浅谈圆中阴影面积的解法
圆求阴影部分面积方法

袅学生姓名:年级:课时数:蒀薀辅导科目:数学学科教师:袆芃课题薃求阴影部分面积方法专题蚀授课日期及其时段芇肅教学内容节一、阴影部分面积的求法螀(一)、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积.例如,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了。
蚈蒃(二)、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
肁螀(三)、直接求法:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它是一个底2,高4的三角形,就可以直接求面积了。
聿膄(四)、重新组合法:这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.例如,欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。
肄袀(五)、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可.如右图,右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米,求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
膅袆袂羀(六)、割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如,如右图,欲求阴影部分的面积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.薆莄蚁(七)、平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如上页最后一图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆中阴影部分面积的计算

圆中阴影部分面积的计算
要计算圆的阴影部分的面积,首先需要了解一些基本的几何概念和公式。
下面将逐步介绍计算过程。
1.圆的面积公式:
2.圆的周长公式:
3.阴影部分的面积计算:
首先,我们假设有一个大圆,其半径为R。
然后,在大圆的中心位置画一个小圆,其半径为r。
阴影部分的面积就是大圆的面积减去小圆的面积。
那么,阴影部分的面积可以用以下公式表示:
Shadow Area = π * R^2 - π * r^2
为了计算具体的值,需要知道大圆和小圆的半径。
假设大圆的半径为10单位,小圆的半径为8单位。
那么,可以将这些值代入上述公式,得到阴影部分的面积:
Shadow Area = π * 10^2 - π * 8^2
=π*100-π*64
≈314.159-201.0624
≈113.0966
所以,在这个假设中,阴影部分的面积约为113.1单位。
如果想要通过给定的半径来计算阴影部分的面积,可以根据需要修改上述公式。
另外,如果阴影部分的形状不是简单的圆形,而是由多个形状组成的复杂曲线,那么计算面积的方法也会有所不同。
在那种情况下,可能需要使用数值积分等更高级的数学方法来计算。
圆求阴影部分面积方法

学生姓名:年级:课时数:辅导科目:数学学科教师:课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法(一)、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积.例如,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了。
(二)、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
(三)、直接求法:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它是一个底2,高4的三角形,就可以直接求面积了。
(四)、重新组合法:这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.例如,欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。
(五)、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可。
如右图,右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米,求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.(六)、割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如,如右图,欲求阴影部分的面积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.(七)、平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如上页最后一图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆中圆求阴影面积的解题技巧

圆中圆求阴影面积的解题技巧
圆中圆求阴影面积是一道常见的几何题目,需要运用一些解题技巧。
首先,我们需要明确圆中圆的关系,即内圆的圆心在外圆的圆周上。
设外圆半径为R,内圆半径为r,圆心距为d,则有:
d = R - r
接着,我们需要找出阴影部分的面积。
通常情况下,可以先求出整个圆环的面积,再减去内圆的面积。
即:
阴影面积 = 外圆面积 - 内圆面积
外圆面积可以用πR 公式求得,内圆面积可以用πr 公式求得。
将两者代入公式,即可得到阴影面积的解。
另外,有时候题目中给出的是圆环的宽度,而不是内外圆的半径。
此时,我们可以将宽度作为内圆半径的差值,即:
r = R - 宽度
然后再按照上述方法求解即可。
需要注意的是,有些题目中可能会给出圆环的面积或周长等信息,这时需要根据所给信息进行推导。
总之,圆中圆求阴影面积是一道比较简单的几何题目,只要记住以上的解题技巧,就能够轻松解决。
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五年级《圆》求阴影部分面积的十大方法

求与圆相关的阴影部分面积的十大方法(一)、相加法(分割法):将不规则图形分割成成几个基础规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积。
例:下图只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后相加即可。
(二)、相减法:将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差。
例:下图只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
(三)、直接求法:根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积。
例:下图阴影部分的面积,分析发现它是一个底为2,高为4的三角形,就可以直接求面积了。
(四)、重新组合法:将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可。
S 阴影=S 半圆+S 正方形S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 三角形例:下图可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。
(五)、辅助线法:根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可。
例:下图虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法计算2个三角形面积之和更简便。
(六)、割补法:把原图形的一部分切割下来,补在图形中的另一部分,使之成为规则图形,从而使问题得到解决。
例:下图只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半。
(七)、平移法:将图形中某一部分切割下来,平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积。
S 阴影=S 正方形-S 圆S 阴影=S 正方形÷2S 阴影=S 三角形①+S 三角形②例:下图可先沿中间切开,把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
(八)、旋转法:将图形中某一部分切割下来之后,使之沿某一点或某一轴旋转一定角度,贴补在另一图形的一侧,从而组合成一个新的基本规则的图形,便于求出面积。
圆求阴影部分面积方法

圆求阴影部分面积方法(共10页)--本页仅作为文档封面,使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--学生姓名:年级:课时数:辅导科目:数学学科教师:课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法(一)、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积.例如,右图中,要求整个图形的面积,只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积,然后把它们相加就可以了。
(二)、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积,只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
(三)、直接求法:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它是一个底2,高4的三角形,就可以直接求面积了。
(四)、重新组合法:这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可.例如,欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。
(五)、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线,使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可.如右图,右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米,求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决,但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
(六)、割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如,如右图,欲求阴影部分的面积,只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.(七)、平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置,使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如上页最后一图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆面积有关的阴影部分面积计算

圆面积有关的阴影部分面积计算以圆面积有关的阴影部分面积计算为标题的文章应该涵盖以下内容:一、引言圆是数学中的基本几何图形之一,其面积是数学中的重要概念之一。
在实际生活中,我们经常遇到需要计算圆面积的问题,尤其是涉及到圆的阴影部分时。
本文将围绕圆面积与阴影部分面积的计算展开讨论。
二、圆的面积计算公式圆的面积计算公式是数学中的基本知识之一,可通过半径或直径来计算。
圆的面积公式为:S = πr²,其中S表示圆的面积,π是一个常数,约等于3.14,r是圆的半径。
三、阴影部分面积的计算方法1. 圆的阴影部分面积计算当一个圆在光线照射下,其一部分被遮挡形成阴影时,我们需要计算阴影部分的面积。
如果阴影的形状是一个扇形,我们可以使用扇形面积公式来计算。
扇形面积公式为:S = 0.5θr²,其中θ表示扇形的圆心角(以弧度为单位),r表示圆的半径。
2. 圆与其他几何图形的阴影部分面积计算当一个圆与其他几何图形相交时,我们需要计算出圆与其他图形的交集部分的面积。
例如,当一个圆与一个矩形相交时,我们可以将矩形分为两个部分,一个是圆内部的部分,另一个是圆外部的部分。
然后,我们可以计算出这两个部分的面积,并将两个面积相减得到阴影部分的面积。
四、实际应用举例1. 圆形窗户的阴影面积计算假设有一个房间中的圆形窗户,光线从窗户外照射进来,我们想知道窗户内部的阴影面积。
我们可以使用扇形面积公式来计算窗户内部的阴影面积,其中圆心角可以由窗户的位置和光线的方向来确定。
2. 圆形花坛的阴影面积计算想象一个圆形花坛,阳光从上方斜射下来,我们想知道花坛内部的阴影面积。
我们可以将花坛分为两部分,一部分是阳光直接照射的部分,另一部分是被花坛挡住的阴影部分。
通过计算这两个部分的面积,我们可以得到花坛内部的阴影面积。
五、结论本文通过介绍圆的面积计算公式和阴影部分面积的计算方法,以及实际应用举例,帮助读者理解了圆面积与阴影部分面积的计算原理。
初三数学圆阴影部分面积10种解题方法

初三数学圆阴影部分面积10种解题方法01和差法对于不规则图形实施分割、叠合后,把所求的图形面积用规则图形面积的和、差表示,再求面积.贵港中考如图1,在扇形OAB中,C是OA的中点,CD⊥OA,CD与弧AB交于点D,以O为圆心,OC的长为半径作弧CE交OB于点E,若OA= 4,∠AOB=120°,则图中阴影部分的面积为( 结果保留π) .图1解析: 图形中的阴影部分是不规则图形,较难直接计算.注意到阴影部分是环形BECA的一部分,因此阴影部分面积等于环形BECA的面积减去图形DCA的面积,又图形DCA的面积等于扇形DOA 的面积减去△ODC的面积.图2如图2,连接OD交弧CE于M.因为OA=4,C是OA的中点,CD⊥OA,所以OD=4,OC=2,DC=2√3,所以∠ODC=30°,∠DOC=60°02割补法对图形合理分割,把不规则图形补、拼成规则图形会,再求面积.吉林中考如图3,将半径为3的圆形纸片,按下列顺序折叠,若弧AB和弧BC都经过圆心O,则阴影部分的面积是( 结果保留π) .图3解析: 观察图形可以发现: 下方树叶形阴影部分的面积分成左右两块后,可以补到上方两个空白的新月形的位置.是否能够完全重合,通过计算验证即可.图4如图4,过点O作OD⊥AB于D,连接OA、OC、OB.由折叠性质知OD=1/2r=1/2AO,03等积变形法运用平行线性质或其他几何图形性质把不规则图形面积转化为与它等面积的规则图形来进行计算.天水中考如图5,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E,B、E 是半圆弧的三等分点,弧BE的长为2π/3,则阴影部分的面积为图5解析: 阴影部分是Rt△ABC的一部分,运用平行线的性质可将图形ABE面积转化成扇形BOE面积.连接BD、BE、BO、OE,如图6.图6因为点E、B是半圆弧的三等分点,所以∠DOB=∠BOE=∠EOA=60°,所以∠BAD=∠EBA=∠BAE=30°,所以BE∥AD.04平移法一些图形看似不规则,将某一个图形进行平移变换后,利用平移的性质,把不规则的图形的面积转化为规则图形的面积来计算.2019年黄石中考模拟如图7,从大半圆中剪去一个小半圆( 小半圆的直径在大半圆的直径MN上),点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦,且与小半圆相切,AB∥MN,已知AB=12cm,则阴影部分的面积是.图7解析: 因为AB∥MN,由平行线间的距离处处相等,可以平移小半圆,使小半圆的圆心与大半圆的圆心重合,这样不规则的阴影图形就变成一个环形.图8如图8.过点O作OC⊥AB,垂足为C,连接OB,设大半圆的半径为R,小半圆的半径为r.05旋转法一些图形看似不规则,把某个图形进行旋转变换后,利用旋转的性质,把不规则图形的面积转化为规则图形的面积,再进行计算.安顺中考如图9,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB 为直径的⊙O与DC相切于点E,则阴影部分的面积为图9解析: 若直接利用弓形面积公式求解相当繁琐,根据已知条件及圆的旋转不变性,利用图形的旋转可实现解题.图10如图10,连接OE 交BD于M.因为CD 是⊙O 的切线,所以OE⊥CD,又AB∥CD,则OE⊥AB,而OE=OB,易知△OBM ≌△EDM,把△OBM绕点M旋转180°就会转到△EDM,阴影部分就转化为扇形BOE,恰好是半径为2的圆的四分之一,06对称法一些图形看似不规则,利用轴对称和中心对称的性质,把不规则图形进行轴对称和中心对称变换,转化为规则图形的面积,再进行计算.赤峰中考如图11,反比例函数y=k/x( k>0) 的图象与以原点(0,0)为圆心的圆交A、B两点,且A( 1,√3) ,图中阴影部分的面积等于 (结果保留π) .图11解析: 根据反比例函数图象及圆的对称性———既是轴对称图形,又是中心对称图形,可知图中两个阴影面积的和等于扇形AOB的面积.过点A作AD⊥x轴于D,如图12.图12因为A( 1,√3) ,所以∠AOD=60°,OA=2,又因为点A、B关于直线y=x对称,所以∠AOB=2×( 60°-45°)=30°.07整体法当已知条件不能或不足以直接求解时,可整体思考,化单一、分散为整体,把所求的未知量整体转换为已知量,再将问题整体化求解.安徽中考如图13,半径均为1的⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E两两外离,A、B、C、D、E分别为五边形的五个顶点,则图中阴影部分的面积是图13解析: 由已知条件,分别求阴影部分的圆心角不易求得,但将五个扇形的圆心角合为一整体,它们的圆心角的和也是五边形的外角之和360°,所以阴影部分面积是一个整圆的面积,所以S阴影=π.08方程法有些图形的局部可以看成某个规则图形,或某些图形具有等面积的性质,这时可以把它们的关系用方程( 组) 来表示,再解方程( 组) ,求出图形的面积.2019年武汉模拟如图14,在边长为2的正方形ABCD 中,分别以2为半径,A、B、C、D 为圆心作弧,则阴影部分的面积是 ( 结果保留π) .图14解析: 仔细观察图形,有两种相同特征的图形在正方形内部,一起围成所求的阴影部分.设弧AC与弧BD交于点G,连接BE、EC,如图15.图15设形如AED 图形的面积为x,形如DEG 图形的面积为y,那么S阴影= S正-4 ( x+y) ,只需求出(x+y)的结果即可.09推算法某些题目运用已知条件,和图形的性质或定理进行推理,可把阴影部分面积用某个式子表示,从而求得不规则图形的面积.南宁中考如图16,Rt△ABC 中,AC=8,BC=6,∠C=90°,分别以AB、BC、AC 为直径作三个半圆,那么阴影部分的面积为平方单位.图16解析: 设左边阴影部分面积为S1,右边阴影部分面积为S2,整个图形的面积可以表示成: 以AC 为直径的半圆+ 以BC为直径的半圆+△ABC.也可以表示成: S1+S2+以AB为直径的半圆。
和圆联系的阴影部分面积求法举例

和圆联系的阴影部分面积求法举例 求阴影部分面积解:这是最基本的方法: 圆面积减去等腰直角三角形的面积, ×-2×1=1.14(平方厘米)解:这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。
设圆的半径为 r ,因为正方形的面积为7平方厘米,所以 =7,所以阴影部分的面积为:7-=7-×7=1.505平方厘米例3.求图中阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:最基本的方法之一。
用四个 圆组成一个圆,用正方形的面积减去圆的面积, 所以阴影部分的面积:2×2-π=0.86平方厘米。
例4.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:同上,正方形面积减去圆面积, 16-π()=16-4π=3.44平方厘米 例5.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:这是一个用最常用的方法解最常见的题,为方便起见,我们把阴影部分的每一个小部分称为"叶形",是用两个圆减去一个正方形, π()×2-16=8π-16=9.12平方厘米 另外:此题还能够看成是1题中阴影部分的8倍。
例6.如图:已知小圆半径为2厘米,大圆半径是小圆的3倍,问:空白部分甲比乙的面积多多少厘米?解:两个空白部分面积之差就是两圆面积之差(全加上阴影部分) π-π()=100.48平方厘米(注:这和两个圆是否相交、交的情况如何无关)例7.求阴影部分的面积。
(单位:例8.求阴影部分的面积。
(单厘米)解:正方形面积可用(对角线长×对角线长÷2,求)正方形面积为:5×5÷2=12.5所以阴影面积为:π÷4-12.5=7.125平方厘米(注:以上几个题都能够直接用图形的差来求,无需割、补、增、减变形) 位:厘米)解:右面正方形上部阴影部分的面积,等于左面正方形下部空白部分面积,割补以后为圆,所以阴影部分面积为:π()=3.14平方厘米例9.求阴影部分的面积。
(单位:厘米)解:把右面的正方形平移至左边的正方形部分,则阴影部分合成一个长方形,所以阴影部分面积为:2×3=6平方厘米例10.求阴影部分的面积。
如何求圆的阴影面积公式

如何求圆的阴影面积公式一、引言圆是几何中最基本的图形之一,它具有许多独特的性质和特点。
在实际生活中,我们经常会遇到圆的阴影问题,比如太阳光照射到圆形物体上形成的阴影。
本文将介绍如何求解圆的阴影面积公式。
二、圆的阴影面积公式的推导要求解圆的阴影面积,首先需要了解圆的几何性质。
圆的核心特点是中心和半径,其中中心表示圆心的位置,半径表示圆的大小。
在求解圆的阴影面积时,我们可以通过计算圆与阴影的相对位置和大小来得到结果。
1. 圆的面积公式圆的面积公式是一个基本的几何定理,可以用来计算圆的面积。
根据圆的定义,圆的面积等于半径的平方乘以π(即πr^2)。
这个公式可以通过数学推导得出,也可以通过实际测量得到。
2. 圆与阴影的关系当太阳光照射到圆形物体上时,物体会产生一个阴影。
阴影的形状和大小取决于物体的形状、大小以及光源的位置和光线的方向。
对于一个圆形物体来说,它的阴影形状也是圆形的,只是大小和原来的圆形物体有所不同。
3. 求解圆的阴影面积公式为了求解圆的阴影面积公式,我们需要知道圆的半径和阴影的半径。
圆的半径可以通过测量得到,而阴影的半径可以通过几何推导得到。
当光源与圆心连线与圆的切线垂直时,阴影的半径等于圆的半径;当光源与圆心连线与圆的切线不垂直时,阴影的半径小于圆的半径。
根据这个关系,我们可以得到圆的阴影面积公式。
4. 圆的阴影面积公式根据前面的推导,圆的阴影面积公式可以表示为:阴影面积= 圆的面积 - 圆的阴影面积。
三、实例分析为了更好地理解圆的阴影面积公式,我们来看一个具体的实例。
假设有一个半径为5cm的圆形物体,太阳光照射到该物体上形成了一个阴影。
已知光源与圆心连线与圆的切线的夹角为30度,求解阴影的面积。
根据圆的面积公式,可以计算出圆的面积为25π cm^2。
然后,根据阴影的半径与圆的半径的关系,可以得到阴影的半径为5cos30度= 5 * √3 / 2 = 5√3 / 2 cm。
根据圆的阴影面积公式,可以计算出阴影的面积为:阴影面积= 25π - (5√3 / 2)^2π = 25π - 75π / 4 = 25π / 4 cm^2。
圆求阴影部分面积方法

圆求阴影部分面积方法圆的阴影部分面积可以通过多种方法求解。
下面将介绍两种常用的方法:几何解法和积分解法。
1.几何解法:首先,我们需要明确阴影的形成原理。
当一个圆形物体在光源的照射下,会在其周围产生一个暗影区域。
暗影区域形状类似于圆形,阴影的大小与光源与圆心之间的位置有关。
在这个问题中,我们假设光源位于圆的正上方,圆位于坐标原点(0,0),光源到圆心的距离为r,圆的半径为R。
首先,我们可以将圆分为四个象限,每个象限的阴影部分面积相同。
以第一象限为例,阴影部分面积可以通过扇形面积和三角形面积之和求解。
扇形面积的计算公式为:A1 = πR^2 θ / 360°,其中θ为扇形的圆心角,可以通过余弦定理计算得到:cosθ = r / (r+R)。
将θ代入公式可得:A1 = πR^2 cosθ。
三角形面积的计算公式为:A2 = (1/2)R^2 sinθ。
四个象限的阴影部分面积之和即为圆的阴影部分面积:A = 4(A1 +A2) = 4(πR^2 cosθ + (1/2)R^2 sinθ)。
2.积分解法:在这种方法中,我们将阴影部分分为无限多个面积微元,然后对每个面积微元求和来计算阴影部分的总面积。
设一些面积微元的宽度为dx,圆上该位置的半径为r(x),根据图形关系可知,r(x) = (R/x) * sqrt(x^2 - r^2)。
那么微元dA的面积可以表示为:dA = 2πr(x)dx,由此可得阴影部分面积的积分公式为:A =∫dA = ∫2πr(x)dx。
所以,我们需要确定积分的上下限。
当x从-r到r变化时,即为圆的直径上的每个点,阴影部分面积的范围。
将r(x)代入积分公式,可得:A = ∫(-r,r)2π(R/x) * sqrt(x^2 - r^2)dx。
这个积分在计算上可能比较复杂,可以改写为:A = 2πR * ∫(-r,r)(1 / sqrt(1 - (r/x)^2))dx。
使用换元法,令 u = r/x,可得到:dx= -r/u^2 du。
圆中阴影面积的求法

圆在圆中求阴影部分的面积是圆中计算题的一种重要类型.下面举例加以说明.一、等积变形法例1、如图,A 是半径为2的⊙O 外一点,4OA =,AB 是⊙O 的切线,且B 是切点,弦BC ∥OA ,连接AC ,则图中阴影部分的面积等于(A.23p B. 83p D. p 【解析】:因为BC ∥OA ,所以ABC OCB S S = ,因为AB 是⊙O 的切线, 所以OB ⊥AB ,又因为4OA =,2OB =,所以∠060AOB =,所以∠OBC =600 所以OCB S S =阴影扇形=260223603p p = ,所以选A. 二、和差法例2450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ,使点C 在OA 上,点D 、E 在OB 上,点F 在 AB 上,则阴影部分的面积为(结果保留π) .【解析】:观察图形看出,阴影的面积由两部分组成且为不规则图形.应该转化成规则图形面积的和或者差.S S S =-阴影扇形梯形OCFE ,连结OF ,设CF x =,则,2EF x OE x ==,222(2)x x += ,解得1x =,∴245153(12)1360282S ππ=-+⨯=-阴影. 三、整体求值法例3、A 、B 、C 、D 、E 相互外离,它们的半径都是1,顺次连结五个圆心,得到五边形ABCDE ,则图中五个扇形的面积之和为___ 【解析】:五个小扇形的圆心角确切度数无法求出,但它们的度数之和可求.故整体求五个扇形的面积之和.设A 、B 、C 、D 、E 的圆心角度数分别为:12345,,,,n n n n n ,则12345(52)180540n n n n n ++++=-⨯=AOE AFBC ABC DE∴2540313602S ππ=⨯=阴影. 四、平移法例4、2O 的弦AB 切1O 于C 点且AB ∥12O O ,8AB cm =,则阴影部分的面积为_____【解析】:阴影的面积等于2O 的面积减去1O 的面积.但两个圆的半径没法求出,不妨把1O 平移至和2O 的圆心重合,连结22,O C O A ,则2O C AB ⊥,21222221(8)162O O S S S O A O C πππ=-=-=⨯= 阴影.图1A BA图2。
圆求阴影部分面积方法

圆求阴影部分面积方法圆的阴影部分面积可通过数学方法进行求解。
首先,我们需要了解圆的相关概念和性质。
圆是由一组等距离于圆心的点组成的闭合曲线,其中最重要的属性是圆心和半径。
求解圆的阴影部分面积的方法通常有两种:几何法和微积分法。
1.几何法:几何法是一种直观且容易理解的方法,不需要过多的数学知识。
我们可以将阴影部分看作半径为r的圆形区域与一个全圆区域之间的差异。
首先,我们设定一组坐标系,并在其上绘制一个以原点为圆心,半径为r的圆,记为圆A。
然后,在圆A上选择两个相邻的点A和B,并以这两个点为半径画两个圆形区域D1和D2,使得D1和D2分别与全圆形成相交区域C1和C2、此时,C1和C2的面积分别为C1和C2的面积减去D1和D2的面积。
由于圆是对称的,C1和C2的面积相等。
接下来,我们需要确定C1的面积。
我们可以通过计算扇形ABO的面积再减去三角形AOB的面积来获得,其中O为圆心。
扇形ABO的面积可以表示为1/2×θ×r²,其中θ为圆心角AOB的弧度,我们可以使用正弦函数来计算。
三角形AOB的面积可以表示为1/2×AB×AO,其中AB为弦AB的长度,AO为半径r。
综上所述,C1的面积可以表示为1/2×θ×r²-1/2×AB×AO。
而C2与C1的面积相等,因此阴影部分的面积可以表示为2×C1的面积。
2.微积分法:微积分法是用数学方法解决问题的一种方法,它利用了数学中的极限和积分的概念。
在这种方法中,我们需要应用一些数学公式和定理来求解阴影面积。
首先,我们可以根据圆的方程x²+y²=r²得到圆的方程。
然后,我们需要将圆的方程转化为极坐标方程,即r=f(θ)。
通过极坐标方程,我们可以计算从0到θ的弧长,记为s(θ)。
然后,我们可以计算从0到θ对应的半径r的弧形面积,记为A(θ)。
圆_阴影部分面积(含答案)

供阳影部分里积之阳早格格创做例1.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:那是最基原的要领:圆里积减去等腰曲角三角形的里积,×-2×1=1.14(仄圆厘米)例2.正圆形里积是7仄圆厘米,供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:那也是一种最基原的要领用正圆形的里积减去圆的里积.设圆的半径为r,果为正圆形的里积为7仄圆厘米,所以=7,所以阳影部分的里积为:7-=7-×7=1.505仄圆厘米例3.供图中阳影部分的里积.(单位:厘米) 解:最基原的要领之一.用四个圆组成一个圆,用正圆形的里积减去圆的里积,所以阳影部分的里积:2×2-π=0.86仄圆厘米. 例4.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:共上,正圆形里积减去圆里积,16-π()=16-4π=3.44仄圆厘米例5.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:那是一个用最时常使用的要领解最罕睹的题,为便当起睹,咱们把阳影部分的每一个小部分称为“叶形”,是用二个圆减去一个正圆形,π()×2-16=8π-16=9.12仄圆厘米其余:此题还不妨瞅成是1题中阳影部分的8倍. 例6.如图:已知小圆半径为2厘米,大圆半径是小圆的3倍,问:空黑部分甲比乙的里积多几厘米?解:二个空黑部分里积之好便是二圆里积之好(齐加上阳影部分)π-π()=100.48仄圆厘米(注:那战二个圆是可相接、接的情况怎么样无闭)例7.供阳影部分的里积.(单位:厘米) 解:正圆形里积可用(对于角线少×对于角线少÷2,供)正圆形里积为:5×5÷2=12.5所以阳影里积为:π÷4-12.5=7.125仄圆厘米(注:以上几个题皆不妨间接例8.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:左里正圆形上部阳影部分的里积,等于左里正圆形下部空黑部分里积,割补以去为圆,所以阳影部分用图形的好去供,无需割、补、删、减变形)里积为:π(例9.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:把左里的正圆形仄移至左边的正圆形部分,则阳影部分合成一个少圆形,所以阳影部分里积为:2×3=6仄圆厘米例10.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:共上,仄移安排二部分至中间部分,则合成一个少圆形,所以阳影部分里积为2×1=2仄圆厘米(注: 8、9、10三题是简朴割、补或者仄移)例11.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:那种图形称为环形,不妨用二个共心圆的里积好或者好的一部分去供.(π-π)×=×3.14=3.66仄圆厘米例12.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:三个部分拼成一个半圆里积.π()÷2=14.13仄圆厘米例13.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解: 连对于角线后将"叶形"剪启移到左上头的空黑部分,凑成正圆形的一半.所以阳影部分里积为:8×8÷2=32仄圆厘米例14.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:梯形里积减去圆里积,(4+10)×4-π=28-4π=15.44仄圆厘米.例15.已知曲角三角形里积是12仄圆厘米,供阳影部分的里积.分解: 此题比上头的题有一定易度,那是"叶形"的一个半.解: 设三角形的曲角边少为r ,则=12,=6 例16.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:[π+π-π]=π(116-36)=40π=125.6仄圆厘米圆里积为:π÷2=3π.圆内三角形的里积为12÷2=6,阳影部分里积为:(3π-6)×=5.13仄圆厘米例17.图中圆的半径为5厘米,供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:上头的阳影部分以AB为轴翻转后,所有阳影部分成为梯形减去曲角三角形,或者二个小曲角三角形AED、BCD里积战.所以阳影部分里积为:5×5÷2+5×10÷2=37.5仄圆厘米例18.如图,正在边少为6厘米的等边三角形中掘去三个共样的扇形,供阳影部分的周少.解:阳影部分的周少为三个扇形弧,拼正在所有为一个半圆弧,所以圆弧周少为:2×3.14×3÷2=9.42厘米例19.正圆形边少为2厘米,供阳影部分的里积.解:左半部分上头部分顺时针,底下部分顺时针转化到左半部分,组成一个矩形.所以里积为:1×2=2仄圆厘米例20.如图,正圆形ABCD的里积是36仄圆厘米,供阳影部分的里积.解:设小圆半径为r,4=36, r=3,大圆半径为R ,=2=18,将阳影部分通过转化移正在所有形成半个圆环,所以里积为:π(-)÷2=4.5π=14.13仄圆厘米例21.图中四个圆的半径皆是1厘米,供阳影部分的里积.解:把中间部分分成四仄分,分别搁正在上头圆的四个角上,补成一个正圆形,边少为2厘米,所以里积为:2×2=4仄圆厘米例22. 如图,正圆形边少为8厘米,供阳影部分的里积.解法一: 将左边上头一齐移至左边上头,补上空黑,则左边为一三角形,左边一个半圆.阳影部分为一个三角形战一个半圆里积之战.π()÷2+4×4=8π+16=41.12仄圆厘米解法二: 补上二个空黑为一个完备的圆.所以阳影部分里积为一个圆减去一个叶形,叶形里积为:π()÷2-4×4=8π-16所以阳影部分的里积为:π()-8π+16=41.12仄圆厘米例23.图中的4个圆的圆心是正圆形的4个顶面,,它们的大众面是该正圆形的核心,如果每个圆的半径皆是1厘米,那么阳影部分的里积是几?解:里积为4个圆减去8个叶形,叶形里积为:π-1×1=π-1所以阳影部分的里积为:4π-8(π-1)=8仄圆厘米例24.如图,有8个半径为1厘米的小圆,用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形,图中的乌面是那些圆的圆心.如果圆周π率与3.1416,那么花瓣图形的的里积是几仄圆厘米?分解:对接角上四个小圆的圆心形成一个正圆形,各个小圆被切去个圆,那四个部分正佳合成3个整圆,而正圆形中的空黑部分合成二个小圆.解:阳影部分为大正圆形里积与一个小圆里积之战.为:4×4+π=19.1416仄圆厘米例25.如图,四个扇形的半径相等,供阳影部分的里积.(单位:厘米)分解:四个空黑部分不妨拼成一个以2为半径的圆.所以阳影部分的里积为梯形里积减去圆的里积,4×(4+7)÷2-π=22-4π=9.44仄圆厘米例26.如图,等腰曲角三角形ABC战四分之一圆DEB,AB=5厘米,BE=2厘米,供图中阳影部分的里积.解: 将三角形CEB以B为圆心,顺时针转化90度,到三角形ABD位子,阳影部分成为三角形ACB 里积减去个小圆里积,为: 5×5÷2-π÷4=12.25-3.14=9.36仄圆厘米例27.如图,正圆形ABCD的对于角线AC=2厘米,扇形ACB是以AC为曲径的半圆,扇形DAC是以D为圆心,AD为半径的圆的一部分,供阳影部分的里积.解: 果为2==4,所以=2以AC为曲径的圆里积减去三角形ABC里积加上弓形AC里积,π-2×2÷4+[π÷4-2]=π-1+(π-1)=π-2=1.14仄圆厘米例28.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解法一:设AC中面为B,阳影里积为三角形ABD里积加弓形BD的里积,三角形ABD的里积为:5×5÷2=12.5弓形里积为:[π÷2-5×5]÷2=7.125所以阳影里积为:12.5+7.125=19.625仄圆厘米解法二:左上头空黑部分为小正圆形里积减去小圆里积,其值为:5×5-π=25-π阳影里积为三角形ADC减去空黑部分里积,为:10×5÷2-(25-π)=π=19.625仄圆厘米例29.图中曲角三角形ABC的曲角三角形的曲角边AB=4厘米,BC=6厘米,扇形BCD 地圆圆是以B为圆心,半径为BC的圆,∠CBD=,问:阳影部分甲比乙里积小几?解: 甲、乙二个部分共补上空黑部分的三角形后合成一个扇形BCD,一个成为三角形ABC,此二部分好即为:π×-×4×6=5π-12=3.7仄圆厘米例30.如图,三角形ABC是曲角三角形,阳影部分甲比阳影部分乙里积大28仄圆厘米,AB=40厘米.供BC的少度.解:二部分共补上空黑部分后为曲角三角形ABC,一个为半圆,设BC少为X,则40X÷2-π÷2=28所以40X-400π=56 则X=32.8厘米例31.如图是一个正圆形战半圆所组成的图形,其中P为半圆周的中面,Q为正圆形一边上的中面,供阳影部分的里积.解:连PD、PC变换为二个三角形战二个弓形,二三角形里积为:△APD里积+△QPC里积=(5×10+5×5)=37.5二弓形PC、PD 里积为:π-5×5所以阳影部分的里积为:37.5+π-25=51.75仄圆厘米例32.如图,大正圆形的边少为6厘米,小正圆形的边少为4厘米.供阳影部分的里积.解:三角形DCE的里积为:×4×10=20仄圆厘米梯形ABCD的里积为:(4+6)×4=20仄圆厘米进而知讲它们里积相等,则三角形ADF 里积等于三角形EBF 里积,阳影部分可补成圆ABE的里积,其里积为:π÷4=9π=28.26仄圆厘米例33.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:用大圆的里积减去少圆形里积再加上一个以2为半径的圆ABE里积,为(π+π)-6=×13π-6=4.205仄圆厘米例34.供阳影部分的里积.(单位:厘米)解:二个弓形里积为:π-3×4÷2=π-6阳影部分为二个半圆里积减去二个弓形里积,截止为π+π-(π-6)=π(4+-)+6=6仄圆厘米例35.如图,三角形OAB是等腰三角形,OBC 是扇形,OB=5厘米,供阳影部分的里积.解:将二个共样的图形拼正在所有成为圆减等腰曲角三角形[π÷4-×5×5]÷2=(π-。
求圆中阴影部分面积的方法

求圆中阴影部分面积的方法要求计算圆中阴影部分的面积,我们需要先了解阴影的形成原理和计算方法。
在圆中,阴影部分的形成是由于有一个遮挡物挡住了部分光线,导致该部分产生了阴影。
求解阴影部分的面积,可以采用几何方法或者数学方法进行计算。
下面将详细介绍这两种方法。
一、几何方法:几何方法通过将阴影部分与已知的几何图形进行比较,来求解阴影部分的面积。
1.1若遮挡物为一个小圆,则阴影部分可近似看作扇形与小圆的差。
我们来具体说明一下:假设有一个半径为R的圆,圆心为O,遮挡物为半径为r的小圆,小圆与大圆的圆心距离为d。
此时可以将阴影部分近似看作一个扇形加上一个梯形。
我们可以分别计算出扇形和梯形的面积,再求和即可得到阴影部分的面积。
1.2若遮挡物不是一个小圆,而是其他几何图形,我们需要先找到该几何图形的面积,再进行相应的几何运算来求解阴影部分的面积。
二、数学方法:数学方法通过数学公式与运算来求解阴影部分的面积。
2.1通过积分法求解:假设有一个圆形区域,当有一个遮挡物产生阴影时,我们需要求解被阴影遮盖的圆形区域的面积。
首先,我们需要定义一个圆心角θ,该圆心角为横坐标轴和遮挡物之间的夹角。
接下来,我们需要确定整个圆形区域的边界,设定一个高度h,并根据高度h与圆形的半径r的关系,求解出遮挡物上的横坐标x1和x2,即横跨遮挡物的圆弧的两边界点。
然后,我们就可以设置相应的积分方程来求解阴影部分的面积,即将对应的函数积分,并限定积分的上下限为x1到x2,最终得到阴影部分的面积。
2.2通过几何约束条件求解:在一些特殊情况下,我们可以通过几何约束条件来求解阴影部分的面积。
例如,假设圆的半径为R,有一个直径为r的小圆与大圆的切点与圆上其中一点相连构成一条直线,该直线与小圆的交点为P。
此时,我们可以通过几何关系求解出大圆上的点P的坐标,然后可以根据点P与小圆上的点与圆心的连线的关系,进一步求解出整个阴影部分的面积。
总结:求解圆中阴影部分的面积可以采用几何方法或数学方法来进行计算。
与圆有关的阴影面积的计算

与圆有关的阴影面积的计算圆是几何学中的一个重要概念,它是平面上所有与一个固定点的距离相等的点构成的集合。
圆与很多数学问题和现实生活中的应用息息相关,其中一个重要的应用就是计算阴影面积。
在日常生活中,我们经常会碰到与圆相关的阴影问题,比如太阳光照射到圆形表面产生的阴影面积。
解决这类问题需要了解圆的性质以及相关的数学知识。
首先,我们需要明确阴影面积的定义。
阴影面积是指由光源照射到一个物体或者图形上产生的暗部面积。
对于圆形的阴影面积,我们可以用一种简单的方式进行计算。
假设有一个半径为r的圆形物体,它位于一个平面上,光源位于物体的正上方。
为了计算阴影面积,我们需要确定光源的位置和光线的方向。
当光源位于物体的正上方,直线与平面的交点与圆与圆心相连形成的线段垂直。
这个垂直线段将圆分为两部分,一部分受到光线照射,另一部分处于阴影中。
阴影的面积可以通过计算圆的面积减去受光照部分的面积得到。
圆的面积公式为πr^2,其中π是圆周率,r是圆的半径。
受光照部分是一个扇形,其面积可以通过扇形面积公式计算,即πr^2*θ/360,其中θ是扇形的角度。
因此,阴影的面积可以表示为πr^2-πr^2*θ/360。
这个公式可以用于计算光源位于圆的正上方的情况。
然而,在实际情况中,光源的位置往往不是完全位于圆的正上方。
当光源位于圆的任意位置时,阴影的计算就变得复杂了起来。
在这种情况下,我们需要确定光线经过圆后与圆的边界相交的点,并将圆分为多个部分,计算每个部分的面积。
然后将这些部分的面积相加,得到阴影的面积。
为了计算光线与圆的相交点,我们可以使用几何学中的相似三角形原理。
假设光线与圆交于点A,圆心为O,光源为P。
我们可以利用点A、O 和P构成的三角形与光线与圆的切线构成的三角形相似,通过相似三角形比例关系计算出点A的坐标。
然后,我们需要将圆分为多个部分。
使用相似三角形原理,我们可以得到一个带有相似扇形的带型,可以计算出这个带型的面积。
圆阴影部分面积解题技巧

圆阴影部分面积解题技巧
1. 哎呀呀,大家注意啦!如果遇到那种圆里有很多小块的阴影部分,就像一个复杂的拼图似的,那咱们可以用分割法呀!比如说,有个大圆里有好几个不规则的小图形,咱就把阴影部分一块一块地分开,分别计算它们的面积,然后加起来不就好啦!就像你吃蛋糕,把它分成小块慢慢享受一样。
2. 嘿!还有一种技巧超好用哦!如果阴影部分能和非阴影部分组成一个我们熟悉的图形,那就太棒啦!比如说一个扇形里有一块阴影,那我们可以想想,它和周围的空白部分是不是能凑成一个完整的圆呢,这不就好算多啦?这就好像拼图找到了关键的那一块呀!
3. 哇塞!当遇到那种跟其他图形有重叠的圆阴影部分,咱们可以用补全法呀!假设一个圆形的一部分被其他图形遮住了有阴影,我们就把它想象成完整的圆,算出整个圆的面积,再减去多余的部分,这不就得出阴影面积啦!这就如同把一个破了的碗修补完整一样嘛。
4. 你们想想看呀,如果遇到那种有比例关系的圆阴影部分,那可别慌!咱可以利用这个比例来解题呀!就像有两个大小不一样的圆,它们之间有一定的比例关系,那阴影部分也会跟着有相应的比例呀,这多有意思啊!不就像搭积木,找到合适的位置就能稳稳放好。
5. 哈哈,还有呢!如果碰到那种需要转换角度去看的圆阴影部分,不要觉得难呀!我们可以换个思路呀,也许从另一个角度看,就能发现一些奇妙的联系呢!就好像你换个视角看一件事情,可能会有全新的发现一样!
6. 哎呀呀,最后一点哦!有时候一些特殊的模型也能帮我们解决圆阴影部分面积呢!比如像那种有规律排列的圆组成的图形,一定有巧妙的方法呢!就如同找到隐藏在迷宫里的宝藏线索呀!总之呀,大家多观察、多思考,圆阴影部分面积肯定能拿下!我的观点就是,这些技巧真的很实用,只要大家用心,就一定能掌握得很好!。
圆与三角形求阴影面积

圆与三角形求阴影面积1. 首先,让我们讨论如何计算圆的阴影面积。
一个圆的阴影面积是指圆周围的区域,被另一个对象(例如墙壁或其他物体)遮挡而无法被光线照射到的部分。
要计算圆的阴影面积,我们需要知道圆的半径和光源的位置。
2. 假设我们有一个圆,半径为R,光源位于圆心的正上方,距离为h。
为了计算阴影面积,我们首先需要确定光线从圆心到光源的投影长度。
这个投影长度可以通过简单的三角几何关系来计算。
由于光源位于圆心的正上方,光线与圆的切线垂直。
因此,光线的投影长度等于光线和圆的切线之间的距离。
3. 在这种情况下,投影长度等于圆的半径R。
因此,我们可以将投影长度定义为p=R。
接下来,我们需要计算投影长度与光源距离之间的比例。
这个比例可以通过简单的几何关系获得,即投影长度与光源距离之比等于圆的半径与光源距离之比。
4. 因此,我们可以得到以下比例:p/h=R/d,其中d是光源与圆心之间的距离。
通过重新排列这个方程,我们可以解出d:d=R*h/p。
5. 有了光源距离d,我们可以计算出阴影面积。
阴影面积等于圆的面积减去被光源照射到的部分的面积。
被光源照射到的部分是一个扇形,其角度等于2arcsin(p/d),其中arcsin是反正弦函数。
扇形的面积可以通过以下公式计算:A=πR²*θ/360°,其中A是扇形的面积,θ是扇形的角度。
6. 最后,我们可以计算阴影面积:阴影面积=圆的面积-扇形的面积。
圆的面积可以通过公式A=πR²计算得出。
将扇形的面积带入计算公式之后,我们可以得出最终的阴影面积。
总结:计算圆的阴影面积涉及到确定光源位置和圆的半径,以及计算光源距离和投影长度。
通过使用几何关系和公式,我们可以计算出阴影面积。
阴影面积等于圆的面积减去被光源照射到的部分的面积,其中被照射到的部分是一个扇形,其角度可以通过反正弦函数计算得到。
计算出阴影面积后,我们可以得到圆与光源的阴影面积。
圆求阴影部分面积方法.doc

圆求阴影部分面积方法.doc
二、和差法
适用情形:与直接法相反,图中有一部分空白是一个规则的几何图形,而这部分空白与阴影部分的结合也是一个规则的几何图形或几个规则几何图形的组合。
解法:直接利用规则图形的和差求面积。
例2、如图,在边长为4的正方形ABCD中,先以点A为圆心,AD的长为半径画弧,再以AB边的中点为圆心,AB长的一半为半径画弧,则阴影部分面积是________(结果保留π).
解:π×4²÷4-π×2²÷2=2π
例3、如图,长方形ABCD的长BC为3cm,宽AB为2cm,点E,F 是边AD的三等分点,点G,H是边BC的三等分点.现分别以B,G两点为圆心,以2cm长为半径画弧AH和弧EC,则阴影部分的面积为________cm2.。
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浅谈圆中阴影面积的解法
【摘要】本文主要是介绍阴影面积的解题方法和思路。
【关键词】方法;思路
【Abstract】This text’s ising main is the introduction shadow area of solution method and way of thinking
【Key words】Method; Way of thinking
面积是初等数学中的一个重要内容,尤其是求圆中阴影部分的面积求法在近几年各类考试中经常出现。
解决这类问题不仅要求学生牢固掌握各种图形的基本面积公式,还要具备良好的空间想象能力及灵活运用相关联知识解决问题的能力。
当然,如果能掌握解决这类问题的技巧和方法,对于快速准确解答这类题目会起到事半功倍的效果。
下面,仅就本人在数学中的体会作一简单探讨。
1.直接利用公式求解
例:如图,半径为2的⊙D内切于圆心角为90°的扇形OAB,求阴影部分的面积。
[解题关键]:
确定扇形OAB的半径,S阴影=S扇形OAB-S⊙D,即可求解。
析:先从圆心D连结三个切点M、N、C,知OMDN为正方形,则OD=2,所以扇形OAB的半径为2+2。
故
S阴影=S扇形OAB-S⊙D
=π•(2+2)2-π•22
=(2-1)π
2.利用拼凑法求解
例:三个半径均为2的圆两两外离,则图中阴影部分的面积为()。
A. π
B.2π
C.3π
D.4π
[解题关键]:
用拼凑法,把三个小扇形拼成一个半圆求解。
析:因为三个圆半径相等,所以可把三个扇形拼凑成一个大扇形在△ABC 中,∠A+∠B+∠C=180°,故阴影面积之和为一半径为2的半圆面积。
所以
S阴影=S⊙A=•π•22=2π,故选B。
3.利用分割法求解
例:如图,弦AC切小⊙O于D,若AO=2,OE=1,求阴影面积。
[解题关键]:
用分割法,把阴影面积分割成两部分分别求解。
析:连结OC交小圆于M,则OD⊥AC。
由题意知OD=1,OC=2,则∠COD=∠DOA=60°。
S1=S△CDO-S扇形OMD=×1×-•π•12=-π,S2=S扇形OBC-S扇形OMF=•π•22-•π•12=π。
故S阴影=S1+S2=-π+π=+π
4.利用旋转变换法求解
例:把两个圆心角是90°的扇形OAB和扇形OCD如图①那样叠放在一起,连结AC、BD,若OA=3cm,OC=2cm,求阴影部分面积。
[解题关键]:
利用旋转变换法,把小扇形绕圆心顺时针旋转一定角度,使OD与OB重合,将阴影面积转化为两扇形面积之差求解。
析:设OD旋转后与OD’重合,OC旋转后即与OE重合(如图②),则由AC、AE、CE围成的阴影面积等于由BD、BD’、DD’围成的阴影面积,同时S 扇形OCD=S扇形OD’E。
故
S阴影=S扇形OAB-S扇形OD’E
=S扇形OAB-S扇形OCD
=π×32-π×22=π
5.利用等积变换法求解
例:如图,⊙O直径EF=10cm,弦AB‖EF,且弦AB=5cm,求阴影部分面积。
[解题关键]:
连结OA、OB,利用等积变换法,将阴影部分面积转化为扇形OAB的面积。
析:因为AB‖EF,根据平行线间的距离相等知:△OAB与△EAB的高相等,所以
S△ABE=S△ABO(同底等高),同时AB=OA=OB=5cm,则∠AOB=60°。
故
S阴影=S△ABE +S弓形AMB=S△ABO+S弓形AMB
=S扇形OAB=•π×52=π(cm2)。