浅谈圆中阴影面积的解法

浅谈圆中阴影面积的解法
【摘要】本文主要是介绍阴影面积的解题方法和思路。

【关键词】方法；思路
【Abstract】This text’s ising main is the introduction shadow area of solution method and way of thinking
【Key words】Method; Way of thinking
面积是初等数学中的一个重要内容，尤其是求圆中阴影部分的面积求法在近几年各类考试中经常出现。

解决这类问题不仅要求学生牢固掌握各种图形的基本面积公式，还要具备良好的空间想象能力及灵活运用相关联知识解决问题的能力。

当然，如果能掌握解决这类问题的技巧和方法，对于快速准确解答这类题目会起到事半功倍的效果。

下面，仅就本人在数学中的体会作一简单探讨。

1．直接利用公式求解
例：如图，半径为2的⊙D内切于圆心角为90°的扇形OAB，求阴影部分的面积。

［解题关键］：
确定扇形OAB的半径，S阴影＝S扇形OAB－S⊙D，即可求解。

析：先从圆心D连结三个切点M、N、C，知OMDN为正方形，则OD＝2，所以扇形OAB的半径为2＋2。

故
S阴影＝S扇形OAB－S⊙D
＝π•（2＋2）2－π•22
＝（2－1）π
2．利用拼凑法求解
例：三个半径均为2的圆两两外离，则图中阴影部分的面积为（）。

A. π
B.2π
C.3π
D.4π
[解题关键]：
用拼凑法，把三个小扇形拼成一个半圆求解。

析：因为三个圆半径相等，所以可把三个扇形拼凑成一个大扇形在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°,故阴影面积之和为一半径为2的半圆面积。

所以
S阴影＝S⊙A＝•π•22＝2π，故选B。

3．利用分割法求解
例：如图，弦AC切小⊙O于D，若AO＝2，OE＝1，求阴影面积。

［解题关键］：
用分割法，把阴影面积分割成两部分分别求解。

析：连结OC交小圆于M，则OD⊥AC。

由题意知OD＝1，OC＝2，则∠COD＝∠DOA＝60°。

S1＝S△CDO－S扇形OMD＝×1×－•π•12＝－π，S2＝S扇形OBC－S扇形OMF＝•π•22－•π•12＝π。

故S阴影＝S1＋S2＝－π＋π＝＋π
4．利用旋转变换法求解
例：把两个圆心角是90°的扇形OAB和扇形OCD如图①那样叠放在一起，连结AC、BD，若OA＝3cm，OC＝2cm，求阴影部分面积。

［解题关键］：
利用旋转变换法，把小扇形绕圆心顺时针旋转一定角度，使OD与OB重合，将阴影面积转化为两扇形面积之差求解。

析：设OD旋转后与OD’重合，OC旋转后即与OE重合（如图②），则由AC、AE、CE围成的阴影面积等于由BD、BD’、DD’围成的阴影面积，同时S 扇形OCD＝S扇形OD’E。

故
S阴影＝S扇形OAB－S扇形OD’E
＝S扇形OAB－S扇形OCD
＝π×32－π×22＝π
5．利用等积变换法求解
例：如图，⊙O直径EF＝10cm，弦AB‖EF，且弦AB＝5cm，求阴影部分面积。

［解题关键］：
连结OA、OB，利用等积变换法，将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积。

析：因为AB‖EF，根据平行线间的距离相等知：△OAB与△EAB的高相等，所以
S△ABE＝S△ABO（同底等高），同时AB＝OA＝OB＝5cm，则∠AOB＝60°。

故
S阴影＝S△ABE ＋S弓形AMB＝S△ABO＋S弓形AMB
＝S扇形OAB＝•π×52＝π（cm2）。