江苏省2016届高三数学专题复习 仿真卷(2)文

高考仿真卷(B 卷)(时间：120分钟 满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在题中的横线上) 1．设集合U ＝{1，2，3，4}，A ＝{1，2}，B ＝{2，4}，则∁U (A ∪B )＝________． 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足(3－i)z ＝－2i ，则z 的值是________．3．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为10∶8∶7，按分层抽样从中抽取200名学生作为样本，若每人被抽到的概率都是0.2，则该校高三年级的总人数为________． 4．如图是一个算法流程图，若输入m 的值为2，则输出的i 的值是________．5．某校甲、乙、丙3名艺术考生报考三所院校(每人限报一所)，则其中甲、乙两名学生填报不同院校的概率为________．6．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝4n (n ∈N *)，则该数列的公比为________．7．过原点O 作圆x 2＋y 2－12x －16y ＋75＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________．8．将函数y ＝12sin 2x ＋32cos 2x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．9．“a ≤－1”是“函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1x在[1，＋∞)上是单调减函数”的________条件．10．设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在点P ，使得∠PF 1F 2＝60°，|PF 2|是焦距的32倍，则双曲线的离心率为________．11.如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是2，且顶点A 1在底面ABC 上的射影O 为△ABC 的中心，则三棱锥A 1－ABC 的体积为________．12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0），1f （x －1）－1，x ∈[0，1），若方程f (x )－kx －3k ＝0有两个实数根，则k 的取值范围是________．13．点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB 和CD 上的点，且AB ＝2AE ，CD ＝4FD ，点P 为线段EF 上的动点，AP →＝xAB →＋yAD →，则1x ＋1y的最小值为________． 14．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，3x －2，x ＞0，设集合A ＝{y |y ＝|f (x )|，－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ＝ax ，－1≤x ≤1}，若对同一x 的值，总有y 1≥y 2，其中y 1∈A ，y 2∈B ，则实数a 的取值范围是________．二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分14分)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知b ＝a cos C ＋c sin A ，cos B ＝45.(1)求cos C 的值；(2)若BC ＝10，D 为AB 的中点，求CD 的长．16．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，PA ＝PD ＝AD ＝2，点M 在线段PC 上，且PM ＝2MC ，N 为AD 的中点．(1)求证：BC ⊥平面PNB ；(2)若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P －NBM 的体积．17．(本小题满分14分)某品牌公司拟生产某种特殊规格的品牌服装，其日产量最多不超过20件，每日产品废品率p 与日产量x (件)之间近似满足关系式p ＝⎩⎪⎨⎪⎧215－x ，1≤x ≤9，x ∈N *，x 2＋60540，10≤x ≤20，x ∈N*(日产品废品率＝日废品量日产量×100%)．已知每生产一件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元(该车间的日利润y ＝日正品赢利额－日废品亏损额)．(1)将该车间日利润y (千元)表示为日产量x (件)的函数；(2)当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？18．(本小题满分16分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点F (3，0)．A ，B ，C ，D分别为椭圆C 的左、右、上、下顶点，且四边形ACBD 的内切圆的方程为x 2＋y 2＝45.(1)求椭圆C 的方程；(2)若点P 是直线x ＝－1上的动点，直线PA ，PB 与椭圆C 的另一个交点分别是M ，N ，求证：直线MN 经过一定点．19．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝xln x ＋ax ，x ＞1.(1)若f (x )在区间(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝2，求函数f (x )的极小值；(3)若方程(2x －m )ln x ＋x ＝0在区间(1，e]上有两个不相等实根，求实数m 的取值范围．20．(本小题满分16分)已知数列{a n }与{b n }满足关系：a 1＝2a ，a n a n ＋1＋a 2a n ＋1a n ＝2，b n ＝a n ＋aa n －a(n ∈N *，a ＞0)，数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项之积为T n . (1)求证：数列{lg b n }是等比数列； (2)求T n 的表达式； (3)证明：a n －a a n ＋1－a ＝32n －1＋1，并且比较S n 与⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋43a 的大小．高考仿真卷(B 卷)1．{3} [利用集合运算的定义求解．因为A ∪B ＝{1，2，4}，所以∁U (A ∪B )＝{3}．] 2.12－32i [依题意得z ＝－2i （3＋i ）（3＋i ）（3－i ）＝－3i ＋12＝12－32i.] 3．280 [因为每人被抽到的概率都是0.2，所以该校总人数为2000.2＝1 000，所以该校高三年级的总人数为1 000×710＋8＋7＝280.]4．4 [当输入m 的值为2时，执行题中的流程图，进行第一次循环时，i ＝1，A ＝2，B ＝1，A ＞B ；进行第二次循环时，i ＝2，A ＝4，B ＝2，A ＞B ；进行第三次循环时，i ＝3，A ＝8，B ＝6，A ＞B ；进行第四次循环时，i ＝4，A＝16，B ＝24，A ＜B ，此时结束循环，输出i ＝4.]5.23[设三所院校为A ，B ，C ，当甲填报A 校时，则甲、乙、丙填报院校的情况有AAA ，AAB ，AAC ，ABA ，ABB ，ABC ，ACA ，ACB ，ACC ，共9种；同理，当甲填报B 或C 校时，都各有9种填报方法，即三名考生的填报方法共有27种．其中甲、乙两名学生填报不同院校的有 6×3＝18(种)，故所求概率为1827＝23.]6．2 [依题意得a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝4，即q 2＝4，又a n a n ＋1＝4n＞0，因此数列{a n }的任意相邻的两项符号均相同，因此q ＝2.]7．5 3 [依题意，圆的圆心坐标是C (6，8)、半径是5，OC ＝10，OP ＝102－52＝53，sin ∠POC ＝510＝12，∠POC ＝30°，∠POQ ＝2∠POC ＝60°，△POQ 是等边三角形，PQ ＝OP ＝5 3.]8.π12 [依题意，把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向左平移m 个单位长度后得到的曲线y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2（x ＋m ）＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋2m ＋π3关于y 轴对称，于是有2m ＋π3＝k π＋π2，即m ＝k π2＋π12(k ∈Z )，因此m 的最小值是π12.] 9．充分不必要 [因为f ′(x )＝1x ＋a －1x 2，函数f (x )单调递减⇔f ′(x )＝1x ＋a －1x2≤0⇔a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x min，而1x 2－1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122－14，所以a ≤－14，所以“a ≤－1”是“函数f (x )＝ln x ＋ax ＋1x在[1，＋∞)上是单调减函数”的充分不必要条件．]10．2＋ 6 [依题意得|PF 2|＝3c ，又|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|cos 60°，即9c 2＝|PF 1|2＋4c 2－2c |PF 1|，即|PF 1|2－2c |PF 1|＝5c 2＝0，|PF 1|＝(6＋1)c ，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(6－2)c ，e ＝c a＝26－2＝2＋ 6.]11.13 [因为△ABC 是正三角形，O 为正三角形ABC 的中心，A 1O ⊥平面ABC ，所以三棱锥A 1－ABC 是正三棱锥．又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各条棱长都是2，所以AO ＝63，A 1O ＝AA 21－AO 2＝233，所以VA 1－ABC ＝13S △ABC ·A 1O ＝13×34×(2)2×233＝13.] 12.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 [依题意，当x ∈[0，1)时，x －1∈[－1，0)，f (x －1)＝－(x －1)，f (x )＝1f （x －1）－1＝－1x －1－1.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )与直线y ＝k (x ＋3)(该直线过点(－3，0)、斜率为k )的大致图象，结合图象可知，要使该直线与函数y ＝f (x )的图象有两个不同的交点，相应的斜率k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.]13.92 [由题意可得点E ，P ，F 三点共线，则EP →＝λEF →，λ∈[0，1]，AP →－AE →＝λ(AF →－AE →)，所以AP →－12AB →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AD →＋14AB →－12AB →，则AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14λAB →＋λAD →，又AB →，AD →不共线，由平面向量基本定理可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12－14λ，y ＝λ，所以4x ＋y ＝2，x ＞0，y ＞0.1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋y 2＝52＋y 2x ＋2x y ≥52＋2y 2x ·2x y ＝92，当且仅当y 2x ＝2x y ，x ＝13，y ＝23时取等号，所以1x ＋1y的最小值为92.]14.[－1，0] [由题意可得|f (x )|≥ax 对任意x ∈[－1，1]恒成立．当x ∈[－1，1]时，|f (x )|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，－1≤x ≤0，2－3x ，0＜x ≤23，3x －2，23＜x ≤1，作出函数图象如图，显然当a ＞0时，不满足题意；当a ≤0时，只要直线y ＝ax 在x ∈[－1，0]上与线段OA 重合或者在线段OA 下方时，满足题意，所以－1≤a ≤0.]15．解 (1)由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理，得sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋sinC sin A ，则cos A sin C ＝sin C sin A ，由于0<C <π知sin C ≠0，∴tan A ＝1，又A ∈(0，π)， 所以A ＝π4.又cos B ＝45，B ∈(0，π)，知sin B ＝35，∴cos C ＝cos(π－A －B )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫34π－B＝cos 34πcos B ＋sin 34πsin B ＝－210.(2)由(1)可得sin ∠ACB ＝1－cos 2∠ACB ＝7210，在△ABC 中，由正弦定理，得BCsin A＝ABsin ∠ACB，则AB ＝14. 在△BCD 中，BD ＝12AB ＝7，根据余弦定理得，CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝72＋102－2×7×10×45＝37，所以CD ＝37.16．(1)证明 ∵PA ＝AD ，N 为AD 的中点，∴PN ⊥AD ， 又底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，连接BD ， ∴△ABD 为等边三角形，又N 为AD 的中点， ∴BN ⊥AD ，又PN ∩BN ＝N ，∴AD ⊥平面PNB ， ∵AD ∥BC ，∴BC ⊥平面PNB .(2)解 ∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，PN ⊥AD ， ∴PN ⊥平面ABCD ，又NB ⊂平面ABCD .∴PN ⊥NB ， ∵PA ＝PD ＝AD ＝2，∴PN ＝NB ＝3，∴S △PNB ＝32.又BC ⊥平面PNB ，PM ＝2MC ，∴V P －NBM ＝V M －PNB ＝23V C －PNB ＝23×13×32×2＝23.17．解 (1)由题意可知，y ＝2x (1－p )－px ＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x 215－x，1≤x ≤9，x ∈N *，53x －x 3180，10≤x ≤20，x ∈N *.(2)考虑函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧24x －2x215－x，1≤x ≤9，53x －x3180，10≤x ≤20，当1≤x ≤9时，f ′(x )＝2－90（15－x ）2，令f ′(x )＝0，得x ＝15－3 5.当1≤x ＜15－35时，f ′(x )＞0，函数f (x )在[1，15－35)上单调递增； 当15－35＜x ≤9时，f ′(x )＜0，函数f (x )在(15－35，9]上单调递减， 所以当x ＝15－35时，f (x )取得极大值，也是最大值， 又x 是整数，f (8)＝647，f (9)＝9，所以当x ＝8时，f (x )有最大值647.当10≤x ≤20时，f ′(x )＝53－x 260＝100－x260≤0，所以函数f (x )在[10，20]上单调递减，所以当x ＝10时，f (x )取得极大值1009，也是最大值．由于1009＞647，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大，且最大日利润为1009千克．18．(1)解 由题意可得原点O 到直线x a ＋yb＝1， 即bx ＋ay ＝ab 的距离为25，所以|ab |a 2＋b2＝25.①又a 2＝b 2＋c 2＝b 2＋3，② ①②联立解得a 2＝4，b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设P (－1，t )，则直线PA ：y ＝t (x ＋2)，代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4t 2)x 2＋16t 2x ＋16t 2－4＝0，则x A x M ＝－2x M ＝16t 2－41＋4t2，x M ＝2－8t 21＋4t 2，y M ＝t (x M ＋2)＝4t 1＋4t 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8t 21＋4t 2，4t 1＋4t 2. 同理，联立PB ：y ＝－t 3(x －2)与x 24＋y 2＝1，解得N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8t 2－189＋4t 2，12t 9＋4t 2.所以k MN ＝12t 9＋4t 2－4t1＋4t 28t 2－189＋4t 2－2－8t 21＋4t2＝2t4t 2＋3， 所以直线MN 的方程为y －12t 9＋4t 2＝2t 4t 2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －8t 2－189＋4t 2， 化简得y ＝2t4t 2＋3(x ＋4)，恒过定点(－4，0)．19．解 (1)f ′(x )＝ln x －1ln 2x ＋a ，且f (x )在(1，＋∞)上是减函数， ∴f ′(x )≤0在x ∈(1，＋∞)上恒成立， 则a ≤1ln 2x －1ln x ＝⎝⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14， ∵x ∈(1，＋∞)，∴ln x ∈(0，＋∞)，∴1ln x －12＝0时函数t ＝⎝⎛⎭⎪⎫1ln x －122－14的最小值为－14， ∴a ≤－14.(2)当a ＝2时，f (x )＝xln x ＋2x ，f ′(x )＝ln x －1＋2ln 2x ln 2x .令f ′(x )＝0，得2ln 2x ＋ln x －1＝0，解得ln x ＝12或ln x ＝－1(舍)，于是x ＝ e.当1＜x ＜e 时，f ′(x )＜0；当x ＞e 时，f ′(x )＞0. ∴当x ＝e 时，f (x )有极小值f (e)＝eln e ＋2e ＝4 e.(3)将方程(2x －m )ln x ＋x ＝0化为(2x －m )＋xln x ＝0，整理得xln x＋2x ＝m ，因此函数f (x )＝xln x ＋2x 与直线y ＝m 在(1，e]上有两个交点，由(2)知，f (x )在(1，e)上递减，在(e ，e]上递增．又f (e)＝4e ，f (e)＝3e ，且当x →1时，f (x )→＋∞. ∴4e ＜m ≤3e.故实数m 的取值范围为(4e ，3e]．20．(1)证明 由a na n ＋1＋a 2a n ＋1a n ＝2，可得a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 2a n ，b n ＝a n ＋aa n －a，∴b n ＋1＝a n ＋1＋a a n ＋1－a ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 2a n ＋a 12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋a 2a n －a ＝（a n ＋a ）2（a n －a ）2＝b 2n ＞0，∴lg b n ＋1＝2lg b n ，又a ＞0，∴b n ＝a n ＋aa n －a≠1，故lg b n ≠0，因此lg b n ＋1lg b n＝2，故{lg b n }是等比数列．(2)解 由(1)知b 1＝a 1＋aa 1－a ＝3，∴lgb n ＝(lg 3)·2n －1，∴b n ＝32n －1.∴T n ＝b 1b 2b 3…b n ＝320·321·322·…·32n＝ 320＋21＋22＋…＋2n －1＝31－2n1－2＝32n －1.(3)证明 由b n ＝an ＋aa n －a，得a n ＝b n ＋1b n －1·a ＝32n －1＋132n －1－1·a ＝a ＋2a32n －1－1，∴a n －a a n ＋1－a ＝2a32－12a 32n －1＝32n －132n －1－1＝（32n －1）2－132n －1－1＝32n －1＋1.∴当n ≥2时，a n ＋1－a ＝a n －a 32n －1＋1≤110(a n －a )，∴a 3－a ＜110(a 2－a )，a 4－a ＜110(a 3－a )，…，a n －a ＜110(a n －1－a )，∴S n －a 1－a 2－(n －1)a ＜110[S n －1－a －(n －2)a ]， ∵a 1＝2a ，a 2＝54a ，∴10S n －65a 2－10(n －2)a ＜S n －a n －2a －(n －2)a ，∴S n ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －2）＋6118－32n －1＋19（32n －1－1）a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋2518－19a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋2318a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋43a .。