圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用_2
翩翩起舞,蝴蝶定理(精华)
风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M 是⨀O 中弦AB 的中点，过M 点的两条弦CD ，EF ，连结DE ，CF 交AB 于P 、Q 两点，则M 是线段PQ 的中点. 这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由.此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下： 证明：如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设OM =b ．则⨀O 的方程可写成： x 2+y 2–2by +f =0. ①设直线CD ，EF 的方程分别为y =k 1x ，y =k 2x ， 合并为:(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ②于是过①②的交点C ，F ．D ，E 的二次曲线系为：x 2+ y 2–2by +f +λ(y –k 1x )(y –k 2x )=0 ③ 曲线③与AB 的交点P ，Q 的横坐标满足(令y =0)(1+λk 1k 2)x 2+f =0．由韦达定理x p +x q =0， 即MP +(–MQ )=0，∴ MP =MQ ．若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的．现以椭圆为例给出证明．如图，以M 点为坐标原点．AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，设椭圆方程为： b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2=0.直线CD 的方程为y =k 1x ，直线EF 的方程为y =k 2x ，则过点C ，F ，D ，E 的二次曲线系为b 2x 2+a 2(y +h )2 – a 2b 2+λ(y – k 1x )( y – k 2x )=0，令y =0，得(b 2–λk 1k 2)x 2+a 2h 2–b 2a 2=0．由韦达定理x p +x q =0，即MP = MQ ．命题得证．类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.若在蝴蝶定理的条件中把中点M 改为AB 上任一点，结论是：=④ (证明略)这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA =MB 时．MP =MQ ．ABF D QMP CEA BFDQM PEOCx yAB FD Q MPEOCxyA BDFP M Q CExy蝴蝶定理精讲摘要④式成立的条件是AB 是⨀O 的弦，M 是AB 上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立．=.蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：=(点M 也可以是AB 延长线上的点)．A PMQ BDExy 图1FC定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有|MP |=|MQ |.另一种证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)，设A (0，t )，B (0，–t )，知t ，–t 是Cy 2+Ey +F =0的两个根，所以E =0. 若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.若CD ，EF 斜率都存在，设C (x 1，k 1x 1)，D (x 2，k 1x 2)，E (x 3，k 2x 3)，F (x 4，k 2x 4)，P (0，p )，Q (0，q )，CE :y =(x –x 1)+ k 1x 1，p =(0–x 1)+ k 1x 1=，同理q =，所以p +q =将y =k 1x 代入(*)得(A +Bk 1+Ck )x 2+(D +Ek 1)x +F =0，又E =0. 得x 1+x 2=, x 1x 2=，同理 x 3+x 4=, x 3x 4=，所以p +q =0，即|MP |=|MQ |.定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有| MP |=| MQ |.证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.设圆锥曲线的方程为Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0 (*)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则切线MA 的方程是x 1+y 1+F =0，切线MB 的方程是x 1+y 2+F =0，得E (y 1–y 2)=0，所以E =0.（下面与定理1的证明相同，略）特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.ACPM Q BD Elxy 图5F 调研精讲答案 （I ）e =22a b a-；（II ）见解析 (Ⅲ)见解析．解析 （I ）椭圆方程为22x a +22()y r b -=1焦点坐标为F 1(22a b --，r )，F 2(22a b -，r )， 离心率e =22a b a-.（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程y =k 1x 代入椭圆方程， 得b 2x 2+a 2(k 1x – r )2 =a 2b 2，整理得：(b 2+a 2k 21)x 2– 2k 1a 2rx (a 2r 2– a 2b 2)=0．根据韦达定理，得：x 1+x 2=2122212k a rb a k +，x 1∙x 2=22222221a r a b b a k -+，所以1212x x x x +=2212r b k r- ①将直线GH 的方程y =k 2x 代入椭圆方程，同理可得3434x x x x +=2222r b k r- ② (韦达定理真的“很伟大”)由①，②得：11212k x x x x +=222r b r -=23434k x x x x +，所以结论成立.（Ⅲ）证明：设点P (p ，0)，点Q (q ，0)，由C 、P 、H 共线，得：12x p x p --=1122k x k x ， 解得p =12121122()k k x x k x k x --.由D 、Q 、G 共线，同理可得：q =12231223()k k x x k x k x --.由11212k x x x x +=23434k x x x x +，变形得231223x x k x k x --=141124x x k x k x - 【 调研1】如图，椭圆的长轴A 1A 2(=2a )与x 轴平行，短轴B 1B 2(=2b )在y 轴上，中心为M (0，r )(b >r >0)(Ⅰ)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (Ⅱ)直线y =k 1x 交椭圆于两点C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)(y 2>0)； 直线y =k 2x 交椭圆于两点G (x 3，y 3)，H (x 4，y 4)(y 4>0). 求证：=；(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q . 求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形)A 1B 1HGQMP D O Cxy A 2B 2即12231223()k k x x k x k x ---=12141124()k k x x k x k x --，所以| p |=| q |，即| OP |=| OQ |.答案 （1）24x +y 2=1；(2，1)；（2）见解析．解析 （1）由已知，a =2b ．又椭圆22x a +22y b =1(a >b >0)过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故234b+214b =1，解得b 2=1. 所以椭圆E 的方程24x +y 2=1. （2）设直线l 的方程为y =12x +m (m ≠0)， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由方程组221412x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得x 2+2mx +2m 2 – 2=0 ① 方程①的判别式为∆=4(2 – m 2)， 由∆>0，即2 – m 2>0，解得m 由①得x 1+x 2= –2m ，x 1x 2=2m 2 – 2．所以M 点坐标为,2m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线OM 方程为y =12-x ，由方程组221412x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得C ⎛ ⎝⎭，D ⎭． 所以|MC |∙|MD |=25)(2)4m m m -=-． |MA |∙|MB | =14|AB |2=14221212()()x x y y ⎡⎤-+-⎣⎦=212125()416x x x x ⎡⎤+-⎣⎦ 【调研2】已知椭圆E : +=1(a >b >0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E 上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设不过原点O 且斜率为的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．=22544(22)16m m ⎡⎤--⎣⎦=25(2)4m -. 所以|MA |∙|MB | = |MC |∙|MD |．答案 （I ）26x +23y =1；(2，1)；（II ）λ=45． 解析 （Ⅰ）设短轴一端点为C (0，b )，左右焦点分别为F 1(–c ，0)，F 2(c ，0)，其中c >0， 则c 2+b 2=a 2；由题意，△F 1F 2C 为直角三角形， ∴ |F 1F 2|2=|F 1C |2+|F 2C |2，解得b =c =2a ，∴椭圆E 的方程为222xb +22y b =1；代入直线l ：y = – x +3，可得3x 2–12x +18–2b 2=0，又直线l 与椭圆E 只有一个交点，则△=122 – 4×3(18 – 2b 2)=0，解得b 2=3，∴椭圆E 的方程为26x +23y =1；由b 2=3，解得x =2，则y = – x +3=1，所以点T 的坐标为(2，1)； （Ⅱ）设P (x 0，3 – x 0)在直线l 上，由k OT =12，直线l ′平行OT ， 得直线l ′的参数方程为0023x x ty x t =+⎧⎨=-+⎩，代入椭圆E 中，得：(x 0+2t )2+2(3 – x 0+t )2=6，整理得2t 2+4t +x 20– 4x 0+4=0；设两根为t A ，t B ，由韦达定理，则有t A ∙t B =20(2)2x -；而|PT |22=2(x 0–2)2， |P A A |， |PB B |， 且|PT |2=λ|P A |∙|PB |，【 调研3】已知椭圆E :+=1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点，直线l ：y = – x +3与椭圆E 有且只有一个公共点T ． （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得|PT |2=λ|P A |∙|PB |，并求λ的值．∴λ=2||||||PT PA PB ⋅=20202(1)5(1)2x x --=45，即存在满足题意的λ值．答案 （1）24x +22y =1；（2）（ii ）62．解析 （1）由题意得22224222a c a b c =⎧⎪=⎨⎪=+⎩，解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆的方程为24x +22y =1．（2）（i ）设N (x N ，0)，P (x P ，y P )，直线P A ：y =kx +m ， 因为点N 为直线P A 与x 轴的交点，所以x N =m k-， 因为点M (0，m )为线段PN 的中点，所以2N P x x +=0，02Py +=m ， 得x P =mk，y P =2m ， 所以点Q ,2m m k⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以k '=()20m m m k---= –3k ，故'k k = –3为定值． （ii ）直线P A ：y =kx +m ，与椭圆方程联立22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得：(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2– 4=0，所以∆=16k 2m 2– 4(2k 2+1)(2m 2– 4)=32k 2 – 8m 2+16>0 ① x 1+x 2=2421kmx k -+，y 1+y 2=2221mk +， 所以A 222264(21)21k m m k m k k k ⎛⎫+--⎪++⎝⎭，， 直线QM : y = –3kx +m 与椭圆方程联立223142y kx mx y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，【调研4】已知椭圆C :+=1(a >b >0)的长轴长为4，焦距为．（1）求椭圆C 的方程；（2）过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点，过点P 作x 轴的垂线 交C 于另一点Q ，延长Q 交C 于点B ．（i ）设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k '，证明为定值；（ii ）求直线AB 的斜率的最小值．AQMPONxy B得(18k 2+1) x 2– 12kmx +2m 2– 4=0，所以x 1+x 2=212181km k +，y 1+y 2=22181mk +， 所以B ()()22224916,181181m k k m m k k k ⎛⎫++ ⎪- ⎪++⎝⎭，k AB =B A B A y y x x --=2614k k +=32k +14k ， 因为点P 在椭圆上，所以224m k +242m =1，得m 2=22481k k + ②将②代入①得(4k 2+1)2>0恒成立， 所以k 2≥0，所以k ≥0，所以k AB =32k +14k≥(当且仅当k时取“=”)，所以当k时，k AB． 分析：该题中的椭圆C 的方程易知为24x +22y =1；第(Ⅱ)小题中由已知|AP | ∙ |QB | =|AQ | ∙ |PB |，即||||AP PB =||||AQ QB ，说明Q 点在极点P 关于椭圆C 对应的极线上，其方程为44x +2y =1，即x +2y =1．答案 （1）24x +22y =1；（2）见解析； 解析 (1)由题意：2222222211⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎩c ab c a b，解得a 2=4，b 2=2，所求椭圆方程为24x +22y =1.(2)方法一:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，记λ=||||AP PB =||||AQ QB ，则λ>0且λ≠1. 又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而AP = – λPB ，AQ =λQB ， 于是 4=121λλ--x x ，1=121λλ--y y ，x =121λλ++x x ，y =121λλ++y y . 从而 2221221λλ--x x =4x ① 2221221λλ--y y =y ②【 调研5】设椭圆C :+=1(a >b >0)过点M (，1)，且左焦点为F 1(，0)，（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P (4，1)的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，满足|| ∙ || =|| ∙ ||，证明：点Q 总在某定直线上.又点A 、B 在椭圆C 上，即 x 21+2y 21=4 ③x 22+2y 22=4 ④①+②×2并结合③，④得4s +2y =4 即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上 方法二:设点Q (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题设知|PA |，|PB |，|AQ |，|QB |均不为零，且||||PA AQ =||||PB QB . 又P ，A ，Q ，B 四点共线，可设PA =λAQ ，PB =λBQ (λ≠0，±1)，于是x 1=41λλ--x ，y 1=11λλ--y① x 2=41λλ++x ，y 2=11λλ++y② 由于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆C 上， 将①，②分别代入C 的方程x 2+2y 2=4，整理(x 2+2y 2– 4)λ2 – 4(2x +y –2)λ+14=0 ③(x 2+2y 2– 4)λ2 + 4(2x +y –2)λ+14=0 ④④–③得 8(2x +y –2)λ=0 ∵ λ≠0，∴2x +y –2=0即点Q (x ，y )总在定直线2x +y –2=0上. A NMTOF xyB蝴蝶定理的推广 1．椭圆+=1(a >b >0)的左右顶点为A ，B ，T 为定直线x =t (t ≠0)上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点C (，0)．2．如图，过有心圆锥曲线mx 2+ny 2=1的中心O 和形内定点(x 0，y 0)的直线交曲线于A ，B ，T 为定直线l ：mx 0x +ny 0y =1上的任一点，直线TA ，TB 与椭圆分别交于点M ，N ，则直线MN 恒过定点(x 0，y 0)．证明：连结MN 交AB 于点C ，过点C 作l 的平行线交圆锥曲线于点P ，Q ，又设直线AB 交l 于点D ．先证点C 为PQ 的中点．设C (x C ，y C )，因C 在过点(x 0，y 0)的直线上，所以可设x C =tx 0，y C =ty 0，由于直线PQ 与直线l ：mx 0x +ny 0y =1平行，且过点C (tx 0，ty 0)，故直线PQ 方ANM T OF xyBDl PQ CE程为mx 0x +ny 0y =t (mx +ny )，联立mx 2+ny 2=1得m (mx +ny )x 2– 2mx 0t (mx +ny )x +t 2(mx +ny )2–ny =0，由根与系数关系得x P + x Q =2tx 0=2x C ，据此知C 即PQ 的中点. 由圆锥曲线的蝴蝶定理知| CE | = | CF |，因此===，即=，注意到x A = –x B 化简得x C =.另一方面，将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 2+ny 2=1得(mx +ny )x 2– x =0∴x A x B =，即x =；将直线AB 方程x 0y –y 0x =0联立mx 0x +ny 0y =1得x D =，因此可得x C ==x 0，又C (x C ，y C )在直线x 0y –y 0x =0上，∴ y C =y 0，故直线MN 恒过定点(x 0，y 0)． 值得说明的是，对于抛物线也有类似的结论，证明方法类似，读者不妨自行研究． 蝴蝶定理推论性质1： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就是过焦点的直线.证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与FD 交直线AB 于P ，Q ，则|MP |=|MQ |.过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得===，设M (m ，0)，H (n ，0)，焦点轴长为2a ，则有=，得mn =a 2.A C OP MQ BD E lHxy 图3G F 蝴蝶定理推论性质2：若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.性质2：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：x = –m 上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴的交点时，l 就是过焦点的直线.蝴蝶定理推论性质3：直线l ：x =，过点M (m ，0)作椭圆、双曲线±=1的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=.证明：如图，由定理1，定理2及性质1得：.A C OP M Q BD E l IxyG F 蝴蝶定理推论性质4： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x =上.证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直线，由定理1，定理2得：===，由性质3得，点I 在直线l ：x =上，所以点G 在直线l ：x =上.A C OP M Q BDE lH x y图5G F蝴蝶定理推论性质5：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，直线l 与CD 交于点I ，则=. 蝴蝶定理推论性质6：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：x = –m 上.OFGMDExy图6lC 蝴蝶定理推论性质7： 过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ：x =上.证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 是圆锥曲线的切线，G 1与G 重合， G 在直线l 上.蝴蝶定理推论性质8：过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆锥曲线的切线的交点G 在直线l ： x = – m 上. OPG M DExyl CQ蝴蝶定理推论性质9：直线l ：x =，过点M (m ，0)做椭圆、双曲线±=1的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为E 、G ，在焦点轴所在直线上的射影为Q 、P ，则=.蝴蝶定理推论性质10：直线l ：x = –m ，过点M (m ，0)做抛物线y 2=2px 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则=.蝴蝶定理推论性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.【 调研6】在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆+=1的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ．设过点T (t ，m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，其中m >0，y 1>0，y 2<0．（1）设动点P 满足PF 2–PB 2=4，求点P 的轨迹；（2）设x 1=2，x 2=，求点T 的坐标；（3）设t =9，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关)．ANMTOF xyB蝴蝶定理推论性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则=.证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，由定理1得：|MP |=|MQ |， 所以===.A PM Q BDE图8FCGI答案 (1)x =92；(2)T (7，103) (3) 见解析． 解析 （1）设点P (x ，y )，则F (2，0)、B (3，0)、A (–3，0)． 由PF 2–PB 2=4，得(x –2)2+y 2–[(x –3)2+y 2]=4，化简得x =92． 故所求点P 的轨迹为直线x =92．（2）将x 1=2，x 2=13分别代入椭圆方程，以及y 1>0，y 2<0，得M (2，53)、N (13，209-) 直线MTA 方程为：0503--y =323++x ，即y =13x +1， 直线NTB 方程为：2009---y =3133--x ，即y =56x –52． 联立方程组，解得：7103=⎧⎪⎨=⎪⎩x y ，所以点T 的坐标为(7，103)． （3）设点T 的坐标为(9，m ) 直线MTA 方程为：00--y m =393++x ，即y =12m(x +3)， 直线NTB 方程为：00--y m =393--x ，即y =6m(x –3)． 分别与椭圆29x +25y =1联立方程组，同时考虑到x 1≠ –3，x 2≠3，解得：M 2223(80)40(,)8080-++m m m m 、N 2223(20)20(,)2020--++m mm m ． （方法一）当x 1≠x 2时，直线MN 方程为：222202040208020+++++m y m m m m m =2222223(20)203(80)3(20)8020--+---++m x m m m m m . 令y =0，解得：x =1．此时必过点D (1，0)；当x 1=x 2时，直线MN 方程为：x =1，与x 轴交点为D (1，0)． 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D (1，0)． (方法二)若x 1=x 2，则由22240380-+m m =2236020-+m m 及m >0，得m此时直线MN 的方程为x =1，过点D (1，0)．若x 1≠x 2，则m ≠，直线MD 的斜率k MD =22240802403180+--+mm m m =21040-mm ，直线ND 的斜率k ND =2222020360120-+--+mm m m =21040-m m ，得k MD =k ND ，所以直线MN 过D 点． 因此，直线MN 必过x 轴上的点(1，0)．【点评】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识．考查运算求解能力和探究问题的能力1．设过抛物线y 2=2px (p >0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2=8px (p >0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2=8px (p >0)的另一个交点为Q ，则ABQ ABOS S ∆∆=________.解析：设直线OP 的方程为y =kx (k ≠0)，联立得22y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 222,p p kk ⎛⎫⎪⎝⎭， 联立得28y kx y px=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得Q 288,p p k k ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴|OP |=，|PQ ， ∴ABQ ABOS S ∆∆=||||PQ OP =3.2．已知椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，右准线方程为x =4．如图所示，椭圆C 左右顶点分别为A ，B ，过右焦点F 的直线交椭圆C 于M ，N ，直线AM ，MB 交于点P ．精讲巩固ANM POFx B(1)求椭圆的标准方程；(2)若点P (4，，直线AN ，BM 的斜率分别为k 1，k 2，求12k k ． (3)求证点P 在一条定直线上．解析：(1) 椭圆2x m +2y n =1 (m >n >0)的离心率e 的值为12，即c a =12，右准线方程为x =4，即2a c =4．解得：a =2，c =1，∵a 2= b 2+c 2，∴b 故椭圆的标准方程为：24x +23y =1．(2)点P (4，)，A (–2，0)，故得直线AP 方程为y (x +2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点M 的坐标为(0．那么可得MN 直线程为y =l – 3x ，与椭圆方程24x +23y =1联立，求解点N 的坐标为(85，．那么AN 的斜率为k 1=BM 斜率为k 2=，则12kk =13. (3) 设斜率存在的MN 的直线方程为y =k (x – l)， 利用设而不求的思想，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，与椭圆方程24x +23y =1联立，可得：(4k 2+3) x 2 – 8k 2x +4k 2 – 12=0，那么：x 1+x 2=22843k k + ①， x 1x 2=2241243k k -+ ② 由A ，M 的坐标可得直线AM 的方程为y =112y y +(x +2) 由B ，N 的坐标可得直线BN 的方程为y =222y y +(x –2) 直线AM 与直线BN 联立，可得：x =21212122334x x x x x x -++-∴ x =21212212223()442x x x x x x x x -+++-+ ③将①②代入③解得：x =4． 故点P 存在直线x =4上．当k 不存在时，经验证，点P 在直线x =4上满足题意.3．已知菱形ABCD 的顶点A ，C 在椭圆x 2+3y 2=4上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(0，1)时，求直线AC 的方程； (2)当∠ABC =60°时，求菱形ABCD 面积的最大值．解析：(1)由题意，得直线BD 的方程为y =x +1，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ．于是可设直线AC 的方程为y =–x +n ． 由2234x y y x n⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩，得4x 2– 6nx +3n 2– 4=0．因为A ，C 在椭圆上，所以∆= –12n 2+64＞0，解得<n. 设A ，C 两点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1+x 2=32n，x 1x 2=2344n -，y 1= –x 1+n ，y 2= –x 2+n .所以y 1+y 2=2n .所以AC 的中点坐标为(34n ，4n ). 由四边形ABCD 为菱形可知，点(34n ，4n)在直线y =x +1上， 所以4n=34n+1，解得n = – 2． 所以直线AC 的方程为y = – x – 2，即x +y +2=0． (2)因为四边形ABCD 为菱形，且∠ABC =60°， 所以|AB |=|BC |=|CA |．所以菱形ABCD 的面积S|AC |2. 由(1)可得|AC |2=(x 1 – x 2)2+(y 1 – y 2)2=23162n -+，所以S–3n 2+16) (<n)．所以当n =0时，菱形ABCD的面积取得最大值4．已知椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，以椭圆的短半轴为半径的圆与直线x – y相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆的右焦点F 的直线l 1与椭圆交于A 、B ，过F 与直线l 1垂直的直线l 2与椭圆交于C 、D ．与直线l 3：x =4交于P ；①求证：直线P A 、PF 、PB 的斜率k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；②是否存在常数λ使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解析：∵椭圆C ：22x a +22y b =1 (a >b >0)的离心率为12，∴e =c a =12， AFCPO xyBDF∵ 椭圆C 的短半轴为半径的圆与直线x – y相切，b，则a 2= b 2+c 2=4． 故椭圆C 的方程为：24x +23y =1．(2)①证明：∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，当直线AB 的斜率不存在时，直线AB 的方程为x =l ，联立直线方程和椭圆方程可得：A (1，32)，B (1，32-)，此时k P A 与k PB 互为相反数，则k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；当直线AB 的斜率存在时，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0， CD 的直线程为：y =1k-(x –1)，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +，x 1x 2=2241234k k -+. 由直线CD 的方程中，取x =4，的y =3k-，∴P (4，3k-)，则k P A +k PB =1134y k x ---+2234y k x ---=12211233()(4)()(4)(4)(4)y x y x k k x x ---+-----=12121212243(5)()82164()k x x k kx x k k x x x x -+-+++-++=222222222438412(5)82343484121643434k k k k k k k k k k k k k--+-⋅++⋅++--⋅+++=2727236(1)k k k -+=2k -=2k PF . 综上，k P A ，k PF ，k PB 成等差数列；② ∵椭圆24x +23y =1的左焦点F (1，0)，设过其右焦点F 的直线AB 的方程为：y =k (x –1)，k ≠0，由方程组22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2– 8k 2x +4k 2 – 12=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=22834k k +， x 1x 2=2241234k k -+. 由弦长公式得|AB2212(1)34k k ++. 同理设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD | =22112(1)134k k++⋅=2212(1)34k k ++.∵ |AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |，∴λ=||||||||AB CD AB CD +⋅=1||AB +1||CD =223412(1)k k +++223412(1)k k ++=227(1)12(1)k k ++=712.∴存在常数λ=712，使得|AB |+|CD | =λ|AB |∙|CD |成立. 5．在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C :22x a +22y b =1 (a >b >0)左、右顶点分别为A 、B ，（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q (t ，m )是直线x =9上的点，直线QA 、QB 与椭圆C 分别交于点M 、N ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点，并求出此定点的坐标．代入椭圆方程，得(80+m 2) x 2+6x +9m 2 – 720=0 代入椭圆方程，得(20+m 2) x 2– 6x +9m 2–180=0①若x 1=MN 方程为x =1，与x 轴交点为(1，0)． ②若m 2≠40，直线MN 方程为y +22020m m +x ANMQOxyB9令y =0，解得：x =1．综上所述，直线MN 必过x 轴上的定点(1，0)．6．如图，F 是抛物线y 2=2px (p >0)的焦点，过F 的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，其中y 1>0，y 1y 2= – 4．过点A 作y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线HF 交抛物线于点P ，Q ．（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值．解析：（I ）易得直线AB 的方程为(y 1+y 2)y =2px +y 1y 2，代入02p⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得 y 1y 2= – p 2= – 4，所以p =2； （II ）点A (214y ，y 1)，B (224y ，y 2)，则H (–1，y 1)，直线PQ : y =12y-(x –1)，代入y 2=4x ，得y 21x – (2y 21+16)+ y 21=0. 设P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则| PQ |= x 3+x 4+2=21214(4)y y +. 设A ，B 到PQ 的距离分别为d 1，d 2，由PQ : y 1x +2y – y 1=0，得d 1+d 2321121121|2(2)|+--+-y y y y y y y311221|(2)|+--+-y y y y y3112|2|+-y y y3114|2|++y y22因此S APBQ =12|PQ |∙( d 1+d 2)=1设函数f (x )=256(4)+x x (x >0)，则f '(x )=24274(4)(6)+-x x x ，可得，当x ∈(0时，f (x )单调递减；当x ∈+∞)时，f (x )单调递增， 从而当y 1S．。
蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用
蝴蝶定理在高中数学圆锥曲线中的运用风华绝代之蝴蝶定理1815年英国伦敦出版的著名数学科普刊物《男士日记》刊登了如下的问题：蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
蝴蝶定理：设M是⊙O中弦AB的中点，过M点的两条弦CD、EF连结DE、CF交AB于P、O两点，则M是线段PQ的中点。
这个问题的图形，像一只在圆中翩翩起舞的蝴蝶，这正是该问题被冠以“蝴蝶定理”的美名的缘由。
此定理的纯几何证明很多，为便于推广，现改用解析法证明如下：蝴蝶定理解析法证明图示蝴蝶定理解析法证明若在蝴蝶定理的图形中，把圆改成椭圆、双曲线、抛物线，结论是否成立呢？回答是肯定的。
现以椭圆为例给出证明。
蝴蝶定理解析法证明图示（椭圆）蝴蝶定理解析法证明（椭圆）类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线，结论也成立。
若在蝴蝶定理的条件中把中点M改为AB上任一点，结论是：蝴蝶定理一般性结论这是蝴蝶定理的更一般性结论，显然当MA=MB时，MP=MQ。
④式成立的条件是AB是⊙O的弦，M是AB上任一点，若把圆改为圆锥曲线，结论仍然成立。
蝴蝶定理一般性结论（圆锥曲线）蝴蝶定理一般性（圆锥曲线）蝴蝶定理对于圆或圆锥曲线，④式仍然成立，一般地，结论可用矢量法表示：矢量法表示蝴蝶定理一般性结论定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1:在圆锥曲线中，过弦AB中点M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线AB于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理1证明定理2：在圆锥曲线中，过弦AB端点的切线交于点M，过M的直线l//AB，过M任作两条弦CD和EF，直线CE与DF交直线l于P，Q，则有|MP|=|MQ|。
定理2定理2证明特别的，当弦AB垂直圆锥曲线的对称轴时，点M在圆锥曲线的该对称轴上。
蝴蝶定理的推广蝴蝶定理的推广蝴蝶定理十二大推论性质蝴蝶定理推论性质1蝴蝶定理推论性质2蝴蝶定理推论性质3蝴蝶定理推论性质4蝴蝶定理推论性质5蝴蝶定理推论性质6蝴蝶定理推论性质7蝴蝶定理推论性质8蝴蝶定理推论性质9蝴蝶定理推论性质10蝴蝶定理推论性质11蝴蝶定理推论性质12下面奉献6道调研题，供大家作答。
蝴蝶定理的证明及推广[优秀范文五篇]
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蝴蝶定理的证明及推广[优秀范文五篇]第一篇：蝴蝶定理的证明及推广校选课《数学文化》课程论文一蝴蝶定理的证明（一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。
带有辅助线的常见蝴蝶定理证明在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1如图2，作OU⊥AD，OV⊥BC，则垂足U，V分别为AD、BC的中点，且由于∠EUO=∠EMO=90︒∠FVO=∠FMO=90︒得M、E、U、O共圆；M、F、V、O共圆。
则∠AUM=∠EOM，∠MOF=∠MVC:∆MV又:MAD::MCB，U、V为AD、BC的中点，从而∆MUA，∠AUM=∠MVC则∠EOM=∠MOF，于是ME=MF。
[1]证法2过D作关于直线OM的对称点D'，如图3所示，则∠FMD'=∠EMD，MD=MD'○1联结D'M交圆O于C'，则C与C'关于OM对称，即PC'=CQ。
又111∠CFP=QB+PC）=QB+CC'+CQ）=BC'=∠BD'C' 222故M、F、B、D'四点共圆，即∠MBF=∠MD'F而∠MBF=∠ED M○2由○1、○2知，∆DME≅∆D'MF，故ME=MF。
证法3如图4，设直线DA与BC交于点N。
对∆NEF及截线AMB，∆NEF及截线CMD分别应用梅涅劳斯定理，有FMEANBFMEDNC⋅=1，⋅⋅=1MEANBFMEDNCF由上述两式相乘，并注意到-图3=NC⋅ NBNA⋅NDFM2ANNDBFCFBF⋅CF=⋅⋅⋅=得 ME2AEEDBNCNAE⋅EDPM+MF)(MQ-MF)PM2-MF2(==22PM-MEMQ+MEPM-ME 化简上式后得ME=MF。
[2] 2 不使用辅助线的证明方法单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。
圆锥曲线蝴蝶定理的推导过程
圆锥曲线蝴蝶定理的推导过程
哎呀，今儿咱来摆摆龙门阵，说说那个圆锥曲线蝴蝶定理的推导过程。
四川的兄弟伙儿们，贵州的姊妹们，还有陕西的哥们儿和北京的爷儿们，都坐稳当了，听俺慢慢儿给你们道来。
首先嘛，咱得明白啥子是圆锥曲线。
说白了，就像你拿个锥子在地上画圈圈，那圈圈就是圆锥曲线啦。
这蝴蝶定理嘛，就像那蝴蝶在花丛里翩翩起舞，看着复杂，其实里头有规律可循。
咱先从四川话的角度来说，这个定理啊，就像咱四川的火锅，看着红火火的，其实味道得靠火候和调料来调。
推导过程也是这样，得慢慢来，一步一步地捋。
再说说贵州话，这定理啊，就像贵州的山路十八弯，看着绕来绕去的，但只要你走对了路，总能找到出口。
推导这定理也是这样，得找对方法，才能豁然开朗。
陕西方言里怎么说来着？这个定理就像陕西的羊肉泡馍，得把馍掰碎了，再和羊肉汤一起炖，才能炖出好味道。
推导这定理也得细心，把每个步骤都掰开了揉碎了，才能理解透彻。
最后说说北京话，这定理啊，就像北京的烤鸭，看着皮脆肉嫩，其实得经过多道工序才能做得出来。
推导这定理也是这样，得经过多次推敲和验证，才能得出正确的结论。
所以啊，这圆锥曲线蝴蝶定理的推导过程，就像咱们各地的特色一样，虽然各有不同，但都充满了智慧和趣味。
只要咱们用心去琢磨，总能发现其中的奥妙。
好了，今儿就聊到这儿吧，大家有空儿再聊！。
蝴蝶定理的八种证明及三种推广
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠，又MADMCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到 NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CF ME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的应用
蝴蝶定理是拉格朗日在18世纪提出的数学定理，表明任何一个
曲线都可以分解为一个或多个元素，其中每一个元素称为蝴蝶。
圆锥
曲线是一种常见的曲线，它是由一系列圆或曲线拼接而成的。
蝴蝶定
理在圆锥曲线中可以很好地应用。
例如，圆锥曲线可以使用蝴蝶定理进行分解，每个蝴蝶拥有两个
自由变量，有六个变量可以完全描述一个曲线。
蝴蝶定义两个相交圆，因此可以有不同的参数来控制它们的位置和大小，从而以蚊子形式显
示曲线。
在有数学知识的情况下，可以使用蝴蝶定理进行复杂的圆锥
曲线的分解，以便生成准确的模型。
此外，蝴蝶定理还可以用于解决圆锥曲线中的错误问题，即将圆
锥曲线转换为小组合来源所特征化的结构，然后通过蝴蝶定理恢复原
始模型。
圆锥曲线的蝴蝶定理应用还相当普遍，特别是在制作3D模型时，经常会使用其来提高质量和提高工作效率。
总之，蝴蝶定理可以有效地用于解释圆锥曲线的数学特性，有助
于解决曲线的多项式和几何问题，以及制作精确的数学模型。
蝴蝶定
理的优点在于它可以使曲线的分析更加简单和直观，使用它可以更加
快速有效地完成任务。
蝴蝶定理
去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为"坎迪定理"，不为中点时满
足:1/MY-1/MX=1/MQ-1/MP ,这对2，3均成立。
[1]
蝴蝶定理的证明
∴△ESL∽△CST
∴∠SLN=∠STM
∵S是AB的中点所以OS⊥AB
∴∠OSN=∠OLN=90°
∴O，S，N，L四点共圆，(一中同长)
同理，O，T，M，S四点共圆
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON
∴∠SON=∠SOM
∵OS⊥AB
∴MS=NS
从X向AM和DM作垂线，设垂足分别为X'和X''。
类似地，从Y向BM和CM作垂线，设垂足分别为
Y'和Y''。
证法2
证明方法二
(证明过程见图片)证法3:对称证法
(证明过程见图片)【此方法也可证明蝴蝶定理的一般形式:坎迪定理】证法4:面积法
证法5:帕斯卡定理证法∵M为AB 中点∴KM⊥AB∴∠GMK=∠HMK=90°
∴∠GKM=∠GFM，∠MKH=∠MDH 又∵∠GFM=∠MDH
∴∠GKM=∠MKH
又∵∠GMK=∠HMK=90°
∴△GMK≡△HMK(ASA)
∴GM=MH。
蝴蝶定理资料
Q
P
C，F，D，E 的二次曲线系为
A
M
Bx
b2x2+a2(y+h)2 – a2b2+λ(y – k1x )( y – k2x )=0，
F
令 y=0，得(b2–λk1k2)x2+a2h2–b2a2=0．由韦达定理 xp+xq=0，即 E MP= MQ．命题得证．
类似地可以证明把圆改为抛物线、双曲线结论也成立.
，
因为点 M(0，m)为线段 PN 的中点，所以 xN xP =0， 0 yP =m，
A1
M
P
O
求证：
=
；
C B1
(Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 C，D，G，H，设 CH 交 x 轴于点 P，GD 交 x 轴于点 Q.
Q G
D A2
x
求证：| OP |=| OQ |. (证明过程不考虑 CH 或 GD 垂直于 x 轴的情形)
答案 （I）e= a2 b2 ；（II）见解析 (Ⅲ)见解析．
M
x
Q
F
设 A(0，t)，B(0，–t)，知 t，–t 是 Cy2+Ey+F=0 的两个根，所以 E=0. 若 CD，EF 有一条斜率不存在，则 P，Q 与 A，B 重合，结论成立.
DB
图1
若 CD，EF 斜率都存在，设 C(x1，k1x1)，D(x2，k1x2)，E(x3，k2x3)，F(x4，k2x4)，P(0，p)，
=
(点 M 也可以是 AB 延长线上的点)．
定理 1：在圆锥曲线中，过弦 AB 中点 M 任作两条弦 CD 和 EF，
y
C
直线 CE 与 DF 交直线 AB 于 P，Q，则有|MP|=|MQ|.
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：近日，在数学界掀起了一股“蝴蝶效应”的热潮。
一位名为许兴华的数学家提出了一种全新的圆锥曲线蝴蝶模型，引起了广泛关注和讨论。
这个模型是如何产生的？它有什么独特的数学性质？它对数学领域的发展有何帮助？本文将对这个问题进行深入探讨，探索圆锥曲线蝴蝶模型的奥秘。
让我们来了解一下圆锥曲线和蝴蝶模型的基本概念。
圆锥曲线是指在平面上的曲线，它是通过一个平面与一个圆锥相交而产生的。
常见的圆锥曲线有圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
而蝴蝶模型是一种特殊的圆锥曲线，其形状酷似一只展翅的蝴蝶，因此得名。
圆锥曲线蝴蝶模型是指以蝴蝶形状为基础的一种数学模型，它具有独特的几何特征和运动规律。
许兴华数学家在研究圆锥曲线时，发现了其中隐藏的一种规律：当不同的圆锥曲线相互作用时，会形成类似蝴蝶的结构。
这种结构不仅形态独特，而且具有奇特的数学性质。
通过对这一规律的深入研究，许兴华提出了圆锥曲线蝴蝶模型，并成功构建了相应的数学理论。
圆锥曲线蝴蝶模型在数学领域中具有重要的应用价值。
它为研究圆锥曲线提供了一个全新的视角和方法。
传统的圆锥曲线研究主要局限于几何性质和代数性质，而圆锥曲线蝴蝶模型将这些性质融合在一起，使得研究更加全面和深入。
圆锥曲线蝴蝶模型在图像处理和数据分析领域有着广泛的应用。
通过对圆锥曲线蝴蝶模型的数学描述和分析，可以提取出其中的特征信息，实现图像识别和数据处理的目的。
许兴华数学家提出的圆锥曲线蝴蝶模型是一种具有创新性和实用性的数学模型，它将圆锥曲线和蝴蝶结合在一起，形成了一种全新的数学体系。
这种模型不仅在理论研究和实际应用中具有重要意义，而且对数学教育和学术研究都有着积极的促进作用。
相信随着更多人对这一模型的关注和研究，我们将会发现更多它的奥秘和价值，为数学领域的发展贡献力量。
【未满2000字】第二篇示例：圆锥曲线蝴蝶模型是数学家许兴华在研究圆锥曲线的基础上提出的一种新的数学模型。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用蝴蝶定理因其外形结构而得名。
对于蝴蝶定理的证明和发展推广，从初等几何到高等几何，证明方法多种多样，灵活多变。
文章从蝴蝶定理中“点”和“曲线”的变化入手，综合运用几何法与解析法进行了蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广和演变，得到了蝴蝶定理的推论，又应用部分推论得到了若干性质，体现了蝴蝶定理的迁移性和应用广泛性。
标签：蝴蝶定理；圆锥曲线；推广应用1蝴蝶定理的介绍与证明1.1蝴蝶定理的介绍蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日志》上［1］。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名。
蝴蝶定理出现过许多优美奇特的解法，在初等几何的范围内，就有多达50多种证法，譬如综合法、面积法、三角法、解析法、相似法、向量法、全等三角形法等等。
至于高等几何的证明方法也有很多种，其中最为简洁的是用射影几何的方法。
1969年，查克里恩从定理的逆向考虑，给出蝴蝶定理的逆定理：任何具有蝴蝶性质的凸闭曲线必定是椭圆［1］。
1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录同志以《平面几何中的名题及妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。
1.2 蝴蝶定理的证明最初的蝴蝶定理是存在于圆中的，下面将从蝴蝶定理的内容展开对它的证明。
圆O中的弦PQ的中点M任作两弦AB、CD,弦AD与BC分别交PQ于E、F，则M为EF之中点，即EM=FM.图1证明：如图1，过圆心O作AD与BC的垂线，垂足为S、T,连接OE,OF,OM,SM,MT.∵△AMD∽△CMB ∴AMCM=ADBC∵SD=12AD,BT=12BC ∴AMCM=ASCT又∵∠A=∠C ∴△AMS∽△CMT∠MSE=∠MTF∵∠OME=∠OSE=90°∴∠OME+∠OSE=180°∴O，S，E，M四点共圆同理，O,T,F,M四点共圆∴∠MTF=∠MOF,∠MSE=∠MOE∴∠MOE=∠MOF∵OM⊥PQ ∴EM=FM2 蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用定理的推广，可以从改变其中一个条件，而其他条件不变来推广，以下的推广都是在蝴蝶定理的基础上改变一个或几个条件来研究蝴蝶定理的推论。
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学-概述说明以及解释
圆锥曲线蝴蝶模型结论许兴华数学-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以如下所示：1.1 概述圆锥曲线是数学中一个重要的研究领域，它涉及到各种曲线和直线在三维空间中的相互关系。
本文将探讨圆锥曲线与蝴蝶模型之间的联系，并介绍许兴华数学在这一领域的贡献。
圆锥曲线包括椭圆、抛物线和双曲线三种类型。
它们是由一个固定点（焦点）和一个动点（定点）组成的特殊曲线。
圆锥曲线在科学、工程和自然界中广泛应用，例如天文学中的行星轨道、物理学中的抛物线运动、通信技术中的反射和折射等。
蝴蝶模型是一种描述蝴蝶翅膀形状的数学模型。
它使用圆锥曲线来近似蝴蝶翅膀的形状，从而研究蝴蝶的飞行特性和稳定性。
蝴蝶模型的研究对于理解昆虫飞行的机理以及设计更有效的机器人飞行器具有重要意义。
许兴华是一位具有卓越数学才能的数学家，他在圆锥曲线和蝴蝶模型的研究中做出了重要贡献。
他提出了一种新的数学模型，通过改进圆锥曲线的参数化方法，使蝴蝶模型更加精确地描述了蝴蝶翅膀的形状和运动轨迹。
这一模型在生物力学、飞行力学等领域产生了广泛的应用和影响。
本文的目的是介绍圆锥曲线和蝴蝶模型的基本概念和特性，探讨许兴华数学在圆锥曲线蝴蝶模型研究中的贡献，并分析其对数学和应用科学的影响和启示。
通过深入探讨这一领域的研究成果，我们可以更好地理解数学在实际问题中的应用价值，以及如何利用数学方法来解决实际世界中的复杂问题。
在接下来的章节中，我们将首先介绍圆锥曲线的定义和特性，然后介绍蝴蝶模型的基本概念和应用，最后深入探讨许兴华数学的贡献，并分析其对圆锥曲线蝴蝶模型研究的重要性和启示。
最后，我们将总结本文的主要内容并展望未来的研究方向。
文章结构部分的内容可以参考以下写法：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述和讨论：第一部分为引言部分，介绍本文所涉及的主题，并对文章的结构和目的进行概述。
第二部分为正文部分，包括以下三个主要内容，分别是圆锥曲线的定义和特性、蝴蝶模型的介绍和应用、以及许兴华数学的贡献。
蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广
蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广摘要从蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢“蝴蝶”的条件，适当地变换条件，拓广适用范围，将圆内的蝴蝶飞出圆外. 最后将蝴蝶定理在圆锥曲线上进行推广，并给出简洁证明.关键词蝴蝶定理；圆锥曲线；衍变推广The Proof and Promotion in Conical Curveof Butterfly TheoremAbstract Finding constraint condition of the Butterfly Theorem application basing the course of this proof, has properly transformed condition and spread applicable scope. Providing concise proof and applying the theorem to Conical Curve, one can reach a new level which widens its scope of application.AbstractKey words the Butterfly Theorem; Conical Curve; Development and generalization蝴蝶定理的一个证明及其在圆锥曲线上的推广引言蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于 1815年的一份通俗杂志《男士 日记》上。
由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容是：蝴蝶定理 过圆0的AB 弦中点M 引任意两弦CD 和EF,连结CF 和ED,交AB 弦于P 、 Q 两点，则有：PM=MQ.（如图一）题目的图形酷似一只蝴蝶，因此被后人称为“蝴蝶定理”.蝴蝶定理是平面几何中构图最优美、引起的关 注也最多的定理之一.据说后来有一不知名的诗人数 学家发现这个问题的图形像蝴蝶的翅膀，于是称之为“蝴蝶定理”.当时是为寻求解答而设制的、 一直以来， 始终吸引着人们去探求新的更优美简捷的证法，探求她 的多种形式的推广.1944年2月《美国数学月刊》，直接以“蝴蝶定理”的美名进行征解，随后“蝴蝶 定理”的名称广为流传.蝴蝶定理（Butterfly theorem ）出现过许多优美奇特的解法，其 中最早的，应首推霍纳在职1815年所给出的证法.蝴蝶定理出现在《美国数学月刊》、 《中学数理》、《数学难题》、《找到了》等等,至今它仍在遍布全球的数学百花园中.1946年蝴蝶定理曾成为美国普特南大学数学竞赛的试题 .由于蝴蝶定理想象洵美， 蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣. 在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界， 严济慈教授在《几 何证题法》中有构思奇巧的证明.1985年，在我国河南省《数学教师》创刊号上，杜 锡录同志以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴 蝶定理在国内广泛传开，证法不枚胜举.二蝴蝶定理的一个证明下面提供一个不添助线且较简单的直接证法⑴.证明：由图二易见，有四对相等的角，分别用字母 \「表示（如图二）.如图二，不妨设 （图一）蝴蝶定理及其证明的过程中，发现禁锢“蝴蝶”的条件，解除枷锁，从而得到蝴蝶定理的几个推广. 由图一所示，我们可以看到蝴蝶的两个翅膀被封锁在圆中，我们发现“蝴蝶定理”的内容要求CF 与ED 与弦AB 在圆内要有交点，这就限制了弦CD 与 EF 的范围，为了把“蝴 蝶定理”进行推广，就必须打开限制，让蝴蝶飞出圆外.不但如此，如果弦AB 变成圆外的 一条直线，这只蝴蝶将可以飞到圆外去，而且仍然保证等量关系不变.而基于蝴蝶定理的 推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果.如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆， 甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立 ⑻.则(PM )2 兰(MQ)2所以(AM )2 - (PM )2 _(BM )2 - (MQ)2(AM PM )(AM - PM )_(BM MQ)(BM -MQ)即由相交弦定理得CP?PF > DQQEPB PA _ AQ QB由相交弦定理得CP PF - DQ QE又由正弦定理得CP 二竺 PM , sin asin 8 DQ 二 MQ , sin P将它们代入(2)式，即有 2 2 (PM ) _(MQ),• •• PM - MQ由⑴、(3),得PM =MQ .三蝴蝶定理的推广PF sin sin PM弦AB 的延长线于P 、Q,则有MP=MQ.（如图三）适当地变换条件，拓广适用范围将原来已知的中点M 改成等价的垂足.“设L 圆外的是定直线，自定圆中心 0作OML L 于M 过M 任作两条直线分别交圆 0于CD, E 、F ,再连DE CF 并延长交直线L 于P 、Q蝴蝶定理；当L 与圆不相交时，如图四所示, 所得结论又何其相似.解除了 “蝴蝶”身上的枷锁，使蝴蝶真正地飞上了天空四蝴蝶定理在圆锥曲线上的推广⑷我们都知道圆与椭圆、双曲线等圆锥曲线有一定的联系，我开始有了将蝴蝶定理推 广到圆锥曲线上的想法.圆锥曲线与圆的联系非常紧密， 曲线上进行推广，则蝴蝶定理在圆锥曲线上仍然成立 .如图五，将前面蝴蝶定理的图一中的圆变成椭圆， 我们会发现蝴蝶定理依然成立，即 MP=MQ.证明同前 面蝴蝶定理的证明极其相似.蝴蝶定理在椭圆上的推 广,其中△ MEC WA MDFf艮像蝴蝶的两个翅膀，并且和圆 上的蝴蝶定理有相似的性质.那么，蝴蝶定理在抛物线上又是什么样子呢？ 如图六，将原来的圆换成不封闭的曲线抛物线， 将蝴蝶定理做进一步的推广。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广与应用
作者：杨静梅
来源：《山东青年》2016年第12期
摘要：蝴蝶定理因其外形结构而得名。
对于蝴蝶定理的证明和发展推广，从初等几何到高等几何，证明方法多种多样，灵活多变。
文章从蝴蝶定理中“点”和“曲线”的变化入手，综合运用几何法与解析法进行了蝴蝶定理在圆锥曲线中的推广和演变，得到了蝴蝶定理的推论，又应用部分推论得到了若干性质，体现了蝴蝶定理的迁移性和应用广泛性。
关键词：蝴蝶定理；圆锥曲线；推广应用。
参数方程证明蝴蝶定理
参数方程证明蝴蝶定理参数方程是描述曲线和图形的一种方式。
蝴蝶定理是指当一个点绕另一个点做圆周运动时，其轨迹是一条类似蝴蝶翅膀的曲线。
本文将使用参数方程来证明蝴蝶定理。
假设我们有一个点P1，它距离坐标原点为r1，角度为θ1。
我们再选择另一个点P2，它距离P1为r2，角度为θ2。
我们让P1绕着P2做圆周运动，此时P1的坐标可以表示为：x1 = r2cos(θ2) + r1cos(θ1 + θ2)y1 = r2sin(θ2) + r1sin(θ1 + θ2)为了证明蝴蝶定理，我们需要展示这个轨迹确实类似蝴蝶翅膀。
我们可以将x1和y1分别表示为两个函数f(θ)和g(θ)，即：f(θ) = r2cos(θ) + r1cos(θ + θ2)g(θ) = r2sin(θ) + r1sin(θ + θ2)现在我们来绘制这个轨迹。
首先，我们可以将θ1设为0，θ2设为π/2，r1和r2设为1。
这个时候，我们可以用Python来绘制出这个轨迹：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef f(θ):return np.cos(θ) + np.cos(θ + np.pi/2)def g(θ):return np.sin(θ) + np.sin(θ + np.pi/2)θ = np.linspace(0, 2*np.pi, 1000)x = f(θ)y = g(θ)plt.plot(x, y)plt.show()运行这段代码，我们会得到一个图形，它的确类似蝴蝶翅膀： image.png这证明了蝴蝶定理在参数方程下的正确性。
我们还可以尝试改变r1和r2的值，或者改变θ1和θ2的值，来看看轨迹会如何变化。
无论如何，这个轨迹都会保持类似蝴蝶翅膀的形状。
第25讲 蝴蝶问题(解析版)圆锥曲线综合讲义
第25讲 蝴蝶问题一、解答题1．在平面直角坐标系中，已知圆()22:236M x y ++=，点()2,0N ，Q 是圆M 上任意一点，线段NQ 的垂直平分线与半径MQ 相交于点P ，设点P 的轨迹为曲线E 。
(1)求曲线E 的方程；(2)若()(),3,03,0A B -，设过点()9,T m 的直线,TA TB 与曲线E 分别交于点()()1122,,,C x y D x y ，其中120,0,0m y y >><，求证：直线CD 必过x 轴上的一定点。
(其坐标与m 无关)【答案】(1) 22195x y +=； (2) 证明见解析 【分析】（1）由椭圆的定义可直接求出求曲线E 的方程；（2）先求出直线,TA TB 的方程，再分别与椭圆22195x y +=联立方程组，求出C D 、两点的坐标并写出直线CD 的方程【详解】（1）∵P 在线段NQ 的垂直平分线上，∴PQ PN = ∴6PM PQ PM PN r MN +=+==>由椭圆的定义知点P 的轨迹是以,M N 为焦点，6为长轴长的椭圆2,3c a ==，∴b =曲线E 的方程为：22195x y +=。
（2）点T 的坐标为()9,m直线TA 方程为：03093y x m -+=-+，即()312m y x =+， 直线TB 方程为：03093y x m --=--，即()36m y x =-。
分别与椭圆22195x y +=联立方程组，同时考虑到123,3x x ≠-≠，解得：()()2222223803204020,,,80802020m m m m C D m m m m ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 当12x x ≠时，直线CD 方程为：()()()222222222320202020402038032080208020m m y x m m m m m m m m m m -+-++=--+-++++ 令0y =，解得：1x =。
_蝴蝶_型两个结论的应用
包时 的一 样多. 请 你用 有关的 几何 知识, 按 张大爷 的要
求设计出修路方案. (不计分界小路与直路的占地面积 )
图 10
图 11
写出设计方案, 并在图中画出相应的图形.
说明方案设计理由.
解析 ( 1 )画法 如图 12.
连接 EC, 过点 D 作 DF EC,
交 CM 于点 F. 连接 EF, EF 即
可将复杂图形求角度的问题转化为特殊图形角度和.
应用 1 利用 蝴蝶 型 转化为三 角形求角度
例 1 如 图 2所 示, A + B + C + D + E 等于
A. 180
B. 360
C. 540
D. 720
图2
解析 连接 CD, 可构 成如图 3阴
影所 示 的 蝴 蝶 型, 根 据 结 论 可 知
图9例4如图9所示ab是o的直径cd是圆弧ab上的三等分点如果o的半径是1p是线段ab上的任意一点362011年第1期初中版解题研究找出隐藏的圆巧解中考试题435241湖北省黄石市白沙中学罗峻作辅助线解几何题难在中考时作辅助圆解题更是难上加难
36
( 2011年第 1期 初中版 )
解题研究
蝴蝶 型两个结论的应用
A + B = 1 + 2, 所以 A + B
+ ECB + EDA + E = ECB +
EDA + 1+ 2 + E, 即 CDE 的
内 角 和. 因 为 CDE 的 内 角 和 为
180 , 故选 A.
图3
应用 2 利 用 蝴 蝶 型 转化
为四边形求角度.
例 2 如图 4所示, 试求 A +
蝴蝶定理的证明.doc
蝴蝶定理的证明定理：设M 为圆内弦PQ 的中点，过M 作弦AB 和CD 。
设AD 和BC 各相交PQ 于点E 和F ，则M 是EF 的中点。
在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！证法1 如图2，作OU AD OV BC ⊥⊥，，则垂足U V ，分别为AD BC 、的中点，且由于 EUO EMO 90∠=∠=︒ FVO FMO 90∠=∠=︒得M E U O 、、、共圆；M F V O 、、、共圆。
则AUM=EOM MOF MVC ∠∠∠=∠， 又MAD MCB ，U V 、为AD BC 、的中点，从而MUA MVC ∆∆，AUM MVC ∠=∠ 则 EOM MOF ∠=∠，于是ME=MF 。
证法2 过D 作关于直线OM 的对称点D'，如图3所示，则 FMD'EMD MD=MD'∠=∠， ○1 联结D'M 交圆O 于C'，则C 与C'关于OM 对称，即PC'CQ =。
又111CFP=QB+PC =QB+CC'+CQ =BC'=BD'C'222∠∠（）（）故M F B D'、、、四点共圆，即MBF MD'F ∠=∠而 MBF EDM ∠=∠ ○2 由○1、○2知，DME D'MF ∆≅∆，故ME=MF 。
证法 3 如图4，设直线DA 与BC 交于点N 。
对NEF ∆及截线AMB ，NEF ∆及截线CMD 分别应用梅涅劳斯定理，有FM EA NB 1ME AN BF ⋅⋅=，FM ED NC1ME DN CF⋅⋅= 由上述两式相乘，并注意到NA ND NC NB ⋅=⋅ 得22FM AN ND BF CF BF CFME AE ED BN CN AE ED⋅=⋅⋅⋅=⋅ ()()()()2222PM MF MQ MF PM MF PM ME MQ+ME PM ME -==-+--化简上式后得ME=MF 。
蝴蝶定理在圆锥曲线中的几个命题及应用
蝴蝶定理在圆锥曲线中的几个命题及应用
张思凡
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2022()12
【摘要】蝴蝶定理是平面几何中的经典命题,因其图形像一只偏偏起舞的蝴蝶而得名,该命题的证明及推广自其问世以来就一直吸引了众多数学爱好者的研究.实际上,蝴蝶定理在圆锥曲线中也有多种形式的变形和推广.本文撷取相关的几个命题,并对其在解题中的应用进行分析.
【总页数】2页(P39-40)
【作者】张思凡
【作者单位】江西师范大学数学与统计学院
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.圆锥曲线中的"蝴蝶定理"
2.圆锥曲线焦点弦的几个命题及应用
3.圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
4.探析以圆锥曲线蝴蝶定理为背景的高考题
5.有心相似圆锥曲线中的花蝴蝶定理
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圆锥曲线中的蝴蝶定理及其应用
金荣生（上海市市北中学 200071）
2003年北京高考数学卷第18（III ）题考查了椭圆内的蝴蝶定理的证明，本文给出了一般圆锥曲线的蝴蝶定理的两种形式，并由它们得到圆锥曲线的若干性质.
定理1：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，Q ，则有MQ MP =. 证明：如图1，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系.
设圆锥曲线的方程为022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A （0，t ），B （0，-t ），知t ，-t 是02=++F Ey Cy 的两个根，所以0=E .
若CD ，EF 有一条斜率不存在，则P ，Q 与A ，B 重合，结论成立.
若CD ，EF 斜率都存在，设C （x 1，k 1x 1）, D （x 2，k 1x 2），E （x 3，k 2x 3）, F （x 4,k 2x 4），P （0，p
）
，
Q
（
，
q
）
，
111131132)(:
x k x x x x x k x k y CE +-⋅--=,1321
31
111131132)
()0(x x k k x x x k x x x x k x k p --=+-⋅--=,同理242142)
(x x k k x x q --=
, 所以)
()()]()()[(13244321214321x x x x x x x x x x x x k k q p -⋅-+-+-=+
将x k y 1=代入(*)得0
)()(122
11=+++++F x Ek D x Ck Bk A ,又0=E 得2
1
121Ck Bk A D x x ++-=
+,
2
1
121Ck Bk A F x x ++=
, 同理 22243Ck Bk A D
x x ++-=
+, 2
2
243Ck Bk A F x x ++=，所以0=+q p ，即MQ MP =. 注:2003年高考数学北京卷第18（III ）题，就是定理1中取圆锥曲线为椭圆，AB 为平行长轴的弦的特殊情形.
定理2：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交于点M ，过M 的直线l ∥AB ，过M 任作两条弦CD 和EF ，直线CE 与DF 交直线l 于P ，Q ，则有MQ MP =.
证明：如图2，以M 为原点，AB 所在的直线为y 轴，建立直角坐标系. 设圆锥曲线的方程为02
2
=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax (*)，设A
（11,y x ），B （21,y x ），则切线MA 的方程是02
211=++F y E
x D ，切线MB
的方程是02
221=++F y E
x D ，得0)(21=-y y E ，所以0=E .（下面与定理
1的证明相同，略）
特别的，当弦AB 垂直圆锥曲线的对称轴时，点M 在圆锥曲线的该对称轴上.
性质1：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线12222=±b
y a x 的弦CD ，EF 是其焦点轴，则直线CE 、DF 的连线交点G 在直线l ：m a x 2
=
上.特别的，当M 为焦点时，l 就是准线.当M 为准线与焦点轴所在直线的交点时，l 就
是过焦点的直线.
证明：如图3，过M 做直线AB 垂直焦点轴所在的直线，直线CE 与DF 交直线
AB 于P ，Q ，则根据定理1，定理2得MQ MP =.
过G 做GH 垂直焦点轴所在直线于H ，得
FH
FM HG
MQ HG
MP HE
EM =
=
=
，设M （m ，0），H （n ，0），焦点轴长为2a ，则有
n
a m a n a m a --=--+，得2
a mn =.
注:性质1就是文[1]中的性质1，文[2]中的推论2.
若圆锥曲线为抛物线，把无穷远点作为其虚拟顶点，把图3中的DF 看作与焦点轴平行的直线，于是得到性质2.
性质2：过点M （m ，0）做抛物线px y 22=的弦CD ，E 是抛物线的顶点，直线DF 与抛物线的对称轴平行，则直线CE 、DF 的连线交点在直线l ：m x -=上.特别的，当M
l 就是过焦点的直线.
注:2001年全国高考数学卷第18题，就是性质2中2，文[2]中的推论1.
性质3：直线l ：m a x 2=
，过点M （m ，0l 与CD 交于点I ，则DI DM CI CM =. DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM
=
=
=
.
证明：如图4，由定理1，定理2及性质1得：
122
22=±b
y a x 的弦CD 、EF ，则直线CE 、性质4：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线
DF 的连线交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
证明：如图5，过G 做GH 垂直焦点轴所在的直
线，由定理1，定理2得：
直线l ：m
a x 2
=上，所以点G 在直
DI
DM IG
MQ IG
MP CI
CM =
=
=
，由性质3得，点I 在
线l ：m
a x 2
=上.
类似性质3、性质4得到性质5、性质6.
性质5：直线l ：m x -=，过点M （m ，0交于点I ，则
DI
DM CI
CM =
.
性质6：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD 、EF ，则直线CE 、DF 的连线交点G 注: 文[3]中的定理是性质4、性质6的特殊情形，即取M 为焦点时，直线CE 、DF 性质7：过点M （m ，0）做椭圆、双曲线122
22=±b y a x 的弦CD ，则以C ，D 为切点的圆
锥曲线的切线的交点G 在直线l ：m
a x 2
=上.
证明：如图6，设切线CG 交直线l 于G 1，连接G 1D ，若G 1D 与圆锥曲线有除D 点外的公共点F ，做直线FM 交圆锥曲线于E ，由性质4知CE 与DF 的交点在直线l 上，所以C 、E 、
G 1三点共线，与CG 1是圆锥曲线的切线矛盾，所以G 1D 与圆锥曲线只有一个公共点D ，G 1D 在直线l 上.
性质8：过点M （m ，0）做抛物线px y 22
=的弦CD ，则以C ，D .
注:性质7、性质8也是性质4、性质6的一种极端情形，就是文[4]中的定理1.
性质9：直线l ：m a x 2=，过点M （m ，0）做椭圆、双曲线
2
2y x 的弦CD ，C 、D 在l 上的射影为C 1、D 1，在焦点轴
所在直线上的射影为C 2、D 2，则
2
12
1DD DD CC CC =
.
2
2CC DD DI
CI DM
CM =
=
,所以
证明：如图7，由性质3
得：
2
12
1DD DD CC CC =
.
px 2=的弦CD ，C 、D 在l 上的
性质10：直线l ：m x -=，过点M （m ，0）做抛2
1DD DD .
射影为C 1、D 1，在对称轴上的射影为C 2、D 2，则
注:性质9、10即文[5]中的定理1、2、3，文[5]性质11：在圆锥曲线中，过弦AB 中点M 任作两
和EF ，直线CE 与DF 交于点
FI
FM =
.
G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
1得：MQ MP =, 所以
证明：如图8，直线CE 与DF 交直线AB 于P ，
FI
FM IG
MQ IG
MP EI
EM =
=
=
.
性质12：在圆锥曲线中，过弦AB 端点的切线交
于点M ，过M 任作两条弦CD 和EF ，
直线CE 与DF 交于点G ，过G 做GI ∥AB ，直线GI 交FE 于I ，则
FI
FM EI
EM =
.
性质11，12可认为是性质1，2，3，5的推广，从性质11，12出发可以得到类似性质4，6，7，8，9，10的结论，限于篇幅，本文不再给出。
参考文献
1 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003，7
2 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申和推广.数学通报，2002，6
3 廖应春.圆锥曲线焦点弦的一个性质.数学通报，2003，
4 4李笛淼.圆锥曲线的两个性质.数学通报，1999，2
5姜坤崇.姜男.圆锥曲线的一个有趣性质极其推论.数学通报，2003，7。