高中数学第二章平面向量章末小结导学案无答案新人教A版必修
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第二章平面向量章末小结【本章知识体系】
【题型归纳】
专题一、平面向量的概念及运算
包含向量的有关概念、加法、减法、数乘。向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算。利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
1、1.AB →+AC →-BC →+BA →化简后等于( )
A .3A
B → B.AB →
C.BA →
D.CA →
2、在平行四边形ABCD 中,OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,则下列运算正确的是( )
A .a +b +c +d =0
B .a -b +c -d =0
C .a +b -c -d =0
D .a -b -c +d =0
3、已知圆O 的半径为3,直径AB 上一点D 使AB →=3AD →,E 、F 为另一直径的两个端点,
则DE →·DF →=( )
A .-3
B .-4
C .-8
D .-6
4、如图,在正方形ABCD 中,设AB →=a ,AD →=b ,BD →=c ,则在以a ,
b 为基底时,AC →可表示为________,在以a ,
c 为基底时,AC →可表示为
________.
5、下列说法正确的是( )
A .两个单位向量的数量积为1
B .若a ·b =a ·c ,且a ≠0,则b =c
C .AB →=OA →-OB →
D .若b⊥c ,则(a +c )·b =a ·b
专题二、平面向量的坐标表示及坐标运算
向量的坐标表示及运算强化了向量的代数意义。若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标,解题过程中,常利用向量相等,则其坐标相同这一原则。
6、已知向量a =(1,n ),b =(-1,n ),若2a -b 与b 垂直,则|a |等于( )
A .1 B. 2
C .2
D .4
7、设向量a =(1,-3),b =(-2,4),c =(-1,-2),若表示向量4a,4b -2c,2(a -c ),d 的有向线段首尾相接能构成四边形,则d =( )
A .(2,6)
B .(-2,6)
C .(2,-6)
D .(-2,-6)
8、已知a =(1,1),b =(1,0),c 满足a ·c =0,且|a |=|c |,b ·c >0,则c =________. 专题三、平面向量的基本定理
平面向量的基本定理解决了所有向量之间的相互关系,为我们研究向量提供了依据。
9、已知AD 、BE 分别为△ABC 的边BC 、AC 上的中线,设AD →=a ,BE →=b ,则BC →等于( )
A.43a +23b
B.23a +43
b C.23a -43b D .-23a +43
b
10、在平面直角坐标系中,若O 为坐标原点,则A ,B ,C 三点在同一直线上的等价条件
为存在唯一的实数λ,使得OC →=λOA →+(1-λ)OB →成立,此时称实数λ为“向量OC →关于OA →和
OB →的终点共线分解系数”.若已知P 1(3, 1),P 2(-1,3),且向量OP 3→与向量a =(1,1)垂直,
则“向量OP 3→关于OP 1→和OP 2→的终点共线分解系数”为( )
A .-3
B .3
C .1
D .-1
11、已知O ,A ,B 是平面上不共线的三点,直线AB 上有一点C ,满足2AC →+CB →=0,
(1)用OA →,OB →表示OC →;
(2)若点D 是OB 的中点,证明四边形OCAD 是梯形.
解:
12、如图,平行四边形ABCD 中,AB →=a ,AD →=b ,H 、M 是AD 、DC 的中点,BC 上点F 使
BF =13
BC . (1)以a 、b 为基底表示向量AM →与HF →;
(2)若|a |=3,|b |=4,a 与b 的夹角为120°,求AM →·HF →.
专题四、平面向量的数量积
求平面向量的数量积的方法有两个:一个是根据数量积的定义a ·b =|a ||b |cos θ,其中θ为向量a ,b 的夹角;另一个是根据坐标法,坐标法是a =(1x ,1y ),b =(2x ,2y )时,a ·b =1x 2x +1y 2y 。利用数量积可以求长度,也可判断直线与直线的关系(相交的夹角以及垂直),还可以通过向量的坐标运算转为代数问题解决.
13、在直角坐标系xOy 中,AB →=(2,1),AC →=(3,k ),若三角形ABC 是直角三角形,则
k 的可能值个数是( )
A .1
B .2
C .3
D .4
14、A ,B ,C ,D 为平面上四个互异点,且满足(DB →+DC →-2DA →)·(AB →-AC →)=0,则△ABC
的形状是( )
A .直角三角形
B .等腰三角形
C .等腰直角三角形
D .等边三角形
15、已知|a |=3,|b |=4,|c |=23,且a +b +c =0,则a ·b +b ·c +c ·a =________.
16.已知|a |=1,|b |=1,a 与b 的夹角为120°,则向量2a -b 在向量a +b 方向上的投影为________.
17.如图所示,在正方形ABCD 中,已知|AB →|=2,若N 为正方形内(含边界)任意一点,
则AB →·AN →的最大值是________.
18、设平面上向量a =(cos α,sin α)(0≤α<2π),b =(-12,32
),a 与b 不共线. (1)证明向量a +b 与a -b 垂直; (2)当两个向量3a +b 与a -3b 的模相等时,求角α.