2.4正态分布

（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.
（3）曲线在x=μ处达到峰值(最高点) （4）曲线与x轴之间的面积为1
1 σ 2π
方差相等、均数不等的正态分布图示
μ=0 μ= -1 μ= 1
为位置参数
σ=0.5
3
1
2
（5） 当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
均数相等、方差不等的正态分布图示
特别地有 P( X ) 0.6826,
P( 2 X 2 ) 0.9544, P( 3 X 3 ) 0.9974.
我们从上图看到，正态总体在 2 , 2 以外取值的概率只有4.6％，在 3 , 3 以外 取值的概率只有0.3 ％。
解： 由于x服从正态分布N 4， 0.25
0.25在4 3× 0.5, 4 3× 0.5之外取值的 正态分布N 4，
概率只有0.003，
由正态分布的性质知，
而5.7 2.5, 5.5
这说明在一次试验中，出现了几乎不可 能发生的小概率事件. 据此可认为该批零件是不合格的。
例2、设X～N(5,1)，求P(6<X<7).
A.0.1
B. 0.2
C. 0.3
D.0.4
7、已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率 等于（ D ）
A.0.9544
B.0.0456
C.0.9772
D.0.0228
8、设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X 0)=
0.5
,
P(2 X 2) =
0.9544
e

( x )2 2 2
, x ( , )
其中实数 和 ( 0) 为参数,分别表示总体的 平均数与标准差， ( x ) 的图象称为正态分布密度 曲线,简称正态曲线.
若用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的 坐标,则X是一个随机变量.X落在区间(a,b]的概率为:
例3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正态分 2 布 N (70,10 ) ，如果规定低于60分为不及格，求： （1）成绩不及格的人数占多少？ （2）成绩在80~90内的学生占多少？
课堂练习
A
2、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
A.
f ( x)
1 e 2
( x )2 2 2

S(-,-X)= S(X,)
S(-x2,-x1)= S(x1,x2)
特殊区间的概率:
2 ( , ) ,则对于任何实数a>0,概率 若X~N
x=μ
a
P( a x ≤ a)
( x )dx
, a
-a
+a
阴影部分的面积，对于固定的 和 a而言，该面积 随着的减少而变大，这说明越小，随机变量落 在区间 ( a, a) 的概率越大，即集中在均值 周围的概率越大。
2.4
正态分布
高尔顿板试验
这个试验是英国科学家 高尔顿设计的，它的试验模 型如图片所示，自上端放入 一个小球，任其自由下落。 在下落的过程中当小球碰到 钉子后从左边与从右边落下 的机会相等，到下一排钉子 时又是如此，最后落入底 板的某一格子里，因此任意 放入一球，此球落入哪一个 格子事先难以确定。但是大 量试验表明：放入大量小球， 最后所呈现的曲线总是雷同 的，也就是说，小球落入格 子中的频率趋于稳定。
, , ( 0)都是实数
2 e B. f ( x ) 2
x2 2
1 e C. f ( x ) 2 2
D.
( x 1) 2 4
f ( x)
1 2
e
x2 2
3、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动2个 单位，得到新的一条曲线b。下列说法中不正确 的是（ D ） A.曲线b仍然是正态曲线； B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲 线a为概率密度曲线的总体的期望大2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲 线a为概率密度曲线的总体的方差大2。
4、若已知正态总体落在区间 (0.3, ) 的概率为0.5，则 相应的正态曲线在x= 0.3 时达到最高点。 5、已知正态总体的数据落在（-3,-1）里的概率和落 在（3,5）里的概率相等，那么这个正态总体的数学 1 期望是 。 6、已知 x ~ N (0, 2 )，且 P(2 x 0) 0.4 ， 则 P(x 2) 等于( A )
归纳小结
1.正态曲线及其性质；
2.正态分布及概率计算；
3.3原则。
.
9、在某次数学考试中，考生的成绩 态分布，即 x ~N(90,100). （1）试求考试成绩 多少？
x 服从一个正
（2）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100)间的考生大约有多少人？
x 位于区间(70,110)上的概率是 0.9544
2000×0.6826≈1365人
10.
N=500,
P=0.5
M=10
以球槽的编号为横坐标，以小球落入各 个槽的频率值为纵坐标，可以画出频率分步 直方图。
/组距
随着重复次数的增加，这个频率直方图 的形状会越来越像一条钟形曲线。
Y
总体密度曲 线
0
X
这条总体密度曲线就是（或近似地是） 以下函数的图象：
( x )
1 2
在实际遇到的许多随机象都服从或近似服 从正态分布：
在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标； 在测量中，测量结果； 在生物学中，同一群体的某一特征；……； 在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度
以及降雨量等，水文中的水位；
总之，正态分布广泛存在于自然界、生 产及科学技术的许多领域中。 正态分布在概率和统计中占有重要地位。
( x )2 2 2
x (,)
y x=μ

时,函数值为最大.
（2）f ( x) 的值域为
1 (0, ] 2
(3) f ( x) 的图象关于
x
对称.
-3 -2
-1
0
1
2
3 x
(－∞,μ] 时 f ( x) （ 4） 当 x ∈ 为增函数. 当 x∈(μ,+∞) 时 f ( x) 为减函数.
当 a 3 时正态总体的取值几乎总取值于区间 ( 3 , 3 ) 之内, 其他区间取值几乎不可能.在实 际运用中就只考虑这个区间,称为 3 原则.
例1：某厂生产的圆柱形零件的外直径ξ 服从正态 分布 N 4, 0.25 ，质检人员从该厂生产的1000件零件 中随机抽查一件， 测得它的外直径为5.7cm，试 问该厂生产的这批零件是否合格？
正态曲线
正态曲线的性质
( x )
y μ= -1
σ=0.5
1 2
e
y

( x )2 2 2
, x ( , )
y μ=1
μ=0 σ=1
σ=2 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x
-3 -2 -1 0
1 2
x
-3 -2 -1 0
1 2 3 x
（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.
P(a X b) , ( x)dx
a
b
则称为X 服从正态分布. 正态分布由参数μ、σ 唯一确定.正态分布记作 N(μ,σ2). 若随机变量X服从正态分布，则记作 X~ N(μ,σ2) 经验表明，一个随机变量如果是众多的、 互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之 和，它就服从或近似服从正态分布。
正态总体的函数表示式
1 f ( x) e 2
当μ= 0，σ=1时
( x )2 2 2
x (,)
标准正态总体的函数表示式
x2
标准正 态曲线
1 2 f ( x) e x (,) 2
正态分布密度函数的性质
1 f ( x) e 2
（1）当 x =
μ=0
=0.5
为形状参数
=1 =2

(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线下的面积规律
• X轴与正态曲线所夹面积恒等于1 。 • 对称区域面积相等。
-x

x
-x1 -x2 x2 x1
P(a X b) , ( x)dx
a
b
即由正态曲线，过点(a, 0)和点(b, 0)的两条x轴的垂 线，及x轴所围城的平面图形的面积，就是X落在区间 (a,b]的概率的近似值。 y
y , ( x )
x
a b
正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b,随机变量X满足: