2012届高三数学一轮复习基础导航：19.1统计案例

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2012届高考数学第一轮基础知识点复习教案第十一编统计、统计案例

第十一编统计、统计案例§11.1 抽样方法1.为了了解所加工的一批零件的长度，抽取其中200个零件并测量了其长度，在这个问题中，总体的一个样本是 . 答案 200个零件的长度2.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 004户，其中农民家庭1 600户，工人家庭303户，现要从中抽取容量为40的样本，则在整个抽样过程中，可以用到下列抽样方法：①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样中的 . 答案 ①②③3.某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人.现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为 . 答案 3，9，184.（2008·广东理）某校共有学生 2 000名，各年级男、女生人数如下表.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 .一年级二年级三年级女生 373 x y 男生377370z答案 165.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，其相应产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有16件，那么此样本的容量n= . 答案 80例1 某大学为了支援我国西部教育事业，决定从2007应届毕业生报名的18名志愿者中，选取6人组成志愿小组.请用抽签法和随机数表法设计抽样方案.基础自测解抽签法：第一步：将18名志愿者编号，编号为1，2，3， (18)第二步：将18个号码分别写在18张外形完全相同的纸条上，并揉成团，制成号签；第三步：将18个号签放入一个不透明的盒子里，充分搅匀；第四步：从盒子中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号；第五步：所得号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员. 随机数表法：第一步：将18名志愿者编号，编号为01，02，03， (18)第二步：在随机数表中任选一数作为开始，按任意方向读数，比如第8行第29列的数7开始，向右读；第三步：从数7开始，向右读，每次取两位，凡不在01—18中的数，或已读过的数，都跳过去不作记录，依次可得到12，07，15，13，02，09.第四步：找出以上号码对应的志愿者，就是志愿小组的成员.例2 某工厂有1 003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施. 解（1）将每个人随机编一个号由0001至1003. （2）利用随机数法找到3个号将这3名工人剔除. (3)将剩余的1 000名工人重新随机编号由0001至1000. （4）分段，取间隔k =100001=100将总体均分为10段，每段含100个工人. （5）从第一段即为0001号到0100号中随机抽取一个号l .（6）按编号将l ，100+l ，200+l ,…，900+l 共10个号码选出，这10个号码所对应的工人组成样本. 例3 （14分）某一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其中人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.解应采取分层抽样的方法.3分过程如下：（1）将3万人分为五层，其中一个乡镇为一层.5分（2.300（人）； 300（人）； 30010分 40人，100人，40人，60人. 12分（3）将300人组到一起即得到一个样本.14分例4 为了考察某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；②每个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1 000人，若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）. 根据上面的叙述，试回答下列问题：（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样本容量分别是多少？（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.解（1）这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.（2）三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.（3）第一种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用抽签法在这20个班中任意抽取一个班.第二步，然后从这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.第二种方式抽样的步骤如下：第一步，首先用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，记其学号为a.第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第一个班中的一名学生，共计20人.第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层，因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽100∶1 000=1∶10，所以在每第三步，按层次分别抽取.601.有一批机器，编号为1，2，3，…，112，为调查机器的质量问题，打算抽取10台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？解方法一首先，把机器都编上号码001，002，003，…，112，如用抽签法，则把112个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本.方法二第一步，将原来的编号调整为001，002，003， (112)第二步，在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向.比如：选第9行第7个数“3”，向右读.第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三位，凡不在001～112中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到074，100，094，052，080，003，105，107，083，092.第四步，对应原来编号74，100，94，52，80，3，105，107，83，92的机器便是要抽取的对象.2.某单位在岗职工共624人，为了调查工人用于上班途中的时间，该单位工会决定抽取10%的工人进行调查，请问如何采用系统抽样法完成这一抽样？解（1）将624名职工用随机方式编号由000至623.（2）利用随机数表法从总体中剔除4人. （3）将剩下的620名职工重新编号由000至619. （4）分段，取间隔k =62620=10，将总体分成62组，每组含10人. （5）从第一段，即为000到009号随机抽取一个号l .（6）按编号将l ，10+l ,20+l ,…，610+l ,共62个号码选出，这62个号码所对应的职工组成样本. 3.某电台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的总人数为12 000人，其中持各种态度的人数如下表：很喜爱喜爱一般不喜爱 2 4354 5673 9261 072电视台为进一步了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取60样？解可用分层抽样方法，其总体容量为12 000.“很喜爱”占000124352，爱”占000125674，应取60×000125674≈23(人）；“一般”占000129263喜爱”占000120721,应取60×000120721≈5（人）.因此采用分层抽样在喜爱”的2 435人、4 567人、3 926人和1 072人中分别抽取12人、23人、20人和5人.4.某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270. 关于上述样本的下列结论中，正确的是（填序号）. (1)②、③都不能为系统抽样 (2)②、④都不能为分层抽样 (3)①、④都可能为系统抽样 (4)①、③都可能为分层抽样答案 (4)一、填空题1.（2008·安庆模拟）某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现分层抽取容量为45的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为 . 答案 15，10，202.某牛奶生产线上每隔30分钟抽取一袋进行检验，则该抽样方法为①；从某中学的30名数学爱好者中抽取3人了解学习负担情况，则该抽样方法为②.那么①，②分别为 . 答案系统抽样，简单随机抽样3.下列抽样实验中，最适宜用系统抽样的是（填序号）.①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人入样②某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个入样③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个入样④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个入样答案③4.（2008·重庆文）某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是 .答案分层抽样法5.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生200人，学校团委欲用分层抽样的方法抽取18名学生进行问卷调查，则下列判断不正确的是（填序号）.①高一学生被抽到的概率最大②高三学生被抽到的概率最大③高三学生被抽到的概率最小④每名学生被抽到的概率相等答案①②③6.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 .答案 67.（2008·天津文，11）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工人.答案108.将参加数学竞赛的1 000名学生编号如下0001，0002，0003，…，1000，打算从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分成50个部分，如果第一部分编号为0001，0002，…，0020，从第一部分随机抽取一个号码为0015，则第40个号码为 .答案0795二、解答题9.为了检验某种作业本的印刷质量，决定从一捆（40本）中抽取10本进行检查，利用随机数表抽取这个样本时，应按怎样的步骤进行？分析可先对这40本作业本进行统一编号，然后在随机数表中任选一数作为起始号码，按任意方向读下去，便会得到10个号码.解可按以下步骤进行：第一步，先将40本作业本编号，可编为00，01，02， (39)第二步，在附录1随机数表中任选一个数作为开始.如从第8行第4列的数78开始.第三步，从选定的数78开始向右读下去，得到一个两位数字号码59，由于59＞39，将它去掉；继续向右读，得到16，由于16＜39,将它取出；继续读下去，可得到19，10,12，07，39，38，33，21，后面一个是12，由于在前面12已经取出，将它去掉；再继续读，得到34.至此，10个样本号码已经取满，于是，所要抽取的样本号码是16，19，10，12，07，39，38，33，21，34.10.某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解政府机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，如何抽取？解用分层抽样抽取.（1）∵20∶100=1∶5，∴510=2，570=14，520=4∴从副处级以上干部中抽取2人，一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.（2）因副处级以上干部与工人人数较少，可用抽签法从中分别抽取2人和4人；对一般干部可用随机数表法抽取14人.（3）将2人、4人、14人编号汇合在一起就得到了容量为20的样本.11.从某厂生产的10 002辆电动自行车中随机抽取100辆测试某项性能，请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.解因为总体容量和样本容量都较大，可用系统抽样. 抽样步骤如下：第一步，将10 002辆电动自行车用随机方式编号；第二步，从总体中剔除2辆（剔除法可用随机数表法），将剩下的10 000辆电动自行车重新编号（分别为00001，00002，…，10000）并分成100段；第三步，在第一段00001，00002，…，00100这100个编号中用简单随机抽样抽出一个作为起始号码（如00006）；第四步，把起始号码依次加间隔100，可获得样本.12.某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本.如果采用系统抽样法和分层抽样法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求样本容量n .解总体容量为6+12+18=36.当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为n36，分层抽样的比例是36n ,抽取工程师36n ×6=6n （人），抽取技术人员36n ×12=3n(人），抽取技工36n ×18=2n（人）. 所以n 应是6的倍数，36的约数即n =6,12,18,36.当样本容量为（n +1）时，在总体中剔除1人后还剩35人，系统抽样的间隔为135+n ，因为135+n 必须是整数，所以n 只能取6，即样本容量为6.§11.2总体分布的估计与总体特征数的估计1.一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为 .答案 52.（2008·山东理）右图是根据《山东统计年鉴2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为 . 答案 303.63.在抽查产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干组，［a ，b ）是其中的一组，抽查出的个体在该组上的频率为m ,该组在频率分布直方图的高为h ，则|a -b |= . 答案hm4.（2008·山东文，9）从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为 .分数 5 4 3 2 1 人数2010303010答案51025.为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁～18岁的男生体重（kg ），得到频率分布直方图如下：基础自测根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5）的学生人数是 . 答案 40例1 在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），已知从左到右各长方形高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：（1）本次活动共有多少件作品参加评比？（2）哪组上交的作品数量最多？有多少件？（3）经过评比，第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖，问这两组哪组获奖率高？解（1）依题意知第三组的频率为 241（2共有60×1464326+++++=18（件）.（3）第四组的获奖率是1810=95，第六组上交的作品数量为 60×1464321+++++=3（件），∴第六组的获奖率为32=96，显然第六组的获奖率高. 例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：寿命（h ） 100～200200～300300～400400～500500～600个数2030804030（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100 h ～400 h 以内的概率；（4）估计电子元件寿命在400 h 以上的概率. 解（1）样本频率分布表如下：寿命（h ）频数频率 100～200 20 0.10 200～300 30 0.15 300～400 80 0.40 400～500 40 0.20 500～600 30 0.15 合计2001（2）频率分布直方图（3）由频率分布表可以看出，寿命在100 h ～400 h 的电子元件出现的频率为0.65，所以我们估计电子元件寿命在100 h ～400 h 的概率为0.65.（4）由频率分布表可知，寿命在400 h 以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400 h 以上的概率为0.35.例3 为了解A ，B 两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试，下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数（单位：1 000 km ） 108, 100, 103, 86, 98105， 96， 93， 97， 106 =100,2B 轮胎行驶的最远里程的平均数为：810697939610594101108+++++++=100,中位数为：297101+=99.(2)A 轮胎行驶的最远里程的极差为：112-86=26，标准差为： s =821430831242222222+++++++=2221≈7.43； B 轮胎行驶的最远里程的极差为：108-93=15，标准差为：s = 86374561822222222+++++++=2118≈5.43.（3）由于A 和B 的最远行驶里程的平均数相同，而B 轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B 轮胎性能更加稳定.例4（14分）某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30 min 抽取一包产品，称其重量，分别记录抽查数据如下：甲：102， 101， 99， 98， 103， 98， 99；乙：110， 115，90，85，75，115，110.（1）这种抽样方法是哪一种？（2）将这两组数据用茎叶图表示；（3）将两组数据比较，说明哪个车间产品较稳定. 解（1）因为间隔时间相同，故是系统抽样. 2分（2）茎叶图如下：5分（3）甲车间：平均值： 1x 102+101+99+98+103+98+99）=100， 7分）2+…+（99-100）2］≈3.428 6.9分）=100， 11分方差：s 22=71［（110-100)2+（115-100)2+…+（110-100)2］≈228.571 4. 13分 ∵1x =2x ，s 12＜s 22,∴甲车间产品稳定.14分1.为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前三个小组的频率分别是0.1，0.3，0.4，第一小组的频数为5.（1）求第四小组的频率；（2）参加这次测试的学生人数是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在第几小组内？解（1）第四小组的频率=1-(0.1+0.3+0.4)=0.2. (2)设参加这次测试的学生人数是n ,则有n =第一小组频率第一小组频数=5÷0.1=50（人）.（3）因为0.1×50=5,0.3×50=15,0.4×50=20,0.2×50=10，即第一、第二、第三、第四小组的频数分别为5、15、20、10，所以学生跳绳次数的中位数落在第三小组内.2.从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：（单位：分）［40，50），2；［50，60），3；［60，70），10；［70，80），15；［80，90），12；［90，100］，8. （1）列出样本的频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计成绩在［60，90）分的学生比例；（4）估计成绩在85分以下的学生比例. 解（1）频率分布表如下：成绩分组频数频率［40，50）［50，60）［60，70）［70，80）［80，90）［90，100］2 3 10 15 12 8 0.04 0.06 0.20 0.30 0.24 0.16 合计501.00（2）频率分布直方图如图所示.（3）成绩在［60，90）的学生比例即为学生成绩在［60，90）的频率，即为（0.20+0.30+0.24）×100%=74%. （4）成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率. 设相应的频率为b . 由808560.0--b =809060.084.0--，故b =0.72. 估计成绩在85分以下的学生约占72%.3.有甲、乙两位射击运动员在相同条件下各射击10次，记录各次命中环数；甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4 乙：9，5，7，8，7，6，8，6， 8，7 （1）分别计算他们环数的标准差；（2）谁的射击情况比较稳定. 解（1）x 甲=101(8+8+6+8+6+5+9+10+7+4)=7.1, x 乙=101(9+5+7+8+7+6+8+6+8+7)=7.1, 2甲s =101［（8-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(5-7.1)2+(9-7.1)2+(10-7.1)2+(7-7.1)2+(4-7.1)2］=3.09, ∴s 甲≈1.76.2乙s =101［(9-7.1)2+(5-7.1)2+(7-7.1)2+(8-7.1)2+(7-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(6-7.1)2+(8-7.1)2+(7-7.1)2］=1.29，∴s 乙≈1.14.（2）∵x 甲=x 乙，s 乙＜s 甲，∴乙射击情况比较稳定.4.（2008·海南、宁夏理，16）从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm ），结果如下：甲品种：271273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319323325325 328 331 334 337 352 乙品种：284292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 322 324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图：根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：① ；② .答案 ①乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.②甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散.（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.③甲品种棉花的纤维长度的中位数为307 mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318 mm.④乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）外，也大致对称，其分布较均匀.一、填空题1.下列关于频率分布直方图的说法中不正确的是 .①直方图的高表示取某数的频率②直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率③直方图的高表示该组上的个体数与组距的比值④直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值答案①②③2.甲、乙两名新兵在同样条件下进行射击练习，每人打5发子弹，命中环数如下：甲：6，8，9，9，8；乙：10，7，7，7，9.则这两人的射击成绩比稳定.答案甲乙3.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用条形图表示如下：根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 h.答案0.94.某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；……第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和y分别为 .答案0.9,355.(2009·启东质检)为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示，由于不慎，部分数据丢失，但知道前四组的频数成等比数列，后六组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b,则a,b的值分别为 .答案 0.27，786.甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x 甲、x 乙，则x 甲 x 乙，比稳定. 答案＜乙甲7.（2008·上海理，9）已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 . 答案 10.5、10.58.某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%,40%,20%,10%,若全班30人，则全班同学的平均分是分. 答案 1.9 二、解答题9.在育民中学举行的电脑知识竞赛中，将九年级两个班参赛的学生成绩（得分均为整数）进行整理后分成五组，绘制如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的第一、第三、第四、第五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05，第二小组的频数是40.（1）求第二小组的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）求这两个班参赛的学生人数是多少？（3）这两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第几小组内？（不必说明理由）解（1）各小组的频率之和为1.00，第一、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.15，0.10，0.05. ∴第二小组的频率为：1.00-（0.30+0.15+0.10+0.05）=0.40. ∴落在59.5～69.5的第二小组的小长方形的高=组距频率=1040.0=0.04.则补全的直方图如图所示.（2）设九年级两个班参赛的学生人数为x 人. ∵第二小组的频数为40人，频率为0.40， ∴x40=0.40，解得x =100（人）. 所以九年级两个班参赛的学生人数为100人.（3）因为0.3×100=30,0.4×100=40,0.15×100=15,0.10×100=10,0.05×100=5,即第一、第二、第三、第四、第五小组的频数分别为30，40，15，10，5，所以九年级两个班参赛学生的成绩的中位数应落在第二小组内.10.为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图所示），图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由. 解（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为： 391517424+++++=0.08.又因为频率=样本容量第二小组频数，所以样本容量=第二小组频率第二小组频数（239151742391517++++++++×100%=88%.（3）由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9,所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内. 11.观察下面表格：（1）完成表中的频率分布表；（2）根据表格，画出频率分布直方图；（3）估计数据落在［10.95，11.35）范围内的概率约为多少？分组频数频率［10.75，10.85） 3 ［10.85，10.95） 9 ［10.95，11.05） 13 ［11.05，11.15） 16 ［11.15，11.25） 26 ［11.25，11.35） 20 ［11.35，11.45） 7 ［11.45，11.55） 4 ［11.55，11.65）2解（1）频率依次为：0.03，0.09，0.13，0.16，0.26，0.20，0.07，0.04，0.02，1.00. （2）频率分布直方图如图所示（3）数据落在［10.95，11.35）范围的频率为 0.13+0.16+0.26+0.20=0.75.12.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50；乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，59. （1）制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；（2）计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性；（3）能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？解（1）制作茎叶图如下：从茎叶图上可看出，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好.（2）x 甲=33，2甲s ≈127.23，x 乙=27，2乙s ≈199.09，∴x 甲＞x 乙, 2甲s ＜2乙s ，∴甲运动员总体水平比乙好，发挥比乙稳定.（3）不能说甲的水平一定比乙好，因为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况.合计100。

高中数学复习课(一)统计案例教案(含解析)北师大版选修1-2-北师大版高二选修1-2数学教案

复习课(一) 统计案例回归分析(1)变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现．(2)掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题.[考点精要]1．一个重要方程对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .其中b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y －b x .2．重要参数相关系数r 是用来刻画回归模型的回归效果的，其绝对值越大，模型的拟合效果越好． 3．两种重要图形[典例] (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.9610.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116x i －x 2＝116⎝⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x2≈0.212,∑i ＝116i －8.52≈18.439，∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2，0.008≈0.09.[解] (1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数为r ＝∑i ＝116x i －xi －8.5∑i ＝116x i －x2∑i ＝116i －8.52＝－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，所以这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.[类题通法]求线性回归方程的基本步骤[注意] 对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．[题组训练]1．设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r ，y 关于x 的回归直线的回归系数为b ，回归截距是a ，那么必有( )A ．b 与r 的符号相同B ．a 与r 的符号相同C ．b 与r 的符号相反D ．a 与r 的符号相反解析：选A 正相关时，b >0，r >0；负相关时，b <0，r <0.2．为研究某种图书每册的成本费y (元)与印刷数x (千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．x y u∑i ＝18(x i －x )2∑i ＝18(x i －x )(y i －y )∑i ＝18(u i －u )2∑i ＝18(u i －u )(y i －y )15.253.630.269 2 085.5－230.30.7877.049表中u i ＝1x i ，u ＝18∑i ＝18u i .(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx哪一个更适宜作为每册成本费y (元)与印刷数x (千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线v ＝a ＋βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑i ＝1nωi －ωv i －v∑i ＝1nωi －ω2，α＝v －βω)解：(1)由散点图判断，y ＝c ＋d x适宜作为每册成本费y (元)与印刷册数x (千册)的回归方程．(2)令u ＝1x，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ＝∑i ＝18u i －uy i －y∑i ＝18u i －u2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ＝y －d ·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ＝1.22＋8.96u ，从而y 关于x 的回归方程为y ＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x 千册，依题意：10x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1.22＋8.96x ·x ≥78.840.即8.78x ≥87.8，解得x ≥10，∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78 840元.独立性检验(1)为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．(2)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6.635)≈0.01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度约为99%.[考点精要]独立性判断的方法(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)附：P (χ2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828，χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法 62 38 新养殖法3466根据表中数据及χ2的计算公式得， χ2＝200×62×66－34×382100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．[类题通法]独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)χ2统计量法：通过公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d先计算χ2，再与临界值表作比较，最后得出结论．[题组训练]1．如果有99%的把握认为变量A 和B 有关系，那么χ2( ) A ．χ2≥3.841 B ．χ2<3.841 C ．χ2≥6.635D ．χ2<6.635解析：选C 将χ2的值与临界值比较，可知若有99%的把握认为变量A 和B 有关系，则χ2≥6.635.故选C.2．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计干净水 52 466 518 不干净水 94 218 312 总计146684830(1)能否有99%的把握认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由． (2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否有95%的把握认为这种疾病与饮用水有关．解：(1)把表中的数据代入公式得 χ2＝830×52×218－466×942146×684×518×312≈54.21.∵54.21＞6.635，所以有99%的把握认为该地区这种传染病与饮用水不干净有关． (2)依题意得2×2列联表：得病不得病总计干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计147286此时，χ2＝86×5×22－50×9214×72×55×31≈5.785.因为5.785＞3.841，所以有95%的把握认为该种疾病与饮用水不干净有关．1．为了研究气温对某种饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度－1 3 8 13 17 饮料瓶数3405273122( ) A ．140 B ．190 C ．210D ．240解析：选B 依题意得x ＝15×(－1＋3＋8＋13＋17)＝8，y ＝15×(3＋40＋52＋73＋122)＝58，则回归直线必经过点(8,58)，于是有a ＝58－6×8＝10.当x ＝30时，y ＝6×30＋10＝190，故选B.2．下列说法中正确的有：( ) ①若r >0，则x 增大时，y 也相应增大； ②若r <0，则x 增大时，y 也相应增大；③若r ＝1或r ＝－1，则x 与y 的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③解析：选C 若r >0，表示两个相关变量正相关，x 增大时，y 也相应增大，故①正确．r <0，表示两个变量负相关，x 增大时，y 相应减小，故②错误．|r |越接近1，表示两个变量相关性越高，|r |＝1表示两个变量有确定的关系(即函数关系)，故③正确．3．有下列数据：A ．y ＝3×2x －1B ．y ＝log 2xC ．y ＝3xD ．y ＝x 2解析：选A 分别把x ＝1,2,3，代入求值，求最接近y 的值．即为模拟效果最好，故选A.4．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：6万元时销售额为( )A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元解析：选B x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544＝42，∵数据的样本中心点(3.5,42)在线性回归直线上，回归方程y ＝bx ＋a ＝9.4x ＋a ，∴42＝a ＋9.4×3.5，∴a ＝9.1，∴线性回归方程是y ＝9.4x ＋9.1，∴广告费用为6万元时销售额为9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．5．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该栏目优秀B ．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C．有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系解析：选 D 只有χ2>6.635时才能有99%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系．而即使χ2>6.635也只是对“电视栏目是否优秀与改革有关系”这个论断成立的可能性大小的结论，故选D.6．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则实验效果与教学措施( )优、良、中差总计实验班48250对比班381250总计8614100A．有关B．无关C．关系不明确D．以上都不正确解析：选A 随机变量χ2＝100×48×12－38×2250×50×86×14≈8.306>6.635，则有99%的把握认为“实验效果与教学措施有关”．7．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据(如表)，由最小二乘法求得回归方程y＝0.67x＋54.9.零件数x(个)1020304050加工时间y(min)62758189 现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________．解析：由表格知x＝30，得y＝0.67×30＋54.9＝75.设表中的“模糊数字”为a.则a＋62＋75＋81＋89＝75×5，所以a＝68.答案：688．某学校对课程《人与自然》的选修情况进行了统计，得到如下数据：选未选总计男40545450女230220450总计635265900那么，认为选修《人与自然》与性别有关的把握是______．解析：χ2＝n ad－bc2a＋b c＋d a＋c b＋d＝163.794>6.635，即有99%的把握认为选修《人与自然》与性别有关．答案：99%9．变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)，(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)．r 1表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，r 2表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则r 1，r 2的大小关系为________．解析：对于变量X 与Y 而言，Y 随X 的增大而增大，故变量Y 与X 正相关，即r 1＞0；对于变量U 与V 而言，V 随U 的增大而减小，故变量V 与U 负相关，即r 2＜0.故r 2＜0＜r 1.答案：r 2＜r 110．高中流行这样一句话“文科就怕数学不好，理科就怕英语不好”．下表是一次针对高三文科学生的调查所得的数据，试问：文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系吗？总成绩情况数学成绩情况总成绩好总成绩不好总计数学成绩好 478 12 490 数学成绩不好399 24 423 总计87736913解：根据题意，χ2＝913×478×24－399×122490×423×877×36≈6.233>3.841，因此有95%的把握认为“文科学生总成绩不好与数学成绩不好有关系”．11．某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高 18学习积极性一般19总计50(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是25，请完成上面的2×2列联表．(2)在(1)的条件下，试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关？并说明理由.P (χ2≥k )0.010 0.005 0.001 k6.6357.87910.828解：(1)如果随机抽查这个班的一名学生，抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，所以积极参加班级工作的学生有24人，由此可以算出学习积极性一般且积极参加班级工作的人数为6，不太主动参加班级工作的人数为26，学习积极性高但不太主动参加班级工作的人数为7，学习积极性高的人数为25，学习积极性一般的人数为25，得到：积极参加班级工作不太主动参加班级工作总计学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般6 19 25 总计 242650(2)χ2＝50×18×19－6×7225×25×24×26≈11.538，因为11.538>6.635，所以有99%的把握可以认为学习积极性与对待班级工作的态度有关系．12．如图是我国2012年到2018年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2020年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,∑i ＝17y i －y2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1n y i －y2，回归方程y ^＝a ^＋b ^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28,∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈2.892×2.646×0.55≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2020年对应的t ＝9代入回归方程得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2020年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．。

2012届高考数学第一轮基础知识点复习教案-概率与统计

2012届高考数学第一轮基础知识点复习教案:概率与统计第十二编概率与统计§121 随机事的概率1下列说法不正确的有①某事发生的频率为P（A）=11②不可能事的概率为0，必然事的概率为1③小概率事就是不可能发生的事，大概率事就是必然发生的事④某事发生的概率是随着试验次数的变化而变化的答案①③④2给出下列三个命题，其中正确命题有个①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100，必有10是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；③随机事发生的频率就是这个随机事发生的概率答案03已知某台纺纱机在1小时内发生0次、1次、2次断头的概率分别是08，012，00，则这台纺纱机在1 小时内断头不超过两次的概率和断头超过两次的概率分别为，答案097 0034甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是,乙获胜的概率是，则乙不输的概率是答案抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事A为出现奇数点，事B为出现2点，已知P（A）= ，P（B）= ，则出现奇数点或2点的概率之和为答案例1 盒中仅有4只白球只黑球，从中任意取出一只球（1）“取出的球是黄球”是什么事？它的概率是多少？（2）“取出的球是白球”是什么事？它的概率是多少？（3）“取出的球是白球或黑球”是什么事？它的概率是多少？解（1）“取出的球是黄球”在题设条下根本不可能发生，因此它是不可能事，其概率为0（2）“取出的球是白球”是随机事，它的概率是（3）“取出的球是白球或黑球”在题设条下必然要发生，因此它是必然事，它的概率是1例2 某射击运动员在同一条下进行练习，结果如下表所示：射击次数n1020010020000击中10环次数819449317843击中10环频率（1）计算表中击中10环的各个频率；（2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？解（1）击中10环的频率依次为08，09，088，093，089，0906 （2）这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约是09例3 （14分）国家射击队的某队员射击一次，命中7～10环的概率如下表所示：命中环数10环9环8环7环概率032028018012求该射击队员射击一次（1）射中9环或10环的概率；（2）至少命中8环的概率；（3）命中不足8环的概率解记事“射击一次，命中环”为A（∈N，≤10），则事A彼此互斥2分（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事A，那么当A9，A10之一发生时，事A发生，由互斥事的加法公式得P（A）=P（A9）+P（A10）=032+028=060分（2）设“射击一次，至少命中8环”的事为B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事B发生由互斥事概率的加法公式得P（B）=P（A8）+P（A9）+P（A10）=018+028+032=07810分（3）由于事“射击一次，命中不足8环”是事B：“射击一次，至少命中8环”的对立事：即表示事“射击一次，命中不足8环”，根据对立事的概率公式得P（）=1-P（B）=1-078=02214分1在12瓷器中，有10一级品，2二级品，从中任取3(1)“3都是二级品”是什么事？（2）“3都是一级品”是什么事？（3）“至少有一是一级品”是什么事？解（1）因为12瓷器中，只有2二级品，取出3都是二级品是不可能发生的，故是不可能事（2）“3都是一级品”在题设条下是可能发生也可能不发生的，故是随机事（3）“至少有一是一级品”是必然事，因为12瓷器中只有2二级品，取三必有一级品2某企业生产的乒乓球被08年北京奥委会指定为乒乓球比赛专用球日前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：抽取球数n010******* 0002 000优等品数492194470941 902优等品频率（1）计算表中乒乓球优等品的频率；（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？（结果保留到小数点后三位）解（1）依据公式p= ，可以计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0900，0920，0970，0940，094，091（2）由（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值虽然不同，但随着抽取球数的增多，却都在常数090的附近摆动，所以抽取一个乒乓球检测时，质量检查为优等品的概率为0903玻璃球盒中装有各色球12只，其中红、4黑、2白、1绿，从中取1球，求：（1）红或黑的概率；（2）红或黑或白的概率解方法一记事A1：从12只球中任取1球得红球；A2：从12只球中任取1球得黑球；A3：从12只球中任取1球得白球；A4：从12只球中任取1球得绿球，则P（A1）= ，P（A2）= ，P（A3）= ，P（A4）=根据题意，A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事概率加法公式得（1）取出红球或黑球的概率为P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）= + =（2）取出红或黑或白球的概率为P（A1+A2+A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）= + + =方法二（1）取出红球或黑球的对立事为取出白球或绿球，即A1+A2的对立事为A3+A4，∴取出红球或黑球的概率为P（A1+A2）=1-P（A3+A4）=1-P（A3）-P（A4）=1- - = =（2）A1+A2+A3的对立事为A4P（A1+A2+A3）=1-P（A4）=1- =一、填空题1在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是答案2某入伍新兵的打靶练习中，连续射击2次，则事“至少有1次中靶”的互斥事是（写出一个即可）答案2次都不中靶3甲:A1、A2是互斥事；乙：A1、A2是对立事，那么甲是乙的条答案必要不充分4将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，，6的正方体玩具）先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是答案一个口袋内装有一些大小和形状都相同的白球、黑球和红球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是03，摸出白球的概率是0，则摸出黑球的概率是答案026在第3、6、16路公共汽车的一个停靠站（假定这个车站只能停靠一辆公共汽车），有一位乘客需在分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车、6路车在分钟之内到此车站的概率分别为020和060，则该乘客在分钟内能乘上所需要的车的概率为答案0807中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为答案8甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙二人下成和棋的概率为答案0%二、解答题9某射手在一次射击训练中，射中10环、9环、8环、7环的概率分别为021、023、02、028，计算这个射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）不够7环的概率解（1）设“射中10环”为事A，“射中9环”为事B，由于A，B互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）=021+023=044（2）设“少于7环”为事，则P（）=1-P（）=1-（021+023+02+028）=00310某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：医生人数01234人及以上概率01016030202004求：（1）派出医生至多2人的概率；（2）派出医生至少2人的概率解记事A：“不派出医生”，事B：“派出1名医生”，事：“派出2名医生”，事D：“派出3名医生”，事E：“派出4名医生”，事F：“派出不少于名医生”∵事A，B，，D，E，F彼此互斥，且P（A）=01，P（B）=016，P（）=03，P（D）=02，P（E）=02，P（F）=004（1）“派出医生至多2人”的概率为P（A+B+）=P（A）+P（B）+P（）=01+016+03=06（2）“派出医生至少2人”的概率为P（+D+E+F）=P（）+P（D）+P（E）+P（F）=03+02+02+004=074或1-P（A+B）=1-01-016=07411抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1、2、3、4、、6），事A表示”朝上一面的数是奇数”，事B表示“朝上一面的数不超过3”，求P（A+B）解方法一因为A+B的意义是事A发生或事B发生，所以一次试验中只要出现1、2、3、四个可能结果之一时，A+B就发生，而一次试验的所有可能结果为6个，所以P（A+B）= =方法二记事为“朝上一面的数为2”，则A+B=A+，且A与互斥又因为P（）= ，P（A）= ，所以P（A+B）=P（A+）=P（A）+P（）= + =方法三记事D为“朝上一面的数为4或6”，则事D发生时，事A和事B都不发生，即事A+B不发生又事A+B发生即事A发生或事B 发生时，事D不发生，所以事A+B与事D为对立事因为P（D）= = ，所以P（A+B）=1-P（D）=1- =12袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率是，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？解分别记得到红球、黑球、黄球、绿球为事A、B、、D由于A、B、、D为互斥事，根据已知得到解得∴得到黑球、黄球、绿球的概率各是，，。

高中数学复习课(一)统计案例教案(含解析)北师大版选修12

回归分析高中数学复习课（一）统计案例教案（含解析）北师大版选修12(1)变量间的相关关系是高考解答题命题的一个，主要考查变量间相关关系的判断，求解回归方程并进行预报估计，题型多为解答题，有时也有小题出现．(2)掌握回归分析的步骤的是解答此类问题的关键，另外要掌握将两种非线性回归模型转化为线性回归分析求解问题.[考点精要]1．一个重要方程对于一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其线性回归直线方程为y ＝bx ＋a .其中b ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2，a ＝y －b x .2．重要参数相关系数r 是用来刻画回归模型的回归效果的，其绝对值越大，模型的拟合效果越好． 3．两种重要图形[典例] (2017·全国卷Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.9610.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95经计算得x ＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116x i －x 2＝116⎝⎛⎭⎪⎪⎫∑i ＝116x 2i －16x2≈0.212,∑i ＝116i －8.52≈18.439，∑i ＝116(x i －x )(i －8.5)＝－2.78，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)(1)求(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r |＜0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)．(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x －3s ，x ＋3s )之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？②在(x －3s ，x ＋3s )之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01)附：样本(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )的相关系数r ＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2，0.008≈0.09.[解] (1)由样本数据得(x i ，i )(i ＝1,2，…，16)的相关系数为r ＝∑i ＝116x i －xi －8.5∑i ＝116x i －x2∑i ＝116i －8.52＝－2.780.212×16×18.439≈－0.18.由于|r |＜0.25，因此可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小．(2)①由于x ＝9.97，s ≈0.212，由样本数据可以看出抽取的第13个零件的尺寸在(x －3s ，x ＋3s )以外，因此需对当天的生产过程进行检查．②剔除离群值，即第13个数据，剩下数据的平均数为115(16×9.97－9.22)＝10.02，所以这条生产线当天生产的零件尺寸的均值的估计值为10.02，∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134，剔除第13个数据，剩下数据的样本方差为 115(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，所以这条生产线当天生产的零件尺寸的标准差的估计值为0.008≈0.09.[类题通法]求线性回归方程的基本步骤[注意] 对非线性回归问题应利用变量代换，把问题化为线性回归分析问题，使之得到解决．[题组训练]1．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的回归系数为b，回归截距是a，那么必有( )A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反解析：选A 正相关时，b>0，r>0；负相关时，b<0，r<0.2．为研究某种图书每册的成本费y(元)与印刷数x(千册)的关系，收集了一些数据并作了初步处理，得到了下面的散点图及一些统计量的值．x y u∑i＝18(x i－x)2∑i＝18(x i－x)(y i－y)∑i＝18(u i－u)2∑i＝18(u i－u)(y i－y) 15.25 3.630.269 2 085.5－230.30.7877.049表中u i ＝1x i ，u ＝18∑i ＝18u i .(1)根据散点图判断：y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋dx哪一个更适宜作为每册成本费y (元)与印刷数x (千册)的回归方程类型？(只要求给出判断，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程(回归系数的结果精确到0.01)；(3)若每册书定价为10元，则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78 840元？(假设能够全部售出，结果精确到1)(附：对于一组数据(ω1，v 1)，(ω2，v 2)，…，(ωn ，v n )，其回归直线v ＝a ＋βω的斜率和截距的最小二乘估计分别为β＝∑i ＝1nωi －ωv i －v∑i ＝1nωi －ω2，α＝v －β ω)解：(1)由散点图判断，y ＝c ＋d x适宜作为每册成本费y (元)与印刷册数x (千册)的回归方程．(2)令u ＝1x，先建立y 关于u 的线性回归方程，由于d ＝∑i ＝18u i －uy i －y∑i ＝18u i －u2＝7.0490.787≈8.957≈8.96， ∴c ＝y －d ·u ＝3.63－8.957×0.269≈1.22， ∴y 关于u 的线性回归方程为y ＝1.22＋8.96u ，从而y 关于x 的回归方程为y ＝1.22＋8.96x.(3)假设印刷x 千册，依题意：10x －⎝ ⎛⎭⎪⎫1.22＋8.96x ·x ≥78.840.即8.78x ≥87.8，解得x ≥10，∴至少印刷10千册才能使销售利润不低于78 840元.独立性检验(1)为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．(2)独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系” 成立，在该假设下构造的随机变量K2应该很小，如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量K2的含义，可以通过概率P(K2≥6.635)≈0.01来评价该假设不合理的程度，由实际计算出的k>6.635，说明该假设不合理的程度约为99%，即“两个分类变量有关系” 这一结论成立的可信程度约为99%.[考点精要]独立性判断的方法(1)当χ2≤2.706时，没有充分的证据判定变量A，B有关联，可以认为变量A，B是没有关联的；(2)当χ2>2.706时，有90%的把握判定变量A，B有关联；(3)当χ2>3.841时，有95%的把握判定变量A，B有关联；(4)当χ2>6.635时，有99%的把握判定变量A，B有关联．[典例] (2017·全国卷Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量＜50 kg箱产量≥50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较．附：P (χ2≥k 0)0.050 0.010 0.001 k 03.8416.63510.828，χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d.[解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg 的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A 的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表箱产量＜50 kg箱产量≥50 k g旧养殖法 62 38 新养殖法3466根据表中数据及χ2的计算公式得， χ2＝200×62×66－34×382100×100×96×104≈15.705.由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．[类题通法]独立性检验问题的求解策略(1)等高条形图法：依据题目信息画出等高条形图，依据频率差异来粗略地判断两个变量的相关性．(2)χ2统计量法：通过公式χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d先计算χ2，再与临界值表作比较，最后得出结论．[题组训练]1．如果有99%的把握认为变量A 和B 有关系，那么χ2( ) A ．χ2≥3.841B ．χ2<3.841C ．χ2≥6.635D ．χ2<6.635解析：选C 将χ2的值与临界值比较，可知若有99%的把握认为变量A 和B 有关系，则χ2≥6.635.故选C.2．下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病不得病总计干净水 52 466 518 不干净水 94 218 312 总计146684830(1)能否有99%的把握认为这种传染病与饮用水的卫生程度有关，请说明理由． (2)若饮用干净水得病的有5人，不得病的有50人，饮用不干净水得病的有9人，不得病的有22人．按此样本数据分析能否有95%的把握认为这种疾病与饮用水有关．解：(1)把表中的数据代入公式得 χ2＝830×52×218－466×942146×684×518×312≈54.21.∵54.21＞6.635，所以有99%的把握认为该地区这种传染病与饮用水不干净有关． (2)依题意得2×2列联表：得病不得病总计干净水 5 50 55 不干净水 9 22 31 总计147286此时，χ2＝86×5×22－50×9214×72×55×31≈5.785.因为5.785＞3.841，所以有95%的把握认为该种疾病与饮用水不干净有关．1．为了研究气温对某种饮料销售的影响，经过统计，得到一个卖出饮料数与当天气温的对比表：摄氏温度－1 3 8 13 17 饮料瓶数3405273122( ) A ．140 B ．190 C ．210D ．240。

高三一轮复习专题训练：统计、统计案例(最新题,14页)

2 分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问
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题需先求出抽样比 —— 样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积 .
三、预测押题不能少
解析：由题意知， 0.15(x＋ 1)＋ 0.2－ 0.15 x－ 0.2＝ 0.15. 答案： 0.15
统计与概率的交汇
统计与统计案例的主要内容是随机抽样、样本估计总体、变量的相关性、回归分析和独立性检验，该部分内容在高考中占有一定的位置，近两年高考中由单纯考查统计及统计案例转化为与概率交汇命题且背景贴近生活，角度新颖，试题多为解答题，难度中档．
D. b^<b′， a^<a′
[解析 ] 由 (1,0)， (2,2) 求 b′ ， a′，则
2－ 0 b′ ＝＝ 2，a′ ＝ 0－2× 1＝－ 2.
2－ 1 由上表数据求 b^， a^，
6
xiyi＝ 0＋ 4＋ 3＋12＋ 15＋24＝ 58，
i＝1
13 x ＝ 3.5， y ＝ 6 ，
6
x2i ＝ 1＋Βιβλιοθήκη 4＋ 9＋ 16＋ 25＋ 36＝ 91，
3n 60＝ 260，解得 n＝13.
(2)将某班的 60 名学生编号为： 01,02，…， 60，采用系统抽样方法抽取一个容量为 5 的样本，且随机抽得的一个号码为 04，则剩下的四个号码依次是 ________．
解析：依据系统抽样方法的定义知，将这 60 名学生依次按编号每 12 人作为一组，即
1． (1) 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为

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2012高考数学一轮复习导学教案全集2012届高三理科数学一轮总复习教案全集(配套教材:新课标人教A版)第一章集合与常用逻辑用语第二章函数第三章导数及其应用第四章平面向量第五章三角函数第六章数列第七章不等式第八章直线和圆的方程第九章圆锥曲线与方程第十章立体几何第十一章算法初步第十二章排列组合、二项式定理、概率第十三章统计案例第十四章推理与证明第十五章复数第十六章几何证明选讲第十七章坐标系与参数方程第十八章不等式选讲第十九章优选法第一章集合与常用逻辑用语高考导航考试要求重难点击命题展望1.集合的含义与表示1了解集合的含义、元素与集合的属于关系;2能用自然语言、图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的具体问题.2.集合间的基本关系1理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集;2在具体情境中,了解全集与空集的含义.3.集合的基本运算1理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集;2理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集;3能使用韦恩Venn图表达集合的关系及运算.4.命题及其关系1理解命题的概念;2了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题,否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系;3理解必要条件,充分条件与充要条件的意义.5.简单的逻辑联结词了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义.6.全称量词与存在量词1理解全称量词与存在量词的意义;2能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 本章重点:1.集合的含义与表示、集合间的基本关系与基本运算;2.命题的必要条件、充分条件与充要条件,对所给命题进行等价转化.本章难点:1.自然语言、图形语言、集合语言之间相互转换;2.充分条件、必要条件的判断;3.对含有一个量词的命题进行否定的理解. 1.考查集合本身的基础知识,如集合的概念,集合间的关系判断和运算等;2.将集合知识与其他知识点综合,考查集合语言与集合思想的运用;3.考查命题的必要条件、充分条件与充要条件,要求考生会对所给命题进行等价转化;4.要求考生理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.知识网络1.1 集合及其运算典例精析题型一集合中元素的性质【例1】设集合A=a+1,a-3,2a-1,a2+1,若-3∈A,求实数a的值.【解析】令a+1=-3?a=-4,检验合格;令a-3=-3?a=0,此时a+1=a2+1,舍去;令2a-1=-3?a=-1,检验合格;而a2+1≠-3;故所求a的值为-1或-4.【点拨】此题重在考查元素的确定性和互异性.首先确定-3是集合A的元素,但A中四个元素全是未知的,所以需要讨论;而当每一种情况求出a的值以后,又需要由元素的互异性检验a是否符合要求.【变式训练1】若a、b∈R,集合1,a+b,a=0,,b,求a和b的值.【解析】由1,a+b,a=0,,b,得①或②显然①无解;由②得a=-1,b=1.题型二集合的基本运算【例2】已知A=x|x2-8x+15=0,B=x|ax-1=0,若B?A,求实数a.【解析】由已知得A=3,5.当a=0时,B=??A;当a≠0时,B=.要使B?A,则=3或=5,即a=或.综上,a=0或或.【点拨】对方程ax=1,两边除以x的系数a,能不能除,导致B是否为空集,是本题分类讨论的根源.【变式训练2】2010江西若集合A=x||x|≤1,x∈R,B=y|y=x2,x∈R,则A∩B 等于A.x|-1≤x≤1B.x|x≥0C.x|0≤x≤1D.【解析】选C.A=[-1,1],B=[0,+∞,所以A∩B=[0,1].题型三集合语言的运用【例3】已知集合A=[2,log2t],集合B=x|x2-14x+24≤0,x,t∈R,且A?B.1对于区间[a,b],定义此区间的“长度”为b-a,若A的区间“长度”为3,试求t的值;2某个函数fx的值域是B,且fx∈A的概率不小于0.6,试确定t的取值范围.【解析】1因为A的区间“长度”为3,所以log2t-2=3,即log2t=5,所以t=32.2由x2-14x+24≤0,得2≤x≤12,所以B=[2,12],所以B的区间“长度”为10.设A的区间“长度”为y,因为fx∈A的概率不小于0.6,所以≥0.6,所以y≥6,即log2t-2≥6,解得t≥28=256.又A?B,所以log2t≤12,即t≤212=4 096,所以t的取值范围为[256,4 096]或[28, 212].【变式训练3】设全集U是实数集R,M=x|x2>4,N=x|≥1,则图中阴影部分所表示的集合是A.x|-2≤x<1B.x|-2≤x≤2C.x|1<x≤2D.x|x<2【解析】选C.化简得M=x<-2或x>2,N=x|1<x≤3,故图中阴影部分为?RM∩N=x|1<x≤2.总结提高1.元素与集合及集合与集合之间的关系对于符号∈,?和?,?的使用,实质上就是准确把握两者之间是元素与集合,还是集合与集合的关系.2.“数形结合”思想在集合运算中的运用认清集合的本质特征,准确地转化为图形关系,是解决集合运算中的重要数学思想1要牢固掌握两个重要工具:韦恩图和数轴,连续取值的数集运算,一般借助数轴处理,而列举法表示的有限集合则侧重于用韦恩图处理.2学会将集合语言转化为代数、几何语言,借助函数图象及方程的曲线将问题形象化、直观化,以便于问题的解决.3.处理集合之间的关系时,是一个不可忽视、但又容易遗漏的内容,如A?B,A ∩B=A,A∪B=B等条件中,集合A可以是空集,也可以是非空集合,通常必须分类讨论.命题及其关系、充分条件与必要条件典例精析题型一四种命题的写法及真假判断【例1】写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断其真假.1若m,n都是奇数,则m+n是奇数;2若x+y=5,则x=3且y=2.【解析】1逆命题:若m+n是奇数,则m,n都是奇数,假命题;否命题:若m,n不都是奇数,则m+n不是奇数,假命题;逆否命题:若m+n不是奇数,则m,n不都是奇数,假命题.2逆命题:若x=3且y=2,则x+y=5,真命题;否命题:若x+y≠5,则x≠3或y≠2,真命题;逆否命题:若x≠3或y≠2,则x+y≠5,假命题.【点拨】写命题的四种形式,关键是找出命题的条件与结论,根据四种命题结构写出所求命题.判断四种命题真假,要熟悉四种命题的相互关系,注意它们之间的相互性.【变式训练1】已知命题“若p,则q”为真,则下列命题中一定为真的是A.若p,则qB.若q,则pC.若q,则pD.若q,则p【解析】选 B.题型二充分必要条件探究【例2】设m>0,且为常数,已知条件p:|x-2|<m,条件q:|x2-4|<1,若p是q 的必要非充分条件,求实数m的取值范围.【解析】设集合A=x||x-2|<m=x|2-m<x<2+m,B=x||x2-4|<1=x|<x<或-<x<-.由题设有:q?p且p不能推出q,所以p?q且q不能推出p,所以A?B.因为m>0,所以2-m,2+m?,,故由2+m≤且2-m≥?0<m≤-2,故实数m的取值范围为0,-2].【点拨】正确化简条件p和q,然后将充分条件、必要条件问题等价转化为集合与集合之间的包含问题,借助数轴这个处理集合问题的有力工具使问题得以解决.【变式训练2】已知集合A=x|a-2<x<a+2,B=x|x≤-2或x≥4,则A∩B=?的充要条件是A.0≤a≤2B.-2<a<2C.0<a≤2D.0<a<2【解析】选A.因为A=x|a-2<x<a+2,B=x|x≤-2或x≥4,且A∩B=?,所以如图,由画出的数轴可知,即0≤a≤2.题型三充分必要条件的证明【例3】设数列an的各项都不为零,求证:对任意n∈N*且n≥2,都有++…+=成立的充要条件是an为等差数列.【证明】1充分性若an为等差数列,设其公差为d,则++…+=[-+-+…+-]=-==.2必要性若++…+=,则++…++=,两式相减得=- ?a1=nan-n-1an+1.①于是有a1=n+1an+1-nan+2,②由①②得nan-2nan+1+nan+2=0,所以an+1-an=an+2-an+1n≥2.又由+=?a3-a2=a2-a1,所以n∈N*,2an+1=an+2+an,故an为等差数列.【点拨】按照充分必要条件的概念,分别从充分性和必要性两方面进行探求.【变式训练3】设0<x<,则“xsin2x<1”是“xsin x<1”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 B.若xsin x<1,因为x∈0,,所以xsin x>xsin2x,由此可得xsin2x<1,即必要性成立.若xsin2x<1,由于函数fx=xsin2x在0,上单调递增,且sin2=>1,所以存在x0∈0,使得x0sin2x0=1.又x0sin x0>x0sin2x0=1,即x0sinx0>1,所以存在x0′∈0,x0使得x0′sin2x0′<1,且x0′sin x0′≥1,故充分性不成立.总结提高1.四种命题的定义和区别,主要在于命题的结论和条件的变化上.2.由于互为逆否命题的两个命题是等价的,所以我们在证明一个命题的真假时,可以通过其逆否命题的证明来达到目的.适合这种处理方法的题型有:①原命题含有否定词“不”、“不能”、“不是”等;②原命题含有“所有的”、“任意的”、“至少”、“至多”等;③原命题分类复杂,而逆否命题分类简单;④原命题化简复杂,而逆否命题化简简单.3.p是q的充分条件,即p?q,相当于分别满足条件p和q的两个集合P与Q 之间有包含关系:P?Q,即PQ或P=Q,必要条件正好相反.而充要条件p?q就相当于P=Q.4.以下四种说法表达的意义是相同的:①命题“若p,则q”为真;②p?q;③p 是q的充分条件;④q是p的必要条件.1.3 简易逻辑联结词、全称量词与存在量词典例精析题型一全称命题和特称命题的真假判断【例1】判断下列命题的真假.1?x∈R,都有x2-x+1>;2?α,β使cosα-β=cos α-cos β;3?x,y∈N,都有x-y∈N;4?x0,y0∈Z,使得x0+y0=3.【解析】1真命题,因为x2-x+1=x-2+≥>.2真命题,例如α=,β=,符合题意.3假命题,例如x=1,y=5,但x-y=-4?N.4真命题,例如x0=0,y0=3,符合题意.【点拨】全称命题是真命题,必须确定对集合中的每一个元素都成立,若是假命题,举反例即可;特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找到一个元素使得命题成立.【变式训练1】已知命题p:?x∈R,使tan x=1,命题q:?x∈R,x2>0.则下面结论正确的是A.命题“p∧q”是真命题B.命题“p∧q”是假命题C.命题“p∨q”是真命题D.命题“p∧q”是假命题【解析】选D.先判断命题p和q的真假,再逐个判断.容易知命题p是真命题,如x=,p是假命题;因为当x=0时,x2=0,所以命题q是假命题,q是真命题.所以“p∧q”是假命题,A错误;“p∧q”是真命题,B错误;“p∨q”是假命题,C错误;“p∧q”是假命题,D正确.题型二含有一个量词的命题的否定【例2】写出下列命题的否定,并判断其真假.1p:?x∈R,x2-x+≥0;2q:所有的正方形都是矩形;3r:?x∈R,x2+2x+2≤0;4s:至少有一个实数x,使x3+1=0.【解析】1 p:?x∈R,x2-x+<0,是假命题.2 q:至少存在一个正方形不是矩形,是假命题.3 r:?x∈R,x2+2x+2>0,是真命题.4 s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题.【点拨】含有一个量词的命题否定中,全称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称命题,一般命题的否定则是直接否定结论即可.【变式训练2】已知命题p:?x∈1,+∞,log3x>0,则p为 .【解析】?x0∈1,+∞,log3x0≤0.题型三命题的真假运用【例3】若rx:sin x+cos x>m,sx:x2+mx+1>0,如果“对任意的x∈R,rx为假命题”且“对任意的x∈R,sx为真命题”,求实数m的取值范围.【解析】因为由m<sin x+cos x=sinx+恒成立,得m<-;而由x2+mx+1>0恒成立,得m2-4<0,即-2<m<2依题意,rx为假命题且sx为真命题,所以有m≥-且-2<m<2,故所求m的取值范围为-≤m<2.【点拨】先将满足命题p、q的m的取值集合A、B分别求出,然后由rx为假命题取A的补集,sx为真命题同时成立取交集即得.【变式训练3】设M是由满足下列性质的函数fx构成的集合:在定义域内存在x0,使得fx0+1=fx0+f1成立.已知下列函数:①fx=;②fx=2x;③fx=lgx2+2;④fx=cos πx,其中属于集合M的函数是写出所有满足要求的函数的序号.【解析】②④.对于①,方程=+1,显然无实数解;对于②,由方程2x+1=2x+2,解得x=1;对于③,方程lg[x+12+2]=lgx2+2+lg 3,显然也无实数解;对于④,方程cos[πx+1]=cos πx+cos π,即cos πx=,显然存在x使等式成立.故填②④.总结提高1.同一个全称命题,特称命题,由于自然语言的不同,可能有不同的表述方法,在实际应用中可以灵活选择.2.命题的否定,一定要注意与否命题的区别:全称命题的否定,先要将它变成特称命题,然后将结论加以否定;反过来,对特称命题的否定,先将它变成全称命题,然后对结论加以否定.而命题的否命题,则是将原命题中的条件否定当条件,结论否定当结论构成一个新的,即否命题.第二章函数高考导航考试要求重难点击命题展望1.了解构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念.2.在实际生活中,会根据不同的需要选择恰当的方法如图象法、列表法、解析法表示函数.3.了解简单的分段函数,并能简单运用.4.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义;结合具体函数,了解函数奇偶性的含义.5.会运用函数的图象理解和研究函数的性质.6.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.7.理解指数函数的概念及其单调性,掌握指数函数通过的特殊点.8.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.9.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数通过的特殊点.10.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax a>0且a≠1互为反函数.11.了解幂函数的概念,结合函数y=x, y=x2, y=x3 ,y=, y=的图象,了解它们的变化情况.12.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程的根的联系,判断一元二次方程根的存在性和根的个数.13.根据具体函数图象,能够用二分法求相应方程的近似解.14.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征;知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.15.了解指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型的广泛应用. 本章重点: 1.函数的概念及其三要素;2.函数的单调性、奇偶性及其几何意义;3.函数的最大小值;4.指数函数与对数函数的概念和性质;5.函数的图象及其变换;6.函数的零点与方程的根之间的关系;7.函数模型的建立及其应用.本章难点:1.函数概念的理解;2.函数单调性的判断;3.函数图象的变换及其应用;4.指数函数与对数函数概念的理解及其性质运用;5.研究二次函数的零点与一元二次方程的根的关系;6.函数模型的建立及求解. 高考对函数的考查,常以选择题和填空题来考查函数的概念和一些基本初等函数的图象和性质,解答题则往往不是简单地考查概念、公式和法则的应用,而是常与导数、不等式、数列、三角函数、解析几何等知识及实际问题结合起来进行综合考查,并渗透数学思想方法,突出考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想方法.知识网络函数的概念及表示法典例精析题型一求函数的解析式【例1】 1已知fx+1=x2+x+1,求f x的表达式;2已知fx+2f-x=3x2+5x+3,求f x的表达式.【解析】1设x+1=t,则x=t-1,代入得f x=t-12+t-1+1=t2-t+1,所以f x=x2-x+1.2由f x+2f -x=3x2+5x+3,x换成-x,得f -x+2 f x=3x2-5x+3,解得f x=x2-5x+1.【点拨】已知fx,gx,求复合函数f[gx]的解析式,直接把fx中的x换成gx 即可,已知f[gx],求f x的解析式,常常是设gx=t,或者在f[gx]中凑出gx,再把gx换成x.【变式训练1】已知f =,求f x的解析式.【解析】设=t,则x=,所以f t==,所以f x=x≠-1.题型二求函数的定义域【例2】1求函数y=的定义域;2已知fx的定义域为[-2,4],求fx2-3x的定义域.【解析】1要使函数有意义,则只需要即解得-3<x<0或2<x<3,故所求的定义域为-3,0∪2,3.2依题意,只需-2≤x2-3x≤4,解得-1≤x≤1或2≤x≤4,故fx2-3x的定义域为[-1,1]∪[2,4].【点拨】有解析式的函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围,往往列不等式组求解.对于抽象函数f[gx]的定义域要把gx当作fx中的x来对待.【变式训练2】已知函数f 2x的定义域为[-1,1],求flog2x的定义域.【解析】因为y=f2x的定义域为[-1,1],即-1≤x≤1时2-1≤2x≤21,所以y=fx的定义域为[,2].令≤log2x≤2,所以≤x≤22=4,故所求y=flog2x的定义域为[,4].题型三由实际问题给出的函数【例3】用长为l的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架如图,若矩形底部长为2x,求此框围成的面积y与x的函数关系式,并指出其定义域.【解析】由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,而矩形的长AB=2x,设宽为a,则有2x+2a+πx=l,即a=-x-x,半圆的半径为x,所以y=+-x-x?2x=-2+x2+lx.由实际意义知-x-x>0,因x>0,解得0<x<.即函数y=-2+x2+lx的定义域是x|0<x<.【点拨】求由实际问题确定的定义域时,除考虑函数的解析式有意义外,还要考虑使实际问题有意义.如本题使函数解析式有意义的x的取值范围是x∈R,但实际问题的意义是矩形的边长为正数,而边长是用变量x表示的,这就是实际问题对变量的制约.【变式训练3】一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,记y=fx,则y=fx的图象是【解析】由题意得y=2≤x≤10,选A.题型四分段函数【例4】已知函数fx=1求f1+f-1的值;2若fa=1,求a的值;3若fx>2,求x的取值范围.【解析】1由题意,得f1=2,f-1=2,所以f1+f-1=4.2当a<0时,fa=a+3=1,解得a=-2;当a≥0时,fa=a2+1=1,解得a=0. 所以a=-2或a=0.3当x<0时,fx=x+3>2,解得-1<x<0;当x≥0时,fx=x2+1>2,解得x>1.所以x的取值范围是-1<x<0或x>1.【点拨】分段函数中,x在不同的范围内取值时,其对应的函数关系式不同.因此,分段函数往往需要分段处理.【变式训练4】2010全国新课标已知函数fx=若a,b,c互不相等,且fa=fb=fc,则abc的取值范围是A.1,10B.5,6C.10,12D.20,24【解析】不妨设a<b<c,由fa=fb=fc及fx图象知<a<1<b<10<c<12,所以-lg a=lg b=-c+6,所以ab=1,所以abc的范围为10,12,故选C.总结提高1.在函数三要素中,定义域是灵魂,对应法则是核心,因为值域由定义域和对应法则确定,所以两个函数当且仅当定义域与对应法则均相同时才表示同一个函数,而值域相同是两函数为同一函数的必要非充分条件.2.若一个函数在其定义域不同的子集上,解析式不同,则可用分段函数的形式表示.3.函数的三种表示法各有利弊,一般情况下,研究函数要求出函数的解析式,通过解析式来解题.求函数解析式的方法有:配方法、观察法、换元法和待定系数法等.2.2 函数的单调性典例精析题型一函数单调性的判断和证明【例1】讨论函数fx= a≠在-2,+∞上的单调性.【解析】设x1,x2为区间-2,+∞上的任意两个数且x1<x2,则fx1-fx2=-=,因为x1∈-2,+∞,x2∈-2,+∞,且x1<x2,所以x1-x2<0,x1+2>0,x2+2>0.所以当a<时,1-2a>0,fx1>fx2,函数fx在-2,+∞上为减函数;当a>时,1-2a<0,fx1<fx2,函数fx在-2,+∞上是增函数.【点拨】运用定义判断函数的单调性,必须注意x1,x2在给定区间内的任意性,另外本题可以利用导数来判断.【变式训练1】已知函数fx满足fπ+x=fπ-x,且当x∈0,π时,fx=x+cos x,则f2,f3,f4的大小关系是A. f 2<f 3<f 4B. f 2<f 4<f 3C. f 4<f 3<f 2D. f 3<f 4<f 2【解析】B.题型二函数单调区间的求法【例2】试求出下列函数的单调区间.1y=|x-1|;2y=x2+2|x-1|;3y=.【解析】1y=|x-1|=所以此函数的单调递增区间是1,+∞,单调递减区间是-∞,1.2y=x2+2|x-1|=所以此函数的单调递增区间是1,+∞,单调递减区间是-∞,1.3由于t=-x2+4x-3的单调递增区间是-∞,2,单调递减区间是2,+∞,又底数大于1,所以此函数的单调递增区间是-∞,2,单调递减区间是2,+∞.【点拨】函数的单调区间,往往需要借助函数图象和有关结论,才能求解出.【变式训练2】在实数的原有运算法则中,我们补充定义新运算“”如下:当a≥b时,ab=a;当a<b时,ab=b2.则函数f x=1xx-2x,x∈[-2,2]的最大值是A.-1B.6C.1D.12【解析】B.题型三函数单调性的应用【例3】已知函数fx的定义域为[-1,1],且对于任意的x1,x2∈[-1,1],当x1≠x2时,都有>0.1试判断函数fx在区间[-1,1]上是增函数还是减函数,并证明你的结论;2解不等式f5x-1<f6x2.【解析】1当x1,x2∈[-1,1],且x1<x2时,由>0,得fx1<fx2,所以函数fx在区间[-1,1]上是增函数.2因为fx在[-1,1]上是增函数.所以由f5x-1<f6x2知,所以0≤x<,所求不等式的解集为x|0≤x<.【点拨】抽象函数的单调性往往是根据定义去判断,利用函数的单调性解题时,容易犯的错误是忽略函数的定义域.【变式训练3】已知函数y=fx是R上的偶函数,对于x∈R都有fx+6=fx+f3成立,当x1,x2∈[0,3],且x1≠x2时,都有>0,给出下列命题:①f3=0;②直线x=-6是函数y=fx的图象的一条对称轴;③函数y=fx在[-9,-6]上为增函数;④函数y=fx在[-9,9]上有四个零点.其中所有正确命题的序号为把所有正确命题的序号都填上.【解析】①②④.总结提高1.函数的单调区间是其定义域的子集,因此,讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域.2.函数的单调性可以借助函数图象来研究,增函数的图象自左向右是上升曲线,减函数的图象自左向右是下降曲线.3.导数是解决函数单调性问题的有力工具.4.利用函数单调性可比较大小、证明不等式、解不等式、求函数值域或最值等,既是一种方法,也是一种技巧,应加强函数单调性的应用,提高解题技巧.5.函数的单调性不同于周期性与奇偶性,它仅仅是函数的局部性质.2.3 函数的奇偶性典例精析题型一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性.1fx=;2fx=【解析】1由得定义域为-1,0∪0,1,这时fx==-,因为f-x=-=-=fx,所以fx为偶函数.2当x<0时,-x>0,则f-x=--x2-x=-x2+x=-fx,当x>0时,-x<0,则f-x=-x2-x=x2-x=-fx,所以对任意x∈-∞,0∪0,+∞都有f-x=-fx,故fx为奇函数.【点拨】判断函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域是否关于原点对称,再分析f-x与fx的关系,必要时可对函数的解析式进行化简变形.【变式训练1】2010广东若函数fx=3x+与gx=3x-的定义域均为R,则A. f x与gx均为偶函数B. f x为偶函数,gx为奇函数C. f x与gx均为奇函数D. f x为奇函数,gx为偶函数【解析】B.题型二由奇偶性的条件求函数的解析式【例2】若函数fx=是定义在-1,1上的奇函数,求fx的解析式.【解析】因为函数fx=是定义在-1,1上的奇函数,所以f0=0,从而得m=0. 又f+f-=0,解得n=0.所以fx=-1<x<1.【变式训练2】已知定义域为R的函数fx=是奇函数,求a,b的值.【解析】因为fx是奇函数,所以f0=0,即=0,解得b=1,所以fx=.又由f1=-f-1,所以=-,解得a=2. 故a=2,b=1.题型三函数奇偶性的应用【例3】设函数fx的定义域为R,对于任意实数x,y都有fx+y=fx+fy,当x>0时,fx>0且f2=6.1求证:函数fx为奇函数;2求证:函数fx在R上是增函数;3在区间[-4,4]上,求fx的最值.【解析】1证明:令x=y=0,得f0=f0+f0,所以f0=0,令y=-x,有f0=fx+f-x,所以f-x=-fx,所以函数fx为奇函数.2证明:设x1,x2∈R,且x1<x2,则fx2-fx1=fx2+f-x1=fx2-x1,又x>0时,fx>0,所以fx2-fx1=fx2-x1>0,即fx2>fx1,所以函数fx在R上是增函数.3因为函数fx在R上是增函数,所以fx在区间[-4,4]上也是增函数,所以函数fx的最大值为f4,最小值为f-4,因为f2=6,所以f4=f2+f2=12,又fx为奇函数,所以f-4=-f4=-12,故函数fx在区间[-4,4]上的最大值为12,最小值为-12.【点拨】函数的最值问题,可先通过判断函数的奇偶性、单调性,再求区间上的最值.【变式训练3】定义在R上的函数fx满足fx=则f-1= ,f33= .【解析】4;-2.总结提高1.判定函数的奇偶性时,应先确定函数的定义域是否关于原点对称,再看f-x与fx的关系,必要时可对函数解析式进行化简变形.2.判定函数的奇偶性时,有时可通过其等价形式:f-x±fx=0或=±1 fx≠0进行处理.3.奇偶性与单调性、不等式相结合的问题,要注意数形结合求解.2.4 二次函数典例精析题型一求二次函数的解析式【例1】已知二次函数y=fx的图象的对称轴方程为x=-2,在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为2,求fx的解析式.【解析】设fx=ax2+bx+c a≠0,由已知有解得a=,b=2,c=1,所以fx=x2+2x+1.【点拨】求二次函数的解析式,要根据已知条件选择恰当的形式,三种形式可以相互转化,若二次函数图象与x轴相交,则两点间的距离为|x1-x2|=.【变式训练1】已知二次函数y=x2+bx+c的图象过点Ac,0,且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式是 .【解析】由已知x=c为它的一个根,故另一根为1.所以1+b+c=0,又-=2?b=-4,所以c=3.所以fx=x2-4x+3.题型二二次函数的最值【例2】已知二次函数fx的二次项系数为a,且不等式fx>-2x的解集为1,3.1若方程fx+6a=0有两个相等实根,求fx的解析式;2若fx的最大值为正数,求a的取值范围.【解析】1因为fx+2x>0的解集为1,3.所以fx=ax-1x-3-2x=ax2-2+4ax+3a.①由fx+6a=0?ax2-2+4ax+9a=0,②由②知,Δ=[-2+4a]2-4a×9a=0?5a2-4a-1=0,所以a=1或a=-.因为a<0,所以a=-,代入①得fx=-x2-x-.2由于fx=ax2-21+2ax+3a=ax-2-,又a<0,可得[fx]=-.由?a<-2-或-2+<a<0.【点拨】1利用Δ=0;2利用配方法.【变式训练2】已知二次函数y=x2-2x+3在区间[0,m]上有最大值3和最小值2,则m的取值范围是 .【解析】[1,2].题型三二次函数在方程、不等式中的综合应用【例3】设函数fx=ax2+bx+c a≠0,x1<x2,fx1≠fx2,对于方程fx=[ fx1+fx2],求证:1方程在区间x1,x2内必有一解;2设方程在区间x1,x2内的根为m,若x1,m-,x2成等差数列,则-<m2.【证明】1令gx=fx-[ fx1+fx2],则gx1gx2=[ fx1-fx2] [ fx2-fx1]=- [ fx1-fx2]2<0,所以方程gx=0在区间x1,x2内必有一解.2依题意2m-1=x1+x2,即2m-x1-x2=1,又fm=[ fx1+fx2],即2am2+bm+c=ax+bx1+c+ax+bx2+c.整理得a2m2-x-x+b2m-x1-x2=0,a2m2-x-x+b=0,所以-=m2-<m2.【点拨】二次方程ax2+bx+c=0的根的分布问题,一般情况下,需要从三个方面考虑:①判别式;②区间端点对应二次函数的函数值的正负;③相应二次函数的对称轴x=-与区间的位置关系.【变式训练3】已知fx=x-ax-b-2a<b,α,β是fx=0的两根α<β,则实数α,β,a,b大小关系为A.α<a<b<βB.a<α<β<bC.a<α<b<βD.α<a<β<b【解析】A.总结提高1.二次函数的表达式有多种形式,形式的选择要依据题目的已知条件和所求结论的特征而定.2.利用二次函数的知识解题始终要把握二次函数图象的关键要素:①开口方向;②对称轴;③与坐标轴的交点.3.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体,相互渗透,解题时要注意三者的相互转化,重视用函数思想处理方程和不等式问题.2.5 指数与指数函数典例精析题型一指数及其运算【例1】计算:。

高三数学第一轮基础知识复习资料

高三数学一轮基础知识复习第一部分集合1．理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ；2．数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2；（2）;B B A A B A B A =⇔=⇔⊆ 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函数与导数12⑤换元法法3（1① 若f(x)解出 ② 若（2)； ③根据“45⑵)(x f 是奇函数f(－x)=－f(x)；是偶函数f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x <；②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时有12()()f x f x >；⑵单调性的判定定义法：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）③复合函数法；④图像法。

注：证明单调性主要用定义法和导数法。

7．函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。

所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。

如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。

高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例

高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例【知识特点】1.统计中所学的内容是数理统计中最基本的问题，通过这些内容主要来介绍相关的统计思想和方法，了解一些有关统计学的基本知识，并能够应用几个基本概念、基本公式来处理实际生活中的一些基本问题。

2.统计案例为新课标中新增内容，主要是通过案例体会运用统计方法解决实际问题的思想和方法。

增加了统计和统计案例后，使得高中数学的整个体系更加完善了，有利于开阔数学视野，丰富数学思想和方法。

【重点关注】1.从对新课标高考试题的分析可以发现,主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征等。

对这部分的考查主要以选择题和填空题的形式出现。

2.统计案例中的独立性检验和回归分析也会逐步在高考题中出现,难度不会太大,多数情况下是考查两种统计分析方法的简单知识,以选择题和填空题为主。

【地位与作用】《全国新课程标准高考数学考试大纲》中对考生能力要求明确界定为空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识等六个方面，其中数据处理能力是首次提出的一个能力要求，这定义为：会收集数据、整理数据、分析数据，能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息，并作出判断。

数据处理能力主要依据统计（高考考试大纲对知识点要求如下表所示）或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题，对统计的要求已提升到能力的高度。

统计的思想方法广泛应用于自然科学和社会科学的研究中，统计的语言不仅是数学的语言，也是各学科经常引用的大众语言，统计知识是作为一个新时期公民所比备的知识。

统计学就是应用科学的方法收集、整理、分析、描述所要研究的数据资料，然后根据所得到的结果，进行推断或决策的一门实用性很强的科学。

统计这部分内容，在高中数学新课程中，主要分布在必修3第二章（约16课时）与选修2—3第三章（约9课时）。

相对于高中学生的认知水平和生活经历还相对不是很高，所以它只能属于非重点内容，所出的相关题目一般来说都相对比较简单。

2012版高三数学一轮精品复习学案：10.3统计案例

2012版高三数学一轮精品复习学案：第十章统计、统计案例10.3统计案例【高考目标导航】一、考纲点击1.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用;2.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 二、热点提示1.本部分主要内容是变量的相关性及其几种常见的统计方法.在高考中主要是以考查独立性检验、回归分析为主,并借助解决一些简单的实际问题来了解一些基本的统计思想;2.本部分在高考中多为选择、填空题,也有可能出现解答题,都为中低档题.【考纲知识梳理】1.回归分析(1)定义:对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法;(2)随机误差:线性回归模型用y bx a e =++表示，其中a b 和为模型的未知数，e 称为随机误差. (3)样本点的中心在具有线性相关关系的数据1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y 中,回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为:121()()ˆˆˆˆ,.()niii nii x x y y bay bx x x ==--==--∑∑ 其中1111,,(,)n ni i i i x x y y x y n n ====∑∑称为样本点的中心.(4)相关系数①()()niix x y y r --=∑②当0r >时,表明两个变量正相关; 当0r <时,表明两个变量负相关.r 的绝对值越接近于0时,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常||r 大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性.2.残差分析 (1)总偏差平方和把每个效应(观测值减去总的平均值)的平方加起来即:21()nii y y =-∑(2)残差数据点和它回归直线上相应位置的差异()i i y y -是随机误差的效应,称i i i e y y =-为残差. (3)残差平方和21()niii y y =-∑.(4)相关指数22121()()niii nii y y R y y ==-=-∑∑2R 的值越大,说明残差平方和越小,也就是说模型的拟合效果越好.在线性回归模型中, 2R 表示解释变量对预报变量变化的贡献率, 2R 越接近于1,表示回归的效果越好.3.独立性检验(1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类变量称为分类变量.(2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y,它们的可能取值分别为1122{,}{,}x y x y 和,其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++,其中a b c d +++为样本容量.(3)独立性检验利用随机变量2K 来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.注: 在独立性检验中经常由2K 得到观测值k ,则k =2K 是否成立？（2K 与k 的关系并不是k =2K ，k 是2K 的观测值，或者说2K 是一个随机变量，它在a ，b ，c ，d ）取不同值时，2K 可能不同，而k 是取定一组数a ，b ，c ，d 后的一个确定的值.【要点名师透析】(一)线性回归分析 ※相关链接※1.首先利用散点图判断两个变量是否线性相关.2.求回归方程y bx a =+.(1)线性回归方程中的截距a 和斜率b 都是通过样本估计而来的,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.(2)回归方程y bx a =+中的b 表示x 增加1个单位时y 的变化量为b . (3)可以利用回归方程y bx a =+预报在x 取某一个值时y 的估计值. 3.相关系数r利用相关系数r 来衡量两个变量之间的线性相关的强弱. 4.建立回归模型的步骤(1)确定研究对象,明确哪个变量是解释变量,哪个变量是预报变量.(2)画出确定好的解释变量和预报变量的散点图,观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等). (3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性关系,则选用线性回归方程y bx a =+). (4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法).(5)得出结果后分析残差是否异常(个别数据对应残差过大,或残差呈现不随机的规律性等).若存在异常,则检查数据是否有误,或模型是否适合等.注:回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过回归方程的适用范围,否则没有实用价值.※例题解析※〖例〗测得某国10对父子身高(单位:英寸)如下:(1)对变量y x 与进行相关性检验;(2)如果y x 与之间具有线性相关关系,求回归方程. (3)如果父亲的身高为73英寸,估计儿子的身高.思路解析:(1)先根据已知计算相关系数r ,判断是否具有相关关系. (2)再利用分工求出回归方程进行回归分析. 解答:(1)10101022221111066.8,67.01,4462.24,4490.4,44974,44941.93,44842.4,10iii i i i i i ix y x y x y x y x y x yr ======≈===-==∑∑∑∑0.804.≈所以y x 与之间具有很强的线性相关关系.(2)设回归方程为y bx a =+.由101102211044842.444762.6879.72ˆ0.46464479444662.4171.610i ii i i x y x ybx x==--===≈--∑∑.ˆˆ67.010.464666.835.97.ay bx =-=-⨯≈ 故所求的回归方程为:ˆ0.464635.97yx =+. (3)当x=73时, ˆ0.46467335.9769.9y=⨯+≈.所以当父亲身高为73英寸时,估计儿子身高约为69.9英寸.(二)非线性回归分析 ※相关链接※1.非线性回归模型:当回归方程不是形如y bx a =+时称之为非线性回归模型.2.非线性回归模型的拟合效果:对于给定的样本点1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ,两个含有未知数的模型(1)(2)(,)(,)yf x a yg x b ==和,其中a b 和都是未知参数.可按如下的步骤比较它们的拟合效果:(1)分别建立对应于两个模型的回归方程(1)(2)ˆˆˆˆ(,)(,)yf x a yg x b ==和,其中ˆˆa b 和分别是参数a b 和的估计值;(2)分别计算两个回归方程的残差平方和(1)(1)2(2)(2)211ˆˆˆˆ()()n ni i i i i i Q y y Q y y ===-=-∑∑和;(3)若(1)ˆQ＜(2)ˆQ ,则(1)(2)ˆˆˆˆ(,)(,)y f x a y g x b ==的效果比; 反之, (1)(2)ˆˆˆˆ(,)(,)yf x a yg x b ==的效果不如的好. ※例题解析※〖例〗为了研究某种细菌随时间x 变化时,繁殖个数y 的变化,收集数据如下:(1)用天数x 作解释变量,繁殖个数y 作预报变量,作出这些数据的散点图; (2)描述解释变量x 与预报变量y 之间的关系; (3)计算残差平方和、相关指数.思路解析:作出散点图→分析与哪种曲线拟合→转化线性关系→进行回归分析. 解答:(1)所作散点图如图所示.(2)由散点图看出样本点分析在一条指数函数21c xy c e =的周围,于是令ln z y =,则由计算器得:ˆ0.69 1.112,zx =+则有 1.69 1.112ˆx y e +=.(3)则662211ˆˆ() 3.1643ii i i i ey y ===-=∑∑,621ˆ()i i i y y =-∑=24642.8,2 3.164310.999924642.8R =-=,即解释变量天数对预报变量细菌的繁殖个数解释了99.99%.(三)独立性检验〖例〗在调查的480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲,分别利用图形和独立性检验的方法来判断色盲与性别是否有关?你所得到的结论在什么范围内有效?思路解析:(1)先由已知作出调查数据的列联表; (2)再根据列联表画出二维条形图,并进行分析; (3)利用独立性检验作出判断.解答:根据题目所给的数据作出如下的联表:根据列联表作出相应的二维条形图,如图所示.从二维条形图来看,在男人中患色盲的比例38480,要比在女人中患色盲的比例6520要大,其差值为386||0.068,480520-≈差值较大,因而我们可以认为“性别与患色盲是有关的”，根据列联表中所给的数据可以有38,442,6,514,480,520,44,956,1000,a b c d a b c d a c b d n ====+=+=+=+==代入公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++得221000(385146442)27.148052044956K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯。

2012年高三数学第一轮复习教案(新人教A)概率与统计统计

12.3 统计巩固·夯实基础一、自主梳理1.抽样当总体中的个体较少时，一般可用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般可用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般可用分层抽样，而简单随机抽样作为一种最简单的抽样方法，又在其中处于一种非常重要的地位.实施简单随机抽样，主要有两种方法:抽签法和随机数表法.系统抽样适用于总体中的个体数较多的情况，因为这时采用简单随机抽样就显得不方便，系统抽样与简单随机抽样之间存在着密切联系，即在将总体中的个体均匀分后的每一段进行抽样时，采用的是简单随机抽样；与简单随机抽样一样，系统抽样也属于等概率抽样.分层抽样在内容上与系统抽样是平行的，在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样或系统抽样，分层抽样也是等概率抽样.2.样本与总体用样本估计总体是研究统计问题的一种思想方法.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及其相应的频率来表示，其几何表示就是相应的条形图，当总体中的个体取不同值较多,甚至无限时，其频率分布的研究要用到初中学过的整理样本数据的知识.用样本估计总体，除在整体上用样本的频率分布去估计总体的分布以外，还可以从特征数上进行估计，即用样本的平均数去估计总体的平均数，用关于样本的方差(标准差)去估计总体的方差(标准差).3.正态分布正态分布在实际生产、生活中有着广泛的应用，很多变量，如测量的误差、产品的尺寸等服从或近似服从正态分布，利用正态分布的有关性质可以对产品进行假设检验.4.线性回归直线设x 、y 是具有相关关系的两个变量，且相应于n 组观察值的n 个点大致分布在一条直线的附近，我们把整体上这n 个点最接近的一条直线叫线性回归直线.链接·提示在三种抽样中,简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法,其他两种抽样方法是建立在它的基础上的.三种抽样方法的共同点是:它们都是等概率抽样,体现了抽样的公平性.三种抽样方法各有其特点和适用范围,在抽样实践中要根据具体情况选用相应的抽样方法.二、点击双基1.一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本，则某特定个体入样的概率是（） A.3103C B.89103⨯⨯ C.103 D.101 解析:简单随机抽样中每一个体的入样概率为Nn . 答案:C2.(2004江苏高考)某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A.0.6 hB.0.9 hC.1.0 hD.1.5 h解析:一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生数的比，即5050.2105.1100.1205.050⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=0.9 h. 答案:B3.一个年级有12个班,每个班有50名同学,随机编号为1—50号,为了了解他们在课外的兴趣爱好,要求每班的33号学生留下来参加阅卷调查,这里运用的抽样方法是( )A.分层抽样法B.抽签法C.随机数表法D.系统抽样法答案:D4.如果随机变量ξ—N(μ,σ2),且E ξ=3,D ξ=1,则P （-1＜ξ≤1＝等于（）A.2Φ(1)-1B.Φ(4)-Φ(2)C.Φ(2)-Φ(4)D.Φ(-4)-Φ(-2) 解析:对正态分布，μ=E ξ=3,σ2=D ξ=1,故P （-1＜ξ≤1＝=Φ(1-3)-Φ(-1-3)=Φ(-2)-Φ(-4)=Φ(4)-Φ(2).答案:B5.一个容量为20的样本数据,分组后组距为10,区间与频率分布如下:（10,20）,2;（20,30）,3;（30,40],4;（40,50],5;（50,60],4;（60,70],2.则样本在（-∞,50]上的频率为( ) A.201 B.41 C.21 D.107 解析：（-∞,50）上的频数为14,∴频率为2014=107. 答案:D诱思·实例点拨【例1】某批零件共160个，其中，一级品48个，二级品64个，三级品32个，等外品16个.从中抽取一个容量为20的样本.请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样法抽取时总体中的每个个体被取到的概率均相同.剖析:要说明每个个体被取到的概率相同,只需计算出用三种抽样方法抽取个体时,每个个体被取到的概率.解:（1）简单随机抽样法：可采取抽签法，将160个零件按1—160编号，相应地制作1—160号的160个签，从中随机抽20个.显然每个个体被抽到的概率为16020=81. (2)系统抽样法：将160个零件从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8个.然后在第1组用抽签法随机抽取一个号码,如它是第k 号（1≤k ≤8）,则在其余组中分别抽取第k+8n(n=1,2,3,…,19)号，此时每个个体被抽到的概率为81. （3）分层抽样法：按比例16020=81，分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取48×81=6个，64×81=8个，32×81=4个，16×81=2个，每个个体被抽到的概率分别为486，648，324，162，即都是81. 综上,可知无论采取哪种抽样，总体的每个个体被抽到的概率都是81. 讲评:三种抽样方法的共同点就是每个个体被抽到的概率相同,这样样本的抽取体现了公平性和客观性.【例2】将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器设定在d ℃,液体的温度ξ(单位:℃)是一个随机变量,且ξ—N(d,0.52).(1)若d=90°,求ξ<89的概率;(2)若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99,问d 至少是多少?〔其中若η—N(0,1),则Φ(2)=P(η<2)=0.977 2,Φ(-2.327)=P(η<-2.327)=0.01〕剖析:(1)要求P(ξ<89)=F(89),∵ξ—N(d,0.5)不是标准正态分布,而给出的是Φ(2)、Φ(-2.327),故需转化为标准正态分布的数值.(2)转化为标准正态分布下的数值求概率p,再利用p ≥0.99,解d.解:(1)P(ξ<89)=F(89)=Φ(5.09089-)=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. (2)由已知d 满足0.99≤P(ξ≥80),即1-P(ξ<80)≥1-0.01,∴P(ξ<80)≤0.01.∴Φ(5.080d -)≤0.01=Φ(-2.327). ∴5.080d -≤-2.327. ∴d ≤81.163 5.故d 至少为81.163 5.讲评:(1)若ξ—N(0,1),则η=σμξ-—N(0,1). (2)标准正态分布的密度函数f(x)是偶函数,x<0时,f(x)为增函数;x>0时,f(x)为减函数. 链接·提示在实际生活中,常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格,方法是:(1)提出统计假设:某种指标服从正态分布N(μ,σ2);(2)确定一次试验中的取值a;(3)作出统计推断:若a ∈(μ-3σ,μ+3σ),则接受假设;若a ∉(μ-3σ,μ+3σ),则拒绝假设.如:某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N(30,0.8),质检人员从该厂某一天生产的1 000块砖中随机抽查一块,测得它的抗断强度为27.5 kg/cm 2,你认为该厂这天生产的这批砖是否合格?为什么?思路分析:由于在一次试验中ξ落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.997,故ξ几乎必然落在上述区间内.于是把μ=30,σ=0.8代入,算出区间(μ-3σ,μ+3σ)=(27.6,32.4),而27.5∉(27.6,32.4).∴据此认为这批砖不合格.【例3】某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位为:min)服从正态分布N(50,102);第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间服从正态分布N(60,42).(1)若只有70 min 可用,问应走哪条路线?(2)若只有65 min 可用,又应走哪条路线?剖析:最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线. 解:设ξ为行车时间.(1)走第一条路线及时赶到火车站的概率为P(0<ξ≤70)=Φ(105070-)-Φ(10500-) ≈Φ(105070-)=Φ(2)=0.977 2, 走第二条路线及时赶到火车站的概率为P(0<ξ≤70)≈Φ(46070-)=Φ(2.5)=0.993 8, 因此在这种情况下应走第二条路线.(2)走第一条路线及时赶到火车站的概率为P(0<ξ≤65)≈Φ(105065-)=Φ(1.5)=0.933 2, 走第二条路线及时赶到的概率为 P(0<ξ≤65)≈Φ(46065-)=Φ(1.25)=0.894 4, 因此在这种情况下应走第一条路线.讲评:考查一般正态总体在(x 1,x 2)内取值的概率,并对实际情况作出回答.。

高三数学一轮复习讲义统计案例学生

课题：统计案例知识点一、统计案例1.分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2.列联表列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1a b a＋bx2c d c＋d总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d构造一个随机变量22Kn ad bca b c d a c b d-=++++（）（）（）（）（），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3.独立性检验利用随机变量2K来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．4.独立性检验的步骤（1）计算随机变量2K的观测值k，查表确定临界值k0：P(2K≥k0)k0 0.455P(2K≥k0)k0（2）如果k≥k0，就推断“X与Y有关系”，这种推断犯错误的概率不超过P(2K≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(2K≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关系”．5.独立性检验的方法（1）独立性检验的步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式22Kn ad bca b c d a c b d-=++++（）（）（）（）（），计算2K的观测值；③比较2K与临界值的大小关系作统计推断．（2）独立性检验得出的结论带有概率性质，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值，和就是两个常用的临界值，一般认为当2K时，则有95%的把握说事件A与B有关；当2K时，则有99%的把握说事件A与B有关．【典型例题】【例1】通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到列联表：男女总计爱好40 20 60不爱好20 30 50总计60 50 110由22Kn ad bca b c d a c b d-=++++（）（）（）（）（），计算得2211040302020K7.860506050⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯（）附表：P(K2≥k0)k0参照附表，得到的正确结论是()A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”【例2】某班学生数学、外语成绩得到2×2列联表如：数优数差总计外优34 17 51外差15 19 34总计49 36 85χ等于________．那么，随机变量2【例3】某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数．(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)(1)根据以上数据完成下列2×2列联表：主食蔬菜主食肉类合计50岁以下50岁以上合计(2)能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析．【举一反三】1.随着的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方式.某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成人数如下表.年龄（单位：岁）[15,25）[25,35）[35,45）[45,55）[55,65）[65,75）频数 5 10 15 10 5 5赞成人数 5 10 12 7 2 12⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“使（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2用微信交流”的态度与人的年龄有关；合年龄不低于45岁的人数年龄低于45岁的人数计赞成不赞成合计（2）若从年龄在[55,65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率.参考数据如下：2.假设某地有男驾驶员300名，女驾驶员200名.为了研究驾驶员日平均开车速度是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名驾驶员，先统计了他们某月的日平均开车速度，然后按“男驾驶员”和“女驾驶员”分为两组，再将两组驾驶员的日平均开车速度（千米/小时）分成5组：[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100）分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）从样本中日平均开车速度不足60（千米/小时）的驾驶员中随机抽取2人，求至少抽到一名“女驾驶员”的概率.（2）如果一般认为日平均开车速度不少于80（千米/小时）者为“危险驾驶”.请你根据已知条件完成2×2联表，并判断是否有90%的把握认为“危险驾驶与驾驶员性别组有关”?附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++【课堂巩固】1. 某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下22⨯列联表：则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（） A ．90% B ．95% C ．99% D ．99．9% 附：参考公式和临界值表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++2．下面是2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为( ) A ．94,72 B ．52,50 C ．52,74 D ．74,523．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( )A ．有99%的人认为该电视栏目优秀B ．有99%的人认为该电视栏目是否优秀与改革有关系C ．有99%的把握认为该电视栏目是否优秀与改革有关系D ．没有理由认为该电视栏目是否优秀与改革有关系4.某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：频数12 63 86 182 92 61 4乙厂：分组 [29.86， 29．90) [29.90， 29．94) [29.94， 29．98) [29.98， 30．02) [30.02， 30．06) [30.06， 30．10) [30.10， 30．14) 频数297185159766218(1)试分别估计两个分厂生产零件的优质品率；(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”.附 22K n ad bc a b c d a c b d -=++++（）（）（）（）（），P (K 2≥k ) k5.某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名,25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组,再将两组工人的日平均生产件数分成5组:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”,请你根据已知条件完成2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”?附: 22K n ad bc a b c d a c b d -=++++（）（）（）（）（）P(χ2≥k)0.010 k6.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生 5 女生 10 合计50已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为35．（1）请将上表补充完整(不用写计算过程)；（2）能否有99．5％的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．下面的临界值表供参考：甲厂乙厂合计优质品非优质品合计(参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)【课后练习】正确率：1.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，某市通过随机询问100名性别不同的居民是否能做到“光盘”行动，得到如下的列联表：做不到“光盘”能做到“光盘”男 45 10 女 3015附：P （K 2≥k ） 0．10 0．05 0．025k2．706 3．841 5．024参照附表，得到的正确结论是（）A ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过l ％的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”C ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别有关”D ．有90％以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’与性别无关”2.在独立性检验中，统计量2χ有两个临界值：3.841和6.635．当2 3.841χ>时，有95%的把握说明两个事件有关，当2 6.635χ>时，有99%的把握说明两个事件有关，当2 3.841χ≤时，认为两个事件无关．在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算220.87χ=．根据这一数据分析，认为打鼾与患心脏病之间（）A.有95%的把握认为两者有关B.约有95%的打鼾者患心脏病C.有99%的把握认为两者有关D.约有99%的打鼾者患心脏病3.为了调查某高中学生每天的睡眠时间,现随机对20名男生和20名女生进行问卷调查,结果如下: 女生:睡眠时间(小时) [)4,5[)5,6[)6,7 [)7,8 []8,9人数24842男生:（1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“严重睡眠不足”的概率;（2）完成下面2×2列联表,并回答是否有90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？（22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++）4．某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸(单位：mm)的值落在[29.94,30.06)的零件为优质品．从两个分厂生产的零件中各抽出了500件，量其内径尺寸，得结果如下表：甲厂：乙厂：(1)(2)由以上统计数据填下面2×2列联表，问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”？附。

2012届高三数学一轮复习基础导航18.1统计

18.1统计【考纲要求】了解下列一些常见的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题.【基础知识】一、抽样的方法抽样一般分为简单随机抽样、系统抽样和分层抽样。

（一）简单随机抽样一般地，设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样。

简单随机抽样是在特定总体中抽取样本，总体中每一个体被抽取的可能性是等同的，而且任何个体之间彼此被抽取的机会是独立的。

如果用从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽取的概率等于nN。

随机抽样包括抽签法和随机数表法1、抽签法先将总体中的所有个体（共N个）编号（号码可以从1到N），并把号码写在形状、大小相同的号签上（号签可以用小球、卡片、纸条等制作），然后将这些号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌。

抽签时，每次从中抽出1个号签，连续抽取n次，就得到一个容量为n 的样本。

对个体编号时，也可以利用已有的编号。

例如学生的学号，座位号等。

2、用随机数表法进行抽取（1）随机数表是统计工作者用计算机生成的随机数，并保证表中的每个位置上的数字是等可能出现的。

（2）随机数表并不是唯一的，因此可以任选一个数作为开始，读数的方向可以向左，也可以向右、向上、向下等等。

（3）用随机数表进行抽样的步骤：将总体中个体编号；选定开始的数字；获取样本号码。

（4）由于随机数表是等概率的，因此利用随机数表抽取样本保证了被抽取个体的概率是相等的。

（二）系统抽样当总体的个数较多时，采用简单随机抽样太麻烦，这时将总体分成均衡的部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分中抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样称为系统抽样。

系统抽样的步骤为：（1）采取随机方式将总体中的个体编号。

（2）将整个的编号均衡地分段，确定分段间隔k。

Nn是整数时，Nkn，Nn不是整数时，从N中剔除一些个体，使得其为整数为止。

（3）第一段用简单随机抽样确定起始号码l。

2012高考(文科)数学一轮复习课件第10章第6节统计案例(新课标版)

• 考点二独立性检验
• 【案例2】 (2010·辽宁)为了比较注射A， B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200 只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物 A和药物B后的试验结果(疱疹面积单位： mm2)： • 表1：疱注疹射面药[6物0,A6后[皮65肤,7 疱[7疹0,7面积[75的,8频数分布表积 5) 0) 5) 0)
父亲身高 (x)
60
62
6 4
65
66
67
68
70
72 74
••儿身(y子高)((12))对如663变果. 6量y25与.y与x66之x6进间55.行具6相96有.关相617性关. 检6关47验.系6．，38. 求710回. 归70 直线方程．
• (3)如果父亲身高为73英寸，估计儿子的身高．
• 解：(1)
• 可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物 A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．
•
(2)表3：疱疹面积小于70 mm2
疱疹面积不小于70 mm2
合计
注射药物A
a＝70
b＝30 100
• 答案：①
• 4．为了判断高二学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：理科文科总计
男 13 10 23 女 7 20 27 已知 P(K总2≥计3.841)≈200.05，P(3K02≥5.0245)0≈0.025.
根据表中数据，得到 K2 的观测值为 k ＝ 50×23×132×7×202－0×103×0 72≈4.844.

2012届高三数学一轮复习基础导航19.1统计案例

19.1统计案例【考纲要求】1、了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用2、了解回归的基本思想、方法及其简单应用. 【基础知识】一、回归分析的基本思想及其初步应用1、对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。

回归分析的一般步骤为画散点图→求回归直线方程→用回归直线方程进行预报。

2、回归直线方程回归直线：观察散点图的特征，如果各点大致分布在一条直线的附近，就称两个变量之间具有线性相关的关系，这条直线叫做回归直线。

回归直线方程：设所求的直线方程为y bx a ∧=+，其中121()(),()niii nii x x y y b a y bx x x ==--==--∑∑，1111,,n ni i i i x x y y n n ====∑∑(,)x y 称为样本点的中心，回归直线过样本点的中心。

回归方程的截距a 和斜率b 是用最小二乘法计算出来的。

3、相关系数两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数r 来衡量。

相关系数：()()niix x y y r --=∑ 0r >，表示两个变量正相关；0r <，表示两个变量负相关；r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强。

r 的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

通常，r 的绝对值大于0.75时，表明两个变量的线性相关性很强。

4、建立回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在线性关系）③由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程y bx a =+）④按照公式计算回归方程中的参数（如最小二乘法） ⑤得出结果后检查数据模型是否合适检查数据模型拟合效果的好坏，一般有两种方法。

方法一：通过残差分析，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，则说明选用的模型比较合适，反之，不合适）方法二：用相关系数来刻画回归的效果，其计算公式是：22121()1()nii nii y y R y y ∧==-=--∑∑其中i y y ∧-=真实值-预报值=残差，2R 值越大，说明残差的平方和越小，也就是说模型的拟合效果越好。

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回归分析的一般步骤为画散点图→求回归直线方程→用回归直线方程进行预报。

回归方程的截距a 和斜率b 是用最小二乘法计算出来的。

3、相关系数两个变量之间线性相关关系的强弱用相关系数r 来衡量。

相关系数：()()niix x y y r --=∑ 0r >，表示两个变量正相关；0r <，表示两个变量负相关；r 的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性越强。

r 的绝对值越接近0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。

通常，r 的绝对值大于0.75时，表明两个变量的线性相关性很强。

【温馨提示】1、回归直线经过样本点的中心的证明：把样本点的中心(,)x y 代入回归直线y bx a ∧=+方程得,a x b y +=x b y a -=∴ x b y a -=最小二乘法中恒成立，所以回归直线经过样本点的中心。

二、独立性检验的基本思想及其初步运用1、用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，这种变量称为分类变量。

例如：是否吸烟，是否患肺癌，国籍等。

2、独立性检验的方法（1）列出两个分类变量的频数表（列联表），直观判断。

（2）画三维柱形图、二维条形图、等高条形图，直观判断。

（3）两个分类变量的独立性检验一般步骤：（1）2*2列联表pp总计qa b a +b q c dc +d总计a +cb +da b c d +++（2）提出假设：设p 与q 没有关系（3）根据列联表中的数据2K 计算的值22()()()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++其中为样本容量（4）根据计算得到的随机变量2K 的观测值作出判断20()p K k ≥0.500.400.250.150.100.05 0.025 0. 0100.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828如：24.232K =因为4.232介于临界值3.841和5.024之间，2( 3.841)p K ≥=0.05,所以两个分类变量没有关系的概率是5%，即两个分类变量有关系的概率为95%。

3、温馨提示（1）独立性检验的必要性：为什么不能只凭列联表和图形下结论？原因是列联表中的数据是样本数据，它只是总体的代表，具有随机性，因此需要用列联表检验这个方法来确认所得得结论在多大程度上适用于总体。

（2）独立性检验的思想来自于统计上的假设性检验，它与反证法类似。

假设检验和反证法都是先假设结论不成立，然后根据是否能够推出矛盾来确定结论是否成立。

但是二者的矛盾的含义不同，反证法中的矛盾是指不符合逻辑的事情发生；而假设检验中的矛盾是指不符合逻辑的小概率事件发生，即在结论不成立的假设下推出有利于结论成立的小概率事件的发生。

（3）2K 与k 的关系并不是2K k =，k 是2K 的观测值，或者说2K 是一个随机变量，它在d c b a ,,,取不同的值时，2K 可能不同，而k 是取定一组数d c b a ,,,后的一个确定值。

【例题精讲】例1 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出Y 关于x 的线性回归方程Y=bx+a ； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5) 解：（2）由对照数据，计算得：4166.5i ii X Y ==∑ 4222221345686ii X==+++=∑ 4.5X =266.54 4.5 3.566.563ˆ0.7864 4.58681b -⨯⨯-===-⨯- ; ˆˆ 3.50.7 4.50.35a Y bX =-=-⨯= 所求的回归方程为 0.70.35y x =+(3) 100x =, 1000.70.3570.35y =⨯+=吨,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低9070.3519.65-=(吨) 例2 为了比较注射A, B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B 。

（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果.（疱疹面积单位：mm 2）表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”.表3：【解：（Ⅰ）甲、乙两只家兔分在不同组的概率为991981002002100199C P C == ……4分（Ⅱ）（i ）图Ⅰ注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数。

……8分（ii ）表3：22200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于K 2＞10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积于注射药物B 后的疱疹面积有差异”。

19.1统计案例强化训练【基础精练】1．观察下列散点图，则①正相关，②负相关，③不相关，这三句话与散点图的位置相对应的是 ( )A ．①②③B ．②③①C ．②①③D ．①③② 2．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是 ( ) A ．若K 2的观测值为K 2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病B ．从独立性检验可知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病C ．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推判出现错误 D ．以上三种说法都不正确3．有人发现，多看电视容易使人变冷漠，下表是一个调查机构对此现象的调查结果：则大约有多大的把握认为多看电视与人变冷漠有关系 ( )A ．99%B ．97.5%C ．95%D ．90%4．考察黄烟经过培养液处理是否跟发生青花病有关系．调查了457株黄烟，得到下表中数据：根据表中数据可知K 2＝ ( ) A ．40.682 B ．31.64 C ．45.331 D ．41.61 5．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据： (x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不．正确的是 ( ) A ．由样本数据得到的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本中心(x ，y ) B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2越小，说明模型的拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为r ＝－0.9362，则变量y 和x 之间具有线性相关关系6．在一次实验中，测得(x ，y )的四组值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )A.y ^＝x ＋1B.y ^＝x ＋2C.y ^＝2x ＋1D.y ^＝x －1 7．下列是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据，由其散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^＝________.8．对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：有差别________．9．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度下观测它在水中的溶解度，得到观测结果如下：[来源:学科网]则由此得到回归直线的斜率是__________(保留三位有效数字)．10．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示：根据以上数据试判断含杂质的高低与设备改造有无关系？11．关于x 与y 有如下数据：有如下的两个线性模型：(1)y ^＝6.5x ＋17.5；(2)y ^＝7x ＋17. 试比较哪一个拟合效果更好？【拓展提高】1.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100棵种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的2组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？【基础精练参考答案】1. D2.C3. A 解析：可计算K 2＝11.377＞6.635. 4.D 解析：代入K 2公式得K 2≈41.61. 5，C 解析：C 中应为R 2越大拟合效果越好． 6.A 解析：可求a ^＝1，b ^＝1.[来源:Z|xx|]7. 5.25解析：a ^＝y －b ^x ＝3.5＋0.7×2.5＝5.25.8.解析：提出假设H 0：两种手术对病人又发作心脏病的影响没有差别．根据列联表中的数据，可以求得K 2＝392×(39×167－29×157)268×324×196×196≈1.78.当H 0成立时，K 2≈1.78，而K 2＜2.072的概率为0.85.所以，不能否定假设H 0.也就是不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论．答案：1.78 不能作出这两种手术对病人又发作心脏病的影响有差别的结论 9. 0.881解析：代入公式得b ^＝0.881. 10.解：由已知数据得到如下2×2列联表由公式K 2＝382×(37×202－121×22)2158×224×59×323≈13.11，由于13.11＞10.828，故有99.9%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．【拓展提高参考答案】11.解：由(1)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155.∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴21R ＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y)2＝1－1551 000＝0.845.由(2)可得y i －y ^i 与y i －y 的关系如下表：∴∑i ＝15(y i －y ^i )2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180，∑i ＝15(y i －y )2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000.∴22R ＝1－∑i ＝15(y i －y ^i )2∑i ＝15(y i －y)2＝1－1801 000＝0.82.由于21R ＝0.845，22R ＝0.82,0.845＞0.82， ∴21R ＞22R .[来源:] ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果．。