高中数学一轮复习微专题第③季基本初等函数：第4节 对数函数
对数函数的定义和基本性质
对数函数的定义和基本性质1. 对数函数的定义对数函数是实数域上的一个函数，通常用符号y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）表示。
对数函数是对数arithmetic和函数function的组合。
对数函数是一类重要的数学函数，在数学分析、高等数学、工程学等领域中都有广泛的应用。
2. 对数函数的基本性质（1）单调性对数函数y = log_a(x)在定义域（即真数集）内是单调递增的。
当底数a > 1时，随着真数x的增加，对数函数的值也增加；当底数0 < a < 1时，随着真数x的增加，对数函数的值减少。
（2）反函数对数函数y = log_a(x)（其中a是底数，x是真数）和函数y = a^x（其中a是底数，x是真数）是互为反函数的关系。
也就是说，对于任意一个正实数y，都存在一个正实数x使得log_a(y) = x，则有a^x = y。
（3）对数恒等式对数恒等式是指对数函数在不同底数之间可以进行转换。
具体来说，有以下两个恒等式：•对数换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)（其中a, b, c 都是正实数，且a != 1, c != 1）。
•对数性质公式：log_a(b^c) = c * log_a(b)（其中a, b, c都是正实数，且a != 1）。
（4）对数函数的图像对数函数的图像是一条经过点(1, 0)，且斜率在0和+∞之间的曲线。
当底数a > 1时，图像位于第一象限；当底数0 < a < 1时，图像位于第二象限。
（5）对数函数的渐近线对数函数没有水平渐近线，但有一条垂直渐近线，即x = 0。
当x趋近于0时，对数函数的值趋近于负无穷；当x趋近于正无穷时，对数函数的值趋近于正无穷。
（6）对数函数与指数函数的关系对数函数和指数函数是互为逆运算的关系。
具体来说，对于任意一个正实数y，如果y = log_a(x)，则有x = a^y。
高三对数函数总结知识点
高三对数函数总结知识点1. 引言对数函数是高中数学中的重要概念之一，广泛应用于各个领域。
在高三阶段学习中，对数函数也是重要的内容之一。
本文将对高三对数函数的知识点进行总结，帮助同学们更好地掌握和应用这一知识。
2. 对数函数的定义和性质对数函数的定义是指数与底数之间的关系。
对于正数a、b(a≠1)，其中b>0，b≠1，a^x=b，称x为以a为底b的对数，记作logₐb。
对数函数有一些重要的性质，如对数的底数不能为0或1，底数为a的对数函数是单调递增函数等。
3. 对数函数的图像和性质对数函数的图像呈现一种特殊的曲线形状，具有一些独特的性质。
对于底数为a的对数函数logₐx，当x>1时，函数值递增；当0<x<1时，函数值递减；当x=1时，函数值为0。
此外，对数函数的图像在直线y=1和y=-1上分别有一条水平渐近线。
4. 常见对数函数的性质常见的对数函数包括以10为底的常用对数函数和以自然常数e为底的自然对数函数。
以10为底的对数函数log₁₀x常用于计算，有一些特殊性质，如log₁₀10=1，log₁₀1=0。
以e为底的自然对数函数lnx在数学和科学中应用广泛，同样具有一些特殊性质，如ln1=0，lne=1。
5. 对数的运算法则对数的运算法则是进行对数运算时常用的一些规则。
其中包括换底公式、对数的乘法法则和除法法则等。
通过熟练掌握对数运算法则，可以简化对数运算的过程，方便计算和推导。
6. 对数方程和对数不等式对数方程和对数不等式是对数函数的应用之一。
对数方程是指等式中存在对数的方程，解对数方程的方法通常可以利用对数的反函数指数函数的性质。
对数不等式是指不等式中存在对数的不等式，解对数不等式通常需要结合对数的性质进行推导和求解。
7. 实际问题中的对数函数对数函数在实际问题中具有广泛应用，如人口增长模型、物种滤过模型等。
通过将实际问题进行建模，可以利用对数函数的性质解决实际问题，并对问题进行分析和预测。
高二对数函数知识点总结
高二对数函数知识点总结对数函数是数学中重要的一类函数，也是高中数学中的重要内容之一。
在高二阶段，学生们开始接触和学习对数函数，并掌握其相关知识点。
本文将对高二对数函数的知识点进行总结。
一、基本概念对数函数是指以指数为自变量，对数为函数值的函数。
对数函数常用的底数有10和e。
其中，以底数10为底的对数函数叫做常用对数函数，记作log₋₁₀x；以底数e为底的对数函数叫做自然对数函数，记作lnx。
二、对数函数的性质1. 定义域和值域：对于常用对数函数log₋₁₀x，定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集；对于自然对数函数lnx，定义域为正实数集(0,+∞)，值域为实数集。
2. 基本性质：(1) 对于常用对数函数log₋₁₀x，log₋₁₀(1) = 0；(2) 对于自然对数函数lnx，ln(1) = 0；(3) 对于常用对数函数和自然对数函数，log₋₁₀10 = 1，ln e= 1。
3. 对数函数的图象：(1) 常用对数函数y = log₋₁₀x的图象是一条过点(1, 0)的递增曲线；(2) 自然对数函数y = lnx的图象是一条过点(1, 0)的递增曲线。
三、对数函数的运算1. 对数乘法运算法则：logₐ(xy) = logₐx + logₐy2. 对数除法运算法则：logₐ(x/y) = logₐx - logₐy3. 对数幂运算法则：logₐ(xⁿ) = n·logₐx4. 换底公式：logᵦa = logₐa / logₐb四、对数函数的常用性质1. 对数函数的奇偶性：(1) 常用对数函数log₋₁₀x是奇函数，即log₋₁₀(-x) = -log₋₁₀x；(2) 自然对数函数lnx是奇函数，即ln(-x) = -lnx。
2. 对数函数的单调性：(1) 常用对数函数log₋₁₀x在定义域内是递增的；(2) 自然对数函数lnx在定义域内是递增的。
3. 对数函数的图象变换：(1) 常用对数函数y = log₋₁₀(ax)与y = log₋₁₀x的图象相比，沿x轴方向压缩(0 < a < 1)或伸长(a > 1)；(2) 自然对数函数y = ln(ax)与y = lnx的图象相比，沿x轴方向压缩(0 < a < 1)或伸长(a > 1)。
对数函数知识点总结
对数函数知识点总结对数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和实际问题中都有着广泛的应用。
对数函数的概念和性质需要我们认真学习和掌握，下面就对数函数的知识点进行总结，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容。
一、对数函数的定义。
对数函数是指以某个正数为底数，另一个数为真数，求得幂等于这个真数的指数的运算。
通常用“log”表示对数函数，其中底数和真数分别写在log的下标和上标位置。
对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
二、对数函数的性质。
1.对数函数的定义域是正实数集，值域是实数集。
2.对数函数的图像是一条曲线，呈现出特定的形状，具有单调递增性质。
3.对数函数的反函数是指数函数，两者互为反函数关系。
4.对数函数的性质包括对数的乘法公式、对数的除法公式、对数的换底公式等，这些公式在计算中有着重要的应用。
5.对数函数在数学和实际问题中有着广泛的应用，如在化学中的PH值计算、声音强度的测量等。
三、对数函数的应用。
1.对数函数在化学中的应用。
对数函数在化学中有着广泛的应用，其中最典型的就是PH值的计算。
PH值是用来表示溶液酸碱度的指标，它的计算就涉及到对数函数的运用。
PH值的计算公式为PH=-log[H+]，其中H+表示氢离子的浓度。
通过对数函数的运用，我们可以快速准确地计算出溶液的PH值，这在化学实验和工业生产中都有着重要的意义。
2.对数函数在声学中的应用。
在声学中，声音的强度可以用分贝来表示，而分贝的计算就需要对数函数的运用。
分贝的计算公式为L=10log(I/I0)，其中I表示声音的强度，I0表示参考声音的强度。
通过对数函数的计算，我们可以得到声音的分贝值，从而对声音的强度有一个直观的认识。
这对于保护听力和环境噪音的控制都有着重要的意义。
四、对数函数的解题技巧。
1.熟练掌握对数函数的基本性质和常用公式，能够灵活运用对数函数的乘法公式、除法公式、换底公式等，是解题的关键。
2.在解题过程中，要善于化简对数式，尤其是利用对数函数的性质进行化简，可以简化计算步骤，提高解题效率。
2025届高中数学一轮复习课件《对数函数》PPT
由图可知 a<b<c.故选 A．
高考一轮总复习•数学
比较对数值大小的方法
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01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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1．对数函数的图象与性质 a>1
0<a<1
图 象
定义域 值域 定点 单调性 在(0，＋∞)上 单调递增 函数值 当 x＞1 时，y＞0； 正负 当 0＜x＜1 时，y＜0
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对点练 1(1)(多选)已知函数 f(x)＝loga(x－b)(a>0，且 a≠1)的图象如图所示，则以下说 法正确的是( )
A．－1<b<0
B．a＋b>0
C．0<a<1
D．loga|b|<0
(2)已知 f(x)＝lg x，作出函数 y＝－f(x)，y＝f(－x)，y＝－f(－x)，y＝f(|x|)，y＝|f(x)|，y
3
2x－1的定义域为12，1.
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4．(2024·吉林长春月考)函数 f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递增区间为__(_3_，__＋__∞_)__．
解析：设 g(x)＝x2－2x－3，可得函数 g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调 递增，又由函数 y＝lg(x2－2x－3)满足 x2－2x－3>0，解得 x<－1 或 x>3，根据复合函数的单 调性，可得函数 f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)．
【精品课件】高考数学一轮复习专题三函数的概念、性质与基本初等函数5对数与对数函数综合篇课件新人教A版
8 3
.
答案
(1)B
(2)(1,2]
(3)1,
8 3
方法总结 1.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题, 在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法求解. y=loga f(x)的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函 数u=f(x)及y=logau的单调性(最值)确定函数y=loga f(x)的单调性(最值)(其 中a>0,且a≠1).
(2)已知函数f(x)=
(a 1)x 1 log2 x,
4 x
2a, 1.
x
1,若f(x)的值域为R,则实数a的取值范
围是
.
(3)已知函数f(x)=loga(8-ax)(a>0,且a≠1),若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立,则
实数a的取值范围为
.
解题导引 (1) (2) (3)
解析 (1)因为函数y=a|x|(a>0,且a≠1)的值域为{y|y≥1},所以a>1,故y=
1,
解得1<a≤2,即a∈(1,2].
(3)当a>1时, f(x)=loga(8-ax)在[1,2]上是减函数, 由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,
所以f(x)min=loga(8-2a)>1,故8-2a>a,即1<a<
8 3
;当0<a<1时,
f(x)=loga(8-ax)在[1,2]
上是增函数,由于f(x)>1在[1,2]上恒成立,所以f(x)min=loga(8-a)>1,且8-2a>0,所
考点清单
考点 对数与对数函数
高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数知识点总结
高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数知识点总
结
高三开学已经有一段时间了,高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中,小编带来了高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数，希望能帮助大家复习!
考纲要求
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用。
2.理解对数函数的概念;理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。
3.了解指数函数 y=a 与对数函数 y=loga_ 互为反函数(a>0，a≠1)。
考纲研读
1.能进行指数式与对数式的互化，能根据运算法则、换底公式进行运算。
2.能利用对数函数的单调性比较大小、解对数不等式，会解对数方程，利用图象判断解的个数。
3.反函数的概念仅限于指数函数与对数函数之间。
4.会求与不等式相结合的代数式的最值或参数的取值范围。
以上就是整理的高考数学一轮复习重要知识点：对数式与对数函数，希望能帮助大家做好高考第一轮复习！。
对数函数PPT课件
4.4 对数函数
对数函数的概念、图象及性质
第4章 指数函数与对数函数
1.了解对数函数的概念． 2.会画对数函数的图象，记 住对数函数的性质． 3．掌握对数函数图象和性质的应用．
第4章 指数函数与对数函数
1．对数函数的概念 一般地，函数 y＝logax(a>0，a≠1)叫做对数函数，对数函数 的定义域是___(0_，__＋__∞__)___，值域为___(_－__∞_，__＋__∞_)__．
a
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
定义 趋势
y＝logax(a>0 且 a≠1) a 值越大图象越靠近
a 值越小图象越靠近 x，y 轴 x，y 轴 x 趋于零，y 趋于－
x 趋于零，y 趋于＋∞；x 趋 ∞；x 趋于＋∞，y
于＋∞，y 趋于－∞ 趋于＋∞
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
3.y＝ax 称为 y＝logax 的反函数，反之，y＝logax 也称为 y＝ ax 的反函数，一般地，如果函数 y＝f(x)存在反函数，那么它 的反函数记作 y＝f－1(x)．
栏目 导引
第4章 指数函数与对数函数
对数函数的图象和性质 (1)如图所示的曲线是对数函数 y＝ logax 的图象，已知 a 的取值可为35，110， 3， 43，则相应曲线 C1，C2，C3，C4 的底数 a 的值 依次为________． (2)若函数 y＝loga(x＋b)＋c(a>0，a≠1)的图象恒过定点(3，2)， 则实数 b，c 的值分别为________，________.
定义 共点性
函数值
对称性
y＝logax(a>0 且 a≠1) 图象过点__(1_，___0_)_，即 loga1＝0
高一数学复习知识讲解课件42 对数函数的概念
4.4对数高一数学复习知4.4.1对数函对数函数复习知识讲解课件对数函数的概念要点 对数函数的概念一般地，函数_______________ (a 量，定义域是______________．y ＝log a x(0，＋∞)>0，且a ≠1)叫做对数函数．其中x 是自变1．对数函数的定义域为什么是(0，答：当a＞0，且a≠1时，a m＝N⇔子loga x中，x>0.，＋∞)?log a N＝m，真数为幂值N，而N>0，故式2．(1)y ＝log x a (a >0，且a ≠1)是对数函(2)y ＝log a (2x )(a >0，且a ≠1)是对数函数 答：(1)(2)都不是．对数函数吗？数函数吗？探究1对数函数必须是形如y＝logx(a>0，且a≠1)的形式．a探究2 (1)给定函数解析式求定义域的①分母不为0.②偶次方根下非负．③x 0中x ≠0.④对数的真数大于0.⑤对数、指数的底数a 满足a >0且a (2)求定义域时，首先列全限制条件组成组，最后结果一定写成集合(包含区间)的形义域的限制条件如下：≠1.件组成不等式组，然后正确解出不等式的形式．题型三题型三 对数函例3 某公司为激励创新，计划逐年加年投入研发资金130万元，在此基础上，12%，求该公司全年投入的研发资金开始超≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)．对数函数模型应用逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全，每年投入的研发资金比上一年增长开始超过200万元的年份(参考数据：lg 1.12课 后 巩 固1．下列函数是对数函数的是( ) A ．y ＝log 2x．＝A C y log x e解析解析 B 中真数不对；C 中底数不对B ．y ＝ln(x ＋1) ．＝D y 2lg x 不对；D 中系数不对．2．函数f (x )＝log 2(x －1)的定义域是A ．[1，＋∞)C ．(－∞，1)解析解析 由x －1>0得x >1，故定义域为( )B ．(1，＋∞) B D ．(－∞，1]域为(1，＋∞)．4．设f (x )＝ lg x ，x >0，10x ，x ≤0，则f (f (－2))解析 解析 f (－2)＝10－2>0，f (10－2)＝＝________． －2lg 10－2＝－2.5．某公司为了业务发展制定了一个激x 万元时，奖励y 万元．若y ＝2log 4x －2，售额应为________万元．128解析解析 据题意5＝2log 4x －2，所以7∴x ＝27＝128. 一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为，某业务员要得到5万元奖励，则他的销＝2log 4x ＝log 2x ，。
高三数学对数函数知识点
高三数学对数函数知识点对数函数是高中数学中的一个重要内容，也是高三数学的重点之一。
对数函数的概念与性质需要我们掌握，下面就是一些高三数学对数函数的知识点。
一、对数的定义在数学中，对数是指“以某个数为底的幂等于另一个数”的关系。
设a是一个大于0且不等于1的实数，x是一个正数，那么数b是以a为底x的对数，记作b=logₐx，当且仅当aⁿ＝x，其中a称为对数的底，x称为真数，n称为对数的指数。
二、对数的性质1. 对数的相乘性：logₐ(MN)=logₐM+logₐN。
2. 对数的相除性：logₐ(M/N)=logₐM-logₐN。
3. 对数的幂运算性：logₐ(Mⁿ)=nlogₐM。
4. 对数的换底公式：logₐM=log_bM/log_ba，其中a、b、M都是正数且a≠1，b≠1。
三、常用对数和自然对数1. 常用对数：以10为底的对数，常用符号是lg。
常用对数的换底公式为lgM=log₁₀M。
2. 自然对数：以自然常数e≈2.71828为底的对数，常用符号是ln。
自然对数的换底公式为lnM=log_eM。
四、指数和对数函数的图像1. 指数函数y=aⁿ的图像特点：当a＞1时，函数的图像是递增的；当0＜a＜1时，函数的图像是递减的；当a＝1时，函数的图像是常数函数。
2. 对数函数y=logₐx的图像特点：当0＜a＜1时，函数的图像是递增的；当a＞1时，函数的图像是递减的；当a＝1时，函数的图像是y=0的一条水平直线。
五、对数函数的应用1. 指数增长与衰减：通过对数函数的性质，我们可以求解指数增长与衰减的问题。
比如，某种细菌的数量以每小时增长50%，那么经过t小时后的细菌数量可以表示为N=No·1.5^t，其中No是初始数量。
2. pH值的计算：pH值是描述溶液酸碱性的指标，可通过对数函数计算。
pH=-log₁₀[H⁺]，其中[H⁺]代表溶液中的氢离子浓度。
3. 预测模型的建立：对数函数可用于建立某些预测模型。
高考数学北师大理一轮复习 第章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数 文档
1.对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，即a b ＝N ，那么数b 叫作以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫作对数的底数，N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log m na M log am M n ＝n m log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(2)对数的性质 ①log a Na＝N ；②log a a N ＝N (a >0且a ≠1).(3)对数的重要公式①换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3.对数函数的图像与性质a >10<a <1图像性质(1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0(4)当x>1时，y>0当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0当0<x<1时，y>0(6)是(0，＋∞)上的增函数(7)是(0，＋∞)上的减函数4.反函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若MN>0，则log a(MN)＝log a M＋log a N.(×)(2)log a x·log a y＝log a(x＋y).(×)(3)函数y＝log2x及y＝13log3x都是对数函数.(×)(4)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数.(×)(5)函数y＝ln1＋x1－x与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同.(√)(6)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，⎝⎛⎭⎫1a，－1，函数图像只在第一、四象限.(√)1.(2015·湖南)设函数f(x)＝ln(1＋x)－ln(1－x)，则f(x)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数答案 A解析易知函数定义域为(－1，1)，f(－x)＝ln(1－x)－ln(1＋x)＝－f(x)，故函数f(x)为奇函数，又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－2x －1，由复合函数单调性判断方法知，f (x )在(0,1)上是增函数，故选A.2.已知a ＝123，b ＝131log 2，c ＝log 213，则( )A.a >b >cB.b >c >aC.c >b >aD.b >a >c答案 A解析 a ＝3>1,0<b ＝131log 2＝log 32<1，c ＝log 213＝－log 23<0，故a >b >c ，故选A.3.函数f (x )＝lg(|x |－1)的大致图像是( )答案 B解析 由函数f (x )＝lg(|x |－1)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，值域为R .又当x >1时，函数单调递增，所以只有选项B 正确.4.已知x ，y ，z 都是大于1的正数，m >0，且log x m ＝24，log y m ＝40，log xyz m ＝12，则log z m 的值为( ) A.160 B.60 C.2003 D.320答案 B解析 由已知得log m (xyz )＝log m x ＋log m y ＋log m z ＝112，而log m x ＝124，log m y ＝140，故log m z ＝112－log m x －log m y ＝112－124－140＝160，即log z m ＝60.5.(教材改编)若log a 34<1(a >0，且a ≠1)，则实数a 的取值范围是.答案 ⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞) 解析 当0<a <1时，log a 34<log a a ＝1，∴0<a <34；当a >1时，log a 34<log a a ＝1，∴a >1.∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，34∪(1，＋∞).题型一 对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m 等于( )A.10B.10C.20D.100(2)lg 5＋lg 20的值是. 答案 (1)A (2)1解析 (1)∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2. ∴m ＝10.(2)原式＝lg 100＝lg10＝1.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算.(1)计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝.(2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝. 答案 (1)1 (2)12 解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.(2)∵log a 2＝m ，log a 3＝n ，∴a m ＝2，a n ＝3， ∴a 2m ＋n ＝(a m )2·a n ＝22×3＝12.题型二 对数函数的图像及应用例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图像大致是( )(2)当0<x ≤12时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，22 B.⎝⎛⎭⎫22，1C.(1，2)D.(2，2)答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)方法一 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图像，可知f ⎝⎛⎭⎫12<g ⎝⎛⎭⎫12， 即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 方法二 ∵0<x ≤12，∴1<4x ≤2，∴log a x >4x >1，∴0<a <1，排除选项C ，D ；取a ＝12，x ＝12，则有1242=，121log 12=， 显然4x <log a x 不成立，排除选项A.思维升华 应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解.(1)已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图像可能是( )(2)设方程10x ＝|lg(－x )|的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A.x 1x 2<0 B.x 1x 2＝1 C.x 1x 2>1D.0<x 1x 2<1答案 (1)B (2)D解析 (1)∵lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∵g (x )＝－log b x 的定义域是(0，＋∞)，故排除A.若a >1，则0<b <1，此时f (x )＝a x 是增函数，g (x )＝－log b x 是增函数. 故选B.(2)构造函数y ＝10x 与y ＝|lg(－x )|， 并作出它们的图像，如图所示.因为x 1，x 2是10x ＝|lg(－x )|的两个根，则两个函数图像交点的横坐标分别为x 1，x 2，不妨设x 2<－1，－1<x 1<0，则110x＝－lg(－x 1)，210x＝lg(－x 2)， 因此211010xx-＝lg(x 1x 2)，因为211010xx-<0， 所以lg(x 1x 2)<0，即0<x 1x 2<1，故选D.题型三 对数函数的性质及应用命题点1 比较对数值的大小例3 设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( ) A.c >b >a B.b >c >a C.a >c >b D.a >b >c答案 D解析 由对数运算法则得a ＝log 36＝1＋log 32，b ＝1＋log 52，c ＝1＋log 72，由对数函数图像得log 32>log 52>log 72，所以a >b >c ，故选D. 命题点2 解对数不等式例4 若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0，12)C.(12，1) D.(0,1)∪(1，＋∞) 答案 C解析 由题意得a >0，故必有a 2＋1>2a ，又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，所以a >12.综上，a ∈(12，1).命题点3 和对数函数有关的复合函数 例5 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由. 解 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0,2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0,2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0,2]时，3－ax >0恒成立. ∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a ∈(0,1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0，∴函数t (x )为减函数. ∵f (x )在区间[1,2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1,2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a (3－a )＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件.(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )A.a >c >bB.b >c >aC.c >b >aD.c >a >b(2)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上递减，则a 的取值范围为( ) A.[1,2) B.[1,2] C.[1，＋∞)D.[2，＋∞)(3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)答案 (1)D (2)A (3)C解析 (1)∵3<2<3,1<2<5，3>2， ∴log 33<log 32<log 33，log 51<log 52<log 55，log 23>log 22， ∴12<a <1,0<b <12，c >1，∴c >a >b . (2)令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)，故选A.(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12(－a )>log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.2.比较指数式、对数式的大小典例 (1)设a ＝0.50.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <a <cD.a <c <b(2)设a ＝log 2π，b ＝12log π，c ＝π－2，则( )A.a >b >cB.b >a >cC.a >c >bD.c >b >a(3)已知a ＝2log 3.45，b ＝4log 3.65，c ＝3log 0.31()5，则( ) A.a >b >c B.b >a >c C.a >c >bD.c >a >b思维点拨 (1)可根据幂函数y ＝x 0.5的单调性或比商法确定a ，b 的大小关系，然后利用中间值比较a ，c 大小.(2)a ，b 均为对数式，可化为同底，再利用中间变量和c 比较.(3)化为同底的指数式.解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性， 可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1；根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c .(2)∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝12log π＝log 21π<log 21＝0,0<c ＝1π2<1，∴b <c <a .(3)3310log log 0.331()55c ==. 方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图像，如图所示.由图像知：log 23.4>log 3103>log 43.6.方法二 ∵log 3103>log 33＝1，且103<3.4，∴log 3103<log 33.4<log 23.4.∵log 43.6<log 44＝1，log 3103>1， ∴log 43.6<log 3103.∴log 23.4>log 3103>log 43.6.由于y ＝5x 为增函数，∴32410log log 3.4log 3.63555>>.即324log 0.3log 3.4log 3.615()55>>，故a >c >b . 答案 (1)C (2)C (3)C温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.[方法与技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图像比较底数大小的问题，可通过比较图像与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.[失误与防范]1.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N ＋，且α为偶数).2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1.若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是( )答案 B解析 由题图可知y ＝log a x 的图像过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x ＝(13)x 在R 上为减函数，错误；B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误. 2.函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析 易知2x －3≠0，即x ≠32，排除C 、D.当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数，所以选A.3.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ， x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (log 23)等于( )A.16 B.112 C.124 D.13答案 C解析 ∵1<log 23<log 24＝2，∴3＋log 23∈(4,5)， ∴f (log 23)＝f (log 23＋1)＝f (log 23＋2) ＝f (log 23＋3)＝f (log 224)22log 24log 241()22-== 21log 241224==. 4.设f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A.(－1,0)B.(0,1)C.(－∞，0)D.(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 由f (x )是奇函数可得a ＝－1， ∴f (x )＝lg 1＋x1－x ，定义域为(－1,1).由f (x )<0，可得0<1＋x1－x<1，∴－1<x <0.5.定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x －2)＝f (x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)等于( ) A.1 B.45 C.－1 D.－45答案 C解析 由f (x －2)＝f (x ＋2)，得f (x )＝f (x ＋4)，因为4＜log 220＜5，所以f (log 220)＝f (log 220－4)＝－f (4－log 220)＝－f (log 245)＝24log 51(2)5-+＝－1.6.函数f (x )＝log 2x ·2log (2)x 的最小值为. 答案 －14解析 显然x >0，∴f (x )＝log 2x ·log 2(2x )＝12log 2x ·log 2(4x 2)＝12log 2x ·(log 24＋2log 2x )＝log 2x ＋(log 2x )2＝⎝⎛⎭⎫log 2x ＋122－14≥－14.当且仅当x ＝22时，有f (x )min ＝－14. 7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥2，f (x ＋1)，x <2，则f (log 23)的值为.答案 16解析 由题意知f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (log 26)＝2log 611()26=. 8.(2015·福建)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log ax ，x ＞2(a ＞0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是. 答案 (1,2]解析 由题意f (x )的图像如下图，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3＋log a 2≥4，∴1＜a ≤2.9.已知函数y ＝12log (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，求a 的取值范围.解 函数y ＝12log (x 2－ax ＋a )是由函数y ＝12log t 和t ＝x 2－ax ＋a 复合而成.因为函数y ＝12log t 在区间(0，＋∞)上单调递减，而函数t ＝x 2－ax ＋a 在区间(－∞，a2)上单调递减，又因为函数y ＝12log (x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2≤a 2，(2)2－2a ＋a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥22，a ≤2(2＋1)，即22≤a ≤2(2＋1).10.设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，a ≠1)，且f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域； (2)求f (x )在区间[0，32]上的最大值.解 (1)∵f (1)＝2， ∴log a 4＝2(a >0，a ≠1)， ∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)， ∴函数f (x )的定义域为(－1,3). (2)f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]， ∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数； 当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数，故函数f (x )在[0，32]上的最大值是f (1)＝log 24＝2.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11.(2015·陕西)设f (x )＝ln x,0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A.q ＝r ＜p B.p ＝r <q C.q ＝r >p D.p ＝r ＞q答案 B解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝p ，故p ＝r ＜q .选B.12.设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2)D.f (2)<f (12)<f (13)答案 C解析 由f (2－x )＝f (x )知f (x )的图像关于直线x ＝2－x ＋x2＝1对称，又当x ≥1时，f (x )＝ln x ，所以离对称轴x ＝1距离大的x 的函数值大， ∵|2－1|>|13－1|>|12－1|，∴f (12)<f (13)<f (2). 13.函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为． 答案 23解析 由题意可知求b －a 的最小值即求区间[a ，b ]的长度的最小值，当f (x )＝0时x ＝1，当f (x )＝1时x ＝3或13，所以区间[a ，b ]的最短长度为1－13＝23，所以b －a 的最小值为23.14．已知函数f (x )＝ln x1－x ，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎫0，14 解析 由题意可知ln a 1－a ＋ln b1－b＝0，即ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－a ×b 1－b ＝0，从而a 1－a ×b 1－b ＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14， 又0<a <b <1，∴0<a <12，故0<－⎝⎛⎭⎫a －122＋14<14. 15．设x ∈[2,8]时，函数f (x )＝12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0，且a ≠1)的最大值是1，最小值是－18，求a 的值．解 由题意知f (x )＝12(log a x ＋1)(log a x ＋2)＝12(log 2a x ＋3log a x ＋2)＝12(log a x ＋32)2－18. 当f (x )取最小值－18时，log a x ＝－32.又∵x ∈[2,8]，∴a ∈(0,1)． ∵f (x )是关于log a x 的二次函数，∴函数f (x )的最大值必在x ＝2或x ＝8时取得．若12(log a 2＋32)2－18＝1，则a ＝132-， 此时f (x )取得最小值时，x ＝1332(2)--＝2∉[2,8]，舍去．若12(log a 8＋32)2－18＝1，则a ＝12， 此时f (x )取得最小值时，x ＝321()2-＝22∈[2,8]，符合题意，∴a ＝12.。
高三对数函数相关知识点
高三对数函数相关知识点近年来，高考数学的考题中出现了越来越多与对数函数相关的题目。
对数函数作为数学的一个重要分支，对于高三学生来说非常重要。
在复习高考数学的过程中，我们不得不深入了解和掌握对数函数的相关知识点。
一、对数函数的定义和性质对数函数是指以一个正数为底数的指数函数，常见的对数函数有以10为底数的常用对数（log）和以自然常数e为底数的自然对数（ln）。
对数函数的定义为：若a>0且a≠1，那么对于任意的正实数x，a^x 的对数叫做以a为底的对数，记作logₐx。
对数函数的性质有以下几点：1. 对数函数的定义域为正实数集，值域为实数集。
2. 对数函数的图像与指数函数的图像关于y=x对称。
3. 对数函数的导数为其自身的倒数。
二、对数函数的基本关系式1. logₐ(x·y) = logₐx + logₐy2. logₐ(x/y) = logₐx - logₐy3. logₐ(x^k) = k·logₐx这些基本关系式在解决对数函数相关问题时非常有用，熟练掌握它们能够大大提高解题的效率。
三、对数函数的性质和图像对数函数具有以下几个重要的性质：1. 对数函数的递增性：当0<a<1时，logₐx随着x的增加而增加；当a>1时，logₐx随着x的增加而减小。
2. 对数函数的奇偶性：logₐ(-x)不存在实数解，所以对数函数是定义在正实数集上的。
3. 对数函数的零点：logₐ1=0，即对数函数的底数的1次幂的结果为1。
对数函数在数学中的图像具有一定的特点：1. 当0<a<1时，对数函数的图像在一象限内，且逐渐逼近x轴。
2. 当a>1时，对数函数的图像在一象限内，且逐渐逼近y轴。
了解对数函数的性质和图像，能够帮助我们更好地理解和运用对数函数。
四、对数函数的应用对数函数在实际应用中有着广泛的应用，以下介绍两个常见的应用场景：1. pH值的计算：pH值是用来表示溶液酸碱程度的指标，其计算公式为pH = -log[H+]，其中[H+]表示溶液中氢离子（酸性物质）的浓度。
高一数学对数函数知识点
高一数学对数函数知识点一、引言在高一数学课程中，对数函数是一个重要而且常见的概念。
它在许多实际问题中有着广泛的应用。
了解并掌握对数函数的知识对于我们的学习和解题能力都是非常有益的。
二、对数函数的定义和性质对数函数是幂函数的逆运算。
给定一个正数a和一个正数x，如果a^x=b，则我们称x是以a为底b的对数，记作x=log_a(b)。
其中a称为对数的底数，b称为真数。
对数函数有以下几个重要的性质：1. 对数函数的定义域为正实数集(0,+∞)；2. 对数函数的值域为实数集；3. 对数函数的反函数是指数函数。
三、对数函数的图像和性质1. 对数函数y=log_a(x)的图像在直角坐标系中的特征为：图像关于直线y=x对称，过点(1,0)，且在x轴上没有定义；2. 对数函数的图像在底数a>1时呈现增长趋势，底数a在(0,1)之间时呈现下降趋势；3. 对数函数在定义域内单调递增；4. 对数函数在底数大于1时无上确界，当底数在(0,1)之间时，对数函数的上确界为0。
四、对数函数的运算对数函数的运算主要有以下几种：1. 对数的乘法法则：log_a(b) + log_a(c) = log_a(bc)；2. 对数的除法法则：log_a(b) - log_a(c) = log_a(b/c)；3. 对数的幂运算法则：log_a(b^k) = k log_a(b)；4. 换底公式：log_a(b) = log_c(b) / log_c(a)。
通过对数函数的运算，我们可以将复杂的乘除运算转化为简单的加减运算，从而更便于计算和求解问题。
五、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们来看几个例子。
例1：在一个细胞培养实验中，细胞数量N(t)与时间t的关系由以下方程给出：N(t)=N_0 * 2^(t/τ)，其中N_0是初始细胞数量，τ是细胞分裂时间。
将该方程改写为对数形式，可以得到新的方程log_2(N(t)/N_0) = t/τ。
对数函数及性质课件
对数函数在测量和描述生命 现象方面有广泛的应用。例 如在描述剂量响应曲线时。
对数函数被应用于广泛的领 域，如在测量和控制光线、 声音和电信号方面。
结论
重要性
对数函数是现代数学和科学中不可或缺的基础，为 各行各业中的问题提供解决方案。
应用前景
随着科学和技术的不断进步，对数函数在未来会有 更广泛和更深入的应用。
对数函数的性质
变换规律
对数函数的图像可以被平移、伸缩 和反转。
导数
对数函数的导数公式为 (ln a)/x，导 函数的图像为一条正比于 y/x 的直 线。
级数展开
对数函数可以用麦克劳林级数和泰 勒级数进行展开。
应用实例
1 数学、物理和统计
2 生命科学
3 工程
对数函数被运用于求解方程、 计算统计数据以及研究复杂 物理现象。
参考资料
教材或论文
高等数学、微积分学等相关的 教材或论文。
研究报告或实验数据
对数函数在具体领域中的研究 报告或实验数据。
网站或应用程序
在线的对数函数计算工具、应 用程序或网站。
对数函数及性质Leabharlann pt课件欢迎来到对数函数及性质的ppt课件！这个课程将会介绍对数函数的相关性质， 并探索对数函数在不同领域中的应用。
概述
定义
对数函数是用对数运算表示的函数。
表述
对数函数的表示公式为 y = loga(x)，其中 x、y 是变数，a 是底数。
常用与自然对数函数
对数函数按底数可以分为常用对数函数和自然对数函数两种。
数学高三对数图形知识点
数学高三对数图形知识点一、对数函数基础对数函数是高中数学中的重要内容，尤其在高三的复习阶段，掌握对数的概念、性质及其图形特征对于解决相关的数学问题至关重要。
对数函数是由指数函数衍生而来，其定义为：若a^b=c（a>0，a≠1，b，c为实数），则b=log_a c（log表示以a为底c的对数）。
在这一定义中，a被称为对数的底数，c被称为真数，b是结果，即对数。
二、对数函数的图形特征对数函数的图形具有一些独特的特征，这些特征对于理解和应用对数函数非常重要。
首先，对数函数的图像总是位于x轴的上方，且随着底数a的不同，图像的位置和形状会发生变化。
当底数a大于1时，函数是单调增加的；当底数a在0到1之间时，函数是单调减少的。
此外，对数函数的图像总是通过点(1,0)，因为任何数的0次幂都等于1。
三、对数函数的性质对数函数的性质包括了以下几个方面：1. 单调性：如前所述，对数函数的单调性取决于底数a的值。
当a>1时，随着x的增加，函数值y=log_a x也会增加；当0<a<1时，随着x 的增加，函数值y=log_a x会减少。
2. 特殊点：对数函数在x=1处取得最小值，且该最小值为0，即y=log_a 1 = 0。
3. 无限趋近性质：当x趋向于0时，y值趋向于负无穷；当x趋向于正无穷时，y值趋向于正无穷。
这一性质与指数函数相反。
4. 对数运算法则：对数运算有其特定的法则，如log_a (xy) = log_a x + log_a y，log_a (x/y) = log_a x - log_a y，以及log_a (x^p) = p * log_a x等。
四、对数函数的应用对数函数在实际问题中有着广泛的应用，例如在解决涉及指数增长和衰减的问题时，对数函数可以简化计算过程。
此外，在金融、物理、化学等领域，对数函数也是不可或缺的工具。
例如，复利计算、地震强度的量度、酸碱度的测量等都会用到对数函数。
高中数学一轮复习基本初等函数：第4节 对数函数
第4节 对数函数【基础知识】1．对数函数的图象与性质2．log a y x =的图象有三个关键点，(,1),(1,0),(,1).a a-3．log a y x =与1log ay x =的图象关于x 轴对称，log a y x =与log ()a y x =-的图象关于y轴对称．4．log (0,1,0),a y x a a x =>≠>当1a >时，在(0,)+∞为增函数，当01a <<时，在(0,)+∞是减函数．【规律技巧】1. log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比较图象与1y =的交点）：交点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.2. 涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．3.涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．【典例讲解】例1、已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c【答案】B【探究提高】(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等； (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．【变式探究】 (1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【答案】A【解析】b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a .(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.【答案】2 2【解析】f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ＝2. 例2、已知函数f (x )＝log a (3－ax )．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【探究提高】解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 【变式探究】 已知函数f (x )＝log a (8－2x ) (a >0且a ≠1)． (1)若f (2)＝2，求a 的值；(2)当a >1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值．【针对训练】1、函数y ＝log 2x 的图像大致是( )A B C D【答案】C2、已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图象的交点的横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A ．x 2<x 3<x 1 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 1<x 2<x 3 D ．x 3<x 2<x 1 【答案】A3、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）A ．42 B ．22 C ．41 D ．21 【答案】A【练习巩固】1、函数2()|log (1)|f x x =+的图象大致是（ ）【答案】A2、已知函数在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是（ ）A ．（0，1）B ．（0，2）C ．（1，2）D ．[2，+）【答案】C3、已知()()()34,1log ,1aa x a x f x x x --<⎧⎪=-∞+∞⎨≥⎪⎩是，上的增函数，那么a 的取值范围是A.()1,+∞B.(),3-∞C.()1,3D.3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】C4、若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）log (2)a y ax =-x a∞DC BAxx【答案】B。
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第4节 对数函数
【基础知识】
1．对数函数的图象与性质
a >1
0<a <1
图 象
性 质
(1)定义域：(0，＋∞)
(2)值域：R
(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0 (4)当x >1时，y >0 当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0 当0<x <1时，y >0 (6)在(0，＋∞)上是增函数
(7)在(0，＋∞)上是减函数
2．log a y x =的图象有三个关键点，(,1),(1,0),(,1).a a
-
3．log a y x =与1log a
y x =的图象关于x 轴对称，log a y x =与log ()a y x =-的图象关于y
轴对称．
4．log (0,1,0),a y x a a x =>≠>当1a >时，在(0,)+∞为增函数，当01a <<时，在(0,)
+∞是减函数．
【规律技巧】
1. log a y x =的底数变化，其图象具有如下变化规律：（1）上下比较：在直线1x =的右侧，
1a >时，底大图低（靠近x 轴）；01a <<时，底大图高（靠近x 轴）．（2）左右比较（比
较图象与1y =的交点）：交
点横坐标越大，对应的对数函数的底数越大.
2. 涉及对数函数的定义域问题，要考虑底数大于零且不为1，真数大于零．
3.涉及对数函数单调性问题，要注意底数的不同取值情况．
【典例讲解】
例1、已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 12
3)，c ＝f (0.2－
0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是
( )
A ．c <a <b
B ．c <b <a
C ．b <c <a
D ．a <b <c
【答案】B
【探究提高】
(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等； (2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．
【变式探究】 (1)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8
，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为
( )
A ．c <b <a
B ．c <a <b
C ．b <a <c
D ．b <c <a
【答案】A
【解析】b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8
＝20.8<21.2
＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a .
(2)已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，
b ＝________.
【答案】2 2
【解析】f (x )的图象过两点(－1,0)和(0,1)． 则f (－1)＝log a (－1＋b )＝0且f (0)＝log a (0＋b )＝1，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝1b ＝a ，即⎩⎪⎨⎪⎧
b ＝2a ＝2
. 例2、已知函数f (x )＝log a (3－ax )．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【探究提高】
解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数a ∈(0,1)，还是a ∈(1，＋∞)；
(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；
(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误． 【变式探究】 已知函数f (x )＝log a (8－2x ) (a >0且a ≠1)． (1)若f (2)＝2，求a 的值；
(2)当a >1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值．
【针对训练】
1、函数y ＝log 2x 的图像大致是( )
A B C D
【答案】C
2、已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝lg x ，h (x )＝log 3x ，直线y ＝a (a <0)与这三个函数图象的交点的
横坐标分别是x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( ) A ．x 2<x 3<x 1 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 1<x 2<x 3 D ．x 3<x 2<x 1 【答案】A
3、若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ）
A ．
4
2
B ．
2
2 C ．
4
1 D ．
2
1 【答案】A
【练习巩固】
1、函数2()|log (1)|f x x =+的图象大致是（ ）
【答案】A
2、已知函数
在[0，1]上是的减函数，则的取值范围是（ ）
A ．（0，1）
B ．（0，2）
C ．（1，2）
D ．[2，+）
【答案】C
3、已知()()()34,1log ,1
a a x a x f x x x --<⎧⎪=-∞+∞⎨≥⎪⎩是，上的增函数，那么a 的取值范围是
A.()1,+∞
B.(),3-∞
C.()1,3
D.3,35⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】C
4、若函数log (0,1)a y x a a =>≠且的图像如右图所示，则下列函数图像正确的是（ ）
log (2)
a y ax =-x a
∞
D
C B
A
x
x
【答案】B。