2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一(上)期中数学试卷
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2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）<1}，则A∩B＝（）1. 已知集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B={x|1xA.{0, 1}B.{1, 2}C.{−1, 0}D.{−1, 2}【答案】D【考点】交集及其运算【解析】求出集合，利用集合的交集定义进行计算即可．【解答】<1⇒x>1或x<0，由1x即B＝{x|x>1或x<0}，∵A＝{−1, 0, 1, 2}，∴A∩B＝{−1, 2}，2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.y＝1，y＝x0B.y=√x−2⋅√x+1,y=√(x−2)⋅(x+1)C.y=|x|,y=√x2D.y＝lnx2，y＝2lnx【答案】C【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】根据两个定义域相同，对应关系也相同，即可判断是同一函数．【解答】对于A，函数y＝1(x∈R)，与函数y＝x0＝1(x≠0)的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数y=√x−2⋅√x+1=√(x−2)(x+1)(x≥2)，与函数y=√(x−2)(x+1)(x≤−1或x≥2)的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数y＝|x|(x∈R)，与函数y=√x2=|x|(x∈R)的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；对于D，函数y＝lnx2＝2ln|x|(x≠0)，与函数y＝2lnx(x>0)的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数．3. 函数f(x)=√x2−9的定义域为（）lg(x+4)A.(−4, −3)∪(3, +∞)B.(−4, −3)∪[3, +∞)C.(−4, −3]∪[3, +∞)D.(−4, 3)【答案】B【考点】函数的定义域及其求法 【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【解答】函数f(x)=√x 2−9lg(x+4)中，令{x 2−9≥0x +4>0lg(x +4)≠0， 解得{x ≤−3x ≥3x >−4x ≠−3，即−4<x <−3或x ≥3； 所以f(x)的定义域是(−4, −3)∪[3, +∞)．4. 下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（ ） A.f(x)＝−x 3−xB.f(x)＝ln(1−x)+ln(1+x)C.f(x)＝e x +e −xD.f(x)＝e x −e −x 【答案】 D【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】函数图象关于原点对称为奇函数，判断排除答案．然后再判断单调性即可． 【解答】函数图象关于原点对称，说明是奇函数，对于答案B:f(−x)＝ln(1+x)+ln(1−x)＝f(x)，是偶函数，不符合要求， 答案C:f(−x)＝e −x +e x ＝f(−x)，是偶函数，不符合要求， 答案A:f(x)＝−x 3−x 是减函数，不符合要求． 只有答案D 符合要求．5. 已知函数f(x)=ax 3−bx +1，则f(lg3)+f(lg 13)的值等于（ ）A.2B.1C.3D.9 【答案】 A【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】根据题意，求出f(−x)的解析式，进而可得f(x)+f(−x)＝2，由对数的运算性质可得lg 13=−lg3，据此分析可得答案 【解答】根据题意，函数f(x)=ax 3−bx +1，则f(−x)＝a(−x)3−b(−x)+1＝−(ax 3−bx )+1，则有f(x)+f(−x)＝2，由于lg13=−lg3，则f(lg3)+f(lg13)=f(lg3)+f(−lg3)＝2；6. 已知幂函数f(x)=(m2−2m+1)x m2+m−2的图象不过原点，则m的值为（）A.0B.−1C.2D.0或2【答案】A【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】由幂函数定义可知m2−2m+1＝1，可解得m＝0或m＝2，由f(x)=(m2−2m+ 1)x m2+m−2的图象不过原点可知m＝0．【解答】由幂函数定义可知m2−2m+1＝1，∴m＝0或m＝2；当m＝0，f(x)＝x−2，定义域为(−∞, 0)∪(0, +∞)；当m＝2，f(x)＝x4定义域为R；又因为f(x)=(m2−2m+1)x m2+m−2的图象不过原点；∴m＝0；7. 函数f(x)=|x|+ax（其中a∈R）的图象不可能是( )A.B.C.D.【答案】C【考点】函数单调性的性质函数的图象【解析】分三种情况讨论，根据函数的单调性和基本不等式即可判断．【解答】解：当a =0时，f(x)=|x|，且x ≠0，故A 符合； 当x >0时，且a >0时，f(x)=x +ax ≥2√a ，当x <0时，且a >0时，f(x)=−x +a x 在(−∞, 0)上为减函数，故B 符合； 当x <0时，且a <0时，=−x +ax≥2√−x ⋅ax=2√−a ，当x >0时，且a <0时，f(x)=x +ax 在(0, +∞)上为增函数，故D 符合. 故选C .8. 若函数f(x)={(a −1)x −2a,x <2log a x,x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A.(0, 1)B.(0,√22] C.[√22,1)D.(1, +∞) 【答案】C【考点】分段函数的应用 【解析】根据题意，由函数的单调性的性质列出不等式组，求解可得a 的取值范围，即可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)={(a −1)x −2a,x <2log a x,x ≥2 在R 上单调递减， 必有{a −1<00<a <12(a −1)−2a ≥log a 2 ，化简可得{0<a <1log a 2≤−2， 解可得√22≤a <1，即a 的取值范围是[√22, 1)；9. 当0<x <14时，16x <log a x ，则a 的取值范围是（ ） A.(12,1) B.[12,1)C.(0,12)D.(0,12]【答案】 B【考点】函数恒成立问题 【解析】∵ 0<x <14，∴ 160<16x <1614，即1<16x <2，进而分类讨论0<a <1与a >1的情况求解． 【解答】 ∵ 0<x <14， ∴ 160<16x <1614，即1<16x<2，当a>1时，由0<x<1，可得log a x<0，不满足16x<log a x，4当0<a<1时，作出函数y＝log a x和y＝16x的图象，如图所示，≥1614，由图象可得，要使16x<log a x，必须log a14≥log a a2，即log a14∵0<a<1，∴a2≥1，4≤a<1，解得1210. 已知函数f(x)=log3(x2−ax+3)，若函数f(x)的值域为R，则a的取值范围是（）A.(−∞,−2√3)∪(2√3,+∞)B.(−∞,−2√3]∪[2√3,+∞)C.[−2√3,2√3]D.(−2√3,2√3)【答案】B【考点】函数恒成立问题【解析】函数f(x)的值域为R，则x2−ax+3≥0有解，进而利用判别式求解；【解答】∵函数f(x)的值域为R，∴x2−ax+3≥0有解，即△＝a2−12≥0，解得：a≥2√3或a≤−2√3>11. 已知函数f(x)为偶函数，且对于任意的x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1)−f(x2)x1−x20(x1≠x2)，设a＝f(2)，b＝f(log37)，c＝f(−2−0.1)，则（）A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】>0(x1≠x2)入手，得出函数单从条件对于任意的x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2调性，再对log37与1和2比较大小，利用函数奇偶性和单调性判断即可．【解答】∵对于任意的x1，x2∈(0, +∞)，都有f(x1)−f(x2)>0(x1≠x2)，x1−x2∴函数在(0, +∞)为增函数，∵1＝log33<log37<log39＝2．)0.1<1，又2−0.1=(12∴f(2)>f(log37)>f(2−0.1)，∵f(x)为偶函数，∴f(−2−0.1)＝f(2−0.1)，则a>b>c，12. 已知f(x)＝|e x−1|+1，若函数g(x)＝[f(x)]2+(a−2)f(x)−2a有三个零点，则实数a的取值范围是（）A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)【答案】A【考点】函数零点的判定定理【解析】利用十字相乘法解g(x)＝0，得f(x)＝2或f(x)＝−a，利用函数与方程之间的关系转化为两个图象的交点个数问题进行求解即可．【解答】若g(x)＝[f(x)]2+(a−2)f(x)−2a＝[f(x)−2][f(x)+a]有三个零点，即g(x)＝[f(x)−2][f(x)+a]＝0有三个根，即f(x)＝2或f(x)＝−a．当f(x)＝2时，由|e x−1|+1＝2，即|e x−1|＝1，则e x−1＝1或e x−1＝−1，即e x＝2或e x＝0，则x＝ln2或x无解，此时方程只有一个解，则f(x)＝−a．有两个不同的根，作出f(x)的图象如图：由图象知，则1<−a<2，即−2<a<−1，即实数a的取值范围是(−2, −1)，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在对应法则f的作用下，A中元素(x, y)与B中元素(x5, 2y)一一对应，则与B中元素(32, 8)对应的A中元素是________．【答案】(2, 3)【考点】映射【解析】由映射概念可得到x5＝32，2y＝8从而可解得x，y的值．【解答】由对应法则可知，x5＝32，2y＝8，∴x＝2，y＝3；函数y＝a x−1+1 (a>0且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．【答案】(1, 2)【考点】指数函数的图像与性质【解析】解析式中的指数x−1＝0求出x的值，再代入解析式求出y的值，即得到定点的坐标．【解答】由于函数y ＝a x 经过定点(0, 1)，令x −1＝0，可得x ＝1，求得f(1)＝2， 故函数f(x)＝a x−1+1(a >0, a ≠1)，则它的图象恒过定点的坐标为(1, 2)， 故答案为 (1, 2)．若函数f(x)={lgx,x >0a x +b,x ≤0 且f(0)＝3，f(−1)＝4，则f （f(−3)）＝________．【答案】 1【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】由f(0)＝a 0+b ＝3，f(−1)＝a −1+b ＝4，求出a =12，b ＝2，从而f(−3)＝a −3+b ＝23+2＝10．进而f （f(−3)）＝f(10)＝lg10，由此能求出结果． 【解答】∵ 函数f(x)={lgx,x >0a x +b,x ≤0 且f(0)＝3，f(−1)＝4，∴ f(0)＝a 0+b ＝3，解得b ＝2， f(−1)＝a −1+b ＝4，解得a =12， ∴ f(−3)＝a −3+b ＝23+2＝10． ∴ f （f(−3)）＝f(10)＝lg10＝1．已知函数f(x)=log 2a (x 2−ax +1)在区间(−∞,a2]上单调递减，则a 的取值范围是________． 【答案】 (12,2) 【考点】复合函数的单调性 【解析】由题意利用复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质可得，{2a1a 24−a ⋅a 2+10，由此求得a 的范围． 【解答】∵ 函数f(x)=log 2a (x 2−ax +1)在区间(−∞,a2]上单调递减，∴ {2a1a 24−a ⋅a2+10，求得12a <2，则a 的取值范为(12, 2)，三、解答题（本大题共6题，17题10分，18-22题每题12分.）计算下列各式的值：（1）(54)−15×(−23)0+413×√23−√(45)25−(2−√3)−1；（2）log 3√2743+log 220−5log 574−log 25．【答案】原式=(45)15+2−(45)152−√3=2−(2+√3)=−√3；原式=log 33−14+(log 220−log 25)−74=−14+2−74=0．【考点】对数的运算性质有理数指数幂的运算性质及化简求值 【解析】（1）进行指数式和根式的运算即可； （2）进行对数的运算即可． 【解答】原式=(45)15+2−(45)152−√3=2−(2+√3)=−√3；原式=log 33−14+(log 220−log 25)−74=−14+2−74=0．设集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0}，B ＝{x|x 2−4x −5≤0}． （1）若m ＝5，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围． 【答案】m ＝5，集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0} ＝{x|x 2−10x +24≤0}＝{x|4≤x ≤6}， B ＝{x|x 2−4x −5≤0}＝{x|−1≤x ≤5}． A ∩B ＝{x|4≤x ≤5}．设集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0}＝{x|[x −(m +1)][x −(m −1)≤0]＝{x|m −1≤x ≤m +1}， B ＝{x|x 2−4x −5≤0}＝{x|−1≤x ≤5}． A ∪B ＝B ，∴ A ⊆B ，当A ＝⌀时，m −1>m +1，无解； 当A ≠⌀时，{m −1≤m +1m −1≥−1m +1≤5，解得0≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围是[0, 4]． 【考点】 交集及其运算 并集及其运算 【解析】（1）m ＝5时，求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．（2）由A ∪B ＝B ，得A ⊆B ，当A ＝⌀时，m −1>m +1，当A ≠⌀时，{m −1≤m +1m −1≥−1m +1≤5，由此能求出实数m 的取值范围． 【解答】m ＝5，集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0} ＝{x|x 2−10x +24≤0}＝{x|4≤x ≤6}， B ＝{x|x 2−4x −5≤0}＝{x|−1≤x ≤5}． A ∩B ＝{x|4≤x ≤5}．设集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0}＝{x|[x −(m +1)][x −(m −1)≤0]＝{x|m −1≤x ≤m +1}， B ＝{x|x 2−4x −5≤0}＝{x|−1≤x ≤5}． A ∪B ＝B ，∴ A ⊆B ，当A ＝⌀时，m −1>m +1，无解； 当A ≠⌀时，{m −1≤m +1m −1≥−1m +1≤5 ，解得0≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围是[0, 4]．已知函数f(x)=log a 1−xx+1，(a >0，且a ≠1)． （1）求f(x)的定义域及f(log 2x)的定义域．（2）判断并证明f(x)的奇偶性． 【答案】根据题意，函数f(x)=log a 1−xx+1，则有1−xx+1>0， 解可得−1<x <1，即函数f(x)的定义域为(−1, 1)；对于f(log 2x)，则有−1<log 2x <1，解可得：12<x <2，即函数f(log 2x)的定义域(12, 2)；f(x)是奇函数．证明：∵ 函数f(x)的定义域为(−1, 1)，其定义域关于原点对称， 又由f(−x)=log a 1+x1−x =log a (1−x1+x )−1=−log a 1−x1+x =−f(x)， 故f(x)是奇函数． 【考点】函数的定义域及其求法 函数奇偶性的性质与判断 【解析】（1）根据题意，由对数函数的定义域可得1−xx+1>0，解可得x 的取值范围，即可得函数f(x)的定义域，据此对于f(log 2x)，则有−1<log 2x <1，解可得x 的取值范围，即可得函数f(log 2x)的定义域；（2）根据题意，先分析函数的定义域，再分析f(−x)与f(x)的关系，即可得答案． 【解答】根据题意，函数f(x)=log a 1−xx+1，则有1−xx+1>0， 解可得−1<x <1，即函数f(x)的定义域为(−1, 1)；对于f(log 2x)，则有−1<log 2x <1，解可得：12<x <2，即函数f(log 2x)的定义域(12, 2)；f(x)是奇函数．证明：∵ 函数f(x)的定义域为(−1, 1)，其定义域关于原点对称， 又由f(−x)=log a 1+x1−x =log a (1−x1+x )−1=−log a 1−x1+x =−f(x)，故f(x)是奇函数．函数f(x)＝2x 和g(x)＝x 3的图象的示意图如图所示，两函数的图象在第一象限只有两个交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，x 1<x 2（1）请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；（2）比较f(6)、g(6)、f(10)、g(10)的大小，并按从小到大的顺序排列；（3）设函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)，则函数ℎ(x)的两个零点为x 1，x 2，如果x 1∈[a, a +1]，x 2∈[b, b +1]，其中a ，b 为整数，指出a ，b 的值，并说明理由． 【答案】根据指数函数f(x)＝2x 的图象恒过点(0, 1)，幂函数g(x)＝x 3的图象过原点 可知C 1对应的函数为g(x)＝x 3，C 2对应的函数为f(x)＝2x ．∵ f(6)＝26＝64，g(6)＝63＝216，f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1000 ∴ f(6)、g(6)、f(10)、g(10)从小到大依次为f(6)，g(6)，g(10)，f(10)． a ＝1，b ＝9．理由如下：由于ℎ(1)＝1>0，ℎ(2)＝−4<0，ℎ(9)＝29−93<0，ℎ(10)＝210−103， 则方程ℎ(x)＝f(x)−g(x)的两个零点x 1∈(1, 2)，x 2∈(9, 10)， 因此整数a ＝1，b ＝9． 【考点】 函数的零点根据实际问题选择函数类型 【解析】（1）根据指数函数f(x)＝2x 的图象恒过点(0, 1)，幂函数g(x)＝x 3的图象过原点，可得结论；（2）分别计算f(6)、g(6)、f(10)、g(10)，即可比较大小；（3）利用零点存在定理，计算ℎ(1)＝1>0，ℎ(2)＝−4<0，ℎ(9)＝29−93<0，ℎ(10)＝210−103，即可得到结论．【解答】根据指数函数f(x)＝2x的图象恒过点(0, 1)，幂函数g(x)＝x3的图象过原点可知C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．∵f(6)＝26＝64，g(6)＝63＝216，f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1000∴f(6)、g(6)、f(10)、g(10)从小到大依次为f(6)，g(6)，g(10)，f(10)．a＝1，b＝9．理由如下：由于ℎ(1)＝1>0，ℎ(2)＝−4<0，ℎ(9)＝29−93<0，ℎ(10)＝210−103，则方程ℎ(x)＝f(x)−g(x)的两个零点x1∈(1, 2)，x2∈(9, 10)，因此整数a＝1，b＝9．已知函数f(x)＝1+log2x，x∈[1, 16]．（1）求函数f(x)的值域．（2）设g(x)＝[f(x)]2−f(x4)，求g(x)的最值及相应的x的值．【答案】∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]，g(x)＝[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]，g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x设log2x＝t，∴y＝t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t＝0即x＝1时，g(x)有最大值0，当t＝1即x＝2时，g(x)有最小值−1，综上：当x＝1时，g(x)有最大值0；当x＝2时，g(x)有最小值−1．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）x∈[1, 16]，log2x∈[0, 4]，进而求解；（2）由题意x∈[1, 16]，所以1≤x4≤16，g(x)的定义域为[1, 2]，进而求解；【解答】∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]，g(x)＝[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]，g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x设log2x＝t，∴y＝t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t＝0即x＝1时，g(x)有最大值0，当t＝1即x＝2时，g(x)有最小值−1，综上：当x＝1时，g(x)有最大值0；当x＝2时，g(x)有最小值−1．已知函数f(x)＝2x+2−x．（1）求方程f(x)＝2的实根；（2）若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)−6恒成立，求实数m的最大值．【答案】方程f(x)＝2，即2x+2−x＝2，亦即(2x)2−2×2x+1＝0，所以(2x−1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0．∵f(x)＝3，2x+2−x＝3∴f(2x)＝22x+2−2x＝(2x+2−x)2−2＝32−2＝7，由条件知f(2x)＝22x+2−2x＝(2x+2−x)2−2＝（f(x)）2−2．因为f(2x)≥mf(x)−6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，所以m≤f(x)+4f(x)对于x∈R恒成立．令g(x)＝f(x)+4f(x)≥2√f(x)⋅4f(x)=4，当且仅当f(x)＝2x+2−x＝2，即x＝0时取等号．所以m≤4，故实数m的最大值为4．【考点】指数函数的图像与性质基本不等式及其应用【解析】（1）方程f(x)＝2，即2x+2−x＝2，(2x−1)2＝0，解得x＝0．（2）由f(2x)≥mf(x)−6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，可得m≤f(x)+4f(x)对于x∈R恒成立．利用均值不等式即可求解．【解答】方程f(x)＝2，即2x+2−x＝2，亦即(2x)2−2×2x+1＝0，所以(2x−1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0．∵f(x)＝3，2x+2−x＝3∴f(2x)＝22x+2−2x＝(2x+2−x)2−2＝32−2＝7，由条件知f(2x)＝22x+2−2x＝(2x+2−x)2−2＝（f(x)）2−2．因为f(2x)≥mf(x)−6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，所以m≤f(x)+4f(x)对于x∈R恒成立．令g(x)＝f(x)+4f(x)≥2√f(x)⋅4f(x)=4，当且仅当f(x)＝2x+2−x＝2，即x＝0时取等号．所以m≤4，故实数m的最大值为4．。
2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一(上)第二次月考数学试卷
2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1. 下列说法中正确的是（）A.以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D.圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径2. 若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A.1B.2C.3D.43. 设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A.3πa2B.6πa2C.12πa2D.24πa24. 用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（）A.8B.8πC.4πD.2π5. 一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A.2B.43C.23D.16. 已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A.a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂αB.a⊥b，b // αC.α⊥β，a // βD.a // b，b⊥α7. 一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（）A.AB // CDB.AB // 平面CDC.CD // GHD.AB // GH8. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V=13(S+√SS+S)⋅ℎ）A.2寸B.3寸C.4寸D.5寸9. 已知梯形ABCD是直角梯形，AD // BC，AB⊥BC，且AD＝2，BC＝4，AB＝2．按照斜二测画法作出它的直观图A′B′C′D′，则直观图A′B′C′D′的面积为（）A.√3B.2√2C.3√24D.3√2210. 两直角边分别为1，√3的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是（）A.3+√32π B.3π C.9+2√34π D.(3+2√3)π11. 在正四面体P−ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A.BC // 平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC12. 设a，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①m⊥αn⊥m}⇒n∥α；②a⊥m,a⊥nm,n⊂α}⇒a⊥α；③m⊥αm⊥β}⇒α∥β；④m⊂αn⊂βα∥β}⇒m∥n；⑤a⊥αa⊂β}⇒α⊥β；⑥α⊥βm∥αn⊥β}⇒m⊥n．其中为正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是________．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是________．已知各顶点都在一个球面上的正方体棱长为2，则这个球的表面积为________．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．三、解答题（共6小题，满分70分）如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和DB的中点．（1）求证：EF // 平面ABC1D1；（2）求直线EF与面ADD1A1所成的角的余弦值．如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，PA=AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．（1）求四面体ACB1D1的体积（2）求二面角D1−AC−D平面角的正切值一个圆锥底面半径为R，高为√3R，（1）求圆锥的表面积（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．如图，在直角梯形ABCD中，AD // BC，AD＝AB，∠A＝90∘，BD⊥DC，将△ABD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面BDC．（1）求证：平面EBD⊥平面EDC；（2）求ED与BC所成的角．如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2√2，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．(1)证明：PC⊥平面BED；(2)设二面角A−PB−C为90∘，求PD与平面PBC所成角的大小．参考答案与试题解析2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1.【答案】C2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】B5.【答案】C6.【答案】D7.【答案】C8.【答案】B9.【答案】D10.【答案】A11.【答案】C12.【答案】B二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 【答案】 平行或异面 【答案】 ①④ 【答案】 12π【答案】 3:1:2三、解答题（共6小题，满分70分）【答案】证明：连结BD 1，∵ 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为DD 1和DB 的中点． ∴ EF // BD 1，∵ EF ⊄平面ABC 1D 1，BD 1⊂平面ABC 1D 1， ∴ EF // 平面ABC 1D 1．以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中棱长为2， 则E(0, 0, 1)，F(1, 1, 0)，EF →=(1, 1, −1)， 平面ADD 1A 1的法向量n →=(0, 1, 0)， 设直线EF 与面ADD 1A 1所成的角为θ， 则sin θ=|EF →⋅n →||EF →|⋅|n →|=1√3，∴ cos θ=√1−(1√3)2=√63． ∴ 直线EF 与面ADD 1A 1所成的角的余弦值为√63．【答案】证明：(1)∵ PA ⊥底面ABCD ， ∴ CD ⊥PA ．又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩PA =A ， ∴ CD ⊥平面PAD ， ∴ CD ⊥PD ．(2)取PD的中点G，连结AG，FG，又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF平行且等于12CD，∴GF平行且等于AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG // EF．∵PA=AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD，AG⊂平面PAD．∴CD⊥AG，∴EF⊥CD．∵PD∩CD=D，∴EF⊥平面PCD．【答案】∵正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，∴正方体ABCD−A1B1C1D1的体积为a3，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，∴三棱锥A−A1B1D1的体积为V A−A1B1D1=13S△A1B1D1⋅AA1=13×12×a2×a=16a3，∴四面体ACB1D1的体积为：V=a3−4×16a3=13a3．如图，连结BD，交AC于点O，连结D1O，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，∴AC⊥DO，∵DD1∩DO＝D，∴AC⊥平面DD1O，∵D1O⊂平面DD1O，∴AC⊥D1O，∴二面角D1−AC−D平面角是∠DOD1，在Rt△DD1O中，DD1＝a，DO=12BD=√22a，∴二面角D1−AC−D平面角的正切值为：tan∠DOD1=DD1DO=√2．【答案】圆锥底面半径为r＝R，高为ℎ=√3R，则母线长为l=√r2+ℎ2=√R2+3R2=2R；所以圆锥的表面积为S圆锥＝πr2+πrl＝π⋅R2+π⋅R⋅2R＝3πR2；设正四棱柱的底面对角线的一半为x，根据△PCB∼△POA，得xR =√3R，解得PC=√3x，所以CO=√3R−√3x；由正四棱柱的底面是一个正方形可知底面的边长是√2x，所以四棱柱的表面积为S＝4x2−4√6x2+4√6Rx＝(4−4√6)x2+4√6Rx，根据二次函数的性质知，当内接正四棱柱的底面对角线一半的长是x=√62(√6−1)时，表面积S有最大值为(6+6√6)R 25．【答案】证明：∵平面EBD⊥平面BDC，且平面EBD∩平面BDC＝BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面EBD，∵CD⊂平面EDC，∴平面EBD⊥平面EDC．如答图，连接EA，取BD的中点M，连接AM，EM，∵AD // BC，∴∠EDA即为ED与BC所成的角．又∵AD＝AB，∴ED＝EB．∴EM⊥BD，∴EM⊥平面ABCD．设AB＝a，则ED＝AD＝a，EM＝MA=√22a，∴AE＝a，∴∠EDA＝60∘．即ED与BC所成的角为60∘．【答案】(1)证明：以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A −xyz ，设D(√2, b, 0)，则C(2√2, 0, 0)，P(0, 0, 2)， E(4√23, 0, 23)，B(√2, −b, 0)， ∴ PC →=(2√2, 0, −2)，BE →=(√23, b, 23)， DE →=(√23, −b, 23)，∴ PC →⋅BE →=43−43=0，PC →⋅DE →=0，∴ PC ⊥BE ，PC ⊥DE ，BE ∩DE =E ，∴ PC ⊥平面BED .(2)解：AP →=(0, 0, 2)，AB →=(√2, −b, 0)，PB →=(√2,−b,−2), 设平面PAB 的法向量为m →=(x, y, z)， 则{m →⋅AB →=√2x −by =0,m →⋅AP →=2z =0, 取m →=(b, √2, 0),设平面PBC 的法向量为n →=(p, q, r)，则{n →⋅BE →=√23p +bq +23r =0,n →⋅PB →=√2p −bq −2r =0,试卷第11页，总11页 取n →=(1, −√2b, √2), ∵ 平面PAB ⊥平面PBC ， ∴ m →⋅n →=b −2b =0．故b =√2, ∴ n →=(1, −1, √2)，DP →=(−√2, −√2, 2) ∴ cos <DP →，n →>=|n →⋅DP →||n →|⋅|DP →|=12,设PD 与平面PBC 所成角为θ，θ∈[0, π2]，则sin θ=12,∴ θ=30∘,∴ PD 与平面PBC 所成角的大小为30∘.。
吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷(II)卷
吉林省吉林市2019-2020学年高一上学期数学期中考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）设全集则图中阴影部分表示的集合为（）A . (-1,0)B . (-3,-1)C . [-1,0)D .2. （2分）满足{1，2}⊊A⊆{1，2，3，4，5，6}的集合A的个数有（）个．A . 13B . 14C . 15D . 163. （2分）(2016·青海) 已知函数f(x)=lg(1-x)的定义域为M，函数的定义域为N，则M∩N=（）A . {x|x<1且x≠0}B . {x|x≤1且x≠0}C . {x|x>1}D . {x|x≤1}4. （2分） (2019高三上·铁岭月考) 已知函数在区间上有零点，则（）A . 1B . 2C . 3D . 45. （2分） (2016高一上·芒市期中) 已知，那么的值是（）A .B .C .D . -6. （2分） (2016高一下·淮北开学考) 已知函数f（x）=ax2﹣2ax+c满足f（2017）＜f（﹣2016），则满足f（m）≤f（0）的实数m的取值范围是（）A . （﹣∞，0]B . [0，2]C . （﹣∞，0]∪[2，+∞）D . [2，+∞）7. （2分） (2018高二上·会宁月考) 已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列满足（其中为的前项和），则（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高一上·大名期中) 函数f（x）= +lg（3x+1）的定义域为（）A . [﹣，1）B . （﹣，1）C . （﹣，+∞）D . （﹣∞，1）9. （2分）下列运算正确的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 若函数的定义域为，则的取值范围为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2016高一上·浦东期中) 集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，A∪B=R，则a的取值范围是________12. （1分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2 ，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是________13. （1分）=________14. （1分） (2016高一上·佛山期末) 计算（） +lg ﹣lg25=________．三、解答题 (共4题；共40分)15. （10分） (2019高一上·拉萨期中) 已知函数的图象过点（1）求与的值;（2）当时，求的值域.16. （5分）已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数y=f（x2﹣2）的值域．17. （10分） (2016高一上·尼勒克期中) 已知函数g（x）=1+ ．（1）判断函数g（x）的奇偶性（2）用定义证明函数g（x）在（﹣∞，0）上为减函数．18. （15分） (2017高一上·襄阳期末) 已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）+g（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性，并说明理由；（Ⅲ）判断函数f（x）+g（x）在区间（0，1）上的单调性，并加以证明．参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共40分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、。
2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一(上)第二次月考数学试卷及答案
2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）第二次月考数学试卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径2．（5分）若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A．1B．2C．3D．43．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa24．（5分）用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（）A．8B．C．D．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A．2B．C．D．16．（5分）已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A．a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α7．（5分）一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（）A．AB∥CD B．AB∥平面CNDMC．CD∥GH D．AB∥GH8．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V＝）A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸9．（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AD＝2，BC＝4，AB＝2．按照斜二测画法作出它的直观图A'B'C'D'，则直观图A'B'C'D'的面积为（）A．B．2C．D．10．（5分）两直角边分别为1，的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是（）A．πB．3πC．πD．（3+2）π11．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC12．（5分）设a，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中为正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是．15．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正方体棱长为2，则这个球的表面积为．16．（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求直线EF与面ADD1A1所成的角的余弦值．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．（1）求四面体ACB1D1的体积（2）求二面角D1﹣AC﹣D平面角的正切值20．（12分）一个圆锥底面半径为R，高为，（1）求圆锥的表面积（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠A＝90°，BD⊥DC，将△ABD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面BDC．（1）求证：平面EBD⊥平面EDC；（2）求ED与BC所成的角．22．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝2，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）第二次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．1．（5分）下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径【分析】A、B中只有以直角边旋转才符合要求．D中圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长．由排除法可选出答案．【解答】解：A中以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体不是圆锥，故A错误；B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故B错误；C显然正确；D中圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误．故选：C．【点评】本题考查圆柱、圆锥、圆台的机构特征，属基础知识的考查．2．（5分）若球的体积与其表面积数值相等，则球的半径等于（）A．1B．2C．3D．4【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可．【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4πr2因为球的体积与其表面积的数值相等，所以＝4πr2，解得r＝3故选：C．【点评】本题考查球的体积与表面积的计算，是基础题．3．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．3πa2B．6πa2C．12πa2D．24πa2【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R满足（2R）2＝6a2，代入球的表面积公式，S＝4πR2，即可得到答案．球【解答】解：根据题意球的半径R满足（2R）2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa2．故选：B．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．4．（5分）用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为（）A．8B．C．D．【分析】根据圆柱侧面展开的原理，可得该圆柱的底面圆周长等于4，由此算出底面直径等于，即可得到圆柱的轴截面面积．【解答】解：∵用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，且圆柱高为h＝2∴底面圆周由长为4的线段围成，可得底面圆直径2r＝∴此圆柱的轴截面矩形的面积为S＝2r×h＝故选：B．【点评】本题给出矩形做成圆柱的侧面，求该圆柱的轴截面面积．着重考查了圆柱侧面展开图、圆的周长公式和矩形面积公式等知识，属于基础题．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（）A．2B．C．D．1【分析】画出三视图的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：是长方体的一个角，P A＝2，AB＝2，AC＝1，所以几何体的体积为：＝．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体是体积，判断几何体是形状是解题的关键．6．（5分）已知a，b，c是直线，α，β是平面，下列条件中，能得出直线a⊥平面α的是（）A．a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂αB．a⊥b，b∥αC．α⊥β，a∥βD．a∥b，b⊥α【分析】在A中，当b，c平面时，直线a与平面α不一定平行；在B和C中，直线a 与平面α相交、平行或a⊂α；在D中，由直线与平面垂直的判定定理得直线a⊥平面α．【解答】解：a⊥c，a⊥b，其中b⊂α，c⊂α，当b，c相交时，直线a⊥平面α，当b，c平面时，直线a与平面α不一定平行，故A错误；由a⊥b，b∥α，得直线a与平面α相交、平行或a⊂α，故B错误；由α⊥β，a∥β，得直线a与平面α相交、平行或a⊂α，故C错误；∵a∥b，b⊥α，∴由直线与平面垂直的判定定理得直线a⊥平面α，故D正确．【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，注意线线、线面、面面的位置关系的合理运用．7．（5分）一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中（）A．AB∥CD B．AB∥平面CNDMC．CD∥GH D．AB∥GH【分析】直接利用平面图形和空间图形之间的转换的应用求出结果．【解答】解：把正方体进行复原，得到：由立体图形可知：GH∥CD．故选：C．【点评】本题考查的知识要点：平面图形和空间图形之间的转换，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．8．（5分）我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V＝）A．2寸B．3寸C．4寸D．5寸【分析】由题意求得盆中水的上地面半径，代入圆台体积公式求得水的体积，除以盆口【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．∵积水深9寸，∴水面半径为（14+6）＝10寸，则盆中水的体积为π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．∴平地降雨量等于＝3（寸）．故选：B．【点评】本题考查柱、锥、台体的体积求法，正确理解题意是关键，属基础题．9．（5分）已知梯形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AD＝2，BC＝4，AB＝2．按照斜二测画法作出它的直观图A'B'C'D'，则直观图A'B'C'D'的面积为（）A．B．2C．D．【分析】由题意知S直＝S原，故求出直角梯形面积带入即可．【解答】解：因为S直＝S原，又因为梯形ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，且AD＝2，BC＝4，AB＝2，所以梯形的面积为6，所以直观图A'B'C'D'的面积为．故选：D．【点评】本题考查原图和直观图的关系，属于简单题．10．（5分）两直角边分别为1，的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是（）A．πB．3πC．πD．（3+2）π【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S＝πRL计算公式可得．【解答】解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中若L＝1，R＝与L＝，R＝，∴S＝＝．故选：A．【点评】本题考查旋转体的定义，圆锥的侧面积计算公式．11．（5分）在正四面体P﹣ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是（）A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面P AEC．平面PDF⊥平面ABC D．平面P AE⊥平面ABC【分析】正四面体P﹣ABC即正三棱锥P﹣ABC，所以其四个面都是正三角形，在正三角形中，联系选项B、C、D中有证明到垂直关系，应该联想到“三线合一”．D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，由中位线定理可得BC∥DF，所以BC∥平面PDF，进而可得答案．【解答】解：由DF∥BC可得BC∥平面PDF，故A正确．若PO⊥平面ABC，垂足为O，则O在AE上，则DF⊥PO，又DF⊥AE故DF⊥平面P AE，故B正确．由DF⊥平面P AE可得，平面P AE⊥平面ABC，故D正确．故选：C．【点评】本小题考查空间中的线面关系，正三角形中“三线合一”，中位线定理等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．12．（5分）设a，m，n是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①；②；③；④；⑤；⑥．其中为正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．4【分析】结合空间中的直线与平面的位置关系与判定定理，对题目中的命题逐一判断正误即可．【解答】解：对于①，时，不一定得出n∥α，①错误；对于②，时，不一定得出a⊥α，②错误；对于③，时，α∥β成立，③正确；对于④，时，m与n可能平行，也可能异面，所以④错误；对于⑤，时，能得出α⊥β，⑤正确；对于⑥，时，m与n可能平行，也可能垂直，也可能异面，所以⑥错误；综上知，正确的命题序号是③⑤，共2个．故选：B．【点评】本题考查了空间中的直线与平面的位置关系与应用问题，也考查了转化思想与空间想象能力，是中档题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是平行或异面．【分析】利用空间中两条直线的位置关系及其性质直接求解．【解答】解：空间中两条直线的位置关系有三种：相交，有且只有一个公共点；平行，没有公共点；异面，没有公共点．由此可知，如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是平行或异面．故答案为：平行或异面．【点评】本题考查空间中两条直线的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．14．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△P AC在该正方体各个面上的射影可能是①④．【分析】根据点的投影的做法，做出△P AC在该正方体各个面上的射影，这里应该有三种情况，做出在前后面上的投影，在上下面上的投影，在左右面上的投影，得到结果．【解答】解：由所给的正方体知，△P AC在该正方体上下面上的射影是①，△P AC在该正方体左右面上的射影是④，△P AC在该正方体前后面上的射影是④故答案为：①④【点评】本题考查平行投影，考查在正方体内的一个三角形在正方体的各个面上的投影情况，要检验全面，做到不重不漏．15．（5分）已知各顶点都在一个球面上的正方体棱长为2，则这个球的表面积为12π．【分析】设出正方体的棱长，求出正方体的体对角线的长，就是球的直径，求出球的表面积即可．【解答】解：设正方体的棱长为：2，正方体的体对角线的长为：2，就是球的直径，∴球的表面积为：S2＝4π（）2＝12π．故答案为：12π．【点评】本题考查球的体积表面积，正方体的外接球的知识，仔细分析，找出二者之间的关系：正方体的对角线就是球的直径，是解题关键，本题考查转化思想，是中档题．16．（5分）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2．【分析】由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则我们易根据圆柱、圆锥及球的体积公式，求出圆柱、圆锥及球的体积，进而得到答案．【解答】解：设球的半径为R，则圆柱和圆锥的高均为2R，则V圆柱＝2π•R3，V圆锥＝π•R3，V球＝π•R3，故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2【点评】本题考查的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式，其中根据已知，设出球的半径，进而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答本题的关键．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和DB的中点．（1）求证：EF∥平面ABC1D1；（2）求直线EF与面ADD1A1所成的角的余弦值．【分析】（1）连结BD1，则EF∥BD1，由此能证明EF∥平面ABC1D1．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EF与面ADD1A1所成的角的余弦值．【解答】解：（1）证明：连结BD1，∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和DB的中点．∴EF∥BD1，∵EF⊄平面ABC1D1，BD1⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则E（0，0，1），F（1，1，0），＝（1，1，﹣1），平面ADD1A1的法向量＝（0，1，0），设直线EF与面ADD1A1所成的角为θ，则sinθ＝＝，∴cosθ＝＝．∴直线EF与面ADD1A1所成的角的余弦值为．【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD．求证：（1）CD⊥PD；（2）EF⊥平面PCD．【分析】（1）由线面垂直得CD⊥P A，由矩形性质得CD⊥AD，由此能证明CD⊥PD．（2）取PD的中点G，连结AG，FG．由已知条件推导出四边形AEFG是平行四边形，所以AG∥EF．再由已知条件推导出EF⊥CD，由此能证明EF⊥平面PCD．【解答】（本题满分8分）证明：（1）∵P A⊥底面ABCD，∴CD⊥P A．又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩P A＝A，∴CD⊥平面P AD，∴CD⊥PD．（4分）（2）取PD的中点G，连结AG，FG．又∵G、F分别是PD、PC的中点，∴GF平行且等于CD，∴GF平行且等于AE，∴四边形AEFG是平行四边形，∴AG∥EF．∵P A＝AD，G是PD的中点，∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面P AD，AG⊂平面P AD．∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．（8分）【点评】本题考查异面直线垂直的证明，考查直线垂直于平面的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点．（1）求四面体ACB1D1的体积（2）求二面角D1﹣AC﹣D平面角的正切值【分析】（1）求出正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为a3，三棱锥A﹣A1B1D1的体积为＝＝，由此能求出四面体ACB1D1的体积．（2）连结BD，交AC于点O，连结D1O，推导出AC⊥DD1，AC⊥DO，从而AC⊥平面DD1O，进而AC⊥D1O，二面角D1﹣AC﹣D平面角是∠DOD1，由此能求出二面角D1﹣AC﹣D平面角的正切值．【解答】解：（1）∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，∴正方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为a3，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，∴三棱锥A﹣A1B1D1的体积为＝＝＝，∴四面体ACB1D1的体积为：V＝＝．（2）如图，连结BD，交AC于点O，连结D1O，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DD1，四边形ABCD为正方形，则AC⊥BD，∴AC⊥DO，∵DD1∩DO＝D，∴AC⊥平面DD1O，∵D1O⊂平面DD1O，∴AC⊥D1O，∴二面角D1﹣AC﹣D平面角是∠DOD1，在Rt△DD1O中，DD1＝a，DO＝，∴二面角D1﹣AC﹣D平面角的正切值为：tan∠DOD1＝＝．【点评】本题考查四面体的体积、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）一个圆锥底面半径为R，高为，（1）求圆锥的表面积（2）求圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．【分析】（1）根据题意求出圆锥的母线长，再计算圆锥的表面积；（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x，根据轴截面上的两个三角形相似求出四棱柱的高，利用四棱柱的表面积公式和二次函数，即可求出表面积的最大值．【解答】解：（1）圆锥底面半径为r＝R，高为h＝，则母线长为l＝＝＝2R；所以圆锥的表面积为S圆锥＝πr2+πrl＝π•R2+π•R•2R＝3πR2；（2）设正四棱柱的底面对角线的一半为x，根据△PCB～△POA，得＝，解得PC＝x，所以CO＝R﹣x；由正四棱柱的底面是一个正方形可知底面的边长是x，所以四棱柱的表面积为S＝4x2﹣4x2+4Rx＝（4﹣4）x2+4Rx，根据二次函数的性质知，当内接正四棱柱的底面对角线一半的长是x＝时，表面积S有最大值为．【点评】本题考查了圆锥与四棱柱的结构特征和面积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．21．（12分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠A＝90°，BD⊥DC，将△ABD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面BDC．（1）求证：平面EBD⊥平面EDC；（2）求ED与BC所成的角．【分析】（1）通过证明CD⊥平面EBD，利用平面与平面垂直的潘多拉证明平面EBD⊥平面EDC．（2）说明∠EDA即为ED与BC所成的角．通过解三角形即可求出∠EDA，得到ED与BC所成的角．【解答】（1）证明：∵平面EBD⊥平面BDC，且平面EBD∩平面BDC＝BD，CD⊥BD，∴CD⊥平面EBD，∵CD⊂平面EDC，∴平面EBD⊥平面EDC．（2）解：如答图，连接EA，取BD的中点M，连接AM，EM，∵AD∥BC，∴∠EDA即为ED与BC所成的角．又∵AD＝AB，∴ED＝EB．∴EM⊥BD，∴EM⊥平面ABCD．设AB＝a，则ED＝AD＝a，EM＝MA＝a，∴AE＝a，∴∠EDA＝60°．即ED与BC所成的角为60°．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，异面直线所成角的求法，考查计算能力．22．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，AC＝2，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面P AB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴＝（2，0，﹣2），＝（，b，），＝（，﹣b，）∴•＝﹣＝0，•＝0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE＝E∴PC⊥平面BED（II）＝（0，0，2），＝（，﹣b，0）设平面P AB的法向量为＝（x，y，z），则取＝（b，，0）设平面PBC的法向量为＝（p，q，r），则取＝（1，﹣，）∵平面P AB⊥平面PBC，∴•＝b﹣＝0．故b＝∴＝（1，﹣1，），＝（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞＝＝设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ＝∴θ＝30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题。
【20套试卷合集】吉林省吉林市普通中学2019-2020学年数学高一上期中模拟试卷含答案
2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案考试时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项． 1．在①{}10,1,2⊆；②{}{}10,1,2∈；③{}{}0,1,20,1,2⊆； ④∅{}0上述四个关系中，错误．．的个数是( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个2．函数1()lg(1)1f x x x=++-的定义域是( ) A ．(),1-∞- B ．()1,+∞C ．()()1,11,-+∞ D ．(),-∞+∞3．若372log πlog 6log 0.8a b c ===，，，则( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>4．函数212log (231)y x x =-+的递减区间为( )A ．()1,+∞B ．3,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭5．下列等式中一定正确的是( )A 23x y =+ B ．82710log 9log 329⋅=C ．=D ．log log aa x =6．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()23xf x =-,那么(2)f -的值是( )A ．1-B ．114C ．1D ．114-7．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭8．设函数⎩⎨⎧+∞∈-∞∈=),2(,log ]2,(,2)(2x x x x f x ，则满足4)(=x f 的x 的值是( )A ．2B ．16C ．2或16D ．－2或169．已知函数()()()f x x a x b =--(其中a b >)的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+的图象是( )A ．B ．C ．D ．10．当]2,0[∈x 时，函数3)1(4)(2--+=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是( )A ．),21[+∞-B ．),0[+∞C ．),1[+∞D ．),32[+∞11．已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2xxf xg x a a -+=-+(0a >，且1a ≠)．若(2)g a =，则(2)f ＝( )A ．2B ．154C ．174D ．2a12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1.1a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()22()2,f x x x x x R =-⊗-∈，若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(]3,21,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭B ．(]3,21,4⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭C ．111,,44⎛⎫⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．311,,44⎛⎫⎡⎫--+∞ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．已知x x f a log )(3=，且1)8(=f ，则=a ________14．函数232(01)y x x x =-+≤≤的值域为___________________ 15．函数 )10(31≠>+=-a a ay x 且的图象必过定点P , P 点的坐标为_________．16．关于函数22log (23)y x x =-+有以下4个结论其中正确的有___________① 定义域为(,3](1,);-∞-⋃+∞ ② 递增区间为[1,);+∞ ③ 最小值为1；④ 图象恒在x 轴的上方三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知集合}06|{2<--=x x x A ,2{|280}B x x x =+-≥(1)求A B ；(2)求R A C B ．18．(满分12分)(1)化简：11lg9lg 240212361lg 27lg 35+-+-+ (2)已知：lg(1)lg(2)lg 2x x -+-=，求x 的值19．(12分) 2()1xf x x =+是定义在()1,1-上的函数 (1)用定义证明()f x 在()1,1-上是增函数； (2)解不等式(1)()0f t f t -+<．20．(12分)已知110,0x y ≤≤>，且1002=xy ，求22)(lg )(lg y x +的最大值和最小值．21．(12分)已知22(log )24f x x x =-+，]4,2[∈x(1)求)(x f 的解析式及定义域；(2)若方程a x f =)(有实数根，求实数a 的取值范围22．(12分)已知函数aa x f x+-=241)((0>a 且1≠a )是定义在),(+∞-∞上的奇函数． (1)求a 的值；(2)当]1,0(∈x 时，22)(-≥⋅x x f t 恒成立，求实数t 的取值范围．2019-2020学年高一上数学期中模拟试卷含答案一．选择题.（每小题4分，共10小题，共４０分，每小题只有一个正确答案）1．设全集}{，集合9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=U }{8,5,3,1,0A =，集合}{8,6,5,4,2B =，则=⋂B C A U U C （ ）A ．}{8,5B ．}{9,7 Ｃ．}{3,1,0 Ｄ．}{6,4,2 2．设)(22112R t b a t ∈==--，则b a 与的大小关系是（ ）Ａ．b a ≥ Ｂ．b a ≤ Ｃ．b a < Ｄ．b a > 3．设3log 2=a ，7.0log 2=b ，1log 5=c ，则c b a 、、的大小关系是（ ） Ａ．c b a << Ｂ．c a b << Ｃ．b c a << Ｄ．a c b << 4．已知函数3log )(2-=x x f ，则函数定义域是（ ）Ａ．[)+∞,3 Ｂ．()+∞,3 Ｃ．[)+∞,8 Ｄ．()+∞,8 5．函数⎩⎨⎧<+≥-=6)2(65)(x x f x x x f ，则=)3(f （ ）Ａ．５ Ｂ．４ Ｃ．３ Ｄ．２6．设)(x f 是定义在Ｒ上的偶函数，当=--+=≥)1(,122)(0f x x f x x则时，（ ） Ａ．３ Ｂ．25-Ｃ．25 Ｄ．－３7．函数)32(log )(22-+=x x x f 的单调减区间为（ ）Ａ．()3,-∞- Ｂ．()1,-∞- Ｃ．()+∞-,1 Ｄ．()1,3-- 8．已知偶函数)(x f 在]2,(--∞上是增函数,则下列关系式中成立的是( )Ａ．)4()3()27(f f f <-<- Ｂ．)4()27()3(f f f <-<-Ｃ．)27()3()4(-<-<f f f Ｄ．)3()27()4(-<-<f f f9．函数12)(2+-=x mx x f 的定义域为Ｒ，则实数ｍ的取值范围是（ ）Ａ．)1,0( Ｂ．()+∞,1 Ｃ．),1[+∞ Ｄ．),0[+∞10．设函数3)1(2)(2++++=m x m mx x f 仅有一个负零点，则m 的取值范围为（ ） Ａ．{}03≤≤-m m Ｂ．{}03<<-m m Ｃ．{}03<≤-m m Ｄ．{}031≤≤-=m m m 或11．函数1)21()(-=x x f 的定义域是 ． 12．已知41log ,)21(,258.02.1===-c b a ，则c b a 、、由小到大的顺序是 ． 13．函数)(x f 为定义在Ｒ上的奇函数，当0)(,)(02<+=≥x x f x x x f x 在则时，上的解析式为)(x f ＝ ．14．某种商品进货价每件50元,据市场调查，当销售价格（每件ｘ元）在8050≤≤x 时，每天售出的件数2)40(100000-=x P ，当销售价格定为 元时所获利润最多． 三．解答题（共４小题，共４０分）15．（每小题4分共8分）计算：（1）9log 22log 25log 532⋅⋅ （2）5.021225.04122532-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫⎝⎛--16．（ 本小题10分） 已知[)3,0),32(log )(,32)(222且两函数定义域均为+-=+-=x x x g x x x f ，（1）．画函数)(x f 在定义域内的图像，并求)(x f 值域；（5分） （2）．求函数g(x)的值域．（5分）17．（ 本小题10分）设定义在[]2,2-上的奇函数b x x x f ++=35)(（1）．求ｂ值；（4分）（2）．若)(x f 在[]2,0上单调递增，且0)1()(>-+m f m f ，求实数ｍ的取值范围．（6分） 18．（ 本小题12分）设函数)(x f y =的定义域为Ｒ，并且满足1)2(),()()(=-=-f y f x f y x f 且， 当.0)(0>>x f x 时， （1）．求)0(f 的值；（3分）（2）．判断函数)(x f 的奇偶性；（3分）（3）．如果x x f x f 求,2)2()(<++的取值范围．（6分）数学试题答案二．选择题.（每小题4分，共10小题，共４０分，每小题只有一个正确答案）BBDCD, AADCD二．填空题（每小题５分，共４小题，共２０分）11．{}0≤x x 12．c<b<a 13．x x +-214．60 三．解答题（共４小题，共４０分）15．（每小题4分共8分）计算： （1）6 （2）3216．（ 本小题10分）解(1).图略。
吉林省吉化第一高级中学校2019_2020学年高一数学上学期第二次月考试题(无答案)
吉林省吉化第一高级中学校2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题（无答案）本试卷分为共22题，共150分，共2页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮檫干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1．下列说法中正确的是（）A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径2.若球的体积与表面积相等，则球的半径是( )A．1 B．2 C．3 D．43 .设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为A．3πa2 B．6πa2 C．12πa2 D．24πa24.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )A．8 B. 8π C.4πD.2π5.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是A ．2B ．43C ．23D ．16. 已知a b c ，，是三条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线a ⊥平面α的是A ．,a c a b ⊥⊥，其中,b c ⊂⊂ααB ．a b b α⊥，∥C ．a αββ⊥，∥D ．a b b α⊥∥，7.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中A ．∥AB CDB ．∥平面AB CDC ．∥CD GHD ．∥AB GH8. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是 ( ) (注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)A. 3寸B. 4寸C. 5寸D. 6寸9．已知ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，且AD =2，BC =4，AB =2．按照斜二测画法作出它的直观图A'B'C'D'，则直观图A'B'C'D'的面积为A ．3B ．22C ．32D ．32 10.两直角边分别为1，3的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是A ．33+πB ．3πC ．923+πD ．（3+23）π11.在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面PAEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面PAE ⊥面12.设a ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①∥m n n m ⊥⎫⇒⎬⊥⎭αα； ②,,a m a n a m n αα⊥⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ③∥m m ⊥⎫⇒⎬⊥⎭ααββ；Ｂ Ａ Ｆ ＥＣＤ1 Ｃ1 Ｂ1A 1 Ｄ④∥∥m n m n ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭αβαβ； ⑤a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭； ⑥∥m m n n ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭αβαβ. 其中为正确命题的个数为A ．1B ．2C ．3D ．4二 填空题 本大题共4小题，每小题5分。
吉林省吉林市吉化一中2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题(含解析)
吉林省吉林市吉化一中2019-2020学年高一数学上学期第二次月考试题（含解析）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求.1.下列说法中正确的是（）A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径【答案】C【解析】【分析】根据圆柱、圆锥、圆台的相关概念对各选项中命题的真假进行判断.【详解】对于A选项，以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是由两个底面相同的圆锥拼接而成的几何体，A选项错误；对于B选项，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，以斜腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，B选项错误；对于C选项，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，C选项正确；对于D选项，圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，大于底面圆的半径，D选项错误.故选：C.【点睛】本题考查圆柱、圆锥、圆台的结构特征，熟悉这三种几何体的形成过程与相关概念是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.2.若球的体积与表面积相等，则球的半径是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】设球的半径为R，利用球体的体积和表面积公式建立关于R的方程，解出即可.【详解】设球的半径为R ，由题意可得32443R R π=π，解得3R =. 故选：C.【点睛】本题考查球体半径的计算，利用球体的表面积和体积公式建立方程是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.3.设长方体的长、宽、高分别为2,,a a a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 A. 3πa 2 B. 6πa 2C. 12πa 2D. 24πa 2【答案】B 【解析】【详解】方体的长、宽、高分别为2,,a a a ,其顶点都在一个球面上,长方体的对角线的，，所以球的表面积是22462a a ππ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故选B4.用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( ) A. 8 B.8πC.4πD.2π【答案】B 【解析】 【分析】根据底面周长为4计算出底面直径，求出轴截面面积．【详解】解：因为用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱 所以底面圆的周长为4 可得底面直径为42r π=所以此圆柱的轴截面矩形的面积为82S r h π=⨯=故选：B【点睛】本题给出矩形做成圆柱的侧面，求圆柱的轴截面面积，着重考查了圆柱侧面展开图，圆的周长公式和矩形的面积公式，属于基础题．5.一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是( )A. 2B.43C.23D. 1【答案】C 【解析】 【分析】由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2，底面是直角边长分别为1，2的直角三角形，代入体积公式计算可得答案．【详解】解：由三视图知几何体为三棱锥，且三棱锥的高为2， 底面是直角边长分别为1，2的直角三角形， ∴三棱柱的体积V 1112232=⨯⨯⨯⨯=23． 故选C ．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6.已知a b c ，，是三条不同的直线，αβ，是两个不同的平面，则下列条件中能得出直线a ⊥平面α的是（ ）A. a c a b ⊥⊥，，其中b c αα⊂⊂，B. a b b α⊥，∥C. a αββ⊥，∥D. a b b α⊥∥，【答案】D 【解析】 【分析】对四个选项逐一分析，排除错误选项，由此得出正确选项.【详解】A 中缺少条件“b 与c 相交”；B 中，当,b a b α⊥∥时，a 与α可能平行，可能相交，也可能a α⊂；C 中，a 与α可能平行，可能相交，也可能a α⊂.对于D 选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面，D 选项正确.故选D. 【点睛】本小题主要考查线面垂直的判定定理，考查线面垂直的充分条件，属于基础题. 7.一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( )A. AB CD ∥B. AB CD 平面∥C. CD GH ∥D.AB GH ∥【答案】C 【解析】 【分析】首先还原几何体，然后考查所给的几何关系是否成立即可.【详解】原正方体如图，由图可得CD ∥GH ，C 正确．AB 与CD 相交，A 错误； AB 与平面CD 相交，B 错误； AB 与GH 是异面直线，D 错误.本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查正方体的展开面与还原，正方体中元素的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和空间想象能力.8.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为l 尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸）（ ） A. 3寸 B. 4寸C. 5寸D. 6寸【答案】A 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，根据已知条件，利用圆台体积公式可求得盆中积水体积，再求出盆口面积，根据平均降水量的定义可求得结果. 【详解】作出圆台的轴截面如图所示：由题意知，14BF =寸，6OC =寸，18OF =寸，9OG =寸 即G 是OF 的中点 GE ∴为梯形OCBF 的中位线 146102GE +∴==寸 即积水的上底面半径为10寸∴盆中积水的体积为()11003610695883ππ⨯++⨯⨯=（立方寸）又盆口的面积为214196ππ=（平方寸）∴平均降雨量是5883196ππ=寸，即平均降雨量是3寸 本题正确选项：A【点睛】本题考查圆台体积的有关计算，关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高，考查基础公式的应用.9.已知ABCD 是直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，且2AD =，4BC =，2AB =．按照斜二测画法作出它的直观图A B C D ''''，则直观图A B C D ''''的面积为（ ） 3 B. 23232【答案】D 【解析】 【分析】计算出直角梯形ABCD 的面积S ，则其直观图的面积为24S ，即可得出直观图A B C D ''''的面积.【详解】如下图所示：由于//AD BC ，AB BC ⊥，且2AD =，4BC =，2AB =， 则梯形ABCD 的面积为()()242622AD BC AB S +⨯+⨯===，因此，直观图A B C D ''''的面积为22326442S S '===. 故选：D.【点睛】本题考查直观图面积的计算，熟悉多边形面积与其直观图面积的等量关系是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.10.两直角边分别为3的直角三角形绕其斜边所在的直线旋转一周，得到的几何体的表面积是( ) 33+ B. 3π 923+ D.(33)π+【答案】A 【解析】 【分析】由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式 可得．【详解】由题得直角三角形的斜边为2133⋅由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中3R =， 333+31+3S ππ∴= 故选A ．【点睛】本题考查旋转体的定义，圆锥的表面积的计算，属于基础题.11.在正四面体P ABC -中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是（ ） A. //BC 面PDF B. DF ⊥面PAE C. 面PDF ⊥面ABC D. 面PAE ⊥面ABC【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，利用线面平行、线面垂直以及面面垂直的判定定理对各选项中命题的正误进行判断.【详解】如下图所示：对于A 选项，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，//BC DF ∴，BC ⊄平面PDF ，DF ⊂平面PDF ，//BC ∴平面PDF ，A 选项正确；对于B 选项，ABC ∆是等边三角形，E 为BC 的中点，AE BC ∴⊥，同理PE BC ⊥，AEPE E =，BC ∴⊥平面PAE ，//DF BC ，DF ⊥∴平面PAE ，B 选项正确；对于C 选项，设DFAE G =，连接PG ，假设面PDF ⊥面ABC 成立，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，//DF BC ∴，且DFAE G =，则G 为AE 的中点，由B 选项知，DF ⊥平面PAE ，PG ⊂平面PAE ，PG DF ∴⊥，若面PDF ⊥面ABC ，由于面PDF面ABC DF =，PG ⊂平面PDF ，PG ∴⊥平面ABC ，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为点O ，则O 为等边ABC ∆的中心， 则23AO AE AG =≠，矛盾，所以，面PDF ⊥面ABC 不成立，C 选项错误； 对于D 选项，由B 选项知，BC ⊥平面PAE ，BC ⊂平面ABC ，∴平面PAE ⊥平面ABC ，D 选项正确. 故选：C.【点睛】本题考查线面平行与垂直、面面垂直的判断，要充分利用相关的判定定理来判断，考查推理能力，属于中等题.12.设a ，m ，n 是三条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列命题：①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭；②,,a m a n a m n αα⊥⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；③//m m ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭； ④////m n m n αβαβ⊂⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭；⑤a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭；⑥//m m n n αβαβ⊥⎫⎪⇒⊥⎬⎪⊥⎭. 其中为真命题的个数为（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据课本的判定定理以及推论，和特殊的例子，可判断正误.【详解】对于①//m n n m αα⊥⎫⇒⎬⊥⎭，错误，n 可以在平面α内；对于②，是错误的，根据线面垂直的判定定理知，当一条直线和面内两条相交直线垂直的时候，才能推出线面垂直；对于③根据课本推论知其结果正确；④直线m 和n 可以是异面的成任意夹角的两条直线；对于⑤根据课本线面垂直的判定定理得到其正确；对于⑥是错误的，当直线m 与直线n,和平面α平行并且和平面β垂直，此时两条直线互相平行. 故答案为B【点睛】这个题目考查了空间中点线面的位置关系，面面垂直，线面垂直的判定等，对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断．还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断． 二 填空题 本大题共4小题，每小题5分.13.在空间内，如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是_______. 【答案】平行或异面 【解析】由空间两直线的位置关系可得，没公共点的两直线可能平行或异面．答案：平行或异面14.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△PAC 在该正方体各个面上的射影可能是（ ）【答案】①④ 【解析】【详解】由所给的正方体知，△PAC 在该正方体上下面上的射影是①， △PAC 在该正方体左右面上的射影是④， △PAC 在该正方体前后面上的射影是④15.已知各个顶点都在同一个球面上的正三棱柱的棱长为2，则这个球的表面积为__________. 【答案】283π【解析】 【分析】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为r ，利用重心的性质求出r 的值，然后利用公式222h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭h 为正三棱柱的高），计算出球的半径R ，最后利用球体的表面积公式可计算出该正三棱柱外接球的表面积.【详解】设正三棱柱底面三角形的外接圆半径为r 3由题意可得233r =， 由于该正三棱柱的高为2h =，所以，外接球的半径22723h R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭因此，该球的表面积为27284433R πππ=⨯=.故答案为：283π. 【点睛】本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正三棱柱的外接球问题，选择合适的模型计算出外接球的半径是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.16.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为 .【答案】3:1:2 【解析】【详解】设球的半径为r, 则2322V r r r ππ=⨯=圆柱,3212233r V r r ππ=⨯=圆锥， 343V r π=球，所以33324::2::3:1:233r V V V r r πππ==圆柱圆锥球，故答案为3:1:2.考点：圆柱，圆锥，球的体积公式.点评：圆柱，圆锥，球的体积公式分别为22314,,33V r h V r h V r πππ===圆柱圆锥球. 三 解答题 共70分。
吉林省吉化第一高级中学校2019届高三数学上学期期中试题理
吉林省吉化第一高级中学校2019届高三数学上学期期中试题理（扫描版）2018—2019学年度高三上学期期中考试数学试卷（理）参考答案 一、选择题 CACAC, CABDA, DB 二、填空题：13.103-34 14, 2 15, 2x-3y+1=0 16. (2) (3)三、解答题：17．解：（1）11173194)2(2{=+=+++d a d a d a ……（4分），解得2,11==d a ，.12-=∴n a n ……（6分）（2）122,2-+=∴=-n b a b n n n n n ，……（8分），()[]1-2n …31)2…22(2+++++++=∴n n T ……（10分），2221-+=+n T n n ……（12分），()()分得记其中由向量41)42sin(2221)12(cos 212sin 2121cos cos sin )(21)(,0,cos ,cos ,cos ,sin ,182 ++=+++=++•=+•=>==πωωωωωωωωωωωx x x x x x x f x f x x x x1)42sin(22)(11++====πωπx x f T 所以，得，）由（……（6分）（Ⅱ）142sin 22)(4)(+⎪⎭⎫⎝⎛-=ππx x g x f 个单位，可得图像向右平移将，…（8分）⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++≤≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤-≤-≤-≤≤222,21)(222)(21142sin 224342420，的值域为：，即故所以，时，当x g x g x x x πππππ…（10分）…（12分）19解：（Ⅰ）当 时，∵()+∈-=N n a S n n 22 ①∴()+--∈-=N n a S n n 2211 ②①-②得()+-∈-=N n a a a n n n 122；即 12-=n na a……（4分）又2211-=a S ；得： ，∴数列 是以 为首项， 2为公比的等比数列∴nn a 2= ……（6分）（Ⅱ）∵nn a 2=，，∴nb nn -==221log，∴()1111111+-=+=+n n n n b b n n ．……（10分）111111141313121211+=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴n n n n n T n ……（12分）20：（1）依题意知)(x f 的定义域为),0(+∞()()()()41,1,0114154541'2'===--=+-=-+=x x x f xx x x x x x x x f 或解得令()()0141,01410''<<<>><<x f x x f x x 时，当时，或当……（4分）()()⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41,,141,0减区间为和的增区间为所以x f所以函数)(x f 的极小值为()31-=f ……（6分）（2）由（1）得()[]上为增函数在e x f ,1所以要使方程()12-=m x f 在区间[]e ,1上有唯一实数解，只需()()e f m f ≤-≤121……（10分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-≤≤-∴+-≤-≤-1251-1251152123222e e m e e m e e m ，取值范围为即所以，……（12分）()A B C C B A B cos cos sin cos cos sin 2sin )1(.21+=由正弦定理得：解：()A C C A B cos sin cos sin cos 2+=()C A B +=sin cos 2 ……（4分）又因为在三角形中B C A sin )sin(=+， ∴B B B sin sin cos 2=，可得21cos =B ， 又π<<B 0，所以3π=B . ……（6分）()()()ac c a ac c a b 3122222-+=-+=及余弦定理得：由∵ac b c a 32552-=∴=+， ……（8分）131343sin 21,32=∴=∴==∴=∆b b ac B ac S ABC ，即 ……（12分）22解：（Ⅰ）∵f （x ）=lnx ﹣ax ，∴ ()a xx f -=1'，当a≤0时，f'（x ）＞0恒成立，函数f(x)在定义域（0，+∞）递增；无减区间……（2分）当a ＞0时，令f'（x ）=0，则x= ，当x ∈（0， ）时，f'（x ）＞0，函数为增函数，当x ∈（ ，+∞）时，f'（x ）＜0，函数为减函数， ……（4分）()，无减区间，时增区间为综上可得，当∞+≤00a()⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛>,1,1,0,0a a x f a 减区间为增区间为时当 ……（6分）（Ⅱ）在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意的x ∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0，理由如下：由（1）得当a≤0时，函数f(x)在（1，m ）递增，()()()01>+-=>a x f a f x f ，即此时 ……（8分）()11,1,1,0,10>⎪⎭⎫⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛<<a a a x f a 而减区间为增区间为时当()()()()0111,11>+-=>≤⎪⎭⎫⎝⎛⊆∴a x f af x f a m a m 即，就有，即，只要 ……（10分）综上可得：在a ＜1时，存在m ＞1，使得对任意x ∈（1，m ）恒有f （x ）+a ＞0，……（12分）。
吉林市第一中学校2019-2020学年高一上期中数学试题及答案
吉林市第一中学校2019-2020学年高一上期中数学试题及答案吉林一中—学年度上学期期中高一数学考试高一数学试题考试范围：XXX ；考试时间：100分钟；命题人：XXX学校：__________姓名：__________班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 得分注意事项：1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2. 请将答案正确填写在答题卡上评卷人 得分一、单项选择（注释）1、若方程21x k x -=+有且只有一个解，则k 的取值范围是 （ ） A.)1,1[- B.2±=k C. ]1,1[- D. )1,1[2-∈=k k 或2、已知两条直线l 1：y ＝a 和l 2：y ＝ (其中a>0)，l 1与函数y ＝|log 4x|的图像从左至右相交于点A ，B ，l 2与函数y ＝|log 4x|的图像从左至右相交于点C ，D.记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为m ，n.当a 变化时，的最小值为( ) A ．4 B ．16 C ．211 D ．2103、若2log 2x < , 则（ ）.4A x < .04B x << .04C x <≤ .04D x ≤≤ 4、定义函数D x x f y ∈=)(（定义域），若存在常数C ，对于任意D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得C x f x f =+2)()(21，则称函数)(x f 在D 上的“均值”为C ，已知x x f lg )(=，]100,10[∈x ，则函数)(x f 在]100,10[上的均值为（ ）（A ）23 （B ）43 （C ）101（D ）105、已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x ≥时()3x f x m =+（m 为常数）,则3(log 5)f -的值为（ ）A. 4B.4-C.6D. 6-6、函数f (x )=log a x (a >0,a ≠1),若f (x 1)-f (x 2)=1,则f (21x )-f (22x )等于 （ ）A.2B.1C.21D.log a 27、若指数函数()21xy a =-在x R ∈上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．1a >或1a <- B ．22a -<<C ．2a >或2a <-D ．12a <<或21a -<<- 8、若函数(1)x y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有（ ） A. 1a >且1b < B. 01a <<且1b ≤ C. 01a <<且0b > D. 1a >且0b ≤9、在下列图象中，二次函数y=ax 2＋bx ＋c 与函数y=(ab )x的图象可能是（ ）10、设()2xf x e x =--，则函数()f x 的零点所在区间为（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(1,2) D ．(2,3)11、将十进制下的数72转化为八进制下的数( ) A 、011 B 、101 C 、110 D 、11112、已知函数9)3(),0()2(,)0(3)0(2)(2==⎩⎨⎧<-≥++=f f f x x c bx x x f 且，则关于x 的方程x x f =)(的解的个数为（ ）Ｃ．３ Ｄ．４评卷人 得分二、填空题（注释）13、若关于x 的方程23(37)40tx t x +-+=的两实根,αβ,满足012αβ<<<<,则实数t 的取值范围是 .14、对于三次函数d cx bx ax x f +++=23)(（0≠a ），定义：设)(x f ''是函数y ＝f (x )的导数y ＝)(x f '的导数，若方程)(x f ''＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，函数3231()324f x x x x =-+-，则它的对称中心为____________；计算1232012()()()()2013201320132013f f f f +++⋅⋅⋅+=____________. 15、若函数f(x)＝a x －x －a(a>0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是______________．16、若定义在R 上的偶函数()x f 满足()()x f x f =+2且[]1,0∈x 时,(),x x f =则方程三、解答题（注释）17、已知关于t 的方程()C z i zt t ∈=++-0342有实数解，（1）设()R a ai z ∈+=5，求a 的值。
2019-2020学年吉林省吉化第一高级中学校高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年吉林省吉化第一高级中学校高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}1,0,1,2A =-，11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭,则A B =（）A.{}1,2B.{}2C.{}1,0-D.{}1,2-【答案】D【解析】首先求集合B ，然后求A B .【详解】1110x x x-<⇒> 解得0x <或1x > ，{0B x x =<或1}x >， {}1,2A B ∴=-.故选:D. 【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型. 2．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A.01,y y x ==B.1(2)(1)y x y x x =+=-+，C.,y x y ==D.2ln ,2ln y x y x ==【答案】C【解析】逐一分析选项，比较函数的三个要素，得到正确结果. 【详解】A.1y =的定义域是R ，0y x =的定义域是{}0x x ≠，两个函数的定义域不相同，不是同一函数.B.y =2010x x -≥⎧⎨+≥⎩ ，解得2x ≥，定义域{}2x x ≥,y =()()210x x -+≥，解得2x ≥或1x ≤- ，即{2x x ≥或1}x ≤-，两个函数的定义域不同，不是同一函数；C.两个函数的定义域相同，并且y x ==，两个函数的定义域和解析式相同，是同一函数；D.2ln y x =的定义域是{}0x x ≠，2ln y x =的定义域是{}0x x >，不是同一函数. 故选:C. 【点睛】本题考查判断函数是否是同一函数，函数的三个要素是定义域，对应关系，值域，当定义域和对应关系相同，两个函数是同一函数，若三要素有一个不同就不是同一函数.3．函数()lg(4)f x x =+的定义域为（）A.()()4,3+--∞3，B.()[)4,33,--+∞C.(][)4,3--∞3，+D.()4,3- 【答案】B【解析】根据函数形式列不等式组，求解定义域. 【详解】函数的定义域需满足2904041x x x ⎧-≥⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得：43x -<<-或3x ≥定义域是()[)4,33,--+∞.故选:B. 【点睛】本题考查函数的定义域，属于简单题型.4．下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）. A.3()f x x x =-- B.()()()ln 1ln 1f x x x =-++ C.()x x f x e e -=+ D.()x x f x e e -=-【答案】D【解析】逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】A.满足()()f x f x -=-，函数是奇函数，关于原点对称，函数是单调递减函数；B.定义域是()1,1- ，满足()()f x f x -=，所以函数是偶函数；C.定义域R ，满足()()f x f x -=，函数是偶函数；D..定义域R ，满足()()f x f x -=-，函数是奇函数，增函数-减函数=增函数，满足条件； 故选:D. 【点睛】本题考查函数的性质，意在考查对函数性质的灵活掌握，属于基础题型. 5．已知函数()31bf x ax x =-+,则()1lg 3lg 3f f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于（） A.2 B.1C.3D.9【答案】A【解析】()31bf x ax x-=-是奇函数，即()()()()112f x f x f x f x --=--⇒+-=⎡⎤⎣⎦，而1lg l g 33=-，利用函数性质求解. 【详解】()31bf x ax x-=-是奇函数，()()110f x f x ∴--+-=即()()2f x f x -+=，∴()()()1lg 3lg lg 3lg 323f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭.故选:A. 【点睛】本题考查利用函数是奇函数，求函数值，本题的关键是观察()()2f x f x -+=，后面的问题就迎刃而解.6．已知幂函数222()(21)m m f x m m x +-=-+的图象不过原点，则m 的值为（） A.0 B.-1C.2D.0或2【答案】A【解析】根据函数是幂函数可知2211m m -+=，得出：2m =或0m =，然后验证，得到m 的值.【详解】函数是幂函数，2211m m ∴-+= ，解得：2m =或0m =，当2m =时，()4f x x =，过原点，不满足条件；当0m =时，()2f x x -=，不过原点，满足条件，0m ∴=.故选:A. 【点睛】本题考查幂函数的解析式和函数性质，形如y x α=的函数是幂函数，熟记0α>和0α<时，函数的性质和图象是解题 的关键，本题主要考查基础知识的掌握情况.7．函数()af x x x=+(其中a R ∈)的图象不可能是( ) A. B. C.D.【答案】C【解析】对于A ，当0a =时，()f x x =，且0x ≠，故可能；对于B ，当0x >且0a >时，()a f x x x =+≥当0x <且0a >时，()af x x x=-+在(),0-?为减函数，故可能；对于D ,当0x <且0a <时，()a f x x x =-+≥=当0x >且0a <时，()af x x x=+在()0,+?上为增函数，故可能，且C 不可能.故选C.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．若函数(1)2,2()log ,2a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（） A.()0,1B.0,2⎛ ⎝⎦C.2⎫⎪⎪⎣⎭D.()1,+∞【答案】C【解析】分段函数若满足在R 上的单调递减函数，需满足每段都是单调递减，并且在分界点处的函数值比较大小，列不等式求a 的取值范围. 【详解】若满足分段函数是R 上的单调递减函数，需满足()1001122log 2a a a a a ⎧-<⎪<<⎨⎪-⨯-≥⎩1a ≤< 即a的取值范围是,12⎫⎪⎪⎣⎭. 故选:C. 【点睛】本题考查已知分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于基础题型，这类题型，容易忘记分界点处的函数值需比较大小，需谨记这点. 9．当104x <<时，16log xa x <，则a 的取值范围是（） A.1(,1)2 B.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1(0,)2D.102⎛⎤ ⎥⎝⎦，【答案】B【解析】首先讨论1a >和01a <<两种情况，当01a <<时，14x =时，14116log 4a =，解得：12a =，然后再分别画图象，当满足条件的时候，根据图象求a 的范围. 【详解】当1a >时，[]161,2x∈ ，log 0a x < ，不成立，当01a <<时，当14x =时，14116log 4a =，解得：12a =，如图，若10,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，16log xax <时，112a ≤<.故选:B. 【点睛】本题考查根据恒成立的不等式求参数的取值范围，意在考查数形结合分析和临界条件分析问题和解决问题的能力，同时需熟练掌握底数对图象的影响.10．已知函数23()log (3)f x x ax =-+，若函数()f x 的值域为R ，则a 的取值范围是（）A.((),23,-∞-+∞B.(),23,⎡-∞-+∞⎣C.⎡-⎣D.(-【答案】B【解析】若函数的值域是R ，需满足内层函数23t x ax =-+和x 轴有交点，即0∆≥求a 的取值范围.【详解】3log y t =，23t x ax =-+若满足函数的值域是R ，需满足23t x ax =-+ 和x 轴有交点，即2120a ∆=-≥解得a ≥a ≤-， 故选:B. 【点睛】本题考查根据复合函数的值域，求参数取值范围的问题，属于中档题型，学习中弄清这两个问题1.()()23log 3f x x ax =-+的定义域R ，求参数取值范围，2.函数()()23log 3f x x ax =-+的值域为R ，求参数取值范围.11．已知函数()f x 为偶函数，且对于任意的()12,0,x x ∈+∞，都有1212()()f x f x x x --()120x x >≠,设(2)a f =，3(log 7)b f =，0.1(2)c f -=-则（）A.b a c <<B.c a b <<C.c b a <<D.a c b <<【答案】C【解析】首先判断函数在()0,∞+的单调性，然后根据偶函数化简()()0.10.122f f ---=，然后比较2，3log 7，0.12-的大小，比较,,a b c 的大小关系. 【详解】若()()()1212120f x f x x x x x ->≠-，则函数在()0,∞+是单调递增函数， 并且函数是偶函数满足()()f x f x -=， 即()()0.10.122f f ---=，0.1021-<<，31log 72<<()f x 在()0,∞+单调递增，()()()0.132log 72f f f -∴<<，即c b a <<. 故选:C. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性和函数的单调性比较函数值的大小，意在考查函数性质的应用，意在考查转化和变形能力，属于基础题型.12．已知()11xf x e =-+，若函数2()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是 A ．(2,1)-- B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】A【解析】本道题将零点问题转化成交点个数问题，利用数形结合思想，即可。
吉林省2020版高一上学期数学期中考试试卷D卷(新版)
吉林省2020版高一上学期数学期中考试试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·新余月考) 已知集合，，则中元素的个数为（）A . 3B . 2C . 1D . 02. （2分） (2019高一上·新丰期中) 集合的真子集有（）A . 个B . 个C . 个D . 个3. （2分） (2020高一上·临夏期中) 若幂函数的图象过点，则的值为（）A . 2B .C .D . 44. （2分） (2016高一上·黑龙江期中) 函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在的大致区间是（）A . （0，1）B . （1，2）C . （2，e）D . （3，4）5. （2分）下列大小关系正确的是（）A . 0.43<30.4<log43B . log43<0.43<30.4C . 0.43<log43<30.4D . log43<30.4<0.436. （2分）(2017·山西模拟) 已知函数f（x）=（ x3﹣x2+ ）cos2017（ + ）+2x+3在[﹣2015，2017]上的最大值为M，最小值为m，则M+m=（）A . 5B . 10C . 1D . 07. （2分） (2018高二下·长春期末) 函数的大致图象为（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一上·营口期中) 已知函数，则＝（）A .B . 1C . 2D .9. （2分） (2017高二下·南昌期末) 直线y=3与函数y=|x2﹣6x|图象的交点个数为（）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个10. （2分） (2018高三上·南阳期末) 设，、，且，则下列结论必成立的是（）A . ＞B . + ＞0C . ＜D . ＞11. （2分） (2019高三上·北京月考) 已知函数的定义域和值域都是[0，1]，则a=（）A .B .C .D . 212. （2分） (2020高二下·鹤岗期末) 定义在R上的函数满足及，且在上有则（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高一上·闵行月考) 函数的自变量的取值范围是________14. （1分） (2020高一上·安居期中) 函数的增区间是________；15. （1分） (2019高三上·上海期中) 设定义域为的递增函数满足：对任意的，均有，且，则 ________.16. （1分） (2019高一上·郑州期中) ________.三、解答题 (共6题；共40分)17. （10分） (2016高一上·包头期中) 求lg ﹣lg25+ln +21+log23的值．18. （5分） (2018高一上·南宁月考) 已知关于的方程的两根为，方程的两根为，如果互不相等，设集合，作集合；；若已知，求实数的值.19. （10分） (2019高一上·三台月考) 已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求函数的解析式；（2）用定义法证明函数的单调性；（3）若，求实数的取值范围.20. （5分）(2020·江苏模拟) 已知f（n）= 。
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2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B={x|1x<1}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{1, 2}C.{−1, 0}D.{−1, 2}2. 下列各组函数中，表示同一函数的是（）A.y＝1，y＝x0B.y=√x−2⋅√x+1,y=√(x−2)⋅(x+1)C.y=|x|,y=√x2D.y＝ln x2，y＝2ln x3. 函数f(x)=√x2−9lg(x+4)的定义域为（）A.(−4, −3)∪(3, +∞)B.(−4, −3)∪[3, +∞)C.(−4, −3]∪[3, +∞)D.(−4, 3)4. 下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是（）A.f(x)＝−x3−xB.f(x)＝ln(1−x)+ln(1+x)C.f(x)＝e x+e−xD.f(x)＝e x−e−x5. 已知函数f(x)=ax3−bx +1，则f(lg3)+f(lg13)的值等于（）A.2B.1C.3D.96. 已知幂函数f(x)=(m2−2m+1)x m2+m−2的图象不过原点，则m的值为（）A.0B.−1C.2D.0或27. 函数f(x)=|x|+ax（其中a∈R）的图象不可能是( )A. B.C.D.8. 若函数f(x)={(a −1)x −2a,x <2log a x,x ≥2在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0, 1)B.(0,√22]C.[√22,1)D.(1, +∞)9. 当0<x <14时，16x <log a x ，则a 的取值范围是（ ） A.(12,1)B.[12,1)C.(0,12)D.(0,12] 10. 已知函数f(x)=log 3(x 2−ax +3)，若函数f(x)的值域为R ，则a 的取值范围是（ ）A.(−∞,−2√3)∪(2√3,+∞)B.(−∞,−2√3]∪[2√3,+∞)C.[−2√3,2√3]D.(−2√3,2√3)11. 已知函数f(x)为偶函数，且对于任意的x 1，x 2∈(0, +∞)，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0(x 1≠x 2)，设a ＝f(2)，b ＝f(log 37)，c ＝f(−2−0.1)，则（ ）A.b <a <cB.c <a <bC.c <b <aD.a <c <b12. 已知f(x)＝|e x −1|+1，若函数g(x)＝[f(x)]2+(a −2)f(x)−2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2) 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在对应法则f 的作用下，A 中元素(x, y)与B 中元素(x 5, 2y )一一对应，则与B 中元素(32, 8)对应的A 中元素是________．函数y ＝a x−1+1 (a >0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则P 点的坐标是________．若函数f(x)={lg x,x >0a x +b,x ≤0且f(0)＝3，f(−1)＝4，则f （f(−3)）＝________．已知函数f(x)=log 2a (x 2−ax +1)在区间(−∞,a 2]上单调递减，则a 的取值范围是________．三、解答题（本大题共6题，17题10分，18-22题每题12分.）计算下列各式的值：（1）(54)−15×(−23)0+413×√23−√(45)25−(2−√3)−1；（2）log 3√2743+log 220−5log 574−log 25．设集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0}，B ＝{x|x 2−4x −5≤0}．（1）若m ＝5，求A ∩B ；（2）若A ∪B ＝B ，求实数m 的取值范围．已知函数f(x)=log a 1−x x+1，(a >0，且a ≠1)．（1）求f(x)的定义域及f(log 2x)的定义域．（2）判断并证明f(x)的奇偶性．函数f(x)＝2x 和g(x)＝x 3的图象的示意图如图所示，两函数的图象在第一象限只有两个交点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，x 1<x 2（1）请指出示意图中曲线C 1，C 2分别对应哪一个函数；（2）比较f(6)、g(6)、f(10)、g(10)的大小，并按从小到大的顺序排列；（3）设函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)，则函数ℎ(x)的两个零点为x1，x2，如果x1∈[a, a+ 1]，x2∈[b, b+1]，其中a，b为整数，指出a，b的值，并说明理由．已知函数f(x)＝1+log2x，x∈[1, 16]．（1）求函数f(x)的值域．（2）设g(x)＝[f(x)]2−f(x4)，求g(x)的最值及相应的x的值．已知函数f(x)＝2x+2−x．（1）求方程f(x)＝2的实根；（2）若对于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)−6恒成立，求实数m的最大值．参考答案与试题解析2019-2020学年吉林省吉林市吉化一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】D2.【答案】C3.【答案】B4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】C12.【答案】A二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【答案】(2, 3)【答案】(1, 2)【答案】1【答案】(12,2) 三、解答题（本大题共6题，17题10分，18-22题每题12分.）【答案】原式=(45)15+2−(45)152−√3=2−(2+√3)=−√3； 原式=log 33−14+(log 220−log 25)−74=−14+2−74=0．【答案】m ＝5，集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0}＝{x|x 2−10x +24≤0}＝{x|4≤x ≤6}，B ＝{x|x 2−4x −5≤0}＝{x|−1≤x ≤5}．A ∩B ＝{x|4≤x ≤5}．设集合A ＝{x|x 2−2mx +m 2−1)≤0}＝{x|[x −(m +1)][x −(m −1)≤0]＝{x|m −1≤x ≤m +1}，B ＝{x|x 2−4x −5≤0}＝{x|−1≤x ≤5}．A ∪B ＝B ，∴ A ⊆B ，当A ＝⌀时，m −1>m +1，无解；当A ≠⌀时，{m −1≤m +1m −1≥−1m +1≤5，解得0≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围是[0, 4]．【答案】根据题意，函数f(x)=log a 1−x x+1，则有1−xx+1>0，解可得−1<x <1，即函数f(x)的定义域为(−1, 1)；对于f(log 2x)，则有−1<log 2x <1，解可得：12<x <2，即函数f(log 2x)的定义域(12, 2)；f(x)是奇函数．证明：∵ 函数f(x)的定义域为(−1, 1)，其定义域关于原点对称，又由f(−x)=log a 1+x 1−x =log a (1−x 1+x )−1=−log a 1−x 1+x =−f(x)，故f(x)是奇函数．【答案】根据指数函数f(x)＝2x 的图象恒过点(0, 1)，幂函数g(x)＝x 3的图象过原点可知C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x．∵f(6)＝26＝64，g(6)＝63＝216，f(10)＝210＝1024，g(10)＝103＝1000∴f(6)、g(6)、f(10)、g(10)从小到大依次为f(6)，g(6)，g(10)，f(10)．a＝1，b＝9．理由如下：由于ℎ(1)＝1>0，ℎ(2)＝−4<0，ℎ(9)＝29−93<0，ℎ(10)＝210−103，则方程ℎ(x)＝f(x)−g(x)的两个零点x1∈(1, 2)，x2∈(9, 10)，因此整数a＝1，b＝9．【答案】∵x∈[1, 16]，∴log2x∈[0, 4]，∴1+log2x∈[1, 5]，∴f(x)的值域是[1, 5]，g(x)＝[f(x)]2−f(x4)，∵f(x)的定义域为[1, 16]，∴1≤x4≤16，∴g(x)的定义域为[1, 2]，g(x)=[f(x)]2−f(x4)=(1+log2x)2−(1+log2x4)=(log2x)2−2log2x设log2x＝t，∴y＝t2−2t，x∈[1, 2]，∴t∈[0, 1]，∴当t＝0即x＝1时，g(x)有最大值0，当t＝1即x＝2时，g(x)有最小值−1，综上：当x＝1时，g(x)有最大值0；当x＝2时，g(x)有最小值−1．【答案】方程f(x)＝2，即2x+2−x＝2，亦即(2x)2−2×2x+1＝0，所以(2x−1)2＝0，于是2x＝1，解得x＝0．∵f(x)＝3，2x+2−x＝3∴f(2x)＝22x+2−2x＝(2x+2−x)2−2＝32−2＝7，由条件知f(2x)＝22x+2−2x＝(2x+2−x)2−2＝（f(x)）2−2．因为f(2x)≥mf(x)−6对于x∈R恒成立，且f(x)>0，所以m≤f(x)+4f(x)对于x∈R恒成立．令g(x)＝f(x)+4f(x)≥2√f(x)⋅4f(x)=4，当且仅当f(x)＝2x+2−x＝2，即x＝0时取等号．所以m≤4，故实数m的最大值为4．。