河北省涞水高三数学12月联考试题理

高三数学试 题试题答题纸
一、选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
二、填空题：
13.
14.
15.
16.
三、解答题：
17.
线
号 考
封
题
答
场 考
要
不
内
级线 班封
Βιβλιοθήκη Baidu密 密
名 姓
校 学
12 / 16
18.
13 / 16
19.
20.
14 / 16
21.
15 / 16
22.
16 / 16
已知两数列
，
满足
(
)，
等差数列，且 ， ，
成等比数列 .
（Ⅰ）求数列
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前 项和 .
，其中
是公差大于零的
19. （本小题满分 12 分） 如图所示，在四棱锥
，
中，底面四边形
为等腰梯形， 为 中点，
平面
．
3 / 16
（ 1）证明：平面
平面
；
（ 2）若直线
与平面
所成的角为 30°，求二面角
的最小值是
A．
B．
C．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分．
D．
13．若 、 满足约束条件
，则
的最大值为
．
14．如图， 在平面
是 棱长均为 1 的正四棱锥，顶点 内的正投影为点 ，点 在平面
内的正投影为点 ，则
．
15．
．
2 / 16
16．对于函数
，有如下三个命题：
①
的单调递减区间为
(
)
②
的值域为
的期望与 的期望之
．．．
21．解：（Ⅰ）由题意得， e2= =1﹣ = ，
又∵ b=1，∴ a2=3，
∴椭圆 C 的方程为
+y2 =1，
（Ⅱ）“伴随圆”的方程为 x 2+y 2=4，
①当 CD⊥ x 轴时，由 |CD|= ，得 |AB|= ．
②当 CD与 x 轴不垂直时，由 |CD|= ，得圆心 O到 CD的距离为 ．
19. 解：（ 1）因为
平面
平面
，所以
，．．．．．．．．．．．．．．． 1 分
又因为
，
所以
平面
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．3 分
而
平面
，所以平面
平面
．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4 分
（ 2）设
和 相交于 点 ，连接
，
由（ 1）知，
平面
，
，则
A．
B．
C．
D．
4．若等差数列
满足
，则 的前 2016 项之和
A． 1506 B ． 1508 C ．1510 D ．1512
5．若
，
，
，则
A．
B．
C．
D．
6．在平面直角坐标系中，“直线
与直线
A．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C．充要条件
D
．非充分非必要条件
7 ．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E 为棱 BB1 的中点，
轴长为 2，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，与其“伴随圆”交于 C， D两点，当 |CD|= AOB面积的最大值．
时，求△
22. （本小题满分 12 分）
4 / 16
设函数
．
（ 1）当
时，求
的极值；
（ 2）当
时，证明：
在
上恒成立．
5 / 16
河北省涞水波峰中学、高碑店三中 2017 届高三数学 12 月联考试题 理
一、选择题 ( 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 .)
1． 是虚数单 位，若
，则
A． 1 B ．
C．
D．
2．已知集合
，
A．
B．
C．
，则 D．
3．在
中， 是 边的中点，
， 对称
的图象
D． 的图象关于点
对称
10．已知
（
），把数列
的各项排成如图所示的三角形数阵，记
表
示该数阵中第 行中从左到右的第 个数，
则 A． 67 B ．69 C ． 73 D ． 75
11．过抛物线
（
）焦点的直线 与抛物线交于
两点，以 为直径的圆的方程为
，则
A．
B．
C．
D．
12．设实数 ， 满足
，则
8 / 16
（ 3） 的可能取值为 0， 4， 6； 的可能取值为 0，4． 因为
，．．．．．．．
8分
，．．．．．．．．．．．．．
．．．． 9 分
所以
，
所以
，
又
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．． 11 分
由于
，所以 所获得的金额的期望能超过
和．．．．．．．．．．． 12 分
的余弦值．
20. （本小题满分 12 分）
小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了
12 元，然后发给朋友 ，如果 猜中， 将获得红
包里的所有金额；如果
未猜中， 将当前的红包转发给朋友
，如果 猜中，
平分红包
里的金额；如果 未猜中， 将当前的红包转发给朋友
，如果 猜中，
和 平分红包里
的金额；如果 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设
，
所以
是直线
与平面
所 成的角，从而
，
在
中，由
，得
因为四边形
为等腰梯形，
， ，
所以
均为等腰直角三角形，所以
，
所以
．．．．．． 7 分 以 为原点，分别以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ，则
．．．．．． 8 分 所以
．．． ，
设平面
的一个法向量为
，
7 / 16
∴当
时，
；当
时，
．
∴
在
上单调递增，在
上单调递
减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
4分
∴
在
处取得极大值
无极小
值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
5分
（ 2）当
时，
，
下面证
，即证
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
6分
设
，则
，
10 / 16
在
上，
是 减函数；在
上，
由
得
，
令
，得
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
．．．．．．．．．． 9 分
设平面
的一个法向量为
，
由
得
，
令
，得
，
所以
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
11
分 因为二面角 所以二面角
的平面角为锐角， 的余弦值为
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
=（1+k2） [
﹣
]，
=
，
=3+
，
=3+
，
≤ 3+
=4，
当且仅当 9k2= ，即 k=± 时等号成立，此时 |AB|=2 ． 当 k=0 时， |AB|= ，综上所述： |AB| max=2， 此时△ AOB的面积取最大值 S=|AB| × max = ．
22. 解：（ 1）当
时，
，．．．．．．． 2 分
设直
线 CD的方程为 y=kx+m，则由
= ，得 m2= （ k2 +1），
设 A（ x 1， y 1）， B（ x 2， y 2），由
，得（ 3k 2+1） x 2+6kmx+3m2﹣ 3=0．
9 / 16
∴ x1+x2=
，x 1x 2=
．
当 k≠ 0 时， |AB| 2=（ 1+k2）（ x 1﹣ x 2） 2，
,
，
. . ………… ...8 分
为钝角，
为锐角，
，
在
中，由余弦定理，得
，所以
.
18. （Ⅰ）设
的公差为 (
………… ...12 分
),
,
,
.
又
，
，
，
由，，
成等比数列 ，得
，
，
，
，
.
……………… ...6 分
（Ⅱ）因为
，所以
，
于是，
，
令
①则
②
6 / 16
① ②，得
，
，
故
．
……………… ...12 分
③若
，则方程
在区间
内有 3 个不相等的实根
其中，真命题是
．（将真命题的序号填写在横线上）
三 . 解答题：本题共 小题 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.( 本小题满分 分 )
中，角
的对边分别为
，已知
.
（Ⅰ）求角 的大小； （Ⅱ）点 为边 上的一点，记
，若
，
，
，求
与 的值。
18.( 本小题满分 分 )
猜中的概率分别为
，且
是否猜中互不影响．
（ 1）求 恰好获得 4 元的概率； （ 2）设 获得的金额为 元，求 的分布列； （ 3）设 获得的金额为 元， 获得的金额为 元，判断 所获得的金额的期望能否超过 望与 的期望之和． 21、（本小题满分 12 分）
的期
给定椭圆 C：
=1 （a＞ b＞0），称圆 x2+y2=a2+b2 为椭圆 C 的“伴随圆”，已知椭圆 C的短
波峰中学 2016-2017 学年度第一学期期末模拟卷 参考答案
一、选择题 CDDD BBAB CABB
二、填空题 13.4 ； 14. ；15.
；
16. ①②（仅填①、仅填②、填①②③给
2 分，其它错误结果给 0 分）
17. （ Ⅰ ）
由 已知
，得
，
，
（Ⅱ）在
， ， 中，
.
… …………… ...4 分
12分
20．解：（ 1） 恰好获得 4 元的概率为 （ 2） 的可能取值为 0， 4， 6， 12，
，
．．．．．．．．．．．．．．．．． 2 分
所以 的分布列为： 0 4 6 12
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
5分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．．．．．．． 6 分
是增函数．
所以
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
8分
设
，则
，
在
上，
所以
． 10 分 所以
是增函数；在
上，
是减函数，
，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
，即
，所以
，即
，
即
在
上恒成
立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
12 分
11 / 16
波峰中学 2016-2017 学年度第一学期期末模拟卷
用过点 A、E、 C1 的平面截去该正方体的下半部分，则
剩余几何体的正视图（也称主视图）是
平行”是“
A
D C
”的
B
E
A1 D1
B1 C1
8．如图，空间四边形
中，点
分别
上，
，则
A．
B．
1 / 16
C．
D．
9．已知函数
，则下列说法正确的是
A． 的图象向右平移 个单位长度后得到
B．若
，则
C． 的图象关于直线