【全国百强校】江苏省南京市金陵中学2015-2016学年高二年级下学期数学周末作业(2)

金陵中学高二年级数学周末作业（2）

学号________ 姓名_______________ 3.28 一、填空题(共14小题，请将正确答案填写到本题后的答题处) 1．命题“∀x ∈R ，sin x ≥－1”的否定是 ▲ ．

2．设复数z 满足z (2-3i )＝6＋4i (其中i 为虚数单位)，则z 的模为 ▲ ．

3．若x 1，x 2，…，x 2008，x 2009的方差为3，则3(x 1－2)，3(x 2－2)，…，3(x 2008－2)，3(x 2009－2)的方差为 ▲ ．

4．已知α在第三、第四象限内，sin α＝2m －3

4－m

那么m 的取值范围是 ▲ ．

5．函数y ＝x 2(x ＞0)的图像在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k ∈N *，a 1＝16，则a 1 ＋a 2＋a 3＝ ▲ ．

6．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2：a 4＝7：6，则S 7：S 3等于 ▲ ．

7．若函数y ＝x －b

x ＋2在(a ，b ＋4)(b ＜－2)上的值域为(2，＋∞)，则ab ＝ ▲ ．

8．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)的定义域和值域都是[0，1]，则实数a 的值是 ▲ ． 9．等腰直角△ABC 中，∠A ＝90º，AB ＝2，AD 是BC 边上的高，P 为AD 的中点，点MN

分别为AB 边和AC 边上的点，且MN 关于直线AD 对称，当PM →·PN →＝－12时，AM

MB ＝ ▲ ．

10．设a ＞0，b ＞0，4a ＋b ＝ab ，则在以(a ，b )为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是 ▲ ．

11．已知m ，n 是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题： ① 若m //α，n //α，则m //n ； ② 若m ⊥α，n ⊥α，则m //n ； ③ 若m //α，n ⊥α，则m ⊥n ；④ 若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α． 其中假命题的序号有 ▲ ．(请将假命题的序号都填上)

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值是 ▲ ．

13．设函数f (x )＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f (a )＝f (b )， 则ab ＋a ＋b 的取值范围为 ▲ ．

14．某学生对函数f (x )＝2x ·cos x 的性质进行研究，得出如下的结论： ① 函数f (x )在[－π，0]上单调递增，在[0，π]上单调递减； ② 点(π

2，0)是函数y ＝f (x )图像的一个对称中心；

③ 函数y ＝f (x ) 图像关于直线x ＝π对称；④ 存在常数M ＞0，使|f (x )|≤M |x |对一切实数x 均成立．其中正确的结论．．．．．是 ▲ ． (填写所有你认为正确结论的序号)

二、解答题(共6小题)

15．已知A 、B 、C 的坐标分别为A (4，0)，B (0，4)，C (3cos α，3sin α)． (1)若α∈(－π，0)|AC →|＝|BC →

|，求α的值；（T －13） (2)若AC →·BC →＝0，2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值．（T －14）

16．如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，P A ＝2AB ＝2． (1)求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（T －15） (2)若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（T －16） (3)求证CE ∥平面P AB ．（T －17）

P

A B

C

D

E F

18．已知数列{b n }前n 项和S n ＝32n 2－12

n ．数列{a n }满足a 3n ＝4－(b n

＋2)(n ∈N *

)，数列{c n }满足c n

＝a n b n ．

(1)求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（T －20）

(2)若c n ≤1

4

m 2＋m －1对一切正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．（T －21）

19．若抛物线y ＝ax 2

(a ＜0)的焦点F 恰是椭圆x 23＋y 2

4

＝1的一个焦点，l 是椭圆的相应焦点F

的准线，P 是抛物线上异于顶点的动点．设抛物线在P 处的切线与l ，y 轴围成的三角形的面积为S ．(1)求a 的值；（T －22） (2)求S 的最小值．（T －23）

20．已知函数f (x )＝x －a

x

－2ln x ．

(1)若f (x )是单调增函数，求实数a 的范围；（T －24）

(2)若存在一个x 0∈[1，e ]，使f (x 0)＞0成立，求实数a 的取值范围． （T －25）

金陵中学高二年级数学周末作业（2）答案

1．∃x ∈R ，sin x ＜－1；2．2 ；3．27；4．(-1，3

2)；5．28；6．2：1；7．8；8．2；

9．3；10．(x -3)2＋(y -6)2＝81；11．①④；12．±13；13．(－1，1)；14． ④ 15．解：AC →＝(3cos a －4，3sin α)，BC →

＝(3cos α，3sin α－4)， (1)由|AC →|＝|BC →|AC →2＝BC →

2，

即(3cos α－4)2＋9sin 2α＝9cos 2α＋(3sin α－4)2． sin α＝cos α

∵α∈(－π，0)，∴α＝－3π

4．

(2)由AC →·BC →

＝0，得3cos α(3cos α－4)＋3sin α(3sin α－4)＝0，

解得sin α＋cos α＝3

4．

两边平方得2sin αcos α＝－7

16

，

∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α

＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α＝－716．

16．(1)在Rt △ABC 中，AB ＝1，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，AC ＝2．

在Rt △ACD 中，AC ＝2，∠CAD ＝60°，∴CD ＝23，AD ＝4．

∴S ABCD ＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝523．则V ＝5

3

3．

(2)∵P A ＝CA ，F 为PC 的中点，∴AF ⊥PC ．

∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ． ∵AC ⊥CD ，P A ∩AC ＝A ，

∴CD ⊥平面P AC ．∴CD ⊥PC ． ∵E 为PD 中点，F 为PC 中点， ∴EF ∥CD ．则EF ⊥PC ． ∵AF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面AEF ． (3)证法一：

取AD 中点M ，连EM ，CM ．则EM ∥P A ．∵EM ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴EM ∥平面P AB ． ……… 12分 在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，AC ＝AM ＝2，∴∠ACM ＝60°．而∠BAC ＝60°，∴MC ∥AB ． ∵MC ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ，∴MC ∥平面P AB ． ∵EM ∩MC ＝M ，∴平面EMC ∥平面P AB ． ∵EC ⊂平面EMC ，∴EC ∥平面P AB ．

证法二：延长DC 、AB ，设它们交于点N ，连PN ．∵∠NAC ＝∠DAC ＝60°，AC ⊥CD ，

∴C 为ND 的中点． ∵E 为PD 中点，∴EC ∥PN ．

∵EC ⊄平面P AB ，PN ⊂平面P AB ，∴EC ∥平面P AB ．

17．(1)y ＝ 1x 2＋410-x 2

(3≤x ≤7)，(7分)(2)x ＝ 303 时，y min

＝ 9

10 (15分) 18．解：(1)由已知和得，当n ≥2时，