高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT椭圆的焦点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及其应用在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢首先我们有命题：若椭圆的焦点弦21F F 所在直线的倾斜角为θ，a 、b 、c 分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和焦半距，则有θ222221cos 2c a ab F F -=。
上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB 8=，焦距21F F =24，过椭圆的焦点1F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点，设X PF 1∠=α)0(πα<<，当α取什么值时，PQ 等于椭圆的短轴长分析：由题意可知PQ 是椭圆的焦点弦，且4=a ，22=c ，从而22=b ，故由焦 点弦长公式θ222221cos 2c a ab F F -=及题设可得：24cos 816)22(4222=-⨯⨯α，解得αcos ±=22-，即α=arc 22cos -或arc -π22cos -。
例2、在直角坐标系中，已知椭圆E 的一个焦点为F （3，1），相应于F 的准线为Y 轴，直线l 通过点F ，且倾斜角为3π，又直线l 被椭圆E 截得的线段的长度为516，求椭圆E 的方程。
分析：由题意可设椭圆E 的方程为1)1()3(2222=-+--by a c x ，又椭圆E 相应于F 的准线为Y 轴，故有32+=c ca （1）， 又由焦点弦长公式有3cos 22222πc a ab -=516 （2）又 222c b a += （3）。
解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：42=a ，32=b ，1=c ，从而所求椭圆E 的方程为13)1(4)4(22=-+-y x 。
例3、已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ），直线1l ：1=-by a x 被椭圆C 截得的弦长为22，过椭圆右焦点且斜率为3的直线2l 被椭圆C 截得的弦长是它的长轴长的52，求椭圆C 的方程。
椭圆、双曲线过焦点的弦长公式及其应用
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们 利用椭 圆、 曲线过焦 点的弦长公 式处理 此类 问题会 双 省时省 力 ， 同时也 能 大大提 高解题 的准 确率． 阐述如 现
注 （） １ 性质 １中当直线 ｌ 过椭圆 ＋ ＝１ 告
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（） ２当直线ｚ 过椭圆 鲁＝ （＞＞） 焦点， ＋ １口６０ 的 且ｚ
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考、 竞赛 中的热点之一 ， 解决这 类 问题 ， 统 的做法 一般 传
是将 弦所 在的直线方程与椭 圆或双 曲线 方程进 行联 立 ，
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利用焦半径公式或弦长公式 ＩＢＩ 一： ・／＋ Ａ ＿ｆ Ｉ 、１ ＝ ／
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图４
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直线与椭圆的位置关系之弦长公式
直线与椭圆的位置关系之弦长公式一、知识点1） 弦长公式的推导、几何解释、作用 2） 弦长公式的应用 二、教学过程 1 弦长公式引例：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作倾斜角为60的直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求AB 的长．分析：左焦点(1,0)F -，则直线:1)l y x =+代入椭圆方程2212x y +=，得到 271240x x ++=，则=32∆设1122(,),(,)A x y B x y ，则||AB ===122||||x x a -= 一般：若直线l 上两点111222(,),(,)P x y Px y，则121212||||PP x x y y =-=-，上述公式称为弦长公式，有推导过程知，其实质是直线上两点距离公式的简化式； 说明：1） 计算12||x x -，可以通过12||x x -=但通常利用12||||x x a -=计算，其中a 为对应x 的方程的二次项系数，∆为判别式；12||y y -也同理计算，弦长公式体现了“设而不求”的思想2） 如图，因为2112||:||:|||P M PM PP k =，又112||||PM x x =-，212||||P M y y =-，则可知，121212||||PP x x y y =-=- 这里体现了“化斜为直”的思想 2 例题例1 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B两点，若||7AB =l 的方程． 解：设:(1)l y k x =+，代入椭圆方程：22220x y +-=，得到2222(12)4220k x k x k +++-=，所以28(1)k ∆=+则||7AB ===所以k =又当k 不存在时，||AB =所以，直线l 的方程1)y x =+配套练习：上述例题中，也可以将直线l 设为1x y λ=-，请你计算 解：将1x y λ=-代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（），则||AB ==，所以，λ= 当λ不存在，即0y =时，||AB =所以直线l 的方程为1x y =- 例2 经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求OAB ∆面积的最大值．解：设直线1x y λ=-，代入椭圆方程22220x y +-=，得到：22(2)210y y λλ+--=，则2=8+1λ∆（）， 法1：||AB ==O l d -，所以1||2AOBO l S AB d ∆-=⋅=2112t t t=≤++（t 当0λ=时，取到 法2：11||||122AOBA B S AB y y ∆=⋅-=⋅，下同解法1 配套练习1：经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作直线l ，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，求||AB 的取值范围． 解：上题可知：21||)2AB λ=-∈+当λ不存在时，||AB =||AB ∈ 配套练习2：1、经过椭圆2212x y +=的左焦点F 作两条互相垂直的直线12,l l 与椭圆分别交于,A B 与,C D 两点，若32||||9AB CD ⋅=，求直线1l 的方程 参考解答：设直线1:(1)l y k x =+，则21:(1)l y x k=-+，则可知||AB =，同理知22221))||221k k CD k k++==++，则由32||||9AB CD ⋅=可知1k =±，1:(1)l y x =±+例3（备用）已知椭圆22:14x G y +=，作圆221x y +=的切线l 交椭圆于,A B 两点，O 为坐标原点，求OAB∆面积的最大值．解：设直线l ： x y n λ=+1=，所以221n λ=+代入椭圆方程：22440x y +-=，得到：222(4)240y n y n λλ+++-=，则222222=44(4)(4)16(4)=48n n n λλλ∆-+-=+-则211||11223AOB S AB t ∆=⋅==≤+t =）当λ= 配套练习：1、已知椭圆：22143x y +=，直线l ：2y x m =+与椭圆交于,A B 两点，求AOB S ∆的最大值参考解答：可知S =≤。
焦点弦定理公式
焦点弦定理公式嘿，咱今天就来好好唠唠这焦点弦定理公式。
要说这焦点弦定理公式啊，那在数学的圆锥曲线里可是个重要角色。
咱们先从抛物线说起，在抛物线中，焦点弦长等于 x₁ + x₂ + p （这里的 x₁、x₂是焦点弦端点的横坐标，p 是抛物线的焦准距）。
这公式看着简单，可真要用起来，那得好好琢磨琢磨。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙瞪着大眼睛一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这咋这么复杂呀？”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”然后我就给他举了个例子，比如说抛物线 y² = 2px ，有一条焦点弦的两个端点坐标是 (x₁, y₁) 和 (x₂,y₂) ，那根据抛物线的方程，咱就能得到 y₁² = 2px₁，y₂² = 2px₂。
然后呢，通过一系列的推导和计算，就能把焦点弦长给算出来啦。
再说说椭圆里的焦点弦，那也有它独特的公式。
对于椭圆 x²/a² +y²/b² = 1 （a > b > 0），焦点弦长可以用2ab² / (b² + c²sin²α) 来表示（这里的 c 是椭圆的半焦距，α 是焦点弦与长轴的夹角）。
在双曲线中呢，焦点弦长公式又有所不同。
双曲线 x²/a²- y²/b² = 1 ，焦点弦长是 2ab² / (|b² - c²sin²α|) 。
学习这些公式的时候，可不能死记硬背，得理解其中的原理。
就像搭积木一样，一块一块弄清楚了，才能搭出漂亮的城堡。
比如说在做练习题的时候，有这么一道题：已知抛物线 y² = 8x ，有一条焦点弦的两个端点横坐标分别是 2 和 6，让求这条焦点弦的长度。
这时候，咱们就可以先算出 p = 4 ，然后根据公式，焦点弦长就等于 2+ 6 + 4 = 12 。
高中数学椭圆弦长公式推导过程
高中数学椭圆弦长公式推导过程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：椭圆是数学中常见的曲线形状之一，在高中数学学习中，我们经常会接触到椭圆的相关知识，其中就包括椭圆的弦长公式。
椭圆弦长公式是求椭圆上任意两点之间的弦长的公式，通过推导可以得到其具体表达式。
下面，我将详细介绍椭圆弦长公式的推导过程。
让我们来了解一下椭圆的基本定义和性质。
椭圆可以看作是一个平面内到两个定点（焦点）的距离之和等于常数的点的轨迹。
我们用椭圆的两个焦点表示为F1和F2，椭圆的长半径为a，短半径为b，焦距为2c。
椭圆的标准方程可以表示为：\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)椭圆上的一点P(x, y)到两个焦点的距离之和等于常数2a，即：\( PF1 + PF2 = 2a \)我们将这个式子记为(1)。
接下来，我们需要推导出椭圆的弦长公式。
假设椭圆上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要求这两点之间的弦长AB的长度。
我们需要找到连接两点A和B的直线方程。
由于椭圆是一个二次曲线，因此椭圆上的点满足椭圆的标准方程。
点A(x1, y1)和B(x2, y2)分别满足椭圆方程：连接两点A和B的直线方程可以表示为：\( (y-y1) = \frac{y2-y1}{x2-x1} \times (x-x1) \)将这个直线方程代入椭圆的标准方程，可以得到连接两点A和B的方程。
接下来，我们要求直线与椭圆的交点，即求方程组：可以得出AB弦长的计算公式为：可见，椭圆弦长公式的推导过程并不复杂，只要我们掌握了椭圆的基本性质和相关知识，就可以很轻松地推导出弦长公式。
通过这个推导过程，我们可以更加深入地理解椭圆的性质和特点，为我们深入学习和理解椭圆奠定了基础。
椭圆是数学中非常重要的一个曲线，在高中数学学习中，我们需要掌握椭圆的基本知识和相关公式。
弦长公式是椭圆的一个重要性质，通过推导过程，可以更好地理解椭圆的几何特性。
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式
过椭圆焦点的弦长公式：
|AF2|/|AH|=e|AF2|
椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
韦达定理说明了一元二次方程中根和系数之间的关系。
法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出了这条定理。
由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
焦点弦公式推导过程
焦点弦公式推导过程1. 椭圆焦点弦公式推导。
- 设椭圆方程为frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1(a>b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)-b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
- 设直线与椭圆交点为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)。
- 将直线方程y = k(x - c)代入椭圆方程frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2} = 1，得到：- frac{x^2}{a^2}+frac{k^2(x - c)^2}{b^2} = 1。
- 展开并整理得(a^2k^2+b^2)x^2-2a^2ck^2x+a^2(c^2k^2-b^2) = 0。
- 根据韦达定理，x_1+x_2=frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2}，x_1x_2=frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 弦长| AB|=√(1 + k^2)| x_1-x_2|。
- 先求(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2。
- 将x_1+x_2和x_1x_2的值代入可得：- (x_1-x_2)^2=(frac{2a^2ck^2}{a^2k^2+b^2})^2-4frac{a^2(c^2k^2-b^2)}{a^2k^2+b^2}。
- 化简得(x_1-x_2)^2=frac{4a^2b^4(1 + k^2)}{(a^2k^2+b^2)^2}。
- 所以| AB|=√(1 + k^2)·frac{2ab^2}{a^2k^2+b^2}。
- 当直线斜率不存在时，直线方程为x = c，代入椭圆方程得y=±frac{b^2}{a}，此时弦长| AB|=frac{2b^2}{a}。
2. 双曲线焦点弦公式推导（以焦点在x轴为例）- 设双曲线方程为frac{x^2}{a^2}-frac{y^2}{b^2} = 1(a>0,b>0)，过焦点F(c,0)（c=√(a^2)+b^{2}）的直线方程为y = k(x - c)（当直线斜率存在时）。
高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要 ：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即AB = 1 k 2x 1 x 2或者 AB= 1+( k 1)2y 1 y 2 ，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公 式： 2ab2AB 2 2a 2b 2 ，如果记住公式，可以给我们解题带来方便 .a2 c 2 cos 2下面我们用万能弦长公式， 余弦定理， 焦半径公式， 仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式， 这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用 .解法一 ：根据弦长公式直接带入解决 .22题：设椭圆方程为 x2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于A( x 1 , y 1), B ( x 2 , y 2 )两点，求弦长 AB .22椭圆方程 x2 y 2 1可化为b 2x 2a 2y 2 a 2b 2⋯⋯①， a2b 2直线 l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c ( 斜率不存在即为 m 0时 ) ，代入①得：(b 2m 2a 2)y 2 2mcb 2 y b 2c 2 a 2b 2 0 ，整理得， (b 2m 2 a 2)y 22mcb 2y b 4∴y1y 2b 2m 22mcb 22 ,y 1y 2 a b 4b 2m 2aAB = 1+( k 1)2y 1y 21 m2(2 2 bm 2mcb 2 )2 2)a4b 42 2 2b m a1 m 24a 2b 4(1 m 2)2 2 2 2(b m a )∴ AB2ab 22 2 2 b m a1m1)若直线 l 的倾斜角为，且不为 90o ,则1 tan ，则有：ABb 2m 2a 2b a 2 1 m 2b m a2ab 22 1 2 b 2 atan1tan 2由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为AB2ab 22 2 2 a c cos②.2)若 =90o ，则 m 0，带入 AB2 2ab 22 2 2 b m a1 m 2,得通径长为 2b 2，同样满足②式 .并且由a解法二 ：根据余弦定理解决22题：设椭圆方程为 x 2 y2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab 圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .AB2ab 21 m2 =2a(b 2m 2a 2) 2a 32ab 22 2 21 m =2 2 2b m a b m a2a2a 2(a 22 b 22) 2a2a(a 22 b 2) 2b 2b m a a,当且仅当 m 0 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为2b 22b，故可知通径是最短的焦点弦， a综上，焦点弦长公式为 AB2ab 22 2 2 a c cos22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 a 2 b21，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .解：如右图所示，连结 F 1 A, F 1B ，设 F 2A=x, F 倾斜角为 ，则由椭圆定义可得AF 1F 2 中，由余弦定理得cos( )(2c)2x 2(2a x)2，化简可得4cxBF 1F 2 中，由余弦定理同理可得b 2a ccosABb 2b 2ya ccos a ccos2ab 2222a c cos解法三：利用焦半径公式解决 解：由解法一知x 1x 2=my 1 c my 2 c m(y 1 y 2 ) 2c22 2m 2cb 2 2 2 2bm a 2c22a 22c2 .由椭圆b 2m 2a 2的第二定义可得焦半径公式，那么 F 2A a ex 1, F 2B aex 2，则弦长2 F 1A =2a x中 结 得AB③2 abkc为a2果带入③将此b 1 k 22 2 2 a 2b 2(1 k 2)2 2 2 b 2 a 2k 2b2 a 2k2 A'B'b 2m2 A'B' =b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 22 2 2b 2 a 2k 2后面分析同解法解法四 ：利用仿射性解决22题：设椭圆方程为 x 2 y 2 1，左右焦点分别为 F 1( c,0), F 2(c,0) ，直线 l 过椭圆的右焦点 F 2 交椭 ab圆于 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，求弦长 AB .b 1 k 2a 2b 2(1 k 2) 2ab 2(1 k 2)，由 k tan ，带入得AB = b 1 k 2AB =b 2 a 2k 22ab 2m 2 2ab 2 故AB =a ex 1 a ex 2 2a e(x 1 x 2)2 2 2b m ax' x解：利用仿射性， 可做如下变换 a ，则原椭圆变为 (x')2 (y')2 y' ya 2，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆 . 假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为 bak .椭圆中弦长 AB = 1 k 2x 1 x 2 ，经过 变换后变为 A'B' 1 (a k)2 x 1x 2 ，带入，得变换前后弦长关系为AB =(akc )2 b 1 (a bk )2bA'B' =2 a 22ab 2a 2 c 2 cos 22ab 2(1 m 2)勾股定理求得弦长为而我们知道圆的弦长可以用垂径 定理求得 .如图所示，假设直线y a k(x c) ，圆心到直线的距 b离为 d，根据半径1 (a bk)2a4上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为： 记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明 22 例 1已知椭圆 x y25 21 AB2ab 2，2 2 2，a c cos1，过椭圆焦点且斜率为 3 的直线交椭圆于 A, B 两点，求 AB . 分析：如果直接用弦长公式解决， 因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解解：由题， a 5,b 2 21,c 24， = , 带入 AB 3 2ab 2 222a c cos 得 AB =10. 例 2已知点 P(1, 3) 在椭圆 C ：x2 2 a 22y2 1(a> b> 0)上，过椭圆 C 的右焦点 F 2 (1,0)的直线 l与b 椭圆 C 交于 M,N 两点 . 1)求椭圆的标准方程； 2)若AB 是椭圆 C 经过原点 O 的弦，且MN PAB ，W AB MN 2,试判断 W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由 . 分析：因为 l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单 9 2 2 2 21 ，又 a b c 4b2 1 解：(1)由题知 c 1，将点 P 带入得 12 a 2 ，解得 a 2 4,b 23 ，故椭 22 圆方程为 x y1. 43 2)假设 A(m,n) ，则 AB 2 m 2 n 2，设倾斜角为 ，则 cos m m 2 n 2 ，根据过焦点的弦长公式则 MN 2ab 22 a 22 c cos 12 2 m 22 mn3m 212(m 2 4n 2 ，故 W n 2) AB MN m 2 =4( 4 2 n )=4. 3 例3如图，已知椭圆 1的左右焦点为 F 1,F 2， 过 F 2 的直线 l 1 交椭圆于 A,C 两点，过 F 1 的直线 l 2交椭圆于 B,D 两点， l 1,l 2交于点 P ( P 在x 轴下方)，且 F 1PF 2 43 ，求四边形 ABCD 的 面积的最大值 . 分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成F 1PF 23的点 P 在圆 内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值2解：假设 l 1 的倾斜角为,则 l 2的倾斜角为 3+，由椭圆的焦点弦长公式得： AC12 4 cosBD 12 S=1 2ACBD12 12 cos ( )4 2cos4 cos 2() 4设 f( (4 cos )(4 cos ( 7(72 cos2 )( 1 12sin 2 )4))49 7 ( sin2 44+cos 21)+ sin4 8设 sin2 cos2t(t2, 2 ) ，则sin4 t 21,带入得 f(t)49 7t+1(t 2 4481)即f(t)1t 28 7t 97 48f (t)min 99 14 2,此时 t 2，即 sin2 cos22 ，得到 综上，四边形 ABCD 的最大值为 288 2 S=99 14 2 = 8 ，得到l 2的倾斜角为 8 ,刚好两直线关于 y 轴对称，如 右图所示 .5.14 .此时。
椭圆交点弦长公式
椭圆交点弦长公式椭圆交点弦长公式是数学中关于椭圆的一个重要公式，用于计算椭圆上两点之间的弦长。
椭圆是一种特殊的曲线，具有许多独特的性质和特点。
掌握椭圆交点弦长公式，可以帮助我们更好地理解椭圆的几何性质和应用。
椭圆交点弦长公式的推导基于椭圆的定义和性质。
首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上一组点的集合，这组点到两个给定点（焦点）的距离之和始终是一个常数。
这两个焦点与椭圆的长轴平行。
在椭圆上任取两个点A和B，这两个点分别到两个焦点F1和F2的距离之和等于常数2a（a为椭圆的半长轴），即AF1 + AF2 = 2a。
现在我们要计算点A和点B之间的弦长AB。
我们可以通过椭圆的定义得到AF1和AF2的关系式，即AF1 + AF2 = 2a。
根据这个关系式，我们可以得到AF1 = 2a - AF2。
接下来，我们可以使用勾股定理计算弦长AB。
利用勾股定理，我们可以得到弦长AB的平方等于AF1的平方加上AF2的平方减去两倍的AF1和AF2的乘积，即AB² = (2a - AF2)² + AF2² - 2(2a - AF2)(AF2)。
将上式展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4a(AF2) + (AF2)² + (AF2)² - 4a(AF2) + 4(AF2)²。
简化后，得到AB² = 4a² - 4a(AF2)+ 4(AF2)²。
由于椭圆的性质，我们可以将AF2表示为AE - EF2，其中AE为椭圆的半长轴，EF2为焦点F2到点E的距离。
代入上式，可以得到AB² = 4a² - 4a(AE - EF2) + 4(AE - EF2)²。
进一步展开并整理，可以得到AB² = 4a² - 4aAE + 4aEF2 + 4AE² - 8AE·EF2 + 4(EF2)²。
焦点弦弦长公式
焦点弦弦长公式嘿，咱今天来聊聊焦点弦弦长公式。
先给大家讲讲啥是焦点弦哈。
比如说在椭圆或者抛物线中，通过焦点的弦就叫做焦点弦。
那这焦点弦弦长公式呢，就是用来计算这种弦的长度的工具。
就拿椭圆来说吧，咱假设椭圆方程是\(\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} = 1\) ，焦点在\(x\)轴上，焦点坐标是\((\pm c, 0)\)。
如果有一条直线过焦点，与椭圆相交于两点\(A\)和\(B\)，这时候焦点弦弦长公式就派上用场啦。
我记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这也太难了吧！”我就笑着跟他说：“别着急，咱们一步步来。
”我先给他画了个简单的图，标清楚了椭圆的各个要素，然后带着他一起推导公式。
咱接着说哈，对于抛物线\(y^2 = 2px\) ，焦点弦弦长公式又有点不一样啦。
这时候如果直线与抛物线相交于\(A(x_1, y_1)\) ，\(B(x_2,y_2)\) 两点，弦长就可以表示为\(|AB| = x_1 + x_2 + p\) 。
在学习这些公式的时候，大家可别死记硬背，得理解背后的原理。
比如说，为啥会有这样的公式，是怎么推导出来的。
就像盖房子，咱得知道每一块砖是怎么放上去的，房子才能盖得结实。
我还碰到过一个有趣的事儿，有次课堂小测验，我出了一道关于焦点弦弦长的题目，结果好多同学都做错了。
我一看，原来是大家没搞清楚椭圆和抛物线的焦点弦弦长公式的区别。
这可把我急坏了，赶紧又给他们重新梳理了一遍。
总之呢，焦点弦弦长公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多琢磨琢磨，多做几道题练练手，就一定能掌握好。
大家加油呀，别被这些小困难给吓住咯！相信你们都能在数学的海洋里畅游，轻松拿下这个知识点！。
过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式
椭圆是代数曲线的一种，是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
在椭圆的研究中，我们经常要涉及到椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式。
本文将从椭圆的基本概念开始，逐步介绍椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式，以便读者更加深入地理解和掌握该公式。
一、椭圆的基本概念1. 定义椭圆是指平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P 的轨迹，常数2a称为椭圆的长轴，F1和F2称为椭圆的焦点。
2. 椭圆的标准方程设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，椭圆的中心为坐标原点O，焦点F1(-c,0)，F2(c,0)。
则椭圆的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
3. 弦长的定义弦是平面上连接两点的直线段，椭圆焦点垂直于x轴的弦长即为连接椭圆上焦点处的两点并且垂直于x轴的线段的长度。
二、过椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导涉及到椭圆的几何证明和数学运算，下面我们将逐步进行推导。
1. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的定义设椭圆的焦点F1(-c,0)，F2(c,0)，横轴为x轴，焦点连线垂直于x轴的弦为CD，C点的坐标为(x,0)，D点的坐标为(-x,0)。
设椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$。
则C、D两点上线上满足椭圆方程。
2. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的推导根据椭圆的标准方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，可得点C、D的坐标分别为$(a\cos\theta, b\sin\theta)$和$(-a\cos\theta, -b\sin\theta)$（其中$\theta$为椭圆上任意一点P的极角，即向量OP与x轴正方向的夹角）。
椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式即为CD的长度公式，根据两点之间的距离公式可得：CD的长度 = $\sqrt{(a\cos\theta-(-a\cos\theta))^2 +(b\sin\theta-(-b\sin\theta))^2}$3. 椭圆焦点垂直于x轴的弦长公式的进一步推导进一步利用三角恒等式和平方展开可得：CD的长度 = $\sqrt{(2a\cos\theta)^2 + (2b\sin\theta)^2}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$由于椭圆的轨迹方程$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$，根据单位圆的性质可得$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$，代入上式可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2(1-\sin^2\theta) +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+进一步整理可得：CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta+4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +CD的长度 = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2\theta +4b^2\cos^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta +4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4a^2 - 4a^2\sin^2$CD的长度 = $\sqrt{4a^2\cos^2\theta + 4b^2\sin^2\theta}$ = $\sqrt{4(a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4(a^2-b^2\sin^2\theta + b^2\sin^2\theta)}$ = $\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$所以椭圆焦点垂直于x轴的弦长为CD的长度为$\sqrt{4a^2 -b^2\sin^2\theta}$。
椭圆过焦点的弦长公式
椭圆过焦点的弦长公式椭圆过焦点的弦长公式是一种有趣的几何主题，它也可以成为数学的宝藏。
在学校里，我们知道椭圆是一种经典的曲线，这种椭圆形在几何学中占据了重要的位置。
特别是在椭圆沿着其焦点上的两个弦上，可以求出它们的长度，这时，椭圆过焦点的弦长公式就显示出它的重要性。
椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以帮助我们明确弦长的定义，从而解决椭圆和圆的相关问题。
弦长是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度，而椭圆的弦长采用“椭圆过焦点的弦长公式”计算。
该公式可以用以下公式表示：2a2 = c2 + b2，其中a是椭圆的长轴长，b是椭圆的短轴长，c是椭圆沿着其焦点上的两条弦上的最大长度。
原理上，如果一个椭圆其长短轴是长轴长度a和短轴长度b，那么该椭圆的长短轴之和应该是它的弦长的平方。
也就是说，a2 + b2 = c2。
简单地说，椭圆的弦长应该是这两个轴之和的平方根。
知道了椭圆过焦点的弦长公式，就可以轻松地解决一般椭圆的最大弦长和最小弦长问题了。
因为椭圆的最大弦长是椭圆的长轴长度，即a，而最小弦长是椭圆的短轴长度，即b。
也就是说，最大弦长c 有：c=a，最小弦长c有：c=b。
通过椭圆过焦点的弦长公式，计算出了椭圆沿着其焦点上的两条弦上的弦长长度，从而将椭圆和圆划分开来。
除此之外，这个公式还可以用于求解类似椭圆的另一种几何体：圆形。
圆形是一种完全相同的曲线，但是它的中心点不同，这样，就有了相应的新的圆形椭圆公式：2a2 = c2 + b2 - 2ab，其中a是圆形的半径，b是圆形的中心点距离圆的远点的距离，c是圆形的弦长。
椭圆过焦点的弦长公式是一个重要的几何概念，它可以用于求解类似椭圆和圆形的长度和宽度，并可以帮助解决椭圆和圆形之间的相关问题。
尽管椭圆过焦点的弦长公式是一个简单的公式，但它蕴藏着丰富的几何信息，为我们提供了重要的几何知识，同时也提供了足够的帮助，以便解决椭圆和圆形的相关问题。
椭圆中的弦长公式推导
椭圆中的弦长公式推导椭圆是一种经典的曲线，它的研究和应用在流体力学、空间结构、航天学、机械设计等广泛的领域中被广泛使用。
因此，研究椭圆的形状特性非常重要。
椭圆的一个重要形状特性是，它存在一种弦长公式，即在椭圆上任意一动点P处，弦PP’的长度可用下式表示：d=2ae√1-e2sin2α其中，a, e,分别表示椭圆的长轴、离心率、弦PP与椭圆的长轴的夹角。
下面我们将通过推导证明上式的正确性。
以P(x, y)为弦PP上的任意一点，x = acost, y = bsint，坐标系以椭圆的中心为原点，a,b分别为椭圆的长短轴，e为离心率，将P位置投影到椭圆的长轴，得到点P1(acosθ, 0)，与他重合的点P1(a/cosθ, 0)，θ为PP与椭圆的长轴的夹角，由此投影出点P(a/cos θ, bsinθ)，即为PP上的另一点。
由PP上任意一点P可求出P，再求出弦PP的长度。
设PP的长度为d，根据勾股定理可得：d2=x2+y2=(acost)2+(bsinθ)2=a2cos2θ+b2sin2θ又由椭圆方程可知：b2/a2=1-e2所以有：d2=a2cos2θ+b2sin2θ=a2cos2θ+a2(1-e2)sin2θ=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}令cos2θ+(1-e2)sin2θ=c（c为任意常数）即有：d2=a2c,又因为e2=1-b2/a2,可得cos2θ+(1-e2)sin2θ=cos2θ+(1-(1-b2/a2))sin2θ=cos2θ+b2/a2sin2θ即有：c=cos2θ+b2/a2sin2θ代入方程d2=a2c，可得：d2=a2{cos2θ+(1-e2)sin2θ}即有：d=2ae√1-e2sin2α因而可以得出：在椭圆上任意一点P处，弦PP的长度可用弦长公式下式表示：d=2ae√1-e2sin2α上式的证明也完成了，由此可以看出，椭圆中的弦长公式是一个非常重要的特性。
它可以用来研究椭圆的形状特性以及在实际应用中的使用，可以更好地满足工程的需要。
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椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12AB x -或者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：22222cos ab AB a c θ=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.解法一：根据弦长公式直接带入解决.题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .椭圆方程12222=+by a x 可化为0222222=-+b a y a x b ……①，直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=∴2412122222222,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，∴12AB y -==∴()2222221ab AB m b m a=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1tan m θ=，则有： ()2222222222221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()2222221ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由()222232222222222222222222()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 22，故可知通径是最短的焦点弦，.综上，焦点弦长公式为22222cos ab AB a c θ=-.解法二：根据余弦定理解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在12AF F ∆中，由余弦定理得222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2cos b x a c θ=-，在12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2cos b y a c θ=+，则弦长2222222=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.解法三：利用焦半径公式解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：由解法一知22212121222222222=()22m cb a cx x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-故222221212222222222(1)=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++后面分析同解法一.解法四：利用仿射性解决题：设椭圆方程为12222=+by a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .解：利用仿射性，可做如下变换''x xa y yb =⎧⎪⎨=⎪⎩，则原椭圆变为222(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为ak b.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为212''1()a A B k x x b=+-，带入，得变换前后弦长关系为22221=''b k AB A B b a k++……③而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为()ay k x c b=-，圆心到直线的距离为21()a kc bd a k b=+，根据半径为a ，勾股定理求得弦长为222222222()(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b+-=++，将此结果带入③中，得222222222222222222211(1)2(1)=''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k++++++++，由tan k θ=，带入得 22222cos ab AB a c θ=-.上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：22222cos ab AB a c θ=-，记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.例1已知椭圆2212521x y +=的直线交椭圆于,A B 两点，求AB . 分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.解：由题，225,21,4=3a b c πθ===，,带入22222cos ab AB a c θ=-得=10AB . 例2已知点3(1,)2P -在椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>上，过椭圆C 的右焦点2(1,0)F 的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若AB 是椭圆C 经过原点O 的弦，且MNAB ，2ABW MN=,试判断W 是否为定值？若是定值，求出这个定值，若不是，说明理由.分析：因为l 过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单. 解：（1）由题知1c =，将点P 带入得221914a b+=，又222a b c =+，解得224,3a b ==，故椭圆方程为22143x y +=. （2）假设(,)A m n，则AB =，设倾斜角为θ，则cos θ=，根据过焦点的弦长公式则2222222222221234cos 12()4abm n MN m a c m n m n θ+===-+-+，故222=443ABm n W MN =+（）=4. 例3如图，已知椭圆22143x y +=的左右焦点为12,F F ，过2F 的直线1l 交椭圆于,A C 两点，过1F 的直线2l 交椭圆于,B D 两点，12,l l 交于点P (P 在x 轴下方)，且1234F PF π∠=，求四边形ABCD 的面积的最大值.分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成1234F PF π∠=的点P 在圆内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.解：假设1l 的倾斜角为θ,则2l 的倾斜角为3+4πθ，由椭圆的焦点弦长公式得：2124cos AC θ=-, 2124cos ()4BD πθ=--，221221212=2244cos 4cos ()4S AC BD πθθ⋅⋅⋅=⋅⋅---, 设22()(4cos )(4cos ())4f πθθθ=---71714971(cos 2)(sin 2)sin 2+cos 2+sin 42222448θθθθθ=--=-（） 设sin 2cos 2(2,2)t t θθ⎡⎤+=∈-⎣⎦， 则2sin 41t θ=-,带入得24971()+(1)448f t t t =-- 即21797()848f t t t =-+ min 99142()8f t -=,此时2t =， 即sin 2cos 22θθ+=，得到=8πθ.综上，四边形ABCD 的最大值为2882=5.1499142S ≈-.此时=8πθ，得到2l 的倾斜角为78π,刚好两直线关于y 轴对称，如右图所示.。