高中数学椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用

摘要

：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即12

AB x -或

者12AB y -，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：

22222cos ab AB a c θ

=-，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.

下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.

解法一：根据弦长公式直接带入解决.

题：设椭圆方程为122

22=+b

y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭

圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .

椭圆方程12222=+b

y a x 可化为02

22222=-+b a y a x b ……①，

直线l 过右焦点，则可以假设直线为：x my c =+(斜率不存在即为0m =时)，代入①得：

222222222()20b m a y mcb y b c a b +++-=，整理得，222224()20b m a y mcb y b ++-=

∴24

1212222222

2,mcb b y y y y b m a b m a +=-=-++，

∴

12AB y -==∴()2

222

221ab AB m b m a

=++ （1）若直线l 的倾斜角为θ，且不为90,则1

tan m θ

=

，则有： ()222

2222

222

221111tan tan ab ab AB m b m a b a θθ

⎛⎫=+=+ ⎪+⎝⎭+,

由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为2

222

2cos ab AB a c θ

=-……②. （2）若=90θ，则0m =，带入()22

222

21ab AB m b m a =++,得通径长为22b a ，同样满足②式.并且由

()222232222222

2222222222

22()222()2()21=22ab a b m a a ab a a b a a b b AB m a a b m a b m a b m a a a +-+--=+=-≥-=+++,当且仅当0=m 即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为a b 2

2，故可知通径是最短的焦点弦，.

综上，焦点弦长公式为2

2222cos ab AB a c θ

=-.

解法二：根据余弦定理解决

题：设椭圆方程为122

22=+b

y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭

圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .

解：如右图所示，连结11,F A F B ，设22=,F A x F B y =，假设直线的倾斜角为θ，则由椭圆定义可得11=2,2F A a x F B a y -=-，在

12AF F ∆中，由余弦定理得

222(2)(2)cos()4c x a x cx πθ+---=，化简可得2

cos b x a c θ=-，在

12BF F ∆中，由余弦定理同理可得2

cos b y a c θ=+，则弦长

222

22

22=cos cos cos b b ab AB x y a c a c a c θθθ=+=+-+-.

解法三：利用焦半径公式解决

题：设椭圆方程为122

22=+b

y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭

圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .

解：由解法一知222121212222222

22=()22m cb a c

x x my c my c m y y c c b m a b m a ++++=++=-+=++.由椭圆

的第二定义可得焦半径公式，那么2122,F A a ex F B a ex =-=-

故222221212222

22

2222(1)

=2()ab m ab ab m AB a ex a ex a e x x b m a b m a ++-+-=-+==++

后面分析同解法一.

解法四：利用仿射性解决

题：设椭圆方程为122

22=+b

y a x ，左右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，直线l 过椭圆的右焦点2F 交椭

圆于1122(,),(,)A x y B x y 两点，求弦长AB .

解：利用仿射性，可做如下变换''x x

a y y

b =⎧⎪⎨=⎪⎩

，则原椭圆变为222

(')(')x y a +=，这是一个以原点为圆心，

a 为半径的圆.假设原直线的斜率为k ，则变换后斜率为

a

k b

.椭圆中弦长212=1AB k x x +-，经过变换后变为2

12''1()a A B k x x b

=+-，带入，得变换前后弦长关系为

22

2

2

1=

''b k AB A B b a k

++……③

而我们知道圆的弦长可以用垂径定理求得.如图所示，假设直线为

()a

y k x c b

=

-，圆心到直线的距离为21()

a kc b

d a k b

=+，根据半径

为a ，勾股定理求得弦长为

2

2222222

2(

)

(1)''=221()akc a b k b A B a ak b a k b

+-=++，将此结果带入③中，得

22

2222222222222222211(1)2(1)

=

''=2=b k b k a b k ab k AB A B b a k b a k b a k b a k

++++++++，由tan k θ=，带入得 2

222

2cos ab AB a c θ

=-.