函数的值域与最值

函数的值域与最值
【知识要点】 一、基本函数的值域
①一次函数y =kx +b(k≠0)的值域为 . ②反比例函数)0(k
=
y ≠k x
的值域为 . ③二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的值域： 当a ＞0时，值域为 ； 当a ＜0时，值域为 . 二、求函数值域的基本方法
1．直接法：从自变量x 的范围出发，推出)(x f y =的取值范围。

2. 图像法（数型结合法）：当一个函数图像可作时，通过图像可求其值域和最值；或利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法求出函数的值域。

3.配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。

形如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法。

要特别注意自变量和新变元的范围.
4.分离常数法：形如b
ax d
cx y ++=
分子、分母是一次函数得有理函数，可用“分离常数法” 5.利用有界性：利用某些函数有界性求得原函数的值域。

6.判别式法：把函数转化成关于x 的二次方程(,)0F x y =；通过方程有实数根，判别式
0∆≥，从而求得原函数的值域，形如
2111
2222
a x
b x
c y a x b x c ++=
++（1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，常用此方法求解。

7．换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函
数的值域，形如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）无理函数型的函数常用此法求解。

有时也可考虑单调性法.
8．单调性法：单调函数可根据函数的单调性求得值域.
9.导数法:当一个函数在定义域上可导时，可据其导数求最值.
10.不等式法：有的函数可拆配成重要不等式或均值不等式的形式，利用重要不等式或均值不等式求最值时，一定要注意使用条件“一正、二定、三相等”.
典例精讲】
题型1 利用数形结合法求函数的值域 例1.(1) )1(1
>=
x x
y (2) y= |x ＋1|＋|x －2|
变式：（1）已知|x ＋1|＋|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围； （2）已知|x-2|-|x+1|<a 恒成立，求a 的取值范围.
题型2 求二次函数在闭区间上的值域
例2.求函数y=x 2-2x+5在下列区间上的值域. （1）x ∈R ； （2）x ∈［-1，0］；
（3）x ∈［-2，2］； （4）x ∈［1，2］.
变式：2234x x y -+-= 题型3 求简单分式函数的值域 例3.求下列函数的值域 （1）2
41
5+-=x x y ；
（2）1
1
22+-=x x y ；
（3）1
1
22+++-=x x x x y
（4）)1(1
10
72->+++=
x x x x y
题型4 求无理函数的值域
例4. (1) 2x -1 +2x =y ；(2)4x -13 -3-2x =y
题型5 一类有关函数值域的逆向问题 例 5.已知函数a ax x x f -++-=12)(2在区间][1,0上有最大值2，求实数a 的值.
〖课时作业〗
1. 函数y ＝f (x )的值域是[－2,2]，则函数y ＝f (x －2)的值域是( )
A ．[－2,2]
B ．[－4,0]
C ．[0,4]
D ．[－1,1] 2.已知函数
M ,最小值为m ,则
m
M
的值为（ ） A.14 B.12
C.2
3. 函数()log (1)[0,1]x
a f x a x =++在上
的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为
.
A 41 .
B 2
1
.C 2 .D 4 4. 若函数()y f x =的值域是1
[,3]2
，则函
数1
()()()
F x f x f x =+的值域是（ ）
A ．
1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3
5.用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值.设f （x ）=min{x
2, x+2,10-x} (x ≥ 0),则 f （x ）的最大值为（ ）
A.4
B.5
C.6
D.7 6.已知322
+-=x x y 在区间][m ,0上最大值是3，最小值是2，则m 的取值范围是（ ）
A.[)+∞,1
B.[]2,0
C.(]2,∞-
D.[]2,1
7. 已知函数3()128f x x x =-+在区间[]33-，上的最大值与最小值分别为M 、m ，则M m -= ． 8.求下列函数的值域
①y=3x+2(-1≤x ≤1)； ② y=3x+2,}101{，，-∈x ； ③ 1+=
x y ；
④ 1-+=x x y ； ⑤y=－|x －2|-1；
⑥31
2-+=
x x y ； ⑦
322
+-=x x y )32(≤≤-x ； ⑧12-+=x x y ； ⑨)314(log 23
1+-=x x y .
9. 若函数()f x 的值域为34
,89⎡⎤⎢⎥
⎣
⎦
，求()y f x =.
10.已知3
()2
l o g f x x =+，][9,1∈x ，求函数
[]()2
2()y f x f x =+的值域.
11.已知函数f(x)=x
a
x x ++22,x ∈［1，+∞）.
(1)当a=2
1
时，求函数f(x)的最小值；（2）若对任意x ∈［1，
+∞］，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
12.设函数32
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时
取得极值．（Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）若对于任意的[03]x ∈，
，都有2
()f x c <成立，求c 的取值范围．
1.已知函数y=3x ，x ∈A ，其中A={x||x|≤2，且x ∈Z}，则函数的值域是（ ） A ．R B ．［-2，2］ C ．［-6，6］ D ． {-6，-3，0，3，6}
6.
对于每个实数x ，设f (x )取y ＝4x ＋1，y ＝x ＋2，y ＝－2x ＋4三个函数中的最小值，用分段函数写出f (x )的解析式，并求f (x )的最大值．
定义运算：a ⊗b=⎩⎨⎧<≥b a a b
a b ,,,则
x
x f -=2
)(⊗x 3的值域.
函数y=3-222x x +-的值域是（ ）
A.（-∞,2）
B.［1，2］
C.［1，3］
D.［2，+∞）
函数y=⎪⎩
⎪
⎨⎧>+-≤<+≤+)
1(5),10(3
),
0(32x x x x x x 的值域为__________.
① R . ②{y |y ∈R 且y ≠0}． ③[4ac －b 24a ，＋∞)， (－∞，4ac －b 24a ]．
1.D
2.A
3.答案：A
解析：y=3-1)1(2
+-x ,当x=1时，y max =2.又1)1(2
+-x 在［1，+∞)中是增函数，
因此y 无最小值，故y ∈(-∞,2］. 4.答案：（-∞,4］
解析：当x ≤0时，y=2x+3∈(-∞，3］； 当0<x ≤1时，y=x+3∈（3，4］； 当x>1时，y=-x+5∈(-∞，4］.
∴函数的值域为（-∞，3］∪(3，4］∪（-∞,4）=(-∞,4］.
已知函数
M ,最小值为m ,则
m
M
的值为（ ） A.
14
B.
12
C.
2
f (x )的最大值为f ⎝⎛⎭⎫23＝8
3.
6.解析：（1）当a=
2
1
时，f(x)=x
x x 21
22+
+=x+2
1x+2,
易证f(x)在［1，+∞）单调递增， ∴f(x)min =f(1)=
2
7. (2)x ∈［1，+∞)，f(x)>0恒成立，即t=x 2+2x+a 在［1，+∞）恒大于0.
而t 在［1，+∞）递增，∴t min =2+a. 依题意知2+a>0,∴a>-2为所求.
对a,b ∈R,记max{a,b}=⎩
⎨⎧≥b a b b
a a ＜,,，函数f （x ）＝
max {|x+1|,|x-2|}(x ∈R)的最小值是____.
y=3x+2(-1≤x ≤1) y=-x+3,x ∈{1,2，3，4}。