2018-2019学年高中数学人教A版选修4-1创新应用课件：第一讲 三 2.相似三角形的性质

利用相似三角形的性质解决实际问题
[例 2] 如图，一天早上，小张正向
着教学楼 AB 走去，他发现教学楼后面有 一水塔 DC，可过了一会抬头一看：“怎 么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔 的高分别是 20 米和 30 米，它们之间的距离为 30 米，小张身高 为 1.6 米．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应 有多少米？
理解教材新知
考点一
第 一 讲 三 2
把握热点考向 考点二
应用创新演练
三
相似三角形的判定及性质
2．相似三角形的性质
1．相似三角形的性质定理 相似三角形对应高的比、 对应中线的比和对应角平分线的
相似比 ． 比都等于________ 相似比 ． 相似三角形周长的比等于________ 相似比的平方 ． 相似三角形面积的比等于________________
利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角 形对应边的比及对应角相等有关， 解决此类问题， 要善于联想， 变换比例式，从而达到目的．
1．如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上 的点． AB＝8 cm， AC＝10 cm， 若△ADE 和△ABC 相 似 ， 且 S △ ABC ∶ S △ ADE ＝ 4 ∶ 1 ， 则 AE ＝ ________cm.
利用相似三角形性质计算
[例 1] 已知如图，△ABC 中，CE⊥AB
于 E，BF⊥AC 于 F，若 S△ABC＝36 cm2，S△
2 ＝ 4 cm ，求 sin A 的值． AEF
[思路点拨]
由题目条件证明△AEC∽△AFB，得 AE∶
AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求出线段 EC 与 AC 的比值．
2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比 与相似比的关系
直径比 、_________ 周长比 等于相似比， 相似三角形外接圆的_________ 面积比 等于相似比的平方． 外接圆的_________
[说明] 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、
对应中线、 角平分线和高， 应包括一切“对应点”连接的线段； 同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．
解析：因为△ADE∽△ABC，且 S△ABC∶S△ADE＝4∶1， AE 1 AE 1 所以其相似比为 2∶1，即AC＝ 或AB＝ ，所以 AE＝5 2 2 或 4(cm)．
答案：5 或 4
2．如图，在▱ABCD 中，AE∶EB＝2∶3. (1)求△AEF 与△CDF 周长的比； (2)若 S△AEF＝8，求 S△CDF.
[ 解]
wk.baidu.com
∵CE⊥AB 于 E，BF⊥AC 于 F，
∴∠AEC＝∠AFB＝90° . 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB. AE AC ∴AF＝AB. 又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB. AE 2 S△AEF 4 AE 2 1 ∴(AC) ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ . S△ACB 36 AC 6 3 设 AE＝k，则 AC＝3k，∴EC＝2 2k. EC 2 2 ∴sin A＝AC＝ . 3
一、选择题 1．如图，△ABC 中，DE∥BC，若 AE∶EC ＝1∶2， 且 AD＝4 cm， 则 DB 等于( A．2 cm C．4 cm B．6 cm D．8 cm )
解：(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形， AE 2 ∴AB∥CD 且 AB＝CD.∵EB＝ ， 3 AE 2 AE 2 AE 2 ∴ ＝ ，即AB＝ .∴CD＝ . 5 5 AE＋EB 2＋3 又由 AB∥CD 知△AEF∽△CDF， ∴△AEF 的周长∶△CDF 的周长＝2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25，又 S△AEF＝8，∴S△CDF＝50.
[思路点拨]
此题的解法很多，其关键是添加适当的辅
助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．
[解]
如图，设小张与教学楼的距
离至少应有 x 米，才能看到水塔． 连接 FD，由题意知，点 A 在 FD 上， 过 F 作 FG⊥CD 于 G， 交 AB 于 H， 则四边形 FEBH，四边形 BCGH 都是矩形． ∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG. 即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)， 解得 x＝55.2(米)． 故小张与教学楼的距离至少应有 55.2 米， 才能看到水塔．
解：设矩形 EFGH 为加工成的矩形零件，边 FG 在 BC 上，则点 E、H 分别在 AB、AC 上，△ABC 的高 AD 与 边 EH 相交于点 P，设矩形的边 EH 的长为 x mm.
因为 EH∥BC，所以△AEH∽△ABC. AP EH 所以AD＝ BC . 300－2x x 所以 ＝ ， 300 200 600 解得 x＝ (mm)， 7 1 200 2x＝ (mm)． 7
此类问题是利用数学模型解实际问题， 关键在于认真分析 题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．
3．如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC＝200 mm，高 AD＝300 mm，要把它 加工成长是宽的 2 倍的矩形零件，使矩形 较短的边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，求这个矩形零件的边长．
600 1 200 答：加工成的矩形零件的边长分别为 mm 和 mm. 7 7
4．已知一个三角形的三边长分别为 3 cm,4 cm,5 cm，和它相似 的另一个三角形的最长边为 12 cm，求另一个三角形内切圆 和外接圆的面积．
解： 设边长为 3 cm,4 cm,5 cm 的三角形的内切圆半径为 r， 外接圆半径为 R，因为该三角形为直角三角形， 5 1 1 所以 R＝ ，且 (3＋4＋5)r＝ ×3×4，即 r＝1. 2 2 2 5 2 25π 2 ∴S 内切圆＝π(cm )，S 外接圆＝π·( ) ＝ (cm2)． 2 4 5 又两三角形的相似比为 ， 12 12 2 144π ∴S′内切圆＝( ) S 内切圆＝ (cm2)， 5 25 12 2 S′外接圆＝( ) S 外接圆＝36π(cm2)． 5