2018届北师大版 三视图、直观图 检测卷
高考数学一轮复习课时规范练37空间几何体的三视图、直观图理北师大版
A.8
B.7
C.6
D.5
14.如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球 O1,O2,这两个球外切,且球 O1 与正方体共顶点 A 的三个面相切,球 O2 与正方体共顶点 B1 的三个面相切,则两球在正方体的面 AA1C1C 上的正投影是 ( )
照片,假设相机镜头正对的方向为正方向,则根据图片判断此日晷的左 (侧)视图可能为( )
参考答案
课时规范练 37 空间几何体的三视图、直观图 1.D 对于选项 A,斜棱柱的每个侧面是平行四边形,但是全部展开以后,那些平行四边形未必可以构 成一个平行四边形.所以是假命题.对于选项 B,水平放置的正方形的直观图是平行四边形,不可能是 梯形,所以是假命题.对于选项 C,一个直四棱柱的主视图和左视图都是矩形,则该直四棱柱不一定是 长方体,因为底面可能不是矩形,所以是假命题.对于选项 D,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面 与截面之间的部分形成的几何体就是圆台,是真命题.故选 D. 2.C 由题得几何体原图是如图所示的三棱锥 A-BCD,所以这个几何体的直观图是 C.故选 C.
11.(2018 河北唐山期中,12)在三棱锥 A-BCD 中,AC=BD=3,AD=BC=4,AB=CD=m,则 m 的取值范围 是 . 12.(2018 河南信阳一模,14)正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P,Q,R 分别是棱 A1A,A1B1,A1D1 的中点,以△PQR 为底面作正三棱柱,若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上,则 这个正三棱柱的高为 .
课时规范练 37 空间几何体的三视图、直观图
2017-2018学年高二数学北师大必修2课时跟踪检测：(三) 三视图
课时跟踪检测（三）三视图层级一 学业水平达标1．若一个几何体的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是( )A．圆柱 B．三棱柱 C．圆锥 D．球体解析：选C 主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆说明此几何体是圆锥．2．如图所示的是一个立体图形的三视图，此立体图形的名称为( )A．圆锥B．圆柱C．长方体D．圆台解析：选B 由俯视图可知几何体的上、下底面是全等的圆，结合主视图和左视图，可知其为圆柱．3．如图所示，五棱柱的左视图应为( )解析：选B 从五棱柱左面看，是2个矩形，上面的小一点，故选B.4．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱解析：选B 将三视图还原为几何体即可．如图，几何体为三棱柱．5．如图所示，画出四面体AB1CD1三视图中的主视图，以面AA1D1D为投影面，则得到的主视图可以为( )解析：选A 显然AB1，AC，B1D1，CD1分别投影得到主视图的外轮廓，B1C为可见实线，AD1为不可见虚线．故A正确．6．如图所示的几何体中，主视图与左视图都是长方形的是________．解析：②的左视图是三角形，⑤的主视图和左视图都是等腰梯形，其余的都符合条件．答案：①③④7．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，则三棱锥PABC的主视图与左视图的面积的比值为________．解析：三棱锥PABC的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.答案：18．如下图，图②③④是图①表示的几何体的三视图，其中图②是________，图③是________，图④是________(说出视图名称)．解析：由几何体的位置知，②为主视图，③为左视图，④为俯视图．答案：主视图 左视图 俯视图9．画出图中几何体的三视图．解：该几何体的三视图如图所示．10．根据如图所示的三视图，画出几何体．解：由主视图、左视图可知，该几何体为简单几何体的组合体，结合俯视图为大正方形里有一个小正方形，可知该组合体上面为一个正方体，下面为一个下底面是正方形的倒置的四棱台．如图所示．层级二 应试能力达标31．直角边分别为1和的三角形，绕一条直角边所在直线旋转，形成的圆锥的俯视图是半径为1的圆，则它的主视图是( )3A．等腰直角三角形 B．边长为的等边三角形C．边长为2的等边三角形D．不能确定3解析：选C 由俯视图知长为的边在轴上．因此主视图为边长为2的等边三角形．2．如图是一几何体的直观图、主视图和俯视图．在主视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的左视图是( )解析：选B 由直观图和主视图、俯视图可知，该几何体的左视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．3．底面水平放置的正三棱柱的所有棱长均为2，当其主视图有最大面积时，其左视图的面积为( )3A．2 B．33C.D．4解析：选A 当主视图的面积最大时，可知其正三棱柱某个侧面的面积，可以按如图所示放置，此时S左＝2.34.一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )A ．2B ．22C. D ．233解析：选D 由四面体的三视图知其直观图为如图所示的正方体中的四面体A BCD ，由三视图知正方体的棱长为2.所以S △ABD ＝×2×2＝2，1222S △ADC ＝×2×2×＝2，1222323S △ABC ＝×2×2＝2，1222S △BCD ＝×2×2＝2.12所以所求的最大面积为2.故选D.35．若一个正三棱柱(底面为正三角形，侧面为矩形的棱柱)的三视图如图所示，则这个正三棱柱的侧棱长和底面边长分别为________、________.解析：左视图中尺寸2为正三棱柱的侧棱长，尺寸2为俯视图正三角形的高，所以3正三棱柱的底面边长为4.答案：2 46．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．解析：小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．答案：77．如图所示的几何体是由一个长方体木块锯成的．(1)判断该几何是否为棱柱；(2)画出它的三视图．解：(1)是棱柱．因为该几何体的前、后两个面互相平行，其余各面都是矩形，而且相邻矩形的公共边都互相平行．(2)该几何体的三视图如图所示．8．已知，图①是截去一个角的长方体，试按图示的方向画出其三视图；图②是某几何体的三视图，试说明该几何体的构成．解：图①几何体的三视图为：图②所示的几何体是上面为正六棱柱、下面为倒立的正六棱锥的组合体．。
2018届北师大版 立体几何 单元质量检测
时间：90分钟 分值：100分 一、选择题(每小题4分，共40分)1．某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A ．圆柱 B ．圆锥 C ．四面体D ．三棱柱解析：圆柱、四面体、三棱柱的正视图都有可能是三角形． 答案：A2．用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为( ) A.8π3B.82π3 C ．82πD.32π3解析：S 圆＝πr 2＝π⇒r ＝1，而截面圆圆心与球心的距离d ＝1，所以球的半径为R ＝r 2＋d 2＝ 2.所以V ＝43πR 3＝82π3，故选B.答案：B3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π解析：将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解．原几何体为组合体；上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V ＝4×2×2＋12π×22×4＝16＋8π.答案：A4．已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a ⊥α，b ⊥β，则下列命题中的假命题是( )A ．若a∥b，则α∥βB ．若α⊥β，则a⊥bC ．若a ，b 相交，则α，β相交D ．若α，β相交，则a ，b 相交解析：若α，β相交，则a ，b 可能相交，也可能异面，故D 为假命题． 答案：D5．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( )A ．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB ．若m∥α，n ∥β，α⊥β，则m⊥nC ．若α⊥β，m ⊥α，则m∥βD ．若α∥β，m ⊄β，m ∥α，则m∥β解析：对于A ，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A 错；对于B ，若m∥α，n ∥β，α⊥β，则m ，n 可以平行，可以相交，也可以异面，B 错；对于C ，若α⊥β，m ⊥α，则m 可以在平面β内，C 错；易知D 正确．答案：D6．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为正方形，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成角的余弦值为( )A.1010 B.15 C.31010D.35解析：如图，以D 为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．设AA 1＝2AB ＝2，则B(1，1，0)，E(1，0，1)，C(0，1，0)，D 1(0，0，2)，∴BE ―→＝(0，－1，1)，CD 1―→＝(0，－1，2)，∴cos 〈BE ―→，CD 1―→〉＝1＋22·5＝31010.答案：C7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是A 1B 1，CD ，B 1C 1的中点，则下列中与直线AE 有关的正确命题是( )A ．AE ⊥CGB ．AE 与CG 是异面直线C ．四边形ABC 1F 是正方形D ．AE ∥平面BC 1F解析：由正方体的几何特征，可得AE⊥C 1G.但AE 与平面BCC 1B 1不垂直，故AE⊥CG 不成立；由于EG∥AC，故A ，E ，G ，C 四点共面，所以AE 与CG 是异面直线错误；四边形ABC 1F 中，AB ≠BC 1，故四边形ABC 1F 是正方形是错误的；而AE∥C 1F ，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC 1F ，故选D.答案：D8．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与平面GEF 所成角的正弦值为( )A.35B.56C.3310 D.3610解析：如图，取AB 的中点E ，建立如图所示空间直角坐标系E －xyz.则E(0，0，0)，F(－1，0，1)，B 1(1，0，2)，A 1(－1，0，2)，C 1(0，3，2)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2.∴B 1F ―→＝(－2，0，－1)，EF ―→＝(－1，0，1)，FG ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，1.设平面GEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z)， 由⎩⎪⎨⎪⎧n·EF ―→＝－x ＋z ＝0，n·FG ―→＝12x ＋32y ＋z ＝0，得⎩⎨⎧z ＝x ，y ＝－3x. 令x ＝1，则n ＝(1，－3，1)，设B 1F 与平面GEF 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，B 1F ―→〉|＝错误!)＝错误!.答案：A9．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，E ∈PC ，F ∈PB，PE ―→＝3EC ―→，PF ―→＝λFB ―→，若AF∥平面BDE ，则λ的值为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：因为AF∥平面BDE ，所以过点A 作AH∥平面BDE ，交PC 于H ，连接FH ，则得到平面AFH∥平面BDE ，所以FH∥BE，因为E∈PC，F ∈PB ，PE ―→＝3EC ―→，PF ―→＝λFB ―→，所以OC OA ＝EC HE ＝1，所以EC ＝EH ，又PE ＝3EC ，所以PH ＝2HE ，又因为PF FB ＝PHHE＝2，所以λ＝2.答案：C10．如图，在正四棱柱(底面是正方形的直四棱柱)ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 1、BC 1的中点，则下列结论不成立的是( )A ．EF 与BB 1垂直 B ．EF 与BD 垂直C ．EF 与CD 异面D ．EF 与A 1C 1异面 解析：连接B 1C ，AC ，则B 1C 交BC 1于F ，且F 为B 1C 的中点， 又E 为AB 1的中点，所以EF 綊12AC ，而B 1B ⊥平面ABCD ， 所以B 1B ⊥AC ， 所以B 1B ⊥EF ，A 正确；又AC⊥BD，所以EF⊥BD，B 正确； 显然EF 与CD 异面，C 正确；由EF 綊12AC ，AC ∥A 1C 1，得EF∥A 1C 1，故不成立的选项为D.答案：D二、填空题(每小题4分，共16分)11．把一个半径为532 cm 的金属球熔成一个圆锥，使圆锥的侧面积为底面积的3倍，则这个圆锥的高为________．解析：设圆锥的高为h ，底面半径为r ，母线长为l ， 则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧43π×（532）3＝13πr 2h ，πrl ＝3πr 2，l 2＝h 2＋r2解得h ＝20(cm)．答案：20 cm12．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P ，Q ，R ，S 分别是AB ，BC ，C 1D 1，C 1C ，A 1B 1，B 1B 的中点，则下列判断：①PQ 与RS 共面；②MN 与RS 共面；③PQ 与MN 共面． 则正确结论的序号是________．解析：①连接PR ，SQ ，可知SQ 綊PR ，所以四边形PQSR 为平行四边形，所以PQ∥RS，故①正确；②由图知直线MN 过平面A 1B 外一点N ，而直线RS 不过M 点，故MN 与RS 为异面直线，故②错；③由图知延长PQ 与MN ，则PQ 与MN 相交，故③正确．答案：①③13．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上．若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于________．解析：设球心为O ，球半径为R ，△ABC 的外心是M ，则O 在底面ABC 上的射影是点M ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∠ABC ＝12(180°－120°)＝30°，AM ＝AC 2sin30°＝2.因此，R 2＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 122＝5，此球的表面积等于4πR 2＝20π.答案：20π14．三棱锥S －ABC 中，∠SBA ＝∠SCA＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°； ②直线SB⊥平面ABC ； ③平面SBC⊥平面SAC ； ④点C 到平面SAB 的距离是12a.其中正确结论的序号是________． 解析：由题意知AC⊥平面SBC ，故AC⊥SB，SB ⊥平面ABC ，平面SBC⊥平面SAC ，①②③正确；取AB 的中点E ，连接CE ，(如图)可证得CE⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离12a ，④正确． 答案：①②③④三、解答题(共4小题，共44分，解答应写出必要的文字说明、计算过程或证明步骤) 15．(10分)已知点P 在矩形ABCD 的边DC 上，AB ＝2，BC ＝1，点F 在AB 边上且DF⊥AP，垂足为E ，将△ADP 沿AP 边折起，使点D 位于D′位置，连接D′B、D′C 得四棱锥D′－ABCP.(1)求证：D′F⊥AP；(2)若PD ＝1，且平面D′AP⊥平面ABCP ，求四棱锥D′－ABCP 的体积． 解：(1)证明：∵AP⊥D′E，AP ⊥EF ，D ′E ∩EF ＝E ， ∴AP ⊥平面D′EF，∴AP ⊥D ′F. (2)连接PF ，∵PD ＝1，∴四边形ADPF 是边长为1的正方形， ∴D ′E ＝DE ＝EF ＝22. ∵平面D′AP⊥平面ABCP ，D ′E ⊥AP ， ∴D ′E ⊥平面ABCP ，∵S 梯形ABCP ＝12×(1＋2)×1＝32，∴V D ′－ABCP ＝13D ′E ·S 梯形ABCP ＝24.16．(10分)如图，AB ＝AD ，∠BAD ＝90°，M ，N ，G 分别是BD ，BC ，AB 的中点，将等边△BCD 沿BD 折叠成△BC′D 的位置，使得AD⊥C′B.(1)求证：平面GNM∥平面ADC′. (2)求证：C ′A⊥平面ABD.证明：(1)因为M ，N 分别是BD ，BC ′的中点， 所以MN∥DC′.因为MN ⊄平面ADC′， DC ′⊂平面ADC′，所以MN∥平面ADC′. 同理NG∥平面ADC′.又因为MN∩NG＝N ， 所以平面GNM∥平面ADC′. (2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB. 又因为AD⊥C′B，且AB ∩C′B＝B ， 所以AD⊥平面C′AB.因为C′A ⊂平面C′AB，所以AD⊥C′A. 因为△BCD 是等边三角形，AB ＝AD ，不妨设AB ＝1，则BC ＝CD ＝BD ＝2，可得C′A＝1. 由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A. 因为AB∩AD＝A ，所以C′A⊥平面ABD.17．(12分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，且A 1A ＝AB ＝AD ＝2BC ＝2，点E 在棱AB 上，平面A 1EC 与棱C 1D 1相交于点F.(1)证明：A 1F ∥平面B 1CE ；(2)若E 是棱AB 的中点，求二面角A 1－EC －D 的余弦值； (3)求三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值．解：(1)证明：因为ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱柱， 所以平面ABCD∥平面A 1B 1C 1D 1.又因为平面ABCD∩平面A 1ECF ＝EC ，平面A 1B 1C 1D 1∩平面A 1ECF ＝A 1F ，所以A 1F ∥EC. 又因为A 1F ⊄平面B 1CE ，EC ⊂平面B 1CE ， 所以A 1F ∥平面B 1CE.(2)解：因为AA 1⊥底面ABCD ，∠BAD ＝90°，所以AA 1，AB ，AD 两两垂直，以A 为原点，以AB ，AD ，AA 1分别为x 轴、y 轴和z 轴建立空间直角坐标系如图，则A 1(0，0，2)，E(1，0，0)，C(2，1，0)， 所以A 1E ―→＝(1，0，－2)，A 1C ―→＝(2，1，－2)．设平面A 1ECF 的法向量为m ＝(x ，y ，z)，由A 1E ―→·m＝0，A 1C ―→·m＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2z ＝0，2x ＋y －2z ＝0.令z ＝1，得m ＝(2，－2，1)． 又因为平面DEC 的法向量为n ＝(0，0，1)，所以cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n|＝13.由图可知，二面角A 1－EC －D 的平面角为锐角，所以二面角A 1－EC －D 的余弦值为13.(3)过点F 作FM⊥A 1B 1于点M ，因为平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，FM ⊂平面A 1B 1C 1D 1，所以FM⊥平面A 1ABB 1. 所以VB 1－A 1EF ＝VF －B 1A 1E ＝13×S △A 1B 1E ×FM ＝13×2×22×FM ＝23FM.因为当F 与点D 1重合时，FM 取到最大值2(此时点E 与点B 重合)， 所以当F 与点D 1重合时，三棱锥B 1－A 1EF 的体积的最大值为43.18．(12分)(2016·山西四校联考)在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．(1)证明：DF⊥AE；(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．解：(1)证明：∵AE⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ， ∴AB ⊥AE.∵AB ⊥AA 1，AE ∩AA 1＝A ， ∴AB ⊥平面A 1ACC 1. ∵AC ⊂平面A 1ACC 1， ∴AB ⊥AC.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A(0，0，0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12， F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1(0，0，1)，B 1(1，0，1)．设点D 的坐标为(x ，y ，z)，A 1D ―→＝λA 1B 1―→，且λ∈[0，1]， 则(x ，y ，z －1)＝λ(1，0，0)， ∴点D 的坐标为(λ，0，1)， ∴DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1.又AE ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，∴DF ―→·AE ―→＝12－12＝0.∴DF ⊥AE.(2)假设存在，设平面DEF 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n·FE ―→＝0，n·DF ―→＝0， ∵FE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，DF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12x 1＋12y 1＋12z 1＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx 1＋12y 1－z 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝32（1－λ）z 1，y 1＝1＋2λ2（1－λ）z 1.令z 1＝2(1－λ)，则n ＝(3，1＋2λ，2(1－λ))． 由题可知平面ABC 的一个法向量m ＝(0，0，1)． ∵平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414， ∴|cos 〈m ，n 〉|＝|m·n||m||n|＝1414，即|2（1－λ）|9＋（1＋2λ）2＋4（1－λ）2＝1414， 解得λ＝12或λ＝74(舍)．∴当点D 为A 1B 1的中点时，满足要求．。
2017-2018学年高中数学北师大版必修2同步练习：1.3三视图(含答案)
第一章§3一、选择题1．下列说法正确的是()A．若长方体的长、宽、高各不相同，则长方体的三视图中不可能有正方形(以长×宽所在的平面表示观察视角的正面)B．照片是三视图中的一种C．若三视图中有圆，则原几何体中一定有球体D．圆锥的三视图都是等腰三角形[答案] A[解析]按定义，三视图必须是包含主、左、俯三种视图，所以B不对；圆柱、圆锥等图形的三视图中也可能有圆，故C不对；圆锥的视图中有圆，故D不对．按A题意，可知其三视图都为非正方形的长方形．2．(2014·江西理，5)一几何体的直观图如下图，下列给出的四个俯视图中正确的是()[答案] B[解析]本题考查三视图．由俯视图的概念可知选B.3．以下说法正确的是()A．任何物体的三视图都与物体摆放位置有关B．任何物体的三视图都与物体摆放位置无关C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形[答案] C[解析]球不管从何位置看三视图均为圆，故A错；正方体从不同角度观察，其三视图是不一样的，故B、D错．4．(2014·新课标Ⅰ文，8)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是()A．三棱锥B．三棱柱C．四棱锥D．四棱柱[答案] B[解析]本题考查三视图由三视图知识几何体是三棱柱，注意是平放的三棱柱．5．三棱柱ABC－A1B1C1，如图所示，以BCC1B1的前面为正前方，画出的三视图，正确的是()[答案] A[解析]正面是BCC1B1为矩形，故主视图为矩形，左侧为△ABC，所以左视图为三角形，俯视图为两个有公共边的矩形，公共边为CC1在面ABB1A1内的投影．6．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()[答案] C[解析]由主视图可以看出去掉的小长方体在主视图的左上角，从左视图可以看出去掉的小长方体在左视图的右上角，由以上各视图的描述可知，该几何体如图所示，则易知俯视图为选项C.二、填空题7．如图所示是一个空间几何体的三视图，则该几何体为______________．[答案]正六棱台8．图中三视图代表的立体图形分别是____________．[答案](1)代表直四棱柱，(2)代表一个圆柱和一个长方体的组合体，(3)代表正六棱锥，(4)代表两个圆台的组合体．9．添线补全下面物体的三视图．[解析]如图所示．一、选择题1．已知一几何体的主视图与左视图如图所示，则下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有()A．①②③⑤B．②③④⑤C．①②④⑤D．①②③④[答案] D[解析]可以结合实物想象，对于①，可认为该几何体的最下部为棱柱，上部为两个圆柱；对于②，可认为该几何体的上部为两个棱柱，下部为圆柱；对于③，可认为该几何体的上部为圆柱，下部为两个棱柱；对于④，可认为该几何体的上部是底面为等腰直角三角形的棱柱，中间为一圆柱，底部为四棱柱；对于⑤，由原几何体最下部的两个视图可知，其俯视图不可能是一个三角形．2．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的左视图为()[解析]根据正投影的性质，并结合左视图要求及如图所示，AB的正投影为A′B′，BC的正投影为B′C′，BD′的正投影为B′D′，综上可知应选D.二、填空题3．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．[答案]2 3[解析]根据三视图还原成实物图，图中四棱锥P－ABCD即是，所以最长的一条棱的长为PB＝2 3.4．给出下列几个命题，其中真命题的个数是________．①如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；②如果一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体；③如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台．[答案] 1[解析]①是错误的，因为球的三视图也是完全相同的；③也可能是棱台；只有②正确．三、解答题5．如图所示是一个零件的实物图，画出这个几何体的三视图．[解析]该零件由一个长方体和一个半圆柱拼接而成，并挖去了一个小圆柱(形成圆孔)．主视图反映了长方体的侧面和半圆的底面、小圆柱的底面，左视图反映了长方体的侧面、半圆柱的侧面、小圆柱的侧面，俯视图反映了长方体的底面、半圆柱的侧面和小圆柱的侧面投影后的形状．它的三视图如图所示．6．如图所示的是一个几何体的直观图，请画出这个几何体的三视图．[解析]如图所示．俯视图是一个正方形．(1)在给定的直角坐标系中作出这个几何体的直观图；(不写作法)(2)求这个几何体的高．[解析](1)直观图如图．它的底面边长为2，高在主视图(或左视图)中可求，高h＝2sin60°＝ 3.。
2018届高考数学(文)总复习跟踪检测(三十八)空间几何体的结构特征及三视图与直观图含解析
2018届高考数学(文)总复习跟踪检测(三十八)空间几何体的结构特征及三视图与直观图含解析课时跟踪检测 (三十八) 空间几何体的结构特征及三视图与直观图一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．某几何体的正视图和侧视图完全相同，均如图所示，则该几何体的俯视图一定不可能是( )解析：选D 几何体的正视图和侧视图完全一样，则几何体从正面看和侧面看的长度相等，只有等边三角形不可能．2．下列说法正确的是( )A．棱柱的两个底面是全等的正多边形B．平行于棱柱侧棱的截面是矩形C．{直棱柱}⊆{正棱柱}D．{正四面体}⊆{正三棱锥}解析：选D 因为选项A中两个底面全等，的形状为________，面积为________cm2．解析：由斜二测画法的特点知该平面图形是一个长为4 cm，宽为2 cm的矩形，所以四边形ABCO的面积为8 cm2．答案：矩形85．已知某几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，以这4个点为顶点的几何体的形状给出下列命题：①矩形；②有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；③两个面都是等腰直角三角形的四面体．其中正确命题的序号是________．解析：由三视图可知，该几何体是正四棱柱，作出其直观图，ABCDA1B1C1D1，如图，当选择的4个点是B1，B，C，C1时，可知①正确；当选择的4个点是B，A，B1，C时，可知②正确；易知③不正确．答案：①②二保高考，全练题型做到高考达标1．已知底面为正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的( )解析：选C 根据三视图的定义可知A、B、D均不可能，故选C．2．如图所示是水平放置三角形的直观图，点D是△ABC的BC边中点，AB，BC分别与y′轴、x′轴平行，则三条线段AB，AD，AC中( )A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AC，最短的是AD解析：选B 由条件知，原平面图形中AB ⊥BC，从而AB＜AD＜AC．3．(2016·沈阳市教学质量监测)如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个凸多面体的三视图(两个矩形，一个直角三角形)，则这个几何体可能为( )A．三棱台B．三棱柱C．四棱柱D．四棱锥解析：选B 根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等，可得几何体如图所示，这是一个三棱柱．4．(2016·淄博一模)把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥ABCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为( )A．22B．12C．24D．14解析：选D 由正视图与俯视图可得三棱锥ABCD的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为22，所以侧视图的面积为S ＝12×22×22＝14． 5．已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )A ．3B ．2 5C ．6D ．8解析：选 C 四棱锥如图所示，取AD 的中点N ，BC 的中点M ，连接PM ，PN ，则PM ＝3，PN ＝5，S △PAD ＝12×4×5＝25，S △PAB ＝S △PDC ＝12×2×3＝3，S△PBC ＝12×4×3＝6．所以四个侧面中面积最大的是6．6．设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析：命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的；因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的；命题④由棱台的定义知是正确的．答案：①④7．一个圆台上、下底面的半径分别为3 cm和8 cm，若两底面圆心的连线长为12 cm，则这个圆台的母线长为________cm．解析：如图，过点A作AC⊥OB，交OB于点C．在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5 (cm)．∴AB＝122＋52＝13(cm)．答案：138．已知正四棱锥VABCD中，底面面积为16，一条侧棱的长为211，则该棱锥的高为________．解析：如图，取正方形ABCD的中心O，连结VO，AO，则VO就是正四棱锥VABCD的高．因为底面面积为16，所以AO＝22．因为一条侧棱长为211．所以VO ＝VA 2－AO 2＝44－8＝6．所以正四棱锥V ABCD 的高为6．答案：69．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图．从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32， C ′D ′＝O ′C ′sin 45°＝32×22＝64． 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64． 答案：6410．已知正三棱锥V ABC 的正视图、侧视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的直观图；(2)求出侧视图的面积．解：(1)直观图如图所示． (2)根据三视图间的关系可得BC ＝23， ∴侧视图中VA ＝ 42－⎝ ⎛⎭⎪⎫23×32×232＝23，∴S△VBC＝12×23×23＝6．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是( )A．8 B．7C．6 D．5解析：选C 画出直观图，共六块．2．(2017·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是( )A．4 3 B．8 3C．47 D．8解析：选C 设该三棱锥为PABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，则由三视图可知△ABC 是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝42，所以S△ABC＝12×4×23＝43，S△PAB＝S△PAC ＝12×4×4＝8，S△PBC＝12×4×422－22＝47，故四个面中面积最大的为S△PBC＝47，选C．3．如图，在四棱锥PABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．(1)根据图中所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2．(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝62．由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝622＋62＝6 3 cm．。
空间几何体的三视图和直观图试题含答案1
空间几何体的三视图和直观图试题(含答案)1一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)1．充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()解析：选项A得到的是空心球；D得到的是球；选项C得到的是车轮内胎；B得到的是空心的环状几何体，故选C.答案：C2．在斜二测画法的规则下，下列结论正确的是()A．角的水平放置的直观图不一定是角B．相等的角在直观图中仍然相等C．相等的线段在直观图中仍然相等D．若两条线段平行，且相等，则在直观图中对应的两条线段仍然平行且相等解析：角在直观图中可以与原来的角不等，但仍然为角；由正方形的直观图可排除B、C，故选D.答案：D3．下图所示的四个几何体，其中判断正确的是()A．(1)不是棱柱B．(2)是棱柱C．(3)是圆台D．(4)是棱锥解析：显然(1)符合棱柱的定义；(2)不符合；(3)中两底面不互相平行，故选D.答案：D4．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是()A．①②B．①③C．①④D．②④解析：正方体三个视图都相同；圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；三棱台的正视图和侧视图虽然都是梯形但不一定相同；正四棱锥的正视图和侧视图是全等的等腰三角形，故选D.答案：D5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为()A．2 B. 2C．2 2 D．4解析：设直观图中梯形的上底为x，下底为y，高为h.则原梯形的上底为x，下底为y，高为22h，故原梯形的面积为4，选D.答案：D6．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a＋b的最大值为() A．2 2 B．2 3C．4 D．2 5解析：构造长方体，将棱BH构造为长方体的体对角线，由题意知BH的正视图的投影为CH，BH的侧视图的投影为BG，BH的俯视图投影为BD.设AB＝x，AD＝y，AE＝h，则由CH＝6⇒DC2＋DH2＝6⇒x2＋h2＝6，又BH＝7⇒BC＝1，即y＝1.BH侧视图的投影为BG＝y2＋h2，BH俯视图的投影为BD＝x2＋y2，∴y2＋h2＋x2＋y2≤2(y2＋h2)＋(x2＋y2)2＝4，当x＝h时，取等号．答案：C二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)7．一正方体内接于一个球，经过球心作一个截面，则截面的可能图形为________(只填写序号)．解析：当截面与正方体的某一面平行时，可得①，将截面旋转可得②，继续旋转，过正方体两顶点时可得③，即正方体的对角面，不可能得④.答案：①②③8．有一粒正方体的骰子每一面有一个英文字母．下图是从3种不同角度看同一粒骰子的情况，请问H反面的字母是________．解析：因为正方体的骰子共有六个面，每个面都有一个字母，从每一个图中都看到有公共顶点的三个面，又与标有S的面相邻的面有四个，由图可知，这四个平面分别标有H、E、O、P四个字母，故能说明S的反面是D，翻转图②使P调整到正前面，S调整到正左面，则O为正下面，所以H的反面是O.答案：O9．有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，问它们的一个侧面重叠后，还有几个暴露面？________.解析：如图(1)三棱锥S—A′B′C′有四个暴露面，如图(2)四棱锥V—ABCD有五个暴露面，且它们的侧面都是完全相同的正三角形．如图(3)当三棱锥S—A′B′C′的底面A′B′C′与四棱锥V—ABCD的侧面A VD完全重合后，四点S，A，B，V共面，同样四点S，D，C，V也共面，此时，新几何体共有5个面．答案：510．已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，两条侧棱长为132，则第三条侧棱长的取值范围是________．解析：如图1，四面体ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝1，DA ＝DC ＝132，只有棱长BD 是可以变动的．设M 为AC 的中点，则MD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1322－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝3，MB ＝32.但是要构成三棱锥，如图2所示，必须BD 1<BD<BD 2，BD 1＝MB ＝32，BD 2＝3MB ＝332，即32<BD<332. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，332 三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)11．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AA 1的中点，E 是BB 1上一点，如图所示，求PE ＋EC 的最小值．解：把面A 1ABB 1和面B 1BCC 1展成平面图形，如图所示，PE ＋EC 的最小值即为线段PC 的长．由于AP ＝PA 1＝12，AC ＝2，所以PC ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，所以PE ＋EC 的最小值为172. 评析：“化折为直”是求空间几何体表面上折线段最小值问题的基本方法，其途径是将各侧面展开．12．以正四棱台(底面为正方形，各个侧面均为全等的等腰梯形)为模型，验证棱台的平行于底面的截面的性质：设棱台上底面面积为S 1，下底面面积为S 2，平行于底面的截面距棱台上、下两底的距离的比为m n ，则截面面积S 满足下列关系：S ＝m S 2＋n S 1m ＋n .当m ＝n 时，则S ＝S 1＋S 22(中截面面积公式)．解：如图所示，把棱台补成棱锥．根据棱台上、下底面与平行于底面的截面相似的性质，上底面、下底面、截面的相似比为S 1:S 2:S.设PO 2＝h ，O 1O 2＝x ，则S 1S ＝PO 2PO ＝hh ＋x·m m ＋n ＝h(m ＋n)h(m ＋n)＋mx ，S 2S ＝PO 1PO ＝h ＋x h ＋x·m m ＋n＝(h ＋x)(m ＋n)h(m ＋n)＋mx .∴n S 1S ＋m S 2S ＝nh(m ＋n)h(m ＋n)＋mx ＋m(h ＋x)(m ＋n)h(m ＋n)＋mx ＝(hn ＋hm ＋mx)(m ＋n)h(m ＋n)＋mx＝m ＋n ，即S ＝m S 2＋n S 1m ＋n.当m ＝n 时，则S ＝m S 1＋m S 2m ＋m＝S 1＋S 22.评析：由于棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截得的几何体，台体中一些几何量的计算不是很容易时就可以把台体还原为锥体，利用锥体的一些性质解决台体问题，如利用平行于锥体底面的平面截锥体，则截面面积和底面面积的比等于被截得的小锥体的高和原锥体的高的比的平方，截得的小锥体的体积和原来锥体的体积的比等于被截得的小锥体的高和原来锥体高的比的立方等．13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体的各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点．求这三个球的半径之比．解：设正方体的棱长为a，球的半径分别为R1，R2，R3.球内切于正方体时，球的直径和正方体的棱长相等，如图1所示，AB＝2R1＝a，所以R1＝a；2球与这个正方体的各条棱相切时，球的直径与正方体的面对角线长相等，如图2所示，CD＝2R2＝2a，所以R2＝2a；2当球过这个正方体的各个顶点时，也即正方体内接于球，此时正方体的八个顶点均在球面上，则正方体的体对角线长等于球的直径，如图3所示，EF＝2R3＝3a，所以R3＝3a2.故三个球的半径之比为1:2: 3.。
【新课标-精品卷】2018年最新北师大版高中数学必修二《简单几何体、直观图与三视图》综合测试及解析
2017-2018学年（新课标）北师大版高中数学必修二第一章§1～§3阶梯测试题A卷(基础训练)一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1.底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥（）A. 一定是正三棱锥B. 一定是正四面体Ｃ．不是斜三棱锥 D. 可能是斜三棱锥2.下列命题正确的个数是（）①底面是正多边形的棱锥，一定是正棱锥；②所有的侧棱相等的棱锥一定是正棱锥；③正棱锥的棱长相等；④用一个平面截棱锥，夹在底面与截面间的几何体称为棱台.A. 0B. 1C. 2D. 33.下列命题正确的是（）A.用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台.B.在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段.C.圆台的母线有无数条，它们都互相平行.D.以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180形成的曲面围成的几何体是圆台.4.以下说法中正确的是（）A.棱锥的侧棱长都相等B.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥C.在所有的棱锥中面数最少的是三棱锥D.四面体只有最下面的一个面可以作为棱锥的底面5.下列说法正确的是（）A.任何几何体的三视图都与其摆放的位置有关B.任何几何体的三视图都与其摆放的位置无关C.有的几何体的三视图与其摆放的位置无关D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形二、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.6.由六个平面图形围成的简单几何体可能是 .7.下面的说法错误的有 .①水平放置的正方形的直观图可能是梯形；②两条相交直线的直观图可能平行；③互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直．三、解答题：本大题共3小题，共35分.8.（11分）一个圆柱的过轴的截面是一个正方形且其面积为Q，求此圆柱的底面半径.9.（12分）如图所示是一个几何体的三视图，画出它的直观图（画法可省略）．10.（12分）用斜二测画法作出长为4cm,宽为3cm长方形的直观图.B 卷（巩固达标）一、选择题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.)1.已知集合A =﹛正方体﹜，B=﹛长方体﹜，C=﹛正四棱柱﹜，D=﹛平行六面体﹜，E=﹛四棱柱﹜，则（ ）A. A B C D E ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠B. A C B D E ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠C. C A B D E ⊂⊂⊂⊂≠≠≠≠D.它们之间不都存在包含关系2.一个正方体内接于一个球（正方体的所有顶点均在球面上），过球心作一截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）① ② ③ ④A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④3.4.有一个几何体的三视图如图1所示，这个几何体应是一个( )A ． 棱台B ． 棱锥C ．棱柱D ．都不对图15.图2中直观图所表示的平面图形是（ ）.A ．正方形B ．平行四边形C ．梯形D ．菱形图2二、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）6.两个相等的角在直观图中 相等；两条相等的线段在直观图中 相等.（填“一定”“不一定”）7.圆台的底面半径分别为2cm 和5cm ，母线长为310cm ，则它的过轴的截面面积为 .三、解答题：（本大题共2小题，共25分.）8.（12分）塑料厂欲制作一个圆台形的塑料桶，使上下底面半径的比是1:4，母线的长是12cm ，要选用一块圆形铁皮，制作一个圆台模型，请你根据需要确定这个圆形铁皮半径的大小.9.（13分）如图3，设正三棱锥P ABC -的侧棱长为l ，30APB ∠=þ，E ，F 分别是BP ，CP 上的点，求AEF △周长的最小值．图3C 卷（能力提升）一、选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.1．用斜二测画法作出一个三角形的直观图，其直观图的面积是原三角形面积的（ ）A ．12B ．2C ．22D ．242．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为045，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）A ．22+B ．221+C ．222+ D ．21+ 二、填空题：（本大题共1小题，每小题5分，共5分.3.三、解答题：（本大题共1小题，共10分.）4.（10分）A B EFCP参考答案A 卷1.D. 提示：这题是考查正三棱锥的性质，如果认为侧面是等腰三角形，则侧棱长相等，所以一定是正三棱锥，这就错了.事实上，只须考查一个正三角形绕其一边抬起后所构成的三棱锥就知道选D 了.2.A. 提示：此题考查正棱锥与棱台的概念.底面是正多边形，侧面全等的棱锥叫正棱锥.由平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面与底面之间的部分叫作棱台.3.D. 提示：A 应该是平行于圆锥底面的平面去截圆锥，B 圆锥的母线是直线，C 直线都是倾斜的.4.C. 提示：考查棱锥的性质及其定义.有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥.5.C ．提示：如球的三视图与摆放的位置无关，大多数几何体的三视图与摆放位置有关.6.四棱柱、四棱台、五棱锥7.①②③.提示：①错，正方形的两边对应平行，直观图不可能是梯形；②错，两条直线相交，交点在直观图中仍然是交点，所以不可能平行；③错，互相垂直的两条直线的直观图不一定互相垂直．8.解：设圆柱底面半径为r ，母线为l ,由题意得：22r l r l Q=⎧⎨⋅=⎩，解得2Q r =， ∴此圆锥的底面半径为2Q . 9.解：几何体是一个横放的三棱柱，直观图如图1所示，画法略．图1 10.解：画法：（1）在已知图形所在的平面上建立平面直角坐标系xoy ，如图2.另选一个平面画直观图，如图3.先画'x 轴和'y 轴，使'''45x o y ∠=图2 图3 （2）将已知图形中分别平行于x 轴和y 轴的线段在直观图中分别画成平行于'x 轴和'y 轴的线段，且已知图形中平行于x 轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，在直观图中长度变为原来的12.如图4.图4 图5（3）连线成图.如图5.B 卷1.B. 提示：这几类几何体的关系如图6所示.① 四棱柱 ② 平行六面体 ③长方体 ④正四棱柱 ⑥正方体图6根据以上分析应选B.2.C. 提示：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体的对角线时得②，当截面不平行于任何侧面，也不过对角线时得①，但是无论如何不能截出④.3.C.4.A. 提示：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台.5.B.6.不一定；不一定.7.263cm ．解析：轴截面的形状为等腰梯形．根据直角三角形及其梯形的面积公式进行求解得.8.解：如图7，将圆台还原成圆锥.设圆锥的母线长为ycm ，圆台上、下底面半径分别是x cm,4x cm,作圆锥的轴截面，':'':SA SA O A OA =,(12)::4y y x x -=，解得16y =，所以圆锥的母线长为16cm ，即圆形铁皮半径的大小为16cm.图7 图89.解：如图8，PABCA ´为正三棱锥的侧面展开图，则AA ´为所求AEF △周长的最小值，在PAA △´中，90APA ∠=þ´，PA PA l ==´， 2AA l =∴´．C 卷1． D .2．C.3．P A B E F CA ´。
2018届北师大版(理) 空间几何体的三视图﹑表面积及体积 检测卷
【高考真题解读】1、【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是283π,则它的表面积是（ ） （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的18,设球的半径为R ,则37428V R 833ππ=⨯=,解得R 2=,所以它的表面积是78的球面面积和三个扇形面积之和2271=42+32=1784S πππ⨯⨯⨯⨯故选A ． 2.【2016高考新课标2理数】下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π【答案】C3.【2016年高考北京理数】某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.16B.13C.12D.1 【答案】A【解析】分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积111111326V =⋅⋅⋅⋅=，故选A.4.【2016高考新课标3理数】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A ）18+ （B ）54+ （C ）90 （D ）81 【答案】B【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积2362332354S =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+，故选B ．5.【2016高考山东理数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A ）1233+π （B ）13+ （C ）13+ （D ）1+【答案】C6.【2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面αβ，交于直线l .若直线m ，n 满足,m n αβ∥⊥，则（ ） A ．m ∥l B ．m ∥n C ．n ⊥l D ．m ⊥n 【答案】C【解析】由题意知,l l αββ=∴⊂ ，,n n l β⊥∴⊥ ．故选C ．7.【2016年高考四川理数】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 .正视图331【解析】由三棱锥的正视图知，三棱锥的高为1，底面边长为2,2，所以，该三棱锥的体积为1122132V =⨯⨯⨯=. 8.【2016高考浙江理数】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是 cm 2，体积是 cm 3.【答案】72 32【解析】几何体为两个相同长方体组合，长方体的长宽高分别为4,2,2，所以体积为2(224)32⨯⨯⨯=，由于两个长方体重叠部分为一个边长为2的正方形，所以表面积为2(222244)2(22)72⨯⨯+⨯⨯-⨯=检测卷1．(2015·广东，8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．大于5B ．等于5C ．至多等于4D ．至多等于3解析 当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C. 答案 C2．(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A ．8 cm 3B ．12 cm 3 C.323 cm 3 D.403 cm 33．(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2. 答案 B4．(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析 由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π m 3. 答案 83π5．(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋46.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A ．1＋ 3B ．2＋ 3C ．1＋2 2D ．2 2解析 由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.答案 B7．(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π答案 C8．(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3 D ．2π解析 如图，由题意，得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体．所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.答案 C9．(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π解析 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A. 答案 A10．(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析 如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A －A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCD V V --＝1111111111A AB D A BCD ABCD A A B D V V V ----＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.答案 D11．(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)()A.89πB.169πC.4（2－1）3πD.12（2－1）3π∴V 长方体V 1＝16272π3＝89π.故选A.答案 A。
2018届北师大版 空间向量与立体几何(理) 检测卷
1.【2017广东湛江期中调研，6】已知某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．1 C.32D．3【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为一三棱锥，所以其体积为113313322V=⨯⨯⨯⨯=，故选C.【要点回扣】1.三视图.2.几何体体积.2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．32 C．48 D．144【答案】C【解析】试题分析：如图直方图是一个四棱锥，底面积为(62)6242+⨯=.高为6.所以体积为1246483⨯⨯=.故选C. 【要点回扣】1.三视图.2.体积的计算.3.已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. 34B. 4C. 324D. 334【答案】C【要点回扣】由三视图求面积、体积．4.【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷，6】已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（ ）A ．． D ．2【答案】A【解析】如图，该三回旋曲图所表示的几何体为三棱锥A BCD -，显然最长棱为AB ，且AB = A.【要点回扣】三视图．5.【2017广东湛江市高三上学期期中调研考试，3】若直线l 与平面α相交，则（ ） A ．平面α内存在直线与l 异面 B ．平面α内存在唯一直线与l 平行 C. 平面α内存在唯一直线与l 垂直 D ．平面α内的直线与l 都相交 【答案】A【要点回扣】直线与平面的位置关系6.【2017四川省凉山州高中毕业班第一次诊断性检测,4】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）A ．43B ．83C ．4D ．6+【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱锥底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，该棱锥的高为2，所以该三棱锥的体积为114222323V =⨯⨯⨯⨯=，故选A.【要点回扣】三视图7.【2017广东郴州市高三第二次教学质量监测试卷,4】我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式1()3V S S h =下上•）.A ． 2寸B ．3寸 C. 4寸 D ．5寸 【答案】B【解析】根据题意可得平地降雨量3==，故选B. 【要点回扣】1.实际应用问题；2.圆台的体积.8. 【2017广东高三上学期阶段测评（一），6】三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，且AB BC ⊥，12AB BC AA ===，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A ．48πB ．32π C.12π D ．8π 【答案】C【解析】如图，由题可知矩形11AA C C 的中心O 为该三棱柱外接球的球心，OC ==.∴该球的表面积为2412ππ=.选C.【要点回扣】外接球表面积9.如图，多面体OABCD ，AB=CD=2，AD=BC=32，AC=BD=10，且OA ，OB ，OC 两两垂直，给出下列 5个结论：①三棱锥O —ABC 的体积是定值；②球面经过点A 、B 、C 、D 四点的球的直径是13； ③直线OB//平面ACD ； ④直线AD 与OB 所成角是600； ⑤二面角A —OC —D 等于300．其中正确的结论是____________________.【答案】①②④【解析】由题所给几何模型相当于正方体CFDG-AOBE 内的两个三棱锥组成的部分，根据所给条件根据线面关系不难得到结果.由题根据所给条件不难得到AO=1，，三棱锥O —ABC 的体积显然是定值；过点A 、B 、C 、D 四点的球的直径是是长方体的对角线长，显然直线OB 与平面ACD 相交，直线AD 与OB 所成角是,sin 60.DE DAE DAE DAE AD ∠∠===∴∠=︒二面角A —OC —D 的平面角即60AOE ∠=︒, 所以①②④正确.【要点回扣】球内接多面体，棱锥的结构特征。
2018届北师大版 立体几何(文) 检测卷
1.【2017湖南衡阳期末】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的外接球的表面积为（）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】B【要点回扣】由三视图求几何体外接球的表面积2.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．16B ．32C ．48D ．144【答案】C 【解析】如图直方图是一个四棱锥，底面积为(62)6242+⨯=.高为6.所以体积为1246483⨯⨯=.故选C. 【要点回扣】1.三视图.2.体积的计算.3.已知几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（ ）A. 34 B. 4 C. 324 D. 334 【答案】C【要点回扣】由三视图求面积、体积．4.【2017山西五校联考】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 错误！未找到引用源。
B. 错误！未找到引用源。
C. 错误！未找到引用源。
D. 错误！未找到引用源。
【答案】A【解析】该几何体为长方体挖去了一个圆锥，圆锥的底面半径为1，母线长为2，几何体的表面积为错误！未找到引用源。
，故选A.【要点回扣】三视图．5.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列叙述正确的是A.若α∥β，m ∥α，n ∥β，则m ∥nB.若α⊥β，m ⊥α，n ∥β，则m ⊥nC.若m ∥α，n ∥α，m ∥β，n ∥β，m ⊥n ，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥β【答案】C【解析】若α∥β，m ∥α，n ∥β，则n m ,可能平行、异面或相交，故A 错误；若α⊥β，m⊥α，n ∥β，则n m ,可能平行、异面或相交，故B 错误；若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则βα,可能垂直、平行或不垂直相交，故D 错误；所以选C 选项.【要点回扣】空间中平行、垂直的判定.6.【2017云南师大附中月考】四面体错误！未找到引用源。
高考数学一轮复习 课时分层训练36 简单几何体的结构、三视图和直观图 文 北师大版-北师大版高三全册
课时分层训练(三十六) 简单几何体的结构、三视图和直观图A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．关于简单几何体的结构特征，下列说法不正确的是( )A．棱柱的侧棱长都相等B．棱锥的侧棱长都相等C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等B[根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等．]2．(2018·某某模拟)等腰三角形ABC的直观图是( ) 【导学号：00090229】图719A．①②B．②③C．②④D．③④D[由直观图画法可知，当∠x′O′y′＝45°时，等腰三角形的直观图是④；当∠x′O′y′＝135°时，等腰三角形的直观图是③；综上，等腰三角形ABC的直观图可能是③④.]3．(2017·某某某某一中月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图7110所示，则该几何体的左视图为( )图7110A B C DD [易知左视图的投影面为矩形． 又AF 的投影线为虚线， ∴该几何体的左视图为选项D ．]4．(2018·某某模拟)下列三视图所对应的直观图是( )图7111C [由题意可知，几何体的直观图下部是长方体，上部是圆柱，并且高相等，应选C ．] 5．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图7112，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )图7112A ．18B ．17 C ．16D ．15D [由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V 1＝13×12×1×1×1＝16，剩余部分的体积V 2＝13－16＝56.所以V 1V 2＝1656＝15，故选D ．]二、填空题6．(2017·某某某某联考)一水平放置的平面四边形OABC ，用斜二测画法画出它的直观图O ′A ′B ′C ′如图7113所示，此直观图恰好是一个边长为1的正方形，则原平面四边形OABC 的面积为________．图71132 2 [因为直观图的面积是原图形面积的24倍，且直观图的面积为1，所以原图形的面积为2 2.]7．如图7114所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，则三棱锥P ABC 的主视图与左视图的面积的比值为________．图71141 [三棱锥P ABC 的主视图与左视图为底边和高均相等的三角形，故它们的面积相等，面积比值为1.]8．某三棱锥的三视图如图7115所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________. 【导学号：00090230】图71152 2 [由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中PA ⊥平面ABC ，M 为AC 的中点，且BM ⊥AC ，故该三棱锥的最长棱为PC ．在Rt △PAC 中，PC ＝PA 2＋AC 2＝22＋22＝2 2.]三、解答题9．某几何体的三视图如图7116所示．图7116(1)判断该几何体是什么几何体？ (2)画出该几何体的直观图．[解] (1)该几何体是一个正方体切掉两个14圆柱后的几何体．(2)直观图如图所示．10．如图7117①，在四棱锥P ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，如图7117②为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．图7117①图7117①(1)根据图中所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．【导学号：00090231】[解](1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.(2)由左视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.由主视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝PD2＋AD2＝622＋62＝6 3 cm.B组能力提升(建议用时：15分钟)1．在如图7118所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号①②③④的四个图，则该四面体的主视图和俯视图分别为( )图7118A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②D[如图，在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的主视图为④，俯视图为②.]2．(2017·长郡中学质检)如图7119是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是( )图7119A．4 B．5C．3 2 D．3 3D[由三视图作出几何体的直观图(如图所示)，计算可知AF最长，且AF＝BF2＋AB2＝3 3.]3．(2018·某某模拟)三棱锥SABC及其三视图中的主视图和左视图如图7120所示，则棱SB的长为________．【导学号：00090232】图712042[由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC＝4，AC边上的高为23，故BC＝4，在Rt△SBC中，由SC＝4，可得SB＝4 2.]。
2018届高三数学每天一练半小时(49)三视图与直观图(含答案)
训练目标(1)会识别三视图、由三视图可还原几何体，能应用三视图求几何体面积、体积；(2)掌握直观图画法规则、能利用画法规则解决有关问题．训练题型(1)判断、识别三视图；(2)由三视图求几何体面积、体积；(3)求直观图中线段长度、图形面积．解题策略由几何体轮廓线定型，由三视图长度特征定量，确定几何体顶点在投影面上的投影位置是关键．可见棱画为实线、被遮棱画为虚线．反之利用实虚线可判断几何体中棱的位置.一、选择题1．一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积为()A.233B.476C ．6D ．72．(2017·兰州诊断考试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是()A ．2 B.92C.32D ．33．(2017·太原调研)一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积为()33334．(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.16 B.13C.12D ．15．如图，某直观图中，A ′C ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，则该直观图所表示的平面图形是()A ．正三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形6．(2016·郑州模拟)某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy 的最大值为()A．32B．327C．64D．6477．某几何体的直观图如图所示，则该几何体的正视图和侧视图可能正确的是()8．(2017·郑州月考)如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的表面积为()A．15＋33B．93C．30＋63D．183二、填空题9．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．10．(2016·河北衡水中学四调)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；④四边形；⑤扇形；⑥圆．11．如图，△O′A′B′是△OAB的水平放置的直观图，其中O′A′＝O′B′＝2，则△OAB的面积是________．12．下列说法正确的是________．①相等的线段在直观图中仍然相等；②若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行；③两个全等三角形的直观图一定也全等；④两个图形的直观图是全等的三角形，则这两个图形一定是全等三角形．答案精析1．A[该几何体是正方体去掉两个角所形成的多面体，其体积为V ＝2×2×2－2×13×12×1×1×1＝233.]2．D[由三视图知，该几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，底面积S ＝12×(1＋2)×2＝3，高h ＝x ，所以其体积V ＝13Sh ＝13×3x ＝3，解得x ＝3，故选D.]3．C[根据给定的三视图可知，该几何体对应的直观图是两个长方体和一个圆柱的组合体，∴所求几何体的体积V ＝4×4×2＋×1＋3×3×13.]4．A[由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h ＝1，又底面积S ＝12×1×1＝12.所以体积V ＝13Sh ＝16.]5．D[由直观图中，A ′C ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，还原后原图AC ∥y 轴，BC ∥x 轴．直观图还原为平面图是直角三角形．故选D.]6．C [依题意，题中的几何体是三棱锥P －ABC (如图所示)，其中△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，PA ⊥平面ABC ，BC ＝27，PA 2＋y 2＝102，(27)2＋PA 2＝x 2，因此xy ＝x 102－[x 2－(27)2]＝x 128－x 2≤x 2＋(128－x 2)2＝64，当且仅当x 2＝128－x 2，即x ＝8时取等号，因此xy 的最大值是64.]7．A[由几何体的直观图，可知该几何体可以看作由正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1割掉四个角后所得的几何体ABCD－MNPQ ，如图所示，该几何体的正视图就是其在正方体的平面CDD 1C 1上的投影，显然为正方形CDD 1C 1与△CDQ 的组合；该几何体的侧视图就是其在平面BCC 1B 1上的投影，显然为正方形BCC 1B 1和△BCP 的组合．综上，只有A 选项正确．]8．C[题图中所示的三视图对应的直观图是四棱柱，其底面边长为2＋22－(3)2＝3，侧视图的高为3，其表面积为2×3×3＋2×3×2＋2×3×3＝30＋6 3.]9．242解析因为矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图，所以根据画直观图的基本原理知原图形是底边长为6的平行四边形，其高是2×O ′C ′cosπ4＝42，因此面积是6×42＝242，故答案为24 2.10．②解析若俯视图是四边形，则此四边形也是边长为1的正方形，即几何体是棱长为1的正方体，其体积为1，不合题意；若俯视图是扇形或圆，则体积值中含π，所以俯视图不会是扇形或圆；若俯视图是锐角三角形或钝角三角形，则在正视图或侧视图正方形中还有一条竖直的实线或虚线，所以俯视图不会是锐角三角形或钝角三角形；若俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则此几何体体积为12×1×1×1＝12，且满足正视图和侧视图都是边长为1的正方形．故这个几何体的俯视图可能是②.11．4解析在Rt△OAB 中，OA ＝2，OB ＝4，△OAB 的面积是S ＝12×2×4＝4.12．②解析用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，原图中的平行线在直观图中仍是平行线．。
高三数学北师大版(理)一轮复习课后限时集训 37 空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积
课后限时集训(三十七)空间几何体的三视图和直观图、表面积与体积(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．(2018·合肥二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CD，CC1，A1B1的中点，用过点E，F，G的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧视图为()A B C DC[过点E，F，G截正方体的平面为如图所示的平面EFKGHI，由图知位于截面以下部分的几何体的侧视图为C选项，故选C.]2．(2019·山西六校联考)如图，一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9 cm ，高为36cm.玻璃杯内水深为33 cm ，将一个球放在杯口，球面恰好与水面接触，并且球面与杯口密闭．如果不计玻璃杯的厚度，则球的表面积为( )A ．900π cm 2B ．450π cm 2C ．800π cm 2D ．400π cm 2A [由题意，知球嵌入玻璃杯的高度h ＝36－33＝3 cm.设球的半径为R ，则有R 2＝92＋(R －3)2，解得R ＝15 cm ，所以该球的表面积S ＝4πR 2＝900π cm 2，故选A.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1＋ 2B ．1＋2 2C ．2＋ 2D ．2＋22C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×12×1×1＋2×12×2×1＝2＋2，故选C.]4．(2019·福州模拟)已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于( )A.83πB ．323πC ．16πD ．32πB [设该圆锥的外接球的半径为R ，依题意得，R 2＝(3－R )2＋(3)2，解得R＝2，所以所求球的体积V ＝43πR 3＝43π×23＝323π，故选B ．]5．(2019·郑州模拟)已知点P ，A ，B ，C 是半径为2的球面上的点，P A ＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P -ABD 体积的最大值是( ) A.334B ．338 C.12 D ．34B [设点P 在平面ABC 上的射影为G ，如图，由P A＝PB ＝PC ＝2，∠ABC ＝90°，知点P 在平面ABC 上的射影G 为△ABC 的外心，即AC 的中点．设球的球心为O ，连接PG ，则O 在PG 的延长线上．连接OB ，BG ，设PG ＝h ，则OG ＝2－h ，所以OB 2－OG 2＝PB 2－PG 2，即4－(2－h )2＝4－h 2，解得h ＝1，则AG ＝CG ＝ 3.设AD ＝x ，则GD ＝x －AG ＝x －3，BG ＝3，所以BD ＝BG 2－GD 2＝－x 2＋23x ，所以S △ABD ＝12AD ·BD ＝12－x 4＋23x 3. 令f (x )＝－x 4＋23x 3，则f ′(x )＝－4x 3＋63x 2.由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝332，易知当x ＝332时，函数f (x )取得最大值24316，所以(S △ABD )m ax ＝12×934＝938.又PG ＝1，所以三棱锥P -ABD 体积的最大值为13×938×1＝338，故选B ．]二、填空题6．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．2＋22 [如图1，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .图1 图2在R t △ABE 中，AB ＝1，∠ABE ＝45°，∴BE ＝22. 而四边形AECD 为矩形，AD ＝1，∴EC ＝AD ＝1，∴BC ＝BE ＋EC ＝22＋1.由此可还原原图形如图2.在原图形中，A ′D ′＝1，A ′B ′＝2，B ′C ′＝22＋1，且A ′D ′∥B ′C ′，A ′B ′⊥B ′C ′，∴这块菜地的面积S ＝12(A ′D ′＋B ′C ′)·A ′B ′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.] 7.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．43 [正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体是正八面体，其中正八面体的所有棱长都是2，则该正八面体的体积为13×(2)2×2＝43.]8．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．36π [如图，连接OA ，O B ．由SA ＝AC ，SB ＝BC ，SC 为球O 的直径，知OA ⊥SC ，OB ⊥S C.由平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，OA ⊥SC ，知OA ⊥平面SC B ．设球O 的半径为r ，则OA ＝OB ＝r ，SC ＝2r ，∴三棱锥S -ABC 的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12SC ·OB ·OA ＝r 33， 即r 33＝9，∴r ＝3，∴S 球表＝4πr 2＝36π.]三、解答题9．一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为15，求这个三棱锥的体积．[解] 正三棱锥S -ABC 如图所示，设H 为正三角形ABC 的中心，连接SH ，则SH 的长即为该正三棱锥的高．连接AH 并延长交BC 于点E ，则E 为BC 的中点，且AE ⊥B C.∵△ABC 是边长为6的正三角形，∴AE ＝32×6＝33，∴AH ＝23AE ＝2 3.在△ABC 中，S △ABC ＝12BC ·AE ＝12×6×33＝9 3.在R t △SHA 中，SA ＝15，AH ＝23，∴SH ＝SA 2－AH 2＝15－12＝3，∴V 正三棱锥＝13S △ABC ·SH ＝13×93×3＝9.10．一个几何体的三视图如图所示．已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为3、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V ；(2)求该几何体的表面积S .[解] (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V ＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A 1D ⊥平面ABCD ，CD ⊥平面BCC 1B 1， 所以AA 1＝2，侧面ABB 1A 1，CDD 1C 1均为矩形．S ＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.B 组 能力提升1．(2018·北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4C [将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．易知，BC ∥AD ，BC ＝1，AD ＝AB ＝P A ＝2，AB ⊥AD ，P A ⊥平面ABCD ，故△P AD ，△P AB 为直角三角形，∵P A ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，且P A ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面P AB ，又PB 平面P AB ，∴BC ⊥PB ，∴△PBC 为直角三角形，容易求得PC ＝3，CD ＝5，PD ＝22，故△PCD 不是直角三角形，故选C.]2.(2019·湖北联考)一个帐篷下部的形状是高为2 m 的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m 的正六棱锥(如图所示)．当帐篷的顶点D 到底面中心O 1的距离为________时，帐篷的体积最大．7m [设DO 1为x 米，(2＜x ＜5) 则由题意可得正六棱锥底面边长为：9－(x －2)2＝5＋4x －x 2 m ， 于是底面正六边形的面积为6×34×(5＋4x －x 2)2＝332(5＋4x －x 2)，所以帐篷的体积为V (x )＝332(5＋4x －x 2)×2＋13×332(5＋4x －x 2)(x －2)＝332(5＋4x －x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋13(x －2)＝32(5＋4x －x 2)(x ＋4)， 所以V ′(x )＝32(21－3x 2)，可得当2＜x ＜7时，V ′(x )＞0，则函数V (x )递增；当7＜x ＜5时，V ′(x )＜0，则函数V (x )递减，所以当x ＝7时，V (x )取得最大值．]3.如图，在直三棱柱ABC -A1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，当AD ＋DC 1最小时，三棱锥D -ABC 1的体积为________．13 [将直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的两侧面展开成矩形ACC 1A 1，如图，连接AC 1，交BB1于D ，此时AD ＋DC 1最小．∵AB ＝1，BC ＝2，BB 1＝3，∠ABC ＝90°，点D 为侧棱BB 1上的动点，∴当AD ＋DC 1最小时，BD ＝1，此时三棱锥D -ABC 1的体积为VD -ABC 1＝VC 1-ABD ＝13·S △ABD ·B 1C 1＝13×12AB ·BD ·B 1C 1＝13×12×1×1×2＝13.]4.(2019·沈阳质检)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C ⊥底面ABC ，AA 1＝A 1C ＝AC ＝AB ＝BC ＝2，且点O 为AC 中点．(1)证明：A 1O ⊥平面ABC ；(2)求三棱锥C 1-ABC 的体积．[解] (1)证明：因为AA 1＝A 1C ，且O 为AC 的中点， 所以A 1O ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，平面AA 1C 1C ∩平面ABC ＝AC ，且A 1O 平面AA 1C 1C ，∴A 1O ⊥平面AB C.(2)∵A 1C 1∥AC ，A 1C 1平面ABC ，AC 平面ABC ， ∴A 1C 1∥平面ABC ，即C 1到平面ABC 的距离等于A 1到平面ABC 的距离． 由(1)知A 1O ⊥平面ABC ，且A 1O ＝AA 21－AO 2＝3，1 3S△ABC·A1O＝13×12×2×3×3＝1.∴VC1-ABC＝VA1-ABC＝。
北师大版高中数学必修二《三视图》同步测试题.doc
《空间几何体的三视图》同步测试题1、给出下列命题，正确命题有（）① 如果一个几何体的三视图是完全相同的，则这个几何体是正方体；② 如果一个儿何体的主视图和俯视图都是矩形，则这个儿何体是长方体；③ 如果一个儿何体的三视图都是矩形，则这个儿何体是长方体；④ 如果一个几何体的主视图和左视图都是等腰梯形，则这个几何体是圆台.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 2、对几何体的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图反映物体的长和宽B.俯视图反映物体的长和高C.左视图反映物体的高和宽D.主视图反映物体的高和宽3、如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）.6、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示, 则该儿何体的俯视图为（）B.正（主）视图 侧（左）视图③底面直径 和高均为1 的圆锥 D.①④底面边长 为1、高为1・2 的正四A.②③④②④ 5、己知某物体的三视图如图所示，那么这个物体的形状 是（）A.正六棱柱 C.圆柱B.正四棱柱 D.正五棱柱甲 ①长方体②圆锥 A.④③② B.②①③4、如图，在下列四个几何体中， 的是（） 乙 ③三棱锥④圆柱C.①②③ 其三视图（正视图、 丙D.③②④ 侧视图、 俯视图）中有瓦仅有两个相同②底面直径 和高均为1的圆柱 C.①③④①棱长为1的正方体 B.①②③ 主视图 左视图 A 俯视图 俯视图 俯视图7、如图，直三棱柱ABC—ARG的侧棱长为2,底面是边长为2的正三角形，正视图是边长为2的正方形，则其左视图的面积为（）A. 4B. 2^3C. 2迈Dp8、以下说法正确的是①任何物体的三视图都与物体摆放位置无关；②任何物体的三视图都与物体摆放位置有关③有的物体的三视图与物体的摆放位置无关；④正方体的三视图一定是三个全等的正方形9、在圆柱、圆锥、圆台、球儿种儿何体中，其三视图中可以为一个圆的有____________________10、正四棱锥的底面边长为2,侧棱长均为羽，其正视图（主视图）和侧视图（左视图）是全等的等腰三角形，则正视图的周长为______ .11、如图，AABC与AACD都是等腰直角三角形，且AD = DC = 2, AC=BC.平面ACD丄平面ABC,如果以平面ABC为水平平面，正视图的观察方向与AB垂直，则三棱锥D-ABC的三视图的面积和为 _______________________ .12、.将三视图还原成直观图正视图侧视图俯视图第2题图第3题图h第4题左娥图主视图M«n第5题侧视图««■第6题B笫8题图俯视图。
北师大版高中数学必修二简单几何体三视图和直观图同步练习(精品试题)
简单几何体三视图和直观图(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)一、选择题(每小题6分，共36分)1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①②B．②③C．①③D．②④【解析】根据圆柱、圆锥、圆台的定义和性质可知，只有②④两个命题是正确的，所以选D【答案】 D2．用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如图所示：根据三视图回答此立体模型的体积( )A．4 B．5C．6 D．7【解析】由三视图可知，该几何体由5个正方体如图放置，其中数字为该处正方体的个数．【答案】 B3．设计一个杯子，其三视图如图所示，现在向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变化的图象是( )【解析】由三视图可知杯子是圆柱形的，由于圆柱形的杯子上下大小相同，所以当向杯中匀速注水时，其高度随时间的变化是相同的，反映在图象上，选项B符合题意．【答案】 B 4.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A.36B.423C.433D.83【解析】 如图据条件可得几何体为底面边长为2的正方形，侧面是等边三角形高为2的正四棱锥，故其体积V＝1 3×4×22－1＝43 3.【答案】 C5．有一正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，有三个人从不同的角度观察的结果如图所示．如果记3的对面的数字为m,4的对面的数字为n，那么m＋n的值为( )A．8 B．7C．6 D．5【解析】经观察分析知，题图(1)、(2)中顶点A、B是同一条斜对交线的两个端点，结合题图(3)得3的对面为6,4的对面为2，∴m＋n＝8.【答案】 A6．已知△ABC的直观图是边长为a的等边△A1B1C1(如图)，那么原三角形的面积为( )A．32a2 B.34a2C.62a2 D.6a2【解析】在原图与直观图中有OB＝O1B1，BC＝B1C1.在直观图中，过A1作A1D1⊥B1C1，因为△A1B1C1是等边三角形，所以A1D1＝32a，在Rt△A1O1D1中，∵∠A1O1D1＝45°，∴O1A1＝62 a，根据直观图画法规则知：OA＝2O1A1＝2×62a＝6a，∴△ABC的面积为12×a×6a＝62a2，故选C.【答案】 C二、填空题(每小题6分，共18分)7．底面半径为2的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为________．【解析】由题意知截面圆的半径为1，所以截面圆的面积为π.【答案】π8．下列命题中：①用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台；②棱台的各侧棱延长后一定相交于一点；③圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．其中所有正确命题的序号是________．【解析】①符合棱台的定义；②棱台是由棱锥被平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一定相交于一点；③是圆台的另一种定义形式；④中形成的是球面而不是球．【答案】①②③9．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的内接圆柱侧面积的最大值为________．【解析】 直观图为底面半径为2，高为4的圆锥，设内接圆柱的底面半径为r ，母线长为l ，S 侧＝2π×rl ，如图得2－r 2＝l4，即2r ＋l ＝4，由均值不等式S侧＝π×2r ×l ≤π⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2r ＋l 22＝4π.【答案】 4π 三、解答题(共46分)10．(15分)一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．【解析】如图，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x，11．(15分)根据图中物体的三视图，画出物体的直观图．【解析】由主视图可以判断这个几何体由两部分构成，由左视图可以判断上下两部分的宽度是相等的，再由俯视图可以判断，这个几何体的上部分是一个圆柱，下部分是长方体．因此，它的大致形状是长方体上放一个圆柱．如右图所示．12．(16分)已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC ＝2AB＝4.(1)根据已经给出的此四棱锥的主视图，画出其俯视图和左视图；(2)证明：平面PAD⊥平面PCD.【解析】(1)三视图如图所示(2)证明：∵PA⊥平面ABCD，PA平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD. 又CD平面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
[A级基础达标](时间：40分钟)
1．[2017·云南玉溪模拟]将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()
答案 D
解析根据几何体的结构特征进行分析即可．
2．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是()
答案 A
解析该几何体是正方体的一部分，结合侧视图可知直观图为选项A中的图．
3．[2017·沈阳模拟]一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是()
答案 C
解析若俯视图为选项C，侧视图的宽应为俯视图中三角形的高3
2，所以俯视图不可能是选项C.
4．[2014·全国卷Ⅰ]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()
A．6 2 B．6
C．4 2 D．4
答案B
解析如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥A－BCD，最长的棱为AD＝
(42)2＋22＝6，选B.
5．[2017·临沂模拟]如图甲，将一个正三棱柱ABC－DEF截去一个三棱锥A－BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()
答案 C
解析由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF 是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.
6．如图，正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平
面图形的直观图，则原图形的周长为________．
解析将直观图还原为平面图形，如图．
可知还原后的图形中，
OB ＝22，AB ＝12＋(22)2＝3，
于是周长为2×3＋2×1＝8(cm)．
7．[2016·四川高考]已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
答案 33
解析在长方体(长为23，宽、高均为1)中作出此三棱锥，如图
所示，则V P－ABC＝1
3×
1
2×23×1×1＝
3
3.
8．一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是________．
答案2 3
解析 由三视图可知该四面体为
D －BD 1C 1，由直观图可知，面积最大的面为△BDC 1.在正三角形
BDC 1中，BD ＝22，所以面积S ＝12×(22)2×32＝2 3.
9．[2017·贵州模拟]如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6 cm 的全等的等腰直角三角形．
(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；
(2)求P A.
解(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2.
(2)由侧视图可求得PD＝PC2＋CD2＝62＋62＝6 2.
由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，
所以在Rt△APD中，
P A＝PD2＋AD2＝(62)2＋62＝63(cm)．
10．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.
解 本题考查由三视图求几何体的侧面积和体积，由正视图和侧视图的三角形结合俯视图可知该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥，如图．
(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.
(2)四棱锥的两个侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，取BC 的中点E ，连接OE ，VE ，则△VOE 为直角三角形，VE 为△VBC 边上的高，VE ＝VO 2＋OE 2＝4 2.
同理侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，
AB 边上的高h ＝ 42
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝5. ∴S 侧＝2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12×6×42＋12×8×5＝40＋24 2. [B 级 知能提升](时间：20分钟)
11．[2017·湖南模拟]正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )
答案 C
解析过点A，E，C1的截面为AEC1F，如图，则剩余几何体的左视图为选项C中的图形．故选C.
12．[2017·河北石家庄质检]一个三棱锥的正视图和俯视图如图所
示，则该三棱锥的侧视图可能为()
答案 D
解析由题图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面ACD⊥平面BCD，故选D.
13.
如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形OABC的面积为________．答案24 2
解析解法一：由题意知原图形OABC是平行四边形，且OA＝
BC＝6，设平行四边形OABC的高为OE，
则OE ×12×22＝O ′C ′，
∵O ′C ′＝2，∴OE ＝42，
∴S ▱OABC ＝6×42＝24 2.
解法二：由题意知，S 直观图＝6×2＝12，
所以S 原图形＝22S 直观图＝24 2.
14．[2017·大连模拟]如图是一个几何体的正视图和俯视图．
(1)试判断该几何体是什么几何体；
(2)画出其侧视图，并求该平面图形(侧视图)的面积．
解 (1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥． (2)该几何体的侧视图，如图．
其中AB＝AC，AD⊥BC，且BC的长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC＝3a，AD是正棱锥的高，则AD＝3a，所以该平面图
形(侧视图)的面积为S＝1
2×3a×3a＝3
2a 2.。