2018年中考数学第六单元点、直线与圆的位置关系复习题及答案

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直线与圆的位置关系知识点及例题

直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。

九年级数学《点、直线、圆和圆的位置关系》复习题人教新课标版

《点、直线、圆和圆的位置关系》复习题一、填空题1．已知直线l 与⊙O 相切，若圆心O 到直线l 的距离是5，则⊙O 的半径是．【答案】52．已知⊙O 的半径为3cm ，圆心O 到直线l 的距离是4cm ，则直线l 与⊙O 的位置关是．【答案】相离3．P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，∠APB=50°，点C 为⊙O 上一点（不与A 、B ）重合，则∠ACB 的度数为。

【答案】︒︒11565或4．若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．【答案】3或175．如图，以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 是小圆的切线，C 为切点，若两圆的半径分别为3cm 和5cm ，则AB 的长为cm 。

【答案】86．如图，AB 切⊙O 于点A ，BO 交⊙O 于点C ，点D 是A Cm 异于点C 、A 的一点，若∠ABO=032,则∠ADC 的度数是.【答案】29°7．如图，⊙O 的直径为20cm ，弦cm AB 16=,AB OD ⊥，垂足为D 。

则AB 沿射线OD 方向平移cm时可与⊙O相切.【答案】48⨯的网格图（每个小正方形的边长均为1个单位长度）中，⊙A的半径为2个8．如图在6单位长度，⊙B的半径为1个单位长度，要使运动的⊙B与静止的⊙A内切，应将⊙B 由图示位置向左平移个单位长度．【答案】4或69．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的心坐标为（a，0）半径为5．如果两圆内含，那么a的取值X围是______________.【答案】-2<a<2 在数轴上数形结合的分析即可，注意原点左、右侧.10．如图, 已知△ABC,6∠90C．O是AB的中点，=AC，︒=BC=⊙O与AC，BC分别相切于点D与点E．点F是⊙O与AB的一个交点，连DF并延长交CB的延长线于点G. 则CG=.【答案】332二、选择题11．若两圆的半径分别为2和3，圆心距为5，则两圆的位置关系为【答案】B12．已知两圆的半径分别是4和6，圆心距为7，则这两圆的位置关系是（）（A）相交（B）外切（C）外离（D）内含【答案】A13．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为A．2 B．3 C．3 D．23【答案】D14．如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm，以点C为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（）．A．相离B．相切C．相交D．相切或相交【答案】B15．如图，在AABC 中，AB=BC=2，以AB 为直径的⊙0与BC 相切于点B ，则AC 等于( ) A ．2 B ．3 c ．22 D ．23OCBA【答案】C16．如图，PA 、PB 是O 的切线，切点分别是A 、B ，如果∠P ＝60°, 那么∠AOB 等于（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】 D17．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心、3为半径的圆，一定（）x 轴相切，与yx 轴相切，与y 轴相 x 轴相交，与yx 轴相交，与y 轴相【答案】C18．已知⊙O 1与⊙O 2相切，⊙O 1的半径为3 cm ，⊙O 2的半径为2 cm ，则O 1O 2的长是（） A ．1 cm B ．5 cmC ．1 cm 或5 cmD ．或BC A【答案】C19．已知⊙O 1、⊙O 2的半径分别是12r =、24r =，若两圆相交，则圆心距O 1O 2可能取的值是（）．A 、2B 、4C 、6D 、8 【答案】B ．20．已知两圆的半径R 、r 分别为方程0652=+-x x 的两根，两圆的圆心距为1，两圆的位置关系是A ．外离B ．内切C ．相交D ．外切【答案】B21．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值X 围是A ．－1≤x ≤1B ．2-≤x ≤2C ．0≤x ≤2D ．x ＞2 【答案】C22．如图，两圆相交于A ，B 两点，小圆经过大圆的圆心O ，点C ，D 分别在两圆上，若100ADB ∠=︒，则ACB ∠的度数为A ．35︒B ．40︒C ．50︒D ．80︒【答案】B23．如图，直线l 1∥l 2，⊙O 与l 1和l 2分别相切于点A 和点B ．点M 和点N 分别是l 1和l 2上的动点，MN 沿l 1和l 2平移．⊙O 的半径为1，∠1＝60°．下列结论错误．．的是（）．（A）433 MN=（B）若MN与⊙O相切，则3AM=（C）若∠MON＝90°，则MN与⊙O相切（D）l1和l2的距离为2【答案】B24．如图，已知A、B两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，⊙C的圆心坐标为(－1，0)，半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是A．2 B．1 C．222- D．22-【答案】：C25．如图,点B是线段AC的中点,过点C的直线l与AC成60°的角,在直线l上取一点P,使∠APB=30°，则满足条件的点有几个 ( )PCBAl60°三、解答题如图，以线段AB 为三、解答题26．如图,AB 是半圆的直径,O 为圆心,AD 、BD 是半圆的弦，且PDA PBD ∠=∠.(1)判断直线PD 是否为O 的切线，并说明理由；(2)如果60BDE ∠=，3PD =，求PA 的长。

人教版2018年数学中考第六单元点、直线与圆的位置关系专题练习含答案

第六单元圆点、直线与圆的位置关系基础达标训练1. 直线l 与半径为r 的圆O 相交，且点O 到直线l 的距离为4，则r 的取值范围是( )A. r ＜4B. r ＝4C. r ＞4D. r ≥4 2. 如图，⊙O 是△ABC 的内切圆，则点O 是△ABC 的( ) A. 三条边的垂直平分线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条高的交点第2题图第3题图3. AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ；连接BC ，若∠P ＝40°，则∠B 等于( ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 40°4.如图，AB 是⊙O 的直径，P A 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长交⊙O 于点C ，连接AC ，AB ＝10，∠P ＝30°，则AC 的长度是( ) A. 5 3 B. 5 2 C. 5 D. 52第4题图第5题图5.如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是()A. 13B. 2C. 3D. 56. 关注数学文化《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形(如图)，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)的直径是多少？”()A. 3步B. 5步C. 6步D. 8步第6题图第7题图7.如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________．8.如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB＝12，AC＝8，则⊙O的半径长为________．第8题图9. (8分)如图所示，直线DP和圆O相切于点C，交直径AE的延长线于点P，过点C作AE的垂线，交AE于点F，交圆O于点B，作平行四边形ABCD，连接BE，DO，CO.(1)求证：DA ＝DC ； (2)求∠P 及∠AEB 的大小．第9题图10. (8分)如图，AB 为⊙O 的直径，点C 、D 是⊙O 上的点，且∠CBD ＝∠ABD ，过点D 作DE ⊥BC ，交BC 的延长线于点H . (1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝12，BC ＝8，求圆心O 到BC 的距离．第10题图11. (8分)(2017雅礼实验中学一模)如图，△ABD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，点D 、E 为⊙O 上任意两点，连接DE ，C 为AB 延长线上一点，且∠BDC ＝∠DAB. (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若sin C ＝45，求tan ∠DEB 的值．第11题图能力提升训练1.如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)．如果以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( )A ．22＜r ＜17 B.17＜r ＜3 2 C.17＜r ＜5D ．5＜r ＜29 第1题图2.如图，菱形ABCD 的边AB ＝20，面积为320，∠BAD <90°，⊙O 与边AB 、AD 都相切，AO ＝10，则⊙O 的半径长等于( ) A. 5 B. 6 C. 2 5 D. 3 2第2题图第3题图3.如图，已知A 、B 两点的坐标分别为(－2，0)、(0，1)，⊙C 的圆心坐标为(0，－1)，半径为1，若点D 是⊙C 上的一个动点，射线AD 与y 轴交于点E ，则△ABE 的面积的最大值是________．4.如图，⊙O 为等腰△ABC 的外接圆，直径AB ＝12，P 为弧BC ︵上任意一点(不与B 、C 重合)，直线CP 交AB 延长线于点Q ，⊙O 在点P 处的切线PD 交BQ 于点D ，下列结论正确的是__________．(写出所有正确结论的序号) ①若∠P AB ＝30°，则弧BP ︵的长为π；②若PD ∥BC ，则AP 平分∠CAB ；③若PB ＝BD ，则PD ＝63； ④无论点P在弧BC ︵上的位置如何变化，CP ·CQ为定值．第4 题图5. (9分)已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，∠ABT ＝50°，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D. (1)如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；(2)如图②，当BE ＝BC 时，求∠CDO 的大小．第5题图答案1. D【解析】∵直线l与半径为r的圆O相交，且点O到直线l的距离为4，∴直线l与圆O的位置关系为相切或相交，即r≥4.2. B【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴点O到△ABC三边的距离相等，∴点O是△ABC的三条角平分线的交点．3. B【解析】∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，即∠PAO＝90°，∵∠P＝40°，∴∠POA＝90°－∠P＝50°，∴∠B＝12∠POA＝25°.4. A【解析】∵BA＝10，∴AO＝5，∵PA切⊙O于点A，∴PA⊥AB，∵AO＝5，∠P＝30°，∴AP＝AOtanP＝53，∠AOP＝60°，∵CO＝AO，∴∠C＝∠OAC＝12∠AOP＝30°，∴∠C＝∠P，∴AC＝AP＝5 3.5. D【解析】OP最小值为3，OB⊥BP，根据勾股定理得，BP最小值为 5.6. C【解析】根据勾股定理得：斜边为82＋152＝17，连接直角三角形各顶点与圆心，可看作一个直角三角形由三个等高的三角形构成，设圆的半径为r，则根据面积相等得12×17×r＋12×15×r＋12×8×r＝12×15×8，解得r＝3，即直径＝2r＝2×3＝6.7. 50°【解析】∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠BAT＝90°，在Rt△ABT中，∵∠ABT＝40°，∴∠ATB＝50°.8. 5【解析】设⊙O的半径为x，根据勾股定理AB2＋OB2＝(AC＋OC)2，即122＋x2＝(8＋x)2，解得x＝5.9. (1)证明：∵CB⊥AE，且在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAO＝90°，又∵直线DP 和圆O 相切于点C ， ∴DC ⊥OC ， ∴∠DCO ＝90°，∴在Rt △DAO 和Rt △DCO 中， DO ＝DO ，AO ＝CO ， ∴Rt △DAO ≌Rt △DCO (HL)， ∴DA ＝DC ；(2)解：∵CB ⊥AE ，AE 是⊙O 的直径， ∴CF ＝FB ＝12BC ，∠ABE ＝90°，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ， ∴CF ＝12AD ，又∵CF ∥DA ， ∴△PCF ∽△PDA ， ∴PC PD ＝CF DA ＝12，∴PC ＝12PD ，DC ＝12PD ，由(1)知DA ＝DC ，∴DA ＝12PD ，∴在Rt △DAP 中，∠P ＝30°，∵DP ∥AB ，∴∠FAB ＝∠P ＝30°，又∵∠ABE ＝90°，∴∠AEB＝90°－30°＝60°，综上所述，∠P＝30°，∠AEB＝60°.10. (1)证明：如解图，连接DO，∵BO＝DO，∴∠OBD＝∠ODB，∵∠CBD＝∠ABD，∴∠ODB＝∠HBD，∴DO∥HB，∵BH⊥EF，∴∠ODH＝90°，又∵OD为⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；(2)解：如解图，过点O作OG⊥BC于点G，则BG＝CG＝4，在Rt△OBG中，根据勾股定理得OG＝OB2－BG2＝62－42＝25，即圆心O到BC的距离为2 5.11. (1)证明：如解图，连接OD，∵AO ＝OD ， ∴∠A ＝∠ODA ， ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝∠ADO ＋∠ODB ＝90°，又∵∠BDC ＝∠A ， ∴∠BDC ＋∠ODB ＝90°， ∵OD 为半径， ∴CD 为⊙O 的切线； (2)解：在Rt △ODC 中， ∵sin C ＝OD OC ＝45，∴不妨设OD ＝4，则OC ＝5，BC ＝1，CD ＝3， ∵∠BDC ＝∠A ，∠C 为公共角， ∴△DBC ∽△ADC ， ∴BD AD ＝BC CD ＝13，又∵在Rt △ABD 中，tan A ＝BDAD ，且∠DEB ＝∠A ， ∴tan ∠DEB ＝tan A ＝13.能力提升训练1. B 【解析】如解图，∵AD ＝22，AE ＝AF ＝17，AB ＝32，∴AB ＞AE ＞AD , ∴17＜r ＜32时，以A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，故选B.2. C 【解析】设AB 与⊙O 相切于E 点，连接OE ，作DF ⊥AB 于F ，连接BD ，延长AO 交BD 于G ，∵AB ×DF ＝320，AB ＝20，∴DF ＝16，∵Rt △ADF 中，AF 2＝AD 2－FD 2＝202－162，∴AF ＝12，∴BF ＝8，∵Rt △DFB 中，BD 2＝DF 2＋BF 2，∴BD ＝85，∴BG ＝45，又∵菱形中BD ⊥AG ，OE ⊥AB ，∴△AOE ∽ABG ，∴OE ∶BG ＝OA ∶AB ＝1∶2，∴OE ＝12BG ＝2 5.3.113【解析】A 的横坐标绝对值为△ABE 以BE 为底边时的高，则有S △ABE ＝12·OA ·BE ，要使得S △ABE 为最大，则要当D 运动到使AD 与圆相切，可以得到最大的BE 值，此时三角形面积最大．由“过切点的半径垂直于切线”可得CD ⊥AD ，CD ＝OC ＝1，Rt △AOC 与Rt △ADC 共用一条斜边，∴Rt △AOC ≌Rt △ADC ，∴AD ＝AO ＝2.由切割线定理，有Rt △CDE 与Rt △AOE 共用角∠AEO ，∴Rt △CDE ∽Rt △AOE ，∴CD AO ＝DE OE ＝CE AE ＝12，∴OE ＝2DE ，即2DE －1DE ＋2＝12，解得DE ＝43，OE ＝83，∴S △ABE ＝12×2×(1＋83)＝113. 4. ②③④ 【解析】①连接OP ，∵直径AB ＝12，∴半径r ＝6，∵∠PAB ＝30°，∴∠POB ＝60°，∴lBP ︵＝60π·6180＝2π.②∵PD 是⊙O 的切线，∴∠OPD ＝90°，即∠1＋∠2＝90°，∵AB 是⊙O 的直径．∴∠APB ＝90°，∴∠3＋∠ABP ＝90°，∵OP ＝OB ，∴∠2＝∠ABP ，∴∠1＝∠3，∵PD ∥BC ，∴∠1＝∠4，又∵∠4＝∠5，∴∠3＝∠5，即AP 平分∠CAB ，③∵PB ＝BD ，∴∠1＝∠6，∵∠1＋∠2＝∠6＋∠7＝90°，∴∠2＝∠7，∴OB ＝BP ＝BD ＝6，∴在Rt △DOP 中，由勾股定理得PD ＝OD 2－OP 2＝122－62＝6 3.④∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ，又∵∠CPA ＝∠CBA ，∴∠CAB ＝∠CPA ，又∵∠ACP ＝∠ACP ，∴△ACP ∽△QCA ，∴AC CQ ＝CP CA ，∴CP ·CQ ＝AC 2＝(122)2＝72，∴结论正确的为②③④.5. 解：(1)如解图①，连接AC ，∵AT 是⊙O 的切线，∴AT ⊥AB ，即∠TAB ＝90°，∵∠ABT ＝50°，∴∠T ＝90°－∠ABT ＝40°，由AB 是⊙O 的直径，得∠ACB ＝90°，∴∠CAB ＝90°－∠ABC ＝40°，∴∠CDB ＝∠CAB ＝40°；(2)如解图②，连接AD,在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°，∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°，∵∠ADC＝∠ABC＝50°，∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝15°.。

点和直线及圆的位置关系40题带详细解析

一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔〕A．3B．C．D．47．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔〕A．60°B．30°C．45°D．90°8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞49．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔〕A．5B．6C．7D．8二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=．11．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=°．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=；〔2〕当OA=2时，AP=．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=°．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为．26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=度．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．2021年11月07日189****3288的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共9小题〕1．以下语句中，正确的选项是〔〕A．同一平面上三点确定一个圆B．能够重合的弧是等弧C．三角形的外心到三角形三边的距离相等D．菱形的四个顶点在同一个圆上【解答】解：A、同一平面上三点必须不在同一直线上才可以确定一个圆，故本选项错误；B、能够重合的弧是等弧，正确；C、三角形的外心到三角形三个定点的距离相等，到三边的距离不一定相等，故本选项错误；D、菱形的对角相等，但不一定互补，所以四个顶点不一定在同一个圆上，故本选项错误．应选：B．2．在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点，⊙O的半径为5，则点P〔﹣3，4〕与⊙O的位置关系是〔〕A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙OD．无法确定【解答】解：∵圆心P的坐标为〔﹣3，4〕，∴OP==5．∵⊙O的半径为5，∴点P在⊙O上．3．以下说法：①过三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．其中正确的有〔〕A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【解答】解：①过三点可以作圆；错误，应该是过不在同一直线上的三点可以作圆；②同弧所对的圆周角度数相等；正确；③一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形；正确；④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等．正确；应选：C．4．如图，△ABC为⊙O的接三角形，假设∠AOC=160°，则∠ADC的度数是〔〕A．80°B．160°C．100°D．80°或100°【解答】解：∵∠AOC=2∠B，∠AOC=160°，∴∠B=80°，∵∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=100°，应选：C．5．圆O的直径为10，OP=6，则点P的位置是〔〕A．点P在圆O外B．点P在圆OC．点P在圆O上D．无法确定【解答】解：圆O的直径为10，OP=6，∴该圆的半径为5，∴点P在圆O外，应选：A．6．如图，⊙O的半径为3，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，则AB的长为〔〕A．3B．C．D．4【解答】解：连接AD、AE、OA、OB，∵⊙O的半径为2，△ABC接于⊙O，∠ACB=135°，∴∠ADB=45°，∴∠AOB=90°，∵OA=OB=3，∴AB=3，应选：B．7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为〔〕A．60°B．30°C．45°D．90°【解答】解：连接AO和BO，∵⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°，∴∠C=∠AOB=×60°=30°，应选：B．8．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为*的圆，假设要求另外三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆，且至少有一个点在圆外，则r的取值围是〔〕A．3＜r＜4B．3＜r＜5C．3≤r≤5D．r＞4【解答】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，则BD==5．由图可知3＜r＜5．应选：B．9．如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB=2，AD=10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C 移动的过程中，BH的最小值是〔〕A．5B．6C．7D．8【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD=90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD==12，BM===13，∴BH的最小值为BM﹣MH=13﹣5=8．应选：D．二．填空题〔共22小题〕10．如图，△ABC为⊙O的接三角形，O为圆心，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，假设DE=2，则BC=　4　．【解答】解：∵OD⊥AB，∴AD=DB，∵OE⊥AC，∴AE=CE，∴DE为△ABC的中位线，∴DE=BC，∴BC=2DE=2×2=4．故答案为：411．如图△ABC是坐标纸上的格点三角形，试写出△ABC外接圆的圆心坐标　〔5，2〕　．【解答】解：由图象可知B〔1，4〕，C〔1，0〕，根据△ABC的外接圆的定义，圆心的纵坐标是y=2，设D〔a，2〕，根据勾股定理得：DA=DC〔1﹣a〕2+22=42+〔3﹣a〕2解得：a=5，∴D〔5，2〕．故答案为：〔5，2〕．12．如图，Rt△ABC是圆O的接三角形，过O作OD⊥BC于D，其中∠BAC=60°，半径OB=2，则弦BC=　2．【解答】解：连接OC∵∠BAC=60°∴∠BOC=120°∵OB=OC，OD⊥BC∴BD=CD，∠BOD=∠COD=60°∵BO=2，∠BOD=60°，OD⊥BC∴OD=1，BD=OD=∴BC=2故答案为213．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，点D是边BC上的一动点，连接AD，作CE⊥AD于点E，连接BE，则BE的最小值为﹣6　．【解答】解：∵CE⊥AD，∴∠AEC=90°，∴点E在以AC为直径的圆上，取AC的中点O，以AC为直径作⊙O，当O、E、B共线时，BE的长最小，Rt△OCB中，OC=OE=6，BC=5，∴OB==，∴BE=OB﹣OE=﹣6，则BE的最小值为：﹣6，故答案为：﹣6．14．如图，点O为△ABC的外接圆圆心，点E为圆上一点，BC、OE互相平分，CF⊥AE于F，连接DF．假设OE=2，DF=1，则△ABC的周长为　6+2．【解答】解：延长CF交AB于点G，过C作CH⊥AB于H，连BO．∵BC、OE互相平分∴四边形BECO为平行四边形∵OB=OC∴四边形BECO为菱形∴=∵OE=2∴Rt△BOD中，tan∠BOD=∴∠BOD=60°∴∠BAE=∠EAC=30°∵CF⊥AE∴F为GC中点，△AGC为等边三角形∴BG=2DF=2在Rt△BCH中BH2+HC2=BC2∴〔2+GH〕2+〔〕2=62解得GH=〔舍去〕或GH=，∴AG=AC=﹣1+，∴△ABC的周长为6+2．故答案为：6+2．15．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC部的一个动点，且满足∠PAB+∠PBA=90°，则线段CP长的最小值为　2　．【解答】解：∵∠PAB+∠PBA=90°，∴∠APB=90°，∴P在以AB为直径的圆周上〔P在△ACB部〕，连接OC，交⊙O于P，此时CP的值最小，如图，∵AB=6，∴OB=3，∵BC=4，∴由勾股定理得：OC=5，∴CP=5﹣3=2，故答案为：2．16．如图，△ABC是⊙O的接三角形，∠C=30°，⊙O的半径为5，假设点P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB=AB，则PA的长为　5．【解答】解：连接OA、OP，连接OB交AP于H，由圆周角定理得，∠AOB=2∠C=60°，∵PB=AB，∴∠POB=60°，OB⊥AP，则AH=PH=OP×sin∠POH=，∴AP=2AH=5，故答案为：5．17．如图，⊙O的半径为10，△ABC是⊙O的接三角形，连接OB，OC．假设∠BAC与∠BOC互补，则弦BC的长为　10．【解答】解：作OH⊥BC于H，则BH=HC，由圆周角定理得，∠BAC=∠BOC，∵∠BAC+∠BOC=180°，∴∠BOC=120°，∴∠OBC=30°，∴BH=OB×cos∠OBH=5，∴BC=2BH=10，故答案为：10．18．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，P是矩形部一动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP的最小值是﹣4　．【解答】解：∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠PBC=90°，∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB=90°，∴OP=OA=OB〔直角三角形斜边中线等于斜边一半〕，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，∵在矩形ABCD中，AB=8，BC=5，在RT△BCO中，∵∠OBC=90°，BC=5，OB=4，∴OC=，∴PC=OC﹣OP=﹣4．∴PC最小值为﹣4．故答案为：﹣4．19．如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，假设∠BAD=50°，则∠ACB=　40　°．【解答】解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴∠D=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，∴∠ACB=∠D=40°．故答案为40．20．如图，在平面直角坐标系中，A〔4，0〕、B〔0，﹣3〕，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P．连接AP，假设点C为AP的中点，连接OC，则OC的最小值为　1.5　．【解答】解：当点P运动到AB的延长线上时，即如图中点P1，C1是AP1的中点，当点P在线段AB上时，C2是中点，取C1C2的中点为D，点C的运动路径是以D为圆心，以DC1为半径的圆，当O、C、D共线时，OC 的长最小，设线段AB交⊙B于Q，Rt△AOB中，OA=4，OB=3，∴AB=5，∵⊙B的半径为2，∴BP1=2，AP1=5+2=7，∵C1是AP1的中点，∴AC1=3.5，AQ=5﹣2=3，∵C2是AQ的中点，∴AC2=C2Q=1.5，C1C2=3.5﹣1.5=2，即⊙D的半径为1，∵AD=1.5+1=2.5=AB，∴OD=AB=2.5，∴OC=2.5﹣1=1.5，故答案为：1.5．21．如图，△ABC中，假设AC=4，BC=3，AB=5，则△ABC的切圆半径R=　1　．【解答】解：∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，∴△ABC的切圆半径R===1．故答案为1．22．如图，直线PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，连接PO交⊙O于点C，连接BC，假设∠ABC=25°，则∠P的度数为　40°　．【解答】解：由圆周角定理得，∠AOP=2∠ABC=50°，∵PA是⊙O的切线，AB是过切点A的直径，∴∠PAO=90°，∴∠P=90°﹣∠AOP=40°，故答案为：40°．23．如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B分别为切点，∠OAB=30°．〔1〕∠APB=　60°　；〔2〕当OA=2时，AP=　2．【解答】解：〔1〕∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°﹣2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°﹣120°﹣90°﹣90°=60°，故答案为：60°．〔2〕如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP===2，故答案为：2．24．如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点D，假设∠A=25°，则∠C=　40　°．【解答】解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=90°﹣50°=40°．故答案为：40．25．如图，⊙O是△ABC的切圆，切点为D，E，F，假设AD、BE的长为方程*2﹣17*+60=0的两个根，则△ABC的周长为　40　．【解答】解：∵*2﹣17*+60=0，∴*=5或*=12∴AD=5，BE=12，∵⊙O是△ABC的切圆，∴AD=AF=5，BE=BF=12，又设⊙O的半径为r，∴AC=5+r，BC=12+r，AB=17∴由勾股定理可知：〔5+r〕2+〔12+r〕2=172，∴解得：r=3或r=﹣20〔舍去〕∴AC=8，BC=15，∴△ABC的周长为：8+15+17=40故答案为：40；26．如图，在圆O中，AB为直径，AD为弦，过点B的切线与AD的延长线交于点C，AD=DC，则∠C=　45　度．【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵BC为切线，∴AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵AD=CD，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠C=45°．故答案为45．27．如图，⊙O与△ABC的三边相切，假设∠A=40°，则∠BOC=　110°　．【解答】解：∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵⊙O与△ABC的三边相切，∴点O是△ABC的心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=〔∠ABC+∠ACB〕=70°，∴∠BOC=180°﹣〔∠OBC+∠OCB〕=110°，故答案为：110°．28．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连结PO并延长交⊙O于点C，连结AC，AB=8，∠P=30°，则AC的长度是　4．【解答】解：∵PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，∴∠OAP=90°，在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，AP=OA=4，∵∠AOP=∠C+∠OAC=60°，而∠C=∠OAC，∴∠C=30°，∴AC=AP=4．故答案为4．29．如图，在⊙O的接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为　30°　【解答】解：连接OD，如图，∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠BAD=180°﹣120°=60°，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD=60°，∵PD为切线，∴OD⊥PD，∴∠ODP=90°，∴∠ADP=90°﹣60°=30°．故答案为30°．30．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，以CD为直径作⊙O，⊙O分别与AC，BC交于点E，F，过点F作⊙O的切线FG，交AB于点G，则FG的长为．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB=10，∴点D是AB中点，∴CD=BD=AB=5，连接DF，∵CD是⊙O的直径，∴∠CFD=90°，∴BF=CF=BC=4，∴DF==3，连接OF，∵OC=OD，CF=BF，∴OF∥AB，∴∠OFC=∠B，∵FG是⊙O的切线，∴∠OFG=90°，∴∠OFC+∠BFG=90°，∴∠BFG+∠B=90°，∴FG⊥AB，∴S△BDF=DF×BF=BD×FG，∴FG===，故答案为．31．如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，假设CD=2，则OE的长为．【解答】解：连接OA、AD，如右图所示，∵BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，∴∠DAB=90°，∠OAC=90°，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ACO和△BAD中，，∴△ACO≌△BAD〔ASA〕，∴AO=AD，∵AO=OD，∴AO=OD=AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠ADO=∠DAO=60°，∴∠B=∠C=30°，∠OAE=30°，∠DAC=30°，∴AD=DC，∵CD=2，∴AD=2，∴点O为AD的中点，OE∥AD，OE⊥AB，∴OE=，故答案为：．三．解答题〔共9小题〕32．如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于点B，OC=BC，AC=OB．〔1〕求证：AB是⊙O的切线；〔2〕假设∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．【解答】解：〔1〕如图，连接OA；∵OC=BC，AC=OB，∴OC=BC=AC=OA．∴△ACO是等边三角形．∴∠O=∠OCA=60°，∵AC=BC，∴∠CAB=∠B，又∠OCA为△ACB的外角，∴∠OCA=∠CAB+∠B=2∠B，∴∠B=30°，又∠OAC=60°，∴∠OAB=90°，∴AB是⊙O的切线；〔2〕解：作AE⊥CD于点E，∵∠O=60°，∴∠D=30°．∵∠ACD=45°，AC=OC=2，∴在Rt△ACE中，CE=AE=；∵∠D=30°，∴AD=2，∴DE=AE=，∴CD=DE+CE=+．33．如图，AB是⊙O的直径，AC为弦，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D 的切线交AC的延长线于点E．求证：〔1〕DE⊥AE；〔2〕AE+CE=AB．【解答】证明：〔1〕连接OD，如图1所示．∵OA=OD，AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠ODA，∠CAD=∠OAD，∴∠CAD=∠ODA，∴AE∥OD．∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE⊥AE．〔2〕过点D作DM⊥AB于点M，连接CD、DB，如图2所示．∵AD平分∠BAC，DE⊥AE，DM⊥AB，∴DE=DM．在△DAE和△DAM中，，∴△DAE≌△DAM〔SAS〕，∴AE=AM．∵∠EAD=∠MAD，∴=，∴CD=BD．在Rt△DEC和Rt△DMB中，，∴Rt△DEC≌Rt△DMB〔HL〕，∴CE=BM，∴AE+CE=AM+BM=AB．34．如图△ABC接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC．〔1〕求证：PA是⊙O的切线；〔2〕假设PD=，求⊙O的直径．【解答】解：〔1〕证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．〔2〕在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵PD=，∴2OA=2PD=2．∴⊙O的直径为2．35．如图，AB为⊙O直径，E为⊙O上一点，∠EAB的平分线AC交⊙O于C点，过C点作CD⊥AE的延长线于D点，直线CD与射线AB交于P点．〔1〕判断直线DP与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕假设DC=4，⊙O的半径为5，求PB的长．【解答】解：〔1〕直线DP与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵AC是∠EAB的平分线，∴∠EAC=∠OAC∵OA=OC，∴∠ACO=∠OAC，∴∠ACO=∠DAC，∴OC∥AD，∵CD⊥AE，∴OC⊥CD，∴DP是⊙O的切线；〔2〕作CH⊥AB于H，如图，∵AC是∠EAB的平分线，CD⊥AD，CH⊥AB，∴CH=CD=4，∴OH==3，∵OC⊥CP，∴∠OCP=∠CHO=90°，而∠COP=∠POC，∴△OCH∽△OPC，∴OC：OP=OH：OC，∴OP==，∴PB=OP﹣OB=﹣5=．36．如图，AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O半径为4，∠OCE=30°，求△OCE的面积．【解答】〔1〕证明：连接DO，如图，∵AD∥OC，∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD，又∵OA=OD，∴∠DAO=∠ADO，∴∠COD=∠COB．在△COD和△COB中∴△COD≌△COB〔SAS〕，∴∠CDO=∠CBO．∵BC是⊙O的切线，∴∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，∴OD⊥CE，又∵点D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线；〔2〕解：由〔1〕可知∠OCB=∠OCD=30°，∴∠DCB=60°，又BC⊥BE，∴∠E=30°，在Rt△ODE中，∵tan∠E=，∴DE==4，同理DC=OD=4，∴S △OCE=•OD•CE=×4×8=16．37．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O 为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设OB=5，CD=4，求BE的长．【解答】〔1〕证明：连接OD．∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠OBD=∠CBD∵∠CBD=∠ODB，∴OD∥BC∵∠C=90°，∴∠ODC=90°∴OD⊥AC∵点D在⊙O上，∴AC是⊙O的切线〔2〕过圆心O作OM⊥BC交BC于M．∵BE为⊙O 的弦，且OM⊥BE∴BM=EM∵∠ODC=∠C=∠OMC=90°∴四边形ODCH为矩形，则OM=DC=4∵OB=5∴BM==3=EM∴BE=BM+EM=6．38．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点C的切线交AB的延长线于点F，连接DF．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕连接BC，假设∠BCF=30°，BF=2，求CD的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，如图，∵CF是⊙O的切线∴∠OCF=90°，∴∠OCD+∠DCF=90°∵直径AB⊥弦CD，∴CE=ED，即OF为CD的垂直平分线∴CF=DF，∴∠CDF=∠DCF，∵OC=OD，∴∠CDO=∠OCD∴∠CDO+∠CDB=∠OCD+∠DCF=90°，∴OD⊥DF，∴DF是⊙O的切线；〔2〕解：∵∠OCF=90°，∠BCF=30°，∴∠OCB=60°，∵OC=OB，∴△OCB为等边三角形，∴∠CFO=30°∴FO=2OC=2OB，∴FB=OB=OC=2，在Rt△OCE中，∵∠COE=60°，∴OE=OC=1，∴CE=OE=，∴CD=2CE=．39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE 交AC于点E．〔1〕求证：∠A=∠ADE；〔2〕假设AD=8，DE=5，求BC的长．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．〔2〕解：连接CD．∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=5，∴AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=*，在Rt△BDC中，BC2=*2+62，在Rt△ABC中，BC2=〔*+8〕2﹣102，∴*2+62=〔*+8〕2﹣102，解得*=，∴BC==．40．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，与BA的延长线交于点D，DE ⊥PO交PO延长线于点E，连接PB，∠EDB=∠EPB．〔1〕求证：PB是⊙O的切线．〔2〕假设PB=6，DB=8，求⊙O的半径．【解答】解：〔1〕∵DE⊥PE，∴∠E=90°，∵∠EDB=∠EPB，∠DOE=∠POB，∴∠EDB+∠DOE=∠EPB+∠POB，即∠OBP=∠E=90°，∵OB为圆的半径，∴PB为圆O的切线；〔2〕在Rt△PBD中，PB=6，DB=8，根据勾股定理得：PD==10，∵PD与PB都为圆的切线，∴PC=PB=6，∴DC=PD﹣PC=10﹣6=4．在Rt△CDO中，设OC=r，则有DO=8﹣r，根据勾股定理得：〔8﹣r〕2=r2+42，解得：r=3，则圆的半径为3．。

【教育资料】北京市东城区普通中学2018届初三数学中考复习直线与圆的位置关系专题复习练习含答案学习专

北京市东城区普通中学2019届初三数学中考复习直线与圆的位置关系专题复习练习1. 已知⊙O 的半径是6 cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5 cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断2. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是( )A ．8≤AB ≤10 B ．8＜AB≤10C ．4≤AB ≤5D ．4＜AB≤53. 如图，PA ，PB 分别切⊙O 于点A ，B ，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝50°，则∠P ＝____．4. 如图，两个同心圆，大圆半径为5 cm ，小圆的半径为3 cm ，若大圆的弦AB 与小圆相交，则弦AB 的取值范围是．5. ⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，R ，d 是方程x 2－4x ＋m ＝0的两根，当直线l 与⊙O 相切时，m 的值为____．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是AD ︵上的一点，∠DBC ＝∠BED.(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)已知AD ＝3，CD ＝2，求BC 的长．7. 如图，在⊙O 中，半径OC 垂直于弦AB ，垂足为点E.(1)若OC ＝5，AB ＝8，求tan ∠BAC；(2)若∠DAC ＝∠BAC ，且点D 在⊙O 的外部，判断直线AD 与⊙O 的位置关系，并加以证明．8. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC ＋BC ＝8，点O 是斜边AB 上一点．以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E.(1)当AC＝2时，求⊙O的半径；(2)设AC＝x，⊙O的半径为y，求y与x的函数关系式．9. 如图，⊙O的半径为4 cm，OA⊥OB，OC⊥AB于点C，OB＝4 5 cm，OA＝2 5 cm，试说明AB是⊙O的切线．10. 如图，已知在△OAB中，OA＝OB＝13，AB＝24，⊙O的半径长为r＝5.判断直线AB与⊙O的位置关系，并说明理由．11. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E.(1)求证：∠BAD＝∠E；(2)若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．12. 如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F.(1)求证：∠ABC＝2∠CAF；(2)若AC＝210，CE：EB＝1：4，求CE的长．13. 如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC 的中点，连结DE.(1)若AD＝DB，OC＝5，求切线AC的长；(2)求证：ED是⊙O的切线．参考答案：1. D2. A3. 80°4. 8<AB≤105. 46. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，又∵∠BAD＝∠BED，∠BED ＝∠DBC，∴∠BAD ＝∠DBC，∴∠BAD ＋∠ABD＝∠DBC＋∠ABD＝90°，∴∠ABC ＝90°，∴BC 是⊙O 的切线(2)解：∵∠BAD＝∠DBC，∠C ＝∠C，∴△ABC ∽△BDC ，∴BC CA ＝CD BC，即BC 2＝AC·CD ＝(AD ＋CD)·CD＝10，∴BC ＝107. 解：(1)tan ∠BAC ＝12(2)AD 与⊙O 相切．理由如下：∵半径OC 垂直于弦AB ，∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC ＝2∠BAC ，∵∠DAC ＝∠BAC，∴∠AOC ＝∠BAD，∵∠AOC ＋∠OAE＝90°，∴∠BAD ＋∠OAE＝90°，∴OA ⊥AD ，∴AD 与⊙O 相切8. 解：(1)连接OE ，OD ，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝8，∵AC ＝2，∴BC ＝6.∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴四边形OECD 是正方形，∴tan ∠B ＝tan ∠AOD ＝AD OD ＝2－OD OD ＝13，解得OD ＝32，∴⊙O 的半径为32(2)由题可知，AC ＝x ，BC ＝8－x ，在直角三角形ABC 中，tan B ＝AC BC ＝x 8－x.∵以O 为圆心的⊙O 分别与AC ，BC 相切于点D ，E ，∴四边形OECD 是正方形．∴tan∠AOD ＝tan B ＝AC BC ＝AD CD ＝x －y y ＝x 8－x ，解得y ＝－18x 2＋x ，即y 与x 的函数关系式为y ＝－18x 2＋x 9. 解：∵OA⊥OB，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝（25）2＋（45）2＝10.又∵S △AOB ＝12AB·OC＝12OA ·OB ，∴OC ＝OA·OB AB ＝25×4510＝4.又∵⊙O 的半径为4，∴AB 是⊙O 的切线10. 解：直线AB 与⊙O 相切，理由如下：与过点O 作OC⊥AB 于C.∵OA ＝OB ＝13，∴AC ＝BC ＝12AB ＝12.在Rt △AOC 中， OC ＝OA 2－AC 2＝132－122＝5＝r ，∴直线AB 与⊙O 相切11. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，过点B 作⊙O 的切线DE ，∴∠ABE＝90°，∴∠BAE＋∠E ＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BAD＋∠BAE ＝90°，∴∠BAD＝∠E(2)解：连接BC ，如图，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵AC ＝8，AB ＝2×5＝10，∴BC ＝AB 2－AC 2＝6，∵∠BCA ＝∠ABE＝90°，∠BAD ＝∠E，∴△ABC ∽△EAB ，∴AC EB ＝BC AB ，∴8EB＝610，∴BE ＝40312. (1)证明：连接BD.∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠DAB ＋∠ABD＝90°.∵AF 是⊙O 的切线，∴∠FAB ＝90°，即∠DAB＋∠CAF＝90°.∴∠CAF ＝∠ABD.∵BA＝BC ，∠ADB ＝90°，∴∠ABC ＝2∠ABD.∴∠ABC＝2∠CAF(2)解：连接AE ，∴∠AEB ＝90°，设CE ＝x ，∵CE ∶EB ＝1∶4，∴EB ＝4x ，BA ＝BC ＝5x ，AE ＝3x ，在Rt △ACE 中，AC 2＝CE 2＋AE 2，即(210)2＝x 2＋(3x)2，∴x ＝2.∴CE＝213. (1)解：连接CD ，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB，∵AD ＝DB ，OC ＝5，∴CD 是AB 的垂直平分线，∴AC＝BC ＝2OC ＝10(2)证明：连接OD ，如图所示，∵∠ADC ＝90°，E 为AC 的中点，∴DE ＝EC ＝12AC ，∴∠1＝∠2，∵OD ＝OC ，∴∠3＝∠4，∵AC 切⊙O 于点C ，∴AC ⊥OC ，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，即DE⊥OD，∴ED 是⊙O 的切线。

中考数学直线与圆的位置关系专题含答案

【知识梳理】1、点与圆的位置关系：设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d<r⇔点P在⊙O内；d=r⇔点P在⊙O上；d>r⇔点P在⊙O外。

2、直线和圆的位置关系：直线和圆有三种位置关系，具体如下：知识点梳理：直线与圆的位置关系______ ______ ______ 图形公共点的个数______ ______ 0公共点的名称交点______ 无直线名称割线______ 无d与r的关系d________r d________r d________r 【经典例题1】在矩形ABCD 中，AB＝5，BC＝12，点 A 在⊙B 上．如果⊙D 与⊙B 相交，且点 B 在⊙D 内，那么⊙D 的半径长可以等于．(只需写出一个符合要求的数)【解析】∵矩形ABCD中，AB=5，BC=12，∴AC=BD=13，∵点A在B上，∴B的半径为5，∵如果D与B相交，∴D的半径R满足8∵点B在D内，∴R>13，∴14符合要求，故答案为：14(答案不唯一).练习1-1在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图所示(图中小正方形的边长均相等).现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H四棵树中需要被移除的为 ()A.E，F，GB.F，G，HC.G，H，ED.H，E，F练习1-2已知☉O的直径等于12，圆心O到直线l的距离恰好为一元二次方程2x2-10x+3=0的两根的和，那么直线l和☉O的位置关系是.练习1-3如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴分别交于A、B两点，点P的坐标为(3，－1)，AB＝23．将⊙P沿着与y轴平行的方向平移，使⊙P与x轴相切，则平移距离为_____．练习1-4（20上海中考）如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，点O 在对角线AC 上，⊙O 的半径为2，如果⊙O 与矩形ABCD 的各边都没有公共点，那么线段AO 长的取值范围是 .320310<<x练习1-5如图，已知矩形ABCD 中，AB=2，BC=32，O 是AC 上一点，AO=m ，且O 的半径长为1，求：(1)线段AB 与O 没有公共点时m 的取值范围。

中考数学第六章圆第二节与圆有关的位置关系

方法
考法切线的判定及性质
提分特训
෽
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;

(2)若 =

6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或

边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .

3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)

(完整版)直线与圆的位置关系练习题

精品word完整版-行业资料分享专项训练：直线与圆的位置关系一、单选题1．直线截圆所得的弦长为A．B．C．D．2．直线与圆的位置关系是A．相切B．相交但不过圆心C．相交且过圆心D．相离3．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是A．B．C．D．4．若直线:与圆:相切,则直线与圆:的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．不确定5．若圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为，则直线l的倾斜角的取值范围是( )A．B．C．D．6．“”是直线与圆相切的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知集合，集合，若的概率为1，则的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知圆，直线，在上随机选取一个数，则直线与圆有公共点的概率为A．B．C．D．9．已知直线l：y＝x＋m与曲线y＝有两个公共点,则实数m的取值范围是A．(－2,2)B．(－1,1)C．[1,)D．(－,)10．设圆x2＋y2＋2x＋2y－5＝0与x轴交于A,B两点,则|AB|的长是A ．B ． 2C ． 2D ． 311．圆与圆都关于直线对称,则圆C 与y 轴交点坐标为 A ．B ．C ．D ．12．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）直线和圆的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相离D ．相切13．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为 A ． (－，) B ． [－，]C ． (－，)D ． [－，]14．（陕西省西安市八校2018届高三上学期第一次联考）若过点的直线与曲线有公共点，则直线斜率的取值范围为 A ． B ．C ．D ．15．（题文）若在区间上随机取一个数，则“直线与圆相交”的概率为A ．B ．C ．D ．16．动圆C 经过点，并且与直线相切，若动圆C 与直线总有公共点，则圆C的面积为（） A ．有最大值B ．有最小值C ．有最小值D ．有最小值17．已知直线：与圆相交于两点，是线段的中点，则点到直线的距离的最大值为A ． 2B ． 3C ． 4D ． 518．直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，若，则k 的取值范围是( )．A ．B ． (－∞，]∪[0，＋∞)C ．D ．19．已知直线0x y m -+=与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，且OAB ∆为正三角形，则实数m 的值精品word 完整版-行业资料分享为（） A ．32 B ． 62 C ． 32或32- D ． 62或62- 20．设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是（） A ． []0,1 B ． []1,1- C ． 22,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ． 20,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦21．从直线30x y -+=上的点向圆224470x y x y +--+=引切线，则切线长的最小值（）A ．322B ． 142C ． 324D ．3212- 22．已知圆22()4x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为22，则a 等于 A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．22 23．直线被圆所截得的最短弦长等于（） A ．B ．C ．D ．24．过原点且倾斜角为60°的直线被圆2240x y y +-=所截得的弦长为（） A ． 23 B ． 2 C ． 6 D ． 325．过点且被圆截得弦长最长的直线的方程为（）．A ．B ．C ．D ．26．已知圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝16的一条直径通过直线x －2y ＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为( )A ． 3x ＋y －5＝0B ． x －2y ＝0C ． x －2y ＋4＝0D ． 2x ＋y －3＝027．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则直线l 的方程为( ) A ． x ＋y －2＝0 B ． x －y ＋2＝0 C ． x ＋y －3＝0 D ． x －y ＋3＝028．经过圆22220x y x y +-+=的圆心且与直线20x y -=平行的直线方程是（） A ．230x y --= B ．210x y --= C ．230x y -+= D ．210x y ++=二、填空题29．经过A (0,－1)和直线x ＋y ＝1相切,且圆心在直线y ＝－2x 上的圆的方程是______. 30．圆心为()1,0，且与直线1y x =+相切的圆的方程是____． 31．设(x －3)2＋(y －3)2＝6，则yx的最大值为________． 32．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是________．三、解答题33．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0,(1)若圆C 的切线l 在x 轴、y 轴上的截距相等,求切线l 的方程； (2)若点是圆C 上的动点,求的取值范围.34．已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 于A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆. （1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点()4,2P -，求直线l 与圆M 的方程.精品word完整版-行业资料分享参考答案1．D【解析】【分析】由题意，求得圆的圆心坐标和半径，利用圆的弦长公式，即可求解．【详解】由题意圆的方程，可知圆心，半径，则圆心到直线的距离为，所以弦长为，故选D．【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系和直线与圆的弦长公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．B【解析】【分析】由条件求得圆心到直线2x+y-5=0的距离小于半径，可得直线和圆相交．【详解】圆（x-1）2+（y+2）2=6的圆心为（1，-2）、半径为，圆心到直线2x+y-5=0的距离为，小于半径，故直线和圆相交，故答案为：相交．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．3．A【解析】【分析】把圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径，由已知圆关于直线2ax-by+2=0对称，得到圆心在直线上，故把圆心坐标代入已知直线方程得到a与b的关系式，由a表示出b，设m=ab，将表示出的b代入ab中，得到m关于a的二次函数关系式，由二次函数求最大值的方法即可求出m的最大值，即为ab的最大值，即可写出ab的取值范围．【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y-2）2=4，∴圆心坐标为（-1，2），半径r=2，根据题意可知：圆心在已知直线2ax-by+2=0上，把圆心坐标代入直线方程得：-2a-2b+2=0，即b=1-a，则设m=ab=a（1-a）=-a2+a，∴当时，m有最大值，最大值为，即ab的最大值为，则ab的取值范围是．故选：A．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，以及二次函数的性质．根据题意得到圆心在已知直线上是解本题的关键．4．A【解析】【分析】直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径，求出斜率，再根据圆的圆心到直线的距离，判断其与直线的关系.【详解】因为直线:与圆:相切，所以，解得，因为，所以，所以的直线方程为，圆D的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交,故选A.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属于中档题. 判定直线与圆的位置关系可以联立方程组，利用方程组的解的个数判断位置关系，也可以转化为判断圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定直线与圆位置关系.5．B精品word完整版-行业资料分享【解析】【分析】先求出圆心和半径，比较半径和；要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．【详解】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0整理为，∴圆心坐标为（2，2），半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线l：ax+by=0的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，∴，∴，∴，，∴，直线l的倾斜角的取值范围是，故选：B．【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，圆心到直线的距离等知识，是中档题．6．C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论.【详解】由圆，可得圆心为，半径．∵直线与圆相切，∴，∴，∴“”是直线与圆相切的充要条件，故选C．【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.7．B【解析】【分析】A表示圆上的点，B表示直线直线上的点，要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然有交点，利用圆心到直线的距离小于或等于半径即可求得a的取值范围【详解】A表示圆x2+y2=1上的点，圆心为（0,0），半径为1，B表示直线x+y+a=0上的点要使A∩B≠Φ的概率为1，则直线与圆必然相交，即圆心到直线的距离小于等于圆的半径：故有：d＝≤1，解得：,故选：B.【点睛】本题考查了集合中的一种类型——点集，通常与平面几何相联系，从集合间的关系转化为直线与圆的位置关系，关键是理解A∩B≠Φ的概率为1与直线与圆必然相交的关系．8．C【解析】【分析】由有公共点这一条件，判断出直线和圆的位置关系，进而求得k的取值范围；由几何概型概率求解方法，可求得有公共点的概率值。

中考数学复习题点和圆、直线和圆的位置关系试题

点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：〔甲〕以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，那么直线PB即为所求；〔乙〕作OP的中垂线，交圆O于B点，那么直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确二、解答题2．如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，假如∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm〔1〕请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求图中阴影局部的面积〔结果用π表示〕．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．〔1〕求证：四边形BEDF为矩形；〔2〕BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．4．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上的一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕假设点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，S△BEF=8〔﹣1〕，求△ACF的面积和CF的长．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．〔1〕求证：AC是⊙O的切线．〔2〕过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E 是BC的中点，连接DE，OE．〔1〕判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求证：BC2=2CD•OE；〔3〕假设cos∠BAD=，BE=，求OE的长．8．如图，BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC 于点E，F为BE上一点，且DF=FB．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕假设BE=2，求⊙O的半径．9．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．〔1〕求证：AB与⊙O相切；〔2〕假设∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．10．如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．〔1〕求证：AD与⊙O相切；〔2〕假设点C到弦AB的间隔为2，求弦AB的长．11．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．〔1〕求AC、AD的长；〔2〕试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．12．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．〔1〕求证：CF是⊙O的切线．〔2〕假设AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．13．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为的中点，连接CE交AB 于点F，AF=AC．〔1〕求证：直线AC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=10，BC=8，求CE的长．14．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕求⊙O的半径．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．〔1〕求证：∠A=∠BCD；〔2〕假设M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC 上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影局部的面积．〔结果保存根号和π〕17．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，AB=4，⊙O的半径为．〔1〕分别求出线段AP、CB的长；〔2〕假如OE=5，求证：DE是⊙O的切线；〔3〕假如tan∠E=，求DE的长．18．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求弦BD的长；〔3〕求图中阴影局部的面积．19．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影局部的面积．〔结果保存π〕20．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE ⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．〔1〕求证：直线EF是⊙O的切线；〔2〕假设CF=5，cos∠A=，求BE的长．21．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．〔1〕求证：FB为⊙O的切线；〔2〕假设AB=8，CE=2，求sin∠F．22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．〔1〕判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．〔2〕假设⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN ⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．〔1〕求证：△BGD∽△DMA；〔2〕求证：直线MN是⊙O的切线．24．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．〔1〕求证：EA是⊙O的切线；〔2〕点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；〔3〕AF=4，CF=2．在〔2〕条件下，求AE的长．25．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．26．如下图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕作CD的平行线AE交⊙O于点E，DC=10，求圆心O到AE的间隔．27．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．〔1〕求证：∠ABC=∠D；〔2〕求AB的长；〔3〕延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设AB=4，求图中阴影局部的面积．29．如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点〔点G不与A、C重合〕，以AG 为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕假设cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；〔3〕假设cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围．30．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．〔1〕求证：PC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O的半径是1， =，∠ABC=45°，求OH的长．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2018届冀教版中考专项训练(六)圆及圆与直线的位置关系(含答案)

专项训练（六）圆及圆与直线的位置关系一、选择题1.下列结论：①垂直于弦的半径一定平分这条弦；②平分弦的直径一定垂直于这条弦；③垂直于弦的直径一定平分弦所对的两条弧；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧.其中，正确的是（） A.①②③④ B.①③④ C.①②④ D.②③④2.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，CD ⊥AB 于点E ，则下列结论中正确的是（） A.∠OCE=∠BDE B.OC=BC C.⌒AC =⌒AD D.OE=BE第2题图第3题图3.如图所示，在圆内接正五边形ABCDE 中，各边长均为5cm ，分别以点A ，B ，C ，D ，E 为圆心，1cm 为半径画圆，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是（） A.π B.23π C.2π D.25π 4.已知正三角形的边长为2a ，其内切圆的半径为r ，外接圆的半径为R ，则r ∶a ∶R=（） A.1∶32∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶3∶32 5.如图，BE 为半圆O 的直径，点A 在EB 的延长线上，AD 切半圆O 于点D ，BC ⊥AD 于点C ，AB ＝32OB ，半圆O 的半径为2，则BC 的长为（） A.34 B.43 C.54 D.52第5题图第6题图第7题图 6.如图，AB 切圆O 1于B 点，AC 切圆O 2于C 点，BC 分别交圆O 1、圆O 2于D 、E 两点．若∠BO 1D=40°，∠CO 2E=60°，则∠A 的度数为何？（）A ．100B ．120C ．130D ．1407.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，点P 是⌒BD 上不同于点C 的任意一点，则∠BPC 的度数是（）A.450B.900C.1350D.450或13508.已知⊙O 的半径为10cm ，AB ，CD 是⊙O 的两条弦，已知AB//CD ，AB=12cm ，CD=16cm ，则四边形ABCD 的面积是（）A.28cm 2B.196 cm 2C.28 cm 2或196 cm 2D.28 cm 2或168 cm 2 二、填空题9．如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 都是⊙O 上的点，如果∠COB=70°，则∠D=_____度．第9题图第10题图第11题图 10．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，AO ∥BC ，∠AOB = 50°，则∠OAC 的度数是．11.如图所示，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，A 、B 为切点射线PO 交AB 于点C ，交⊙O 于点D 、E ，则图中相等的角有组，分别是 .12.如图，大、小两圆的圆心均为O 点，半径分别为3、2，且A 点为小圆上的一固定点．若在大圆上找一点B ，使得OA=AB ，则满足上述条件的B 点有个，它们的位置是.第12题图第13题图第14题图13. 如图，⊙O 的半径为6cm ，直线AB 是⊙O 的切线，切点为点B ，弦BC ∥AO ，若∠A ＝30°，则劣弧⌒BC 的长为 cm.14.如图，已知PA 与⊙O 相切，切点为A ，AB ⊥OP ，垂足为B ，若OP=8cm ，OB=2cm ，则△APO 的面积为 . 三、解答题15. 如图，线段AB 经过圆心O ，交⊙O 于点A ，C ，点D 在⊙O 上，连接AD ，BD ，如果∠A ＝∠B ＝30°，求证BD 是⊙O 的切线．16. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，CD ⊥AB 于D ，且AB=8，DB=2. （1）求证：△ABC ∽△CBD;（2）求图中阴影部分的面积（结果精确到0.1，参考数据73.13,14.3≈≈π）.·17.如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB(1)求证：AT是⊙O的切线(2) 连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值18.如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E为AC的中点，连结DE．（1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长；（2）求证：DE是⊙O的切线．19.2014年第10号台风“麦德姆”，是本年度对我国破坏性最大的一次台风，“麦德姆”台风从福建登陆后一路北上，在青岛荣成再次登陆. 如图所示.，某时，台风“麦德姆”的中心在点O沿北偏东200的方向以30km/h的速度移动，在点O北偏西100的方向距离O点360km处有一个小岛B，如果台风中心的最大风力为14级，每远离台风中心20千米风力减弱一级.小岛A的风力达到四级或四级以上，则称其为受台风影响.（1）小岛B是否会受到“麦德姆”台风的影响？（2）如果小岛B会受到“麦德姆”台风的影响，从图示位置开始，最少经过几个小时将会受到影响？（精确到0.1h ）参考答案与解析 1.B 2.C3.B 解析：因为每个扇形的圆心角均为531800 ，则这五个扇形的圆心角之和是5400，即这五个扇形的面积之和等于其中一个圆的360540=23倍，所以它们的面积之和为23·π·12=23π. 方法点拨：本题运用转化的方法求解，即：把五个相等的扇形，通过旋转的方法拼凑成一个圆的23倍，从而把一个计算较为复杂的问题转化为一个计算简单的问题，达到了化繁为简的解题目的.4.解析：因为正三角形的边长的一半、内切圆的半径和外接圆的半径构成一个含30°角的直角三角形，所以r ∶a ∶R=1∶3∶2，故选B.5.C 解析：由AB ＝32OB ，得AB=52OA ，连接OD ，则BC ∥OD ，得OD BC =OA AB =OA OA52=52，所以BC=54.6.C 解析由AB 切圆O 1于B 点，AC 切圆O 2于C 点，得到∠ABO 1=∠ACO 2=90°，由等腰三角形的性质得到∴∠O 1BD=70°，∠O 2CE=60°，所以∠A =1800-∠ABC-∠ACB=130°．方法点拨：因为本题中有两个圆，因此考虑问题时要注意综合运用两个圆中的信息，既在两个圆中分别利用切线的性质定理与等腰三角形的性质，得到∠ABC 与∠ACB 的度数，进而根据根据三角形的内角和定理求得∠A.7.D 解析：连接OB ，OC ，当点P 在⌒CD 上时，∠BPC=21∠BOC=450；当点P 在⌒BC 上时，∠BPC=1800-21∠BOC=1350.易错点拨：本题容易出现的错误是对关键性词语“任意”的含义理解不透，因而不能正确的进行分类讨论而丢解.8.C 解析：因为AB//CD ，所以四边形ABCD 是梯形，梯形的高为AB ，CD 之间的距离.当AB ，CD在点O 的同侧时，AB ，CD 之间的距离为8-6=2cm ，则S 梯形ABCD =21×（12+16）×2=28 cm 2；当AB ，CD 在点O 的异侧时，AB ，CD 之间的距离为8+6=14cm ，则S 梯形ABCD=21×（12+16）×14=196cm 2. 9.55° 10.25°11.5 相等的角是（角的名称不唯一）：∠APO=∠BPO ；∠ABO=∠BAO ；∠AOP=∠BOP ；∠PAO=∠PBO=∠ACP=∠BCP=∠ACO=∠BCO=900；∠PAB=∠PBA. 12.2 以点A 为圆心、OA 为半径的圆与大圆的交点13.2π 解析：连接OB ，OC ，因为BC ∥AO ，∠A ＝30°，所以∠OBC ＝90°-∠A ＝60°，则∠BOC ＝60°，所以⌒BC 的长为180660⋅⋅π=2π. 14.83 解析：根据切线的性质，可知OA ⊥AP ，则∠ABO=∠PAO=900，∠P=∠B AO ，所以△PAB∽△AOB ，得OB AB =AB BP ，解得AB=23，则S △APO =21OP·AB=21×8×23=83. 15.证明：连接OD ，∵OA=OD ，∴∠ADO ＝∠A ＝30°.∵∠A ＝∠B ＝30°，∴∠ADB ＝1800-（∠A+∠B ）＝1200.∴∠BDO=∠BDA-∠ADO=1200-300=900. ∴BD 是⊙O 的切线. 16.解析：（1）观察图形发现∠B 是△ABC 和△CBD 的公共角，因此要证明△ABC ∽△CBD ，只需再找一对角对应相等即可，由于AB 是⊙O 的直径，可得∠ACB=90°，CD ⊥AB 得∠CDB=90°。

6.5 直线与圆的位置关系(同步练习)(解析版)

6.5 直线与圆的位置关系
同步练习
故C 到:3410l x y +-=的距离为22381
234+-=+，
故所求弦长为2223225-=．
故选：C
1．圆()2211x y ++=与直线230x y ++=的位置关系是（）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
【答案】A
【分析】运用几何法d 与r 的关系判断圆与直线位置关系即可.
【详解】圆()2
211x y ++=的圆心为()0,1-，半径为1，所以圆心到直线230x y ++=的距离22351512d -+=
=<+，所以直线与圆的位置关系为相交.
故选：A.
2．直线33
y x =与圆22(1)1x y -+=的位置关系是( ) A ．相交但直线不过圆心 B ．相切
C ．相离
D ．相交且直线过圆心
【答案】A
【分析】要判断圆与直线的位置关系，方法是利用点到直线的距离公式求出圆心到此直线的距离d ，和圆的半径r 比较即可得到此圆与直线的位置关系．
【详解】由圆的方程得到圆心坐标为()1
0，，半径1r =，直线为30x y -=， ∴()1
0，到直线30x y -=的距离112
13d r ==<+， ∴圆与直线的位置关系为相交，又圆心()1
0，不在直线33y x =上，故选：A ．能力进阶。

【精品】各地2018年中考数学试卷精选汇编点直线与圆的位置关系【含答案】

点直线与圆的位置关系一、选择题1．（2018·湖北省武汉·3 分）如图，在⊙O中，点C 在优弧上，将弧沿BC 折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC 的长是（）A．B．C．D．【分析】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB于 E，OF⊥CE于 F，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，则AD=BD= AB=2，于是根据勾股定理可计算出OD=1，再利用折叠的性质可判断弧AC 和弧CD 所在的圆为等圆，则根据圆周角定理得到= ，所以AC=DC，利用等腰三角形的性质得AE=DE=1，接着证明四边形ODEF为正方形得到OF=EF=1，然后计算出CF 后得到CE=BE=3，于是得到BC=3．【解答】解：连接 OD、AC、DC、OB、OC，作CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图，∵D 为 AB 的中点，∴OD⊥AB，∴AD=BD=AB=2，在Rt△OBD中，OD==1，∵将弧沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D．∴弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，∴= ，∴AC=DC，∴AE=DE=1，易得四边形 ODEF 为正方形，∴OF=EF=1，在Rt△OCF中，CF==2，∴CE=CF+EF=2+1=3，而BE=BD+DE=2+1=3，∴BC=3．故选：B．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和垂径定理．2．（2018·山东泰安·3分）如图，BM 与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】连接 OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．【解答】解：如图，连接 OA、OB，∵BM 是⊙O 的切线，∴∠OBM=90°，∵∠MBA=140°，∴∠ABO=50°，∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=50°，∴∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°，故选：A．【点评】本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．3.（2018·山东泰安·3 分）如图，⊙M的半径为2，圆心M 的坐标为（3，4），点P 是⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且PA、PB 与x 轴分别交于A、B 两点，若点A、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】由Rt△APB中AB=2OP 知要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交⊙M于点P′，当点P 位于P′位置时，OP′取得最小值，据此求解可得．【解答】解：∵PA⊥PB，∴∠APB=90°，∵AO=BO，∴AB=2PO，若要使 AB 取得最小值，则 PO 需取得最小值，连接 OM，交⊙M于点 P′，当点 P 位于 P′位置时，OP′取得最小值，过点 M 作MQ⊥x轴于点 Q，则 OQ=3、MQ=4，∴OM=5，又∵MP′=2，∴OP′=3，∴AB=2OP′=6，故选：C．【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出 AB 取得最小值时点P 的位置．4 （2018·四川宜宾·3分）在△ABC中，若O 为 BC 边的中点，则必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2 成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形 DEFG 中，已知 DE=4，EF=3，点 P 在以 DE 为直径的半圆上运动，则PF2+PG2 的最小值为（）A． B．C．34 D．10【考点】M8：点与圆的位置关系；LB：矩形的性质．【分析】设点 M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接 MN，则 MN、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出 NP 的最小值，再利用 PF2+PG2=2PN2+2FN2 即可求出结论．【解答】解：设点 M 为 DE 的中点，点 N 为 FG 的中点，连接 MN 交半圆于点 P，此时 PN 取最小值．∵DE=4，四边形 DEFG 为矩形，∴GF=DE，MN=EF，∴MP=FN=DE=2，∴NP=MN﹣MP=EF﹣MP=1，∴PF2+PG2=2PN2+2FN2=2×12+2×22=10．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN 的最小值是解题的关键．5（2018·台湾·分）如图，I 点为△ABC的内心，D 点在BC 上，且ID⊥BC，若∠B=44°，∠C=56°，则∠ AID的度数为何？（）A．174 B．176 C．178 D．180【分析】连接 CI，利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数，由 I 点为△ABC 的内心，可得出∠CAI、∠ ACI、∠DCI的度数，利用三角形内角和定理可得出∠AIC、∠CID的度数，再由∠AID=∠AIC+∠CID 即可求出∠AID的度数．【解答】解：连接 CI，如图所示．在△ABC 中，∠B=44°，∠ACB=56°，∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠ACB=80°．∵I 点为△ABC 的内心，∴∠CAI=∠BAC=40°，∠ACI=∠DCI=∠ACB=28°，∴∠AIC=180°﹣∠CAI﹣∠ACI=112°，又ID⊥BC，∴∠CID=90°﹣∠DCI=62°，∴∠AID=∠AIC+∠CID=112°+62°=174°．故选：A．【点评】本题考查了三角形的内心、三角形内角和定理以及角平分线的性质，根据三角形内心的性质结合三角形内角和定理求出∠AIC、∠CID 的度数是解题的关键．6（2018·浙江舟山·3分）用反证法证明时，假设结论“点在圆外”不成立，那么点与圆的位置关系只能是（）A.点在圆内B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内【考点】点与圆的位置关系，反证法【分析】运用反证法证明，第一步就要假设结论不成立，即结论的反面，要考虑到反面所有的情况。

中考数学真题分类汇编点直线与圆的位置关系试题精选及解析

点直线与圆的位置关系一.选择题1．（2018·重庆市B卷）（4.00分）如图，△ABC中，∠A=30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD=2，则线段CD的长是（）A．2 B．C．D．【分析】连接OD，得Rt△OAD，由∠A=30°，AD=2，可求出OD.AO的长；由BD平分∠ABC，OB=OD可得OD 与BC间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论．【解答】解：连接OD∵OD是⊙O的半径，AC是⊙O的切线，点D是切点，∴OD⊥AC在Rt△AOD中，∵∠A=30°，AD=2，∴OD=OB=2，AO=4，∴∠ODB=∠OBD，又∵BD平分∠ABC，∴∠OBD=∠CBD∴∠ODB=∠CBD∴OD∥CB，∴即∴CD=．故选：B．【点评】本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC的长，再求CD．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．2. （2018•广安•3分）下列命题中：①如果a＞b，那么a2＞b2②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1其中真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】直接利用切线长定理以及平行四边形的判定和一元二次方程根的判别式分别判断得出答案．【解答】解：①如果a＞b，那么a2＞b2，错误；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，错误；③从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，正确；④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根，则a的取值范围是a≤1且a≠0，故此选项错误．故选：A．【点评】此题主要考查了命题与定理，正确把握相关性质是解题关键．3.（2018·江苏常州·2分）如图，AB是⊙O的直径，MN是⊙O的切线，切点为N，如果∠MNB=52°，则∠NOA的度数为（）A．76° B．56° C．54° D．52°【分析】先利用切线的性质得∠ONM=90°，则可计算出∠ONB=38°，再利用等腰三角形的性质得到∠B=∠ONB=38°，然后根据圆周角定理得∠NOA的度数．【解答】解：∵MN是⊙O的切线，∴ON⊥NM，∴∠ONM=90°，∴∠ONB=90°﹣∠MNB=90°﹣52°=38°，∵ON=OB，∴∠B=∠ONB=38°，∴∠NOA=2∠B=76°．故选：A．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．二.填空题1.（2018·浙江省台州·5分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=26 度．【分析】连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．【解答】解：连接OC，由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD，∴∠D=90°﹣∠COD=26°，故答案为：26．【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．三.解答题1. （2018·广西贺州·10分）如图，AB是⊙O的弦，过AB的中点E作EC⊥OA，垂足为C，过点B作直线BD交CE的延长线于点D，使得DB=DE．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若AB=12，DB=5，求△AOB的面积．【解答】（1）证明：∵OA=OB，DB=DE，∴∠A=∠OBA，∠DEB=∠DBE，∵EC⊥OA，∠DEB=∠AEC，∴∠A+∠DEB=90°，∴∠OBA+∠DBE=90°，∴∠OBD=90°，∵OB是圆的半径，∴BD是⊙O的切线；（2）过点D作DF⊥AB于点F，连接OE，∵点E是AB的中点，AB=12，∴AE=EB=6，OE⊥AB，又∵DE=DB，DF⊥BE，DB=5，DB=DE，∴EF=BF=3，∴DF==4，∵∠AEC=∠DEF，∴∠A=∠EDF，∵OE⊥AB，DF⊥AB，∴∠AEO=∠DFE=90°，∴△AEO∽△DFE，∴，即，得EO=4.5，∴△AOB的面积是：=27．2. （2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E．（1）求证：△ABE∽△BCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度．【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线∴∠ABC=90°∵DC⊥BC∴∠BCD=90°∴∠ABC=∠BCD∵AB是⊙M的直径∴∠AGB=90°即：BG⊥AE∴∠CBD=∠A∴△ABE∽△BCD（2）解：过点G作GH⊥BC于H∵MB=BE=1∴AB=2∴AE=由（1）根据面积法AB•BE=BG•AE∴BG=由勾股定理：AG=，GE=∵GH∥AB∴∴∴GH=又∵GH∥AB①同理：②①+②，得∴∴CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似．解答时，注意根据条件构造相似三角形．3. （2018·湖北江汉·8分）如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．（1）判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．【分析】（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME﹣EF即可．【解答】解：（1）CM与⊙O相切．理由如下：连接OC，如图，∵GD⊥AO于点D，∴∠G+∠GBD=90°，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵M点为GE的中点，∴MC=MG=ME，∴∠G=∠1，∵OB=OC，∴∠B=∠2，∴∠1+∠2=90°，∴∠OCM=90°，∴OC⊥CM，∴CM为⊙O的切线；（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，∴∠1=∠5，而∠1=∠G，∠5=∠A，∴∠G=∠A，∵∠4=2∠A，∴∠4=2∠G，而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，∴∠EMC=∠4，而∠FEC=∠CEM，∴△EFC∽△ECM，∴==，即==，∴CE=4，EF=，∴MF=ME﹣EF=6﹣=．4. （2018·湖北十堰·8分）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型．5.（2018·四川省攀枝花）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC.AC交于点D.E，过点D作DF⊥AC于点F．（1）若⊙O的半径为3，∠CDF=15°，求阴影部分的面积；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）求证：∠EDF=∠DAC．（1）解：连接OE，过O作OM⊥AC于M，则∠AMO=90°．∵DF⊥AC，∴∠DFC=90°．∵∠FDC=15°，∴∠C=180°﹣90°﹣15°=75°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=75°，∴∠BAC=180°﹣∠ABC∠C=30°，∴OM=OA==，AM=OM=．∵OA=OE，OM⊥AC，∴AE=2AM=3，∴∠BAC=∠AEO=30°，∴∠AOE=180°﹣30°﹣30°=120°，∴阴影部分的面积S=S扇形AOE﹣S△AOE=﹣=3π﹣；（2）证明：连接OD，∵AB=AC，OB=OD，∴∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，∴∠ODB=∠C，∴AC∥OD．∵DF⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD过O，∴DF是⊙O的切线；（3）证明：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴BE⊥AC．∵DF⊥AC，∴BE∥DF，∴∠FDC=∠EBC．∵∠EBC=∠DAC，∴∠FDC=∠DAC．∵A.B.D.E四点共圆，∴∠DEF=∠ABC．∵∠ABC=∠C，∴∠DEC=∠C．∵DF⊥AC，∴∠EDF=∠FDC，∴∠EDF=∠DAC．6.（2018·云南省昆明·8分）如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，∠AC平分∠BAD，连接BF．（1）求证：AD⊥ED；（2）若CD=4，AF=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；（2）OC交BF于H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH=CD=4，∠CHF=90°，利用垂径定理得到BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2，∵OA=OC，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OC∥AD，∵ED切⊙O于点C，∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；（2）解：OC交BF于H，如图，∵AB为直径，∴∠AFB=90°，易得四边形CDFH为矩形，∴FH=CD=4，∠CHF=90°，∴OH⊥BF，∴BH=FH=4，∴BF=8，在Rt△ABF中，AB===2，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．7.（2018·云南省曲靖）如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，将弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，连接OC，CD，BD，过点C的切线与线段BA的延长线交于点P，连接AD，在PB的另一侧作∠MPB=∠ADC．（1）判断PM与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PC=，求四边形OCDB的面积．【解答】解：（1）PM与⊙O相切．理由如下：连接DO并延长交PM于E，如图，∵弧BC沿直线BC翻折，使弧BC的中点D恰好与圆心O重合，∴OC=DC，BO=BD，∴OC=DC=BO=BD，∴四边形OBDC为菱形，∴OD⊥BC，∴△OCD和△OBD都是等边三角形，∴∠COD=∠BOD=60°，∴∠COP=∠EOP=60°，∵∠MPB=∠ADC，而∠ADC=∠ABC，∴∠ABC=∠MPB，∴PM∥BC，∴OE⊥PM，∴OE=OP，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴OC=OP，∴OE=OC，而OE⊥PC，∴PM是⊙O的切线；（2）在Rt△OPC中，OC=PC=×=1，∴四边形OCDB的面积=2S△OCD=2××12=．8.（2018·云南省·9分）如图，已知AB是⊙O上的点，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，易证∠BCD=∠OCA，由于AB是直径，所以∠ACB=90°，所以∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°，CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，AB=2r，由于∠D=30°，∠OCD=90°，所以可求出r=2，∠AOC=120°，BC=2，由勾股定理可知：AC=2，分别计算△OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出影响部分面积【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∵∠BCD=∠BAC，∴∠BCD=∠OCA，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°∴∠OCD=90°∵OC是半径，∴CD是⊙O的切线（2）设⊙O的半径为r，∴AB=2r，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴OD=2r，∠COB=60°∴r+2=2r，∴r=2，∠AOC=120°∴BC=2，∴由勾股定理可知：AC=2易求S△AOC=×2×1=S扇形OAC==∴阴影部分面积为﹣【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆的切线判定，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的性质等知识，需要学生灵活运用所学知识．9．（2018·辽宁省沈阳市）（10.00分）如图，BE是O的直径，点A和点D是⊙O上的两点，过点A作⊙O的切线交BE延长线于点．（1）若∠ADE=25°，求∠C的度数；（2）若AB=AC，CE=2，求⊙O半径的长．【分析】（1）连接OA，利用切线的性质和角之间的关系解答即可；（2）根据直角三角形的性质解答即可．【解答】解：（1）连接OA，∵AC是⊙O的切线，OA是⊙O的半径，∴OA⊥AC，∴∠OAC=90°，∵，∠ADE=25°，∴∠AOE=2∠ADE=50°，∴∠C=90°﹣∠AOE=90°﹣50°=40°；（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵，∴∠AOC=2∠B，∴∠AOC=2∠C，∵∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，∴OA=OC，设⊙O的半径为r，∵CE=2，∴r=，解得：r=2，∴⊙O的半径为2．【点评】此题考查切线的性质，关键是根据切线的性质进行解答．10．（2018·辽宁省盘锦市）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在线段AB上，以AD为直径的⊙O与BC相交于点E，与AC相交于点F，∠B=∠BAE=30°．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AC=3，求⊙O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A.O、E.F为顶点的四边形为哪种特殊四边形，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，连接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA．∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠AOE=∠BAE+∠OEA=60°．在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°﹣∠B﹣∠BOE=90°，∴OE⊥BC．∵点E在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）如图2\1∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°．在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=，∴AE===2，连接DE\1AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°．在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=，∴AD===4，∴⊙O的半径r=AD=2；（3）以A.O、E.F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3．在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，连接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等边三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，连接EF，OE，∴OE=OF．∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE﹣∠AOF=60°．∵OE=OF，∴△OEF是等边三角形，∴OE=EF．∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四边形OAFE是菱形．11.（2018·辽宁省葫芦岛市) 如图，AB是⊙O的直径， =，E是OB的中点，连接CE并延长到点F，使EF=CE．连接AF交⊙O于点D，连接BD，BF．（1）求证：直线BF是⊙O的切线；（2）若OB=2，求BD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵AB是⊙O的直径， =，∴∠BOC=90°．∵E是OB的中点，∴OE=BE．在△OCE和△BFE中．∵，∴△OCE≌△BFE（SAS），∴∠OBF=∠COE=90°，∴直线BF是⊙O的切线；（2）解：∵OB=OC=2，由（1）得：△OCE≌△BFE，∴BF=OC=2，∴AF===2，∴S△ABF=，4×2=2•BD，∴BD=．12．（2018·辽宁省抚顺市）（12.00分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O，点D为⊙O上一点，且CD=CB.连接DO并延长交CB的延长线于点E．（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若BE=4，DE=8，求AC的长．【分析】（1）欲证明CD是切线，只要证明OD⊥CD，利用全等三角形的性质即可证明；（2）设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，根据OE2=EB2+OB2，可得（8﹣r）2=r2+42，推出r=3，由tan∠E==，推出=，可得CD=BC=6，再利用勾股定理即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OC．∵CB=CD，CO=CO，OB=OD，∴△OCB≌△OCD，∴∠ODC=∠OBC=90°，∴OD⊥DC，∴DC是⊙O的切线．（2）解：设⊙O的半径为r．在Rt△OBE中，∵OE2=EB2+OB2，∴（8﹣r）2=r2+42，∴r=3，∵tan∠E==，∴=，∴CD=BC=6，在Rt△ABC中，AC===6．【点评】本题考查直线与圆的位置关系、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．13. （2018•呼和浩特•10分）如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC 与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且=．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．（1）证明：连接OD.OP、CD．∵=，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切线．（2）连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵==，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴==，∴点P是BC的中点，∴BP=CP=DP=6，∵MC是⊙O的直径，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴=，即=，∴MD=2，∴==．14. （2018•乐山•10分）如图，P是⊙O外的一点，PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．（1）求证：AC∥PO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．（1）证明：∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴PA=PB，且PO平分∠BPA，∴PO⊥AB．∵BC是直径，∴∠CAB=90°，∴AC⊥AB，∴AC∥PO；（2）解：连结OA.DF，如图，∵PA.PB是⊙O的两条切线，A.B是切点，∴∠OAQ=∠PBQ=90°．在Rt△OAQ中，OA=OC=3，∴OQ=5．由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，∴PA=PB=6．∵OP⊥AB，∴BF=AF=AB．又∵D为PB的中点，∴DF∥AP，DF=PA=3，∴△DFE∽△QEA，∴ ==，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，∴ ==．15. （2018•广安•9分）如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D．（1）求证：∠PCA=∠ABC．（2）过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若cos∠P=，CF=10，求BE 的长【分析】（1）连接半径OC，根据切线的性质得：OC⊥PC，由圆周角定理得：∠ACB=90°，所以∠PCA=∠OCB，再由同圆的半径相等可得：∠OCB=∠ABC，从而得结论；（2）本题介绍两种解法：方法一：先证明∠CAF=∠ACF，则AF=CF=10，根据cos∠P=cos∠FAD=，可得AD=8，FD=6，得CD=CF+FD=16，设OC=r，OD=r﹣8，根据勾股定理列方程可得r的值，再由三角函数cos ∠EAB=，可得AE的长，从而计算BE的长；方法二：根据平行线的性质得：OC⊥AE，∠P=∠EAO，由垂直的定义得：∠OCD=∠EAO=∠P，同理利用三角函数求得：CH=8，并设AO=5x，AH=4x，表示OH=3x，OC=3x﹣8，由OC=OA列式可得x的值，最后同理得结论．【解答】证明：（1）连接OC，交AE于H，∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，（1分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，（2分）∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA=∠OCB，（3分）∵OC=OB，∴∠OCB=∠ABC，∴∠PCA=∠ABC；（4分）（2）方法一：∵AE∥PC，∴∠CAF=∠PCA，∵AB⊥CG，∴，∴∠ACF=∠ABC，（5分）∵∠ABC=∠PCA，∴∠CAF=∠ACF，∴AF=CF=10，（6分）∵AE∥PC，∴∠P=∠FAD，∴cos∠P=cos∠FAD=，在Rt△AFD中，cos∠FAD=，AF=10，∴AD=8，（7分）∴FD==6，∴CD=CF+FD=16，在Rt△OCD中，设OC=r，OD=r﹣8，r2=（r﹣8）2+162，r=20，∴AB=2r=40，（8分）∵AB是直径，∴∠AEB=90°，在Rt△AEB中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）方法二：∵AE∥PC，OC⊥PC，∴OC⊥AE，∠P=∠EAO，（5分），∴∠EAO+∠COA=90°，∵AB⊥CG，∴∠OCD+∠COA=90°，∴∠OCD=∠EAO=∠P，（6分）在Rt△CFH中，cos∠HCF=，CF=10，∴CH=8，（7分）在Rt△OHA中，cos∠OAH=，设AO=5x，AH=4x，∴OH=3x，OC=3x+8，由OC=OA得：3x+8=5x，x=4，∴AO=20，∴AB=40，（8分）在Rt△ABE中，cos∠EAB=，AB=40，∴AE=32，∴BE==24．（9分）【点评】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，连接OC构造直角三角形是解题的关键．16. （2018•莱芜•10分）如图，已知A.B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OC，如图，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O 的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r﹣9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．【解答】（1）证明：连接OC，如图，∵BC平分∠OBD，∴∠OBD=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）解：连接OE交AB于H，如图，∵E为的中点，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=，∴在Rt△BEH中，tan∠HBE==设EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，设⊙O的半径为r，则OH=r﹣9，在Rt△OHB中，（r﹣9）2+122=r2，解得r=，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．也考查了圆周角定理、垂径定理和解直角三角形．19. （2018•陕西•10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC.BC相交于点M、N．(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；(2)连接MD，求证：MD＝NB．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）如图，连接ON，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得AD＝CD ＝DB，从而可得∠DCB＝∠DBC，再由∠DCB＝∠ONC，可推导得出ON∥AB，再结合NE是⊙O 的切线，ON//AB，继而可得到结论；（2）如图，由（1）可知ON∥AB，继而可得N为BC中点，根据圆周角定理可知∠CMD＝90°，继而可得MD∥CB，再由D是AB的中点，根据得到MD＝NB．【详解】（1）如图，连接ON，∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD＝CD＝DB，∴∠DCB＝∠DBC，又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，∴∠ONC＝∠DBC，∴ON∥AB，∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，∴∠ONE＝90°，∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，∵OC＝OD，∴∴CN＝NB＝CB，又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，∴MD＝NB．【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.20. （2018·湖北咸宁·10分）如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=25，BC=，求DE的长．【答案】（1）证明见解析；（2）DE=．【解析】【分析】（1）直接利用圆周角定理以及结合切线的判定方法得出DE是⊙O的切线；（2）首先过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，得出tan∠CEG=tan∠ACB，，即可求出答案．【详解】（1）如图，连接OD，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC=90°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=45°，∴∠AOD=90°，∵DE∥AC，∴∠ODE=∠AOD=90°，∴DE是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，AB=2，BC=，∴AC==5，∴OD=，过点C作CG⊥DE，垂足为G，则四边形ODGC为正方形，∴DG=CG=OD=，∵DE∥AC，∴∠CEG=∠ACB，∴tan∠CEG=tan∠ACB，∴，即，解得：GE=，∴DE=DG+GE=．【点睛】本题考查了切线的判定、正方形的判定与性质、解直角三角形的应用等，正确添加辅助线、熟练掌握和应用切线的判定、三角函数的应用等是解题的关键.21.（2018·辽宁大连·10分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，点E在BC的延长线上，且∠DEC=∠BAC．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AC∥DE，当AB=8，CE=2时，求AC的长．解：（1）如图，连接BD．∵∠BAD=90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠DEC+∠CDE=90°．∵∠DEC=∠BAC，∴∠BAC+∠CDE=90°．∵∠BAC=∠BDC，∴∠BDC+∠CDE=90°，∴∠BDE=90°，即：BD⊥DE．∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵DE∥AC．∵∠BDE=90°，∴∠BFC=90°，∴CB=AB=8，AF=CF=AC．∵∠CDE+∠BDC=90°，∠BDC+∠CBD=90°，∴∠CDE=∠CBD．∵∠DCE=∠BCD=90°，∴△BCD∽△DCE，∴，∴，∴CD=4．在Rt△BCD中，BD==4同理：△CFD∽△BCD，∴，∴，∴CF=，∴AC=2AF=．22.（2018·吉林长春·7分）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，BC交⊙O于点D．已知⊙O的半径为6，∠C=40°．（1）求∠B的度数．（2）求的长．（结果保留π）【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．【解答】解：（1）∵AC切⊙O于点A，∠BAC=90°，∵∠C=40°，∴∠B=50°；（2）连接OD，∵∠B=50°，∴∠AOD=2∠B=100°，∴的长为=π．【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等知识点能熟练地运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．23.（2018·江苏镇江·8分）如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，点P 在边AD上运动，以P为圆心，PA为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．（1）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；（2）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若公共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围＜AP＜或AP=5 ．【解答】解：（1）如图2所示，连接PF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，设AP=x，则DP=10﹣x，PF=x，∵⊙P与边CD相切于点F，∴PF⊥CD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∵AB⊥AC，∴AC⊥CD，∴AC∥PF，∴△DPF∽△DAC，∴，∴，∴x=，AP=；（2）当⊙P与BC相切时，设切点为G，如图3，S▱ABCD==10PG，PG=，①当⊙P与边AD.CD 分别有两个公共点时，＜AP ＜，即此时⊙P与平行四边形ABCD 的边的公共点的个数为4，②⊙P过点A.C.D三点．，如图4，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，此时AP=5，综上所述，AP 的值的取值范围是：＜AP ＜或AP=5．故答案为：＜AP ＜或AP=5．第31 页共31 页。

重庆市2018年中考数学一轮复习第六章圆第2节点直线与圆的位置关系练习册201804131134

第2节点、直线与圆的位置关系(建议答题时间：20分钟)1. (2018原创)直线l与半径为r的圆O相交，且点O到直线l的距离为4，则r的取值范围是()A. r＜4B. r＝4C. r＞4D. r≥42．一个点到圆的最小距离为6 cm，最大距离为9 cm，则该圆的半径是()A. 1.5 cmB. 7.5 cmC. 1.5 cm或7.5 cmD. 3 cm或15 cm3. (2017广州)如图⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的()A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点C. 三条中线的交点D. 三条高的交点第3题图第4题图4．(2017自贡)AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于()A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°5．(2017吉林)如图，直线l是⊙O的切线，A为切点，B为直线l上一点，连接OB交⊙O于点C，若AB＝12，OA＝5，则BC的长为()A. 5B. 6C. 7D. 8第5题图第6题图︵6．如图，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，点C在优弧ACB上，∠P＝80°，则∠C的度数为() A. 50° B. 60° C. 70° D. 80°7．(2017泰安)如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于()A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°第7题图第8题图8．(2017无锡)如图，菱形ABCD的边AB＝20，面积为320，∠BAD<90°，⊙O与边AB、AD都相切，AO＝10，则⊙O的半径长等于()A. 5B. 6C. 2 5D. 3 29. (2017杭州)如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．若∠ABT＝40°，则∠ATB＝________.第9题图第10题图10．(2017宁夏)如图，点A、B、C均在6×6的正方形网格格点上，过A、B、C三点的外接圆除经过A、B、C三点外还能经过的格点数为________．11．(2017重庆一中一模)如图，AB是⊙O的直径，点M在⊙O上，且不与A、B两点重合，过点M的切线交AB的延长线于点C，连接AM，若∠MAO＝27°，则∠C的度数是________度．第11题图第12题图12．如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切于点A，CO交⊙O于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD ＝________.13．(2017重庆巴蜀期末考试)如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，∠CDB＝20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于________．第13题图第14题图14．(2017徐州)如图，AB与⊙O相切于点B，线段OA与弦BC垂直，垂足为D，AB＝BC＝2，则∠AOB＝________°.答案1. D2. C【解析】分为两种情况：①当点P在圆内时，最近点的距离为6 cm，最远点的距离为9 cm，则直径是15 cm，因而半径是7.5cm；②当点P在圆外时，最近点的距离为6 cm，最远点的距离为9 cm，则直径是3 cm，因而半径是1.5 cm.3. B4. B【解析】∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴OA⊥PA，即∠PAO＝90°，∵∠P＝140°，∴∠POA＝90°－∠P＝50°，∴∠B＝∠POA＝25°.25. D【解析】∵AB切⊙O于A，∴∠OAB＝90°.根据勾股定理可求：OB＝OA2＋AB2＝52＋122＝13，∴BC＝OB－OC＝13－5＝8.6. A【解析】如解图，分别连接OA、OB，∵PA是圆的切线．∴∠OAP＝90°，同理∠OBP＝90°，根据四边形内角和定理可得：∠AOB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠P＝360°－90°－90°1－80°＝100°，∴∠C＝∠AOB＝50°.2第6题解图7.A【解析】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠MDC＝∠ABC＝55°，如解图①，连接OC，∵MC是⊙O的切线，∴OC⊥MC，∵AM⊥MC，∴AM∥OC，∴∠MAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA，∴∠MAC＝∠BAC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝55°，∴∠BAC＝35°，∴∠CAM＝35°，∵∠CDM是△ADC的外角，∴∠CDM＝∠DAC＋∠ACD，∴∠ACD＝∠CDM－∠DAC＝55°－35°＝20°.第7题解图【一题多解】如解图②，连接OC、BD，∵CM是⊙O的切线，∴OC⊥MC，∵AM⊥MC，∴AM∥OC，∴∠MAC＝∠OCA，∵OC＝OA，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠MAC＝∠BAC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝55°，∴∠BAC＝35°，∴∠BAD＝70°，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ABD＝20°，∴∠ACD＝∠ABD＝20°.8. C【解析】如解图，连接OC，则A、O、C在一条直线上，作OE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，连接BD交AC于点G，∵AB×DF＝320，AB＝20，∴DF＝16，∴在Rt△ADF中，AF＝AD2－DF2＝AB2－DF2＝12，∴BF＝8，∴BD＝8 5，∴BG＝4 5.∵△AOE∽△ABG，∴OA∶AB＝OE∶BG＝11∶2，∴OE＝BG＝2 5.2第8题解图9. 50°10.5【解析】如解图，连接AB、BC，先作AC，AB边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心O，再作圆，由解图可知，格点与圆相交的有8个点，除A，B，C三点外，还有5个点．第10题解图11. 36【解析】如解图，连接OM，∵CM为⊙O的切线，∴OM⊥CM于点M，∴∠OMC＝90°，∵OM＝OA，∴∠OMA＝∠MAO＝27°，∴∠MOC＝2×27°＝54°，∴∠C＝90°－54°＝36°.第11题解图12. 120°13. 50°【解析】如解图，连接OC，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE于点C，∴∠OCE＝190°，∵∠D＝∠COE，∠D＝20°，∴∠COE＝40°，∴∠E＝90°－40°＝50°.2第13题解图114. 60【解析】∵OD⊥BC，BC＝2，∴BD＝BC＝1.在Rt△ABD中，AB＝2，BD＝1，∴∠A＝。

中考数学一轮复习第六章圆第二节直线与圆的位置关系同步测试题及答案.doc

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】第二节直线与圆的位置关系姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是( )A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2．(2017·四川自贡中考)AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连结BC，若∠P＝40°，则∠B等于( )A．20° B．25° C．30° D．40°3. (2017·广西百色中考)以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b 的取值范围是( )A．0≤b<2 2 B．－22≤b≤2 2C．－23<b<2 3 D．－22<b<2 24．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E.已知∠A＝30°，则sin∠E的值为( )A.12B.22C.32D.335．(2017·浙江衢州中考)如图，在直角坐标系中，⊙A的圆心A的坐标为(－1，0)，半径为1，点P为直线y＝－x＋3上的动点，过点P作⊙A的切线，切点为Q，则切线长PQ的最小值是________.6．如图，已知⊙O 是以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设点P(x ，0)，则x 的取值范围是____________________.7．如图，给定一个半径长为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM ＝d.我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m.如d ＝0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m ＝4，由此可知：(1)当d ＝3时，m ＝______.(2)当m ＝2时，d 的取值范围是______________．8．(2017·山东济宁中考)如图，已知⊙O 的直径AB ＝12，弦AC ＝10，D 是BC ︵的中点，过点D 作DE⊥AC 交AC 的延长线于点E.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．9．(2017·浙江丽水中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A＝∠ADE；(2)若AD ＝16，DE ＝10，求BC 的长．10．(2017·湖北武汉中考)已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为( ) A.32B.32C. 3D ．2 311．(2016·湖北鄂州中考)如图所示，AB 是⊙O 的直径，AM ，BN 是⊙O 的两条切线，D ，C 分别在AM ，BN 上，DC 切⊙O 于点E.连结OD ，OC ，BE ，AE ，BE 与OC 相交于点P ，AE 与OD 相交于点Q ，已知AD ＝4，BC ＝9.以下结论：①⊙O 的半径为132；②OD∥BE；③PB＝181313；④tan ∠CEP＝23.其中正确结论有( )A．1个B．2个 C．3个 D．4个12．△ABC的内切圆的三个切点分别为D，E，F，∠A＝75°，∠B＝45°，则圆心角∠EOF＝__________度.13．如图是一块△ABC余料，已知AB＝20 cm，BC＝7 cm，AC＝15 cm，现将余料裁剪成一个圆形材料，则该圆的最大面积是________cm2.14．(2017·四川泸州中考)如图，⊙O与Rt△ABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点C，D；与边BC相交于点F，OA与CD相交于点E，连结FE并延长交AC边于点G.(1)求证：DF∥AO.(2)若AC＝6，AB＝10，求CG的长．15．(2018·湖北鄂州中考)如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点为A，B，AC是⊙O的直径，OP与AB相交于点D，连结BC.下列结论：①∠A PB＝2∠BAC；②OP∥BC；③若tan C＝3，则OP＝5BC；④AC2＝4OD·OP.其中正确的个数为( )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个16．如图，已知l1⊥l2，⊙O与l1，l2都相切，⊙O的半径为2 cm，矩形ABCD的边AD，AB分别与l1，l2重合，AB＝4 3 cm.AD＝4 cm.若⊙O与矩形ABCD沿l1同时向右移动，⊙O的移动速度为3 cm/s，矩形ABCD 的移动速度为4 cm/s，设移动时间为t(s)．(1)如图1，连结OA，AC，则∠OAC的度数为________；(2)如图2，两个图形移动一段时间后，⊙O到达⊙O1的位置，矩形ABCD到达A1B1C1D1的位置，此时点O1，A1，C1恰好在同一直线上，求圆心O移动的距离(即OO1的长)；(3)在移动过程中，圆心O到矩形对角线AC所在直线的距离在不断变化，设该距离为d(cm)，当d<2时，求t的取值范围(解答时可以利用备用图画出相关示意图)．参考答案【基础训练】 1．A 2.B 3.D 4.A5.76.－2≤x≤2且x≠0 7．(1)1 (2)1<d<3 8．解：(1)如图，连结OD. ∵D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝12BC ︵，∴∠BOD＝∠BAE，∴OD∥AE. ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°. ∴∠ODE＝90°.∴OD⊥DE. ∴DE 是⊙O 的切线．(2)如图，过点O 作O F⊥AC 于点F. ∵AC＝10，∴AF＝CF ＝12AC ＝12×10＝5.∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°， ∴四边形OFED 是矩形，∴FE＝OD ＝12AB.∵A B ＝12，∴FE＝6，∴AE＝AF ＋FE ＝5＋6＝11. 9．(1)证明：如图，连结OD. ∵DE 是⊙O 的切线，∴∠ODE＝90°， ∴∠ADE＋∠BDO＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°. ∵OD＝OB ，∴∠B＝∠BDO， ∴∠ADE＝∠A.(2)解：如图，连结CD.∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE.∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴DE＝EC，∴AE＝EC.∵DE＝10，∴AC＝2DE＝20.在Rt△ADC中，DC＝AC2－AD2＝12.设BD＝x.在Rt△BDC中，BC2＝x2＋122，在Rt△ABC中，BC2＝(x＋16)2－202，∴x2＋122＝(x＋16)2－202，解得x＝9，∴BC＝122＋92＝15.【拔高训练】10．C 11.B 12.120 13.4π14．(1)证明：∵AB与⊙O相切于点D，∴∠BCD＝∠BDF.又∵AC与⊙O相切于点C，由切线长定理得AC＝AD，∴CD⊥AO，∴∠BCD＝∠CAO＝∠DAO，∴∠DAO＝∠BDF，∴DF∥AO.(2)解：如图，过点E作EM⊥OC于点M.∵AC＝6，AB＝10，∴BC＝AB2－AC2＝8.∵AD＝AC＝6，∴BD＝AB－AD＝4，∴由△BDF∽△BCD 得BD 2＝BF·BC，解得BF ＝2， ∴FC＝BC －BF ＝6，OC ＝12FC ＝3，∴OA＝AC 2＋CO 2＝3 5.由△OCE∽△OAC 得OC 2＝OE·OA，解得OE ＝355.∴EM AC ＝OM OC ＝OE OA ＝15，解得OM ＝35，EM ＝65，FM ＝185.又∵EM GC ＝FM FC ＝35，∴CG＝53EM ＝2.【培优训练】 15．A16．解：(1)105°(2)如图位置二，当O 1，A 1，C 1恰好在同一直线上时，设⊙O 1与l 1的切点为E. 连结O 1E ，可得O 1E ＝2，O 1E⊥l 1. 在Rt△A 1D 1C 1中，∵A 1D 1＝4，C 1D 1＝43， ∴tan∠C 1A 1D 1＝3，∴∠C 1A 1D 1＝60°. 在Rt△A 1O 1E 中，∠O 1A 1E ＝∠C 1A 1D 1＝60°， ∴A 1E ＝2tan 60°＝233.∵A 1E ＝AA 1－OO 1－2＝4t －3t －2＝t －2， ∴t－2＝233，∴t＝233＋2，∴OO 1＝3t ＝23＋6.(3)①当直线AC 与⊙O 第一次相切时，设移动时间为t 1(s)，如图位置一，此时⊙O 移动到⊙O 2的位置，矩形ABCD 移动到A 2B 2C 2D 2的位置．设⊙O 2与直线l 1，A 2C 2分别相切于点F ，G ，连结O 2F ，O 2G ，O 2A 2，则O 2F⊥l 1，O 2G⊥A 2C 2. 由(2)得∠C 2A 2D 2＝60°， ∴∠GA 2F ＝120°， ∴∠O 2A 2F ＝60°. 在Rt△A 2O 2F 中， ∵O 2F ＝2，∴A 2F ＝233.∵OO 2＝3t 1，AF ＝AA 2＋A 2F ＝4t 1＋233，∴4t 1＋233－3t 1＝2，∴t 1＝2－233.②当直线AC 与⊙O 第二次相切时，设移动时间为t 2(s)，如图位置三，由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴t－t 1＝t 2－t ，即(233＋2)－(2－233)＝t 2－(233＋2)，解得t 2＝2＋2 3.综上所述，当d<2时，t 的取值范围是2－233<t<2＋2 3.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

2018届中考数学复习专题33 直线与圆的位置关系试题(b卷,含解析)

直线与圆的位置关系一、选择题1. （湖北省荆州市，6，3分）如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA 、PB ，切点分别是A 、B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC 上不与点A 、点C 重合的一个动点，连接AD 、CD ．若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是（）PA ．15°B ．20°C ．25°D ．30°切线长定理，圆心角、圆周角定理，切线的判定与性质【答案】C【逐步提示】本题考查了切线长定理，圆心角、圆周角定理，切线的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．【详细解答】解：因为PA 、PB 是⊙O 的两条切线，由切线长定理得∠AP0＝∠0PB ＝40°,连接OA ，则∠0AP ＝90°，所以∠A0P ＝90°-40°＝50°，最后由圆周角定理得∠ADC ＝12∠A0P ＝25°，故选择C . 【解后反思】解决与圆的切线有关的角度和长度的相关计算时，一般先连接半径构造直角三角形，利用切线长定理结合圆周角和圆心角有关性质求解角度，利用切线长定理结合垂径定理、直径所对的圆周角是直角等知识构造方程求解长度．在和圆的切线有关的问题中，一般需要连接圆心和切点．【关键词】切线长定理；圆周角定理；切线的判定与性质2. （湖南湘西，18，4分）在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3cm ，AC =4cm ，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙O 与直线AB 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定【答案】A【逐步提示】本题考查了直线与圆的位置关系，解此题的关键是求出直角三角形斜边上的高.根据题中的已知条件，可以求出直角三角形的斜边，因而能用面积法求出该直角三角形斜边上的高，即圆心到直线的距离d ，再比较d 和圆的半径r 之间的数量关系确定直线与圆的位置关系．【详细解答】解：∵∠C =90°，BC =3cm ，AC =4cm ，∴AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，则CD ＝512=∙AB BC AC ，即d ＝2.4，∵⊙O 的半径r= 2.5，∴d ＜r ，⊙O 与直线AB 的位置关系是相交，故选择A .【解后反思】此类问题容易出错的地方是未掌握直线和圆之间的位置关系的定理而选错答案．B第8题答图【关键词】直线和圆的位置关系3. （江苏省南京市，5，2分）已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A ．1B ．．2 D ．【答案】B 【逐步提示】本题考查了正六边形的内切圆的性质，解题的关键是正确运用正六边形的内角和与内切圆的性质．如图，作出正六边形的内切圆，连接AO ，BO ，则得到等边△ABC ，进而得到内切圆的半径．【详细解答】解：如图，作出正六边形的内切圆切AF 与点G ，连接AO ，BO ，OG ，所以∠AOB=60°，因为正六边形的内心也是外心，所以OA=OB ，则得到等边△ABO ，所以OA=AB=2；而在Rt △AGO 中，∠GAO =60°，所以OG=2B ．【解后反思】这里提供另外一个解法．作出正六边形的内切圆，连接AC ，因为六边形的内角和为720°，每个内角都是120°，加上AB=BC ，所以得到顶角为120°的等腰△ABC ，AC 与内切圆的直径相等，所以内切圆的直径就是B ．另外，正n 边形的内角=n n ︒⋅-180)2(=180°－n︒360；正n边形的外角=n ︒360；正n 边形的中心角=n︒360；正六边形的边长等于外接圆的半径，正三角形的边长等于其外接圆的半径的3倍，正方形的边长等于外接圆的半径的2倍．【关键词】圆；与圆有关的位置关系；正多边形与圆的位置关系；4. （山东省德州市，11，3分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.书中有下列问题“今有勾八步，股十五步.问勾中容圆径几何 ?”其意思是今有直角三角形，勾〔短直角边)长为8步，股(长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆）直径是多少?” A ．3步 B.5步 C.6步 D.8步第11题图A【答案】38 【逐步提示】（1）先根据勾股定理求出斜边AC 的长；（2）再根据直角三角形面积的两种表示方法：BC AB S ABC ⋅=21△和()r BC AC AB S ABC ⋅++=21△ 即可求出此直角三角形内切圆的半径. 【详细解答】解：过点O 分别作OD ⊥AC 、OE ⊥AB 、OF ⊥BC ，连接OA 、OB 、OC ，∵⊙O 是△ABC 的内切圆，∴OD=OE=OF=r ∵BCO ACO ABO ABC S S S S ∆∆∆∆++= , ∴()r BC AC AB S ABC ⋅++=21△ ∵ AB=15， BC=8在Rt △ABC 中，由勾股定理得，722=+=BC AB AC∴()r ⨯++⨯=⨯⨯817152181521 ∴38=r ，故答案为 38.图11-1F A【解后反思】（1）正确理解三角形的面积与内切圆半径之间的关系是关键，题目中所用方法是解决此类问题的通法；（2）本题是求直角三角形内切圆的半径，也可以根据直角三角形内切圆半径公式2cb a r ++=求内切圆的半径.【关键词】勾股定理；三角形的内切圆；数形结合思想二、填空题1. （甘肃兰州，20，4分）对于—个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义，在同平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y 3-交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABCD 沿直线l 运动（BD 在直线l 上）．BD =2，AB ∥y ，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为____．【答案】122⎫--⎪⎪⎭，或322⎫⎪⎪⎭，【逐步提示】第一步，根据一次函数解析式求出直线l 与x 轴、y 轴交点坐标及它们到原点的距离，借助锐角三角函数定义进一步求∠MPO 的度数，由AB ∥y 轴得到BC ∥x 轴；第二步，因为只有矩形两对角线的交点到矩形四个顶点的距离相等，而⊙M 交直线L 于E 、F 两点，故分矩形两对角线的交点与E 重合和与F 重合两种情况分类讨论；第三步，矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与E 重合时，借助平行线性质与互余关系求得∠EBC 与∠BMN 度数，从而可证△EBC 是等边三角形，求得BC 的长；第四步，借助解直角三角形求得BN 、MN 的长，再由点M 的坐标通过适当平移求得C 的坐标；第六步，矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与F 重合时，与“第三步”、第四步类似方法可求得C 的坐标，从而归纳得到答案．答图1 答图2【详细解答】解：易知直线y 3-与x 轴交点M ，0），与y 轴交点P 的坐标为（0，-3），所以OP =3，DM Rt △POM 中，tan ∠MPO =OM OP =，所以∠MPO =30°，因为AB ∥y 轴，x 轴⊥y 轴，所以AB ⊥x 轴，矩形ABCD 中，∠ABC =90°，所以AB ⊥BC ，所以BC ∥x 轴．设y 3-与⊙M 交于E 、F 两点，其中E 在第一象限，F 在第四象限，因为只有矩形两对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，所以，①矩形ABCD沿直线l 运动到两对角线交点与E 重合时（见答图1），矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．此时，延长AB 交x 轴于N ，因为AB ∥y 轴，所以∠NBM =∠MPO =30°，因为AB ⊥x 轴，所以∠BNM =90°，∠BMN =90°－∠NBM =60°，因为BC ∥x 轴，所以∠EBC =∠BMN =60°，矩形ABCD 中，BE =12BD =1，CE =12AC ，BD =AC =2，所以BE =CE =1，所以△EBC 是等边三角形，所以BC =BE =1，所以BM =ME －BE =2-1=1，在Rt △BMN 中，∠NBM =30°，所以MN =12BM =12，BN =2，又M 0），所以M 向右移动MN 的长再向上移动BN 的长得B 的坐标为12，2），点B 再向右移动BC 长得C ＋32，2）；②矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与F 重合时（见答图2），矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．此时，延长AB 交x 轴于N ，因为AB ∥y 轴，所以∠NBM =∠MPO =30°，因为AB ⊥x 轴，所以∠BNM =90°，∠BMN =90°－∠NBM =60°，因为BC ∥x 轴，所以∠FBC =∠BMN =60°，矩形ABCD 中，BF =12BD =1，CF =12AC ，BD =AC =2，所以BF =CF =1，所以△FBC 是等边三角形，所以BC =BF =1，所以BM =MF ＋BF =2＋1=3，在Rt △BMN 中，∠NBM =30°，所以MN =12BM =32，BN =2，又M 的，0），所以M 向左移动MN 的长再向下移动BN 的长得B －32，-2），点B 再向右移动BC 长得C 的坐标为12，，综合以上两种情况，故答案为12⎭，或32⎭. 【解后反思】本题是 “矩形的对角线在过已知圆圆心的直线上移动”为背景的阅读理解题，解题的关键是理解“伴侣矩形”含义，明确“到矩形四个顶点距离相等点是矩形对角线的交点”，从而知道符合条件的情况有两种，需分类讨论来求解．另外，利用已知点坐标通过适当平移来求点的坐标，体现了变换思想的运用. 【关键词】一次函数；矩形的性质；圆；解直角三角形；分类讨论思想；转化思想2. （湖南省益阳市，14，5分）13．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是直径，过C 点的切线与AB 的延长线交于P 点，若∠P =40°，则∠D 的度数为．【答案】115°【逐步提示】本题考查了圆的切线性质，以及等腰三角形、圆内接四边形的性质，掌握已知切线时常用的辅助线是连接圆心与切点是解题的关键．（1）连结OC ，由的切线性质可求出∠BOC 的度数；（2）根据等腰三角形性质求出∠OBC 的度数；（3）根据圆内接四边形的性质可求∠D ＝115°.【详细解答】解：连结OC ，因为PC 为切线，所以，OC ⊥PC ，所以，∠BOC ＝90°－40°＝50°，又OB ＝OC ，所以，∠OBC ＝12（180°－50°）＝65°，又ABCD 为圆内接四边形，所以，∠D ＝180°－65°＝115°，故答案为115°.【解后反思】半径处处相等可得等腰三角形，从而底角相等；切线垂于过切点的半径得直角三角形，从而两锐角互余；圆内接四边形对角互补．【关键词】圆的切线性质；圆内接四边形性质定理；等腰三角形性质3. (湖南省永州市，20，4分)如图，给定一个半径为2的圆，圆心O 到水平直线l 的距离为d ，即OM =d ．我们把圆上到直线l 的距离等于1的点的个数记为m ．如d =0时，l 为经过圆心O 的一条直线，此时圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，即m =4．由此可知： (1)当d =3时，m =_____；(2)当m =2时，d 的取值范围是_______．【答案】(1)1 (2)1<d <3【逐步提示】本题考查了圆中的新定义，解题的关键在于能正确理解点到直线的距离及分类讨论．(1)圆心O 到水平直线l 的距离为3时，圆上到直线l 的距离等于1的点就是圆与OM 的交点；(2)圆上到直线l 的距离等于1的点的个数为2，找出两个临界状态的点，即圆上到直线l 的距离等于1的点的个数为1个与3个，据此作出回答．【详细解答】解：(1)当d =3时，圆上有四个到直线l 的距离等于1的点，是圆与OM 的交点，只有一点，所以m =1；(2)当m =2时，即圆上到直线l 的距离等于1的点的个数为2，这时d 的取值范围是1<d <3，故答案为(1)1 (2)1<d <3．【解后反思】1．新定义类型题，理解题意是关键；2．分类讨论时，找出临界点是解题的关键．【关键词】直线与圆的位置关系；新定义题型；分类讨论4. （江苏省无锡市，18，2分）如图，△AOB 中，∠O ＝90°，AO ＝8cm ，BO ＝6cm ，点C 从A 点出发，在边AO上以2cm/s 的速度向O 点运动；与此同时，点D 从点B 出发，在边BO 上以1.5cm/s 的速度向O 点运动．过OC 的中点E 作CD 的垂线EF ，则当点C 运动了______s 时，以C 点为圆心、1.5cm 为半径的圆与直线EF 相切．CAEFDB O【答案】178．【逐步提示】本题考查了直线与圆的位置关系、相似以及垂直平分线的知识，解题的关键是利用直线EF 到⊙O 的距离等于半径列出方程．本题的思路是点C 、点D 运动速度之比为4∶3，AC 与BD 的线段长度之比为4∶3，容易得出△COD 与△AOB 相似，本题探求直线与圆相切的，可借助圆心C 到直线EF 的距离CF 等于半径1.5来列方程，其中求CF 长的时候，可利用△EFC 与△BOA 相似获得．【详细解答】解：设运动时间为t ，则AC ＝2t ，BD ＝1.5t ，OC ＝8－2t ，OD ＝6－1.5t ，∴OC ODOA OB=，∵∠O ＝∠O ，∴△OCD ∽△OAB ，∴∠OCD ＝∠A ，∵EF ⊥CD ，∴∠EFC ＝∠O ＝90°，∴△EFC ∽△BOA ，∴CF OACE AB=，∵CE ＝12OC ＝4－t ，∴CF ＝4(4)5t -，当CF ＝1.5时，直线与圆相切，∴4(4)5t -＝1.5，解得t ＝178．故答案为178. 【解后反思】判断两个三角形相似有以下几种方法：①平行于三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；②如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；④如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．直线与圆有三种位置关系：设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则：d >R ←→直线和圆相离←→无公共点；d =R ←→直线和圆相切←→惟一公共点；d <R ←→直线和圆相交←→两公共点. 【关键词】相似三角形的判定；直线与圆的位置关系；垂直平分线；动态问题；5. （江苏盐城，12，3分）如图，正六边形ABCDEF 内接于半径为4的圆，则B 、E 两点间的距离为 ▲ ．B【答案】8【逐步提示】本题考查了圆内接正六边形的计算，解题的关键是掌握圆与正多边形的关系．由正六边形的6条边对6条相等的劣弧，从而确定线段BE 的长就是圆的直径即可．【详细解答】解：连接BE ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴⌒AB ＝⌒BC ＝⌒CD ＝⌒DE ＝⌒EF ＝⌒FA ，∴⌒BAE ＝⌒BCE ，∴BE 是圆的直径，∴BE ＝2×4＝8，故答案为8．【解后反思】正多边形是一种特殊的多边形，其有关概念及计算是中考的常考点，有关计算公式及规律：①正n 边形的内角和是()2180n -°，它有n 个相等的内角，因此，正n 边形每一个内角的度数是()2180n n-︒；②正n 边形有n 个相等的中心角，而这些中心角的和是360°，因此正n 边形每个中心角的度数是360n︒；③正n 边形有n 个相等的外角，而这些外角的和是360°，因此正n 边形每个外角的度数是360n︒.很容易看出：正n 边形的中心角与它的外角大小相等；④正n 边形的其他计算都转化到直角三角形中进行，如图所示，设正n 边形的半径为R ，一边AB ＝a ，边心距OM＝r，则有∠BOM＝180n︒，2222aR r=+⎛⎫⎪⎝⎭，正n边形的周长l na=，面积122AOB BOMS nS nS lr∆∆===.【关键词】正多边形与圆的位置关系三、解答题1.（甘肃省武威市、白银市、定西市、平凉市、酒泉市、临夏州、张掖市等9市，27，10分）如图，在△ABC 中，AB=AC，点D在BC上，BD=DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC=60º，求DE的长．第27题图【逐步提示】本题考查圆的相关性质、切线的判定方法、以及特殊直角三角形的性质，解题的关键是添加适当的辅助线，构造直角三角形进行证明，（1）证明圆的直径，很自然想到90°的圆周角所对的弦是直径，因此想到连接AD，设法证明∠ADB=90°，而联系已知条件可以发现，△ABC是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一很容易证明∠ADB=90°；（2）DE经过圆上一点D，若能够证明OD⊥DE，则DE为⊙O的切线，因此可以考虑连接OD进行探索，由（1）和已知条件可知：OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，而DE⊥AC，所以OD⊥DE，故DE与⊙O的位置关系是相切；（3）当∠BAC=60º时，△ABC是等边三角形，圆的半径为3，则直径AD为6，在Rt△ABD中可求出AD的长度，在Rt△ADE中可求出DE的长度.【详细解答】（1）证明：如图①，连接AD，∵在△ABC中， AB=AC，BD=DC，∴ AD⊥BC 1分∴ ∠ADB=90°，∴ AB是⊙O的直径； 2分（2）DE 与⊙O 的相切． 3分证明：如图②，连接OD ， ∵ AO =BO ，BD =DC ， ∴ OD 是△BAC 的中位线，∴ OD ∥AC ， 4分又 ∵ DE ⊥AC∴DE ⊥OD ，∴ DE 为⊙O 的切线； 5分（3）解：如图③，∵ AO =3，∴ AB =6，又 ∵ AB =AC ，∠BAC =60°， ∴ △ABC 是等边三角形，∴ AD= 6分 ∵ AC ∙DE =CD ∙AD ，∴ 6∙DE=3× 7分解得 DE． 8分【解后反思】在圆中，看到直径联想90°的圆周角，反之，亦然；直线与圆的位置关系最重要的当属直线与圆图①C图②C图③相切，判定圆的切线常见思路：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．【关键词】等腰三角形的判定和性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系；切线的判定方法；含有30°角的直角三角形的性质；2. （甘肃兰州，27，10分）如图，三角形ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、D ，且DE =DC ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线；（2）若⊙O 的半径为5，BC DE 的长．【逐步提示】（1）第一步：连接OC ，易知∠A =∠OCA ，由OD ⊥AB 证得∠A ＋∠AEO =90°；第二步：根据“等边对等角”有∠DEC =∠DCE ，代换得∠OCE +∠DCE =90°，从而证得结论；（2）第一步：作DH ⊥EC ，根据“等角的余角相等”可得∠EDH =∠A ，△EDC 中根据三线合一得EH =HC =12EC ，于是AB =10，由勾股定理可得AC =AEO ∽△ABC 得AO AEAC AB =，代入数据求得AE ，进一步求出EC 、EH ；第四步：由等角的正弦相等得sin ∠A = sin ∠EDH ，从而BC EHAC DE=，进而求得DE 的长．【详细解答】解：（1）证明：连接OC ，则∠A =∠OCA ，∵ OD ⊥AB ，∴∠AOE =90°，∴∠A ＋∠AEO =90°， ∵DE =DC ，∴∠DEC =∠DCE ，∵∠AEO =∠DEC ， ∴ ∠AEO = ∠DCE ，∴∠OCE +∠DCE =90°，∴CF 是⊙O 的切线．（2）作DH ⊥EC ，则∠EDH =∠A ，∵DE =DC ，∴ EH =HC =12EC ，∵ ⊙O 的半径为5，BC ∴AB =10，AC =∵△AEO ∽△ABC ，∴AO AEAC AB=，∴AE =EC =AC -AE =3=3，∴EH=12EC，∵∠EDH=∠A，∴sin∠A= sin∠EDH，即BC EHAC DE=，∴DE=10203 AB EHBC∙==．【解后反思】看到切线，就想到作过切点的半径，看到直径就想到直径所对的圆周角是直角；看到切线的判定，就想到：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆有交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．【关键词】切线的判定；相似三角形的判定与性质；转化思想；方程思想3.（甘肃省天水市，23，10分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD．连结OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于点N．（1）（4分）求证：MN是⊙O的切线；（2）（6分）当OB＝6cm，OC＝8cm时，求⊙O的半径及MN的长．【逐步提示】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键：对于（1），理解要证明MN是⊙O的切线，就是要证明OM⊥MN．对于（2），需要连接OF，得到OF⊥BC，根据勾股定理先求出BC的长，然后根据△BOC的面积求出⊙O的半径，最后根据△NMC∽△BOC产生相似比就可以求出MN的长．【详细解答】证明：（1）∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠DCB．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠DCB＝180°．∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠DCB)＝12×180°＝90°．∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－90°＝90°．∴∠BOM＝180°－∠BOC＝90°．∵MN∥OB，∴∠NMC＝∠BOM＝90°．∴OM⊥MN．∴MN是⊙O的切线．解：（2）连接OF，则OF⊥BC，由（1）知，△BOC 是直角三角形， ∴BC＝10．∵S △BOC ＝12•OB •OC ＝12•BC •OF ， ∴6×8＝10×OF ． ∴OF ＝4.8．∴⊙O 的半径为4.8cm ．由（1）知，∠NCM ＝∠BCO ，∠NMC ＝∠BOC ＝90°， ∴△NMC ∽△BOC ． ∴MN OB ＝CM CO ，即6MN ＝8 4.88+，解得MN ＝9.6． ∴MN 的长为9.6cm ．【解后反思】证切线的常用方法有：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径．即已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的唯一公共点未定，则过圆心作到这条直线的垂线段，再证它等于半径即可．由于此题半径OM 已有，只要证得OM ⊥MN 即可说明MN 是⊙O 的切线．对于含切线的圆类问题，还要注意“切点与圆心，连结要领先”解题思想方法的贯彻执行，即遇到切点与圆心没连结的图形，首先要想到将它俩连结起来．这样就可以得到数量关系（圆中半径相等）和位置关系（圆的切线垂直于过切点的半径），产生新的几何结论．【关键词】切线的判定与性质；切线长定理；勾股定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质；综合法证明；面积法． 4. （广东省广州市，25，14分）如图，点C 为△ABD 外接圆上的一动点（点C 不在BAD ︵上，且不与点B ，D 重合），∠ACB =∠ABD =45°．（1）求证：BD 是该外接圆的直径；（2）连结CD ，求证：2AC =BC +CD ；（3）若△ABC 关于直线AB 的对称图形为△ABM ，连接DM ，试探究DM 2，AM 2，BM 2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．【逐步提示】（1）要证BD 是圆的直径，只需证明∠BAD =90°即可，这可由已知条件∠ACB =∠ABD =45°及∠D =∠ACB 直接得到；（2）由所要证明的结论形式自然联想到证明线段“a +b =c ”型问题的方法：截长补短法，由“2AC ”可联想到构造以AC 为直角边的等腰直角三角形，其斜边长即等于2AC ．于是可作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E ，连结AE ，通过证明△ABE ≌△ADC 进一步获证结论；（3）由DM 2，AM 2，BM 2三者的形式，可构建直角三角形，进一步利用勾股定理探究三者之间的数量关系．则根据圆的性质，易于构造以DM 为斜边的Rt △MDF ，显然有DM 2=DF 2＋MF 2，借助“几何直观”，易于猜想DF =BM ，关于MF 2与2AM 2，连结AF 后它们在一个等腰直角三角形中，进而易于得出结论．另外，亦可以BM 为直角边，以AM 为直角边构造两个Rt △BMF 与Rt △MAF ，通过三角形全等证明BF =MD 获得结论．AB CD【详细解答】解：（1）由AB ︵=AB ︵，得∠ADB =∠ACB =45°．又∵∠ABD =45°，∴∠ABD +∠ADB =90°，∴∠BAD =90°，∴BD 是△ABD 外接圆的直径；（2）证明：如图，作AE ⊥AC ，交CB 的延长线于点E ，连结AE ．∵∠EAC =∠BAD =90°，∴∠EAB +∠BAC =∠DAC +∠BAC ，∴∠EAB =∠DAC ．由∠ACB =∠ABD =45°，可得△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE =AC ，AB =AD ，∴△ABE ≌△ADC ，∴CD =BE ．在等腰Rt △ACE 中，由勾股定理，得CE =2AC ．∵CE =BC +BE ，∴2AC =BC +CD ；（3）DM 2=BM 2＋2MA 2．证明如下：方法1：如图，延长MB 交圆于点F ，连结AF ，DF ．∵∠BFA =∠ACB =∠BMA =45°，∴∠MAF =90°，MA =AF ，∴MA 2+AF 2=2MA 2=MF 2．又∵AC =MA =AF ，∴AC ︵=AE ︵，又∵AD ︵=AB ︵，∴CD ︵=BF ︵，∴DF ︵=BC ︵，∴∴DF =BC =BM ． ∵BD 是直径，∴∠BFD =90°．在Rt △MDF 中，由勾股定理，得DM 2= DF 2＋MF 2，∴DM 2=BM 2＋2MA 2．方法2：如图，过点M 作MF ⊥MB ，过点A 作AF ⊥MA ，MF 与AF 交于点F ，连结BF ．由轴对称性可知∠AMB =ACB =45°，∴∠FMA =45°，∴△AMF 是等腰直角三角形，∴AM =AF ，MF 2=2AM 2．∵∠MAF +∠MAB =∠BAD +∠MAB ，∴∠FAB =∠MAD ．又∵AF =AM ，AB =AD ，∴△ABF ≌△ADM ，∴BF =DM ．在Rt △BMF 中，∵BF 2=BM 2+MF 2，∴DM 2=BM 2＋2MA 2．ACDBF MACDBE【解后反思】1．关于问题（2）的解决，是利用证明线段“a +b =c ”型问题的方法——截长补短法．该例所作的辅助线本质上是在线段CB 的延长线上得到BE =CD ．我们也可直接在CB 的延长线上截取BE =CD ，显然∠ABE =∠ADC ，AB =AD ，因此，△ABE ≌△ADC ，从而可证∠EAC =90°，进一步可证得结论成立．2．对于许多几何证明题，根据已知条件与所要证明的结论，联想相关知识是沟通证明思路的重要途径．如本例（3）中根据探究量的形式联想到勾股定理，从而构造直角三角形是解决问题的突破口．另外，注意“几何直观”，合情推理与演绎推理的有机结合，常常能给我们指明思考的方向与切入点，收到事半功倍之效．【关键词】圆周角定理的推论；圆的三组量关系定理；全等三角形的判定和性质；勾股定理；轴对称的性质；转化思想5. （广东茂名，24，8分）如图，在△ABC 中，∠C =90°，D 、F 是AB 边上的两点，以DF 为直径的⊙O 与BC 相交于点E ，连接EF ，过F 作FG ⊥BC 于点G ，其中∠OFE =12∠A .（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）若sin B =35，⊙O 的半径为r ，求△EHG 的面积.（用含r 的代数式表示）【逐步提示】本题考查了切线的判定定理、圆中有关线段的求值问题，解题的关键是掌握切线的判定方法以及构造直角三角形，利用锐角三角函数、勾股定理等使问题获解．（1）由于BC 与⊙O 有一个确定的公共点E ，根据切线的判定定理，只要连接OE ，证明OE ⊥BC 即可说明BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，过点E 作EQ ⊥AB ，垂足为Q ，由于△EDQ 与题中已知条件的联系比较密切，较容易求出它的两直角边的长度，因此证△EDQ ≌△EHG ，将“求△EHG 的面积”转化为“求△EDQ 的面积”. 【详细解答】解：（1）连接OE . ∵⊙O 中，OE =OF ， ∴∠OEF =∠OFE .∵∠BOE 为△OEF 的外角， ∴∠BOE =∠OEF +∠OFE =2∠OFE . ∵∠OFE =12∠A ，∴∠BOE =∠A ，ACDBFM∴OE ∥AC ， ∴∠BEO =∠C . ∵∠C =90°，∴∠BEO =90°，即OE ⊥BC . ∴BC 是⊙O 的切线；（2）连接DE ，过点E 作EQ ⊥AB ，垂足为Q .在Rt △BEO 中，sin B =OE BO ，即35=r BO ，∴BO =53r ，∴BE =BO 2－OE 2=43r.在Rt △BQE 中，sinB=EQ BE ，即35=QE ÷43r ，解得QE =45r .在Rt △OQE 中，OQ =OE 2－QE 2=35r ，∴DQ =OD －OQ =r －35r =25r .∴S △EDQ =12DQ ×QE =425r 2.∵OE ⊥BC ，FG ⊥BC ，∴OE ∥FG ， ∴∠OEF =∠EFG . ∵∠OEF =∠OFE ， ∴∠OFE =∠EFG ，∴EF 是∠QFG 的平分线， ⌒DE = ⌒EH. ∴在⊙O 中，ED =EH .又∵EF 是∠QFG 的平分线，EQ ⊥AB ，EG ⊥FG ， ∴EQ =EG ，∴△EDQ ≌△EHG （HL ）， ∴S △EHG =S △EDQ =425r 2.【解后反思】（1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线﹒切线的基本证明方法：①切点已知，连过切点的半径，证所连半径垂直于要证明的切线；②切点未知，作垂线段，证垂线段等于半径.（2）求△EHG 的面积也可采用证△EHG ∽△FEG ，先求出EG 、HG 长度，再求△EHG 面积，不管哪一种方法，都要将条件“sin B =35”置于直角三角形，沟通直角三角形边、角间的关系，从而为求△EHG 的面积创设条件.【关键词】直线与圆相切；锐角三角函数；勾股定理.6.（贵州省毕节市，26，14分）如图，在△ABC 中，D 为AC 上一点，且CD ＝CB ，以BC 为直径作⊙O ，交BD 于点E ，连接CE ，过D 作DF AB 于点F ，∠BCD ＝2∠ABD . 求证：（1）AB 是⊙O 的切线；（2）若∠A ＝60°，DF，求⊙O 的直径BC 的长．（第26题图）【逐步提示】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质以及利用特殊角的三角函数求三角形的边，解题的关键是掌握切线的判定方法以及运用直径所对的圆周角是直角进行角的转化．（1）要证明AB 是⊙O 的切线，只需证明∠CBA ＝90°.根据直径所对的圆周角是直角可知，∠CEB ＝90°，根据等腰三角形“三线合一”及∠BCD ＝2∠ABD ，可得∠ABD ＝∠BCE ，从而证得结论；（2）在Rt △ADF 中，根据∠A ＝60°，DFAD 的长，AC ＝BC ＋2，再利用∠A 的正弦值可求BC 的长.【详细解答】解：（1）∵CB ＝CD ，∴∠CBD ＝∠CDB . 又∠CEB ＝90°，∴∠CBD ＋∠BCE ＝∠CDE ＋∠DCE ＝90°. ∴∠BCE ＝∠DCE ，又∵∠BCD ＝2∠ABD ，∴∠ABD ＝∠BCE ，∴∠CBD ＋∠ABD ＝∠CBD ＋∠BCE ＝90°，∴CB ⊥AB ，垂足为B ，又CB 为直径，∴AB 是⊙O 的切线；（2）∵∠A ＝60°，DF，在Rt △ADF 中，AD ＝sin 60DF=2.设BC 的长为x ，则AC 的长为（x ＋2），在Rt △ABC 中，sin 602BC xAC x ==+.即22x x =+，解得x＝6.所以⊙O 的直径BC的长为6.【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能利用已知条件发现AC 与BC 的关系，找不到解决问题的突破口.【关键词】切线的判定；等腰三角形的性质；圆周角定理；特殊角的三角函数；7. （河南省，18，9分）如图，在Rt△ABC 中，∠ABC=900，点M 是AC 的中点，以AB 为直径作⊙O 分别交AC,BM 于点D,E.(1)求证：MD=ME;(2)填空：①若AB=6,当AD=2DM 时，DE= ；②连接OD,OE,当∠A 的度数为时，四边形ODME 是菱形.C【逐步提示】（1）MD=ME 应来源于∠MDE=∠MED，根据条件可知四边形ABED 是圆内接四边形，根据圆内接四边形的外角等于内对角的性质及直角三角形的斜边中线性质综合可得结论。

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2018年中考数学第六单元 点、直线与圆的位置关系复习题及答案