2013上海一模数学难题详解 嘉定
2013年上海市中学考试数学试卷及问题详解Word版
实用文档文案大全2013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列式子中，属于最简二次根式的是（）A9；B7；C20；D13．2．下列关于x的一元二次方程有实数根的是（）A．210x??；B．210xx???；C．210xx???；D．210xx???．3.如果将抛物线22yx??向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．??212yx???；B．??212yx???；C．21yx??；D．23yx??．4．数据0，1，1，3，3，4的中位数和平均数分别是（）A．2和2．4；B．2和2；C．1和2；D．3和2．5．如图1，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且:3:5ADDB?，那么:CFCB等于（）A．5:8；B．3:8；C．3:5；D．2:5．6．在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD交于点O，下列条件中，能判断梯形ABCD是等腰梯形的是（）A．BDCBCD???；B．ABCDAB???；C．ADBDAC???；D．AOBBOC???．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．因式分解：21a??8．不等式组1023xxx???????的解集是29．计算：23baab??10．计算：??23abb????2f?11．已知函数??231fxx??，那12．将“定理”的英文单词theorem中的7个字母分别写在7张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌子上，任取一张，那么取到字面e的概率是13．某校报名参加甲、乙、丙、丁四个兴趣小组的学生人数如图2所示，那么报名参加甲组和丙组的人数之和占所有报名人数的百分比为14．在⊙O中，已知半径长为3，弦AB长为4，那么圆心O到AB的距离为15．如图3，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、E在同一直线上，BF=C E，A C∥D F，请添加一个条件，使△ABC≌△DEF，这个添加的条件可以是（只需写一个，不添加辅助线）．16．李老师开车从甲地到相距240千米的乙地，如果油箱剩余油量y（升）与行驶里程x（千米）之间是一次函数关系，其图像如图4所示，那么到达乙地时油箱剩余油量是升．17．当三角形中一个内角?是另一个内角?的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中?称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为实用文档文案大全18．如图5，在△ABC中，ABAC?，8BC?，32tanC?，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为三、解答题：（本大题共7题，19~22题10分，23、24题12分，25题14分，满分满分78分）19．计算：1018212????????????．20．解方程组：22220xyxxyy?????????．21．已知平面直角坐标系xOy（如图6），直线12yxb??经过第一、二、三象限，与y 轴交于点B，点??2,At在这条直线上，联结AO，△AOB的面积等于1．（1）求b的值；（2）如果反比例函数kyx?（k是常量，0k?）的图像经过点A，求这个反比例函数的解析式．422．某地下车库出口处“两段式栏杆”如图（1）所示，点A是栏杆转动的支点，点E 是栏杆两段的连接点．当车辆经过时，栏杆AEF升起后的位置如图（2）所示，其示意图如图（3）所示，其中ABBC?，EF∥BC，143EAB??，1.2ABAE??米，求当车辆经过时，栏杆EF段距离地面的高度（即直线EF上任意一点到直线BC的距离）．（结果精确到0.1米，栏杆宽度忽略不计，参考数据：370.60sin?，370.80cos?，370.75tan?．）23．如图8，在△ABC中，90ACB??，BA???，点D为边AB的中点，DE∥BC 交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线于点F．（1）求证：DEEF?；（2）联结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：BADGC?????．实用文档??20yaxbxa???文案大全24．如图9，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线经过点A和x轴正半轴上的点B，2AOBO??，120AOB??．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求AOM?的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．25．在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，联结BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M，联结QP（如图10）．已知13AD?，5AB?．设APx?，BQy?．（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F．如果4EFEC??，求x 的值．62013年上海市初中毕业统一学业考试数学试卷参考答案一、选择题1、B；2、D；3、C；4、B；5、A；6、C二、填空题7、（a+1）（a﹣1）； 8、x＞1； 9、3b； 10、2+； 11、1； 12、；13、40%；14、； 15、AC=DF； 16、2； 17、30°； 18、．三、解答题19．解：原式=2+﹣1﹣1+2=320．解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，21．解：（1）过A作AC⊥y轴，连接OA，∵A（2，t），∴AC=2，对于直线y=x+b，令x=0，得到y=b，即OB=b，∵S△AOB=OB?AC=OB=1，∴b=1；（2）由b=1，得到直线解析式为y=x+1，实用文档文案大全将A（2，t）代入直线解析式得：t=1+1=2，即A（2，2），把A（2，2）代入反比例解析式得：k=4，则反比例解析式为y=．．22．解：如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H，则∠BAG=90°，∠EHA=90°．∵∠EAB=143°，∠BAG=90°，∴∠EAH=∠EAB﹣∠BAG=53°．在△EAH中，∠EHA=90°，∠AEH=90°﹣∠EAH=37°，AE=1.2米，∴EH=AE?cos∠AEH≈1.2×0.80=0.96（米），∵AB=1.2米，∴栏杆EF段距离地面的高度为：AB+EH≈1.2+0.96=2.16≈2.2（米）．故栏杆EF段距离地面的高度为2.2米．23．证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，∴四边形DBCF为平行四边形，∴DF=BC，∵D为边AB的中点，DE∥BC，8∴DE=BC，∴EF=DF﹣DE=BC﹣CB=CB，∴DE=EF；（2）∵四边形DBCF为平行四边形，∴DB∥CF，∴∠ADG=∠G，∵∠ACB=90°，D为边AB的中点，∴CD=DB=AD，∴∠B=∠DCB，∠A=∠DCA，∵DG⊥DC，∴∠DCA+∠1=90°，∵∠DCB+∠DCA=90°，∴∠1=∠DCB=∠B，∵∠A+∠ADG=∠1，∴∠A+∠G=∠B．24．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOE=30°，∴AE=1，EO=，∴A点坐标为：（﹣1，），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：实用文档文案大全，解得：，∴抛物线的表达式为：y=x2﹣x；（2）过点M作MF⊥OB于点F，∵y=x2﹣x=（x2﹣2x）=（x2﹣2x+1﹣1）=（x﹣1）2﹣，∴M点坐标为：（1，﹣），∴tan∠FOM==，∴∠FOM=30°，∴∠AOM=30°+120°=150°；（3）∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠ABO=∠OAB=30°，∴AB=2EO=2，当△ABC1∽△AOM，∴=，10∵MO==，∴=，解得：BC1=2，∴OC1=4，∴C1的坐标为：（4，0）；当△C2AB∽△AOM，∴=，∴=，解得：BC2=6，∴OC2=8，∴C2的坐标为：（8，0）．综上所述，△ABC与△AOM相似时，点C的坐标为：（4，0）或（8，0）．25．解：（1）在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+25．∵MQ是线段BP的垂直平分线，∴BQ=PQ，BM=BP，∠BMQ=90°，∴∠MBQ+∠BQM=90°，∵∠ABP+∠MBQ=90°，∴∠ABP=∠BQM，又∵∠A=∠BMQ=90°，∴△ABP∽△MQB，∴，即，化简得：y=BP2=（x2+25）．当点Q与C重合时，BQ=PQ=13，在Rt△PQD中，由勾股定理定理得：PQ2=QD2+PD2，即132=52+（13﹣x）2，解得x=1；又AP≤AD=13，∴x的取值范围为：1≤x≤13．∴y=（x2+25）（1≤x≤13）．实用文档文案大全（2）当⊙P与⊙Q相外切时，如答图1所示：设切点为M，则PQ=PM+QM=AP+QC=AP+（BC﹣BQ）=x+（13﹣y）=13+x﹣y；∵PQ=BQ，∴13+x﹣y=y，即2y﹣x﹣13=0 将y=（x2+25）代入上式得：（x2+25）﹣x﹣13=0，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意．∴x=．．（3）按照题意画出图形，如答图2所示，连接QE．∵EF=EC，EF⊥PQ，EC⊥QC，∴∠1=∠2（角平分线性质）．∵PQ=BQ，∴∠3=∠4，而∠1+∠2=∠3+∠4（三角形外角性质），∴∠1=∠3．又∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠3=∠5，12∴∠1=∠5，又∵∠C=∠A=90°，∴△CEQ∽△ABP，∴，即，化简得：4x+5y=65，将y=（x2+25）代入上式得：4x+（x2+25）=65，解此分式方程得：x=，经检验，x=是原方程的解且符合题意，∴x=．．。
2013届上海市高考一模汇编 解析几何
2013届高中数学·一模汇编（专题：解析几何）2013届高中数学·一模汇编 解析几何一、填空题1.（2013年上海宝山区理科一模5）不等式37922x -≤的解集是 _____________ 2. （2013年上海宝山区理科一模13）我们用记号“|”表示两个正整数间的整除关系，如3|12表示3整除12．试类比课本中不等关系的基本性质，写出整除关系的两个性质． ①_____________________；②_______________________．3. （2013年上海崇明区一模3）过点(1,1)P -，且与直线:10l x y -+=垂直的直线方程是4. （2013年上海崇明区一模17）等轴双曲线C ：222x y a -=与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，43AB =，则双曲线C 的实轴长等于5. （2013年上海奉贤区一模4）设直线1l ：02=+y ax 的方向向量是1d ，直线l 2 ：()041=+++y a x 的法向量是2n ，若1d 与2n 平行，则=a _________6. （2013年上海奉贤区一模13）【理】在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点111()P x y ，与222()P x y ，的“非常 距离”给出如下定义：若1212||||x x y y --≥，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||x x -，若1212||||x x y y -<-，则点1P 与点2P 的“非常距离”为12||y y -．已知C 是直线334y x =+上的一个动点，点D 的坐标是（0，1），则点C 与 点D 的“非常距离”的最小值是_________7. （2013年上海奉贤区一模14）【文】椭圆()01342222>=+a ay a x 的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是_________．8. （2013年上海虹口区一模4）双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角大小等于 9. （2013年上海虹口区一模14）设点P 在曲线22+=x y 上，点Q 在曲线2-=x y 上，则PQ 的最小值等于 ．10. （2013年上海闸北区一模4）设双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F ．过点F 且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B ，则AFB ∆的面积为11. （2013年上海闸北区一模7）已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点(21)Q -，的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为 ．12. （2013年上海杨浦区一模3）抛物线x y 42=的焦点到准线的距离为13. （2013年上海杨浦区一模5）若直线l :012=--x y ，则该直线l 的倾斜角是 ．14. （2013年上海杨浦区一模7） 若圆锥的母线10l cm =,母线与旋转轴的夹角30α=，则该圆椎的侧面积为2cm15. （2013年上海杨浦区一模9）（文）若直线l 过点()1,1-，且与圆221x y +=相切，则直线l 的方程为 ． 16. （2013年上海杨浦区一模11）若函数()(32)1x a f x log =-+ (1,0≠>a a )的图像过定点P ，点Q 在曲线022=--y x 上运动,则线段PQ 中点M 轨迹方程是17. （2013年上海杨浦区一模14）（理）在平面直角坐标系xOy 中，直线m x y 23+=与圆222n y x =+相切，其中m 、n N ∈*，10≤-<n m ．若函数()n m x f x -=+1的零点()1,0+∈k k x ，Z k ∈,则=k18. （2013年上海徐汇区一模4）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610x y -=的右焦点重合，则实数p 的值是__________19. （2013年上海徐汇区一模6）【理】若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________20. （2013年上海松江区一模7）抛物线的焦点为椭圆14522=+y x 的右焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 21. （2013年上海松江区一模14）理：定义变换T 将平面内的点(,)(0,0)P x y x y ≥≥变换到平面内的点(,)Q x y ．若曲线0:1(0,0)42x yC x y +=≥≥经变换T 后得到曲线1C ，曲线1C 经变换T 后得到曲线2C ，依次类推，曲线1n C -经变换T 后得到曲线n C ，当*n N ∈时，记曲线n C 与x 、y 轴正半轴的交点为(,0)n n A a 和(0,)n n B b ．某同学研究后认为曲线n C 具有如下性质：①对任意的*n N ∈，曲线n C 都关于原点对称； ②对任意的*n N ∈，曲线n C 恒过点(0,2)；③对任意的*n N ∈，曲线n C 均在矩形n n n OA D B （含边界）的内部，其中n D 的坐标为(,)n n n D a b ； ④记矩形n n n OA D B 的面积为n S ，则lim 1n n S →∞=其中所有正确结论的序号是22. （2013年上海青浦区一模3）抛物线22x y =的焦点坐标是___________23. （2013年上海青浦区一模11）已知01cos sin 2=-+θθa a 与01cos sin 2=-+θθb b (b a ≠)． 直线MN 过点),(2a a M 与点),(2b b N ，则坐标原点到直线MN 的距离是___________24. （2013年上海普陀区一模12）【理科】 若)0,3(-C 、)0,3(D ，M 是椭圆2214x y +=上的动点，则11MC MD+的最小值为 .25. （2013年上海闵行区一模4）已知抛物线24y x =的焦点与圆2240x y mx ++-=的圆心重合，则m 的值是 .26. （2013年上海静安区一模3）【理】两条直线0943:1=+-y x l 和03125:2=-+y x l 的夹角大小为 ．27（2013年上海静安区一模5）【理】设圆过双曲线116922=-y x 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是28. （2013年上海静安区一模8）【理】已知曲线C 的极坐标方程为θρsin 4=．若以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+⋅=⋅=23,2t y t x （t 为参数），则此直线l 被曲线C 截得的线段长度为29. （2013年上海静安区一模11）【理】机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”．如图所示，“海宝”从圆心O 出发，先沿北偏西1312arcsin方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C 处，点B 、C 都在圆O 上．则在以圆心O 为坐标原点，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中圆O 的方程为30.（2013年上海静安区一模12）【理】过定点)0,4(F 作直线l 交y 轴于Q 点，过Q 点作QT FQ ⊥交x 轴于T 点，延长TQ 至P 点，使QP TQ =，则P 点的轨迹方程是31. （2013年上海静安区一模13）【理】已知直线0)1(4)1()1(=+-++-a y a x a （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数xx y 1+=的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是 32（2013年上海金山区一模9）若直线:=l y kx 经过点22(,)33P sin cos ππ，则直线l 的倾斜角为α= 33. （2013年上海金山区一模11）双曲线222:=C x y a -的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线2=16y x 的准线交于A 、B 两点，34||=AB ，则双曲线C 的方程为34. （2013年上海金山区一模14）若实数a 、b 、c 成等差数列，点()1,0P -在动直线:++=0l ax by c 上的射影为M ，点()0,3N ，则线段MN 长度的最小值是35. （2013年上海嘉定区一模9）动点P ),(y x 到点)1,0(F 的距离与它到直线01=+y 的距离相等，则动点P 的轨迹方程为___________OBC北南ANS理第11题（理）点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________ 36. （2013年上海黄埔区一模5）若双曲线2221(0)4x y b b-=>的一条渐近线过点P (1, 2)，则b 的值为37. （2013年上海黄埔区一模文7理4）已知直线1l ：20x ay ++=和2l ：(2)360a x y a -++=，则1l ∥2l 的充要条件是a =38. （2013年上海黄埔区一模13）已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m (m >0)到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点在直线MF 上的射影为点P ，则点P 的坐标为39. （2013年上海黄埔区一模11）理．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(1,)M m 到其焦点F 的距离为5，该抛物线的顶点到直线MF 的距离为d ，则d 的值为40. （2013年上海黄埔区一模13）（理）已知F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，O 是双曲线C 的中心，直线y =mx 是双曲线C 的一条渐近线．以线段OF 为边作正三角形MOF ，若点M 在双曲线C 上，则m 的值为二、选择题1．（2013年上海闸北区一模11）【理】曲线)0(0622>=-+y x y x 与直线)2(+=x k y 有公共点的充要条件是（ ） A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,43k ； B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈34,0k ； C ．⎥⎦⎤ ⎝⎛∈43,0k ； D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈43,43k ．2. （2013年上海杨浦区一模17）若1F 、2F 为双曲线C : 1422=-y x 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，∠21PF F =︒60，则P 到x 轴的距离为（ ）A ．55； B ．155； C ．2155； D ．1520． 3. （2013年上海徐汇区一模18）【理】对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指： 满足1OA OB =且在射线OA 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S （ ）A ．一定共线；B ．一定共圆；C ．要么共线，要么共圆；D ．既不共线，也不共圆．4. （2013年上海松江区一模15）过点(1,0)且与直线220x y --=平行的直线方程是（ ）A ．210x y +-=；B ．210x y -+=；C ．220x y +-=；D ．210x y --=．4. （2013年上海青浦区一模15）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）A . x y 2±=；B ．x y 2±=；C . x y 21±=； D . x y 22±=. 6. （2013年上海普陀区一模16）【理科】双曲线22221x y a b λλ+=--（22b a >>λ）的焦点坐标为（ ） A ．)0,(22b a +±； B ．)0,(22b a -±；C ．)0,2(22λ-+±b a ；D ．),0(22b a +±.7. （2013年上海嘉定区一模16）以下说法错误的是（ ）A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0πC ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π8. （2013年上海嘉定区一模17）（理）在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ，cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是（ ）A ．① ② ③；B ．② ③ ④；C ．① ③ ④；D ．① ② ③ ④．三、解答题1. （2013年上海宝山区理科一模22）设抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，经过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点． (1)若2p =，求线段AF 中点M 的轨迹方程； (2) 若直线AB 的方向向量为(1,2)n =，当焦点为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭时，求OAB ∆的面积； (3) 若M 是抛物线C 准线上的点，求证：直线MA 、MF 、MB 的斜率成等差数列．2. （2013年上海宝山区理科一模23）（本题18分，第(1)小题6分；第(2)小题12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>> 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，△2ABF 的周长为8，且12AF F ∆面积最大时，12AF F ∆为正三角形．（1）求椭圆E 的方程；（2）设动直线:l y kx m =+与椭圆E 有且只有一个公共点P ，且与直线4x =相交于点Q ．试探究： ① 以PQ 为直径的圆与x 轴的位置关系？② 在坐标平面内是否存在定点M ，使得以PQ 为直径的圆恒过点M ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由．yxABOF 1F 2PMOyx3. （2013年上海奉贤区理科一模21）某海域有A 、B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处。
上海市各区县2013届高三数学一模数列综合题汇总
嘉定区22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,且34135=+a a ,93=S ．数列}{n b 的前n 项和为n T ，满足n n b T -=1．（1）求数列}{n a 的通项公式；(2)写出一个正整数m ,使得91+m a 是数列}{n b 的项； （3)设数列}{n c 的通项公式为ta a c n n n +=，问：是否存在正整数t 和k （3≥k ）,使得1c ，2c ，k c 成等差数列？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(k t ；若不存在,请说明理由．奉贤区22、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n a n c 2=（1）求{}n a 的通项公式；（5分）（2)数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅,n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（5分） (3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列?若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．（6分）徐汇区23．(本题满分18分） 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序,得到的数列称为是原来数列的一个子数列。
某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为1a ,公差为d 的无穷等差数列{}n a 的子数列问题，为此，他取了其中第一项1a ，第三项3a 和第五项5a .（1） 若135,,a a a 成等比数列，求d 的值；（2） 在11a =， 3d =的无穷等差数列{}n a 中，是否存在无穷子数列{}n b ，使得数列{}n b 为等比数列？若存在,请给出数列{}n b 的通项公式并证明；若不存在，说明理由；(3) 他在研究过程中猜想了一个命题：“对于首项为正整数a ,公比为正整数q （1q >)的无穷等比数 列{}n c ,总可以找到一个子数列{}n d ,使得{}n d 构成等差数列”。
2013上海中考一模数学(上海各区共11套)
浦东新区2012学年度第一学期期末质量测试 初三数学试卷 2013.1.17（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试卷上 答题一律无效；2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤；3.本次测试可使用科学计算器.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1.如果延长线段AB 到C ，使得12BC AB =，那么:AC AB 等于（ ） A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D ．3:2．2.已知Rt ABC ∆中，90C ∠=，A α∠=，2AB =，那么BC 长（ ）A ．2sin α；B ．2cos α；C ．2sin α； D ．2cos α．3.如果将抛物线2y x =向左平移2个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ）A ．22y x =+；B ． 22y x =-；C ．2(2)y x =+；D ．2(2)y x =-．4.如果抛物线2y ax bx c =++经过点(1,0)-和(3,0)，那么对称轴是直线（ ）A ．=0x ；B ．=1x ；C ．=2x ；D ．=3x ．5.如果乙船在甲船的北偏东40方向上，丙船在甲船的南偏西40方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ）A ．北偏东40；B ．北偏西40；C ．南偏东40；D ．南偏西40．6.如图，已知在ABC ∆中，边6BC =，高3AD =，正方形EFGH 的顶点F G、在边BC 上，顶点E H 、分别在边AB 和AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A ．3；B ．2.5；C ．2；D ．2.5.二、填空题：（本大题共12题，，每题4分，满分48分）7. 已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =1、=2b 那么=c .8.计算：11()(2)22a b a b --+= .9.如果抛物线2(2)y a x =-的开口方向向下，那么a 的取值范围是 .10.二次函数23y x =-的图像的最低点坐标是 .11.在边长为6的正方形中间挖去一个边长为(06)x x <<的小正方形，如果设剩余部分的面积为y ，那么y 关于x 的函数解析式为 .12.已知α是锐角，230tan cos α=，那么α= 度.13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1:2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5米，那么此 斜坡的长度等于 米.14.小明用自制的直角三角形纸板DEF 测量树AB 的高度．测量时，使直角边DF 保持水平状态，其延长 线交AB 于点G ；使斜边DE 与点A 在同一条直线上．测得边DF 离地面的高度为1.4m ，点D 到AB 的距 离等于6m （如图所示）。
上海市嘉定区2013年中考数学一模试卷
最大最全最精的教育资源网2013年上海市嘉定区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的】=．=，所以=，得=2．（4分）（2013•嘉定区一模）如图，在直角坐标平面内有一点P（3，4），那么OP与x轴正半轴的夹角a的正弦值为（）B．sinA==3．（4分）（2013•嘉定区一模）已知抛物线y=﹣x2+bx+c如图所示，那么b、c的取值范围是（）∴﹣4．（4分）（2013•嘉定区一模）下列四个命题中，真命题的个数为（）①面积相等的两个直角三角形相似：②周长相等的两个直角三角形相似：③有一个锐角相等的两个直角三角形相似：6．（4分）（2013•嘉定区一模）已知⊙O1的半径长为2，若⊙O2（O2与O1不重合）上的点P满足PO1=2，二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）7．（4分）（2013•嘉定区一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，如果AD=6，BD=8，AE=4，那么CE的长为．=，=，EC=，故答案为：．8．（4分）（2013•嘉定区一模）已知||=2，||=4，且与反向，如果用向量表示向量，那么=﹣．倍，且与||=2||与反向，故可得：=．故答案为：=﹣．9．（4分）（2013•嘉定区一模）如图，飞机在目标B的正上方2000米A处，飞行员测得地面目标C的俯角α=30°，那么地面目标B、C之间的距离为米．（结果保留根号）BC===2000（米）2000200010．（4分）（2013•嘉定区一模）如果关于x的二次函数y=﹣3x2﹣x+m﹣1的图象经过原点，那么m=1．11．（4分）（2013•嘉定区一模）二次函数y=﹣x2+3x的图象在对称轴右侧的部分是下降的．12．（4分）（2013•嘉定区一模）二次函数：y=x2+4x+5的对称轴为直线x=﹣2．13．（4分）（2013•嘉定区一模）把抛物线y=（x﹣1）2+4先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是（4，2）．14．（4分）（2013•嘉定区一模）已知⊙O的半径长为2，点P满足PO=2，那么点P的直线l与⊙O不可能存在的位置关系是相离（从“相交”、“相切”、“相离”中选择）．15．（4分）（2002•乌鲁木齐）正六边形的边心距与半径的比值为．，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是则可知正六边形的边心距与半径的比值为16．（4分）（2013•嘉定区一模）对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称圆形A被这个圆“覆盖”．例如图中的三角形被一个圆“覆盖”．如果边长为1的正六边形被一个半径长为R的圆“覆盖”，那么R的取值范围为R≥1．17．（4分）（2013•嘉定区一模）已知⊙O1与⊙O2相交于点A、B，AB=8，O1O2=2，⊙O1的半径为5，那么⊙O2的半径为．AC=C=AC=C==，的半径为故答案为：18．（4分）（2013•嘉定区一模）如图，弧EF所在的⊙O的半径长为5，正三角形ABC的顶点A、B分别在半径OE、OF上，点C在弧EF上，∠EOF=60°，如果AB⊥OF，那么这个正三角形的边长为．MB=AB=x CM=x=，得出方程MB=AB=xCM=OA=，=x=故答案为：．三、解答题（共7小题，满分78分）19．（10分）（2013•嘉定区一模）计算：cot60°﹣cos30°+．﹣+﹣20．（10分）（2013•嘉定区一模）如图已知△ABC中AB=AC=10，BC=16，矩形DEFG的边EF在△ABC 的边BC上，顶点D、G分别在AB、AC上，设DE的长为x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出这个函数的定义域．似比，即可得方程BM=BC=8=6，﹣（﹣x+16﹣21．（10分）（2013•嘉定区一模）如图，已知点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，DE∥BC，AD=DB，四边形DBCE的面积等于16．（1）求△ABC的面积；（2）如果向量=，向量=，请用、表示向量．，即可表示出向量=（（）∵向量，向量，=﹣=﹣==，=3﹣．22．（10分）（2013•嘉定区一模）如图，一条细绳系着一个小球在平面内摆动，已知细绳从悬挂点O到球心的长度OG为50厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角90°．（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差：即可得出结论．cm（EH=OH=25，OGE==﹣23．（12分）（2013•嘉定区一模）已知：点D是Rt△ABC的BC边的一个动点（如图），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F在AB边上（点F与点B不重合），且满足FE=BE，联结CF、DF．（1）当DF平分∠CFB时，求证：：（2）若AB=10，tanB=．当DF⊥CF时，求BD的长．值相等即可证明tanB=，；，tanB=．设，的长是．24．（12分）（2013•嘉定区一模）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+4ax+c（a≠0）经过A（0，4），B（﹣3，1），顶点为G．（1）求该抛物线的表达方式及点C的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y轴向上平移m（m＞0）个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D．当△ACD时等腰三角形时，求点D的坐标；（3）若点P在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′，若点O′恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P的坐标．，解得：=2，DA=DC=2，DA=m=225．（14分）（2013•嘉定区一模）已知点A、B、C是半径长为2的半圆O上的三个点，其中点A是弧BC 的中点（如图），联结AB、AC，点D、E分别在弦AB、AC上，且满足AD=CE．（1）求证：OD=OE；（2）联结BC，当BC=2时，求∠DOE的度数；（3）若∠BAC=120°，当点D在弦AB上运动时，四边形ADOE的面积是否变化？若变化，请简述理由；若不变化，请求出四边形ADOE的面积．DOE=∠AOC=∠BC==，得出∠DOE=∠=，得出，最后根据S ，，∠CM=BC=COM=，DOE=SAM=AO=1CM=== BC=2××，S。
上海市嘉定区2013届高三上学期期末教学质量调研数学理试题
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i ii z +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 【答案】i -2 【Ks5U 解析】因为i ii z +=11，所以1zi i i -=+，即12zi i =+，所以222zi i i =+，即2z i -=-，所以2z i =-。
2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则=B A _____________．【答案】}12{-<<-x x【Ks5U 解析】{(2)(1)0}{21}A x x x x x =+-<=-<<，{10}{1}B x x x x =+<=<-，所以{21}AB x x =-<-。
3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________． 【答案】π【Ks5U 解析】2()(s i n c o s )122s i n c o s 2s i n 2f x xx x x x =++=+=+,所以周期222T πππω===。
4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________． 【答案】2【Ks5U 解析】由题意知891112510x ++++=⨯，解得10x =。
所以这组数据的方差为22222110[(810)(910)(1010)(1110)(1210)]255-+-+-+-+-==。
上海市嘉定区2013-14学年初三第一学期期末考试(即一模)数学试卷(含答案)
2013~14学年上海市嘉定区初三第一学期期末考试数学试卷（满分：150分 考试时间：100分钟）考生注意：1、本试卷含有三个大题，共25小题；2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1、已知32x y =，那么下列等式中，不一定正确是（ ） A 、5x y += B 、23x y = C 、52x y y += D 、35x x y =+ 2、在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝12，AC ＝5，那么tan B 等于（ ） A 、513 B 、1213 C 、512 D 、1253、抛物线2(2)3y x =--+的顶点坐标是（ ）A 、(2,3)-B 、(2,3)C 、(2,3)-D 、(2,3)--4、如图一，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =，AD b =，那么a b +等于（ ） A 、BD B 、AC C 、BD D 、CA图1A5、下列四个命题中，假命题是（ ）A 、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似；B 、有一个锐角相等的两个直角三角形相似；C 、底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；D 、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似。
6、已知O 的 半径长为2cm ，如果直线l 上有一点P 满足PO ＝2cm ，那么直线l 与O 的位置关系是（ ）A 、相切B 、相交C 、相离或相切D 、相切或相交二、填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7、如果二次函数()22131y k x x =--+的图像开口向上，那么常数k 的取值范围是_______.8、如果将抛物线()231y x =+向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______________________________.9、抛物线()211y x =--+在对称轴的右侧部分是__________的。
上海高三一模2013嘉定数学(理科)
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研数学试卷（理）考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷或草稿纸上的解答一律无效．2．答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、学校、班级等相关信息填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码．3．本试卷共有23道试题，满分150分；考试时间120分钟．一．填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若i iiz +=11（i 为虚数单位），则=z ___________． 2．已知集合},0)1)(2({R ∈<-+=x x x x A ，},01{R ∈<+=x x x B ，则=B A I _____________．3．函数1)cos (sin )(2++=x x x f 的最小正周期是___________．4．一组数据8，9，x ，11，12的平均数是10，则这组数据的方差是_________．5．在等差数列}{n a 中，101-=a ，从第9项开始为正数，则公差d 的取值范围是__________________．6．执行如图所示的程序框图，则输出的a 的 值为_____________．7．小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）．8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为R 的半圆，则这个圆锥的体积是________． 9．点M 是曲线1212+=x y 上的一个动点，且点M 为线段OP 的中点，则动点P 的轨迹方程为__________________． 10．在△ABC 中，已知41tan =A ，53tan =B ，且△ABC 最大边的长为17，则△ABC 最小边的长为____________．11．将直线1l ：01=-+y x ，2l ：0=-+n y nx ，3l ：0=-+n ny x （*N ∈n ，2≥n ）开始4←a 0←i 结束3<i1+←i i 22-+←a a a 输出a是否（第6题图）围成的三角形面积记为n S ，则=∞→n n S lim ___________．12．已知a ρ、b ρ是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c ρ满足0)()(=-⋅-c b c a ρρρρ，则||c ρ的最大值是___________．13．观察下列算式：113=， 5323+=，119733++=，1917151343+++=，… … … …若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m _______． 14．设m 、R ∈n ，定义在区间],[n m 上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是]2,0[，若关于t 的方程0121||=++⎪⎭⎫⎝⎛m t （R ∈t ）有实数解，则n m +的取值范围是___________．二．选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．已知R ∈x ，条件p ：x x <2，条件q ：11≥x，则p 是q 的…………………（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 16．以下说法错误的是………………………………………………………………………（ ） A ．直角坐标平面内直线的倾斜角的取值范围是),0[πB ．直角坐标平面内两条直线夹角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π C ．平面内两个非零向量的夹角的取值范围是),0[πD ．空间两条直线所成角的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π 17．在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为0=++c by ax ， cby ax cby ax ++++=2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l 上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是……………………………………………………………（ ） A ．① ② ③ B ．② ③ ④ C ．① ③ ④ D ．① ② ③ ④ 18．设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为……………………（ ）A ．]6,2[-B ．]28,24[-C ．]32,22[-D ．]34,20[-三．解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设复数i a z ⋅++-=)cos 1(2)sin 4(22θθ，其中R ∈a ，),0(πθ∈，i 为虚数单位．若z 是方程0222=+-x x 的一个根，且z 在复平面内对应的点在第一象限，求θ与a 的值．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC ⊥，2===PA BC AC ． （1）求异面直线AB 与PC 所成角的大小；（2）求三棱锥ABC P -的表面积S ．21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）经过)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26两点，过原点的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，椭圆C 上一点M 满足||||MB MA =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求证：222||2||1||1OM OB OA ++为定值．P A B C OABMxy22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知q pS S n n +=+1（*N ∈n ，p 、q 为常数），21=a ，12=a ，p q a 33-=．（1）求p 、q 的值；（2）求数列}{n a 的通项公式；（3）是否存在正整数m ，n ，使得1221+<--+m m n n m S m S 成立？若存在，请求出所有符合条件的有序整数对),(n m ；若不存在，请说明理由．23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．设R ∈a ，函数x a x x x f 2||)(+-⋅=．（1）若2=a ，求函数)(x f 在区间]3,0[上的最大值； （2）若2>a ，写出函数)(x f 的单调区间（不必证明）；（3）若存在]4,2[-∈a ，使得关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解，求实数t 的取值范围．2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤ ⎝⎛710,45 6．37 7．1511 8．2433R π 9．2412+=x y 10．2 11．2112．213．45 14．)2,1[二．选择题（每小题5分，满分20分）15．A 16．C 17．B 18．D 三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ，连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ， 所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或 其补角）．…………（2分） 连结AG ，则522=+=CG AC AG ，……（3分）622=+=AG EA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FG EF EG FG EF EFG ，……（7分） 故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分）（2）因为⊥PA 底面ABC ，所以AB PA ⊥，BC PA ⊥，AC PA ⊥， 又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面PAC ，所以PC BC ⊥，…………（2分） 所以△ABC 、△PAB 、△PBC 、△PAC 都是直角三角形．……（3分） 所以，24421212121+=⋅+⋅+⋅+⋅=AC PA PC BC AB PA BC AC S ．……（6分） G P ABC FE21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b ab a ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分）所以椭圆C 的方程为132322=+y x ．…………（6分） （2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫⎝⎛+=++=++b a a b b OM OB OA ．……（1分） 同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b a b a a OM OB OA ．……（2分） ②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||k k y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=， 所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k k k k OM OB OA ．……（7分） 综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）OABMxy（1）由题意，得⎩⎨⎧+=+=q pS S q pa S 2312，……（2分）即⎩⎨⎧+=-++=q p p q q p 33323 ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221q p ．…………（4分）（2）由（1）知，2211+=+n n S S ①当2≥n 时，2211+=-n n S S ② …………（1分）①－②，得n n a a 211=+（2≥n ），又1221a a =，…………（3分）所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列．…………（4分）所以}{n a 的通项公式为221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n a （*N ∈n ）．…………（6分）（3）由（2），得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n S 2114，…………（1分）由1221+<--+m m n n m S m S ，得122211421141+<-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m n n m m ，即12222)4(42)4(+<-⋅--⋅-mm nn m m ， 即12122)4(2+>-⋅-mn m ．因为012>+m，所以22)4(>⋅-n m ， 所以4<m 且422)4(21+<⋅-<+m nm ， （*）因为*N ∈m ，所以1=m 或2或3．……………………（2分）当1=m 时，由（*）得8232<⨯<n，所以1=n ； …………（3分） 当2=m 时，由（*）得12222<⨯<n，所以1=n 或2； …………（4分） 当3=m 时，由（*）得2022<<n，所以2=n 或3或4． …………（5分） 综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m 为：)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，)3,3(，)4,3(． …………（6分）（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≥=+-⋅=.20,4;2,2|2|)(22x x x x x x x x x f …（2分） 作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数，所以)(x f 的最大值为9)3(=f ．…………（4分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f ……（1分）①当a x ≥时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <-22， 所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．…………（3分）②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分） （3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解．即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a a a t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）O ayx22+a。
2013年上海市高考数学模拟试卷(含答案)题目和答案和评分要点
2013年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考试注意： 1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚。
2.本试卷共有31道试题，满分150分。
考试时间120分钟。
3.请考生用钢笔或圆珠笔按要求在试卷相应位置上作答。
一. 填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，要求直接填写结果，每题填对得3分，否则一律得0分。
1. 函数2log (2)y x =+的定义域是2. 方程28x=的解是 3. 抛物线28y x =的准线方程是 4. 函数2sin y x =的最小正周期是5. 已知向量(1 )a k =，，(9 6)b k =- ，。
若//a b ，则实数 k = 6. 函数4sin 3cos y x x =+的最大值是 7. 复数23i +（i 是虚数单位）的模是8. 在ABC ∆中，角 A B C 、、所对边长分别为 a b c 、、，若5 8 60a b B ===，，，则b= 9. 在如图所示的正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与1B C 所成角的大小为 10. 从4名男同学和6名女同学中随机选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的 概率为 （结果用数值表示）。
11. 若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n 项和n =S 12. 36的所有正约数之和可按如下方法得到： 因为2236=23⨯，所以36的所有正约数之和为22222222(133)(22323)(22323)(122)133)91++++⨯+⨯++⨯+⨯=++++=（参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为二．选择题（本大题满分36分）本大题共有12题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的。
考生必须把真确结论的代码写在题后的括号内，D 1C 1B 1A 1D C AB选对得3分，否则一律得0分。
13.展开式为ad-bc 的行列式是（ ）（A ）a bd c (B)acb d(C)a d bc(D)b a dc14.设-1()f x为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=15.直线2310x y -+=的一个方向向量是（ ）(A) (2 3)-， (B) (2 3)， (C) (3 2)-， (D) (3 2)， 16函数12()f x x-=的大致图像是（）17.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ） (A)11a b < (B) 2ab b < (C) 2ab a -<- (D) 11a b-<- 18.若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（ ） (A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称 19. 10(1)x +的二项展开式中的一项是（ ）（A ）45x （B ）290x （C ） 3120x （D ）4252x 20.既是偶函数又在区间(0 )π，上单调递减的函数是（ ）（A ）sin y x = （B ）cos y x = （C ）sin 2y x = （D ）cos 2y x = 21．若两个球的表面积之比为1:4，则这两个球的体积之比为（ ） （A ）1:2 （B ）1:4 （C ）1:8 （D ）1:16 22.设全集U R =，下列集合运算结果为R 的是（ ） （A ）u Z N ð （B ）u N N ð （C ）()u u ∅痧 （D ）{0}u ð23.已知 a b c R ∈、、，“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 24.已知 A B 、为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若2MN AN NB λ=⋅，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是（ ）（A ）圆 （B ） 椭圆 （C ） 抛物线 （D ）双曲线三、解答题（本大题满分78分）本大题共有7题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
2013年上海市嘉定区初中数学一模卷试题及答案
2012学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 对于线段a 、b ，如果3:2:=b a ，那么下列四个选项一定正确的是（ ） （A ）b a 32=； （B ）1=-a b ； （C ）3232=++b a ； （D ）25=+b b a . 2. 如图1，在直角坐标平面内有一点)4,3(P ,那么射线OP 与x 轴正半轴的 夹角α的余弦值是（ ）（A ）34； （B ）35； （C ）53； （D ）54.3. 已知抛物线c bx x y ++-=2如图2所示，那么b 、c 的取值范围是（ ） （A ）0<b ，0<c ； （B ）0<b ，0>c ； （C ）0>b ，0<c ； （D ）0>b ，0>c . 4.下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①面积相等的两个直角三角形相似； ②周长相等的两个直角三角形相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似．（A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1. 5．正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）（A ）︒80； （B ）︒135； （C ）︒144； （D ）︒150.6. 已知⊙1O 的半径长为2，若⊙2O （2O 与1O 不重合）上的点P 满足21=PO ，则下列位置关系中，⊙1O 与⊙2O 不可能存在的位置关系是（ ）(A)相交； （B ）内切； （C ）外切； （D ）外离. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 如图3，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与边AB 相交于点D ，与边AC 相交于点E ，如果6=AD ，8=BD ，4=AE ，那么CE 的长为 .8. 已知2=a ，4=b ，且b 与a 反向，如果用向量b 表示向量a ，那么a = ．9. 如图4，飞机P 在目标A 的正上方1000米处.如果飞行员测得目标B 的俯角 为︒30，那么地面目标A 、B 之间的距离为 米（结果保留根号）.图1yxOPαxyO 图2 ABP图4A B C图3DE10.如果二次函数132+-+-=m x x y 的图像经过原点，那么m 的值为 ．11.二次函数c x y +=22的图像在y 轴左侧的部分是 的.（从“上升”或“下降”中选择）．12.二次函数x x y 42+=图像的对称轴是直线 ．13.把抛物线2(1)4y x =-+先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标是 ．14.已知⊙O 的半径长为2，点P 满足2=PO ，那么过点P 的直线l 与⊙O 不可能存在的位置关系是 （从“相交”、“相切”、“相离”中选择）. 15.正六边形的边心距与半径长的比值为 ．16.对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆“覆盖”．例如图5中的三角形被一个圆“覆盖”.如果边长为1的正六边形被一个半径长为R 的圆“覆盖”，那么R 的取值范围为 ． 17.如图6，已知⊙1O 与⊙2O 相交于点A 、B ，8=AB ，121=O O ，⊙1O 的半径长为5，那么⊙2O 的半径长为 ．18.如图7，弧EF 所在的⊙O 的半径长为5，正三角形ABC 的顶点A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧EF 上，︒=∠60EOF .如果OF AB ⊥，那么这个正三角形的边长为 ．三、简答题（本大题共7题，满分78分）19.（本题满分10分） 计算：︒-︒︒+︒+︒⋅︒tan45cos45260cos 45sin 30cos 60cot .20.（本题满分10分）如图8，已知△ABC 中，10==AC AB ，16=BC ，矩形 DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上，顶点D 、G 分别在 边AB 、AC 上，设DE 的长为x ，矩形DEFG 的面积为y .求y 关于x 的函数关系式，并写出这个函数的定义域.AB C OF图7E图5A B CDEF G图8图6AB 1O 2O21.（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分）如图9，已知点D 、E 分别在△ABC 的边AB 和AC 上，DE ∥BC ，DB AD 21=，四边形DBCE 的面积等于16. （1）求△ABC 的面积；（2）如果向量a AD =，向量b AE =，请用a 、b表示向量BC .22.（本题满分10分，第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O 到球心的长度OG 为50厘米，小球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为︒90.（1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差； （2）联结EG ，求OGE ∠的余切值.23.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）已知：点D 是Rt ABC △的BC 边的一个动点（如图11），过点D 作AB DE ⊥，垂足为E ，点F 在AB 边上（点F 与点B 不重合），且满足BE FE =，联结CF 、DF . （1）当DF 平分CFB ∠时，求证：FBBDCB CF =； （2）若10=AB ，43tan =B .当CF DF ⊥时，求BD 的长.AB CDE F图11A BCDE图9O EFG 图10ABC备用图24．（本题满分12分，每小题满分4分）在平面直角坐标系xOy 中（图12），已知抛物线c ax ax y ++=42（0≠a ）经过)4,0(A 、(-3,1)B 两点，顶点为C .（1）求该抛物线的表达式及点C 的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线沿y 轴向上平移m （0>m ）个单位，所得新抛物线与y 轴的交点记为点D .当△ACD 是等腰三角形时，求点D 的坐标；（3）若点P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结PO ，将线段PO 绕点P 逆时针旋转︒90得到线段O P '，若点O '恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点P 的坐标.25.（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题各5分）已知点A 、B 、C 是半径长为2的半圆O 上的三个点，其中点A 是弧BC 的中点（如图13），联结AB 、AC ，点D 、E 分别在弦AB 、AC 上，且满足CE AD =，联结OD 、OE .（1）求证：OE OD =；（2）联结BC ，当22=BC 时，求DOE ∠的度数；（3）若︒=∠120BAC ，当点D 在弦AB 上运动时，四边形ADOE 的面积是否变化？若变化，请简述理由；若不变化，请求出四边形ADOE 的面积.B OAD E 图13CO 备用图 O 备用图 Oy1 x2 43 5 6-6 -5 -3 -4-2-1 45 6 7 8 9-1 -2图12 3 2 1102012学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷答案要点与评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.C ；2.C ；3.B ；4.C ；5.A ；6.D . 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.316（或者315）； 8.b a21-=； 9.31000； 10.1=m ；11.下降； 12.2-=x ； 13.（4,2）； 14.相离； 15.23； 16.1≥R ； 17.52； 18.2175. 三、简答题（本大题共7题，满分78分）19.解：︒-︒︒+︒+︒⋅︒tan45cos45260cos 45sin 30cos 60cot =122221222333-⨯++⨯…………（6分） =22)223(2121)12(21221+=++=-++.……………………………（2+1+1）分20.解：过点A 作BC AH ⊥，交BC 于H ，交DG 于P （如图8）.…………（1分） ∵四边形DEFG ，EF 在BC 边上，∴DG ∥BC .…………………………………………………………………（1分）得 △ADG ∽△ABC .………………………………………………………（1分）∵DG ∥BC ，BC AH ⊥，∴DG AP ⊥. ∴BCDGAH AP =.……………………………………………………………（1分） 在△ABC 中，∵AC AB =，BC AH ⊥，16=BC ，∴821==BC BH . 68102222=-=-=BH AB AH .…………………………………（1分）∵BC PH ⊥，BC DE ⊥，∴PH ∥DE .又DG ∥BC ， ∴DE PH =.∴x PH AH AP -=-=6.…（1分） 由x AP -=6，6=AH ，16=BC 得1666DGx =-.………………………………………………………………（1分） A BCDE F G图8 P H解得 )6(38x DG -=.……………………………… ……………………（1分） ∴23816)6(38x x x x y -=-⨯=.………………………………………（1分）定义域为60<<x .…………………………………………………………（1分）21.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴2)(ABAD S S ABC ADE =∆∆.………（1+1分） ∵DB AD 21=，∴AB AD 31=. ∴91=∆∆ABC ADE S S .…………………………（1分）又∵16=DBCE S 四边形，∴9116=+∆∆ADE ADE S S .解得 2=∆ADE S .………………（1分）∴18216=+=∆ABC S .………………………………………………………（1分）（2）∵向量a AD=，向量b AE =，∴向量a b DE -=.…………………（1分）∵DE ∥BC ，∴ABADBC DE =.………………………………………………（1分） ∵AB AD 31=，∴DE BC 3=.………………………… … ……………（1分） ∴ 向量a b a b BC33)(3-=-=.………………… ……… ……………（2分）22.解：（1）过点E 作OG EH ⊥，垂足为点H . ……………（1分） 小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH 的长.根据题意，可知︒=∠=∠4521EOF EOH .………………（1分） 在EOH △Rt 中，∵OEOHEOH =∠cos ，∴22545cos 50cos =︒⨯=∠⋅=EOH OE OH . …… （2分） ∴22550-=-=OH OG GH .…………………………（2分） （2）联结EG .…………………………………………………（1分）在EOH △Rt 中，22545sin =︒⋅=OE EH .…………（1分） ∴1222522550cot -=-==∠EH GH OGE .……………（2分） 23.解：（1）∵AB DE ⊥，BE FE =，∴DB DF =，B DFE ∠=∠.………………………………（1分）OE FG图10H∵DF 平分CFB ∠，∴BFD CFD ∠=∠.∵B DFE ∠=∠，∴B CFD ∠=∠. …… …………（1分） 又∵FCB DCF ∠=∠，∴△DCF ∽△FCB . ………………（1分） ∴FBDFCB CF =.………………………………………………（2分） ∵DB DF =，∴FBDB CB CF =. …………………………（1分） （2）在Rt ABC △中，由10=AB ，43tan =B ，易得53sin =B ，54cos =B ，6=AC ，8=BC .………………………（1分）过点C 作AB CH ⊥，垂足为H （如图11-2）.在Rt △BCH 中，524538sin =⨯=⋅=B BC CH .………………………（1分）532548cos =⨯=⋅=B BC BH .设x BD 5=（备注：也可以设x BD =），在Rt △BDE 中，x x B BD DE 3535sin =⨯=⋅=，x x B BD BE 4545cos =⨯=⋅=.由x BE EF 4==，可得x BF BH HF 8532-=-=. …………………（1分）由CF DF ⊥，易得︒=∠+∠90CFH DFE ，又︒=∠+∠90CFH FCH ，∴DFE FCH ∠=∠.方法1：∴DFE FCH ∠=∠tan tan .………………………………………（1分）∵354tan x CH FH FCH -==∠，43tan tan =∠=∠B DFE ， ∴43354=-x . …………………………………（1分） 解得475=x .即47=BD .………………………（1分）方法2：∴△HCF ∽△EFD . …………………（1分）∴EFCHED HF =. 将x HF 8532-=，x DE 3=，x EF 4=，524=CH 代入上式，得 xx x 452438532=-. ……………………………………………………………………（1分） 解得 475=x .即47=BD .………………………………………………………（1分）24.解：（1）由抛物线c ax ax y ++=42经过)4,0(A ，(-3,1)B ，得⎩⎨⎧=+-=.1129,4c a a c ……………………………………………………………（1分）A B CDE F 图11 A B C图11-2 F H D E解这个方程组，得⎩⎨⎧==.1,4a c ……………………………………………………（1分）因此，所求的抛物线的表达式为442++=x x y .…………………………………（1分） 由22)2(44+=++=x x x y ，易得顶点C 的坐标为（2-，0）.…………（1分） （2）因为点D 是将抛物线442++=x x y 沿y 轴向上 平移m （0>m ）个单位所得新抛物线与y 轴的交点. 所以，点D 必定在点A 的上方（如图12-1），得 ︒=∠>∠90AOC DAC .………………………………（1分）∵△ACD 是等腰三角形，∴AC AD =.………………（1分） 在Rt △AOC 中，2=OC ，4=OA ，由勾股定理可得 52422222=+=+=OA OC AC .∴52==AC AD ，524+=+=AD OA OD .……（1分） ∴点D 的坐标为（0，524+）.………………………（1分） （3）因为点P 在抛物线2)2(+=x y 的对称轴上，故 可设点P 的坐标为（2-，n ）.由题意知：O P PO '=，︒='∠90O OP . 过点O '作CP E O ⊥'，垂足为E .∵︒=∠+'∠90OPC PE O ，︒=∠+∠90OPC POC . ∴POC PE O ∠='∠.∵︒=∠='∠90PCO EP O ，POC PE O ∠='∠， O P PO '=，∴△PE O '≌△POC . ∴PC E O ='，OC PE =.当点P 在第二象限时（如图12-2），n PC E O =='，2==OC PE ，n EC +=2.故而可得点O '的坐标为（2-n ，2+n ）.……（1分） 备注：若点O '在第一象限，其坐标也是（2-n ，2+n ），下同.∵点O '（2-n ，2+n ）恰好在2)2(+=x y 上，∴2)22(2+=+-n n . 整理，得 022=--n n .解得 21=n ，12-=n （舍去）. 故可得点P （2-，2）.……………………………（1分） 当点P 在第三象限时（如图12-3），n PC E O -=='，2==OC PE ，n EC +=2.由此可得点O '的坐标为（2-n ，2+n ）……（1分） ∵O '（2-n ，2+n ）在抛物线2)2(+=x y 上，Oy1 x2 43 5 6-6 -5 -3 -4-2-1 4 5 6 7 8 9 -1-2图12-13 2 110 AC D 图12-2xyy∴ 2)22(2+=+-n n .整理，得 022=--n n ，解得21=n （舍去），12-=n . 故而可知P （2-，1-）. ………（1分）25.解：（1）方法1：联结OA 、OB 、OC （如图13-1），易得OC OA OB ==.在⊙O 中，∵，∴AC AB =.…………………… ……（1分）∵OC OB =，OA OA =，AC AB =，∴△AOB ≌△AOC .∴CAO BAO ∠=∠. ………………………………………………（1分） 又 ∵OC OA =，∴OCA CAO ∠=∠.∴OCA BAO ∠=∠.∵CE AD =，OCA BAO ∠=∠，OC OA =，∴△AOD ≌△COE .…………………………………………（1分） ∴OE OD =. ……………………………………………………（1分） 方法2：在⊙O 中，∵，∴AC AB =. …………………（1分）过点O 分别作AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为M 、N （如图13-2）， ∵AB OM ⊥，AC ON ⊥，∴AB AM 21=，AC CN 21=. 由 AC AB =易得 ON OM =，CN AM =.……………………（1分）∵CE AD =，CN AM =，∴CN CE AM AD -=-，即 EN DM =. ∵EN DM =，︒=∠=∠90ONE OMD ，ON OM =，∴△ODM ≌△OEN . ……………………………………………………（1分） ∴OE OD =. ……………………………………………………………（1分）（2）如图13-3，在△BOC 中，由2==OC OB ，22=BC ，得 8222222=+=+OC OB ，8)22(22==BC .∴222BC OC OB =+. ∴︒=∠90BOC . ………（1+1分） ∵，O 是圆心，∴︒=︒⨯=∠=∠=∠45902121BOC AOB AOC . ………………………………（1分）∵△AOD ≌△COE ，∴COE AOD ∠=∠.………………………………………（1分） ∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠45AOC AOE COE AOE AOD DOE .……………（1分）若使用锐角三角比或其他方法，请参照评分.（3）当点D 在弦AB 上运动时，四边形ADOE 的面积不变.理由如下：…………（1分）∵CAO BAO ∠=∠，︒=∠120BAC∴︒=︒⨯=∠=∠601202121BAC CAO ，……………（1分） BO AD E图13-1 CB OA D E 图13-2CNMBOA DE图13-3CAEC又∵OC OA =，∴△AOC 是等边三角形.∴2==OC AC .…………………………………………（1分） 由（1）中的△AOD ≌△COE ，可知COE AOD S S ∆∆=.∴AOC AOE COE AOE AOD ADOE S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形.……（1分） 过点O 作AC ON ⊥，垂足为N ，易得360sin =︒⋅=OA ON ，∴3322121=⨯⨯=⋅=∆ON AC S ACD . …………………（1分）。
2013年上海市金山区高考数学一模试卷含详解
2013年上海市金山区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有14小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（3分）函数f（x）=3x﹣2的反函数f﹣1（x）=．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={x|0＜x＜1}，则A∩∁B=．U3．（3分）函数y=2sin（2x+）的最小正周期T=．4．（3分）计算极限：=．5．（3分）已知，，若，则实数x=．6．（3分）若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数，则实数a的值是．7．（3分）在的二项展开式中，常数项等于．8．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB=．9．（3分）若直线l：y=kx经过点P（sin，cos），则直线l的倾斜角为α=．10．（3分）某市有A、B、C三所学校共有高三文科学生1500人，且A、B、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取人．11．（3分）双曲线C：x2﹣y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为．12．（3分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组只有一组解的概率是．13．（3分）若函数y=f（x）（x∈R）满足：f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，函数y=g（x）是定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，g（x）=log 3x，则函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象的交点个数为．14．（3分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：．二、选择题（本大题有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分．15．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．D．16．（5分）如图是某程序的流程图，则其输出结果为（）A．B．C．D．17．（5分）已知f（x）=x2﹣2x+3，g（x）=kx﹣1，则“|k|≤2”是“f（x）≥g （x）在R上恒成立”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件18．（5分）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4三、解答题（本大题共有5个小题，满分36分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（6分）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|＜1，x∈R }．（1）求A、B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．（8分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x﹣m，x∈R，且f（x）的最大值为1．（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=﹣1，且a=b+c，试判断△ABC的形状．21．（8分）已知函数f（x）=，x∈（0，2]，其中常数a＞0．（1）当a=4时，证明函数f（x）在（0，2]上是减函数；（2）求函数f（x）的最小值．22．（6分）设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程；（3）设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B2PQ的面积S的取值范围．23．（8分）已知数列{a n}满足，1+a1+a2+…+a n﹣λa n+1=0（其中λ≠0且λ≠﹣1，n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和．（1）若，求λ的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）当时，数列{a n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．2013年上海市金山区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14小题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（3分）函数f（x）=3x﹣2的反函数f﹣1（x）=．【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】由原函数的解析式解出自变量x的解析式，再把x 和y交换位置，注意反函数的定义域（即原函数的值域）．【解答】解：设y=3x﹣2，∵y=3x﹣2，∴x=，故反函数为f﹣1（x）=．故答案为：．【点评】本题考查函数与反函数的定义，求反函数的方法和步骤，注意反函数的定义域是原函数的值域．2．（3分）若全集U=R，集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={x|0＜x＜1}，则A∩∁U B= {x|﹣2≤x≤0或1≤x≤2}．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【专题】11：计算题．【分析】直接利用补集与交集的运算求解．【解答】解：由B={x|0＜x＜1}，U=R，所以∁U B={x|x≤0或x≥1}．又A={x|﹣2≤x≤2}，所以A∩∁U B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤0或x≥1}={x|﹣2≤x≤0或1≤x≤2}．故答案为{x|﹣2≤x≤0或1≤x≤2}．【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础的概念题．3．（3分）函数y=2sin（2x+）的最小正周期T=π．【考点】H1：三角函数的周期性．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由周期公式结合题意可得最小正周期T==π，即可得答案．【解答】解：∵函数，∴由周期公式可得最小正周期T==π，故答案为：π【点评】本题考查三角函数的周期公式，属基础题．4．（3分）计算极限：=2．【考点】6F：极限及其运算．【专题】11：计算题．【分析】首先把极限符号后面的分式化简，使得分子的指数小于分母的指数，或者直接分子分母同时除以n2，然后进行取n→∞时的极限运算．【解答】解：===．故答案为2．【点评】本题考查了极限及其运算，对于n→∝时的极限运算，如果分式的分子和分母n的最高次项的次数相同，极限值为最高次项的系数比，是基础题．5．（3分）已知，，若，则实数x=﹣2．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】根据两个向量垂直，它们的数量积等于零，解方程求得x的值．【解答】解：∵已知，，若，则=4+2x=0，解得x=﹣2，故答案为﹣2．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．6．（3分）若复数（1+2i）（1+ai）是纯虚数，则实数a的值是．【考点】A1：虚数单位i、复数；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】利用复数的乘除运算法则，求出（1+2i）（1+ai）=（1﹣2a）+（2+a）i，再由（1+2i）（1+ai）是纯虚数，能求出实数a．【解答】解：（1+2i）（1+ai）=1+2i+ai+2ai2=（1﹣2a）+（2+a）i，∵（1+2i）（1+ai）是纯虚数，∴，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．7．（3分）在的二项展开式中，常数项等于﹣160．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x的指数为0，得到相应的r，从而可求出常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=x6﹣r（﹣）r=（﹣2）r x6﹣2r令6﹣2r=0可得r=3常数项为（﹣2）3=﹣160故答案为：﹣160【点评】本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，同时考查了计算能力，属于基础题．8．（3分）已知矩阵A=，矩阵B=，计算：AB=．【考点】O1：二阶矩阵．【专题】11：计算题．【分析】利用矩阵的乘法法则及其意义进行求解，即可得到答案．【解答】解：∵已知矩阵A=，矩阵B=，∴AB===，故答案为：．【点评】本题主要考查了矩阵的乘法的意义，是一道考查基本运算的基础题．9．（3分）若直线l：y=kx经过点P（sin，cos），则直线l的倾斜角为α=．【考点】IB：直线的点斜式方程．【专题】11：计算题；5B：直线与圆．【分析】求三角函数值化简P点坐标，把P的坐标代入直线方程求k，由倾斜角的正切值等于斜率结合倾斜角的范围可求直线l的倾斜角．【解答】解：P（sin，cos）=P（），因为y=kx经过点P，所以，解得则，又0≤α＜π，所以．故答案为．【点评】该题考查了直线的点斜式方程，考查了直线的倾斜角与斜率的关系，训练了学生对三角函数的灵活运用，是基础题．10．（3分）某市有A、B、C三所学校共有高三文科学生1500人，且A、B、C 三所学校的高三文科学生人数成等差数列，在三月进行全市联考后，准备用分层抽样的方法从所有高三文科学生中抽取容量为120的样本，进行成绩分析，则应从B校学生中抽取40人．【考点】B3：分层抽样方法．【专题】11：计算题．【分析】由题意和分层抽样的定义知从A、B、C三校的高三文科学生中抽取的人数也成等差数列，故设为x﹣d，x，x+d；再由样本的容量为120求出x．【解答】解：由题意知A、B、C三校的高三文科学生人数成等差数列，因用分层抽样，故设从A、B、C三校的高三文科学生中抽取的人数分别为：x﹣d，x，x+d；∵样本的容量为120，∴（x﹣d）+x+（x+d）=120，解得x=40．故答案为：40．【点评】本题是等差数列的性质和分层抽样的定义，即样本和总体的结构一致性，抽到的人数也对应成等差数列，用等差数列的性质求值．11．（3分）双曲线C：x2﹣y2=a2的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x 的准线交于A、B两点，，则双曲线C的方程为．【考点】K8：抛物线的性质；KC：双曲线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4，即可求得结论．【解答】解：∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴=4．∴抛物线的准线方程为x=﹣4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=﹣4的两个交点A（﹣4，y），B（﹣4，﹣y）（y ＞0），则|AB|=|y﹣（﹣y）|=2y=4 ，∴y=2 ．将x=﹣4，y=2 代入双曲线C：x2﹣y2=a2，得（﹣4）2﹣（2 ）2=a2，∴a2=4∴等轴双曲线C的方程为x2﹣y2=4，即．故答案为：．【点评】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．12．（3分）把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为m，第二次出现的点数记为n，方程组只有一组解的概率是．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】11：计算题．【分析】利用分布计数原理求出骰子投掷2次所有的结果，通过解二元一次方程组判断出方程组有唯一解的条件，先求出不满足条件结果个数，再求出方程组有唯一解的结果个数，利用古典概型的概率公式求出方程组只有一个解的概率．【解答】解：骰子投掷2次所有的结果有6×6=36种由得（n﹣m）y=3﹣m当n﹣m≠0时，方程组有唯一解当n﹣m=0时包含的结果有：当n=3时，m=2，当n=6时，m=4，共2种所以方程组只有一个解包含的基本结果有36﹣2=34∴方程组只有一组解的概率是=故答案为：【点评】本题主要考查了古典概型及其概率计算公式，以及解方程组，概率问题往往同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是另一个知识点，属于基础题．13．（3分）若函数y=f（x）（x∈R）满足：f（x+2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，函数y=g（x）是定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，g（x）=log 3x，则函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象的交点个数为4．【考点】3Q：函数的周期性；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】函数f（x）满足f（x+2）=f（x）知f（x）是周期函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，可以画出f（x）的图象；又函数g（x）是R上的奇函数，且x∈（0，+∞），g（x）=log 3x，讨论x＞0，x=0，x＜0时，f（x）与g（x）图象交点的情况．【解答】解：函数y=f（x）（x∈R）满足：f（x+2）=f（x），∴f（x）是以2为周期的函数；当x∈[﹣1，1]时，f（x）=|x|，可以画出f（x）的图象如下；又函数y=g（x）是定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，g（x）=log 3x，∵x=3时，g（3）=1，∴当x＞0时，f（x）与g（x）的图象有两个交点；当x=0时，f（0）=g（0）=0，∴f（x）与g（x）的图象有一个交点；当x＜0时，g（x）是R上的奇函数，∴g（x）=﹣g（﹣x）=﹣log3（﹣x）=log3，与y=f（x）的图象有一个交点；∴g（x）=；如图所示：所以，函数y=f（x）与y=g（x）的图象的交点有4个．故答案为：4．【点评】本题考查了函数的周期性，奇偶性，对数函数以及函数图象的综合应用，是一个容易出错的题目．14．（3分）若实数a、b、c成等差数列，点P（﹣1，0）在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点N（0，3），则线段MN长度的最小值是：4﹣．【考点】83：等差数列的性质；IT：点到直线的距离公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得动直线l：ax+by+c=0过定点Q（1，﹣2），PMQ=90°，点M在以PQ为直径的圆上，求出圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为．求得点N到圆心C的距离，再减去半径，即得所求．【解答】解：因为a，b，c成等差数列，故有2b=a+c，即a﹣2b+c=0，对比方程ax+by+c=0可知，动直线恒过定点Q（1，﹣2）．由于点P（﹣1，0）在动直线ax+by+c=0上的射影为M，即∠PMQ=90°，所以点M在以PQ为直径的圆上，该圆的圆心为PQ的中点C（0，﹣1），且半径为=，再由点N到圆心C的距离为NC=4，所以线段MN的最小值为NC﹣r=4﹣，故答案为：4﹣．【点评】本题主要考查等差数列的性质，直线过定点问题、圆的定义，以及点与圆的位置关系，属于中档题．二、选择题（本大题有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律的零分．15．（5分）若，则下列结论不正确的是（）A．a2＜b2B．ab＜b2C．D．【考点】71：不等关系与不等式．【专题】1：常规题型．【分析】先由得到a与b大小关系，再逐个验证，即得正确答案．【解答】解：由于，得到b＜a＜0，则得a2＜b2，ab＜b2，故A、B正确，再看C选项，由于（当且仅当即a=b时，取“=”）而由已知得到b＜a＜0，则有，故C正确，由于b＜a＜0，则，故D错误．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质，是基础题．16．（5分）如图是某程序的流程图，则其输出结果为（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型．【分析】首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果．分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=++…+的值．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=++…+=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行．通过按照循环体的执行，考查运算能力．属于基础题17．（5分）已知f（x）=x2﹣2x+3，g（x）=kx﹣1，则“|k|≤2”是“f（x）≥g （x）在R上恒成立”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】将不等式f（x）≥g（x）在R上恒成立化简，再与条件|k|≤2比较，然后根据充分性与必要性的定义进行判断即可得出所要的答案．【解答】解：由二次函数的性质知，由f（x）≥g（x）得x2﹣（2+k）x+4≥0故“f（x）≥g（x）在R上恒成立”成立⇔△=（2+k）2﹣16≤0⇔﹣6≤k≤2；而|k|≤2⇔﹣2≤k≤2．∴|k|≤2可推出“f（x）≥g（x）在R上恒成立”，而“f（x）≥g（x）在R上恒成立”不能保证|k|≤2．则“|k|≤2”是“f（x）≥g（x）在R上恒成立”成立的充分但不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分条件与必要条件的判断，以不等式的大小比较为载体，属于简单题型．18．（5分）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：（1）该方程没有小于0的实数解；（2）该方程有无数个实数解；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【考点】2K：命题的真假判断与应用．【专题】13：作图题．【分析】问题等价于函数y=1﹣（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出函数的图象，逐个选项验证可得答案．【解答】解：由题意可知方程（）x+sinx﹣1=0的解，等价于函数y=1﹣（）x与y=sinx的图象交点的横坐标，作出它们的图象：由图象可知：（1）该方程没有小于0的实数解，错误；（2）该方程有无数个实数解，正确；（3）该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，正确；（4）若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1，正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，涉及函数图象的作法，属基础题．三、解答题（本大题共有5个小题，满分36分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（6分）已知集合A={x||x﹣a|＜2，x∈R }，B={x|＜1，x∈R }．（1）求A、B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】21：阅读型．【分析】（1）通过解绝对值不等式与分式不等式求出集合A、B即可；（2）利用数轴表示集合，再根据集合关系分析求解即可．【解答】解：（1）由|x﹣a|＜2，得a﹣2＜x＜a+2，∴A={x|a﹣2＜x＜a+2}，由＜1，得＜0，即﹣2＜x＜3，∴B={x|﹣2＜x＜3}．（2）若A⊆B，∴⇒0≤a≤1，∴0≤a≤1．【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题，利用数形结合思想分析求解，直观、形象．20．（8分）已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）+cos2x﹣m，x∈R，且f（x）的最大值为1．（1）求m的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A、B、C的对边a、b、c，若f（B）=﹣1，且a=b+c，试判断△ABC的形状．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；GZ：三角形的形状判断；HM：复合三角函数的单调性．【专题】11：计算题．【分析】（1）由和差角公式可得f（x）=1=，从而可得f（x）max=2﹣m，可求m，要求函数的单调递增区间，只要令，即可求解（2）因为，可求B，A+C，由已知结合正弦定理可可求sinA，即可求解A，从而可判断【解答】解：（1）f（x）=1=…（3分）f（x）max=2﹣m，所以m=1，…（4分）令，单调增区间为…（6分）（2）因为，则，∵0＜B＜π∴…（8分）又，则，∴=…（10分）∴∴，∴，所以，故△ABC为直角三角形…（12分）【点评】本题主要考查了三角函数的辅助角公式、两角和与差的三角函数、正弦定理等知识的综合应用，属于三角函数的中档试题21．（8分）已知函数f（x）=，x∈（0，2]，其中常数a＞0．（1）当a=4时，证明函数f（x）在（0，2]上是减函数；（2）求函数f（x）的最小值．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【专题】53：导数的综合应用．【分析】（1）定义法：任取0＜x1＜x2≤2，通过作差证明f（x1）＜f（x2）即可；（2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立，分，两种情况进行讨论即可；【解答】解：（1）当a=4时，，任取0＜x1＜x2≤2，则f（x1）﹣f（x2）==，因为0＜x1＜x2≤2，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，2]上是减函数；（2），当且仅当时等号成立，当，即0＜a≤4时，f（x）的最小值为；当，即a＞4时，f（x）在（0，2]上单调递减，所以当x=2时，f（x）取得最小值为，综上所述：．【点评】本题考查函数单调性的判断、函数在闭区间上的最值，考查基本不等式的应用，考查分类讨论思想．22．（6分）设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，线段OF1、OF2的中点分别为B1、B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．过B1作直线l交椭圆于P、Q两点．（1）求该椭圆的标准方程；（2）若PB2⊥QB2，求直线l的方程；（3）设直线l与圆O：x2+y2=8相交于M、N两点，令|MN|的长度为t，若t∈[4，]，求△B2PQ的面积S的取值范围．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．已知△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，可得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．即可得到椭圆的方程．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可设直线l的方程为x=my﹣2，代入椭圆的方程，得到根与系数的关系，利用PB2⊥QB2，⇔，即可得到m．（3）当斜率不存在时，直线l：x=﹣2，此时|MN|=4，，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），利用点到直线的距离公式可得圆心O到直线l的距离，可得t=，得k的取值范围；把直线l的方程代入椭圆的方程点到根与系数的关系，代入|B1B2|×|y1﹣y2|，再通过换元，利用二次函数的单调性即可得出S的取值范围．【解答】解：（1）设所求椭圆的标准方程为，右焦点为F2（c，0）．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，在Rt△AB1B2中，，从而a2=b2+c2=20．因此所求椭圆的标准方程为：．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可设直线l的方程为x=my﹣2，代入椭圆的方程．化为（5+m2）y2﹣4my﹣16=0．设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则，，又，B2P⊥B2Q，所以=（m2+1）y1y2﹣4m（y1+y2）+16===0，∴m2=4，解得m=±2；所以满足条件的直线有两条，其方程分别为：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．（3）当斜率不存在时，直线l：x=﹣2，此时|MN|=4，，当斜率存在时，设直线l：y=k（x+2），则圆心O到直线l的距离，因此t=，得，联立方程组：得（1+5k2）y2﹣4ky﹣16k2=0，由韦达定理知，，所以，因此．设，所以，所以，综上所述：△B2PQ的面积．【点评】本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力．23．（8分）已知数列{a n}满足，1+a1+a2+…+a n﹣λa n+1=0（其中λ≠0且λ≠﹣1，n∈N*），S n为数列{a n}的前n项和．（1）若，求λ的值；（2）求数列{a n}的通项公式a n；（3）当时，数列{a n}中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．【考点】83：等差数列的性质；84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；16：压轴题；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）由已知递推公式可求出a2，a3，结合已知，可求λ的值（2）由题意1+a1+a2+…+a n﹣λa n+1=0，则1+a1+a2+…+a n+a n+1﹣λa n+2=0，两式相减可得a n+1与a n+2的递推关系，结合等比数列的通项公式可求（3）假设存在任意三项a m，a k，a p成等差数列．由此入手能够导出数列{a n}存在a1，a2，a3或a3，a2，a1成等差数列．【解答】解：∵，1+a1+a2+…+a n﹣λa n+1=0∴1+a1﹣λa2=0即∴a2=同理可求，a3=∵∴∴（2）：由题意1+a1+a2+…+a n﹣λa n+1=0①1+a1+a2+…+a n+a n+1﹣λa n+2=0②由②﹣①得（1+λ）a n+1﹣λa n+2=0，又λ≠0，λ≠﹣1，n∈N*，∴故数列{a n}从第二项开始为等比数列∵a2=∴n≥2时，∴数列{a n}的通项（3））∵λ=，∴∵假设存在任意三项a m，a k，a p成等差数列①不防设当m＞k＞p≥2，∵当n≥2时，数列{a n}单调递增，∴2a k=a m+a p，∴2•（）•4k﹣2=（）•4m﹣2+（）•4p﹣2，∴2•4k﹣p=4m﹣p+1，由上式知：左边=偶数≠右边=奇数∴当n≥2时，数列{a n}不存在三项成等差数列．②假设存在成等差数列的三项中包含a1时不妨设m=1，k＞p≥2且a k＞a p，∵当n≥2时，a n＞a1，∴2a p=a1+a k，∴2•（）•4p﹣2=﹣+（）•4k﹣2，∴2•4p﹣2=﹣2+4k﹣2，∴2（2p﹣3）=22（k﹣2）﹣2，∵k＞p≥2，∴当且仅当k=3，p=2时成立，∴数列{a n}存在a1，a2，a3或a3，a2，a1成等差数列．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，探索数列{a n}中是否存在三项成等差数列．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．。
2013年上海中考一模数学分析
24、一线三等角或旋转型模型
几何综合题 25、黄金三角形 24、斜 A 型模型 25、旋转型模型
21、三角比实际应 24、通过角相等构造相似三角 25、重心的性质+分类讨论（相似
用（解三角形） 形
三角形）
24、函数的实际应 用（销售问题）+ 25、取水问题求最值 配方法求最值
26、旋转型模型+有公共边的斜 A 型+分类讨论（相似三角形）
22、三角比实际应 用（邻对，解三角 形）
24、分类讨论（相似三角形）
25、A 型或斜 A 型模型+射影定理 模型
22、三角比实际应 用（方向角）
24、分类讨论（相似三角形）
25、分类讨论（直线射线问题）
21、三角比实际应 用（仰角、俯角）
24、分类讨论（相似三角形）
25、翻折+分类讨论（直角）
22、圆的实际应用 24、点与圆的位置关系
区县 普陀
阅读理解题 25、[θ，n]变换
虹口
嘉定 16、覆盖·
杨浦、静 安、闵行、 浦东、松 江、崇明
16、黄金矩形
图形运动题 18、翻折 18、翻折
18、翻折
宝山
17、函数图像交点 的代数意义
奉贤 22、邻对
18、翻折
徐汇
闸北 长宁
17、等同于重心距 （2012 上海·17） 23、倍角三角形的 解法
25、分类讨论（相似三角形）
21、三角比实际应 用（仰角、俯角）
24、直线与圆的位置关系
24、分类讨论（角相等）
25、取水问题求最值
25、分类讨论（相似三角形）+三 垂直模型
易错题
18
18、中 心对称 图形的 面积等 分线
2013年中考上海嘉定区初三数学一模试卷答案
2012学年嘉定区九年级第一次质量调研数学试卷答案要点与评分标准说 明：1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果学生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分；2.第一、二大题若无特殊说明，每题评分只有满分或零分；答案若为分数，需要化成最简分数.3.第三大题中各题右端所注分数，表示学生正确解答到这一步应得分数；4.评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因学生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果学生的解答在某一步出现错误，影响后继部分而未改变本题解答的实质，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上不超过后继部分应得分数的一半；5.评分时，给分或扣分均以1分为基本单位.一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.C ；2.C ；3.B ；4.C ；5.A ；6.D . 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.316（或者315）； 8.b a 21-=； 9.31000； 10.1=m ；11.下降； 12.2-=x ； 13.（4,2）； 14.相离； 15.23； 16.1≥R ； 17.52； 18.2175.三、简答题（本大题共7题，满分78分）19.解：︒-︒︒+︒+︒⋅︒tan45cos45260cos 45sin 30cos 60cot =122221222333-⨯++⨯…………（6分）=22)223(2121)12(21221+=++=-++.……………………………（2+1+1）分20.解：过点A 作BC AH ⊥，交BC 于H ，交DG 于P （如图8）.…………（1分） ∵四边形DEFG ，EF 在BC 边上，∴DG ∥BC .…………………………………………………………………（1分）得 △ADG ∽△ABC .………………………………………………………（1分）∵DG ∥BC ，BC AH ⊥，∴DG AP ⊥.∴BCDG AHAP =.……………………………………………………………（1分）在△ABC 中，∵AC AB =，BC AH ⊥，16=BC ，∴821==BC BH .68102222=-=-=BHABAH .…………………………………（1分）∵BC PH ⊥，BC DE ⊥，∴PH ∥DE .又DG ∥BC ， ∴DEPH =.∴x PH AH AP -=-=6.…（1分） 由x AP -=6，6=AH ，16=BC 得1666DGx =-.………………………………………………………………（1分） 解得 )6(38x DG -=.……………………………… ……………………（1分）∴23816)6(38x x x x y -=-⨯=.………………………………………（1分）定义域为60<<x .…………………………………………………………（1分）21.解：（1）∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC .∴2)(ABAD S S ABCADE =∆∆.………（1+1分）∵DB AD 21=，∴AB AD 31=. ∴91=∆∆ABC ADE S S .…………………………（1分）又∵16=DBCES 四边形，∴9116=+∆∆ADE ADE S S .解得 2=∆ADE S .………………（1分）∴18216=+=∆ABC S .………………………………………………………（1分）（2）∵向量a AD=，向量b AE =，∴向量a b DE -=.…………………（1分）∵DE ∥BC ，∴ABAD BCDE =.………………………………………………（1分）∵AB AD 31=，∴DE BC 3=.………………………… … ……………（1分）∴ 向量a b a b BC33)(3-=-=.………………… ……… ……………（2分）22.解：（1）过点E 作OG EH ⊥，垂足为点H . ……………（1分） 小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH 的长. 根据题意，可知︒=∠=∠4521EOF EOH .………………（1分）在EOH △Rt 中，∵OEOH EOH =∠cos ，∴22545cos 50cos =︒⨯=∠⋅=EOH OE OH . …… （2分）A BCDE F G图8 P H G 图10∴22550-=-=OH OG GH .…………………………（2分） （2）联结EG .…………………………………………………（1分）在EOH △Rt 中，22545sin =︒⋅=OE EH .…………（1分）∴1222522550cot -=-==∠EHGH OGE .……………（2分）23.解：（1）∵AB DE ⊥，BE FE =，∴DB DF =，B DFE ∠=∠.………………………………（1分） ∵DF 平分CFB ∠，∴BFD CFD ∠=∠.∵B DFE ∠=∠，∴B CFD ∠=∠. …… …………（1分） 又∵FCB DCF ∠=∠，∴△DCF ∽△FCB . ………………（1分） ∴FBDF CBCF =.………………………………………………（2分）∵DB DF =，∴FBDB CBCF =. …………………………（1分）（2）在R t A B C △中，由10=AB ，43tan =B ，易得53sin =B ，54cos =B ，6=AC ，8=BC .………………………（1分）过点C 作AB CH ⊥，垂足为H （如图11-2）. 在Rt △BCH 中，524538sin =⨯=⋅=B BC CH .………………………（1分）532548cos =⨯=⋅=B BC BH .设x BD 5=（备注：也可以设x BD =），在Rt △BDE 中，x x B BD DE 3535sin =⨯=⋅=，x x B BD BE 4545cos =⨯=⋅=.由x BE EF 4==，可得x BF BH HF 8532-=-=. …………………（1分）由CF DF ⊥，易得︒=∠+∠90CFH DFE ，又︒=∠+∠90CFH FCH ，∴DFE FCH ∠=∠.方法1：∴DFE FCH ∠=∠tan tan .………………………………………（1分） ∵354tan x CHFH FCH -==∠，43tan tan =∠=∠B DFE ，∴43354=-x . …………………………………（1分）解得475=x .即47=BD .………………………（1分）方法2：∴△HCF ∽△EFD . …………………（1分） ∴EF CH EDHF =.将x HF 8532-=，x DE 3=，x EF 4=，524=CH 代入上式，得ABCDE F 图11ABC图11-2F H D Exx x452438532=-. ……………………………………………………………………（1分）解得 475=x .即47=BD .………………………………………………………（1分）24.解：（1）由抛物线c ax ax y ++=42经过)4,0(A ，(-3,1)B ，得⎩⎨⎧=+-=.1129,4c a a c ……………………………………………………………（1分）解这个方程组，得⎩⎨⎧==.1,4a c ……………………………………………………（1分）因此，所求的抛物线的表达式为442++=x x y .…………………………………（1分） 由22)2(44+=++=x x x y ，易得顶点C 的坐标为（2-，0）.…………（1分） （2）因为点D 是将抛物线442++=x x y 沿y 轴向上 平移m （0>m ）个单位所得新抛物线与y 轴的交点. 所以，点D 必定在点A 的上方（如图12-1），得 ︒=∠>∠90AOC DAC .………………………………（1∵△ACD 是等腰三角形，∴AC AD =.………………（1 在Rt △AOC 中，2=OC ，4=OA ，由勾股定理可得 52422222=+=+=OAOCAC .∴52==AC AD ，524+=+=AD OA OD .……（1 ∴点D 的坐标为（0，524+）.………………………（1分） （3）因为点P 在抛物线2)2(+=x y 的对称轴上，故 可设点P 的坐标为（2-，n ）.由题意知：O P PO '=，︒='∠90O OP . 过点O '作CP E O ⊥'，垂足为E .∵︒=∠+'∠90OPC PE O ，︒=∠+∠90OPC POC . ∴POC PE O ∠='∠.∵︒=∠='∠90PCO EP O ，POC PE O ∠='∠，O P PO '=，∴△PE O '≌△POC .∴PC E O ='，OC PE =.当点P 在第二象限时（如图12-2），n PC E O =='，2==OC PE ，n EC +=2.故而可得点O '的坐标为（2-n ，2+n ）.……（1分） 备注：若点O '在第一象限，其坐标也是（2-n ，2+n ），下同.图12-2xy∵点O '（2-n ，2+n ）恰好在2)2(+=x y 上，∴2)22(2+=+-n n . 整理，得 022=--n n .解得 21=n ，12-=n（舍去）. 故可得点P （2-，2）.……………………………（1分） 当点P 在第三象限时（如图12-3），n PC E O -=='，2==OC PE ，n EC +=2.由此可得点O '的坐标为（2-n ，2+n ）……（1分） ∵O '（2-n ，2+n ）在抛物线2)2(+=x y 上， ∴ 2)22(2+=+-n n .整理，得 022=--n n ，解得21=n （舍去），12-=n . 故而可知P （2-，1-）. ………（1分）图12-3xy25.解：（1）方法1：联结OA 、OB 、OC （如图13-1），易得OC OA OB ==.在⊙O 中，∵，∴AC AB =.…………………… ……（1分）∵OC OB =，OA OA =，AC AB =，∴△AOB ≌△AOC .∴CAO BAO ∠=∠. ………………………………………………（1又 ∵OC OA =，∴OCA CAO ∠=∠.∴OCABAO ∠=∠.∵CE AD =，OCA BAO ∠=∠，OCOA =，∴△AOD ≌△COE .…………………………………………（1分）∴OE OD =. ……………………………………………………（1分） 方法2：在⊙O 中，∵，∴AC AB =. …………………（1过点O 分别作AB OM ⊥，AC ON ⊥，垂足分别为M 、N （如图∵AB OM ⊥，AC ON ⊥，∴AB AM 21=，AC CN 21=.由 AC AB =易得 ON OM =，CN AM =.……………………（1分） ∵CE AD =，CN AM =，∴CN CE AM AD -=-，即 EN DM =. ∵EN DM =，︒=∠=∠90ONE OMD ，ON OM =，∴△ODM ≌△OEN . ……………………………………………………（1分） ∴OE OD =. ……………………………………………………………（1分） （2）如图13-3，在△BOC 中，由2==OC OB ，22=BC 8222222=+=+OCOB，8)22(22==BC.∴222BC OCOB =+. ∴︒=∠90BOC . ………（1+1分）∵，O 是圆心，∴︒=︒⨯=∠=∠=∠45902121BOC AOB AOC . ………………………………（1分）∵△AOD ≌△COE ，∴COE AOD ∠=∠.………………………………………（1分） ∴︒=∠=∠+∠=∠+∠=∠45AOC AOE COE AOE AOD DOE .……………（1分） 若使用锐角三角比或其他方法，请参照评分.（3）当点D 在弦AB 上运动时，四边形ADOE 的面积不变.理由如下：…………（1分）∵CAO BAO ∠=∠，︒=∠120BAC∴︒=︒⨯=∠=∠601202121BAC CAO ，……………（1又∵OC OA =，∴△AOC 是等边三角形.∴2==OC AC .…………………………………………（1由（1）中的△AOD ≌△COE ，可知COE AOD S S ∆∆=. ∴AOC AOE COE AOE AOD ADOES S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四边形.……（1分）过点O 作AC ON ⊥，垂足为N ，易得360sin =︒⋅=OA ON ，图13-1 图13-2图13-3图13-4∴3322121=⨯⨯=⋅=∆ON AC S ACD . …………………（1分）。
2013年上海市长宁区中学考试数学一模试卷及问题详解
实用文档2013年上海市长宁区中考数学一模试卷（满分150分，考试时间100分钟）2013.1月考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一. 选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂在答题纸的相应位置上．】?C?90?AABC等于（已知△中，），则cos 1.BCAC BCAB A. B. C. D. ABAB ACAC a?baAB?bAD?ABCD等于（）2. 如图，在平行四边形，中，如果，那么ACCA DBBD．C．B． DA．OABOCOACB一定是（的弦）垂直平分半径3. 如图，圆，则四边形A．正方形B．长方形C．菱形D．梯形123?(x?5)y??已知抛物线4. ），下列说法正确的是（33)(5，3)(5，．开口向上，顶点坐标A．开口向下，顶点坐标B3)(?5，3)(?5，．开口向下，顶点坐标 C D．开口向上，顶点坐标ABCBCFG//BCAB被截成三等分，，若是等边三角形，被一平行于)的矩形所截(5. 如图，△即：ABC的面积的（则图中阴影部分的面积是△）1214Ｂ．Ｃ．Ａ．Ｄ．9939AHEDCGF ABCB题图第2题图5 第题图3第实用文档2mmmx?y?m?02?2xy??mx?）是常数，且和函数（6.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（）．．．．DA ．C ．B 48分）题，每题4分，满分二．填空题：（本大题共12【请将结果直接填入答题纸的相应位置】3xy?2x??yx、，则．已知实数满足7.2yy2DEF，，ABCDEF ABC则△若△3:1278. 已知，两个相似的△与△的周长是的最短边的长度之比是．的周长为S ABG?ABCABC，G 9. 已知△的重心，则中．是△?SABC?2yxxy 个单位后，得到新的抛物线轴方向向下平移+210. 在直角坐标平面内，抛物线沿=-3＋2 ．解析式为2 ycy -x侧图像上升（填“左”或“右”）．在直角坐标平面内，抛物线轴=＋在11..度，就能与原来的图形重合12. 正八边形绕其中心至少要旋转题图第16 第17题图题图第14 题图第12ddMABOMABO的取值范是弦上一动点，设线段，则=已知圆⊙13. ，弦的直径为10，的长度为8 围是．他所在位置的竖米长的路程时，130如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过14.．米，则该坡道的坡比是50直高度下降了cm.cmcm 6 已知两圆相切，圆心距为15.2 ，其中一个圆的半径是，则另一个圆的半径是____实用文档AEAD?，AD=EACAB，ABC，AB=，AC=D、则分别是直线9316.已知△中和且6上的点，若ABAC BE=．AB，ACDCDDABC，边上一点，△沿，，翻折是17. 如图，已知Rt△???B30?90ACB??=E，BC A点处．点恰好落在则边上的EDB?cot ADECBP2满分;分;25题142410分；第23、题,每题1219--22三、解答题：(本大题共7题,第题,每题78分）分?tan45?tan30-3??sin45?. 计算：19.2ba的起点、终点都是小已知向量和20.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1, 请完成下列问题：正方形的顶点.????????. 22ban?5?b?6?3a35、mn判断向量是否平111）设：1，（?b?m34b?aa?423行，说明理由；33?4bba4?a）在正方形网格中画出向量：2，并写出（22. （不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）的模.实用文档ABCDAD//BCAB=CDADBCB=45o=3,21.如图，等腰梯形, 中，,=7,,∠PBCECDBAPE. =边上，∠在边上，∠在（1）求等腰梯形的高；ABP∽PCE.△（2）求证：△，有一辆卡车驶入该积水路段。
2013嘉定理答案
2012学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷（理）参考答案与评分标准一．填空题（每小题4分，满分56分）1．i -2 2．}12{-<<-x x 3．π 4．25．⎥⎦⎤⎝⎛710,45 6．37 7．1511 8．2433R π9．2412+=x y 10．2 11．2112．213．45 14．)2,1[二．选择题（每小题5分，满分20分）15．A 16．C 17．B 18．D 三．解答题 19．（本题满分12分）方程0222=+-x x 的根为i x ±=1．………………（3分）因为z 在复平面内对应的点在第一象限，所以i z +=1，………………（5分）所以⎩⎨⎧=+=-1)cos 1(21sin 422θθa ，解得21cos -=θ，因为),0(πθ∈，所以32πθ=，……（8分）所以43sin 2=θ，所以4sin 4122=+=θa ，故2±=a ．…………（11分）所以3πθ2=，2±=a ．…………（12分）20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分） （1）取PA 中点E ，PB 中点F ，BC 中点G ， 连结EF ，FG ，EG ，则EF ∥AB ，FG ∥PC ， 所以EFG ∠就是异面直线AB 与PC 所成的角（或 其补角）．…………（2分） 连结AG ，则522=+=CGAC AG ，……（3分）622=+=AGEA EG ， …………（4分）又22==PC AB ，所以2==FG EF ．…………（5分）在△EFG 中，212cos 222-=⋅-+=∠FGEF EGFG EFEFG ，……（7分）故︒=∠120EFG ．所以异面直线AB 与PC 所成角的大小为︒60．…………（8分） （2）因为⊥PA 底面ABC ，所以AB PA ⊥，BC PA ⊥，AC PA ⊥， 又AC BC ⊥，所以⊥BC 平面PAC ，所以PC BC ⊥，…………（2分） 所以△ABC 、△PAB 、△PBC 、△PAC 都是直角三角形．……（3分） 所以，24421212121+=⋅+⋅+⋅+⋅=AC PA PC BC AB PA BC AC S ．……（6分）G P ABC FE21．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） （1）将)1,1(与⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,26代入椭圆C 的方程，得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+143231112222b aba ，…………（2分） 解得32=a ，232=b ．…………（5分） 所以椭圆C 的方程为132322=+y x．…………（6分）（2）由||||MB MA =，知M 在线段AB 的垂直平分线上，由椭圆的对称性知A 、B 关于原点对称．①若点A 、B 在椭圆的短轴顶点上，则点M 在椭圆的长轴顶点上，此时 2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b aabbOM OB OA ．……（1分）同理，若点A 、B 在椭圆的长轴顶点上，则点M 在椭圆的短轴顶点上，此时 2112211||2||1||122222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=++b abaaOM OB OA ．……（2分）②若点A 、B 、M 不是椭圆的顶点，设直线l 的方程为kx y =（0≠k ）， 则直线OM 的方程为x ky 1-=．设),(11y x A ，),(22y x M ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=132322y x kx y ，解得221213k x +=，2221213k k y +=，……（4分） 所以2221212221)1(3||||kk y x OB OA ++=+==，同理可得2222)1(3||kk OM ++=，所以2)1(3)2(2)1(321)1(321||2||1||1222222222=++++++++=++k k k kk kOM OB OA ．……（7分）综上，222||2||1||1OM OB OA ++为定值2．…………（8分）（1）由题意，得⎩⎨⎧+=+=q pS S q pa S 2312，……（2分）即⎩⎨⎧+=-++=q p p q q p 33323 ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==221q p ．…………（4分） （2）由（1）知，2211+=+n n S S ①当2≥n 时，2211+=-n n S S ② …………（1分）①－②，得n n a a 211=+（2≥n ），又1221a a =，…………（3分）所以数列}{n a 是首项为2，公比为21的等比数列．…………（4分） 所以}{n a 的通项公式为221-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n na （*N ∈n ）．…………（6分）（3）由（2），得⎪⎭⎫⎝⎛-=n n S 2114，…………（1分） 由1221+<--+m m n n m S m S ，得122211421141+<-⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+m m n nmm ，即12222)4(42)4(+<-⋅--⋅-m m nn m m ， 即12122)4(2+>-⋅-mn m ．因为012>+m ，所以22)4(>⋅-n m ， 所以4<m 且422)4(21+<⋅-<+m n m ， （*）因为*N ∈m ，所以1=m 或2或3．……………………（2分）当1=m 时，由（*）得8232<⨯<n，所以1=n ； …………（3分）当2=m 时，由（*）得12222<⨯<n ，所以1=n 或2； …………（4分）当3=m 时，由（*）得2022<<n，所以2=n 或3或4． …………（5分）综上可知，存在符合条件的正整数m 、n ，所有符合条件的有序整数对),(n m 为：)1,1(，)1,2(，)2,2(，)2,3(，)3,3(，)4,3(． …………（6分）（1）当2=a ，]3,0[∈x 时，⎪⎩⎪⎨⎧<≤+-≥=+-⋅=.20,4;2,2|2|)(22x x x x x x x x x f …（2分）作函数图像（图像略），可知函数)(x f 在区间]3,0[上是增函数，所以)(x f 的最大值为9)3(=f ．…………（4分）（2）⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=.,)2(,,)2()(22a x x a x a x x a x x f ……（1分）①当a x ≥时，4)2(22)(22--⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <-22，所以)(x f 在),[∞+a 上单调递增．…………（3分）②当a x <时，4)2(22)(22++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=a a x x f ， 因为2>a ，所以a a <+22，所以)(x f 在⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-22,a 上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上单调递减．…………（5分）综上，函数)(x f 的单调递增区间是⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a ， 单调递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22．………………（6分）（3）①当22≤≤-a 时，022≤-a ，022≥+a ，所以)(x f 在),(∞+-∞上是增函数，关于x 的方程)()(a f t x f ⋅=不可能有三个不相等的实数解．…………（2分）②当42≤<a 时，由（1）知)(x f 在⎥⎦⎤⎝⎛+∞-22,a 和),[∞+a 上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+a a ,22上是减函数，当且仅当4)2()(22+<⋅<a a f t a 时，方程)()(a f t x f ⋅=有三个不相等的实数解． 即⎪⎭⎫⎝⎛+4+=+<<4818)2(12a a aa t ．…………（5分） 令aa a g 4)(+=，)(a g 在]4,2(∈a 时是增函数，故5)(max =a g ．…………（7分）所以，实数t 的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛89,1．…………（8分）。
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JD(嘉定)
13．观察下列算式：
113
=，
5323
+=， 119733++=，
1917151343
+++=， … … … …
若某数3m 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2013”这个数，则=m 45 ．
解：第m (m >1)行第一个数是m 2-(m -1)，最后一个数是m 2+(m -1)，令m 2-(m -1)≤2013≤m 2
+(m -1)，
即⎩⎨⎧≥-+≤--020*********m m m m ⇒⎩
⎨⎧≥+≤-2014)1(2012)1(m m m m ⇒⎩⎨⎧≥≤4545
m m ⇒m =45.
14．设m 、n ∈R ，定义在区间[m , n ]上的函数|)|4(log )(2x x f -=的值域是[0, 2]，若关于t
的方程()01|
|2
1=++m t (t ∈R )有实数解，则m +n 的取值范围是 [1,2) . 解：()01||2
1=++m t (t ∈R )有实数解⇒()]1,0(1|
|2
1∈=--t m ⇒-2≤m <-1； |)|4(log )(2x x f -=的值域是[0, 2]⇒1≤4-|x |≤4⇒0≤|x |≤3，此式对于m ≤x ≤n 时成立，
且-2≤m <-1，则必有n =3，∴1≤m +n <2.
17. 在平面直角坐标系内，设),(11y x M 、),(22y x N 为不同的两点，直线l 的方程为
0=++c by ax ， c
by ax c by ax ++++=
2211δ．有四个命题：①存在实数δ，使点N 在直线l
上；②若1=δ，则过M 、N 两点的直线与直线l 平行；③若1-=δ，则直线l 经过
线段MN 的中点；④若1>δ，则点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 的延长线相交．上述命题中，全部真命题的序号是( B )
(A)①②③ (B)②③④ (C)①③④ (D)①②③④ 解：N 在直线l 上 022=++c by ax ，此时δ不存在，故①错，从而(A)(C)(D)均错，可立选(B). 现
正
面
分
析
②
③
④
为
什
么
对
：
若
1
=δ，则
0)()(1212=-+-y y b x x a ⇒0),(=⋅b a MN ，
即直线MN 的方向向量与l 的法向量垂直，且因02211≠++=++c by ax c by ax ，故直线
MN
与
l
平
行
，
②对
；若1-=δ，则
02)()(1212=++++c y y b x x a ⇒02
2
1
21
2=+⋅
+⋅
++c b a y y x x
⇒线段MN 的中点在l 上，③对；若1>δ，则
012211>>++++c
by ax c by ax ⇒)(11c by ax ++0)(22>++c by ax
⇒
2
2
222
2
11b
a c
by ax b
a c by ax ++++++⋅
>0⇒点M 、N 在直线l 的同侧，又，不妨设022>++c by ax ，由
1>δ，
得
02
2
222
2
11>>
++++++b
a c
by ax b
a c by ax ，即d m -l >d N -l ，故直线l 与线段MN 的延长线相交.
18. 设函数)(x f y =是定义在R 上以1为周期的函数，若函数x x f x g 2)()(-=在区间
]3,2[上的值域为]6,2[-，则)(x g 在区间]12,12[-上的值域为( D )
A ．]6,2[-
B ．]28,24[-
C ．]32,22[-
D ．]34,20[- 解：)()1(x f x f =+⇒x x g x x g 2)()1(2)1(+=+++⇒2)()1(-=-+x g x g ，由此知自
变量增大1，函数值就减少2，已知)(x g 在区间]3,2[上的值域为]6,2[-，自变量由2减小到-12，则函数值增加了2×14=28；自变量由3增加到12，则减少了2×9=18.故函数)(x g 在区间]12,12[-上的值域为[-2-18, 6+28]=[-20, 34]，选D .。