量子 第四次作业
量子力学习题
的表达式。 10. 写出在
表象中的泡利矩阵。 11. 电子自旋假设的两个要点。 12.
的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 13. 写出电子自旋
的二本征态和本征值。 14. 给出如下对易关系：
15.
、
分别为电子的自旋和轨道角动量，
为电子的总角动量。证明：
，[
]=0，其中
。 16. 完全描述电子运动的旋量波函数为
的力学量完全集分别是什么？两种表象中各力学量共同的本征态及对应 的本征值又是什么？
21. 使用定态微扰论时，对哈密顿量
有什么样的要求？ 22. 写出非简并态微扰论的波函数（一级近似）和能量（二级近似）
计算公式。 23. 量子力学中，体系的任意态
可用一组力学量完全集的共同本征态
展开：
， 写出展开式系数
粒子体系的波函数。
二、计算题
（一）.已知厄密算符
，满足
，且
，求 1、在A表象中算符
、
的矩阵表示； 2、在B表象中算符
的本征值和本征函数； 3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
（二）. 设氢原子在
时处于状态
，求 1、
时氢原子的 、 和 的取值几率和平均值； 2、 时体系的波函数，并给出此时体系的 、 和 的取值几率和平均值。
（十三）、
（1）力学量算符 满足最简单的代数方程为 ，其中 、 、…为常数，试证明 有 个本征值，它们都是方程 的根。 （2）若以 和 表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基 本对易式： ，且
， ，以 表示该单粒子态上的粒子数算符，利用（1）的结论，求 的本征值。
（十四）、
有一带电荷 质量 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
量子力学作业习题
第一章量子力学作业习题[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明：( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m（电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计：( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释．( 1 ) A 缝开启，B缝关闭；( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭；( 3 ）两缝均开启．[6]验算三个系数数值：（12；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=][2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
量子力学作业参考答案(刘觉平)
习题一1. 计算下列情况的Einstein-de Broglie 波长，指出哪种过程要用量子力学处理：（1）能量为0.025eV 的慢中子24n 1.6710g m -=⨯（）被铀吸收；（2）能量为5MeV 的α粒子穿过原子246.6410g m α-=⨯（）；（3）飞行速度为100m /s 质量40g 为的子弹的运动。
解：（1）由242220m c p c E +=注意到：22481851.6710310 1.503109.3810n m c g m s J Mev ---=⨯⨯⨯⋅=⨯=⨯>>0.025ev 所以202k p E m =利用Einstein-de Broglie 关系: hp λ=得: 0.181nm λ=而吸收过程中作用距离（即核半径）约为飞米量级，比0.181nm 小，因此要用量子力学处理。
（2）由242220m c p c E +=注意到：2855.97610 3.7310m c J Mev α-=⨯=⨯>> 6.4fm λ= 得h εν=利用Einstein-de Broglie 关系hp λ=得： 6.4fm λ=这比原子半径小的多，因此不需用量子力学处理。
（3）显然子弹不是相对论的，故可利用p mv =。
代入Einstein-de Broglie 关系hp λ=得：341.6510m λ-=⨯，这比子弹的运动尺度小的多，不需用量子力学处理。
2. 两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对.如果两光子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？解：若会发生这种转化，由能量守恒的限制，两个光子的能量必须要大于正负电子对的静能即202 1.022e E m c Mev ==。
光子能量h εν=，得到min 2.42fm λ=。
3. 考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕。
利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
量子力学——第四章作业参考答案
同理 ( p × l + l × p ) y = 2i p y ， ( p × l + l × p ) z = 2i pz ，因此
14
p × l + l × p = 2i p 。
2 2 2 2 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦x = ⎡ ⎣l x , p x ⎤ ⎦+⎡ ⎣l y , px ⎤ ⎦+⎡ ⎣lz , px ⎤ ⎦
可见， ( p × l − l × p ) = p × l − l × p ， p × l − l × p 为厄米算符。
+
（4）算符 r × l
( r × l ) x = ylz − zl y ，
( r × l ) x = lz+ y + − l y+ z + = lz y − l y z = ( ylz − i x ) − ( zl y + i x ) = ( r × l ) x − 2i
[ A, BC ] = ABC − BCA = ( ABC + BAC ) − ( BAC + BCA)
= [ A, B ]+ C − B [ A, C ]+
3.8 证明：
( p × l + l × p ) x = p y lz − pz l y + l y p z − l z p y = ( p y lz − lz p y ) + ( l y pz − pz l y )
+
+ + + + +
+
+
+
量子力学——第四章作业参考答案
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
量子化学作业
作业
1）分析左图中各个分 子所属点群的元素 、类；画出投影图 和乘法表。
2）判断下面分子所属点群
3）画出MA2B2C2金属络合物的所有可能异构体，并指出各 种异构体分子所属点群。
4）判断下面分子所属点群：
第二章
作业
1）试说明：(x,y,z)作为空间点的坐标和作为函数空间的基矢 (p轨道)，在堆成操作下按不同方式变换。 2）证明：算符2对于点对称操作不变。 3）以五个d轨道为基作出D2d的表示矩阵，这一表示是否可 约？
3)环丙烯离子C3H3+的轨道如图所示。
其中：
1 [3(1 2S )] (1 2 3 ) 2 [6(1 S )] (21 2 3 ) 3 [2(1 S )] (2 3 )
S 12 d 13 d 23 d
1 f lm r1 lm d A A Ylm ( A )
满足歧点条件：
f lm [ f lm ]r1 A 0 Z A l 1 r 1A
然而GTO不满足。
7）写出原子轨道构成的各种双电子积分矩阵 元G的表达式。Βιβλιοθήκη 第五章作业4）
”v
1 ’v v 2
以C3v群为例，其中元素C3对 应矩阵表示： 1 0 1 0
3
1 2 C3 2 0 0 1 2 3 3 1 0 0 3 1
6）利用右边的基函数，填写D3的特征表缺失 部分
D3 A1 A2 E E 2C3 3C2 1 1 2 x2+y2,z2 z,Rz (x,y),(Rx,Ry) (x2-y2,xy),(xz,yz) x(x2-3y2) z3,y(3x2-y2) (xz2,yz2),[xyz,z(x2-y2)]
量子作业-有答案版本
En = n 2
h2 , n = 1, 2,3 8md 2
2
（提示：非相对论的动能动量关系为 P = 2mEk ） 解：由 n ⋅
λ
2
= d ，由德布罗意关系 p =
( r , t ) 是应该满足什么样的标准条件？ ψ ( r , t ) dτ 的物理含义是什
2
么？ 答：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是 单值、 有限和连续的；ψ ( r , t ) dτ 表示在 t 时刻
2
r
附近 d τ 体积元中粒子出现的几率。
2、写出定态波函数，定态的特点？ 答：由定态波函数描述的状态称为定态；定态波函数为ψ ( r , t ) = ψ ( r ) exp(− 的特点： （1） 粒子处于定态时能量具有确定的值，即为 E ； （2）粒子处于定态时的几率密度，几率流密度与时间无关。 3、简述玻尔理论的核心思想？ 玻尔假设： （1）定态假设： 电子沿着特定的轨道运动，在这些特殊的轨道上电子处于稳定状态，不向外辐射电磁波； （2）频率条件： 电子由定态向定态 En 跃迁时吸收或辐射频率为ν 的光子，且满足关系式 Em − En = hν （3）轨道角动量量子化假设： 电子只能沿着特定的轨道运动，满足轨道量子化 4、简析波恩关于量子力学的统计解释？ 答：微观粒子的运动状态由波函数描述，波函数的模的平方 Ψ(r , t ) 表示在 t 时刻
1
解得 c =
π
，则ψ =
1 π 1 − ix
1
（2）由
dw( x) d 2 w( x) = 0 ，解得 xm = 0 ，由 < 0 ，故为极大值。即 x = 0 处找到 dx x = xm dx 2 x =0 1
量子力学作业答案：第三四七章
求
† P 1 P 1 1
c1
2
i
c1
i 2 1 2 c1 1 1 2 1 2 1
c 4 2 2 1
2 2 1
42 2
1 1 2 i
P 1
i 1 4 2 2 1 2 42 2
，由上题可知厄米算符的平均值必为实 数，所以厄米算符的本征值也为实数。 4、 证明：厄米算符属于不同本征值的本征态彼此正交。 证明：
量子力学作业习题
第一章 量子力学的诞生[1] 在宏观世界里，量子现象常常可以忽略．对下列诸情况，在数值上加以证明： ( l ）长l=lm ，质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅；( 2 ）质量M=5g ，以速度10cm/s 向一刚性障碍物（高5cm ，宽1cm ）运动的子弹的透射率；( 3 ）质量M= 0.1kg ，以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m 2时的窗子所衍射．[2] 用h,e,c,m （电子质量）, M （质子质量）表示下列每个量，给出粗略的数值估计： ( 1 ）玻尔半径（cm ) ; ( 2 ）氢原子结合能（eV ) ; ( 3 ）玻尔磁子；( 4 ）电子的康普顿波长（cm ) ; ( 5 ）经典电子半径（cm ) ; ( 6 ）电子静止能量（MeV ) ; ( 7 ）质子静止能量( MeV ) ; ( 8 ）精细结构常数；( 9 ）典型的氢原子精细结构分裂[3]导出、估计、猜测或背出下列数值，精确到一个数量级范围内，( 1 ）电子的汤姆逊截面；( 2 ）氢原子的电离能；( 3 ）氢原子中基态能级的超精细分裂能量；( 4 ）37Li ( z=3 ）核的磁偶极矩；( 5 ）质子和中子质量差；( 6 )4He 核的束缚能；( 7 ）最大稳定核的半径；( 8 ）Π0介子的寿命；( 9 ）Π-介子的寿命；( 10 ）自由中子的寿命．[4]指出下列实验中，哪些实验表明了辐射场的粒子性？哪些实验主要证明能量交换的量子性？哪些实验主要表明物质粒子的波动性？简述理由．( 1 ）光电效应；( 2 ）黑体辐射谱；( 3 ) Franck – Hertz 实验；( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验；( 5 ) Compton 散射．[5]考虑如下实验：一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板，板外是一装有检测器阵列的屏幕，利用检测器能定出电子撞击屏幕的位置．在下列各种情形下，画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图，给出简单解释． ( 1 ) A 缝开启，B 缝关闭； ( 2 ) B 缝开启，A 缝关闭； ( 3 ）两缝均开启． [6]验算三个系数数值：（1）h 2e m ；（2）h 2nm ；（3）hc第二章 波函数与Schr ödinger 方程[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(x m x V ω=] [2] 一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子动量的平均值。
氢原子的量子理论作业（含标准答案）
氢原⼦的量⼦理论作业（含标准答案）第26章氢原⼦的量⼦理论习题 (初稿)⼀、填空题1. 氢原⼦的波函数可以写成如下形式(,,)()(,)l l nlm nl lm r R r Y ψθ?θ?=，请给出电⼦出现在~r r dr +球壳内的概率为___________，电⼦出现在(),θ?⽅向⽴体⾓d Ω内的概率为_______________。
2. 泡利不相容原理是指 ______________ ，原⼦核外电⼦排布除遵循泡利不相容原理外，还应遵循的物理规律是 __________ 。
3. 可以⽤⽤ 4 个量⼦数描述原⼦中电⼦的量⼦态，这 4 个量⼦数各称和取值范围怎样分别是：(1) (2) (3) (4) 。
4. 根据量⼦⼒学原理，如果不考虑电⼦⾃旋，对氢原⼦当n 确定后，对应的总量⼦态数⽬为_ _个，当n 和l 确定后，对应的总量⼦态数⽬为__ __个5. 给出以下两种元素的核外电⼦排布规律：钾（Z=19）: 铜（Z=29）: ___ __6. 设有某原⼦核外的 3d 态电⼦，其可能的量⼦数有个，分别可表⽰为____________________________。
7. 电⼦⾃旋与其轨道运动的相互作⽤是何种性质的作⽤。
8. 类氢离⼦是指___________________，⾥德伯原⼦是指________________。
9. 在主量⼦数为n=2，⾃旋磁量⼦数为s=1/2的量⼦态中，能够填充的最⼤电⼦数是________。
10. 1921年斯特恩和格拉赫实验中发现，⼀束处于s 态的原⼦射线在⾮均匀磁场中分裂为两束，对于这种分裂⽤电⼦轨道运动的⾓动量空间取向量⼦化难于解释，只能⽤_________来解释。
⼆、计算题11. 如果⽤13.0 eV 的电⼦轰击处于基态的氢原⼦，则：（1）氢原⼦能够被激发到的最⾼能级是多少？（2）氢原⼦由上⾯的最⾼能级跃迁到基态发出的光⼦可能波长为多少？（3）如果使处于基态的氢原⼦电离，⾄少要多⼤能量的电⼦轰击氢原⼦？12. 写出磷的电⼦排布，并求每个电⼦的轨道⾓动量。
量子物理作业答案
量子力学导论作业File2~file51. 热辐射的峰值波长与辐射体温度之间的关系被维恩位移定律：b T m =λ表示，其中K m b ⋅⨯=-3108978.2。
求人体热辐射的峰值波长（设体温为 37）。
解：由定律b T m =λ可得：m m T t b T b o m 631035.927337108978.2--⨯=+⨯=+==λ即，人体热辐射的峰值波长为9350nm 。
2. 宇宙大爆炸遗留在宇宙空间的均匀各向同性的背景热辐射相当于T=2.726K 黑体辐射。
此辐射的峰值波长是多少？在什么波段？解:根据维恩位移定律b T m =λ，得：m m T b m 331006.1726.2108978.2--⨯=⨯==λ即该辐射峰值波长为1.06mm ，属于红外波段。
3. 波长λ=0.01nm 的X 射线光子与静止的电子发生碰撞。
在与入射方向垂直的方向上观察时，散射X 射线的波长为多大？碰撞后电子获得的能量是多少eV?解：依题意，在垂直方向观察时散射角， 90=θ由波长改变量公式()θλλλcos 100-=-=∆cm h，得散射后X 射线波长：m 98313490100124.0)90cos 1(103101.91063.61001.0----⨯=-⨯⨯⨯⨯+⨯=∆+= λλλ X 射线损失的能量等于电子增加的动能)0124.0101.01(1011031063.698340-⨯⨯⨯⨯⨯=-=∆=∴--λλhc hc E E X e eV J E e 415104.21085.3⨯=⨯=∴-所以，散射X 射线波长为0.0124nm ，电子获得能量为eV 4104.2⨯4. 在一束电子束中，单电子的动能为E =20eV ，求此电子的德布罗意波长。
解：电子动能较小，固忽略其相对论效应，所以由221mv E =，得电子速率mEv 2= 又mv p = ，由德布罗意公式ph =λ mm mvh 10311931341075.2101.9106.1202101.91063.6-----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∴λ即电子德布罗意波长为101075.2-⨯m 。
《量子力学》作业参考答案
《量子力学》作业参考答案一 填空1． 爱因斯坦，h ν或ω ，k n h P==λ2． Ψ=A ()Et r P i e-⋅,Eh Ph μλ2==3. 归一化条件(⎰=∙1τψψd )，相因子(δi e ).4. i ψψH t ˆ=∂∂ ,()()Et i e r t r -=ψψ,. ()()∑-=ψntE in n n e r C t r ψ, 5． 6, () 2,1,0±±=z L .6． ()()()P P d r r P P '-=⎰∞*'δτψψ， 112222223==⎰⎰⎰⎰---*l l l l l l P P dz dy dx L d τψψ．7．实物粒子也应该具有波动性．电子衍射8．E=h ν=ω ,k n h P==λ9．波函数在空间各点的相对强度，强度的绝对大小。
10. i ψψH t ˆ=∂∂ , ψψE H =ˆ或()ψψψμE r V =+∇-222 . 11． ()221 +=l l L , m L z =.12．()()dr r r R dr r W nl nl 22=，()()Ω=Ωd Y d W lm lm 2,,ϕθϕθ13．C=()2321π, C=23-L14．()()dx x u x i x Fx u F q q q q ⎰'*'⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= ,ˆ, ()x x x i x F F x x '-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='δ ,ˆ. 15．()()ti nmn n m mn e H t a dt t da i ω∑'= , ()⎰''='t t i mk m t d e H i t a mk 01ω , 16．mk ωω±=或ω ±=k m E E , ()ωωδπ±=-mk mk m k F w 222, 或()ωδπ±-=-k m mk m k E E F w 22 17．原子光谱线系的精细结构,塞曼效应, 斯特思-盖拉赫实验. 18． FS S 1-， n λλλ+++ 21，19． mk A ， ()mk mk B I ω，20． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡01ψ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20ψ，21． ；j j ，j ，jj j j 2121211--++= 21m m m +=；22．由全同粒子构成的体系中，任意两粒子的交换，不引起体系状态的改变；全同粒子体系的波函数，具有确定的交换对称性，且这种交换对称性不随时间改变。
《大学物理II》作业-No.07量子力学的基本原理及其应用-C-参考答案
《大学物理II 》作业 No.07 量子力学的基本原理及其应用（C 卷）班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______一、选择题(8小题）1、下列说法不正确的是 [ B ](A)德布罗意提出了物质波假说； (B)爱因斯坦提出了概率波假说； (C)海森堡提出了不确定关系； (D)波尔提出了互补原理。
解： 《大学物理学》下册第二版（张晓 王莉 主编）160页，玻恩于1926年用概率波的概念来解释微观粒子的波动性与粒子性的关联，所以B 的说法不对。
故选B2．如图所示，一束动量为p 的电子，通过缝宽为a 的狭缝。
在距离狭缝为R 处放置一荧光屏，屏上衍射图样中央最大的宽度d 等于 ［ D ］(A) 2a 2/R (B) 2ha /p(C) 2ha /(Rp )(D) 2Rh /(ap )解：根据单缝衍射中央明纹线宽度有()222hp Rhd R R ap a aλ=⨯⨯=⨯⨯= 故选D3. 我们不能用经典力学中的轨道运动来描述微观粒子，是因为： [ C ] （1）微观粒子的波粒二象性 （2）微观粒子的位置不能确定（3）微观粒子的动量不能确定 （4）微观粒子的位置和动量不能同时确定 (A) （1）（3） （B ）（2）（3） (C)（1）（4） (D)（2）（4） 解：《大学物理学》下册第二版（张晓 王莉 主编）161-162页。
由于微观粒子的波粒二象性，使其运动具有一种不确定性。
不确定关系式 ≥∆⋅∆x p x 表明，微观粒子的位置和动量不能同时确定。
故选C4. 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：()()2cos 0x x x a aπψ=<<那么粒子在/3x a =处出现的概率密度为［ A ］ (A)a 21 (B) a1(C) a21 (D) a1解：任意位置概率密度()2222cos x x a aπψ=，将/3x a =代入，得 ()22221cos 32a x a a aπψ=⋅= 故选A5．锂(Z =3)原子中含有3个电子，电子的量子态可用(n ，l ，m l ，m s )四个量子数来描述，若已知基态锂原子中一个电子的量子态为(1，0，0，21)，则其余电子的量子态不可能为[ C ] (A) (1，0，0，21-) (B) (2，0，0，21-)(C) (2，1，1，21)(D) (2，0，0，21)解：根据泡利不相容原理和能量最小原理知，处于基态的锂原子中其余两个电子的量子态分别为 （1，0，0，21-）和 （2，0，0，21）或 （2，0，0，21-）， 故选C6．一个光子和一个电子具有同样的波长，关于二者动量的大小比较，有: [ B ] (A) 光子具有较大的动量 (B ）他们具有相同的动量 (C ）电子具有较大的动量 （D ）它们的动量不能确定解：根据德布罗意公式和爱因斯坦光量子理论，知B 正确。
量子力学第四周作业参考答案
a /2
2 a 8 5
电子处于第二激发态的概率为
C3
2
64 25 2
第四周作业
2. 如图所示，E>V0的粒 子流从x=-∞向右运动，求反 射系数和透射系数。 解：由题意,设
k1 2mE
2
,
k2
2m E V0
2
则反射和透射系数为
则可得x<0和x>0的波函数分别为
a 2
0
a 2
x
a
0
a
x
将基态1 ( x)用 'n ( x)展开
1 ( x) Cn 'n ( x),
1 ( x)dx 0 则 C2 a /2 '* 2 ( x)
a /2
n
阱宽为2a的本征函数
1 n 'n ( x) sin x a , a 2a
电子处于第一激发态的概率为
C2 0
2
则
C3
a /2 a /2 a /2
'* 1 ( x)dx 3 ( x)
1 a 3 2 sin x a sin x dx a 2 2a a a 3 x x cos dx a /2 cos 2a a
1 ( x) Ae 1
' 1
ik1x
Ae
' ik1x 1
, 2 x A2e
ik2 x
R
A
' 2 1 2
A1
1
2 2
k1 k2
4k1k2
2
4k1k2
量子力学作业解答
x=0或 1
即几率最大旳位置。
5.一维运动旳粒子处于
Axe-x , x 0
(x)=
旳状态，λ>0，求：
0,
x<0
（1）归一化因子A；（2）粒子旳几率密度；
（3）粒子出目前何处旳几率最大？
解：（1）1= + Axe-x 2dx =A2 + x2e-2xdx
0
0
利用 (t)= + xt-1e-xdx (n+1)=n! 0
A和B不能同步为零，不然波函数到处为零，无意义。
于是可得 (1) A=0, cos ka=0 ka=n , n取奇数
2
由此可得
(2) B=0, sin
ka=n ,
ka=0
n=1,2,3
ka=n.
2
，n取偶数
2
2mE n
ka= 2 a= 2
En
=
2 2n2
8ma 2
将两组解分别代入波函数可得到两组波函数
(1) A=0, cos ka=0
n
=
B
cos
n
2a
x,
n为奇数，x <a
0,
x a
(2) B=0, sin ka=0
n
=
A
sin
n
2a
x,
n为偶数，x <a
0,
x a
n
=
B
cos
n
2a
x,
n为奇数，x <a
0,
x a
n
=
Asin
n
2a
x,
n为偶数，x <a
0,
x a
张宏标量子力学作业
(4)、设 ( x ) exp ikx ，粒子的位置概率分布如何？能否归一？ (5)、设 ( x) ( x x0 ) ，粒子的位置概率分布如何？能否归一？
作业二参考答案
1、[解] (1)、在球壳 r r dr 中找到粒子的概率为
2 2 2 d (r , , ) sin d r dr 0 W (r )dr 0 2 2 2 r dr d (r , , ) sin d
nh 2a
n 1, 2,3,
n 1, 2,3, 。
(3)
p2 h2n2 2 2 n2 2 m 2m 4a 2 2ma 2
4、 [解] 除了与箱壁碰撞外， 粒子在箱内作自由运动。 假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发， 则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为 x, y, z 轴 方向，把粒子沿 x, y, z 轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有
p2 2T 2 400 106 1.602 1019 得v 1.389 108 m s , 2m0 m0 6.64 1027
其中利用到 1eV 1.602 10 德布罗意波长公式
19
J 。由此可知， 粒子的速度接近光速，故用相对论粒子的
h T 2m0 T 1 2 2m0 c 6.626 1034 85.406 10
粒子能量
E nx n y nz
2 2 1 2 2 py p z2 ) ( px 2m 2m
n x , n y , n z 1, 2 , 3 ,
2 2 nx n2 y nz a2 b2 c2
量子力学第四作业答案
1、求 L y 在 L 2, L z 共同表象，l =1子空间中的矩阵表示。
解：令：u 1 = Y 11 u 2 = Y 10 , u 3 = Y 1-1 ，则 L y 的矩阵元可如下计算： 因为：ˆˆˆˆˆˆx yx yL L iL L L iL +-⎧=+⎪⎨=-⎪⎩ 所以：1ˆˆˆ[]2y L L L i+-=-,1,1lm l m l m L Y a Y ±±±±==111102*********101ˆˆ()21ˆˆ()()21ˆˆ()2y y y L u L L Y Y i L u L L Y Y Y i L u L L Y Y i +-+--+--⎧=-=⎪⎪⎪=-=-⎨⎪⎪=-=⎪⎩（5分） 下面求矩阵的每一个矩阵元，其中用到Y 的正交归一性。
ˆ()*,1,2,3y ij i y jL u L u d i j =Ω=⎰所以：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=000002i i i i L y2、设已知在Z L L ˆˆ2和的共同表象中，算符yx L L ˆˆ和的矩阵分别为 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010******* x L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0000022i i i i L y 求它们的本征值和归一化的本征函数。
最后将矩阵y x L L 和对角化。
解：x L 的久期方程为002220223=+-⇒=---λλλλλ-===⇒3210λλλ，，∴x L ˆ的本征值为 -，，0 xL ˆ的本征方程 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3213210101010102a a a a a a λ 其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321a a a ψ设为xL ˆ的本征函数Z L L ˆˆ2和共同表象中的矩阵 当01=λ时，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000101010102321a a a0 00022132312=-=⇒⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+a a a a a a a ， ∴ ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1100a a ψ由归一化条件2111*1*10020),0,(1a a a a a =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==+ψψ取 211=a⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210210ψ对应于xL ˆ的本征值0 。
医用基础化学平时作业答案
《医用基础化学》作业参考答案医用基础化学第1次平时作业一、单项选择题〔每小题1分，共25分〕1．配制300ml0.10mol L－1NaOH〔M r=40〕需称取固体NaOH的质量为〔A〕〔A〕1.2g 〔B〕1.2mg 〔C〕4.0g 〔D〕4.0mg 〔E〕12 .00g2．人体血液中平均每100 ml中含有19mg K＋(M=39)，则血液中K+的浓度是〔D〕〔A〕0.49 mol • L－1〔B〕4.9mol • L－1〔C〕4.9×10－2 mol • L－1〔D〕4.9×10－3mol • L－1 〔E〕4.9×10－3 mmol •ml－13．中和50ml 0.20mol• L－1HCl溶液，需要某NaOH溶液25ml，该NaOH溶液的浓度是〔C〕〔A〕0.1mol /L〔B〕0.2mol /L〔C〕0.4mol /L〔D〕0.8mol /L〔E〕2.0 mol /L4．会使红细胞发生皱缩的溶液是〔E〕〔A〕1.0g·L-1NaCl(Mr=58.5) 〔B〕10.0g·L-1CaCl2·2H2O(Mr=147)〔C〕12.5g·L-1NaHCO3(Mr=84.0) 〔D〕9.0g·L-1NaCl(Mr=58.5)〔E〕112g·L-1C3H5ONa(Mr=80)5．血红细胞置在下列哪个溶液中，将会引起溶血(细胞破裂)现象〔D〕〔A〕9.0g •L－1 NaCl 〔B〕90.0g •L－1NaCl 〔C〕50.0g •L－1葡萄糖〔D〕生理盐水的10倍稀释液(E)100.0g •L－1葡萄糖溶液6．在室温下把青蛙的筋肉细胞放在0.2mol/LNaCl水溶液中，观察到细胞皱缩，由此可得到的结论是〔C〕〔A〕细胞内液的渗透浓度大于NaCl水溶液的渗透浓度〔B〕NaCl水溶液的浓度大于细胞内液的浓度〔C〕NaCl水溶液的渗透浓度大于细胞内液的渗透浓度〔D〕两者的浓度相等7．当AgNO3的稀溶液与KI的稀溶液混合时，若AgNO3溶液过量，所形成溶胶的胶团和胶粒分别带〔C〕〔A〕正电荷负电荷〔B〕负电荷正电荷〔C〕电中性正电荷〔D〕电中性负电荷8．溶胶可暂时稳定存在的主要因素有〔B〕〔A〕布朗运动〔B〕胶粒带电〔C〕胶粒扩散〔D〕胶粒对光的散射作用9．对于胶团[(AgI)m ·nAg+·(n-x)NO3－]x+·xNO3－，下列说法不正确的是〔D〕〔A〕〔AgI〕m是胶核〔B〕 Ag＋为吸附离子〔C〕 NO3－为反离子〔D〕 m = n + x〔E〕[〔AgI〕m ·nAg+· (n-x)NO3－]x+为胶粒10．将0.01mol/LAgNO3溶液与0.10mol/LKI溶液等体积混合制备AgI溶胶，下列电解质中对该溶胶聚沉能力最强的是〔B〕〔A〕K2SO4〔B〕Al(NO3)3〔C〕MgCl2〔D〕K3[Fe(CN)6] 〔E〕NaCl11．关于活化能，下列说法正确的是〔C〕(A) 活化能越大，反应速度越大〔B〕反应速度相同的反应，活化能一定相同〔C〕活化能越小，一般反应速度越快〔D〕正、逆反应的活化能相同(E) 活化能是活化分子具有的能量12．在化学反应中，催化剂的作用在于〔A〕〔A〕降低了活化能〔B〕增加了分子间碰撞〔C〕改变反应的平衡常数〔D〕分子运动速度加快〔E〕增大了活化分子的分数13．某温度下，下列反应已达平衡：CO(g)＋H2O(g) === CO2(g)＋H2(g) 〔放热反应〕，为提高CO的转化率，可采取的方法是〔A〕〔A〕通入更多的水蒸气〔B〕增加体系的总压力〔C〕加入催化剂〔D〕降低体系的总压力〔E〕升高体系的温度14．下列关于化学平衡的叙述中，正确的是〔 E 〕 〔A 〕升高温度，平衡向放热反应方向移动 〔B 〕降低温度，平衡向吸热反应方向移动 〔C 〕温度改变不能使化学平衡发生移动〔D 〕改变浓度可引起平衡的移动，故K 也随之发生改变 〔E 〕改变浓度可引起平衡的移动，但不会改变K15．已知HCN 的Ka = 5.0×10－10 mol/L ，则CN －的碱常数Kb 为〔 D 〕〔A 〕5.0×10－14 〔B 〕5.0×10－10 〔C 〕 2.0×10－6〔D 〕2.0×10－5 〔E 〕2.0×10－416．往氨水溶液中加入一些固体NH 4Cl ，会使〔 B 〕〔A 〕溶液PH 增大 〔B 〕溶液PH 减小 〔C 〕溶液PH 不变 〔D 〕NH 3的Kb 增大 〔E 〕NH 3的Kb 减小17．由等体积的HX 和NaX 组成的缓冲体系，如果HX 的电离常数Ka=10－5，则此缓冲溶液的PH 值为〔 B 〕 〔A 〕 7 〔B 〕5 〔C 〕8 〔D 〕9 〔E 〕1418．将0.10mol/L 的HAc 溶液加水稀释至原体积的二倍时，其[ H +]和PH 值的变化趋势各为〔 B 〕 〔A 〕增加和减小 〔B 〕减小和增大 〔C 〕减小和减小 〔D 〕为原来的一半和增大 〔E 〕为原来的一倍和减小19．根据酸碱质子理论，在化学反应NH 3＋H 2O ＝NH 4＋＋OH －中，属于酸的物质是〔 E 〕〔A 〕NH 3和H 2O 〔B 〕NH 4＋和H 2O〔C 〕NH 4＋和OH － 〔D 〕NH 3和OH － 〔E 〕NH 3和NH 4＋20．若要制备PH=7的缓冲溶液，较为合适的缓冲对是 (D )〔A 〕甲酸钠和甲酸 (Ka=1.8×10－4)〔B 〕醋酸钠和醋酸 (Ka=1.8×10－5)〔C 〕氯化铵和氨水 (Kb=1.8×10－5)〔D 〕磷酸氢二钠和磷酸二氢钠 (Ka=6.3×10－8)21．有一难溶强电解质M 2X ，其溶度积Ksp 和其在饱和溶液中的溶解度S 的关系式为〔 E 〕 〔A 〕S ＝Ksp 〔B 〕S=SP K 〔C 〕S=3Ksp 〔D 〕S=32/Ksp 〔E 〕S=34/Ksp22．有一难溶强电解质Fe 2S 3，其溶度积Ksp 表达式是〔 D 〕〔A 〕Ksp ＝[Fe 3+][S 2-]〔B 〕Ksp ＝[Fe 23+][S 32-] 〔C 〕Ksp ＝[2Fe 3+]2[3S 2-]3 〔D 〕Ksp ＝[Fe 3+]2[S 2-]3〔E 〕Ksp ＝2[Fe 3+]2 •3[S 2-]323．250C 时CaCO 3饱和溶解度为9.3 ⨯ 10-5mol/L ，则CaCO 3的溶度积Ksp 为〔 A 〕〔A 〕8.6×10－9 〔B 〕9.3×10－5 〔C 〕1.9×10－5〔D 〕9.6×10－2 〔E 〕1.9×10－424．25℃时PbI 2的Ksp 为8.49×10－9则其饱和溶液I －浓度约为〔 C 〕〔A 〕2.04×10-3 mol/L 〔B 〕4.08×10-3 mol/L〔C 〕2.57×10-3 mol/L 〔D 〕1.28×10-3 mol/L 〔E 〕3.03×10-3mol/L25．250C 时Ag 2CrO 4饱和溶液中，[CrO 42-]=6.0×10-5mol/L ，则Ag 2CrO 4的溶度积Ksp 为(C )〔A 〕6.6×10－9 〔B 〕2.2 ×10－13 〔C 〕8.64×10－13〔D 〕5.4×10－14 〔E 〕1.9×10－10二、填空题〔每小题1分，共30分〕 1．产生渗透现象的条件是___半透膜存在__和膜两侧溶液中溶质浓度不同。
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9 已知波函数为a x x a x a x n a x n n ≥==,0)(;),2cos(1)(ψπψ 。
计算其动能的平均值，该函数是否是动能算符的本征函数，如果是本征值是多少？
10．证明：)()](,[x x
i x P x ψϕ∂∂-= 证：设)(x f 为任意函数，∴)()()())(()()(x f p x x f x x
i x f x p x x ϕϕϕ+∂∂-= )()()()(x p x x f p x x x ϕϕϕ=，∴x x i x f p x x f x p x x ∂∂-=-)()()()()(1ϕϕϕ
由于)(x f 是任意函数，∴x
x i x p x ∂∂-=∧)()](,[ϕψ 11. 经典力学中的力学量如何准换成量子力学的算符？
答：将力学量中的动量和坐标分别换成p i ∧
→=-∇ 和r r ∧→=即可。
12.如果用时空坐标为变量，自由粒子动量算符的本征值是取确定值还是取不定值（具有不确定性）。
答：是其本征态，因此动量取确定值。
13. 自由粒子的动量本征函数的归一化是指？
答：归一到(')p p δ-函数上，即⎰∞
*
-=)'()()('p p d r r y p δτψψ，波函数可以写成)exp()
2(1)(2/3r p i r p ⋅= πψ。
14. 采用向归一化时，动量算符的本征值为？如果动量量子化了，在何时可以回归到经典的可以取连续数值情况？
答：p =动量是量子化的。
当l 较大时动量开始变得连续了。
其中
n =
15. 我们在讨论电子在库仑场中运动时曾经定义了()()u r R r r =
，为了得到解我们进行了渐进解的讨论和级数展开。
2()()u e f ρ
ρρ-=，ρ＝ar 。
0
()s f b υυυρρ∞+==∑。
其中s 不能小于
1。
我们为何要提出这样的要求？
答：为了保证在r 趋于零时保证()()u r R r r
=有限。
7．证明x i P x
∂∂-=∧ 是厄米算符。
证：dv x i dv x i dv x i dv F x ⎰⎰⎰⎰∂∂+∂∂-=∂∂-=∧*)*(*
*ϕϕϕϕϕϕϕϕ ⎰⎰⎰∧=⋅∂∂-∂∂-=dv p dv x
i dv x i x *)(*)(*ϕϕϕϕϕϕ 证毕。
5. 粒子在一维势场)(x V 中运动，试证明属于不同能级的束缚态波函数互相正交。
证明：设1ϕ，2ϕ分别为能级1E 和2E 的束缚态波函数，对于一维定态问题而言，1ϕ和2ϕ可取为实变函数
∴ 021=⎰∞
∞-dx ϕϕ得到证明即可。
1ϕ和2ϕ满足的定态薛定谔方程为
0)]([2112212=-+ϕϕx V E m dx d
① 0)]([2222222=-+ϕϕx V E m dx d
② 以2ϕ左乘①式，1ϕ左乘②式，再相减后有
0][22121222212122=-+-E E m dx d dx d ϕϕϕϕϕϕ 212122112][2)(ϕϕϕϕϕϕE E m dx d dx d dx d -=-
③ ③式对全空间积分有 ⎰⎰-=-∞∞-dx dx d dx d dx d dx E E m )()(2211221122ϕϕϕϕϕϕ
02
112=-=∞
∞-dx d dx d ϕϕϕϕ
∴当1E ≠2E 时，则021=⎰∞
∞-dx ϕϕ
8．证明厄米算符的本征值为实数。
证：设∧
F 为厄米算符，ϕ为其归一化本征函数，λ本征值， ∴λϕϕ=∧
F ，左乘*ϕ对全空间积分有 **)(**λϕϕλϕϕλϕϕ====⎰⎰⎰∧∧dv F dv dv F
∴ *λλ=实数。
9．证明厄米算符的本征值取分立值所对应的非简并本征函数彼此正交。
证：函数为正交的含义⎰=0*dv ϕϕ，如本征值为不连续值，l l l F F φφ=∧，k k k F F φφ=∧，l k ≠
∴
*)*(l l l l F F φφ=∧ ⎰⎰⎰⎰⎰===∧∧dv F dv F dv F dv F k l k k l k l l k l φφφφφφφφ****)(
∴ 0*)(=-⎰dv F F k l k l φφ，∴0≠-k l F F ，则有⎰=0*dv k l φφ
第四章 态和力学量表象
1. 何谓表象？
答：我们讨论问题时都是在特定的空间中进行的。
当我们选定了在坐标空间中某个力学量的本征函数为基矢量来构建新的空间来讨论问题时，这个新的空间就是该表象。
1．如果n φ是∧H 的本征函数（坐标空间），任意力学量∧
Q 的本征函数为n ψ，则∑=)(r a n n φψ，则{}n a 的物理意义是什么？ 解：2n a 是),(t r
ψ所描写的态中Q 的几率，),(1 n a a 和)(1 n ψψ是描述同一物理事件。
如1*=⎰dv ψψ，则12=∑n
n a
2．设∧Q 在坐标空间中的本征函数为i U ，且组成完全系，则薛定谔方程的矩陈表示式为
（∑=)()(x U t a i i ψ），),(t x H t
i ψψ∧=∂∂ 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ )()()()()()(212122*********t a t a t a H H H H H H H H H t a t a t a t d d i n nm n n n m n
10．l φ为∧F 的本征函数，l F 本征值，l φ组成完全系。
∴l l l F F φφ=∧，部在任一量子态ϕ下，∧F 的平均值等于什么？n F 在ψ中出现的几率是多少？ 解：∑=n n C φψ， ∴dv C F C dv F F m m n m n n φφψψ∑⎰⎰∧
∧=⋅=,***
n n n m m n n
m m n F C dv F C C 2,**∑⎰∑==φφ，2
n C 是n F 出现的几率。