北师大版数学必修一第二章 4 4.1 4.2 二次函数的性质
高中数学第二章函数第4节4.2二次函数的性质课件北师大版必修1
【解】 ∵函数 f(x)＝－(x－a)2＋a2 的图像开口向下，对称轴为 x＝a，∴f(x) 的单调递增区间为(－∞，a]．
(1)由题意知(－∞，2)⊆(－∞，a]， ∴a≥2，即实数 a 的取值范围是[2，＋∞)． (2)由题意知，对称轴 x＝a＝2，即实数 a 的取值为 2.
二次函数的实际应用
【尝试解答】 (1)由图可知：R＝a(t－5)2＋225， 由 t＝0 时，R＝0 得 a＝－12. ∴R＝－12(t－5)2＋225(0≤t≤5)． (2)年纯收益 y＝－12t2＋5t－0.5－14t＝－12t2＋149t－0.5， 故 t＝149＝4.75 时，y 取得最大值为 10.78 万元． 故年产量为 475 台，纯收益取得最大值为 10.78 万元．
[再练一题] 2．(2016·武汉检测)某工厂以 x 千克/小时的速度生产某种产品(生产条件要求 1≤x≤10)，每小时可获得的利润是 1005x＋1－3x元，若生产该产品 900 千克， 求该工厂获得的最大利润，以及此时的生产速度是多少？
【解】 设利润为 y 元，则 y＝1005x＋1－3x·90x0 ＝9×1045＋1x－x32 ＝9×104－31x－162＋6112， ∴当 x＝6 时，函数有最大值，最大值为 4.575×105 元． ∴该工厂获得的最大利润为 4.575×105 元，此时的生产速度为 6 千克/小时．
2．比较两点函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合 二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两个点转 化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较它们的大小．
[再练一题] 1．已知二次函数 f(x)＝－x2＋2ax，分别在下列条件下求实数 a 的取值(范围)． (1)f(x)在(－∞，2)上是增函数； (2)f(x)的递增区间为(－∞，2)．
2020-2021学年数学北师大版必修1：2-4-2 二次函数的性质
2．二次函数(y＝ax2＋bx＋c)的性质 学习研究二次函数的性质，必须熟练掌握二次函数的图像， 结合图像研究性质.
[答一答] 1．如何正确理解二次函数的定义及系数的作用？
提示：函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数，它的定义域 是 R.如果 b＝c＝0，则函数变为 y＝ax2(a≠0)，它的图像是一条 顶点为原点的抛物线，这个函数为偶函数，y 轴为它的图像的对 称轴．
2．如何求二次函数在闭区间上的最值？
提示：对于二次函数 f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上 的最值可作如下讨论：
对称轴 x＝h 与[m， 最大值
n]的位置关系
h<m
f(n)
h>n
f(m)
m≤h<m＋2 n f(n)
m≤h≤ n
h＝m＋2 n
m＋2 n<h≤n
f(m)或 f(n)
第二章
函数
§4 二次函数性质的再研究
4．2 二次函数的性质
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点 二次函数与二次函数的性质
[填一填]
1．二次函数解析式的表示法 (1) 一般式 ：形如 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2) 顶点式 ：形如 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． (3) 两根式 ：形如 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
【解】 (1)经过任意三个点，设一般式． 设二次函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵二次函数的图像经过(0,2)、(1,1)、(3,5)三点，将
，解之得ab＝ ＝1－2 .
9a＋3b＋c＝5
c＝2
∴所求二次函数的解析式为 y＝x2－2x＋2.
高中数学(北师大)必修一优质课件：第2章 §4 4.2 二次函数的性质
证明：设
a
0
，任取
x1,
x2
，且
x1
x2
b 2a
，则
f
(x2
)
f
(x1)
(ax
2 2
bx 2
c)
(ax12
bx1
c)
= a(x22 x12 ) b(x2 x1) (x2 x1)[a(x2 x1) b].
因为
x1
b 2a
,
x2
b 2a
,
所以
x1
x2
b a
,
即 a(x1 x2 ) b ，也就是 a(x1 x2 ) b 0 .
4.2 二次函数的性质
? 烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻
? 漂亮的喷泉，它的喷嘴应放在什么位置呢
1.能够熟练地对二次函数解析式配方.（重点） 2.会确定二次函数的开口方向、顶点坐标，并能 研究其定义域、值域、单调性、最值等性质. （重点、难点）
思考1 你会对函数 f (x) ax2 bx c 配方吗？
解：设销售价为 x 元/瓶 (x 3) ,则根据题意(销售量等于进货
量),正好当月销售完的进货量为 4 x 40 400
0.05
即 400(9 2x) 瓶.
建立数学模型
此时所得的利润为
f (x) 400(9 2x)(x 3) 400(2x2 15x 27) (元).
根据函数的性质,当 x 15 时, f (x) 取得最大值 450.
在[ b , ) 上是增加的，当 x= b 时，函数有最小值 4ac b2 .
2a
2a
4a
当 a 0 时，它的图像开口向下，在 (, b ] 上是增加的， 2a
【精编】北师大版高中数学必修一课件：2.4.1~2《二次函数的图象、二次函数的性质》-精心整理
解 (1)∵f(x)＝－12x2－3x－52＝－12(x＋3)2＋2. ∴函数的顶点坐标为(－3,2)，对称轴方程为 x＝－3； (2)f－52＝f－72＝185； (3)由于抛物线开口向下，且－14－(－3)＞－145－(－3)， ∴f－14＜f－145.
题型二 二次函数的性质 【例 2】 (1)画出 y＝2x2－4x－3 的图像，根据图像讨论图像的 开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． (2)画出 y＝－x2＋4x＋5 的图像，根据图像讨论图像的开口方向、 顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． (3)讨论二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像的开口方向、顶点 坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值． [思路探索] 画出二次函数的图像，由图像研究二次函数的单调 性、最值等性质．
2．常见结论 (1)当 f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，则有x1＋2 x2＝－2ba. (2)当二次函数 f(x)在(－∞，m]和(m，＋∞)上的单调性相反时， 则有 m＝－2ba； 当 a＞0 时，二次函数 f(x)在(－∞，m]上为减函数，则有 m≤－ 2ba，二次函数 f(x)在[m，＋∞)上为增函数，则有 m≥－2ba； 当 a＜0 时，二次函数 f(x)在(－∞，m]上为增函数，则有 m≤－ 2ba，二次函数 f(x)在[m，＋∞)上为减函数，则有 m≥－2ba.
4．二次函数的最值
对二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当 a＞0 时，函数有最小值
4ac4－a b2，此时 x＝
二次函数的性质(北师大版必修1)
15 时, f ( x ) 取得最大值 450. 4
这时进货量为 400(9 2
故销售价为
15 ) 600 (瓶) 4
15 元, 购进 600 瓶时可获得最大利润为 450 元. 4
例题分析
题型二 二次函数的最值（值域）
例2.已知函数 y=2x2-8x+1,求 x R 时函数的最值.
解：设销售价为 x 元/瓶 ( x 3) ,则根据题意(销售量等于进货量),正好当月销售完
4 x 40 400 的进货量为 0.05
即
400(9 2 x) 瓶
此时所得的利润为
f ( x) 400(9 2x)( x 3) 400(2x2 15x 27) (元)
4.2 二次函数的性质
讲课人：张艳琴
1.会确定二次函数的开口方向、顶点坐标，并能研究
其定义域、值域、单调性、最值等性质. 2.培养学生数形结合的数学思想意识.
问题导入
对于给定的二次函数y＝－2x2＋8x＋24. 问题1：将该二次函数化成顶点式． 提示：顶点式为y＝－2(x－2)2＋32. 问题2：该函数的单调区间是什么？ 提示：单调增区间为(－∞，2]，减区间为[2，＋∞)．
____________. [21,49]
1.二次函数的性质 对称轴、开口方向、单调性、最值、值域
2.数形结合、分类讨论的数学思想
∴［0,1］(－∞，a］且［2,3］［a，＋∞)，∴1≤a≤2.
当堂检测
1.函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]上是减少的，则a的
取值范围是( D A、a≥3 C、a≥-3 ) B、a≤3 D、a≤-3
北师大版数学高一必修1第二章4.2二次函数的性质
4.2 二次函数的性质问题导学一、二次函数的对称性和单调性活动与探究1已知函数f (x )＝－2x 2－4x ＋c . (1)求该函数图像的对称轴； (2)若f (－5)＝4，求f (3)的值．迁移与应用若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足f (－2)＝f (4)． (1)求f (x )图像的对称轴； (2)比较f (－1)与f (5)的大小．1．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a .(2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．利用对称性，结合开口方向，可以比较二次函数函数值的大小． (1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小； (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大．二、二次函数在某区间上的最值(值域)活动与探究2已知函数f (x )＝－x 2＋kx ＋k 在区间[2,4]上具有单调性，求实数k 的取值范围．迁移与应用已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2，若函数在区间[2，＋∞)上为增加的，求m 的取值范围．(1)利用二次函数的单调性可以求解函数解析式中参数的范围，这是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助二次函数的对称轴，通过集合间的关系建立变量之间的关系，进而求解参数的取值范围．(2)函数在区间(a ，b )上单调与函数的单调区间是(a ，b )的含义不同，注意区分．前者只能说明(a ，b )是相应单调区间的一个子集；而后者说明a ，b 就是增减区间的分界点，即函数在a ，b 两侧具有相反的单调性．活动与探究3已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值； (2)用a 表示出函数f (x )在区间[－5,5]上的最值．迁移与应用1．函数y ＝3x 2－6x ＋1，x ∈[0,3]的最大值是__________，最小值是__________． 2．设f (x )＝x 2－4x －4，x ∈[t ，t ＋1](t ∈R )，求函数f (x )的最小值g (t )的解析式．求二次函数在某区间上的最值问题，要注意：(1)考虑二次函数的对称轴在该区间的两侧还是在区间内，从而确定函数的单调区间；(2)当对称轴在区间内部时，还要考虑区间的两个端点与对称轴的距离的远近，当开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，离对称轴越近，函数值越小；反之，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小，离对称轴越近，函数值越大．三、二次函数的实际应用问题活动与探究4某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元，市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价)．(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？迁移与应用某动物园为迎接大熊猫，要建造两间一面靠墙的大小相同且紧挨着的长方形熊猫居室，若可供建造围墙的材料长30米，那么宽为__________米时，所建造的熊猫居室面积最大，最大面积是__________平方米．解实际应用问题的方法步骤当堂检测1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称，则()．A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝12．函数y＝x2＋bx＋c在x∈[0，＋∞)上是递增的，则()．A．b≥0 B．b≤0C．b＞0 D．b＜03．函数f(x)＝－2x2＋4x－1在区间[－1,4]上的最大值与最小值分别是()．A．1，－7 B．1，－17C．－7，－17 D．－7，－164．某电子产品的利润y(元)关于产量x(件)的函数解析式为y＝－3x2＋90x，要使利润获得最大值，则产量应为( )．A ．10件B ．15件C ．20件D ．30件 5．已知函数y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)求函数的最小值；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫－23＝1，不计算函数值，求f (0)； (4)不直接计算函数值，试比较f ⎝⎛⎭⎫－34与f ⎝⎛⎭⎫154的大小．答案：课前预习导学 【预习导引】上 下 －b 2a ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ 低 －b 2a 4ac －b 24a 高 －b 2a 4ac －b 24a 预习交流1 (1)提示：二次函数的单调区间主要取决于其开口方向(与a 有关)和对称轴(与－b2a有关)．(2)提示：二次函数在一个闭区间上一定同时存在最大值与最小值，并且最值都是在该闭区间的端点或二次函数的对称轴处取到．预习交流2 提示：直线x ＝a . 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：(1)通过配方可得对称轴方程；(2)可先由f (－5)＝4求得c 的值，确定解析式后再计算f (3)的值，也可直接利用对称性计算．解：(1)由于f (x )＝－2x 2－4x ＋c ＝－2(x ＋1)2＋c ＋2. 所以其图像的对称轴为x ＝－1.(2)方法一：由f (－5)＝4可得－2×(－5)2－4×(－5)＋c ＝4， 于是c ＝34，因此f (x )＝－2x 2－4x ＋34. 所以f (3)＝－2×32－4×3＋34＝4.方法二：由于f (x )的图像关于x ＝－1对称， 又－5和3关于x ＝－1对称，所以f (－5)＝f (3)，而f (－5)＝4，故f (3)＝4.迁移与应用 解：(1)由于f (－2)＝f (4)，而－2和4关于x ＝1对称，所以f (x )图像的对称轴是x ＝1.(2)函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 图像的开口向上，对称轴为x ＝1，所以离对称轴越近，函数值越小．而|－1－1|＝2，|5－1|＝4， 所以f (－1)＜f (5)．活动与探究2 思路分析：首先求出f (x )的单调区间，要使f (x )在[2,4]上具有单调性，须使区间[2,4]为f (x )单调区间的子集．从而建立不等式求解k 的取值范围．解：f (x )＝－x 2＋kx ＋k ＝－⎝⎛⎭⎫x －k 22＋k 2＋4k 4， f (x )的图像是开口向下的抛物线，对称轴是直线x ＝k 2.要使f (x )在区间[2,4]上具有单调性，须[2,4]⊆⎝⎛⎦⎤－∞，k 2或[2,4]⊆⎣⎡⎭⎫k2，＋∞. 即k 2≥4或k2≤2， 解得k ≥8或k ≤4.迁移与应用 解：由题意知：函数图像开口向上且对称轴x ＝－2(m －2)2，函数在区间[2，＋∞)上是增加的，故－2(m －2)2≤2，解得m ≥0.活动与探究3 思路分析：(1)将a ＝－1代入→配方→写最值 (2)配方→写对称轴→分类讨论→结论 解：(1)当a ＝－1时， f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 因为1∈[－5,5]，故当x ＝1时，f (x )取得最小值，且f (x )min ＝f (1)＝1； 当x ＝－5时，f (x )取得最大值， 且f (x )max ＝f (－5)＝(－5－1)2＋1＝37.(2)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2＝(x ＋a )2＋2－a 2的图像开口向上，对称轴为直线x ＝－a . 当－a ≤－5，即a ≥5时，函数在区间[－5,5]上是增加的，所以f (x )max ＝f (5)＝27＋10a ， f (x )min ＝f (－5)＝27－10a .当－5＜－a ≤0，即0≤a ＜5时，函数图像如图(1)所示．由图像可得f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2， f (x )max ＝f (5)＝27＋10a .当0＜－a ＜5，即－5＜a ＜0时，函数图像如图(2)所示，由图像可得f (x )max ＝f (－5)＝27－10a ，f (x )min ＝f (－a )＝2－a 2.当－a ≥5，即a ≤－5时，函数在区间[－5,5]上是减少的，所以f (x )min ＝f (5)＝27＋10a ，f (x )max ＝f (－5)＝27－10a .迁移与应用 1．10 －2 解析：y ＝3(x －1)2－2，该函数的图像如图所示．从图像易知：f (x )max ＝f (3)＝10，f (x )min ＝f (1)＝－2.2．解：由f (x )＝x 2－4x －4＝(x －2)2－8，x ∈[t ，t ＋1]，知对称轴为直线x ＝2. 当t ≤2≤t ＋1，即1≤t ≤2时，g (t )＝f (2)＝－8；当t ＋1＜2，即t ＜1时，f (x )在[t ，t ＋1]上是减少的，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7. 当t ＞2时，f (x )在[t ，t ＋1]上是增加的， g (t )＝f (t )＝t 2－4t －4.综上，可得g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－2t －7，t <1，－8，1≤t ≤2，t 2－4t －4，t >2.活动与探究4 思路分析：解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润＝销售单价－进货单价，先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润．通过二次函数求最值可得汽车合适的销售单价．解：(1)因为y ＝29－25－x ，所以y ＝－x ＋4(0≤x ≤4)． (2)z ＝⎝⎛⎭⎫8＋x0.5×4y ＝(8x ＋8)(－x ＋4)＝－8x 2＋24x ＋32(0≤x ≤4)． (3)由(2)知，z ＝－8x 2＋24x ＋32＝－8(x －1.5)2＋50(0≤x ≤4)，故当x ＝1.5时，z max ＝50. 所以当销售单价为29－1.5＝27.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元． 迁移与应用 5 75 解析：设长方形的宽为x 米，则每个长方形的长为30－3x 2米，其中0＜x ＜10.故所求居室面积S ＝x (30－3x )＝3(10x －x 2)＝－3(x －5)2＋75(0＜x ＜10)，所以当x ＝5时，S max ＝75(平方米)．即当宽为5米时，才能使所建造的熊猫居室面积最大，为75平方米． 【当堂检测】1．A 解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像的对称轴为x ＝－m2，且只有一条对称轴，所以－m2＝1，即m ＝－2.2．A 解析：函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2；要使该函数在x ∈[0，＋∞)上递增，须－b2≤0，所以b ≥0.3．B 解析：由于f (x )＝－2x 2＋4x －1＝－2(x －1)2＋1，图像的对称轴为x ＝1，开口向下，所以当x ＝1时，f (x )取最大值1，当x ＝4时，f (x )取最小值－17.4．B 解析：由二次函数解析式y ＝－3x 2＋90x ＝－3(x －15)2＋675可知，当x ＝15时，y 取最大值．5．解：y ＝f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝⎛⎭⎫x ＋132＋23. (1)顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13. (2)当x ＝－13时，y min ＝23.(3)∵函数图像关于直线x ＝－13对称，∴f ⎝⎛⎭⎫－13－x ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋x . ∴f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋13＝f ⎝⎛⎭⎫－13－13＝f ⎝⎛⎭⎫－23＝1. (4)∵f ⎝⎛⎭⎫－34＝f ⎝⎛⎭⎫－13－512＝f ⎝⎛⎭⎫－13＋512＝f ⎝⎛⎭⎫112， 而函数在⎣⎡⎭⎫－13，＋∞上是增加的，112＜154， ∴f ⎝⎛⎭⎫112＜f ⎝⎛⎭⎫154，即f ⎝⎛⎭⎫－34＜f ⎝⎛⎭⎫154. 或⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎫－13＜⎪⎪⎪⎪154－⎝⎛⎭⎫－13. ∴f ⎝⎛⎭⎫－34＜f ⎝⎛⎭⎫154.。
高中数学 第二章 函数 2.4.2 二次函数的性质课件 北师大版必修1
(3)由(1)可知 f(x)图像的对称轴是 x=3,
且 f(x)在(-∞,3]上是减少的.
因为-145<-14<3,所以 f
-
15 4
>f
-
1 4
.
K12课件
8
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
K12课件
9
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
K12课件
10
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
变式训练1 如果函数f(x)=x2+bx+1对任意实数x都有f(2+x)=f(2x),求f(1),f(2)的值.
;递减区间是
.
(3)当自变量x为
时,函数的图像达到最低点,它的最小
值是
.
(4)该函数在[0,2]上的最小值和最大值分别为
.
解析:把已知函数配方得f(x)=(x-1)2-4.
(1)f(x)的顶点是(1,-4);对称轴x=1.
(2)因为a=1>0,所以函数图像开口向上,递增区间为[1,+∞),递减
区间为(-∞,1].
a>0
a<0
图像
定义域 开口 方向 对称轴
顶点
R 图像开口向上,并向上 无限延伸 对称轴是 x=- ������
2������
顶点坐标是 - ������ , 4������������-������ 2
2������ 4������
R
图像开口向下,并向下无限 延伸
K12课件
3
函数 单调性 最值
二次函数 y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)
北师大版数学必修一同步讲义：第二章44.2二次函数的性质 (1)
4．2 二次函数的性质, [学生用书P34])二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质a 的符号 性质a >0a <0函数图像开口方向 开口向上 开口向下 顶点坐标 ⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a⎝⎛⎭⎫－b 2a，4ac －b 24a对称轴x ＝－b 2ax ＝－b 2a单调性在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减少的，在区间⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增加的在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是增加的，在区间⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是减少的1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴共同确定．()(2)函数y＝－2x2＋2x＋1的对称轴为x＝－1.()(3)所有的二次函数一定存在最大、最小值．()(4)二次函数在闭区间上既有最大值又有最小值．()★答案☆：(1)√(2)×(3)×(4)√2．函数f(x)＝－x2－2x＋3在[－5，2]上的最小值和最大值分别为()A．－12，－5B．－12，4C．－13，4 D．－10，6解析：选B.f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x＝－1.当x＝－1时，f(x)最大＝4，当x＝－5时，f(x)最小＝－12.3．若函数f(x)＝x2－2ax在(－∞，5]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的，则实数a＝________．解析：由题意知，对称轴x＝a＝5.★答案☆：54．函数y＝x2＋1，x∈[－1，2]的值域为________．解析：y＝x2＋1的图像开口向上，对称轴为y轴，当x＝0时，y最小＝1，当x＝2时，y最大＝5.所以函数y的值域为[1，5]．★答案☆：[1，5]二次函数在闭区间上的最值求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况，即：(1)若对称轴x＝－b2a在区间[m，n]内，则最小值为f⎝⎛⎭⎫－b2a，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与直线x＝－b2a距离较远的一个对应的函数值为最大值)；(2)若对称轴x＝－b2a<m，则f(x)在区间[m，n]上是增函数，最大值为f(n)，最小值为f(m)；(3)若对称轴x＝－b2a>n，则f(x)在区间[m，n]上是减函数，最大值为f(m)，最小值为f(n)．二次函数的单调性和对称性[学生用书P34](1)若函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1在区间[－1，2]上是单调的，则实数m 的取值范围是________．(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋1对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，则f (1)，f (2)的值分别为________．【解析】 (1)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋1＝(x ＋m )2＋1－m 2，其对称轴为x ＝－m ，若函数在[－1，2]上是单调的，说明对称轴不在区间[－1，2]内部，故有－m ≤－1或－m ≥2，得m ≥1或m ≤－2.(2)由题意知，函数关于x ＝2对称，故－b2＝2，得b ＝－4，所以f (x )＝x 2－4x ＋1，所以f (1)＝1－4＋1＝－2，f (2)＝4－8＋1＝－3.【★答案☆】 (1)(－∞，－2]∪[1，＋∞) (2)－2，－3(1)二次函数的单调性由开口方向和对称轴两个因素共同确定；(2)若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )或f (2a －x )＝f (x )，则f (x )的对称轴为x ＝a ；(3)若函数f (x )满足f (a －x )＝f (b ＋x )，则f (x )的对称轴为x ＝a ＋b2.1.(1)已知函数f (x )＝x 2＋2x －3在(－∞，a ]上是减函数，则实数a 的最大值为________．(2)如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，则实数a 的取值范围为________．解析：(1)函数f (x )的对称轴为x ＝－1， f (x )在(－∞，－1]上为减函数， 由题意(－∞，a ]⊆(－∞，－1]， 故a ≤－1，即a 的最大值为－1.(2)因为二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5的图像的对称轴为直线x ＝a －12，又函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，1上是增函数，所以a －12≤12，解得a ≤2. ★答案☆：(1)－1 (2)(－∞，2]二次函数的最值(值域)[学生用书P35]已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1，1]，求函数f(x)的最小值．【解】f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的图像开口向上，且对称轴为直线x＝a.当a≥1时，函数图像如图(1)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是减函数，最小值为f(1)＝3－2a；当－1<a<1时，函数图像如图(2)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为f(a)＝2－a2；当a≤－1时，函数图像如图(3)所示，函数f(x)在区间[－1，1]上是增函数，最小值为f(－1)＝3＋2a.综上，当a≥1时，f(x)min＝3－2a；当－1<a<1时，f(x)min＝2－a2；当a≤－1时，f(x)min＝3＋2a.求解二次函数最值问题的关键点(1)二次函数最值问题关键是与图像结合，主要讨论对称轴在区间左、在区间内、在区间右这三种情况．(2)对于已给出最值的问题，求解的关键是借助单调性确定最值点．2.(1)函数f(x)＝x2－4x＋5在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1，则实数m的取值范围是()A．[2，＋∞)B．[0，2]C．(－∞，2] D．[2，4](2)函数f(x)＝1x2－2x＋3，x∈[0，3]的最大值为________．解析：(1)f(x)＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1在[0，＋∞)上的图像如图，由题意得2≤m≤4.(2)令g (x )＝x 2－2x ＋3，则g (x )＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2在[0，3]上的最小值为2，最大值为6.故f (x )＝1g （x ）的最大值为12.★答案☆：(1)D (2)12二次函数在实际问题中的应用[学生用书P35]某产品生产厂家根据以往的销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)．销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋4.2x ，0≤x ≤5，x ∈N ，11，x >5，x ∈N ，假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉)，根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数y ＝f (x )的解析式(利润＝销售收入－总成本)； (2)工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？ 【解】 (1)由题意得G (x )＝2.8＋x ， 所以f (x )＝R (x )－G (x )＝⎩⎨⎧－0.4x 2＋3.2x －2.8，0≤x ≤5，x ∈N ，8.2－x ，x >5，x ∈N .(2)当x >5时，因为函数f (x )单调递减， 所以f (x )<f (5)＝3.2(万元)，当0≤x ≤5时，函数f (x )＝－0.4(x －4)2＋3.6， 当x ＝4时，f (x )有最大值为3.6(万元)，所以当工厂生产4百台产品时，可使赢利最大为3.6万元．(1)解应用题要弄清题意，从实际出发，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题．实际问题要注意确定定义域．(2)分段函数求最值，应先分别求出各段上的最值再比较．3.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k(k＞0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．(1)若存款利率为x，x∈(0，0.048)，试写出存款数量g(x)及银行应支付给储户的利息h(x)与存款利率x之间的关系式；(2)问存款利率为多少时，银行可获得最大收益？解：(1)由题意知，存款量g(x)＝kx，银行应该支付的利息h(x)＝xg(x)＝kx2，x∈(0，0.048)．(2)设银行可获得的收益为y，则y＝0.048kx－kx2＝－k(x－0.024)2＋0.0242·k，当x＝0.024时，y有最大值．所以存款利率定为0.024时，银行可获得最大收益．(本题满分12分)求函数f(x)＝x2－2ax －1在区间[0，2]上的最大值g(a)和最小值h(a)．【解】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(2分)(1)当a<0时，由图(1)可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(4分)(2)当0≤a<1时，由图(2)可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(6分)(3)当1≤a≤2时，由图(3)可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(8分)(4)当a >2时， 由图(4)可知，f (x )min ＝f (2)＝3－4a ，f (x )max ＝f (0)＝－1. (10分)综上可知，函数的最大值g （a ）＝⎩⎨⎧3－4a ，a <1，－1，a ≥1(11分)函数的最小值h (a )＝⎩⎨⎧－1，a <0，－1－a 2，0≤a ≤2，3－4a ，a >2.(12分)(1)4处，漏掉一种情况，扣2分； 若漏掉此处结论，扣1分； 若漏掉此处结论，扣1分．(2)探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图像的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据．(3)此处讨论对称轴x ＝a 与区间[0，2]的位置时，由于本题既求最大值，也求最小值，因此需要讨论对称轴相对区间中点的位置关系，此点极易忽视．1．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是() A ．[－2，2] B ．[1，2] C ．[0，2] D ．[－2， 2 ] 解析：选C.因为－x 2＋4x ＝4－（x －2）2∈[0，2]， 所以y ＝2－－x 2＋4x 的值域为[0，2]．2．函数f (x )＝11－x （1－x ）的最大值是( )A.45B.54C.43D.34解析：选C.设g (x )＝1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34∈⎣⎡⎭⎫34，＋∞， 所以f (x )＝11－x （1－x ）的最大值为43.3．若不等式ax 2＋2ax －4<2x 2＋4x 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对x ∈R 均成立， 当a ＝2时，－4<0符合题意； 当a ≠2时，需满足 ⎩⎨⎧a －2<0，Δ＝4（a －2）2＋16（a －2）＝4（a －2）（a ＋2）<0， 所以－2<a <2，综上，实数a 的取值范围是(－2，2]． ★答案☆：(－2，2]4．已知函数f (x )＝4x 2－mx ＋1在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，求f (x )在[1，2]上的值域．解：因为f (x )在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所以函数f (x )＝4x 2－mx ＋1的对称轴方程x ＝m8＝－2，即m ＝－16.又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且f (x )在[－2，＋∞)上递增． 所以f (x )在[1，2]上递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值f (1)＝4－m ＋1＝21； 当x ＝2时，f (x )取得最大值f (2)＝16－2m ＋1＝49. 所以f (x )在[1，2]上的值域为[21，49]．, [学生用书P111(单独成册)])[A 基础达标]1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋5(0≤x <5)的值域为( ) A ．(0，5] B ．[0，5] C ．[5，9] D ．(0，9]解析：选D.f (x )＝－x 2＋4x ＋5＝－(x －2)2＋9(0≤x <5)，当x ＝2时，f (x )最大＝9；当x >0且x 接近5时，f (x )接近0，故f (x )的值域为(0，9]．2．已知函数y ＝x 2－6x ＋8在[1，a )上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤3 B ．0≤a ≤3 C ．a ≥3 D ．1<a ≤3解析：选D.函数y ＝x 2－6x ＋8的对称轴为x ＝3，故函数在(－∞，3]上为减函数，由题意[1，a )⊆(－∞，3]，所以1<a ≤3.3．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0，1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ， 所以函数f (x )图像的对称轴为x ＝2. 所以f (x )在[0，1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2. 所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( ) A ．f (－2)＜f (0)＜f (2) B ．f (0)＜f (－2)＜f (2) C ．f (2)＜f (0)＜f (－2) D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析：选D.函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图像的对称轴为x ＝12，又函数图像开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大，故选D.5．设二次函数f (x )＝－x 2＋x ＋a (a <0)，若f (m )>0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．正数、负数或零都有可能解析：选B.由题意可得，f (x )＝－x 2＋x ＋a 的函数图像开口向下，对称轴为x ＝12，又a <0，则函数f (x )的图像与y 轴的交点在y 轴负半轴上，如图所示．设使f (m )>0的m 的取值范围为12－k <m <12＋k ⎝⎛⎭⎫0<k <12，所以1<32－k <m ＋1<32＋k ，所以f (m ＋1)<0，故选B.6．函数y ＝－x 2＋2x ＋3 在区间________上是减少的． 解析：令y ＝u ，u ＝－x 2＋2x ＋3≥0，则x ∈[－1，3]， 当x ∈[－1，1]时，u ＝－x 2＋2x ＋3增加，y ＝u 增加； 当x ∈[1，3]时，u ＝－x 2＋2x ＋3减小，y ＝u 减小． ★答案☆：[1，3]7．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋3－b (a >0)在区间[1，3]上有最大值5和最小值2，则a ＋b ＝__________．解析：依题意，f (x )的对称轴为x ＝1，函数f (x )在[1，3]上是增函数．故当x ＝3时，该函数取得最大值，即f (x )max ＝f (3)＝5，3a －b ＋3＝5， 当x ＝1时，该函数取得最小值， 即f (x )min ＝f (1)＝2， 即－a －b ＋3＝2，所以联立方程得⎩⎨⎧3a －b ＝2，－a －b ＝－1，解得a ＝34，b ＝14.因此a ＋b ＝1. ★答案☆：18．已知二次函数f (x )的二次项系数a ＜0，且不等式f (x )＞－x 的解集为(1，2)，若f (x )的最大值为正数，则a 的取值范围是________．解析：由不等式f (x )＞－x 的解集为(1，2)， 可设f (x )＋x ＝a (x －1)(x －2)(a ＜0)，所以f (x )＝a (x －1)(x －2)－x ＝ax 2－(3a ＋1)x ＋2a＝a ⎝⎛⎭⎫x －3a ＋12a 2－（3a ＋1）24a ＋2a ，其最大值为－（3a ＋1）24a＋2a ，若－（3a ＋1）24a＋2a ＞0，可得8a 2＜(3a ＋1)2，即a 2＋6a ＋1＞0，解得a ＜－3－22或a ＞－3＋2 2.★答案☆：(－∞，－3－22)∪(－3＋22，0) 9．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )在 [2，＋∞)上是增加的，求a 的取值范围． 解：(1)因为函数的值域为[0，＋∞)， 所以Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0，即2a 2－a －3＝0，所以a ＝－1或a ＝32.(2)函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6在[－2a ，＋∞)上是增加的，要使函数f (x )在[2，＋∞)上是增加的，只需－2a ≤2，所以a ≥－1，故a 的取值范围是[－1，＋∞)．10．某商场经营一批进价是每件30元的商品，在市场试销中发现，该商品销售单价x (不低于进价，单位：元)与日销售量y (单位：件)之间有如下关系：(1)确定x 与y )；(2)若日销售利润为P 元，根据(1)中的关系式写出P 关于x 的函数关系式，并指出当销售单价为多少元时，才能获得最大的日销售利润？解：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，由表格得方程组⎩⎨⎧45a ＋b ＝27，50a ＋b ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝162，所以y ＝f (x )＝－3x ＋162.又y ≥0，所以30≤x ≤54，故所求函数关系式为y ＝－3x ＋162，x ∈[30，54]，x ∈N . (2)由题意得，P ＝(x －30)y ＝(x －30)(162－3x )＝－3x 2＋252x －4 860，x ∈[30，54]，x ∈N . 配方得，P ＝－3(x －42)2＋432，当x ＝42时，最大的日销售利润P ＝432，即当销售单价为42元时，获得最大的日销售利润．[B 能力提升]11．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋4(a >0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则( ) A ．f (x 1)>f (x 2) B ．f (x 1)<f (x 2) C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不能确定解析：选B.因为x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，a >0，所以f (x 1)－f (x 2)＝ax 21＋2ax 1＋4－(ax 22＋2ax 2＋4)＝a (x 21－x 22)＋2a (x 1－x 2)＝a (x 1－x 2)(x 1＋x 2＋2)＝2a (x 1－x 2)<0， 所以f (x 1)<f (x 2)． 12．若定义在R 上的二次函数f (x )＝ax 2－4ax ＋b 在区间[0，2]上是增函数，且f (m )≥f (0)，求实数m 的取值范围．解：由于f (x )在区间[0，2]上是增函数，所以f (2)>f (0)，解得a <0.又因f (x )图像的对称轴为x ＝－－4a2a＝2.所以f (x )在[0，2]上的值域与在[2，4]上的值域相同，所以满足f (m )≥f (0)的m 的取值范围是0≤m ≤4.13．已知函数f (x )＝x 2－x ＋a ＋1.(1)若f (x )≥0对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )在区间[a ，a ＋1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：因为f (x )＝x 2－x ＋a ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋a ＋34，所以f (x )min ＝a ＋34.(1)若f (x )≥0对一切x ∈R 恒成立，所以a ＋34≥0，所以a ≥－34.(2)f (x )在区间[a ，a ＋1]上是单调函数，所以a ≥12或a ＋1≤12，即a ≥12或a ≤－12.14．(选做题)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R 的最小值为g (t )，试写出g (t )的函数表达式．解：f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图像如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图像如图(2)所示，最小值为g (t )＝f (1)＝1；当t >1时，函数图像如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可得g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.。
北师大版高中数学必修一第二章第4节二次函数性质的再研究(第2课时).docx
4．2 二次函数的性质1．理解二次函数的性质． 2．会判断二次函数的单调性． 3．掌握二次函数最值的求法．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质 (1)定义域：R .(2)图像：当a ＞0时，图像开口向________，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为__________；当a ＜0时，图像开口向________，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－b 2a ，4ac －b 24a ，对称轴为x＝______.(3)值域：当a ＞0时，值域为____________；当a ＜0时，值域为____________．(4)单调性：当a ＞0时，减区间是________，增区间是⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞；当a ＜0时，减区间是____________，增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a . (5)最值：当a ＞0时，有最小值____________，没有最大值；当a ＜0时，有最大值________，没有最小值．(6)f (0)＝________________.【做一做1－1】 抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是( )． A ．(2，－2) B ．(1，－2) C ．(1，－3) D ．(－1，－3) 【做一做1－2】 函数y ＝x 2－x ＋1的值域是( )．A ．RB ．[1，＋∞)C.⎣⎡⎭⎫34，＋∞D.⎝⎛⎦⎤－∞，34【做一做1－3】 求函数y ＝5x 2－4x －1的图像与x 轴的交点坐标和对称轴，并判断它在哪个区间上是增加的，在哪个区间上是减少的．答案：(2)上 x ＝2b a - 下 2b a- (3),2b f a ⎡⎫⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎢⎝⎭⎣⎭ ,2b f a ⎛⎤⎛⎫-∞- ⎪⎥⎝⎭⎝⎦(4),2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,2b a⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (5)2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭2b f a ⎛⎫- ⎪⎝⎭(6)c 【做一做1－1】 D y ＝x 2＋2x －2＝(x ＋1)2－3，故顶点坐标为(－1，－3)．故选D. 【做一做1－2】 C y ＝x 2－x ＋1＝21324x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【做一做1－3】 解：令y ＝0，即5x 2－4x －1＝0，解得x 1＝15-，x 2＝1.故函数图像与x 轴的交点坐标为1,05⎛⎫- ⎪⎝⎭，(1,0)．因为y ＝5x 2－4x －1＝229555x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以，函数图像的对称轴是直线x ＝25，函数在区间2,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上是减少的，在区间⎣⎡⎭⎫25，＋∞上是增加的．如何求二次函数在闭区间上的最值？剖析：对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a ＞0)在区间[m ，n ]上的最值可作如下讨论．对称轴x ＝h 与[m ，n ]的位置关系最大值 最小值 h ＜m f (n ) f (m ) h ＞n f (m ) f (n ) m ≤h ≤nm ≤h ＜m ＋n2f (n ) f (h ) h ＝m ＋n2f (m )或f (n ) f (h ) m ＋n2＜h ≤n f (m )f (h )题型一 二次函数的单调性【例1】 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增加的，求f (1)的取值范围． 分析：f (1)＝9－m ，求f (1)的取值范围就是求一次函数y ＝9－m 的值域，利用已知条件先求其定义域．反思：利用二次函数的单调区间与对称轴的关系，求m 的范围是解此题的关键．不要认为f (x )的增区间是[－2，＋∞)，实际上它只是增区间的子区间．题型二 二次函数图像的对称性【例2】 已知函数f (x )＝12x 2－3x －34.(1)求这个函数图像的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝⎛⎭⎫72＝－418，不计算函数值，求f ⎝⎛⎭⎫52； (3)不直接计算函数值，试比较f ⎝⎛⎭⎫－14与f ⎝⎛⎭⎫－154的大小． 分析：解答本题可先将f (x )配方，进而确定顶点坐标及对称轴，然后根据f (x )图像的对称性求f ⎝⎛⎭⎫52的值及比较f ⎝⎛⎭⎫－14与f ⎝⎛⎭⎫－154的大小． 反思：(1)已知二次函数的解析式求顶点坐标及对称轴，一般先用配方法把二次函数解析式写成顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k ，进而确定顶点坐标为(－h ，k )，对称轴为x ＝－h .(2)比较两函数值大小，可以先比较两点离对称轴的距离大小，然后结合二次函数的开口方向，从而得到它们的大小关系，也可以将要比较的两点转化到同一单调区间上，利用函数的单调性比较它们的大小．题型三 二次函数的最值问题【例3】 求函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值和最小值，并写出单调区间． 分析：画出图像来分析．反思：讨论二次函数的性质时，常借助于图像来解决，特别是最值问题，利用图像可以简洁地求出，否则易出现错误．本题中易错认为最小值是f (3)，其原因是没有结合图像分析．【例4】 求函数f (x )＝x 2－2ax －1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值． 分析：因为f (x )＝(x －a )2－a 2－1，其图像的对称轴为直线x ＝a ，由对称轴相对于区间[0,2]的可能位置分别求其最值．反思：求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最值，要根据其图像的对称轴相对于所给区间的位置来确定．一般地，当a ＞0，即抛物线开口向上时，在距对称轴较远的区间的端点处取得最大值；在抛物线的顶点处(当对称轴在所属区间内)或在距对称轴较近(当对称轴在所给区间外侧时)的区间的端点处取得最小值．当a ＜0，即抛物线开口向下时，可相应地得出结论．【例5】 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]的最小值为g (t )，求g (t )的解析式． 分析：本题按抛物线对称轴x ＝1在区间[t ，t ＋1]之内和之外分类讨论．反思：二次函数求最值问题，首先要采用配方法，化为y ＝a (x －m )2＋n 的形式，得顶点(m ，n )或对称轴方程x ＝m ，可分为三个类型：(1)顶点固定，区间也固定；(2)顶点变动，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外； (3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数． 题型四 二次函数的实际应用【例6】 渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨与实际养殖量x 吨和空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k 所应满足的条件．反思：二次函数模型是一种常见的函数应用模型，是高考的重点和热点．其解题关键是列出二次函数解析式，即建立函数模型，转化为求二次函数的最值等问题．答案：【例1】 解：∵二次函数f (x )＝4x 2－mx －5在区间[－2，＋∞)上是增加的，且对称轴是x ＝m 8，∴m8≤－2，即m ≤－16. ∴f (1)＝4－m ＋5＝－m ＋9≥25，∴f (1)≥25. 【例2】 解：(1)∵f (x )＝12x 2－3x －34＝12(x －3)2－214，∴函数的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫3，－214，对称轴为x ＝3. (2)∵f ⎝⎛⎭⎫72＝－418， 又⎪⎪⎪⎪52－3＝12，⎪⎪⎪⎪72－3＝12， 结合二次函数图像的对称性， ∴有f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫72＝－418. (3)由f (x )＝12(x －3)2－214可知，f (x )在(－∞，3]上是减少的， 又－154＜－14＜3，∴f ⎝⎛⎭⎫－154＞f ⎝⎛⎭⎫－14. 【例3】 解：画出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的图像，如图所示．观察图像，得函数f (x )＝x 2－2x 在区间[－2,1]上是减少的，则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；函数f (x )＝x 2－2x 在区间[1,3]上是增加的，则此时最大值是f (3)＝3，最小值是f (1)＝－1.则函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,3]的最大值是8，最小值是－1. 增区间是[1,3]，减区间是[－2,1]．【例4】 解：f (x )＝x 2－2ax －1＝(x －a )2－a 2－1，∴f (x )的图像是开口向上，对称轴为直线x ＝a 的抛物线，如图所示．当a ＜0时(如图(1))，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (0)＝－1；当0≤a ≤1时(如图(2))，f (x )的最大值为f (2)＝3－4a ，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1； 当1＜a ＜2时(如图(3))，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (a )＝－a 2－1； 当a ≥2时(如图(4))，f (x )的最大值为f (0)＝－1，f (x )的最小值为f (2)＝3－4a . 【例5】 解：∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，当t ＋1＜1，即t ＜0时，函数在[t ，t ＋1]上是减少的， ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t ＜1，即0≤t ＜1时，g (t )＝f (1)＝1； 当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上是增加的， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2. ∴g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.【例6】 解：(1)由题意，知空闲率为⎝⎛⎭⎫1－xm ， ∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－xm (0＜x ＜m )． (2)y ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4， ∵－km ＜0且0＜x ＜m ，∴当x ＝m 2时，y max ＝km4.(3)∵当x ＝m 2时，y max ＝km4，又实际养殖量不能达到最大养殖量，∴此时，需要m 2＋km4＜m ，解得k ＜2.又∵k ＞0，∴0＜k ＜2.1 函数y＝x2＋4的最大值和最小值情况是( )．A．有最小值0，无最大值B．有最大值4，无最小值C．有最小值4，无最大值D．有最大值4，有最小值0 2 函数y＝－2x2＋x在下列哪个区间上是增加的( )．A．R B．[2，＋∞)C.1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D.1,4⎛⎤-∞⎥⎝⎦3 函数f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在区间(－2，＋∞)上是减少的，则a的取值范围是( )．A．[－3,0] B．(－∞，－3]C．[－3,0) D．[－2,0]4 抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝__________.5 将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？答案：1．C 2.D函数y＝－2x2＋x＝211248x⎛⎫--+⎪⎝⎭的图像的对称轴是直线14x=，图像的开口向下，所以函数在对称轴14x=的左边是增加的．3．A(1)当a＝0时，显然正确．(2)当a≠0时，f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1在(－2，＋∞)上是减少的，应满足0,2(3)2,2aaa<⎧⎪-⎨-≤-⎪⎩解得－3≤a＜0.由(1)(2)可知，a的取值范围是[－3,0]．4．9或25∵抛物线的顶点在x轴上，∴244ac ba-＝0，即b2－4ac＝0.∴(m－1)2－4×8(m－7)＝0.解得m＝9或m＝25.5．分析：设售价及利润，建立利润与售价的函数关系式．解：设售价为x元时，利润为y元，单个涨价为(x－50)元，销量减少10(x－50)个，50≤x ＜100.∴y＝(x－40)[500－10(x－50)]＝－10(x－70)2＋9 000.当x＝70时，y max＝9 000，即售价为70元时，利润最大为9 000元．。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-2二次函数的性质
必修1《二次函数的性质再研究》教学设计一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学必修一》（北师大版）第二章第二节第二课时《二次函数的性质再研究》。
关于《二次函数的性质》在初中已经学习过，根据我所任教的学生的实际情况，我将《二次函数的性质与图象》设定为二节课（探究图象及其性质）。
二次函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习其他初等函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以二次函数性质应重点研究。
二、学生学习况情分析二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，是学生对函数概念及性质的又一次应用。
基于在初中教材的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，已经让学生掌握了二次函数的图象及一些性质，利用单调性、对称轴及顶点坐标求函数值域，本节课在课本给出的一个例题基础上研究了含参数二次函数值域的求解。
本节课需要认真设计问题来激发学生学习新知的兴趣和欲望。
三、设计思想1.函数及其图象在高中数学中占有很重要的位置。
如何突破这个既重要又抽象的内容，其实质就是采用数形结合的思想，利用二次函数的性质求值域。
本节课，力图让学生通过对参数的讨论，从不同的角度去研究函数，对函数进行一个全方位的研究，并通过对比总结得到研究解决含参数函数的值域求解的方法，让学生去体会这种研究方法,以便能将其迁移到其他函数的研究中去。
2.结合新课程实施的教学理念，在本课的教学中我努力实践以下两点：（1）在课堂活动中通过同伴合作、自主探究尝试培养学生积极主动、勇于探索的学习方式。
（2）在教学过程中努力做到师生的互动，并且在对话之后重视体会、总结、反思，力图在培养和发展学生数学素养的同时让学生掌握一些学习、研究数学的方法。
（3）通过课堂教学活动向学生渗透数学思想方法数形结合的思想.四、教学目标根据任教班级学生的实际情况，本节课我确定的教学目标是：1、知识与技能：掌握二次函数的图象与性质，能够根据二次函数的定义域、单调性，求函数值域的性质，提高学生理解和掌握知识的方法.2、过程与方法：通过老师的引导、点拨，让学生在分组合作、积极探索的氛围中，通过回顾归纳，类比分析的方法掌握从函数图象出发研究函数性质的数学方法，加深对函数概念的理解和研究函数的方法的认识。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
高一数学北师大版必修1教学教案第二章4-2二次函数的性质(1)
第二章 4.2 二次函数的性质 教材内容解析：二次函数是高中数学最常用的函数，在全国各地的高考中是常考内容，考题形式多变。
本节内容是北师大版高中数学必修一第二章第四节“二次函数的性质”。
它是学生在初中学习了二次函数的基础上，用数学语言通过实例具体分析、观察、归纳更深层次的刻画二次函数的性质。
在学习过程中结合二次函数的图像展开思维，突破难点，使学生更好的理解并应用二次函数的性质解决问题。
教学三维目标：知识与技能：掌握二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法；培养学生的观察分析能力，由特殊到一般的归纳能力，引导学生学会用数形结合的方法研究问题。
过程与方法：用数形结合的方法总结二次函数的性质，并灵活应用分类讨论解决含参问题，引导学生思考、探索，在解决问题中建构新知。
情感、态度与价值观：通过新旧知识的认识，激发学生的求知欲；在合作学习过程中培养 学生团结协作的思想品质。
学生学情分析：高一学生在初中已经初步认识并学习了二次函数的图像与性质，具备了一定的观察、分析及概括能力，为二次函数性质的再次学习奠定了基础。
但是高中数学与初中数学相比，知识的难易程度有很大的提高，所以学生在语言表述、解题过程的书写、知识的灵活应用、从直观到抽象的转变等，对他们来说有很大的困难。
教学策略分析与设计：在教学中本着“问题——探究——反思——提高”的过程，开展所要学习的内容。
1、在自主学习的问题情境中，通过旧知识再现分析、观察，归纳直观到抽象的规律，并在从易到难的教学过程中学以致用。
2、在开放的情境中，独学、群学相结合。
通过生生互动、师生互动，鼓励每个学生动口、动手、动脑，让每个学生积极主动参与到整个课堂的知识构建中，在展现获取知识和方法的思维过程中，突出探究、合作，提高学生学习的兴趣和热情，使学生由“学会”变成“会学”和“乐学”。
教学过程：板书设计《二次函数的性质》课堂检测编写人：审核人：编写时间：周次：_____班_____组姓名：__________ 组评：_________ 师评：__________ A1、函数)2()(--=x x x f 的单调增区间为________________。
北师大版高中数学必修一目录
必修（第一册）（共计72 课时）第一章集合与常用逻辑用语（10课时）1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3 集合的基本运算阅读与思考集合中元素的个数1.4 充分条件与必要条件阅读与思考几何命题与充分条件、必要条件1.5 全称量词与存在量词第二章一元二次函数、方程和不等式（8课时）2.1 等式性质与不等式性质2.2 基本不等式2.3 二次函数与一元二次方程，不等式第三章函数的概念与性质（12课时）3.1 函数的概念及其表示阅读与思考函数概念的发展历程3.2 函数的基本性质信息技术应用用计算机绘制函数图象3.3 幂函数探究与发现探究函数的图象与性质3.4 函数的应用（一）文献阅读与数学写作* 函数的形成与发展第四章指数函数与对数函数（16课时）4.1 指数4.2 指数函数阅读与思考放射性物质的衰减信息技术应用探究指数函数的性质4.3 对数阅读与思考对数的发明4.4 对数函数探究与发现互为反函数的两个函数图象间的关系4.5 函数的应用（二）阅读与思考中外历史上的方程求解文献阅读与数学写作* 对数概念的形成与发展数学建模（3课时）建立函数模型解决实际问题第五章三角函数（23课时）5.1 任意角和弧度制5.2 三角函数的概念阅读与思考三角学与天文学5.3 诱导公式5.4 三角函数的图象与性质探究与发现函数及函数的周期探究与发现利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质5.5 三角恒等变换信息技术应用利用信息技术制作三角函数表5.6 函数5.7 三角函数的应用阅读与思考振幅、周期、频率、相位必修（第二册）（共计69 课时）第六章平面向量及其应用（18课时）6.1 平面向量的概念6.2 平面向量的运算阅读与思考向量及向量符号的由来6.3 平面向量基本定理及坐标表示6.4 平面向量的应用阅读与思考海伦和秦九韶数学探究（2课时）用向量法研究三角形的性质第七章复数（8课时）7.1 复数的概念7.2 复数的四则运算阅读与思考代数基本定理7.3*复数的三角表示探究与发现的次方根第八章立体几何初步（19课时）8.1 基本立体图形8.2 立体图形的直观图阅读与思考画法几何与蒙日8.3 简单几何体的表面积与体积探究与发现祖暅原理与柱体、锥体的体积8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系8.5 空间直线、平面的平行8.6 空间直线、平面的垂直阅读与思考欧几里得《原本》与公理化方法文献阅读与数学写作*几何学的发展第九章统计（13课时）9.1 随机抽样阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应信息技术应用统计软件的应用9.2 用样本估计总体阅读与思考统计学在军事中的应用——二战时德国坦克总量的估计问题阅读与思考大数据9.3 案例统计公司员工的肥胖情况调查分析第十章概率（9课时）10.1 随机事件与概率10.2 事件的相互独立性10.3 频率与概率阅读与思考孟德尔遗传规律选择性必修（第一册）（共计43 课时）第一章空间向量与立体几何（15课时）1.1 空间向量及其运算1.2 空间向量基本定理1.3 空间向量及其运算的坐标表示阅读与思考向量概念的推广与应用1.4 空间向量的应用第二章直线和圆的方程（16课时）2.1 直线的倾斜角与斜率2.2 直线的方程探究与发现方向向量与直线的参数方程2.3 直线的交点坐标与距离公式阅读与思考笛卡儿与解析几何2.4 圆的方程阅读与思考坐标法与数学机械化2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系第三章圆锥曲线的方程（12课时）3.1 椭圆信息技术应用用信息技术探究点的轨迹：椭圆3.2 双曲线探究与发现为什么是双曲线的渐近线3.3 抛物线探究与发现为什么二次函数的图象是抛物线阅读与思考圆锥曲线的关学性质及其应用文献阅读与数学写作* 解析几何的形成与发展选择性必修（第二册）（共计30 课时）第四章数列（14课时）4.1 数列的概念阅读与思考斐波那契数列4.2 等差数列4.3 等比数列阅读与思考中国古代数学家求数列和的方法4.4*数学归纳法第五章一元函数的导数及其应用（16课时）5.1 导数的概念及其意义5.2 导数的运算探究与发现牛顿法——用导数方法求方程的近似解5.3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质文献阅读与数学写作* 微积分的创立与发展选择性必修（第三册）（共计35 课时）第六章计数原理（11课时）6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少6.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质6.3 二项式定理数学探究（2课时）杨辉三角的性质与应用第七章随机变量及其分布（10课时）7.1 条件概率与全概率公式阅读与思考贝叶斯公式与人工智能7.2 离散型随机变量及其分布列7.3 离散型随机变量的数字特征7.4 二项分布与超几何分布探究与发现二项分布的性质7.5 正态分布信息技术应用概率分布图及概率计算第八章成对数据的统计分析（9课时）8.1 成对数据的统计相关性8.2 一元线性回归模型及其应用阅读与思考回归与相关8.3 列联表与独立性检验数学建模（3课时）建立统计模型进行预测。
新北师大版高中数学必修1课件：第二章 §4 4.1 二次函数的图像
+ ������ + ������
= =
1238,,解得
������ ������
= =
3, 1,
所以f(x)=3(x+1)2+1, 即f(x)=3x2+6x+4.
答案:C
123456
4已知二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图像必经过
点
.
解析:∵a+b=0,
∴当x=1时,y=1+a+b=1,
∴函数图像过点(1,1).
答案:(1,1)
123456
5把函数y=4x2的图像上各点的纵坐标变为原来的
1 4
,横坐标不变,所
得图像的函数解析式为
.
答案:y=x2
题型一 题型二
【变式训练2】 把二次函数y=x2-3x的图像向右平移2个单位长度,
再向下平移3个单位长度所得图像的对应函数解析式
为
.
解析:y=x2-3x=
������-3 22源自−9 4,
将函数y=
������-
3 2
2 − 9 的图像向右平移
4
2 个单位长度,得到函数 y= ������- 3 -2 2 − 9 的图像,即 y= ������- 7 2 − 9
2
即
f(x)=
1 2
������2
−
������
−
4.
2.图像变换 先将二次函数的解析式整理成顶点式y=a(x+h)2+k(a≠0),再由二 次函数y=x2的图像经过下列的变换得到:
【做一做2】 将函数y=4x2+2x+1写成y=a(x+h)2+k的形式,并说
高中数学(北师大版)教学设计 必修一：2-4-2二次函数的性质
教学设计4．2二次函数的性质整体设计教学分析在讨论二次函数性质的过程中，其图像显然起了重要作用，但是又不忽视解析式的作用．因此教材突出数与形的有机结合．本节教材先给出了抽象的字母形式的配方结果，进而从字母出发对a＞0时函数的单调性进行了证明．与二次函数的图像一节相比，例题也比较综合，有一定的难度．可以而且应该适度综合，适度抽象．高中学生，已经处于思维接近成熟的阶段，有些情况下，不能就事论事，而应该适度思考一些带有综合性的问题，但不可过分．对一般学生来说，分寸掌握到课本例题和习题的水平为宜．程度好一些的学生，当然，也可以自选一些题目来做．对于抽象的一般二次函数单调性证明，用文字表示对称轴、顶点、最大(小)值、单调区间等，教师应该带领学生尝试．解决实际问题，是数学学习的重要目的，也是引起学生思考的重要方法．有些例题，如例3，意在联系实际．但是，编者眼界有限．教师，可以而且应该具有这种意识，自己出马或发动学生根据当地实际再编写一些联系实际的问题．值得注意的是课上注意组织学生动手，活动，实践．教材中安排了学生的“动手实践”和“思考交流”．教师，要创造性地用好它们．三维目标对一般二次函数解析式配方，确定其位置，并能研究其定义域、值域、单调性、最大(小)值等性质，提高学生数形结合的能力．重点难点教学重点：二次函数的性质．教学难点：应用二次函数的性质解决实际问题．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.上一节课，我们学习了二次函数的图像，本节课我们来学习二次函数的性质．思路2.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，人们在制造时一般是期望在它达到最高点(大约是距地面25米到30米处)时爆炸，烟花冲出去后的运动路线是抛物线形的，为了达到放烟花的最佳效果，烟花设计者按照有关的数据设定引线的长度，如果是你来设计，你可以吗？教师引出课题．推进新课新知探究提出问题①画出y ＝2x 2－4x －3的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.②画出y ＝－x 2＋4x ＋5的图像，根据图像讨论图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.③讨论二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图像的开口方向、顶点坐标、对称轴、单调区间、最大值和最小值.活动：学生回顾画二次函数图像的方法，思考函数的单调性、最值的几何意义． 讨论结果：①y ＝2x 2－4x －3＝2(x －1)2－5，其图像如图1所示．图1观察图像得：开口向上；顶点A (1，－5)；对称轴直线x ＝1；在(－∞，1]上是减少的，在上是增加的，在(x 2－x 1)．因为x 1＜－b 2a ，x 2≤－b 2a ，所以x 1＋x 2＜－ba ，即a (x 1＋x 2)＜－b . 也就是a (x 1＋x 2)＋b ＜0.又x 2－x 1＞0，所以f (x 2)－f (x 1)＜0， 即f (x 2)＜f (x 1)．由函数单调性的定义，f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上是减少的． 同理可证，f (x )在⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上是增加的．显然，将f (x )＝ax 2＋bx ＋c 配方成f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a 之后，我们就可以通过a ，－b 2a和4ac －b 24a直接得到函数的主要性质，并且可以依此画出函数图像．应用示例思路1例1 将函数y ＝－3x 2－6x ＋1配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像．活动：学生回顾思考如何由二次函数的解析式讨论其性质． 解：y ＝－3x 2－6x ＋1＝－3(x ＋1)2＋4.由于x 2的系数是负数，所以函数图像开口向下；图5顶点坐标为(－1,4)；对称轴为x ＋1＝0(或x ＝－1)；函数在区间(－∞，－1]上是增加的，在区间D ．(－∞，2]解析：函数y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，则对称轴是x ＝2，所以当x ≤2时，是增函数． 答案：D2．函数f (x )＝x 2－2x －3在上的最大值和最小值分别为( )． A ．5，－4B ．3，－7C ．无最大值和最小值D ．7，－4解析：画出二次函数f (x )＝x 2－2x －3在上的图像，可得最大值为5，最小值为－4. 答案：A3．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈时函数f (x )为减函数，则m 等于( )． A ．－4 B ．－8 C ．8D ．无法确定解析：二次函数在对称轴的两侧的单调性相反．由题意得函数的对称轴为x ＝－2，则m4＝－2，所以m ＝－8.答案：B例2 绿缘商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若每瓶售价每降低0.05元，则可多销售40瓶．在每月的进货量当月销售完的前提下，请你给该商店设计一个方案：销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时，才可获得最大的利润？活动：学生仔细审题，读懂题意，教师可以提示解决应用题的关键是建立数学模型． 解：设销售价为x 元/瓶，则根据题意(销售量等于进货量)，正好当月销售完的进货量为4－x0.05×40＋400即400(9－2x )瓶．此时所得的利润为f (x )＝400(9－2x )(x －3)＝400(－2x 2＋15x －27)(元)． 根据函数性质，当x ＝154时，f (x )取得最大值450.这时进货量为400(9－2x )＝400×⎝⎛⎭⎫9－2×154＝600(瓶)． 获得最大利润为450元．点评：本题主要考查二次函数及其最值，以及应用二次函数解决实际问题的能力. 变式训练渔场中鱼群的最大养殖量为m 吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y 吨与实际养殖量x 吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k (k ＞0)．(1)写出y 关于x 的函数关系式，并求出定义域； (2)求鱼群的年增长量的最大值；(3)当鱼群的年增长量可达到最大值时，求k 所应满足的条件．分析：本题解题的关键是理解题意，并将其转化为常规的数学问题——二次函数问题，然后利用二次函数的知识解决该实际问题．解：(1)由题意，知空闲率为1－xm ，∴y ＝kx ⎝⎛⎭⎫1－x m (0＜x ＜m )． (2)y ＝－k m x 2＋kx ＝－k m ⎝⎛⎭⎫x －m 22＋km4，∵－k m ＜0且0＜x ＜m ，∴当x ＝m 2时，y max ＝km 4.(3)∵当x ＝m 2时，y max ＝km4，又实际养殖量不能达到最大养殖量，∴此时，需要m 2＋km4＜m ，解得k ＜2.又∵k ＞0， ∴0＜k ＜2.思路2例1 已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3. (1)画出f (x )的图像；(2)根据图像写出函数f (x )的单调区间；(3)利用定义证明函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数； (4)当函数f (x )在区间(－∞，m ]上是增函数时，求实数m 的取值范围．分析：(1)画二次函数的图像时，重点确定开口方向和对称轴的位置；(2)根据单调性的几何意义，写出单调区间；(3)证明函数的增减性，先在区间上取x 1＜x 2，然后作差f (x 1)－f (x 2)，判断这个差的符号即可；(4)讨论对称轴和区间(－∞，m ]的相对位置．图6解：(1)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图像如图6所示.(2)由函数f (x )的图像得，在直线x ＝1的左侧图像是上升的，在直线x ＝1的右侧图像是下降的，故函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]，单调递减区间是(1，＋∞)．(3)设x 1，x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2，则有f (x 1)－f (x 2)＝(－x 21＋2x 1＋3)－(－x 22＋2x 2＋3)＝(x 22－x 21)＋2(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(2－x 1－x 2)．∵x 1、x 2∈(－∞，1]，且x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，x 1＋x 2＜2. ∴2－x 1－x 2＞0.∴f (x 1)－f (x 2)＜0. ∴f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3在区间(－∞，1]上是增函数．(4)函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的对称轴是直线x ＝1，在对称轴的左侧是减函数，那么当区间(－∞，m ]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其综合应用．讨论二次函数的单调性时，要结合二次函数的图像，通过确定对称轴和单调区间的相对位置来解决． 变式训练如果二次函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝⎛⎭⎫14，12上是减函数，那么f (2)的取值范围是( )．A ．(－∞，7]B ．(－∞，7)C ．(7，＋∞)D ．上是减函数，则m 的取值范围是( )．A ．m ≤3B ．m ≥3C ．m ≤－3D ．m ≥－3解析：结合二次函数的图像来分析．二次函数y ＝x 2＋2(m －1)x ＋3的对称轴x ＝－(m －1)＝1－m .∵1＞0，∴开口向上，在(－∞，－2]上递减，需满足对称轴x ＝1－m 在区间(－∞，－2]的右侧，则－2≤1－m ，∴m ≤3.答案：A5．已知f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是__________． 答案：6．设f (x )＝x 2－2ax ＋2.当x ∈，t ∈R ， (1)求f (x )的最小值g (t )的解析式； (2)求g (t )的最小值．分析：(1)易得函数的对称轴为x ＝2，之后分对称轴在区间左、内、右分段得出最小值的解析式．(2)g (t )是分段函数，各段上最小值中的最小值是g (t )的最小值．解：(1)∵f (x )＝(x －2)2－8， ∴f (x )的对称轴是直线x ＝2.当2∈，即t ≤2≤t ＋1时，1≤t ≤2，g (t )＝f (2)＝－8； 当2＞t ＋1，即t ＜1时，f (x )在上随x 增大f (x )减小． ∴g (t )＝f (t ＋1)＝t 2－2t －7.当t ＞2时，f (x )在⊆D ，使f (x )在区间的值域也是． 那么就称函数y ＝f (x )为闭函数．试判断函数y ＝x 2＋2x (x ∈，如果不是闭函数，请说明理由．分析：本题立意新颖，背景鲜明，设问灵活，体现了考查能力和素质的要求．闭函数的概念是教材上没有的，这类问题的给出可以是新概念、新定理或新规则，其解决策略是先读懂题目，进行信息迁移，获取有用信息，再利用这个新知识作进一步的演算或推理，结合数学知识进而解决问题．先证明函数y ＝x 2＋2x (x ∈，则有⎩⎪⎨⎪⎧ f (a )＝a ，f (b )＝b ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a ＝a ，b 2＋2b ＝b . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1. 又∵－1≤a ＜b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.∴函数y ＝x 2＋2x (x ∈．拓展提升问题：怎样求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间上的最值？探究：求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间上的最值时，易错认为最大值是f (q )，最小值是f (p )，总是一错再错．其突破方法是结合二次函数f (x )在闭区间上的图像，依据函数的单调性求出．我们知道，①如果函数y ＝f (x )在区间(a ，b ]上单调递增，在区间上单调递减，在区间上的最值问题转化为判断其单调性．例如：求函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈的最大值和最小值．思路分析：画出函数的图像，写出单调区间，根据函数的单调性求出．图7解：画出函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈的图像，如图7所示，观察图像得，函数f (x )＝x 2－2x 在区间上是减函数，则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；函数f (x )＝x 2－2x 在区间(1,3]上是增函数，则此时最大值是f (－2)＝8，最小值是f (1)＝－1；则函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈的最大值是8，最小值是－1.因此可见，求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间上的最值的关键是看二次项系数a 的符号和对称轴x ＝－b2a的相对位置，由此确定其单调性，再由单调性求得最值．可以利用同样方法归纳出结论： 若a ＞0，则(1)当－b2a ≤p ，即对称轴在区间的左边时，画出草图如图8(1)，从图像上易得f (x )在上是增函数，则f (x )min ＝f (p )，f (x )max ＝f (q )；(2)当p ＜－b 2a ＝p ＋q2，即对称轴在区间的左端点与区间中点之间时，画出草图如图8(2)，从图像上易得f (x )在上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b 24a，f (x )max ＝f (q )；图8(3)当p ＋q 2＜－b2a≤q ，即对称轴在区间的中点与右端点之间时，画出草图如图8(3)．从图像上易得f (x )在上的最值情况是f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝4ac －b24a，f (x )max ＝f (p )； (4)当－b2a ＞q ，即对称轴在区间的右边时，画出草图如图8(4)，从图像上易得f (x )在上是减函数，则f (x )min ＝f (q )，f (x )max ＝f (p )．对a ＜0的情况，可类似得出．即二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在闭区间上的最值：设f (x )在区间上的最大值为M ，最小值为m ，x 0＝12(p ＋q )．结合图像，得当a ＞0时，若－b2a ＜p ，则f (p )＝m ，f (q )＝M ；若p ≤－b2a ＜x 0，则f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝m ，f (q )＝M ； 若x 0≤－b2a ＜q ，则f (p )＝M ，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝m ； 若－b2a≥q ，则f (p )＝M ，f (q )＝m .当a ＜0时，若－b2a ＜p ，则f (p )＝M ，f (q )＝m ；若p ≤－b2a ＜x 0，则f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝M ，f (q )＝m ； 若x 0≤－b2a ＜q ，则f (p )＝m ，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ＝M ； 若－b2a≥q ，则f (p )＝m ，f (q )＝M .课堂小结本节我们学习了： (1)二次函数的性质；(2)解决二次函数的实际应用问题．作业习题2—4 A 组5,6,7.设计感想本节教学设计注重了用图像探索出二次函数的性质(如单调性)，再用定义证明其正确性．这样体现了由感性认识，再上升到理性认识，符合学生的认知规律．并且拓展了教材的内容，以便适应高考的要求．备课资料二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的性质总结 1．解析式(1)一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； (2)顶点式：y ＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； (3)零点式：y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．说明：所有二次函数的解析式均有一般式和顶点式，并不是所有的二次函数的解析式均有零点式，只是图像与x 轴有交点的二次函数才有零点式．2．图像(1)形状是抛物线．其特征是：对于二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下；对称轴是直线x ＝－b2a ；顶点⎝⎛⎭⎫－b 2a ，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ； 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，与x 轴有两个交点，当Δ＝b 2－4ac ＝0时，与x 轴有一个交点，当Δ＝b 2－4ac ＜0时，与x 轴没有交点．(2)画抛物线时，重点体现抛物线的特征：先确定“三点一线一开口”即顶点和与x 轴交点，对称轴这条直线，开口方向．再根据这些特征在坐标系中简单画出抛物线的草图．3．性质 (1)定义域：R .(2)值域：当a ＞0时，为⎣⎡⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，＋∞，当a ＜0时，为⎝⎛⎦⎤－∞，f ⎝⎛⎭⎫－b 2a . (3)单调性：当a ＞0时，单调递减区间是⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ，单调递增区间是⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞； 当a ＜0时，单调递减区间是⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞，单调递增区间是⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a .(4)最值：当a ＞0时，有最小值f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，没有最大值； 当a ＜0时，有最大值f ⎝⎛⎭⎫－b 2a ，没有最小值． (5)f (0)＝c .4．常见结论：(1)当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，则有x 1＋x 2＝－b 2a； (2)当二次函数f (x )在(－∞，m ]和(m ，＋∞)上的单调性相反时，则有m ＝－b 2a； 当a ＞0时，二次函数f (x )在(－∞，m ]上为减函数，则有m ≤－b 2a，二次函数f (x )在上为增函数，则有m ≤－b 2a ，二次函数f (x )在[m ，＋∞)上为减函数，则有m ≥－b 2a； (3)二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的关系：二次函数f (x )的图像与x 轴交点的个数等于方程f (x )＝0的实数根的个数，并且当二次函数f (x )的图像与x 轴有交点时，其交点的横坐标是方程f (x )＝0的实数根．(设计者 赵冠明)。
北师大版高中数学必修一4.2 二次函数的性质.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2. 4.2 二次函数的性质(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1.若x 为实数，则函数y ＝x 2＋3x －5的最小值为…………………………………( )－294－5不存在【解析】 由于x 为实数，所以x ≥0.因为y ＝x 2＋3x －5在［0，＋∞)上为增函数，当x ＝0时，y min ＝－5.【答案】2.函数f(x)＝11－x(1－x)的最大值是…………………………………( ) 4554 34 43【解析】 f(x)＝11－x(1－x)＝1x 2－x ＋1，由复合函数的单调性知，函数在(－∞，12］上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，x 2－x ＋1取最小值时，f(x)取最大值， 故f(x)max ＝f(12)＝43. 【答案】3.二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 图象的最高点是(－3,1)，则b 、c 的值是……………( )＝6，c＝＝6，c ＝－8 ＝－6，c ＝ ＝－6，c ＝－8【解析】 由题意232414b c b ⎧=-⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩- ∴b ＝－6 c ＝－8【答案】4.已知二次函数y ＝f(x)在区间(－∞，5］上单调递减，在区间［5，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是…………………………………( )－2)＜f(6)＜＜f(6)＜f(－2) ＜f(11)＜f(－＜f(－2)＜f(6)【解析】 由二次函数的两个单调区间知，该二次函数的对称轴为x ＝5，离对称轴越近函数值越小.故选【答案】二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知函数f(x)＝x 2－6x ＋8，x ∈［1，a ］，并且f(x)的最小值为f(a)，则实数a 的取值范围是 .【解析】 由题意知f(x)在［1，a ］内是单调递减的.又∵f(x)的单调递减区间为(－∞，3］，∴1＜a ≤3.【答案】 (1,3］6. 已知二次函数y=-x 2+2x+m 的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x 2+2x+m=0的根为 .【解析】 由图知拋物线的对称轴为直线x=1，与x 轴的一个交点坐标是(3,0)，所以拋物线与x 轴的另一个交点坐标是(-1,0)，所以关于x 的一元二次方程-x 2+2x+m=0的根为x 1=-1，x 2=3.【答案】 -1,3三、解答题(每小题10分，共20分)7.抛物线经过点(2，－3)，它与x 轴交点的横坐标为－1和3.(1)求抛物线的解析式；(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标；(3)画出草图；(4)观察图象，x 取何值时，函数值y 小于零？x 取何值时，y 随x 的增大而减小？【解析】 (1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3).由于抛物线经过点(2，-3)，∴-3=a(2+1)(2-3)，∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)，即y=x 2-2x-3.(2)∵y=x 2-2x-3=(x-1)2-4，∴抛物线的对称轴为x=1，顶点坐标为(1，-4).(3)抛物线的图象如右图所示.(4)由图象可知，当-1＜x ＜3时，函数值y ＜0；当x ∈(-∞，1］时，y 随x 的增大而减小.8.已知二次函数f(x)＝ax 2＋2ax ＋1在区间［－2,3］上的最大值为6，求a 的值.【解析】 当a ＝0时，f(x)＝1，不合题意，当a ≠0时，f(x)＝ax 2＋2ax ＋1＝a(x ＋1)2＋1－a ，对称轴x ＝－1，当a ＞0时，图象开口向上，在［－2,3］上的最大值为f(3)＝9a ＋6a ＋1＝6，所以a ＝13， 当a ＜0时，图象开口向下，在［－2,3］上的最大值为f(－1)＝a －2a ＋1＝6，所以a ＝－5.∴a 的值为13或－5. 【答案】 13或－59.(10分)已知函数f(x)＝x 2＋2ax ＋2，x ∈［－5,5］.(1)当a ＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f(x)在［－5,5］上是单调函数.【解析】 (1)当a ＝－1时，f(x)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.∵x∈［－5,5］，∴当x＝1时，f(x)的最小值为1.当x＝－5时，f(x)的最大值为37.(2)函数f(x)＝(x＋a)2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.∵f(x)在［－5,5］上是单调函数，∴－a≤－5，或－a≥5，故a的取值范围是a≤－5，或a≥5.。
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)
B．(－∞，－3] D．[－2,0]
(2) 当 a≠0 时 ， f(x) ＝ ax2 ＋ 2(a － 3)x ＋ 1 在 ( － 2 ， ＋ ∞) 上 是 减 函 数 ， 应 满 足 a<0， 2a－3 解得－3≤a<0. － ≤－2， 2a 由(1)(2)可知，a 的取值范围是[－3,0]．
函数图像
开口方向
向上 开口_____
向下 开口_____
北师大版数学 ·必修1
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a 的符号 性质 顶点坐标
a>0
b 4ac－b (－ ， ) 2 a 4 a ________________
b x＝－ 2a ___________
2
a<0
b 4ac－b (－ ， ) 2 a 4 a ________________ b x＝－ 2a ___________
3.会求二次函数在给定区间上的 难点：求二次函数在给定区间上的最值. 最值.
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01 课前 自主梳理 02 课堂 合作探究
03 课后 巩固提升
课时作业
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[自主梳理] 一、二次函数的定义及解析式 1．二次函数的概念
2 y ＝ ax ＋bx＋c(a≠0) 叫做二次函数，它的定义域是 R. 函数
b 当 x＝－ 时，函数取得最大值 2a 2 4ac－b 4a
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[双基自测] 1．下列关于二次函数 y＝x2＋x＋1 图像的开口方向和顶点的说法，正确的是( A．开口向下，顶点(1,1) B．开口向上，顶点(1,1) 1 3 C．开口向下，顶点(－ ， ) 2 4 1 3 D．开口向上，顶点(－ ， ) 2 4 )
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二、二次函数图像间的变换 1．y＝x2 与 y＝ax2(a≠0)间的变换 各点的 纵坐标 变为原来的 a 倍 y ＝x ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y＝ax2a≠0
2
2．y＝ax2 与 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)间的变换 向 左 平移 h 个单位长度h>0， 2 (1) y＝ax a≠0 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y ＝ a x ＋ h ＋k 上 k 再向 平移 个单位长度k>0
2．二次函数的解析式
2 y ＝ ax ＋bx＋c(a≠0) ； (1)一般式：
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中 (h，k) 为图像的顶点坐标；
(x2,0) 为图像与 x 轴的两交点坐标． (3)两点式： y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中 (x1,0) ，
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答案：D
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2．函数 y＝x2＋4 的最大值和最小值情况是( A．有最小值 0，无最大值 B．有最大值 4，无最小值 C．有最小值 4，无最大值 D．有最大值 4，有最小值 0
)
答案：C
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3． 函数 f(x)＝ax2＋2(a－3)x＋1 在区间(－2， ＋∞)上是减函数， 则 a 的取值范围是( A．[－3,0] C．[－3,0)
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4
二次函数性质的再研究 4．1 二次函数的图像 4．2 二次函数的性质
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考
纲 定 位
重 难 突
破
1.掌握二次函数图像间的平移． 2.理解二次函数的性质，并能解 重点：1.借助二次函数的图像解题． 决有关问题． 2.利用二次函数的性质解题．
－1 －2 －1 2 7 －2 0 6
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(2)描点、连线即得相应函数的图像，如图所示． 由图像可知由 y＝x2 到 y＝2x2－4x 的变化过程如下： 先把 y＝x2 的图像向右平移 1 个单位长度得到 y＝(x－1)2 的图像，然后把 y＝(x－1)2 的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的 2 倍得到 y＝2(x－1)2 的图像，最后把 y＝ 2(x－1)2 的图像向下平移 2 个单位长度便可得到 y＝2x2－4x 的图像．
答案：A
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4．抛物线 y＝－3x2＋bx＋c 是由抛物线 y＝－3x2＋6x＋1 向上平移 3 个单位，再向左 平移 2 个单位长度得到的，则 b＝________，c＝________.
解析：y＝－3x2＋6x＋1＝－3(x－1)2＋4 向上平移 3 个单位，得 y＝－3(x－1)2＋7，再向左平移 2 个单位，得 y＝－3(x－1＋2)2＋7＝－3x2－6x＋4， 比较系数得 b＝－6，c＝4.
答案：－6 4
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探究一
二次函数图像间的变换
[典例 1] 在同一坐标系中作出下列函数的图像． (1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x. 并分析如何把 y＝x2 的图像变换成 y＝2x2－4x 的图像．
[解析] (1)列表： x y＝x2 y＝x2－2 y＝2x2－4x －3 －2 －1 9 7 30 4 2 16 1 6 0 0 0 1 1 2 3 4 9
2
向 右 平移 |h| 个单位长度h<0， 2 (2) y＝ax a≠0 ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― → y ＝ a x ＋ h ＋k |k| 下 再向 平移 个单位长度k<0
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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三、二次函数的性质 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质如下表： a 的符号 性质 a>0 a<0
2
对称轴
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a 的符号 性质
a>0
a<0
单调性
b b (－∞，－ ) (－∞，－ ] 2 a 2a 上是增加的， 在区间 上是减少的， 在区间 b (－ ，＋∞) 在区间 2a 上是增加的 b [－ ，＋∞) 在区间 2a 上是减少的
最值
b 当 x＝－ 时，函数取得最小值 2a 2 4ac－b 4a