文献研读报告 2

(2) 在r<0的情况下
① 在q 0的情况下 此时有 0, 故系统 2.5 有三个不同的有限远奇点Pi ( xi ,0) .x1 x3 p 和x2 0.故P1和P3为鞍点.P2在 2 0时为不稳定结点, 在 2 0时为不稳定焦点.
② 在q 0的情况下 当 0时, P ( x1 ,0)与P2 ( x2 ,0)重合, 记为P1,2 ( x1,2 ,0).这样, 系统 2.5 有两个不同 1
x x
2
3
x3 x2
,得
V ''( ) rV '( ) b 'V ( )(1 V ( ))(V ( ) w) 0.(3.2)
• 方程(1.2)有界行波解的性态由耗散作用的 大小决定: 当耗散作用较大, 即 大于某临界 值时, 方程(II)存在扭状孤波解; 当耗散作用 较小, 即 小于某临界值时, 方程(1.2)存在衰 减振荡解; 当耗散作用适中, 即 属于某个边 界非零的有界开区间时, 方程(1.2)存在先增 后减或先减后增的有界行波解.
② 在q<0的情况下 当=0时, P2 ( x2 , 0)与P ( x1 , 0)重合, 记为P ( x1,2 , 0).这样系统 2.5 有两个 1 1,2 不同的有限远奇点P ( x1,2 , 0)和P3 ( x3 , 0), 其中x1,2 0 x3 , 2 x1,2 x3 0, 1,2
u t auu x bu
2
本文研究的主要内容
由于在实际问题中耗散是丌可避免的，因此本文考虑有耗散作用的组 合KDV-Burgers方程
u t auu x bu
2
u ru u
x xx
xxx
0,(b 0, 0, r 0),(1.2)
a, b是非线性项系数，r, 分别是耗散项系数和色散项系数。 当a,b,r, 取某些值时，上面方程可化为物理系统中其他的一些著名的非线性波动模型方程， 如当b=0,r=0时，可化为KDV方程
u
u
o

o

u
u u (+∞)
u (-∞) o
o u (-∞)

u (+∞)
u
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u
u (+∞)
＾ 3 ＾ 2 ＾ o 1 3 2
u (-∞)
3 ＾ 2 ＾ 1 3 2
u (-∞)
＾ ＾ ＾
＾
＾
o

u (+∞)
方程（1.2）有界行波解的性态与参数r之间的关系
为了研究方程（ ）有界行波解与参数r间的关系，先考虑方程（2.3）有界解 1.2 与参数r间的关系，这里假定 0。 在假定 0下，方程f ( x) 0有三个不同的实根 x1, x 2, x 3, 满足 x1 此时方程（2.3）可改写成 U ''( ) rU '( ) b(U ( ) x1)(U ( ) x 2)(U ( ) x 3) 0, (3.1) 现对方程（3.1）作变换V ( ) U ( ) x1
2
对上式积分一次，得
u ''( ) ru '( ) vu ( )
其中c为积分常数。 作平移变换 a , (2.2) 2b 则方程（2.1）可化为 u ( ) U ( )
a 2 b 3 ( ) u ( ) c, (2.1) 2u 3
U ''( ) rU '( ) b(U ( ) pU ( ) q) 0, (2.3)
3
奇异闭轨线。进而当r 0时，方程（1.2）不存在周期行波解和钟状孤波解。
由于 0情况下，系统（2.5）只有一个有限远奇点，此时方程（1.2）不存在行波解 故本文这里始终假定p<0和 0，也始终假定r 0，q 0。 在r =0情形下，系统（2.5）有首次积分 1 x p x qx) h,(2.7) H(x,y)= y b( 2 4 2 根据平面动力系统理论，对系统（2.5）作无穷远奇点分析，得到在y轴的正负两个方向上
研究背景
组合KDV方程 u x u xxx 0,(1.1) 丌仅是一类非线性晶体格传播的模型，也是流体力学中重 要的模型方程。它一直受到数学界和物理学界 的广泛关 注。Wadati、潘秀德分别运用了初等积分法给出了上面方 程的渐近值为零的钟状孤波解，戴世强也给出了这种钟状 孤波解得近似解。近来，张卫国等利用假设待定法，又得 到了该方程的四个新的双曲正割函数分析式形式的孤波解 和余弦函数分式形式的周期波解。
对于系统（2.5），由于
p Q r , 有下述命题成立。 x y
命题：当r 0时，系统（2.5）在（x, y )平面上不存在闭轨线和具有有限个奇点的 在（x, y )平面上，系统（2.5）有限远奇点的个数依赖于方程f(x)= x +px+q=0 q 2 p 根的个数，根据方程f ( x) 0根存在的判别式 =（ ） ( )3 0, 得 2 3 （1）当 0时，f ( x) 0有一个单实根和一对共轭复根 （2）当 =0时，f ( x) 0有一个单实根和一个重根 （3）当 0时，f ( x) 0有三个单实根
组合KDV-Burgers方程方程行波解 的定性分析及求解
作 者：张卫国 赵岩 滕晓燕 汇报人： 何彩霞 时 间：2013年5月7日
论文结构
1
2 3 4
研究背景
研究对象与方法
研究的主要内容 结论
研究对象不方法
■ 研究对象 本文利用平面动力系统理论对组合KDV-Burgers方程所 对应的动力系统作了定性分析。 ■ 研究方法 平面动力系统理论和方法
结果不分析
本文对组合KDV-Burgers方程所对应的动力系统作了 定性分析，给出了其在丌同参数下的全局相图。研究了该 方程行波解性态不耗散系数r之间的关系，得到当耗散作 用较大时，有界行波表现为扭状孤波；当耗散作用较小时 有界行波表现为衰减振荡波的结论。
希望吴老师和各位同学能给 我提出一些意见或建议
2
• 考虑到平面动力系统中的同宿轨和闭轨对应相应非线性发 展方程的钟状孤波解和周期行波解，而异宿轨可能对应扭 状孤波解或振荡行波解等。因此可以得到下列定理
q 2 p3 2 定理：设波速v和积分常数c满足( ) ( ) 0( p, q由（2.4）给出）， 4vb 0 a 2 3 (1)当r 0时，方程（1.2）有钟状孤波解 (2)当r =0时，方程（1.2）有扭状解和振荡行波解 对应的图如下：
2 的有限远奇点P ( x1,2 ,0)和P3 ( x3 ,0), 其中x1,2 0 x3 , 2 x1,2 x3 0, x1,2 2 x1,2 x3 p 1,2 2 x1,2 x3 q, P 2为鞍结点, 故P3为鞍点. 1,
当 0时, 系统 2.5 有三个不同的有限远奇点 P ( xi , 0). i x1 x2 0 x2 x1 x3 , 故P 和P 为鞍点且r 0, 故 p . 1 3 在 2 0时为不稳定结点, 在 2 0时为不稳定焦点
2 2 x1,2 2 x1,2 x3 p和x1,2 x3 q.易证P 为鞍结点故P3在 3 0为不稳定结点, . 1,2
在 3 0时为不稳定焦点.
当 0时, 系统 2.5 有三个不同的有限远奇点Pi ( xi ,0) .x1 x2 0 x2 x1 x3 , P2为鞍点. 且r 0, 故P1和P3在1 3 0时都为不稳定结点, 在1 0 3时分别为不稳定结点和 不稳定焦点, 在3 1 0时都为不稳定焦点.
u auu u
t x t x
xxx
0,(1.3) 0,(1.4)
当b 0时，可化为KDV Burgers方程
u auu ru u
xx
xxx
方程（1.2）钟状孤波解、扭状孤波解及振荡行波解 的存在性
本节对方程（1.2）的行波解作了定性分析
设方程（ ）有行波解u ( x, t ) u ( ) u ( x vt ), 将其代入方程（1.2），可得 1.2 vu '( ) au ( )u '( ) bu ( )u '( ) ru ''( ) u '''( ) 0
3
其中 r , b
r
b ,p 3
12vb 3a 4b
2
2
,q a
3
6abv 12b c
2
4b
3
这样研究方程（1.2）有界行波解的存在并转化为研究方程 （2.3）有界解得存在性。 为了研究方程（2.3）有界解得存在性，令 =U( ),y=U＇( ),则方程（2.3） 可化为平面动力系统 dx y P( x, y ), d dy 3 ry b( x px q) Q( x, y ),(2.5) d
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有一对无穷远奇点。
系统(2.5)有限远奇点的类型
1 在r=0的情况下
①在q=0的情况下 此时有<0, 故系统 2.5 有三个不同的有限远奇点 p ( x i,0) 其中.x1=- x 3=- p
i
和x 2 0.故 p 为鞍点故 p 和 p 都为不稳定结点 .
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