在多元表征中提升数学能力
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化学 习迁移 。
得到又一个 几何Leabharlann Baidu意 义 比较 明显 的代 数呈 现 ，
即方程 ． 一一 （ ｚ ≠ ±ｎ ） ， 从 而发
比如 ， 余 弦定 理揭 示 了任 意三 角形 的三 边长与一角 的 余弦 值之 间 的等量 关 系 ， 有 两
组基 本 的形 式 ： （ １ ）ｎ ０ 一ｂ ＋Ｃ 。 一２ ｂ ｃ ｃ ｏ ｓ Ａ，
ｂ ０ 一ｃ ＋口 一２ ｃ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ， ｃ 一口 ＋ｂ —２ ａ ｂ ｃ ｏ ｓ Ｃ：
￣
．
／ （ ｘ－ｃ ） ２ ＋ｙ ２
一
一
ｃ
，
．
“
从 而 发 现 又一 个 简 明、
Ｃ
理解 概念 ， 发现 性质 ， 认 识 规律 ， 体会 数学 的 优美的几何呈现 ， 即所谓 的第 二定义 ， 同时通 乐趣 ， 获得迁移 的能力 。 二、 加 强数 学定理的多种变 形
要进行多样呈现 ， 实现灵 活转换 ， 从 而加深 学
秀学生的调查跟踪发现 ： 善 于对数学 概念 、 定
理、 问题进 行多元 表征 ， 是深 刻 、 全 面理 解数 学知识 ， 灵活 、 独到解决 数学 问题 的关键 。也 就是说 ， 数学学习优秀 的学生 ， 往往 不是急着 读更多 的书 、 解更多 的题 ， 而是花 时间把 知识 和 问题 的各 种 变 化 以及联 系 吃透 。笔 者 认 为， 这体现 了数学学科 的本质特 征 ： 变化 中的 不变 、 联 系 中的统 一 。反 观一 些数 学学 习 困 难 的学生 ， 因为没有掌握 “ 多元表 征” 的策略 ， 不 能认 识 到 知 识 、 问 题 的 内在 本 质 、 来 龙 去
一
、
突破数学概念的多样呈现
表 征形式 ， 构建适合 自己的表 征系统 ， 并 有效 达成多元表征的转换 ， 促进 丰富意义 的内化 。
在高 中数学 教 学 中， 我们 通 过对 学 习优
概念是数 学知 识 的基本 元 素 ， 也 是 数 学 思维 的基 本单 位 。数 学 概念 的教 学 ， 尤 其 需
＝２ ａ。
巧， 轻规律” “ 重数 量 ， 轻 质量 ” “ 重训 练 ， 轻思
考” 的题海 战术 ； 多 留一点 时 间放 在概 念 、 定 理、 问题等 的发 现、 发掘、 发散 上 ， 在“ 突 破数 学概念 的多 样呈 现 、 加 强数 学 定理 的多 种 变 形、 创生数学 问题 的多维 变式 ” 上 花 大气 力 ，
脉、 变化 规律 ； 虽然 学 习刻苦 ， 但是不 能举 一 反三 ， 只会 生搬硬套 ， 从 而效率不高 。
这对高 中数学教学 的启示 是 ： 摒弃 “ 重技
其次， 在其他几何呈现难 以发现、 证实的情 况下 ， 可以利用数 形结合 ， 通过 坐标转化 ， 得 到 第一定义的代数呈 现， 即方程 Ｃ（ ｘ ＋ｃ ） ２ ＋ ＋
在多元表征中提升数学能 力
刘新 春
（ 江 苏省 扬 中市教 师发展 中心 ， ２ １ ２ ２ ０ ０ ）
认 知 风格 理 论 和 多 元智 能理 论 告 诉 我 们， 应采用 多种 不 同的方 式表 示 同一 个 （ 类） 学 习对象 ， 以便 学生 选择 自己喜 爱与 擅 长 的
让学生提升 一点 “ 真正 ” 的数学 知识 和 能力 ， 并多获得一点数学发现的方法和乐趣 。
而通过赋值 （ 简单变形 ） 进一步验 证一些 几何 特征 ， 如范围、 对称性、 中心、 顶点、 长轴、 短 轴、 离心率 （ 与 圆的关系） 等。
在标准方 程 的基 础上 “ 刨 根 究底 ” ， 可以
大学生对其 不 同方式 的理解 ， 有利 于 学生 充 分地领悟知识蕴含 的思想 ， 优 化思维 品质 ， 强
然后 ， 以追求 更 简 洁 、 优 美 的代 数 呈现 ， 发现更 多的几 何呈 现 （ 包 括 充要 的定义 以及
２ ０ １ ５ 年第 １ ０ 期
教育研究与评论 ・ 课堂观察
必要 的性质 ） 为 目标 ， 对 上 述 代 数呈 现 进 行
变形 ：
一
实 际上 ， 很 多 的数 学 概 念—— 不 管它 是
次平方 减少 根 号后 ， 可 以得 到一 个 几
否 以表达式 的形 式 定义 ， 都有 着 丰 富的呈 现 方式 ， 对应 着 丰 富的数 学 意义 。在 实 际教 学
中， 如果能引导学生从 不 同的角度进行 呈现 ，
用不 同的方 法 进行 转化 ， 就 能帮 助学 生深 入
何 意 义 比 较 明 显 的 代 数 表 征 ，即 方 程
几何 呈现出发不断变化 ， 进行 多样 呈现。 首先 ， 利用 圆锥 面 的性质 ， 结 合辅助 内切 球， 得 到一个 更 简 明、 优 美 的几何 呈 现 ， 即所 谓 的第一定义 （ 可 以把之前 的呈现称 为“ 第零 定义” ） ， 同时通过作 图感 受一些几 何特征 ， 如 焦点 、 范 围、 对称 性 、 中心 、 顶 点、 长轴、 短轴、 离心率 （ “ 扁 圆” 程度 ） 等。
过想象认识一个几何 特征 ， 即准线 ， 进一 步理 解一个几何特征 ， 即离心率 （ “ 焦准” 比率） 。
二次平方 去掉 根 号后 ， 可 以得 到一 个 简 洁、 优 美 的代数 呈现 ， 即所 谓 的标 准方程 ， 从
定理 、 公式、 法则等命题 是数学知识 的核
心架构 ， 也 是数 学 思维 的 核心 组织 。数 学 定 理 的教学 ， 尤其需要进 行多种 变形 ， 实现 丰富 联系 ， 从而加深学生对 其来龙 去脉 的认识 ， 扩
生对其 内在 本 质 的认 识 ， 扩 大学 生对 其不 同 角度 的理解 ， 有 利 于学 生灵 活地 发挥 知识 应 用 的价值 ， 优化思维 品质 ， 强化学 习迁移 。
比如 ， 椭 圆是 通过 平 面截 圆锥 面得 到 的 曲线 之一 。在 教学 中， 我们 要从 这个 基 本 的
得到又一个 几何Leabharlann Baidu意 义 比较 明显 的代 数呈 现 ，
即方程 ． 一一 （ ｚ ≠ ±ｎ ） ， 从 而发
比如 ， 余 弦定 理揭 示 了任 意三 角形 的三 边长与一角 的 余弦 值之 间 的等量 关 系 ， 有 两
组基 本 的形 式 ： （ １ ）ｎ ０ 一ｂ ＋Ｃ 。 一２ ｂ ｃ ｃ ｏ ｓ Ａ，
ｂ ０ 一ｃ ＋口 一２ ｃ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ， ｃ 一口 ＋ｂ —２ ａ ｂ ｃ ｏ ｓ Ｃ：
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．
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一
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从 而 发 现 又一 个 简 明、
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理解 概念 ， 发现 性质 ， 认 识 规律 ， 体会 数学 的 优美的几何呈现 ， 即所谓 的第 二定义 ， 同时通 乐趣 ， 获得迁移 的能力 。 二、 加 强数 学定理的多种变 形
要进行多样呈现 ， 实现灵 活转换 ， 从 而加深 学
秀学生的调查跟踪发现 ： 善 于对数学 概念 、 定
理、 问题进 行多元 表征 ， 是深 刻 、 全 面理 解数 学知识 ， 灵活 、 独到解决 数学 问题 的关键 。也 就是说 ， 数学学习优秀 的学生 ， 往往 不是急着 读更多 的书 、 解更多 的题 ， 而是花 时间把 知识 和 问题 的各 种 变 化 以及联 系 吃透 。笔 者 认 为， 这体现 了数学学科 的本质特 征 ： 变化 中的 不变 、 联 系 中的统 一 。反 观一 些数 学学 习 困 难 的学生 ， 因为没有掌握 “ 多元表 征” 的策略 ， 不 能认 识 到 知 识 、 问 题 的 内在 本 质 、 来 龙 去
一
、
突破数学概念的多样呈现
表 征形式 ， 构建适合 自己的表 征系统 ， 并 有效 达成多元表征的转换 ， 促进 丰富意义 的内化 。
在高 中数学 教 学 中， 我们 通 过对 学 习优
概念是数 学知 识 的基本 元 素 ， 也 是 数 学 思维 的基 本单 位 。数 学 概念 的教 学 ， 尤 其 需
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巧， 轻规律” “ 重数 量 ， 轻 质量 ” “ 重训 练 ， 轻思
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脉、 变化 规律 ； 虽然 学 习刻苦 ， 但是不 能举 一 反三 ， 只会 生搬硬套 ， 从 而效率不高 。
这对高 中数学教学 的启示 是 ： 摒弃 “ 重技
其次， 在其他几何呈现难 以发现、 证实的情 况下 ， 可以利用数 形结合 ， 通过 坐标转化 ， 得 到 第一定义的代数呈 现， 即方程 Ｃ（ ｘ ＋ｃ ） ２ ＋ ＋
在多元表征中提升数学能 力
刘新 春
（ 江 苏省 扬 中市教 师发展 中心 ， ２ １ ２ ２ ０ ０ ）
认 知 风格 理 论 和 多 元智 能理 论 告 诉 我 们， 应采用 多种 不 同的方 式表 示 同一 个 （ 类） 学 习对象 ， 以便 学生 选择 自己喜 爱与 擅 长 的
让学生提升 一点 “ 真正 ” 的数学 知识 和 能力 ， 并多获得一点数学发现的方法和乐趣 。
而通过赋值 （ 简单变形 ） 进一步验 证一些 几何 特征 ， 如范围、 对称性、 中心、 顶点、 长轴、 短 轴、 离心率 （ 与 圆的关系） 等。
在标准方 程 的基 础上 “ 刨 根 究底 ” ， 可以
大学生对其 不 同方式 的理解 ， 有利 于 学生 充 分地领悟知识蕴含 的思想 ， 优 化思维 品质 ， 强
然后 ， 以追求 更 简 洁 、 优 美 的代 数 呈现 ， 发现更 多的几 何呈 现 （ 包 括 充要 的定义 以及
２ ０ １ ５ 年第 １ ０ 期
教育研究与评论 ・ 课堂观察
必要 的性质 ） 为 目标 ， 对 上 述 代 数呈 现 进 行
变形 ：
一
实 际上 ， 很 多 的数 学 概 念—— 不 管它 是
次平方 减少 根 号后 ， 可 以得 到一 个 几
否 以表达式 的形 式 定义 ， 都有 着 丰 富的呈 现 方式 ， 对应 着 丰 富的数 学 意义 。在 实 际教 学
中， 如果能引导学生从 不 同的角度进行 呈现 ，
用不 同的方 法 进行 转化 ， 就 能帮 助学 生深 入
何 意 义 比 较 明 显 的 代 数 表 征 ，即 方 程
几何 呈现出发不断变化 ， 进行 多样 呈现。 首先 ， 利用 圆锥 面 的性质 ， 结 合辅助 内切 球， 得 到一个 更 简 明、 优 美 的几何 呈 现 ， 即所 谓 的第一定义 （ 可 以把之前 的呈现称 为“ 第零 定义” ） ， 同时通过作 图感 受一些几 何特征 ， 如 焦点 、 范 围、 对称 性 、 中心 、 顶 点、 长轴、 短轴、 离心率 （ “ 扁 圆” 程度 ） 等。
过想象认识一个几何 特征 ， 即准线 ， 进一 步理 解一个几何特征 ， 即离心率 （ “ 焦准” 比率） 。
二次平方 去掉 根 号后 ， 可 以得 到一 个 简 洁、 优 美 的代数 呈现 ， 即所 谓 的标 准方程 ， 从
定理 、 公式、 法则等命题 是数学知识 的核
心架构 ， 也 是数 学 思维 的 核心 组织 。数 学 定 理 的教学 ， 尤其需要进 行多种 变形 ， 实现 丰富 联系 ， 从而加深学生对 其来龙 去脉 的认识 ， 扩
生对其 内在 本 质 的认 识 ， 扩 大学 生对 其不 同 角度 的理解 ， 有 利 于学 生灵 活地 发挥 知识 应 用 的价值 ， 优化思维 品质 ， 强化学 习迁移 。
比如 ， 椭 圆是 通过 平 面截 圆锥 面得 到 的 曲线 之一 。在 教学 中， 我们 要从 这个 基 本 的