2012届公共课标准课程模拟卷(一)数学-(数二)

(
)
⎛ 1 −1 − a ⎞ ⎜ ⎟ 设A= 2 a −2 ⎟ ,求 A 的特征值,并讨论 A 是否可对角化． ⎜ ⎜ −a −1 1 ⎟ ⎝ ⎠
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨
3
⎧ f ( x) , ⎪ (1) 设 F ( x) = ⎨ x ⎪ ⎩ f (0),
(A) 连续点. (C) 第二类间断点. (2) 设函数 y =
x≠0 x=0
,其中 f ( x ) 在 x = 0 处可导,且 f ′(0) ≠ 0 , f (0) = 0 ,则 x = 0 是 F ( x ) 的
. (13) 心形线 r = 1 + cos θ 的全长 = (14) 设 n 阶矩阵 A 的元素全为1,则 A 的 n 个特征是
.
三、解答题(本题共 9 小题,满分 94 分. 请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤.) (15) (本题满分 10 分) 求
1 + x2 + x4 2 ∫ x3 (1 + x 2 ) ln(1 + x )dx .
2 2
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨
2
参数 a , b 满足什么条件时 f ( x, y ) 有唯一的极小值？ (19) (本题满分 11 分)
⎧x2, | x| +| y |≤1 ⎪ 设二元函数 f (x, y) = ⎨ 1 ,计算二重积分 ∫∫ f ( x, y)dσ ,其中 D = {( x, y) | x | + | y |≤ 2} . , 1<| x| +| y |≤ 2 D ⎪ 2 2 ⎩ x +y
2 2 2 2 2 2 2 2 2
( (D) 3 y1 − 2 y3 .
2 2
)
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上.） (9) 设 f ( x ) , f ′( x ) 在 x = 0 处连续,且 lim 为_________. (10) 曲线 y = x ln(e + ) 的斜渐近线为_________. (11) 方程
( f ( x) +1) x2 = 6 ,则曲线 y = f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程 x→0 x − sin x
1 x
∫
x
0
1 + t 2 dt + ∫
0
cos x
e − t dt = 0 的实根个数是_________.
2
(12)
∫
+∞
1 − e− x x3
0
dx = _________.
2 2 2 2 2
2 2
∫∫
D
∫∫
D
∫∫
D
{
2
2
}
(
)
针对性教学：一切以提高学生学习成绩为宗旨
1
(A) I 3 > I 2 > I1 .
(B) I1 > I 2 > I 3 .
(C) I 2 > I1 > I 3 .
(D) I 3 > I1 > I 2 .
(7) 已知 α , β , γ 1, γ 2 , γ 3 都是 4 维列向量,若 A =
∫
x
0
( x − 2t ) f ( x − t )dt , f ( x ) 可导且 f ′( x) < 0 .则
(A) F (0) 是 F ( x ) 的极小值. (B) 曲线 y = F ( x ) 在点 (0, 0) 的左侧是凹的,右侧是凸的. (C) 曲线 y = F ( x ) 在点 (0, 0) 的左侧是凸的,右侧是凹的. (D) F (0) 是 F ( x ) 的极大值. (6) 设 I1 = sin(x + y ) dσ , I2 = sin(x + y )dσ , I3 = sin x + y dσ ,其中 D= (x, y)| x + y ≤1 ,则
( (B) 连续点或间断点不能由此确定. (D) 第一类间断点.
)
f ( x) 在点 x = x0 处可微,且 f ′( x0 ) = 5 ,则当 Δx → 0 时,下列不正确的是
( ) (B) Δy − dy 是比 Δx 高阶的无穷小. (D) Δy 与 dy 是等价无穷小. ( )
(A) dy 是比 Δx 高阶的无穷小. (C) Δy − dy 是比 Δy 高阶的无穷小.
(3) 二阶常系数线性微分方程 y′′ +8y′ + 25y = 0 满足初值 y(0) =1与 y′(0) = −4 的特解是 (A) e −4 x cos 3 x . (B) e3 x cos 4 x . (C) e −3 x cos 4 x . (D) e −4 x sin 3 x .
(4) 二元函数的下面四条性质： ① f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处连续. ② f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数存在. ③ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处可微. ④ f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 处的两个偏导数连续. 若用“ P ⇒ Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ,则有 (A) ④ ⇒ ② ⇒ ① . (B) ③ ⇒ ② ⇒ ①. (C) ③ ⇒ ④ ⇒ ①. (5) 设 F ( x) = (D) ④ ⇒ ③ ⇒ ①. ( ) ( )
(16) (本题满分 11 分) 求微分方程 y′′ + 3 y′ + 2 y = 3 xe 的通解.
−x
(17) (本题满分 10 分) 设在 [0, +∞ ) 上函数 f ( x ) 有连续导数,且 f ′( x ) ≥ k > 0 , f (0) < 0 ,证明： f ( x ) 在 (0, +∞ ) 内有且仅有 一个零点. (18) (本题满分 10 分) 设 f ( x, y) = 3x + 4 y − ax − 2ay − 2bxy ,试问参数 a , b 满足什么条件时, f ( x, y ) 有唯一的极大值？
机密★启用前
2012 届全国硕士研究生入学统一考试 （公共课标准课程模拟卷一）
数学二
学员姓名：
总分：
答题注意事项
1.本试卷考试时间 180 分钟，满分 150 分. 2.试卷后面附有参考答案，供学员测试后核对.
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 4 分,满分 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
α , γ 1, γ 2, γ 3 = 5 , B = β, γ1, γ 2, γ 3 = −2 ,则
( )
A + 2B =
(A) 1. (B) 27.
T
(C) -27.
(D) 3.
2
(8) 设三元二次型 f ( x1, x2 , x3 ) = x Ax 的负惯性指数 q = 1 ,且二次型矩阵 A 满足 A − A − 6 E = 0 , 则二次型在正交变换下的标准形是 (A) 2 y1 + 2 y2 − 3 y3 . (B) 3 y1 + 3 y2 − 2 y3 . (C) y1 + y2 − y3 .
（20） （本题满分 10 分）
⎧ x = arctan t dy d 2 y ⎪ 确定.求 , 2 . 设函数 y = y ( x ) 由方程组 ⎨ y u 2 1 cos u dx dx + = e du du 0 ⎪ ∫t 1 + u 2 ⎩ ∫0
(21) (本题满分 10 分) 求由曲线 ρ = a sin θ 及 ρ = a (cos θ + sin θ ) ( a > 0) 所围图形公共部分的面积. (22) (本题满分 11 分) 设 A 为 m × n 阶矩阵,证明 r ( A ) = r AT A . (23) (本题满分 11 分)