【优化指导】2015年高中数学 3.2简单的三角恒等变换学业达标测试 新人教A版必修4
2015届高考数学(基础过关+能力训练)：三角函数、三角恒等变换及解三角形 三角函数的综合应用(含答案)
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第9课时 三角函数的综合应用1. 若函数f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx [ω>0]的最小正周期为π，则ω＝________．答案：1解析：由于f[x]＝cos ωxcos ⎝⎛⎭⎫π2－ωx ＝12sin2ωx ，所以T ＝2π2ω＝＝1.2. 在△ABC 中，若∠B ＝π4，b ＝2a ，则∠C ＝________.答案：7π12解析：根据正弦定理可得a sinA ＝b sinB ，即a sinA ＝2a sin π4，解得sinA ＝12.因为b ＝2a>a ，所以A<B ，所以A ＝π6，所以C ＝π－A －B ＝7π12.3. 已知tanx －1tanx ＝32，则tan2x ＝________．答案：－43解析：由tanx －1tanx ＝32，可得tanx 1－tan 2x ＝－23，所以tan2x ＝2tanx 1－tan 2x＝－43. 4. 已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，1，b ＝[4，4cos α－3]，若a ⊥b ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝________．答案：－14解析：a·b ＝4sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋4cos α－3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝14.所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋4π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－14.5. 设函数f[x]＝cos[ωx ＋φ]－3sin[ωx ＋φ]⎝⎛⎭⎫ω>1，|φ|<π2，且其图象相邻的两条对称轴为x 1＝0，x 2＝π2，则φ＝________．答案：－π3解析：由已知条件，得f[x]＝2cos[ωx ＋φ＋π3]，由题意得T 2＝π2，∴ T ＝π.∴ T ＝2πω，∴ ω＝2.∵ f[0]＝2cos ⎝⎛⎭⎫φ＋π3，x ＝0为f[x]的对称轴，∴ f[0]＝2或－2.∵ |φ|<π2，∴ φ＝－π3.6. 已知函数f[x]＝2sinx ，g[x]＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ，直线x ＝m 与f[x]，g[x]的图象分别交于M 、N 两点，则|MN|的最大值为________．答案：2 2解析：构造函数F[x]＝2sinx －2cosx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，故最大值为2 2.7. 已知f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3[ω>0]，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f[x]在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3有最小值，无最大值，则ω＝________．答案：143解析：由题意知直线x ＝π6＋π32＝π4为函数的一条对称轴，且ω×π4＋π3＝2k π－π2[k ∈Z ]，∴ ω＝8k －103[k ∈Z ]． ①又π3－π6≤2πω[ω>0]，∴ 0<ω≤12. ② 由①②得k ＝1，∴ ω＝143.8. 已知函数f[x]＝sin[2x ＋φ]，其中φ为实数．f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，则f[x]的单调递增区间是________． 答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3[k ∈Z ]解析：由x ∈R ，有f[x]≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6知，当x ＝π6时f[x]取最值，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，∴ π3＋φ＝±π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π[k ∈Z ]．∵f ⎝⎛⎭⎫π2>f[π]，∴ sin[π＋φ]>sin[2π＋φ]，∴ －sin φ>sin φ，∴ sin φ<0.∴ φ取－5π6＋2kπ[k ∈Z ]．不妨取φ＝－5π6，则f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π6.令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π[k ∈Z ]，∴ π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π[k ∈Z ]，∴ π6＋k π≤x ≤2π3＋k π[k ∈Z ]．∴ f[x]的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π[k ∈Z ]．9. 在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c.[1] 若c ＝2，C ＝π3，且△ABC 的面积为3，求a ，b 的值；[2] 若sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，试判断△ABC 的形状．解：[1] ∵ c ＝2，C ＝π3，∴ 由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ，得a 2＋b 2－ab ＝4. ∵ △ABC 的面积为3， ∴ 12absinC ＝3，ab ＝4. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.[2] 由sinC ＋sin[B －A]＝sin2A ，得sin[A ＋B]＋sin[B －A]＝2sinAcosA ， 即2sinBcosA ＝2sinAcosA ，∴ cosA ·[sinA －sinB]＝0，∴ cosA ＝0或sinA －sinB ＝0， 当cosA ＝0时，∵ 0＜A ＜π，∴ A ＝π2，△ABC 为直角三角形；当sinA －sinB ＝0时，得sinB ＝sinA ，由正弦定理得a ＝b ，即△ABC 为等腰三角形． ∴ △ABC 为等腰三角形或直角三角形．10. 已知函数f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32[ω∈R ，x ∈R ]的最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π6对称．[1] 求f[x]的解析式；[2] 若函数y ＝1－f[x]的图象与直线y ＝a 在⎣⎡⎦⎤0，π2上只有一个交点，求实数a 的取值范围．解：[1] f[x]＝3sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋32＝32sin2ωx －12[1＋cos2ωx]＋32＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π6＋1.∵ 函数f[x]的最小正周期为π，∴ 2π|2ω|＝π，即ω＝±1，∴ f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫±2x －π6＋1.① 当ω＝1时，f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6＋1不是函数的最大值或最小值，∴ 其图象不关于x ＝π6对称，舍去．② 当ω＝－1时，f[x]＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1，∴ f ⎝⎛⎭⎫π6＝－sin π2＋1＝0是最小值，∴ 其图象关于x ＝π6对称．故f[x]的解析式为f[x]＝1－sin ⎝⎛⎫2x ＋π6.[2] y ＝1－f[x]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，在同一坐标系中作出y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6和y ＝a 的图象：由图可知，直线y ＝a 在a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1时，两曲线只有一个交点，∴ a ∈⎣⎡⎭⎫－12，12或a ＝1.11. [2013·江苏]如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1 min 后，再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min ，山路AC 长为1 260 m ，经测量，cosA ＝1213，cosC ＝35.[1] 求索道AB 的长；[2] 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？[3] 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：[1] 在△ABC 中，因为cosA ＝1213，cosC ＝35，所以sinA ＝513，sinC ＝45.从而sinB ＝sin[π－[A ＋C]]＝sin[A ＋C]＝sinAcosC ＋cosAsinC ＝513×35＋1213×45＝6365.由正弦定理AB sinC ＝ACsinB ，得AB ＝AC sinB ×sinC ＝1 2606365×45＝1 040[m]．所以索道AB 的长为1 040 m.[2] 假设乙出发t min 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了[100＋50t]m ，乙距离A 处130t m ，所以由余弦定理得d 2＝[100＋50t]2＋[130t]2－2×130t ×[100＋50t]×1213＝200[37t 2－70t ＋50]，因0≤t ≤1 040130，即0≤t ≤8，故当t ＝3537[min]时，甲、乙两游客距离最短．[3] 由正弦定理BC sinA ＝AC sinB ，得BC ＝AC sinB ×sinA ＝1 2606365×513＝500[m]．乙从B 出发时，甲已走了50×[2＋8＋1]＝550[m]，还需走710 m 才能到达C.设乙步行的速度为v m/min ，由题意得－3≤500v －71050≤3，解得1 25043≤v ≤62514，所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3 min ，乙步行的速度应控制在⎣⎡⎦⎤1 25043，62514[单位：m/min]范围内．。
2015届高三数学(理)一轮复习训练——三角恒等变换及解三角形(人教版)
步骤规范练——三角恒等变换及解三角形(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2013·山东师大附中月考)化简sin 2 35°－12cos 10°cos 80°＝( )．A ．－2B ．－12 C ．－1D ．1解析 sin 2 35°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°·sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案 C2．(2014·潮州二模)在△ABC 中，A ＝π3，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则边AC 的长为 ( )．A ．1 B. 3 C ．2D. 2解析 由题意知S △ABC ＝12×AB ×AC ×sin A ＝12×2×AC ×32＝32，∴AC ＝1. 答案 A3．(2013·成都五校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )．A.12 B ．－12 C.22D ．－22解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4. 又cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，2α＝π4－α或2α＋π4－α＝0，∴α＝π12或α＝－π4(舍)． ∴sin 2α＝sin π6＝12，故选A. 答案 A4．(2014·中山模拟)已知角A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝－34，则sin A －cos A ＝( )．A.72 B ．－72 C ．－12D.12解析 ∵A 为△ABC 的内角，且sin 2A ＝2sin A cos A ＝－34＜0，∴sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＞0.又(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝74.∴sin A －cos A ＝72. 答案 A5．(2013·临沂一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2 A ＋sin 2 C －sin 2 B ＝3sin A sin C ，则角B 为 ( )．A.π6B.π3C.23πD.56π解析 由正弦定理可得a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝3ac 2ac ＝32，所以B ＝π6. 答案 A6．(2013·湛江二模)若三条线段的长分别为3,5,7，则用这三条线段 ( )．A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形解析设能构成三角形的最大边为a＝7，所对角为A，则cos A＝32＋52－72 2×3×5＝－12＜0，故A为钝角，即构成的三角形为钝角三角形．答案 C7．(2013·安徽卷)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝()．A.π3 B.2π3C.3π4 D.5π6解析由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝53b，代入b＋c＝2a中，得c＝73b.由余弦定理，得cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝2π3.答案 B8．(2013·东北三校联考)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝()．A.2525 B.255C.2525或255 D.55或2525解析α，β都是锐角，当cos α＝55时，sin α＝255.因为cos α＝55＜12，所以α＞60°.又sin(α＋β)＝35＜32，所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.显然α＋β＜60°不可能，所以α＋β为钝角．又sin(α＋β)＝35，因此cos(α＋β)＝－45， 所以cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝－45＋6525＝2525.答案 A9．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝ ( )．A ．10B ．9C ．8D ．5解析 化简23cos 2A ＋cos 2A ＝0，得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝15.由余弦定理，知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，代入数据，得b ＝5. 答案 D10．(2013·天津卷)在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝( )．A.1010B.105C.31010D.55解析 由余弦定理，得AC 2＝BA 2＋BC 2－2BA · BC cos B ＝(2)2＋32－2×2×3cos π4＝5. ∴AC ＝5，由正弦定理BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，得sin ∠BAC ＝BC ·sin ∠ABC AC ＝3×sin π45＝3×225＝31010. 答案 C 二、填空题11．(2013·浙江五校联盟联考)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝34，且x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，则cos 2x 的值为________．解析 sin 2x ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝－18，∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－π4，∴2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2.∴cos 2x ＝－1－sin 2 2x ＝－378. 答案 －37812．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，且AB ＝1，BC ＝4，则边BC 上的中线AD 的长为________．解析 由△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，可得B ＝60°.又在△ABD 中，AB ＝1，BD ＝2，由余弦定理可得AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B ＝ 3. 答案313．(2013·济宁期末考试)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b ＝1，c ＝3，C ＝23π，则S △ABC ＝________.解析 因为c ＞b ，所以B ＜C ，所以由正弦定理得b sin B ＝c sin C ，即1sin B ＝3sin 2π3＝2，即sin B ＝12，所以B ＝π6，所以A ＝π－π6－2π3＝π6.所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×12＝34. 答案 3414．(2014·天水模拟)f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，则f (x )的最小值为________ .解析 f (x )＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos 2x －1＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，因为π4≤x ≤π2，所以π6≤2x －π3≤2π3，所以12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1，所以1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤2，即1≤f (x )≤2，所以f (x )的最小值为1. 答案 1 三、解答题15．(2013·新课标全国Ⅰ卷)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°.(1)若PB ＝12，求P A ；(2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA .解 (1)由已知得∠PBC ＝60°，所以∠PBA ＝30°.在△PBA 中，由余弦定理，得P A 2＝3＋14－2×3×12cos 30°＝74. 故P A ＝72.(2)设∠PBA ＝α，由已知得PB ＝sin α. 在△PBA 中，由正弦定理，得3sin 150°＝sin αsin (30°－α)，化简得3cos α＝4sin α.所以tan α＝34，即tan ∠PBA ＝34.16．(2013·江西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0. (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围． 解 (1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0＜B ＜π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，所以b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0＜a ＜1，于是有14≤b 2＜1，即有12≤b ＜1. 故b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1.17．(2013·潍坊一模)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos B ＋3b sin A ＝c . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝1，AB →·AC →＝3，求b ＋c 的值． 解 (1)由a cos B ＋3b sin A ＝c ，得 sin A cos B ＋3sin B sin A ＝sin (A ＋B )， 即 3sin B sin A ＝cos A sin B ， 所以tan A ＝33，故A ＝π6.(2)由AB →·AC →＝3，得bc cos π6＝3，即bc ＝23，① 又a ＝1，∴1＝b 2＋c 2－2bc cos π6，②由①②可得(b ＋c )2＝7＋43，所以b ＋c ＝2＋ 3.18．(2013·重庆卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2＋2ab ＝c 2. (1)求C ；(2)设cos A cos B ＝325，cos (α＋A )cos (α＋B )cos 2α＝25，求tan α的值． 解 (1)因为a 2＋b 2＋2ab ＝c 2，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－2ab 2ab ＝－22， 故C ＝3π4. (4)由题意得(sin αsin A －cos αcos A )(sin αsin B －cos αcos B )cos 2 α＝25，因此(tan αsin A －cos A )(tan αsin B －cos B )＝25，tan 2αsin A sin B －tan α(sin A cos B ＋cos A sin B )＋cos A cos B ＝25， tan 2αsin A sin B －tan αsin(A ＋B )＋cos A cos B ＝25.① 因为C ＝3π4，所以A ＋B ＝π4， 所以sin(A ＋B )＝22，因为cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ， 即325－sin A sin B ＝22， 解得sin A sin B ＝325－22＝210. 由①得tan 2α－5tan α＋4＝0， 解得tan α＝1或tan α＝4.。
人教版高中数学必修四3.2 简单的三角恒等变换(三) 【导学案】(有答案)
三角恒等变换（三）一、两角和与差的正弦、余弦与正切公式1．两角和的余弦公式（简记C （α+β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-． 2．两角差的余弦公式（简记C （α－β））：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．3．两角和（差）余弦公式的公式特征：①左加号，右减号；②同名函数之积的和与差；③α、β叫单角，α±β叫复角，通过单角的正、余弦求和（差）的余弦值；④“正用”、“逆用”、“变用”． 4．两角和的正弦公式（简记S （α+β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+． 5．两角差的正弦公式（简记S （α－β））：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．6．两角和（差）正弦公式的公式特征及用途：①左右运算符号相同；②右方是异名函数之积的和与差，且正弦值在前，余弦值在后．用途：可以由单角的三角函数值求复角（和角与差角）的三角函数值． 7．两角和的正切公式（简记T （α+β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-．8．两角差的正切公式（简记T （α－β））：tan tan tan()1tan tan αβαβαβ--=+．9．两角和（差）正切公式的公式特征及公式变形：①左边的运算符号与右边分子的运算符号相同，右边分子分母运算符号相反； ②,,()222k k k k πππαπβπαβπ≠+≠++≠+∈Z ．公式变形：①tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ-=-+； ②tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-．）．A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案：C解析：∵sin47°＝sin （30°＋17°）＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°，∴原式＝sin30°cos17°＋sin17°cos30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12．例2已知sin α＝1517，cos β＝－513，α∈（π2，π），β∈（π2，π），求sin （α＋β），sin （α－β）的值．解：∵sin α＝1517，α∈（π2，π），∴cos α＝－1－(1517)2＝－817．∵cos β＝－513，β∈（π2，π），∴sin β＝1－(－513)2＝1213，∴sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β＝1517×（－513）＋（－817）×1213＝－75＋96221＝－171221，sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β＝1517×（－513）－（－817）×1213＝21221．例3求值：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°；（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°． 解：（1）（tan10°－3）•cos10°sin50°＝（tan10°－tan60°）•cos10°sin50°＝⎝⎛⎭⎫sin10°cos10°－sin60°cos60°•cos10°sin50° ＝sin10°·cos60°－cos10°·sin60°cos10°·cos60°•cos10°sin50°＝sin (－50°)cos60°•1sin50°＝－2．（2）[2sin50°＋sin10°（1＋3tan10°）]•2sin 280°＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2sin50°＋sin10°⎝ ⎛⎭⎪⎫cos10°＋3sin10°cos10°•2cos 210° ＝⎝⎛⎭⎫2sin50°＋2sin10°·cos50°cos10°•2cos10° ＝22（sin50°cos10°＋sin10°•cos50°） ＝22sin60°＝6．例4 已知函数f （x ）＝3sin （ωx ＋φ）（ω＞0，－π2≤φ＜π2）的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π． （1）求ω和φ的值；（2）若f （α2）＝34（π6＜α＜2π3），求cos （α＋3π2）的值．解：（1）因为f （x ）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f （x ）的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2，又因为f （x ）的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…，因－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6．（2）由（1）得f （α2）＝3sin （2•α2－π6）＝34．所以sin （α－π6）＝14．由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2． 所以cos （α－π6）＝1－sin 2(α－π6)＝1－(14)2＝154．因此cos （α＋3π2）＝sin α＝sin[（α－π6）＋π6]＝sin （α－π6）cos π6＋cos （α－π6）sin π6＝14×32＋154×12 ＝3＋158． 二、二倍角公式二倍角的正弦（简记S 2α）、余弦（简记C 2α）、正切（简记T 2α）公式（升幂公式）： •cos 2αcos2α＝（ ）．A ．tan αB ．tan2αC ．1D ．12答案：B解析：原式＝2sin2α2cos 2α•cos 2αcos2α＝sin2αcos2α＝tan2α．例2若tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin2θ＝________．答案：65解析：cos 2θ＋12sin2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θcos 2θ＋sin 2θ＝1＋tan θ1＋tan 2θ＝1＋131＋19＝43×910＝65．例3已知cos α＝－1213，α∈（π，3π2），求sin2α，cos2α，tan2α的值．解：∵cos α＝－1213，α∈（π，3π2），∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－(－1213)2＝－513，∴sin2α＝2sin αcos α＝2×（－513）×（－1213）＝120169，cos2α＝2cos 2α－1＝2×（－1213）2－1＝119169，tan2α＝sin2αcos2α＝120119．例4 已知函数f （x ）＝cos x •sin （x ＋π3）－3cos 2x ＋34，x ∈R ．（1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值和最小值．解：（1）由已知，有f （x ）＝cos x •（12sin x ＋32cos x ）－3cos 2x ＋34＝12sin x •cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin2x －34（1＋cos2x ）＋34 ＝14sin2x －34cos2x ＝12sin （2x －π3）． 所以f （x ）的最小正周期T ＝2π2＝π．（2）因为f （x ）在区间[－π4，－π12]上是减函数，在区间[－π12，π4]上是增函数，f （－π4）＝－14，f （－π12）＝－12，f （π4）＝14，所以，函数f （x ）在闭区间[－π4，π4]上的最大值为14，最小值为－12．三、半角公式（这类公式不要求记忆）半角的正弦（简记2S α）、余弦（简记2C α）、正切（简记2T α）公式：2221cos cos 221cos sin 221cos tan 21cos ααααααα+=-=-=+，，，cos 2sin 2tan 2ααα===sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+． 例1 cos θ＝－15，5π2＜θ＜3π，则sin θ2＝（ ）．A ．105B ．－105C ．155D ．－155答案：D解析：∵5π2＜θ＜3π，∴5π4＜θ2＜3π2，∴θ2是第三象限角，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋152＝－155． 例2 化简：(1＋sin α＋cos α)(sin α2－cos α2)2＋2cos α（0＜α＜π）．解：∵0＜α＜π，∴0＜α2＜π2，∴原式＝(2cos 2α2＋2sin α2cos α2)(sin α2－cos α2)2·2cos 2α2＝2cos α2(cos α2＋sin α2)(sin α2－cos α2)2cosα2＝sin 2α2－cos 2α2＝－cos α．四、公式的变形与应用1．合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 sin()y A x B ωφ=++形式．辅助角公式：cos sin )a x b x x x +=+令22sin a a bθ=+，22cos b a bθ=+，∴22cos sin sin()a x b x a b x θ+=++， 其中θ为辅助角，tan a bθ=． 2．三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简、求值、证明中，表达式往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解．对角进行变形，如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②o ooooo3015453060452=-=-=，问：=12sin π，=12cos π；③ββαα-+=)(，④)4(24αππαπ--=+， ⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=等等．（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数．如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名．（3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：22o o 1sin cos tan cot sin90tan 45αααα=+===．（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法．常用降幂公式有：2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-，1cos 22x x +=±1cos 22x x -=±．（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形应用． 请尝试完成下列变形， 如：221sin 2(sin cos )1sin 2(sin cos )θθθθθθ+=+-=-_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2；=-α2tan 1；o o o o tan 20tan 403tan 20tan 40++=；=+ααcos sin =； =+αcos 1；=-αcos 1；若4A B π+=或54π，则(1tan )(1tan )2A B +⋅+=． （6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化．如：o osin 50(13tan10)+=；=-ααcot tan ．本章整合：。
(新课程)高中数学《3.2简单的三角恒等变换》评估训练 新人教A版必修4
高中新课程数学（新课标人教A 版）必修四《3.2简单的三角恒等变换》评估训练双基达标 限时20分钟1．计算sin 105°cos 75°的值是( )．A.12B.14C.22D.24解析 sin 105°cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝14，故选B.答案 B2．(2012·佛山高一检测)使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )．A.π6B.π3C.π2D.2π3 解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x .答案 D3．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )． A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6 B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0 D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 解析 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56(k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π. 答案 D 4．化简1＋cos 3π－θ2⎝⎛⎭⎫3π2<θ<2π＝________. 解析 原式＝1－cos θ2＝ sin2θ2＝⎪⎪⎪⎪sin θ2. ∵3π2<θ<2π，∴34π<θ2<π，∴原式＝sin θ2.答案 sinθ25．已知函数f (x )＝a sin[(1－a )x ]＋cos[(1－a )x ]的最大值为2，则f (x )的最小正周期为________．解析 ∵f (x )＝a ＋1sin[(1－a )x ＋φ]， 由已知得a ＋1＝2，所以a ＝3. ∴f (x )＝2sin(－2x ＋φ)，∴T ＝2π|－2|＝π. 答案 π 6．已知tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3，求5sin 2θ－3sin θcos θ＋2cos 2θ的值． 解 tan θ＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫θ＋π4－π4 ＝tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－tanπ41＋tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4·tan π4＝12，∴原式＝5sin 2θ－3sin θcos θ＋2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝5tan 2θ－3tan θ＋2tan 2θ＋1＝75.综合提高 限时25分钟7．在△ABC 中，若sin C ＝2cos A sin B ，则此三角形必是( )． A ．等腰三角形 B ．正三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析 因为sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以已知方程可化为sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0.又－π<A －B <π，∴A ＝B ，故选A. 答案 A8．(2012·汕尾高一检测)若cos α＝－45α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )．A ．－12 B.12 C ．2 D ．－2解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.答案 A9．化简sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x ＝________.解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x1＋cos x＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin x 1＋cos x ＝tan x2. 答案 tan x210．(2012·天津高一检测)如果a ＝(cos α＋sin α，2 008)，b ＝(cos α－sin α，1)，且a ∥b ，那么1cos 2αtan 2α＋1的值是________．解析 由a ∥b ，得cos α＋sin α＝2 008(cos α－sin α)，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.1cos 2α＋tan2α＝1cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1＋sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin α＋cos α2cos α＋sin αcos α－sin α＝cos α＋sin αcos α－sin α＝2 008.∴1cos 2α＋tan 2α＋1＝2 008＋1＝2 009. 答案 2 00911．已知函数f (x )＝ 3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．解 (1)∵f (x )＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos 2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1＝2sin ⎝⎛2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )， ∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 12．(创新拓展)已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)， |m ＋n |＝cos θ－sin θ＋22＋cos θ＋sin θ2＝4＋22cos θ－sin θ＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625.∵π<θ<2π，∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45.。
2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第三章三角函数、解三角形第6节简单的三角恒等变换
2009~2013年高考真题备选题库第三章 三角函数、解三角形第六节 简单的三角恒等变换考 点 三角恒等变换1．（2013广东，12分）已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫π3的值；(2)若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，求f ⎝⎛⎭⎫θ－π6. 解：本题主要考查函数与三角函数的基础知识与运算、同角三角函数关系、特殊三角函数值、两角和与差的三角函数．在考查基础知识的同时突出基本运算能力，与2012年三角题相比较，试卷结构稳定，涉及求值知识点，稳定平和中有亮点，为高考复习作出了较好的方向指向．(1)f ⎝⎛⎭⎫π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－π12＝2cos π4＝2×22＝1. (2)∵cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π， ∴sin θ＜0，sin θ＝－1－cos 2θ＝－45. 故f ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π6－π12＝2cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2⎝⎛⎭⎫cos θ×22＋sin θ×22＝cos θ＋sin θ＝35－45＝－15. 2．(2010天津，12分)在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C. (1)证明B ＝C ；(2)若cos A ＝－13，求sin(4B ＋π3)的值． 解：(1)证明：在△ABC 中，由正弦定理及已知得sin B sin C ＝cos B cos C.于是sin B cos C －cos B sin C ＝0，即sin(B －C )＝0，因为－π＜B －C ＜π，从而B －C ＝0.所以B ＝C .(2)由A ＋B ＋C ＝π和(1)得A ＝π－2B ，故cos2B ＝－cos(π－2B )＝－cos A ＝13. 又0＜2B ＜π，于是sin2B ＝1－cos 22B ＝223.从而sin4B ＝2sin2B cos2B ＝429，cos4B ＝cos 22B －sin 22B ＝－79. 所以sin(4B ＋π3)＝sin4B cos π3＋cos4B sin π3＝42－7318. 3．(2009·广东，12分)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈(0，π2)． (1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0＜φ＜π2，求cos φ的值． 解：(1)∵a ⊥b ，∴sin θ×1＋(－2)×cos θ＝0⇒sin θ＝2cos θ.∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1⇒cos 2θ＝15. ∵θ∈(0，π2)，∴cos θ＝55⇒sin θ＝255. (2)法一：由sin(θ－φ)＝1010有， sin θcos φ－cos θsin φ＝1010⇒sin φ＝2cos φ－22， ∴sin 2φ＋cos 2φ＝5cos 2φ－22cos φ＋12＝1 ⇒5cos 2φ－22cos φ－12＝0. 解得cos φ＝22，cos φ＝－210， ∵0＜φ＜π2，∴cos φ＝22. 法二：∵0＜θ，φ＜π2，∴－π2＜θ－φ＜π2. 所以cos(θ－φ)＝1－sin 2(θ－φ)＝31010. 故cos φ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cos θcos(θ－φ)＋sin θsin(θ－φ) ＝55·31010＋255·1010＝22.4．(2012广东，12分)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋π6)(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π.(1)求ω的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (5α＋53π)＝－65，f (5β－56π)＝1617，求cos(α＋β)的值． 解：(1)∵f (x )＝2cos(ωx ＋π6)，ω>0的最小正周期T ＝10π＝2πω，∴ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos(15x ＋π6)， 而α，β∈[0，π2]，f (5α＋5π3)＝－65，f (5β－5π6)＝1617， ∴2cos[15(5α＋5π3)＋π6]＝－65，2cos[15(5β－5π6)＋π6]＝1617， 即cos(α＋π2)＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385. 5．(2011江苏，14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin(A ＋π6)＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值． 解：(1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A . 从而sin A ＝3cos A ，所以cos A ≠0，tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3. (2)由cos A ＝13，b ＝3c 及a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝b 2－c 2.故△ABC 是直角三角形，且B ＝π2. 所以sin C ＝cos A ＝13. 6．(2009山东，12分)(本小题满分12分)设函数f (x )＝cos(2x ＋π3)＋sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值和最小正周期；(2)设A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若cos B ＝13， f (C 2)＝－14，且C 为锐角，求sin A .解：(1)f (x )＝cos2x cos π3－sin2x sin π3＋1－cos2x 2＝12cos2x －32sin2x ＋12－12cos2x ＝12－32sin2x . 所以，当2x ＝－π2＋2kπ，即x ＝－π4＋kπ(k ∈Z )时， f (x )取得最大值，f (x )max ＝1＋32， f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π， 故函数f (x )的最大值为1＋32，最小正周期为π. (2)由f (C 2)＝－14，即12－32sin C ＝－14， 解得sin C ＝32，又C 为锐角，所以C ＝π3. 由cos B ＝13求得sin B ＝223. 因此sin A ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C＝223×12＋13×32 ＝22＋36.。
2015届高考数学(基础过关+能力训练)：三角函数、三角恒等变换及解三角形 简单的三角恒等变换(含答案)
第三章 三角函数、三角恒等变换及解三角形第6课时 简单的三角恒等变换1. 函数y ＝sin 2x －sin2x 的最小正周期为_________。
答案：π解析：y ＝sin 2x －sin2x ＝1－cos2x 2－sin2x ＝12－sin2x －12cos2x ＝12－52sin(2x ＋φ)、其中φ为参数、所以周期T ＝2πω＝2π2＝π. 2. 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x 的最大值为________. 答案：2＋34解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x cos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝cosxcos ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝32cos 2x ＋12sinxcosx ＝32×1＋cos2x 2＋14sin2x ＝34＋34cos2x ＋14sin2x ＝34＋12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3、所以当sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝1时、函数有最大值为34＋12＝2＋34. 3. 若3sin α＋cos α＝0、则1cos 2α＋sin2α＝________。
答案：103解析：3sin α＋cos α＝0cos α≠0tan α＝－13、1cos 2α＋sin2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＋2sin αcos α＝1＋tan 2α1＋2tan α＝103. 4. 当0＜x ＜π4时、函数f(x)＝cos 2x cosxsinx －sin 2x 的最小值是__________。
答案：4解析：f(x)＝1－tan 2x ＋tanx ＝1－⎝⎛⎭⎫tanx －122＋14、当tanx ＝12时、f(x)的最小值为4. 5. 若sin α＋cos αsin α－cos α＝12、则tan2α＝________。
答案：34 解析：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12、得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α、即tan α＝－3.又tan2α＝2tan α1－tan 2α＝－61－9＝34. 6. 函数f(x)＝sinx ＋3cosx 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________。
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换同步优化训练新人教A版必修420171110385
3.2 简单的三角恒等变换5分钟训练(预习类训练，可用于课前)1.设5π＜θ＜6π，cos2=a，|a|≤1，则sin4的值等于( )1a 1a 1aA.B. C. D.2221a2解析：∵5π＜θ＜6π，55∴＜＜3π，＜2244＜32.∴sin4=1acos1222.答案：D2.函数y=cosx+cos(x+ )的最大值是______________.3解析：方法一:y=cosx+cos(x+ )=cosx+cosxcos -sinxsin333=cosx+12cosx-32sinx=32cosx-32sinx=3cos(x+6)，函数的最大值是3.(x x )xx3方法二:y=cosx+cos(x+ )=2coscos322=2cos(x+ )cos )，= 3cos(x+6663函数的最大值是3.答案：33.化简sin(30)sin(30)cos得___________________.解析:方法一:原式=sincos30cos sin30sin30cos cos30sin2sin 30coscos cos=1. 方法二:原式=303030302s incos2sin30cos22cos cos=1.答案：114.已知tan2=2,则 sinα 的值为__________，cosα 的值为__________，tanα 的值为________.解析：由万能代换，可得2 tan 2 sin α=1 tan 2243 答案：-554 5 4 31 tan2 2 ,cos α=1 tan23 52 tan 2 ,tan α=2tan1 tan224 3.10 分钟训练(强化类训练，可用于课中) 1.若 sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=4 5 且 β 在第三象限，则 cos 2为()5 A.B.±55 52 5 C.D.±5 2 5 5444 解析：由题意知 sin(α-β-α)= ,即 sin(-β)= ，∴sinβ=. 5 553∵β 是第三象限角，∴cosβ=- ，且是二、四象限角.52∴cos 2=±1 cos 2=±3 5 1 2=± 5 5 .答案:B2.设 α、β 为钝角，且sinα=5 53 10,cosβ=，则α+β 的值为( )10A.34B.5 4 C. 74 D. 54 或 74解析：由题意知cosα=2 5，sinβ= 510 10, 2 5 ∴cos(α+β)=×(3 10 )-105 5 × 10 10 = 2 2.5∵＜α＜π，27∴α+β=.4答案：C 2＜β＜π,∴π＜α+β＜2π.3.若tan(α+41cos2sin2)=322，则=_______________.解析：原式=2sin22sin cos=tanα.2由 tan(α+41 tan)=3 2 2 1tan,解得 tanα= 2 2.答案：224.已知 sinα=3 4 ，且 α 为第二象限角，则 tan 2的值为_________.解析：∵α 为第二象限角，∴cosα=3131 . 16 4 tan2=13sin22 s in11 cos4 3224sin 3 3 cos2 s in cos22 2439.答案：4 3339 x5.设 25sin 2x+sinx-24=0，x是第二象限角，求 cos 的值.224解：因为 25sin 2x+sinx-24=0，所以 sinx=或 sinx=-1.25 247又因为 x 是第二象限角，所以 sinx=，cosx=-.2525又是第一或第三象限角，2从而 cosx2=±1 cos x2=±7 1 25 2=± 3 5 .6.求函数 y=4sinx·cosx 的最值和周期.解：∵y=4sinx·cosx=2sin2x ，∴y max =2，y min =-2，且 T=π. 30 分钟训练(巩固类训练，可用于课后)1.已知 π＜α＜2π，则 cos 的值等于()21 cos A.1cos 2C.1cos 2D.1 cosB.22解析：∵π＜α＜2π，∴2＜2＜π，cos2＜0,cos2=1cos.23答案：A 2.sinα+sinβ= 3 3(cosβ-cosα)，且 α∈(0，π)，β∈(0，π)，则 α-β 等于( )A.-23B.-3C.3D.23解析：由已知得 2sin2cos2= 33·2sin2sin2.∵0＜ ∴sin22∴=23答案：D＜π，- ＜＜2 22＞0.∴tan = 3 .2 2 ，α-β= .3， 3.已知 sin(α+β)sin(β-α)=m ，则 cos 2α-cos 2β 等于( ) A.-m B.m C.-4m D.4m解析：cos 2α-cos 2β=1 2(1+cos2α)1 (1+cos2β)=2 c os 2 cos2 2=-sin(α+β)sin(α-β)=sin(α+β)sin(β-α)=m.答案：B374.已知 sinθ=，则 tan，3π＜θ＜ 5 2 23 7 解析：因为 sinθ=- ，3π＜θ＜ π，5 2437∴cosθ=＜ ＜ .，且 5 2 2 4的值为________________.∴tan21 cos==-3.1cos答案：-351145.若＜α＜，sin2α=-，求tan .245251151111解：∵＜α＜，∴＜＜，5π＜2α＜244282即、2α是第三象限角，α是第二象限角.243又sin2α=-，∴cos2α=-.55，3511cos211∴cosα=22=-55.4∴tan2=511cos555151cos155525.6.求证：2sin( -x)·sin(+x)=cos2x.44证明：左边=2sin( -x)·sin(+x)=2sin( -x)·cos(-x)4444=sin( -2x)=cos2x=右边.2Atan2a cos B ba b27.在△ABC中，已知cosA= ，求证：a b cos B Ba btan22a cos B b证明：∵cosA=，a b cos B(a b)(1cos B)(a b)(1cos B)∴1-cosA=，1+cosA= .a b cos B a bcos B.11∴coscosAA(a(ab)b)(1(1c oscosB)B).11而coscosAA2s in22cos2A2A2A=tan2 21cosB1cosBB=tan2 2，，A (a b ) ·tan 2∴tan 2( )2a bB 2 ，即tan 2 tan 2A 2B 2a abb. 8.求证：4cos(60°-θ)cos θcos(60°+θ)=cos3θ.1证明：左边=2cos θ［cos120°+cos(-2θ)］=2cos θ(+cos2θ)2=-cos θ+(cos3θ+cos θ)=cos3θ=右边. 9.已知 sin α+sin β=2 ，cos α+cos β= 23 ，求tan(α+β)的值.sinsincos cos22 3 ，由和差化积公式得2 s in 2 cos 2 2cos cos 2 2解：=3，5∴tan 22 tan 2=3，从而 tan(α+β)= 1tan 2 22 2 13 23 4 . 10.已知 f(x)= 1 + 2 5 sin x 2 x 2 s in2，x∈(0，π). (1)将 f(x)表示成 cosx 的多项式；(2)求 f(x)的最小值.解：(1)f(x)= sin5x sin 2 x2 s in2x 23x 2 cos 2 2 s in sin x 2 x =2cos 3x 2 cos x 2 =cos2x+cosx=2cos 2x+cosx-1. 19 (2)∵f(x)=2(cosx+ )2- ，且-1≤cosx≤1，48 1 9 ∴当cosx=时，f(x)取得最小值 .4 8快乐时光误人子弟督学到某学校视察，看见教室里有个地球仪，便问学童甲：“你说说看，这个地球仪为何 会倾斜 23.5度？”学童甲惶恐地答道：“不是我弄歪的！”督学摇摇头，转问学童乙.学童乙双手一摊，说道：“您也看见了，我是刚刚才进来的！” 督学疑惑地问教师怎么回事.教师满怀歉意地说：“不能怪他们，这地球仪买回来时已经是这 样的了.”校长见督学的脸色越来越难看，忙解释：“说来惭愧，因为学校经费有限，我们买的是地 摊货.”6。
高中数学：第三章 3.2 简单的三角恒等变换 Word版含答案
简单的三角恒等变换预习课本P139～142，思考并完成以下问题 (1)半角的正弦、余弦、正切公式是什么？(2)半角公式的符号是由哪些因素决定的？[新知初探]半角公式[点睛] (1)有了半角公式，只需知道cos α的值及相关的角的条件便可求α2的正弦、余弦、正切的值．(2)对于S α2和C α2，α∈R ，但是使用T α2时，要保证α≠(2k ＋1)π(k ∈Z)．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)半角公式对任意角都适用．( )(2)tan α2＝sin α1＋cos α，只需满足α≠2k π＋π(k ∈Z)．( )★答案★：(1)× (2)√2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D.33★答案★：A3．若cos 2α＝－45，且α∈⎣⎡⎦⎤π2，π，则sin α＝( ) A.31010B.1010C.35D ．－1010★答案★：A 4．tan π8＝________.★答案★：2－1[典例] 已知sin α＝－45，π<α<3π2，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解] ∵π<α<3π2，sin α＝－45，∴cos α＝－35，且π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝255， cos α2＝－ 1＋cos α2＝－55， tan α2＝sinα2cos α2＝－2.已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值的一般思路 (1)先化简已知或所求式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值． [活学活用]已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝45，sin β＝1213，求cos α－β2与tan α－β2的值．解：因为α为钝角，β为锐角，sin α＝45，sin β＝1213，所以cos α＝－35，cos β＝513.所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝⎝⎛⎭⎫－35×513＋45×1213＝3365. 因为π2<α<π，且0<β<π2，所以0<α－β<π，即0<α－β2<π2，所以cos α－β2＝1＋cos (α－β)2＝1＋33652＝76565. 由0<α－β<π，cos(α－β)＝3365， 得sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝5665.所以tan α－β2＝sin (α－β)1＋cos (α－β)＝56651＋3365＝47.[典例] (1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22＋2cos α(π<α<2π)．[解] 原式＝⎝⎛⎭⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22·2cos 2α2＝2cos α2⎝⎛⎭⎫cos α2＋sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪cos α2 ＝cos α2(－cos α)⎪⎪⎪⎪cos α2. 又∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0，∴原式＝cos α2·(－cos α)－cosα2＝cos α. [一题多变]1．[变条件]若本例中式子变为： (1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22·2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.2．[变条件]若本例中的式子变为：1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α，π<α<3π2，求化简后的式子．解：原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2－2⎪⎪⎪⎪sin α2＋ ⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎪⎪⎪⎪cos α2＋2⎪⎪⎪⎪sin α2， ∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4.∴cos α2<0，sin α2>0.∴原式＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α2＋⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α222⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2 ＝－sin α2＋cos α22＋sin α2－cos α22＝－2cos α2.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式．(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切．(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径．如升幂、降幂、配方、开方等．1．已知函数f (x )＝2a sin ωx cos ωx ＋23cos 2ωx －3(a >0，ω>0)的最大值为2.x 1，x 2是集合M ＝{x ∈R|f (x )＝0}中的任意两个元素，|x 1－x 2|的最小值为π2.(1)求a ，ω的值；(2)若f (α)＝23，求sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α的值． 解：(1)f (x )＝a sin 2ωx ＋3cos 2ωx ＝a 2＋3 sin(2ωx ＋φ)，其中tan φ＝3a . 由题意知a 2＋3＝2，a >0，则a ＝1.f (x )的最小正周期为π， 则2π2ω＝π，故ω＝1. (2)由(1)知f (x )＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 由f (α)＝23知2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝23， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝13. 所以sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4α＝sin ⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫4α＋2π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫4α＋2π3＝－1＋2sin 2⎝⎛⎭⎫2α＋π3 ＝－1＋2×⎝⎛⎭⎫132＝－79. 题点二：与平面向量综合应用2．已知三点A ，B ，C 的坐标分别为A (cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫α≠k π4，k ∈Z ，B (3,0)，C (0,3)，若AB ―→·AC ―→＝－1，求1＋sin 2α－cos 2α1＋tan α的值．解：由题意，得AB ―→＝(3－cos α，－sin α)， AC ―→＝(－cos α，3－sin α)． ∵AB ―→·AC ―→＝－1，∴(cos α－3)·cos α＋sin α(sin α－3)＝－1. 整理，得sin α＋cos α＝23.∴1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴1＋sin 2α－cos 2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α(sin α＋cos α)sin α＋cos α＝2sin αcos α＝－59.题点三：三角变换在实际生活中的应用3.某高校专家楼前现有一块矩形草坪ABCD ，已知草坪长AB ＝100 米，宽BC ＝50 3 米，为了便于专家平时工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路HE ，HF 和EF ，并要求H 是CD 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且∠EHF 为直角，如图所示．(1)设∠CHE ＝x (弧度)，试将三条路的全长(即△HEF 的周长)L 表示成x 的函数，并求出此函数的定义域；(2)这三条路，每米铺设预算费用均为400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用(结果保留整数)(可能用到的参考值：3取1.732，2取1.414)．解：(1)∵在Rt △CHE 中，CH ＝50，∠C ＝90°， ∠CHE ＝x ， ∴HE ＝50cos x. 在Rt △HDF 中，HD ＝50，∠D ＝90 °，∠DFH ＝x ， ∴HF ＝50sin x. 又∠EHF ＝90°，∴EF ＝50sin x cos x，∴三条路的全长(即△HEF 的周长) L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x.当点F 在A 点时，这时角x 最小，求得此时x ＝π6；当点E 在B 点时，这时角x 最大，求得此时x ＝π3.故此函数的定义域为⎣⎡⎦⎤π6，π3.(2)由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△HEF 的周长L 的最小值即可． 由(1)得L ＝50(sin x ＋cos x ＋1)sin x cos x，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 设sin x ＋cos x ＝t ，则sin x cos x ＝t 2－12，∴L ＝50(t ＋1)t 2－12＝100t －1. 由t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π3， 得3＋12≤t ≤2， 从而2＋1≤1t －1≤3＋1，当x ＝π4，即CE ＝50时，L min ＝100(2＋1)，∴当CE ＝DF ＝50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为96 560 元．应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤 (1)运用和、差、倍角公式化简；(2)统一化成f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx ＋k 的形式；(3)利用辅助角公式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，研究其性质．层级一 学业水平达标1．已知tan α＝43，且α为第一象限角，则sin α2的值为( )A ．－55B.55C ．±55D ．±15解析：选C 因为tan α＝43，所以sin αcos α＝43.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35或⎩⎨⎧sin α＝－45，cos α＝－35.因为α为第一象限角，所以α2为第一、三象限角，且⎩⎨⎧sin α＝45，cos α＝35，所以sin α2＝±1－cos α2＝± 1－352＝±55. 2．已知α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos α＝45，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C.13D ．－13解析：选D 因为α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，且cos α＝45，所以α2∈⎝⎛⎭⎫－π4，0，tan α2＝－ 1－cos α1＋cos α＝－1－451＋45＝－13. 3．若α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，则1＋cos 2α2－ 1－cos 2α2等于( ) A ．cos α－sin α B ．cos α＋sin α C ．－cos α＋sin α D ．－cos α－sin α解析：选B ∵α∈⎣⎡⎦⎤7π4，2π，∴sin α<0，cos α>0，则1＋cos 2α2－1－cos 2α2＝cos 2α－ sin 2α＝|cos α|－|sin α|＝cos α－(－sin α)＝cos α＋sin α. 4．在△ABC 中，若2sin B 2cos B 2sin C ＝cos 2A2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．非等腰三角形D ．直角三角形解析：选B 在△ABC 中，因为2sin B 2cos B 2sin C ＝cos 2A 2，所以sin B sin C ＝cos 2A2，即sin B sin C ＝1＋cos A2，2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，即cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，所以cos(B －C )＝1，B －C ＝0，B ＝C ，故选B.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210，cos 2α＝725，则tan α2＝( ) A ．3 B ．－3 C ．±3D ．±4解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝7210， 可得sin α－cos α＝75.①由cos 2α＝725，可得cos 2α－sin 2α＝725， 所以(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝725.② 由①②可得cos α＋sin α＝－15③由①③得sin α＝35，cos α＝－45，所以角α为第二象限角，所以α2为第一、三象限角，所以tan α2＝1－cos α1＋cos α＝1＋451－45＝3. 6．若sin θ2＋2cos θ2＝0，则tan θ＝________.解析：由sin θ2＋2cos θ2＝0，得tan θ2＝－2，则tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2＝43. ★答案★：437．已知sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝________. 解析：因为cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α＝23.所以cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α2＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫π3－α2＝1＋232＝56.★答案★：568．已知sin θ＋cos θ＝15，且π2≤θ≤π，则sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝________. 解析：∵π2≤θ≤π，∴sin θ≥0，cos θ≤0，且π4≤θ2≤π2.又sin θ＋cos θ＝15，①∴(sin θ＋cos θ)2＝125，∴2sin θcos θ＝－2425， ∴(cos θ－sin θ)2＝1－2sin θcos θ＝4925，∴cos θ－sin θ＝－75②联立①②，得⎩⎨⎧sin θ＝45，cos θ＝－35，∴sin ⎝⎛⎭⎫3π－θ2＝sin θ2＝ 1－cos θ2＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝255.★答案★：2559．化简：1＋sin 3α－2sin 2⎝⎛⎭⎫45°－α2cos α－1＋2cos 23α2.解：原式＝sin 3α＋cos (90°－α)cos α＋cos 3α＝sin 3α＋sin αcos α＋cos 3α＝2sin 2αcos α2cos 2αcos α＝tan 2α.10．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及最大值；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且f (α)＝22，求α的值． 解：(1)因为f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x＝12(sin 4x ＋cos 4x ) ＝22sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π2，最大值为22.(2)因为f (α)＝22， 所以sin ⎝⎛⎭⎫4α＋π4＝1， 因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 所以4α＋π4∈⎝⎛⎭⎫9π4，17π4. 所以4α＋π4＝5π2，故α＝9π16.层级二 应试能力达标1．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2＝( )A.12 B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在解析：选B 由2sin α＝1＋cos α，得4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，则tan α2不存在；当cos α2≠0时，则tan α2＝12.2．函数f (x )＝12(1＋cos 2x )·sin 2x (x ∈R)是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选D 因为f (x )＝14(1＋cos 2x )(1－cos 2x )＝14(1－cos 22x )＝14sin 22x ＝18(1－cos4x )．又f (－x )＝f (x )，所以函数f (x )是最小正周期为π2的偶函数，选D.3．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝( ) A ．－13B ．－23C.13D.23解析：选D ∵cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝1＋cos ⎝⎛⎭⎫2α－π22＝1＋sin 2α2，∴cos 2⎝⎛⎭⎫α－π4＝23. 4．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45解析：选B 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝ 1－7252＝35，故选B. 5．设α为第四象限角，且sin 3αsin α＝135，则tan 2α＝________.解析：sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝cos 2αsin α＋2cos 2αsin αsin α＝2cos 2α＋1＝135，所以cos 2α＝45，又α是第四象限角，所以sin 2α＝－35，tan 2α＝－34.★答案★：－346．已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是________，最小值是________． 解析：∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B )＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B ) ＝1＋cos 2π3cos(A －B )＝1－12cos(A －B )，∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32；当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12.★答案★：32 127．已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值． (2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值．解：(1)因为cos 2θ＝725， 所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725，所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725，解得tan θ＝±34，因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34.(2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34，所以sin θ＝35，cos θ＝－45，所以2cos 2θ2＋sin θ2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ＝1－45＋35－45＋35＝－4.8．已知函数f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若π4＜α＜π2，且f (α)＝－5213，求sin 2α的值．解：(1)因为f (x )＝sin x ·(2cos x －sin x )＋cos 2x ，所以f (x )＝sin 2x －sin 2x ＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数f (x )的最小正周期是π. (2)f (α)＝－5213，即2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－5213， sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－513. 因为π4＜α＜π2，所以3π4＜2α＋π4＜5π4，所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4＝－1213，所以sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π4－π4 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4－22cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫－513－22×⎝⎛⎭⎫－1213＝7226.。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变
3.2 简单的三角恒等变换(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若函数f (x )＝－sin 2x ＋12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝－1－cos 2x 2＋12＝12cos 2x .故选D ．【答案】 D2．若sin(π－α)＝－53且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2等于( ) A ．－63B ．－66C ．66D ．63【解析】 由题意知sin α＝－53，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，∴cos α＝－23.∵α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，34π， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α2＝cos α2 ＝－1＋cos α2＝－66.故选B ． 【答案】 B3．设a ＝12cos 7°＋32sin 7°，b ＝2tan 19°1－tan 219°，c ＝1－cos 72°2，则有( ) 【导学号：00680077】A ．b >a >cB ．a >b >cC ．a >c >bD ．c >b >a【解析】 a ＝sin 37°，b ＝tan 38°，c ＝sin 36°，由于tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°，所以b >a >c .故选A ．【答案】 A4．若sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝0，则sin(α＋2β)＋sin(α－2β)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．±1【解析】 ∵sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β ＝sin(α＋β－β)＝sin α＝0， ∴sin(α＋2β)＋sin(α－2β) ＝2sin αcos 2β＝0. 【答案】 C5．若函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x,0≤x <π2，则f (x )的最大值是( )A ．1B ．2C ．3＋1D ．3＋2【解析】 f (x )＝(1＋3tan x )cos x＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3sin x cos x cos x ＝3sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵0≤x <π2，∴π6≤x ＋π6<23π， ∴当x ＋π6＝π2时，f (x )取到最大值2.【答案】 B 二、填空题6．若θ是第二象限角，且25sin 2θ＋sin θ－24＝0，则cos θ2＝________.【解析】 由25sin 2θ＋sin θ－24＝0， 又θ是第二象限角，得sin θ＝2425或sin θ＝－1(舍去)．故cos θ＝－1－sin 2θ＝－725，由cos 2 θ2＝1＋cos θ2得cos 2 θ2＝925.又θ2是第一、三象限角， 所以cos θ2＝±35.【答案】 ±357.1sin π18－3cosπ18＝________.【解析】 原式＝cos π18－3sinπ18sin π18cosπ18＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos π18－32sin π1812sin π9＝4sinπ9sinπ9＝4.【答案】 4 三、解答题8．已知2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin θ＋cos θ，2sin 2β＝sin 2θ，求证：sin 2α＋12cos 2β＝0.【证明】 ∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin θ＋cos θ，∴2(sin α＋cos α)＝sin θ＋cos θ， 两边平方得2(1＋sin 2α)＝1＋sin 2θ， ∴sin 2θ＝1＋2sin 2α. 又sin 2θ＝2sin 2β， ∴sin 2θ＝1－cos 2β， ∴1－cos 2β＝1＋2sin 2α， ∴2sin 2α＋cos 2β＝0，∴sin 2α＋12cos 2β＝0.9．设函数f (x )＝2cos 2ωx ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω的值；(2)设f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上的最小值为3，求a 的值. 【导学号：70512044】 【解】 f (x )＝1＋cos 2ωx ＋32sin 2ωx －12cos 2ωx ＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6＋a ＋1. (1)由2ωx ＋π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，得ωx ＝k π＋π6(k ∈Z )．又ω>0，∴当k ＝0时，f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为x ＝π6ω＝π6，故ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ＋1， 由π6≤x ≤π3，得π3≤2x ≤23π，π2≤2x ＋π6≤5π6， ∴当2x ＋π6＝5π6，即x ＝π3时，f (x )取得最小值为12＋a ＋1.由12＋a ＋1＝3，得a ＝3－32. [能力提升]1．已知450°<α<540°，则12＋1212＋12cos 2α的值是( ) A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2【解析】 因为450°<α<540°， 所以225°<α2<270°，所以cos α<0，sin α2<0，所以原式＝12＋121＋cos 2α2＝12＋12cos 2α ＝12＋12|cos α|＝12－12cos α ＝sin 2 α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2.故选A ．【答案】 A2．已知函数f (x )＝2cos 2x 2，g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x22.(1)求证：f ⎝⎛⎭⎪⎫π2－x ＝g (x )；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )(x ∈[0，π])的单调区间，并求使h (x )取到最小值时x 的值．【解】 (1)证明：f (x )＝2cos 2x2＝1＋cos x ，g (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22＝1＋2sin x 2cos x2 ＝1＋sin x .∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1＋sin x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝g (x )，命题得证． (2)函数h (x )＝f (x )－g (x )＝cos x －sin x ＝2⎝⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4. ∵x ∈[0，π]， ∴π4≤x ＋π4≤5π4， 当π4≤x ＋π4≤π，即0≤x ≤3π4时，h (x )递减，当π≤x ＋π4≤5π4，即3π4≤x ≤π时， h (x )递增．∴函数h (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4，单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，π，根据函数h (x )的单调性， 可知当x ＝3π4时，函数h (x )取到最小值．。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.2 简单的三角恒等变换 3.2 Word版含答案.docx
§3.2 简单的三角恒等变换课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．1．半角公式(1)S α2：sin α2＝____________________；(2)C α2：cos α2＝____________________________；(3)T α2：tan α2＝______________(无理形式)＝________________＝______________(有理形式)．2．辅助角公式使a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)成立时，cos φ＝__________________，sin φ＝______，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．一、选择题1．已知180°<α<360°，则cos α2的值等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2C ．－1＋cos α2 D.1＋cos α22．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的最大值是( ) A ．2B ．1C.12D. 33．函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最小值为( ) A ．－2B ．－3C ．－2D ．－14．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6B.π3C.π2D.2π35．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π，－5π6B.⎣⎡⎦⎤－5π6，－π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，0D.⎣⎡⎦⎤－π6，0 6．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12B.12C ．2D ．－2题 号 1 2 3 4 5 6 答 案7．函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是______．8．已知等腰三角形底角的余弦值为23，则顶角的正弦值是________．9．已知等腰三角形顶角的余弦值为45，则底角的正切值为________．10.2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于____． 三、解答题11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合．12．已知向量m ＝(cos θ，sin θ)和n ＝(2－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m ＋n |＝825，求cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8的值． 能力提升13．当y ＝2cos x －3sin x 取得最大值时，tan x 的值是( ) A.32B ．－32C.13D ．4 14．求函数f (x )＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)的最大值．1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足：①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a (或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2)． 3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a 、b 应熟练掌握．例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4；sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等． §3.2 简单的三角恒等变换知识梳理1．(1)±1－cos α2 (2)±1＋cos α2(3)±1－cos α1＋cos α sin α1＋cos α1－cos αsin α2.a a 2＋b 2 b a 2＋b 2 点(a ，b )作业设计 1．C2．B [y ＝2sin x cos π3＝sin x ．]3．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2. ∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－1.] 4．D [f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin2x .]5．D [f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋56π (k ∈Z )， 令k ＝0得增区间为⎣⎡⎦⎤－π6，56π.] 6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sin α2cos α21－sin α2cos α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.]7．π解析 f (x )＝22sin2x －22cos2x －2(1－cos2x )＝22sin2x ＋22cos2x － 2＝sin(2x ＋π4)－2，∴T ＝2π2＝π.8.459解析 设α为该等腰三角形的一底角，则cos α＝23，顶角为180°－2α.∴sin(180°－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝21－⎝⎛⎭⎫232·23＝459. 9．3解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝45，底角大小为12(180°－α)．∴tan ⎣⎡⎦⎤12(180°－α)＝tan ⎝⎛⎭⎫90°－α2＝1tan α2＝1＋cos αsin α＝1＋4535＝3. 10.725解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4. ∴cos θ－sin θ＝15.由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2.∴cos θ＋sin θ＝75.∴cos2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝725.11．解 (1)∵f (x )＝3sin2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎣⎡⎦⎤32sin2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，∴T ＝2π2＝π. (2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．12．解 m ＋n ＝(cos θ－sin θ＋2，cos θ＋sin θ)，|m ＋n |＝(cos θ－sin θ＋2)2＋(cos θ＋sin θ)2＝4＋22(cos θ－sin θ)＝4＋4cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4 ＝21＋cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4. 由已知|m ＋n |＝825，得cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝725. 又cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝2cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8－1， 所以cos 2⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝1625. ∵π<θ<2π， ∴5π8<θ2＋π8<9π8. ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8<0.∴cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π8＝－45. 13．B [y ＝2cos x －3sin x ＝13⎝⎛⎭⎫213cos x －313sin x ＝13(sin φcos x －cos φsin x )＝13sin(φ－x )，当sin(φ－x )＝1，φ－x ＝2k π＋π2时，y 取到最大值．∴φ＝2k π＋π2＋x ，(k ∈Z )∴sin φ＝cos x ，cos φ＝－sin x ，∴cos x ＝sin φ＝213，sin x ＝－cos φ＝－313.∴tan x ＝－32.]14．解 3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋80°)＝3sin(x ＋20°)＋5sin(x ＋20°)cos60°＋5cos(x ＋20°)sin60°＝112sin(x ＋20°)＋532cos(x ＋20°)＝⎝⎛⎭⎫1122＋⎝⎛⎭⎫5322sin(x ＋20°＋φ)＝7sin ()x ＋20°＋φ 其中cos φ＝1114，sin φ＝5314.所以f (x )max ＝7.。
人教A版高中数学选修简单的三角恒等变换同步练习新
3.2简单的三角恒等变换一、选择题1．设－3π<α<－5π2，则化简1－cos(α－π)2的结果是( ) A ．sin α2B ．cos α2C ．－cos α2D ．－sin α2 [答案] C[解析] ∵－3π<α<－52π，∴－32π<α2<－54π， ∴cos α2<0， ∴原式＝1＋cos α2＝|cos α2|＝－cos α2. 2．若sin α＋sin β＝33(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( ) A ．－23π B ．－π3 C.π3D.23π [答案] D[解析] ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.∴cos β－cos α>0，cos β>cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数．∴β<α∴0<α－β<π由原式可知：2sin α＋β2·cos α－β2＝33(－2sin α＋β2·sin β－α2)，∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3. 3．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A 2，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形[答案] B[解析] ∵sin B sin C ＝cos 2A 2，∴sin B sin C ＝1＋cos A 2，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C ),2sin B sin C ＝1－cos B cos C ＋sin B sin C ，即cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，∴B ＝C .4．在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )A ．[－1,1]B ．[－12，12]C ．[－14，34] D ．[－34，14] [答案] C[解析] cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )] ＝14－12sin(A －C )， ∵－1≤sin(A －C )≤1，∴cos A sin C ∈[－14，34]． 5．已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于( )A ．－a 2 B.a 2C ．－aD ．a [答案] C[解析] 法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sin αcos β＋cos αsin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a ，故选C.法二：原式＝－12(cos2α－cos2β)＝－12(2cos 2α－1－2cos 2β＋1)＝cos 2β－cos 2α＝－a . 6．函数f (x )＝cos 2x ＋sin x cos x 的最大值是( )A ．2 B.32 C.2＋12 D.1＋222[答案] C[解析] f (x )＝cos x (cos x ＋sin x )＝cos x ·2(22cos x ＋22sin x )＝2cos x sin(x ＋π4)＝22[sin(2x ＋π4)＋sin π4]＝22sin(2x ＋π4)＋12 ∴当sin(2x ＋π4)＝1时，f (x )取得最大值 即f (x )max ＝22×1＋12＝2＋12. 7．若cos2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12 D.72[答案] C[解析] 法一：原式左边＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α－sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－2cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12，故选C.法二：原式＝cos 2α－sin 2αsin α·cos π4－cos α·sin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴cos α＋sin α＝12，故选C.8．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2 B.1－a2C ．－1＋a2 D ．－1－a 2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2， ∴sin θ4＝－1－cos θ22＝－1－a2.9．(09·江西文)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为() A ．2π B.3π2 C ．π D.π2[答案] A [解析] 因为f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，所以f (x )的最小正周期为2π.10．已知－3π2＜α＜－π，则12＋12·12＋12cos2α的值为( ) A ．－sin α2B ．cos α2C ．sin α2D ．－cos α2 [答案] A[解析] 原式＝12＋12cos 2α ＝12＋12(－cos α)＝12(1－cos α) ＝|sin α2|＝－sin α2，∴选A. 二、填空题11．若cos2α＝m (m ≠0)，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________.[答案] 1±1－m 2m [解析] ∵cos2α＝m ，∴sin2α＝±1－m 2，∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝1－cos2⎝⎛⎭⎫π4＋αsin2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝1＋sin2αcos2α＝1±1－m 2m. 12.1sin10°－3sin80°的值为________． [答案] 4[解析] 原式＝1sin10°－3cos10°＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2cos(10°＋60°)12sin20°＝4. 13．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1 [解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1. 三、解答题14．求sin42°－cos12°＋sin54°的值．[解析] sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝2cos36°sin18°cos18°cos18°＝cos36°sin36°cos18° ＝2cos36°sin36°2cos18°＝sin72°2cos18°＝12. 15．求cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7的值． [解析] cos 2π7＋cos 4π7＋cos 6π7＝12sin π7· ⎝⎛⎭⎫2sin π7cos 2π7＋2sin π7cos 4π7＋2sin π7cos 6π7 ＝12sin π7⎣⎡⎝⎛⎭⎫sin 3π7－sin π7＋⎝⎛⎭⎫sin 5π7－sin 3π7 ⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫sin 7π7－sin 5π7＝12sin π7⎝⎛⎭⎫sinπ－sin π7＝－12. 16．方程8x 2＋6kx ＋2k ＋1＝0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出k 的值；若不能，请说明理由．[解析] 设直角三角形两锐角分别为α、β，设已知方程的两根为x 1、x 2，则x 1＝sin α，x 2＝sin β＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α由韦达定理得：x 1＋x 2＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4⎝⎛⎭⎫0<α<π2 x 1·x 2＝sin α·cos α＝12sin2α⎝⎛⎭⎫0<α<π2 于是有⎩⎪⎨⎪⎧ x 21＋x 22＝11<x 1＋x 2≤20<x 1x 2≤12，即⎩⎨⎧ 9k 2－8k －20＝01<－34k ≤20<2k ＋18≤12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝2或k ＝－109－423≤k <－43－12<k ≤32，易知该混合组无解．故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．[点评] 此题易产生下面错解．设直角三角形的两个锐角分别为α和β.已知方程的两根为x 1和x 2，则x 1＝sin α，x 2＝sin β.又α与β互余，∴x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝cos α.由sin 2α＋cos 2α＝1得x 21＋x 22＝1⇒(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝1.由韦达定理得：⎝⎛⎭⎫－6k 82－2·2k ＋18＝1⇒9k 2－8k －20＝0.解得：k 1＝2，k 2＝－109. 错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事实上，当k ＝2时，原方程可化为8x 2＋12x ＋5＝0，此时Δ<0，方程无实根．当k ＝－109时，原方程化为：8x 2－203x －119＝0，此时x 1x 2＝－1172，即sin αcos α＝－1172.∵α是锐角，∴该式显然不成立．17．求函数y ＝cos3x ·cos x 的最值．[解析] y ＝cos3x ·cos x ＝12(cos4x ＋cos2x ) ＝12(2cos 22x －1＋cos2x )＝cos 22x ＋12cos2x －12＝⎝⎛⎭⎫cos2x ＋142－916. ∵cos2x ∈[－1,1]，∴当cos2x ＝－14时，y 取得最小值－916； 当cos2x ＝1时，y 取得最大值1.。
2015届高考数学(文)课时检测4-4简单的三角恒等变换(人教版)
课时作业(二十二)1．tan15°＋1tan15°＝( )A ．2B ．2＋ 3C ．4D ．433答案 C解析 方法一：tan15°＋1tan15°＝sin15°cos15°＋cos15°sin15°＝1cos15°sin15°＝2sin30°＝4. 方法二：tan15°＋1tan15°＝1－cos30°sin30°＋1sin30°1＋cos30°＝1－cos30°sin30°＋1＋cos30°sin30°＝2sin30°＝4.2．(2011·辽宁)设sin(π4＋θ)＝13，则sin2θ＝( )A ．－79B ．－19C.19D ．79 答案 A解析 sin2θ＝－cos(π2＋2θ)＝2sin 2(π4＋θ)－1＝2×(13)2－1＝－79.3．化简2＋cos2－sin 21的结果是( )A ．－cos1B ．cos1 C.3cos1D ．－3cos1 答案 C解析2＋cos2－sin 21＝2＋cos2－1－cos22＝3＋3cos22＝3cos 21＝3cos1.4．若cos2αsin (α－π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72B ．－12 C.12D ．72 答案 C解析 cos2αsin (α－π4)＝sin (π2－2α)sin (α－π4)＝2sin (π4－α)cos (π4－α)sin (α－π4)＝－2cos(π4－α) ＝－2(22sin α＋22cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22.所以sin α＋cos α＝12.5．已知f (x )＝2tan x －2sin 2x 2－1sin x 2cos x 2，则f (π12)的值为( ) A ．4 3B ．833C ．4D ．8答案 D 解析 ∵f (x )＝2(tan x ＋cos x sin x )＝2×(sin x cos x ＋cos x sin x )＝2×1cos x ·sin x ＝4sin2x ，∴f (π12)＝4sin π6＝8.6．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( )A.103B ．53 C.23D ．－2答案 A 解析 由3sin α＋cos α＝0，得cos α＝－3sin α.则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A. 7．若cos2αsin (α＋π4)＝12，则sin2α的值为( )A ．－78B ．78C ．－47D ．47 答案 B解析 cos2αsin (α＋π4)＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝2(cos α－sin α)＝12，即cos α－sin α＝24，等式两边分别平方得cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－sin2α＝18，解得sin2α＝78.8．计算tan (π4＋α)·cos2α2cos 2(π4－α)的值为( ) A ．－2B ．2C ．－1D ．1 答案 D解析 tan (π4＋α)·cos2α2cos 2(π4－α)＝sin (π4＋α)·cos2α2sin 2(π4＋α)cos (π4＋α)＝cos2α2sin (π4＋α)cos (π4＋α)＝cos2αsin2(π4＋α)＝cos2αsin (π2＋2α)＝cos2αcos2α＝1，选D.9．(2012·山东)若θ∈[π4，π2]，sin2θ＝378，则sin θ＝( )A.35B ．45 C.74D ．34答案 D解析 ∵θ∈[π4，π2]，2θ∈[π2，π]，故cos2θ<0.∴cos2θ＝－1－sin 22θ＝－1－(378)2＝－18. 又cos2θ＝1－2sin 2θ，∴sin 2θ＝1－cos2θ2＝1－(－18)2＝916. ∴sin θ＝34，故选D.10．已知函数f (x )＝sin x －cos x 且f ′(x )＝2f (x )，f ′(x )是f (x )的导函数，则1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝( ) A ．－195 B ．195 C.113D ．－113 答案 A解析 f ′(x )＝cos x ＋sin x ，由f ′(x )＝2f (x )，即cos x ＋sin x ＝2(sin x －cos x )，得tan x ＝3，所以1＋sin 2x cos 2x －sin2x ＝1＋sin 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2sin 2x ＋cos 2x cos 2x －2sin x cos x ＝2tan 2x ＋11－2tan x＝－195. 11．若θ∈[0，π)且cos θ(sin θ＋cos θ)＝1，则θ＝________.答案 0或π412．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝13，则cos 2α－sin 2β＝________.答案 13解析 方法一：(cos αcos β－sin αsin β)(cos αcos β＋sin αsin β)＝13，∴cos 2αcos 2β－sin 2αsin 2β＝13.∴cos 2α(1－sin 2β)－(1－cos 2α)sin 2β＝13.∴cos 2α－sin 2β＝13.方法二：cos(α＋β)cos(α－β)＝12[cos2α＋cos2β]＝13，即12[2cos 2α－1＋1－2sin 2β]＝13，∴cos 2α－sin 2β＝13.13．设α为第四象限的角，若sin3αsin α＝135，则tan2α＝________.答案 －34解析 sin3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin2αcos α＋cos2αsin αsin α＝135. ∴2cos 2α＋cos2α＝135，2cos 2α－1＋cos2α＝85.∴cos2α＝45.∵2k π－π2<α<2k π，∴4k π－π<2α<4k π(k ∈Z )．又∵cos2α＝45>0，∴2α为第四象限的角．sin2α＝－1－cos 22α＝－35，∴tan2α＝－34.14．已知sin α＝cos2α，α∈(π2，π)，则tan α＝________.答案 －33解析 sin α＝1－2sin 2α，∴2sin 2α＋sin α－1＝0.∴(2sin α－1)(sin α＋1)＝0，∵α∈(π2，π)，∴2sin α－1＝0.∴sinα＝12，cosα＝－32，∴tanα＝－33.15．在△ABC中，tan A＋tan B＋3＝3tan A·tan B，且sin A·cos A＝34，则此三角形为________．答案等边三角形解析∵tan A＋tan B＋3＝3tan A tan B，∴tan(A＋B)＝－3，得A＋B＝120°.又由sin A cos A＝34，得sin2A＝32.∴A＝60°(A＝30°舍去)，∴△ABC为等边三角形．16．已知sin(π6＋α)＝13，则cos(2π3－2α)的值等于________．答案－7 9解析∵π6＋α＋π3－α＝π2，∴sin(π6＋α)＝cos(π3－α)＝13，∴cos(2π3－2α)＝cos2(π3－α)＝2cos2(π3－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.17．已知3π4<α<π，tanα＋cotα＝－103.(1)求tanα的值；(2)求5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sin(α－π4)的值．答案(1)－13(2)－54解析(1)∵tanα＋cotα＝－10 3，∴3tan2α＋10tanα＋3＝0.解得tanα＝－3或tanα＝－1 3.∵3π4<α<π，∴－1<tanα<0.∴tanα＝－1 3.(2)∵tanα＝－1 3，∴5sin2α2＋8sinα2cosα2＋11cos2α2－82sin(α－π4)＝5(sin2α2＋cos2α2)＋4sinα＋6·1＋cosα2－8sinα－cosα＝5＋4sinα＋3＋3cosα－8sinα－cosα＝4sinα＋3cosαsinα－cosα＝4tanα＋3tanα－1＝－54.。
【优化指导】2015人教A版数学(理)总复习课时演练第4章第6节简单的三角恒等变换Word版含解析
第四章 第六节1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝( )A ．－32B ．22C ．12D ．1解析：选C cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝cos (60°＋25°)＋sin 25°cos 30°cos 25°＝cos 60°cos 25°－sin 60°sin 25°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝cos 60°cos 25°cos 25°＝cos 60°＝12.故选C.2．(2014·长沙一中模拟)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π12，若cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3的值为( ) A ．325B ．1225C ．1725D ．2425解析：选C f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3－π12 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4＝cos 2θ－sin 2θ. 因为cos θ＝35，θ∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，所以sin θ＝－45， 所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝－725，所以f ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝cos 2θ－sin 2θ＝－725－⎝⎛⎭⎫－2425＝1725. 故选C. 3．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3解析：选D 依题意有sin αcos β－cos αsin β ＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin 2(α－β)＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32. 又0＜β＜π2，故β＝π3.4．(2014·衡水中学月考)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a解析：选B 由于f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，故a ＝f ⎝⎛⎭⎫π7＝2sin 10π21，b ＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π2，c ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin 2π3＝2sin π3，由y ＝sin x 的图象知，c ＜a ＜b ，故选B. 5．(2014·西安质检)设函数f (x )＝6sin x cos x －4cos x sin 3x22＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( )A ．y ＝f (x )是偶函数，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 B ．y ＝f (x )是奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 C ．y ＝f (x )是偶函数，在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．y ＝f (x )是奇函数，在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减 解析：选B 由6sin x cos x －4cos x sin 3x 22＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝3sin 2x －2sin 2x sin 2x22＋2cos 2x ＝3sin 2x －sin 2x (1－cos 2x )2(2＋cos 2x )＝sin 2x (2＋cos 2x )2(2＋cos 2x )＝sin 2x2，结合选项知B 成立．故选B.6．已知cos α＝13，cos (α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos (α－β)的值等于( ) A ．－12B ．12C ．－13D ．2327解析：选D ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴2α∈(0，π)． ∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429， 而α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sin (α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝223， ∴cos (α－β)＝cos [2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos (α＋β)＋sin 2αsin (α＋β) ＝⎝⎛⎭⎫－79×⎝⎛⎭⎫－13＋429×223＝2327. 7．tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________. 解析：－4 原式＝sin 12°－3cos 12°2sin 12°cos 12°cos 24°＝2sin (12°－60°)12sin 48°＝－4.8．(2014·银川一中模拟)已知sin α－cos α＝12，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：－142 由12＝sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π4，得 sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝24， 将sin α－cos α＝12两边平方得1－sin 2α＝14，∴(sin α＋cos α)2＝74，又sin α＋cos α＞0 ∴sin α＋cos α＝72， ∴cos 2α＝(sin α＋cos α)(cos α－sin α)＝72×⎝⎛⎭⎫－12＝－74， ∴cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－7424＝－142.9．(2014·雅礼中学模拟)若sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2 cos 2x ≥2，则x 的取值范围为________．解析：⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π3(k ∈Z )． sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2 cos 2x ＝sin 2x ·cos π6＋cos 2x sin π6＋sin 2x cos π6－cos 2x sin π6＋cos 2x ＋1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x ≥2得 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1≥2 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≥12 所以2k π＋π6≤2x ＋π6≤2k π＋5π6(k ∈Z )解得k π≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )．10．已知sin (2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α＝________. 解析：3130130 ∵π2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.又－π2＜β＜0，∴0＜－β＜π2.∴π＜2α－β＜5π2.而sin (2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π2，cos (2α－β)＝45.又－π2＜β＜0且sin β＝－1213，∴cos β＝513，∴cos 2α＝cos [(2α－β)＋β]＝cos (2α－β)cos β－sin (2α－β)sin β＝45×513－35×⎝⎛⎭⎫－1213＝5665. 又cos 2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝3130130. 11．(2014·华东师大附中诊断)已知α，β∈(0，π)，且tan α＝2， cos β＝－7210.(1)求cos 2α的值； (2)求2α－β的值．解：(1)因为tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin 2α＝45，cos 2α＝15.所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.(2)因为α∈(0，π)，且tan α＝2，所以α∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 又cos 2α＝－35＜0，故2α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin 2α＝45. 由cos β＝－7210，β∈ (0，π)，得sin β＝210，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 所以sin (2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝45×⎝⎛⎭⎫－7210－⎝⎛⎭⎫－35×210＝－22.又2α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以2α－β＝－π4. 12．(2014·安徽示范高中联考)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ＋33sin 2x －33cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期及其图象的对称轴方程；(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，求g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域．解：(1)f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x －33cos 2x＝12sin 2x ＋36cos 2x ＝33sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．(2)将函数f (x )的图象向右平移π3个单位，得到函数g (x )＝33sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π3＋π6＝－33cos 2x 的图象，所以g (x )＝－33cos 2x . 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 得cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以－33cos 2x ∈⎣⎡⎦⎤－33，36，所以函数g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上的值域是⎣⎡⎦⎤－33，36.1．(2014·合肥一中月考)已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.若不等式|f (x )－m |＜2在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(1,4)B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2,4)解析：选A f (x )＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2x －3cos 2x ＝1＋sin 2x －3cos 2x ＝1＋2sin⎝⎛⎭⎫2x －π3.∵|f (x )－m |＜2， ∴f (x )－2＜m ＜f (x )＋2，又不等式在x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2上恒成立，∴m ＞f (x )max －2且m ＜f (x )min ＋2，∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是(1,4)，故选A.2．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )A ．1，πB ．2，πC ．2，2πD ．3，2π解析：选B 由f (x )＝x 3＋bx 得f ′(x )＝3x 2＋b .又在点(1，f (1))处的切线斜率为4，则f ′(1)＝3＋b ＝4，所以b ＝1.g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以g (x )max ＝2，最小正周期T ＝2π2＝π，故选B.3．(2014·湖北重点中学统考)在△ABC 中，“sin (A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin[(A －B )＋B ]＝sin B ≥1，又因为sin B ≤1，所以sin B ＝1，因为0＜β＜π，所以B ＝π2，故△ABC 为直角三角形；若△ABC 为直角三角形，则B 不一定为直角，也可能为锐角，则sin B 不一定取到最大值1，即不一定有sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ＝sin B ≥1，故“sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的充分不必要条件，故选A.4．已知f (x )＝cos x (cos x －3)＋sin x (sin x －3)， (1)若x ∈[2π，3π]，求f (x )的单调递增区间； (2)若x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4且f (x )＝－1，求tan 2x 的值． 解：(1)由已知得，f (x )＝cos 2x －3cos x ＋sin 2x －3sin x ＝1－3(cos x ＋sin x ) ＝1－32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )．又∵x ∈[2π，3π]，∴函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤9π4，3π. (2)由(1)知f (x )＝1－32sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－1. ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝23. ∴cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝59. ∴sin 2x ＝－59.∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， ∴2x ∈⎝⎛⎭⎫π，3π2. ∴cos 2x ＝－1－sin 22x ＝－2149.∴tan 2x ＝sin 2x cos 2x ＝51428.。
人教a版必修4学案：3.2简单的三角恒等变换(含答案)
∴
cos
α＝－
3， 5
cos
β＝
5 13
.
cos(α－ β)＝ cos αcos β＋ sin αsin β
＝－
35×
5 13
＋
45×
12 13
＝3635.
又
∵
π 2<
α<π，
0<β<π2，
∴
0<
α－
β<π
α－β .0< <
π .
22
∴ cos
α－ 2
β＝
1＋cos 2
α－
β＝
33
1＋65 2＝
7 65 65 .
(2) 当 f(x)取得最大值时， sin 2x－ π3 ＝1，
π
π
有 2x－ ＝2kπ＋ ，
3
2
即
x＝
kπ＋
5π 12 (
k∈
Z
)
，
∴ 所求 x 的集合为 { x|x＝ kπ＋ 512π， k∈ Z } ．
变式训练 2 解 (1) f(x)＝ sin x＋ π6 ＋
π sin x－6 ＋ cos x＋ a＝ 3sin x＋ cos x＋a
回顾归纳 利用三角函数知识解决实际问题，关键是目标函数的构建，自变量常常选取 一个恰当的角度，要注意结合实际问题确定自变量的范围．
变式训练 3 某工人要从一块圆心角为 45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接 长方形桌面，若扇形的半径长为 1 m，求割出的长方形桌面的最大面积 (如图所示 ) ．
2sin 2cos 2cos2α2
2 ＝ tan
α 2.
∴ tan α＝ sin α ，同理可证： 2 1＋ cos α