高二经典双曲线教案

双曲线

教学目标：

1、掌握双曲线的定义，标准方程，几何性质，离心率，通径，最值。

2、熟练地运用待定系数法求标准方程，学会求最值的方法和焦点三角形的解法。重点：双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单的几何性质。

难点：双曲线的标准方程，双曲线的渐进线。

【教学内容】

1、引入:

太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3 ；黑牛数多于棕牛，多出之数相当于花牛数的

1/4+1/5 ;花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7。在母牛中，白牛数是全

体黑牛数的1/3+1/4 ;黑牛数是全体花牛数1/4+1/5 ;花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6 ;棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。问这牛群是怎样组成的？(阿基米德分牛问题)

2、双曲线的基本概念

1. 双曲线的定义：双曲线的定义在平面内，到两个定点

F1, F2的距离之差的绝对值等于常

数2a(a 0,且2a RF?)的动点P的轨迹叫作双曲线•这两个定点斤丁2叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距• 注意：1•双曲线的定义中，常数2a应当满足的约束条件：PF2|| 2a F1F2，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2. 若去掉定义中的“绝对值”，则仅能表示双曲线的一支；

3.若常数a满足约束条件：［PR PF2| 2a F1F2，则动点轨迹是以F2为端点的

两条射线(包括端点)；

4•若常数a满足约束条件：|| PR PF2| 2a F1F2，则动点轨迹不存在;

5•若常数a 0,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。

2.双曲线的标准方程：

2 2

冷爲1(a 0,b 0)，其中c1 2 a b

2 2

每~2 1(a 0, b 0)，其中c2 a b

对称轴为坐标轴建立直角坐标系时

双曲线的标准方程;

1当焦点在x轴上时，双曲线的标准方程: 2当焦点在y轴上时，双曲线的标准方程:

2 ,2

a b ;

2 ,2

a b . ,才能得到

2 .在双曲线的两种标准方程中，都有c2 a2 b2;

3 .双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上注意：1 .只有当双曲线的中心为坐标原点,

b

是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x a 和x a 的两侧，是无限延伸的。

因此双曲线上点的横坐标满足 x a or x

（3 ）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

2 2

②双曲 笃 爲 1（a 0,b 0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分

a b

别为A, a,0）, A 2（a,0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段 A ,A 2叫作双曲线的实轴；设 B ,（ a,0）, B 2（a,0）为y 轴上的两个 点，贝熾段B 1B 2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为 AA 2a, B ,B 2 2b 。a

叫做双曲线的实半轴长，

b 叫做双曲线的虚半轴长。

注意：①实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。

（4 ）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用

e 表示，记作

2c c e 2a a

a 0，所以双曲线的离心率 e - 1o

a

b

,e 2

1 ,所以一决定双曲线的开口大小，

a

口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。

离心率e -.2。

（5）渐近线：经过点A i 、A 2作y 轴的平行线x a ，经过点3、B 2作x 轴的平行线

K

y b ，四条直线围成一个矩形 （如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是

y —x 。

a

b

我们把直线y

— x 叫做双曲线的渐近线。（双曲线与它的渐近线无限接近， 但永不相交）

a

特别注意：双曲线的焦点三角形，弦长公式，中点弦问题与椭类似。

【例题讲解】 2 2

— 1，求双曲线的实（虚）轴顶点坐标，焦点坐标，准线方程,

0）是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形， 且

②因为c

2 2 2

由c a b ,可得

一越大，e 也越大，双曲线开

a

③等轴双曲线a b ，所以

例1已知双曲线

3.双曲线的简单几何性质

16 9 渐近线方程

练习：求双曲线nx 2 my 2 mn(m 0,n 0)的实(虚)半轴长，焦点坐标，准线方程,

4

渐近线方程

例 2 已知O O : (x 5)2 y 2 4 , o O 2： (x 5)2 寸 9

(1)若动圆P 与O 1,0 2均内切，求动圆圆心 P 点的轨迹；(2)若动圆Q 与O 1,0 2均外 切，求动圆圆心Q 点的轨迹。

2

例3设双曲线C 经过点(2,2)，且与双曲线 壬 x 2

1具有相同渐近线，求双曲线 C 标

4

准方程•

练习：1. 双曲线 2 2

Z 厶1

2 2 与0壬 一疋有相冋的(

)

9 16

9

16

A.焦点

B.

准线 C.

渐近线 D. 离心率

2 2

2.与双曲线 — 仝 1有共同的渐近线，并且过点 A(6,8 2)的双曲线的标准方程

9 16

2

£ 1(a 0,b 0)的左、右焦点，双曲线上存在一点

b 2

2 2

练习：在方程

mx my

n 中，若mn 0，则方程的曲线是(

A.焦点在x 轴上的椭圆 C.焦点在y 轴上的椭圆

B.焦点在x 轴上的双曲线 D.焦点在y 轴上的双曲线

例4设F 「F 2分别为双曲线

2 x

2

a