九年级数学二次函数知识点总结
九年级二次函数知识点总结
九年级二次函数知识点总结一、二次函数的基本形式二次函数一般写为y=ax^2+bx+c（a≠0），其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
其中a决定了抛物线开口的方向，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线与y轴的交点。
二、二次函数的图像1. 抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 抛物线的顶点：抛物线的顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），其中f(x)=ax^2+bx+c。
3. 抛物线的对称轴：抛物线的对称轴方程为x=-b/2a。
4. 抛物线的焦点：抛物线没有焦点。
5. 抛物线的焦距：抛物线没有焦距。
三、二次函数的性质1. 零点：二次函数的零点即为其实根，求零点的方法可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到。
2. 正负性：当a>0时，抛物线上方为正区间，下方为负区间；当a<0时，抛物线上方为负区间，下方为正区间。
3. 单调性：当a>0时，函数单调递增；当a<0时，函数单调递减。
4. 极值：当a>0时，抛物线的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，抛物线的最大值为f(-b/2a)。
四、二次函数的相关应用1. 最值问题：通过求解二次函数的极值来解决相关的最值问题，如求解最大值、最小值等。
2. 零点问题：通过求解二次函数的零点来解决相关的方程问题，如求解方程ax^2+bx+c=0的解。
3. 切线问题：通过求解二次函数的导数来得到其切线的斜率，从而解决相关的切线问题。
4. 抛物线运动问题：通过二次函数的图像特点，解决相关的抛物线运动问题，如抛体的运动轨迹、最大高度、飞行时间等。
五、二次函数的解题方法1. 求解零点：通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到函数的零点。
2. 求解极值：通过求解函数的导数来得到函数的极值点，并求解其极值。
九年级上册数学二次函数知识点汇总
九年级上册数学二次函数知识点汇总二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义一般地，形如y = ax^2 + bx + c（a，b，c是常数，a ≠ 0）的函数，叫做二次函数。
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点二：二次函数的图像与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点1.二次函数y = a(x - h) + k的图像与性质1）二次函数基本形式y = ax^2的图像与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2）y = ax^2 + c的图像与性质：上加下减。
3）y = a(x - h)^2的图像与性质：左加右减。
4）二次函数y = a(x - h)^2 + k的图像与性质。
2.二次函数y = ax^2 + bx + c的图像与性质1）当a。
0时，抛物线开口向上，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，-Δ/4a）。
当x。
-b/2a时，y随x的增大而增大；当x = -b/2a时，y 有最小值Δ/4a。
2）当a < 0时，抛物线开口向下，对称轴为x = -b/2a，顶点坐标为（-b/2a，Δ/4a）。
当x。
-b/2a时，y随x的增大而减小；当x = -b/2a时，y 有最大值Δ/4a。
3.二次函数常见方法指导1）二次函数y = ax^2 + bx + c图像的画法①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）。
利用配方法将二次函数y = ax^2 + bx + c化为顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点。
2）二次函数图像的平移平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式y = a(x - h)^2 + k，确定其顶点坐标（h，k）。
②可以由抛物线y = ax^2经过适当的平移得到，具体平移方法如下：向上（k。
0）【或向下（k。
0）【或左（h < 0）】平移|h|个单位。
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结1. 二次函数的定义二次函数是一个数学函数，其一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b和c为常数，且a 不等于0。
在这个函数中，x是自变量，f(x)是因变量，a、b和c分别为二次项、一次项和常数项的系数。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或者朝下的抛物线。
2. 二次函数的图像特征二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口的方向取决于二次项的系数a的正负。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
另外，二次函数的图像还有一个顶点，可以通过公式(-b/2a, f(-b/2a))来求得。
3. 二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最重要的就是顶点坐标的计算方法。
具体来说，可以通过求出二次函数的导数，然后令导数等于0来求得函数的极值点。
另外，二次函数还有一个重要的特点，就是它的图像是对称的。
具体来说，二次函数的图像关于顶点对称。
4. 二次函数的解析式二次函数的解析式一般可以写成一般式f(x) = ax² + bx + c，也可以写成顶点式f(x) = a(x-h)² + k，其中(h, k)为顶点的坐标。
通过解析式，可以方便地求得二次函数的相关性质，比如顶点坐标、根的个数和方向等。
5. 二次函数与二次方程二次函数与二次方程有着密切的关系。
事实上，二次函数的图像就是二次方程y = ax² + bx + c的图像。
二次函数的图像是由二次方程y = ax² + bx + c的解析式所确定的。
而二次方程则可以通过求解二次函数的零点来求得。
6. 二次函数的应用二次函数在现实生活中有着广泛的应用。
比如，物体的自由落体运动、抛物线的轨迹、天桥的设计等都可以通过二次函数来描述和求解。
另外，二次函数还可以用来描述一些生活中的变化规律，比如描绘人口增长、销售额变化等。
以上就是初中数学二次函数的知识点总结，希望可以帮助学生更好地掌握这一重要的数学概念。
九年级数学二次函数复习知识点归纳汇总
五、二次函数 y a x h2 k 与 y ax2 bx c 的比较 从解析式上看， y a x h2 k 与 y ax2 bx c 是两种不同的表达形式，后者通过
配方可以得到前者，即
y
a
x
b 2a
2
4ac 4a
b2
，其中 h b 何 2a
九年级数学二次函数复习知识点归纳汇总
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如 y＝ax2+bx+c（a,b,c 是常数，a≠0）的函数，叫
做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a≠0，而
b何 c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．
2. 二次函数 y＝ax2+bx+c 的结构特征：
的大小决定开口的大小．
2. 一次项系数 b （a 和 b 共同决定抛物线对称轴的位置）
.抛物线 y ax 2 bx c 的对称轴是直线 x b ，故：① b 0 时，对称轴为 y 2a
轴；②
（即 a 、 b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；③
（即 a 、 b 异号）时，
对称轴在 y 轴右侧.
x
b 2a
(x1 x2 )
无实根
两根为 x1，x2
（有两个不相等的实数根）
（有两个相等的实数根）
▲抛物线上两点
A( x1 ,
y0 ),
B(x2 ,
y0 )
，则抛物线对称轴为直线
x
x1
2
x2
十一、函数的应用
何 何 何 何 二次函数应用 何 何 何 何 何 何 何 何
初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
二次函数的图像是抛物线，开口向上或向下，其顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、二次函数的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
2. 对称轴：二次函数的对称轴为x=-b/2a。
3. 最值：当a>0时，二次函数的最值为最小值，为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值为最大值，为c-b²/4a。
4. 零点：二次函数的零点为x轴与函数图像的交点，是方程ax²+bx+c=0的解。
三、二次函数的图像1. 开口向上的二次函数图像是上凹的抛物线，最值为最小值。
2、开口向下的二次函数图像是下凹的抛物线，最值为最大值。
四、二次函数的相关变形1. 二次函数的平移：y=ax²+bx+c中，整体向左平移h个单位，变为y=a(x+h)²+bx+c；整体向下平移k个单位，变为y=a(x)²+bx+(c-k)。
2. 二次函数的垂直缩放：y=ax²+bx+c中，整体向上缩放k倍，变为y=(ak)x²+bx+c。
3. 二次函数的水平缩放：y=ax²+bx+c中，整体水平缩放k倍，变为y=ax²+(bk)x+c。
五、求解二次函数的相关问题1. 求二次函数的零点：利用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a可以求得二次函数的零点。
2. 求二次函数的最值：通过对称轴和顶点坐标的关系，可以求得二次函数的最值。
3. 求二次函数的图像与坐标轴的交点：将函数代入x=0和y=0可以求得函数与坐标轴的交点。
六、二次函数的应用1. 生活中的应用：抛物线运动、拱桥结构、水流下落等。
2. 数学解题中的应用：解方程、求最值、求零点等。
九年级数学二次函数知识点归纳
九年级数学二次函数知识点归纳九年级数学二次函数知识点1一、基本概念1.方程、方程的解（根）、方程组的解、解方程（组）2.分类：二、解方程的依据—等式性质1.a=b←→a+c=b+c2.a=b←→ac=bc（c≠0）三、解法1.一元一次方程的解法：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化成1→解。
2.元一次方程组的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法②加减法四、一元二次方程1.定义及一般形式：2.解法：⑴直接开平方法（注意特征）⑵配方法（注意步骤—推倒求根公式）⑶公式法：⑷因式分解法（特征：左边=0）3.根的判别式：4.根与系数顶的关系：逆定理：若，则以为根的一元二次方程是：5.常用等式：五、可化为一元二次方程的方程1.分式方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①去分母法②换元法（如，）⑷验根及方法2.无理方程⑴定义⑵基本思想：⑶基本解法：①乘方法（注意技巧！！）②换元法（例，）⑷验根及方法3.简单的二元二次方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组都可用代入法解。
六、列方程（组）解应用题一概述⑴审题。
理解题意。
弄清问题中已知量是什么，未知量是什么，问题给出和涉及的相等关系是什么。
⑵设元（未知数）。
①直接未知数②间接未知数（往往二者兼用）。
一般来说，未知数越多，方程越易列，但越难解。
⑶用含未知数的代数式表示相关的量。
⑷寻找相等关系（有的由题目给出，有的由该问题所涉及的等量关系给出），列方程。
一般地，未知数个数与方程个数是相同的。
⑸解方程及检验。
⑹答案。
综上所述，列方程（组）解应用题实质是先把实际问题转化为数学问题（设元、列方程），在由数学问题的解决而导致实际问题的解决（列方程、写出答案）。
在这个过程中，列方程起着承前启后的作用。
因此，列方程是解应用题的关键。
二常用的相等关系1.行程问题（匀速运动）基本关系：=vt⑴相遇问题（同时出发）：+=；⑵追及问题（同时出发）：若甲出发t小时后，乙才出发，而后在B处追上甲，则⑶水中航行：；2.配料问题：溶质=溶液某浓度溶液=溶质+溶剂3.增长率问题：4.工程问题：基本关系：工作量=工作效率某工作时间（常把工作量看着单位“1”）。
九年级数学二次函数知识点总结
二次函数是中学数学中重要的一个章节，主要涉及到解析式、图像和性质等方面。
本文将对九年级数学中二次函数的知识点进行总结，包括定义、基本性质、图像及其变化规律、求解等方面，以及与实际生活中的应用。
一、定义：二次函数是指形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a、b、c都是实数，并且a的值决定了图像的开口方向。
二、基本性质：1.零点和轴对称：二次函数的零点是使得函数值等于0的x值，零点的个数取决于判别式的值。
二次函数关于y轴对称。
2.求导和凹凸性：二次函数的导数是一次函数，二次函数的凹凸性由二次项系数的符号决定。
当a>0时，函数的图像开口向上，二次函数是凹的；当a<0时，函数的图像开口向下，二次函数是凸的。
3.极值：二次函数的极值点是函数图像的最高点或者最低点，极值点的x坐标是二次函数的顶点。
当a>0时，函数的极值是最小值；当a<0时，函数的极值是最大值。
三、图像及其变化规律：1.开口方向：二次函数的开口方向由二次项系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口向上；当a<0时，图像开口向下。
2.平移：二次函数的图像可以进行平移操作，平移后的函数图像仍然是一条二次曲线。
平移的规律是对原函数的输入x进行平移操作。
例如，y=(x-3)²平移到y=x²后，图像整体向右移动3个单位。
3.缩放：二次函数的图像也可以进行缩放操作，缩放后的函数图像仍然是一条二次曲线。
缩放的规律是对原函数的自变量x进行缩放操作。
例如，y=(2x)²相当于y=4x²，图像整体变窄。
四、求解：1. 二次函数的解析式：求解二次函数的关键是求出二次函数的零点，即令y=0，并解方程ax²+bx+c=0。
根据二次函数的解析式，可以根据判别式的值确定二次函数的零点个数，判别式D=b²-4ac。
-当D>0时，有两个不相等的实数根；-当D=0时，有两个相等的实数根；-当D<0时，没有实数根，但有两个共轭复数根。
九年级二次函数所有知识点
九年级二次函数所有知识点九年级二次函数是数学课程中的重要内容，掌握好二次函数的知识，对于解决实际问题和进一步学习高中数学都具有重要意义。
接下来，我们将逐一介绍九年级二次函数的所有知识点。
一、二次函数的定义二次函数是形如y = ax²+ bx + c的函数，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
其中，a为二次函数的二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二、二次函数的图像特点1. 凹凸性：当a>0时，二次函数的图像开口朝上，凹；当a<0时，二次函数的图像开口朝下，凸。
2. 对称轴：二次函数的图像关于直线x = -b/2a 对称。
3. 最值点：当a>0时，二次函数的最值点为最低点，最小值为c-b²/4a；当a<0时，二次函数的最值点为最高点，最大值为c-b²/4a。
三、二次函数的零点1. 零点定义：二次函数的零点是函数曲线与x轴的交点，即求解方程ax² + bx + c = 0。
2. 判别式：二次函数零点的判别式Δ = b²-4ac，当Δ>0时，有两个不同的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实数根。
3. 求根公式：根据判别式Δ的值，可以使用求根公式x = (-b±√Δ)/2a 求得二次函数的零点。
四、二次函数的图像与系数的关系1. a的取值：当a>0时，二次函数图像开口朝上，a的绝对值越大，图像越扁平；当a<0时，二次函数图像开口朝下，a的绝对值越大，图像越陡峭。
2. b的取值：b的正负决定了二次函数对称轴与y轴的位置关系，当b>0时，对称轴在y轴右侧；当b<0时，对称轴在y轴左侧。
3. c的取值：c的值决定了二次函数图像与y轴的位置关系，当c>0时，图像在y轴上方；当c<0时，图像在y轴下方。
五、二次函数的应用1. 最值问题：通过求二次函数的最值点，可以解决最值问题，如最大值、最小值的求解。
九年级上册数学二次函数知识点汇总
新人教版九年级上二次函数知识点总结知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数． 其中a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．知识点二：二次函数的图象与性质⇒⇒抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点2. 二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质（1）二次函数基本形式2y ax =的图象与性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小（2）2y ax c =+的图象与性质：上加下减（3）()2y a x h=-的图象与性质：左加右减（4）二次函数()2y a x h k =-+的图象与性质3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质（1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a=-时，y 有最小值244ac b a-．（2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a-．4. 二次函数常见方法指导（1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤：① 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ② 可以由抛物线2ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.③交点式：.已知图象与轴的交点坐标、，通常选择交点式.（4）求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. （5）抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. ②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故 如果0=b 时，对称轴为y 轴；如果0>ab （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； 如果0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. ③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置当0=x 时，c y =，所以抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ），故 如果0=c ，抛物线经过原点； 如果0>c ,与y 轴交于正半轴； 如果0<c ,与y 轴交于负半轴.知识点三：二次函数与一元二次方程的关系5.函数c bx ax y ++=2，当0y =时，得到一元二次方程20ax bx c ++=，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元二次方程根的情况.(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根；(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根；(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时，则方程没有实根.通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：的解6.拓展：关于直线与抛物线的交点知识 （1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0,)c .（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah ++2). （3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： ①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G的交点，由方程组2y kx ny ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定： ①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点； ③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故 acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121知识点四：利用二次函数解决实际问题7.利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： (1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； (3)用待定系数法求出抛物线的关系式；(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.。
九年级数学二次函数知识点总结及经典例题
二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质： 上加下减。
)2x h -4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数()2y a x h k =-+与2y a x b x c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =-- 3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x xx-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c =+的性质： 上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2.平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2.一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3.常数项c⑴当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1.关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2.关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3.关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5.关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.②当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点；③当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点，则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（）考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
九年级数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳1.定义：一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数,)0≠a ,那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数2ax y =的性质1抛物线2ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴. 2函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.3顶点是坐标原点,对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于包括重合y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式,其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a时,开口向上；当0<a 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴或重合的直线记作h x =.特别地,y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=,∴顶点是），（a b ac a b 4422--,对称轴是直线abx2-=.2配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式,得到顶点为h ,k ,对称轴是直线h x =.3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中,c b a ,,的作用1a 决定开口方向及开口大小,这与2ax y =中的a 完全一样.2b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=,故：①0=b 时,对称轴为y 轴；②0>ab即a 、b 同号时,对称轴在y 轴左侧；③0<ab即a 、b 异号时,对称轴在y 轴右侧. 3c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置. 当0=x 时,c y =,∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点0,c ： ①0=c,抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧,则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值,通常选择一般式. 2顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ,通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点1y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为0, c . 2与y 轴平行的直线h x=与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点h ,c bh ah ++2.3抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点顶点在x 轴上⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离.4平行于x 轴的直线与抛物线的交点同3一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为k ,则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.5一次函数()0≠+=k n kx y的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点,由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.6抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ,由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根,故。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：二次函数是形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数。
需要强调的是，和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b、c可以为零。
二次函数的定义域是全体实数。
二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k为常数。
a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号决定了抛物线的开口方向，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h。
当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。
三、二次函数图象的平移平移二次函数的步骤为：确定顶点坐标，保持抛物线形状不变，将顶点平移。
具体平移方法为：向右（左）平移h个单位，向上（下）平移k个单位。
平移规律可以概括为“左加右减，上加下减”。
四、二次函数y=a(x-h)²+k与y=ax²+bx+c的比较二次函数y=a(x-h)²+k和y=ax²+bx+c的区别在于表示方式不同，但它们的图象形状相同。
y=a(x-h)²+k更便于确定顶点坐标和对称轴，y=ax²+bx+c更便于确定一次项系数和常数项。
二次函数的特点和与其他函数的关系，如：设函数f(x)为一次函数，g(x)为二次函数，且在同一坐标系内，若f(x)和g(x)的图像均经过点(1,3)，则下列说法正确的是（）A．f(x)和g(x)的图像均经过点(2,6)B．f(x)和g(x)的图像均经过点(3,9)C．f(x)的图像经过点(2,6)，g(x)的图像经过点(2,5)D．f(x)的图像经过点(3,9)，g(x)的图像经过点(2,5)3．考查利用二次函数解决实际问题的能力，题的特点是给出具体的问题场景，需要学生根据题意列出方程并解答，如：一家餐馆销售汉堡，售价为每个3元，每天售出x个汉堡，该餐馆的总收入为y元．若这家餐馆每天的固定成本为32元，每售出一个汉堡的变动成本为1元，求这家餐馆每天售出多少个汉堡时，能收益最大？二次函数的解析式：二次函数的解析式由系数a、b、c决定，其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线在y轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置。
(完整版)初中数学二次函数知识点总结
初中数学二次函数知识点总结I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数,a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）则称y为x的二次函数.二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II。
二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)顶点式：y=a（x—h)^2+k ［抛物线的顶点P(h，k）］交点式:y=a(x-x₁）（x—x ₂) ［仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂,0）的抛物线］注:在3种形式的互相转化中,有如下关系:h=—b/2a k=（4ac—b^2）/4a x₁，x₂=（-b±√b^2—4ac）/2aIII。
二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出,二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P （—b/2a ，(4ac—b^2）/4a ）当—b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b^2-4ac=0时,P在x轴上。
3。
二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口;当a＜0时，抛物线向下开口.|a|越大，则抛物线的开口越小。
4。
一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左;当a与b异号时（即ab＜0),对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0，c）6.抛物线与x轴交点个数Δ= b^2—4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b^2—4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
(完整版)初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1. 二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c （a, b, c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a 0,而b , c可以为零.二次函数的定义域是全体实数.22. 一次函数y ax bx c的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a, b, c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
22. y ax c的性质:上加下减。
.2 ,3. y a x h的性质:左加右4. y a x h k的性质:2三、二次函数图象的平■移 1. 平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h , k ；⑵ 保持抛物线y ax 2的形状不变，将其顶点平移到 h , k 处，具体平移方法如下:向右（h>0）【或左（h<0）平移|k|个单位b 心 —时, 2a2.平移规律在原有函数的基础上 概括成八个字“左加右减, h 值正右移，负左移; k 值正上移，负下移四、二次函数 2y a x h k 与 y ax 2从解析式上看，2y a x h k 与 y ax 到前者，即y a x2b4ac 2a4a b 2—，其中h六、二次函数y ax 2 bx c 的性质bx c 的比较bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得24ac b4a1.当a 0时，抛物线开口向上，对称轴为b 2a顶点坐标为b 2a24ac b4a b 心—时, 2a y 随x 的增大而减小; b 心 —时, 2ay 随x 的增大而增大;2.当a 0时，抛物线开口向下，对称轴为b 2a顶点坐标为b 2a4ac b 2 4a当x 旦时,2a22y 随x 的增大而增大；当 x 一时，y 随x 的增大而减小；当x —时，y 有最大值-^^ -------------------------------2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：y ax 2 bx c ( a , b , c 为常数，a 0 )； 22. 顶点式：y a(x h) k ( a, h , k 为吊数，a 0);3. 两根式(交点式)：y a(xx i )(xx 2) (a 0,x 〔，x ?是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点，即b 2 4ac 0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数aa 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大; a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大.b 决定了抛物线的对称轴.(同左异右 b 为0对称轴为y 轴)y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与 y轴的交点为坐标原点，即抛物线与 y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置.十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况)：一元二次方程ax 2 bx c 0是二次函数y ax 2 bx c 当函数值y 0时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当 b 24ac 0时，图象与x 轴交于两点Ax i , 0 , B x 2 , 0 (x ix 2),其中的x i,x 2是一元次方程ax 2 bx c 0 a 0的两根.. ② 当 0时，图象与x 轴只有一个交点；③ 当0时，图象与x 轴没有交点.1'当a 0时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有 y 0； 2'当a 0时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 . 22.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一正相交，交点坐标为 (0 , c)；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数y x 2 4x 7的顶点坐标是()A.(2, —11)B. (- 2, 7)C. (2, 11)D. (2, —3)2. 把抛物线y2x 2向上平移1个单位，得到的抛物线是()当a 0时，抛物线开口向上, 当a 0时，抛物线开口向下, 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下, 3.常数项c⑴当c 0时，抛物线与⑵当c 0时，抛物线与 ⑶当c 0时，抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；y 轴交点的纵坐标为0;y 轴交点的纵坐标为负.c _一_2 _一_2 _2^ _2一A. y 2(x 1) B. y 2( x 1) C. y 2x 1 D. y 2x 113. 二次函数y 2x2 4x 1的图象是由y 2x2 bx c的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b= ,c= 。
初三数学-二次函数-知识点总结
初三数学二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx ca≠），，是常数，0的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．（因此：二次函数应满足两个条件：①二次项的系数不等于0，②x 最高项的指数是2）2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y ax①，a 的绝对值决定开口的大小（a 的绝对值越大，抛物线的开口越小，a 的绝对值越小，抛物线的开口越大）②a 的符号决定开口的方向（a＞0，开口向上，a＜0开口向下）2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
（c＞0，将2=的图像向下移=向上移动，c＜0将2y axy ax动＝3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
Array 4. ()2=-+的性质：y a x h k三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a<-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a>-时，y 随x的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式（又称为对称式）：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（又称为两点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴ab2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式（三点式）；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式（对称式）；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式（两点）；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）： 一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.二次函数与x 轴两个交点的距离）② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1'当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >；2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 十、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少注：在实际应用中凡是需要求最大，最小（或极值）问题一般都要考虑用二次函数的最大值或最小值二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）xA B C D 3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学 二次函数 知识点总结
九年级数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地；形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数；0a ≠）的函数；叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似；二次项系数0a ≠；而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数；右边是关于自变量x 的二次式；x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数；a 是二次项系数；b 是一次项系数；c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大；抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+；确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变；将其顶点平移到()h k ，处；具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移；负左移；k 值正上移；负下移”． 概括成八个字“左加右减；上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位；c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位；c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看；()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式；后者通过配方可以得到前者；即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+；确定其开口方向、对称轴及顶点坐标；然后在对称轴两侧；左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，；()20x ，（若与x 轴没有交点；则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向；对称轴；顶点；与x 轴的交点；与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时；抛物线开口向上；对称轴为2bx a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时；y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时；y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时；y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时；抛物线开口向下；对称轴为2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时；y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时；y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时；y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ；b ；c 为常数；0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ；h ；k 为常数；0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠；1x ；2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式；但并非所有的二次函数都可以写成交点式；只有抛物线与x 轴有交点；即240b ac -≥时；抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中；a 作为二次项系数；显然0a ≠．⑴ 当0a >时；抛物线开口向上；a 的值越大；开口越小；反之a 的值越小；开口越大； ⑵ 当0a <时；抛物线开口向下；a 的值越小；开口越小；反之a 的值越大；开口越大．总结起来；a 决定了抛物线开口的大小和方向；a 的正负决定开口方向；a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下；b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下；当0b >时；02ba-<；即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时；02ba-=；即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时；02ba->；即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下；结论刚好与上述相反；即 当0b >时；02ba->；即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时；02ba-=；即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时；02ba-<；即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来；在a 确定的前提下；b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ；在y 轴的右侧则0<ab ；概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时；抛物线与y 轴的交点在x 轴上方；即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时；抛物线与y 轴的交点为坐标原点；即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时；抛物线与y 轴的交点在x 轴下方；即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来；c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之；只要a b c ，，都确定；那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式；通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点；选择适当的形式；才能使解题简便．一般来说；有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标；一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值；一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标；一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点；常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况；可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后；得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2y a x h k =-+关于x 轴对称后；得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后；得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后；得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后；得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后；得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后；得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后；得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后；得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质；显然无论作何种对称变换；抛物线的形状一定不会发生变化；因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时；可以依据题意或方便运算的原则；选择合适的形式；习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向；再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向；然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ①当240b ac ∆=->时；图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠；其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时；图象与x 轴只有一个交点；③ 当0∆<时；图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时；图象落在x 轴的上方；无论x 为任何实数；都有0y >； 2' 当0a <时；图象落在x 轴的下方；无论x 为任何实数；都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交；交点坐标为(0；)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标；需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ；b ；c 的符号；或由二次函数中a ；b ；c 的符号判断图象的位置；要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称；可利用这一性质；求和已知一点对称的点坐标；或已知与x 轴的一个交点坐标；可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式；二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例；揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质；有关试题常出现在选择题中；如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点； 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像；习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像；试题类型为选择题；如： 如图；如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内；那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式；有关习题出现的频率很高；习题类型有中档解答题和选拔性的综合题；如： 已知一条抛物线经过(0；3)；(4；6)两点；对称轴为35=x ；求这条抛物线的解析式。
初三数学二次函数知识点总结
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念:１.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠)的函数,叫做二次函数。
这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．二、二次函数的基本形式１. 二次函数基本形式:2y ax =的性质： a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
２. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质:左加右减。
4． ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1． 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 方法二:⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上(下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，.五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点).画草图时应抓住以下几点:开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1． 当0a >时,抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时,抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式:2y ax bx c =++(a ，b ,c 为常数，0a ≠）； ２. 顶点式:2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠)；3． 两根式:12()()y a x x x x =--（0a ≠,1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系１. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小,反之a 的值越小，开口越大; ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下,a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大,开口越大.总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小. 2． 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧;当0b =时,02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时,02ba-=,即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置.ab 的符号的判定:对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结:3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正; ⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定:根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况:1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;２． 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值,一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; ４. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---;()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；２. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++;３． 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4． 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转1８０°)2y ax bx c =++关于顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-;()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程：１. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x 轴交点情况）:一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根.这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点; ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >; 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <. 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ,c 的符号，或由二次函数中a ,b ，c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标． ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考:十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 22y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中,如:已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题,如： 如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是( ）y ｙ ｙ y1 10 x o-1 ｘ 0 x ０ -1 ｘ A Ｂ C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如： 已知一条抛物线经过(０,3），(4,6）两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
九年级数学二次函数重要知识点总结小周数学
二次函数笔记知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果y=ax²＋bx+c（a，b，c是常数，a=0），特别注意a不为零，那么y叫做x 的二次函数。
y=ax²＋bx+c（a，b，c是常数，a≠0）叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x=−b2a对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征∶①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
（重要）y=ax2（a≠0）（只有二次项）的图像性质a>0 开口向上 a<0开口向下（注：二次函数图像只有两类，要么开口向上，要么开口向下）顶点坐标;原点（0,0）对称轴:y轴也叫作直线x=0温馨提示：当 a>0 图像开口向上时，顶点处于函数图像的最下方，是整个图像的最低点当a<0开口向下时，顶点处于函数图像的最上方，是整个图像的最高点。
高低上下与纵坐标有关，最低就意味着纵坐标小，反之就大!所以我们说的函数的最值就是y的最值也就是顶点纵坐标！所以顶点纵坐标就代表函数最值！（重要）当 a>0 图像开口向上时 y有最小值当a<0 开口向下时y有最大值例题：若一个二次函数的解析式是 y=2（x +3）2+2 则这个函数有最大值还是最小值 ，是多少？解：由解析式可知a=2 是大于0的 所以图像开口向上，y 有最小值！ 由解析式可知顶点坐标是（-3,2）所以函数y 最小值就是2！（非常重要）平移规律：左加右减自变量（x 变化） 上加下减常数项例题 将二次函数y=2x 2向上2个单位 再向左移动3个单位y=2x 2y=2x 2+2 y=2（x +3）2+2顶点：（0,0） （0,2） （-3,2） 对称轴x=0 不变化 直线x=-3向上2个（上加）向左3（左加）4 将一般式化成顶点式超级重要化顶点式步骤：首先二次项系数化为1（提公因式法提取a）其次配方在括号里配一次项系数的一半的平方（它的一半写在括号里）切记加一个再减一个！最后减的那部分再乘以括号前的数也就是a 再乘出来例题求二次函数y=2x2 +4x+6的顶点坐标及对称轴方法一：y=2x2 +4x+6y=2（x2 +2x）+6 先提二次项系数aY=2（x2 +2x+1-1）+6 括号里一次项系数是2一半是1再平方是1Y=2（x2 +2x+1）-2+6 减的部分再乘出来Y=2(x+1)2 +4所以顶点坐标;(-1,4) 对称轴：x=-1方法二：将a=2 b=4 c=6 代入顶点坐标公式直接求解顶点坐标！5 函数图像与坐标轴的交点（1）与y 轴交点--交点在y 轴上，则其横坐标x=0--将x=0代入二次函数解析式y=ax ²＋bx+c 中求纵坐标--此时y=c 。
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初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少2-32y=-2x 2y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)2二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。