)。

集合知识点总结一、集合、元素及其关系1、集合的基本概念:集合是一个不重复的元素的集合,常用大写字母表示集合,如A={1,2,3},B={apple,banana,cherry}。

2、集合的表示方法:常用的表示方法有列举法和描述法。

列举法是把集合中的元素一一列举出来,适用于元素数量较少的集合;描述法是用集合中元素的共同特征来描述集合,如自然数集N={n|n是自然数}。

3、集合的元素关系:如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素,那么称A是B的子集,记作A⊆B。

集合及其运算

集合及其运算

第一讲集合及其运算定义1.1. 具有某种特征的事物或对象的全体称为一个集合。

构成集合的事物或对象称为集合的元素.通常使用大写字母表示集合,使用小写字母表示元素集合的表示法:(1)列举法:例如:A ={−1, 0, 1}(2)描述法:例如:大于−3 且不超过 2 的有理数集合{| 3 2, }A =x −<x ≤x为有理数注记1.1:(I)我们使用下面一些特殊的记号表示一些特殊的集合:全体自然数集合={0, 1, 2,};全体正整数集合+={1, 2,};全体整数集合={0, ±1, ± 2,};p全体有理数集合: , ; , 0互质且;=p q∈p q q ≠q全体实数集合={x : −∞<x <+∞};全体复数集合={x +iy : −∞<x, y <+∞}。

(II)我们允许集合不含任何元素,称之为空集,通常用符号φ表示空集。

集合A 与元素x 间的关系:•x 落在集合A 中,记为x ∈A ,表示x 属于A ;•x 不落在集合A 中,记为x ∉A ,表示x 不属于A ;注记1.2: x ∈A与x ∉A必然有一个成立,但绝不会两者同时成立!集合A 与集合B 间的关系:•如果集合A 中的所有元素均落在集合B 中,我们说集合A 为集合B 的子集,也说集合A 含于集合B 中,集合B 包含集合A ,记为A ⊆B 。

•如果A ⊆B 但A ≠B,我们称集合A 为集合B 的真子集.注记1.3: (I)φ⊆A. (II)A ⊆A。

(III) A ⊆B 与B ⊆A可以都不成立(IV)如果A ⊆B 且B ⊆A,则A =B ;(V)如果A ⊆B 且B ⊆C ,则A ⊆C例子1.1:设A ={0,1, 2}, B ={0, 2}。

我们有0∈A, 0∈B ,1∉B ,A ⊆B 不真,B ⊆A不真。

例子1.2. 我们有+⊆⊆⊆⊆⊆。

1.2. 集合间的运算:并、交、差(1)A B :={x : x∈A或x∈B}-----集合A 与集合B 的并集;例子1.2:{1, 2, 3}{2,3,4}= {1, 2,3, 4}。

集合有关概念

集合有关概念

知识(一)集合的有关概念⒈定义:一般地,我们把研究对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,也简称集。

2.表示方法:集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示,而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等:构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法:非负整数集(或自然数集),记作N;正整数集,记作N*或N+;N内排除0的集.整数集,记作Z;有理数集,记作Q;实数集,记作R;5.关于集合的元素的特征⑴确定性:给定一个集合,那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如:“地球上的四大洋”(太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋)。

“中国古代四大发明”(造纸,印刷,火药,指南针)可以构成集合,其元素具有确定性;而“比较大的数”,“平面点P周围的点”一般不构成集合,因为组成它的元素是不确定的.⑵互异性:一个集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素是不重复出现的。

.如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}⑶无序性:即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

6.元素与集合的关系:(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于∉”两种)⑴若a是集合A中的元素,则称a属于集合A,记作a∈A;⑵若a不是集合A的元素,则称a不属于集合A,记作a∉A。

例如,我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合,则有3∈A,4∉A,等等。

(二)集合的表示方法⒈列举法:把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举法。

如:{1,2,3,4,5},{x 2,3x+2,5y 3-x ,x 2+y 2},…;说明:(1)书写时,元素与元素之间用逗号分开;(2)一般不必考虑元素之间的顺序;(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序;(4)集合中的元素可以为数,点,代数式等;(5)列举法可表示有限集,也可以表示无限集。

当元素个数比较少时用列举法比较简 单;若集合中的元素较多或无限,但出现一定的规律性,在不发生误解的情况下,也可以用列举法表示。

小学生的集合了解集合的概念和运算

小学生的集合了解集合的概念和运算

小学生的集合了解集合的概念和运算在小学数学学习中,集合是一个重要的概念。

通过了解集合的定义和运算,可以帮助小学生建立数学思维和解决问题的能力。

本文将介绍集合的概念、运算及其在小学数学中的应用。

一、集合的概念集合是指把具有某种共同特征的对象或者元素组成的整体。

例如,小学生的全体学生可以组成一个集合,集合中的每个元素就是一个小学生。

集合通常用大写字母表示,而集合中的元素用小写字母表示。

集合的表示法有两种方式,一种是列举法,即将集合中的元素一个一个列举出来;另一种是描述法,即通过描述集合中元素所具有的共同特征来表示。

二、集合的运算1. 并集并集是指将两个或多个集合中所有的元素合并在一起,去除重复的元素后形成的新集合。

并集的符号为“∪”。

例如,集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},则A∪B={1, 2, 3, 4}。

2. 交集交集是指两个或多个集合中共同存在的元素组成的新集合。

交集的符号为“∩”。

例如,集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},则A∩B={2, 3}。

3. 差集差集是指从一个集合中去除与另一个集合中相同元素后所得到的新集合。

差集的符号为“-”。

例如,集合A={1, 2, 3},集合B={2, 3, 4},则A-B={1}。

4. 补集补集是指在全集中去除某个集合的元素形成的新集合。

补集的符号为“'”或“-”。

例如,全集U={1, 2, 3, 4},集合A={2, 3},则A'={1, 4}或者A-U={1, 4}。

5. 子集子集是指一个集合中的所有元素都是另一个集合的元素的情况。

子集的符号为“⊆”。

例如,集合A={1, 2},集合B={1, 2, 3},则A⊆B。

6. 空集空集是指不包含任何元素的集合,用符号“∅”表示。

三、集合的应用集合在小学数学中有着广泛的应用,以下介绍两个常见的应用场景。

1. 数据统计集合的概念可以帮助小学生进行数据统计和分析,以解决实际问题。

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集合的有关概念及其运算
一、选择题
1、设{}{},的子集,的子集B N A M B A ==∅=, 那么下列关系中正确的一个是( )
A 、0=N M A 、
B A N M = A 、{}∅=N M A 、{}0=N M
2、已知集合{}22,11,,32+==∈≤=b a R x x x M ,则( )
A 、M b M a ∉∈且
B 、M b M a ∈∉且
C 、M b M a ∈∈且
D 、M b M a ∉∉且
3、如图,I 是全集,集合A 、B 是集合I 的两个子集,则阴影部分所表示的集合是( )
A 、
B A
C I B 、)(B A C I
C 、B C A C I I
D 、B C A C I I
4、已知集合{}{}
1,1,022≤+==y x y B A ,则A 与B 的关系为( ) A 、A=B B 、B A ⊆ C 、B A ⊇ D 、B A ⊇
5、设全集{}
{}{})(,5,3,3,16*B A C B A x N x U U 则,集合==<∈==( ) A 、{}4,1 B 、{}5,1 C 、{}4,2 D 、{}5,2
6、设{}等于则集合a b b a b a b a R b a -⎭
⎬⎫⎩⎨⎧=+∈,,,0,,1,,( ) A 、1 B 、-1 C 、2 D 、-2
7、已知集合{}{}中恰好若,集合N M x x N x M ,,4,1,33=-=有4个元素,则x 的不同取值共有( )
A 、2个
B 、3个
C 、4个
D 、5个
8、对于集合{}
)()(,,M N N M N M N x M x x N M N M --=⊕∉∈=- 且定义,设 {}{}B A R x y y B R x x x y y A x ⊕∈-==∈-==则,,2,,32等于( )
A 、⎥⎦⎤ ⎝⎛-0,49
B 、⎪⎭
⎫⎢⎣⎡-0,49 C 、[)+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,049, D 、()+∞⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-,049,
二、填空题
9、用列举法表示集合=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈∈+=Z M Z m m M ,110_____________________ 10、若集合I=R ,)(),(x g x f 均为x 的二次函数,{}{}
0)(,0)(≥=<=x g x Q x f x P ,则
不等式组⎩⎨⎧<<0
)(0)(x g x f 的解集可用Q P ,表示为_______________________
11、已知集合{}{}B A x x B a x a x A ⊇<<=+≤≤-=,则能使53,21成立的实数a 的取值范围是___________________________
12、已知集合{}=∈∈+-==Q R y R x x k y y x P ,,,1)1(),({
02),(22=-+y y x y x R y R x ∈∈,},那么Q P 中元素的个数为_________________________
13、全集{}[]22,,1,0))(1(,n m n A C m x x x x A R U U +--=>+-==则=_______________
14、设集合都是集合且N M n x n x N m x m x M ,,31,43⎭
⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧
+≤≤= {}10≤≤x x 的子集,如果a b -叫做集合{}b x a x ≤≤的“长度”
,那么集合N M 的“长度”的最小值是_______________________。

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