§9.1平面的基本性质

一．课题：平面的基本性质（1）二．教学目标：1.了解立体几何研究的对象及方法，初步建立空间的概念；2.掌握平面的概念，平面的画法及其表示法，掌握平面的基本性质公理1、2、3；3.初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化。

三．教学重、难点：平面的基本性质公理1、2、3，空间概念的建立。

四．教学过程： （一）新课讲解： 1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性。

常见的桌面，黑板面，平静的水面等都是平面的局部形象。

一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分。

2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。

当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的两倍。

画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。

②一般用一个希腊字母α、β、γ----来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等。

4平面的基本性质：公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭．应用：①判定直线在平面内；②判定点在平面内。

模式：a A A aαα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线。

推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一。

如图示：应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上。

公理3：经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面。

推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合。

应用：①确定平面；②证明两个平面重合。

（二）例题分析：例1．将下列文字语言转化为符号语言，图形语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内。

（即平面α和β相交于直线l ．） （解略）例2．将下列符号语言转化为图形语言： （1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈；（2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p = ，c αβ= ． （解略）说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）．例3．在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点， 试画出它们的图形。

（如右图）例4．点A ∉平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，若EH 与FG 交于P ，求证：P 在直线BD 上。

证明：∵EH FG P = ，∴P EH ∈，P FG ∈，∵,E H 分别属于直线,AB AD ， ∴EH ⊂平面ABD ，∴P ∈平面ABD ，同理：P ∈平面CBD ， 又∵平面ABD 平面CBD BD =， 所以，P 在直线BD 上。

五．课堂练习：课本第5页 练习第1，2，3，4，5，6．六．小结：1．平面的画法及表示方法；2．公理1，2，3的推理模式，文字语言、图形语言与符号语言的转化； 3．画图的基本方法。

七．作业：《数学之友》第150页第一课。

∙ ∙ ∙ ∙ B O C A βα一．课题：平面的基本性质（2）二．教学目标：1.掌握公理3及其三个推论的证明；2.通过对推论的证明，培养学生的论证能力，渗透推理作图的方法；3.学会“点线共面”的证明方法。

三．教学重、难点：公理3的三个推论的证明、应用。

四．教学过程： （一）复习：1．平面的性质公理1，2，3，并写出推理模式。

（二）新课讲解：推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面，已知：直线l ，点A 是直线l 外一点，求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面。

证明：（存在性）：在直线l 上任取两点B 、C ，∵A l ∉，∴,,A B C 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B C 可确定一个平面α， ∵点,B C 在平面α内，根据公理1，∴l α⊂，即平面α是经过直线l 和点A 的平面， （唯一性）：∵,B C l ∈，l α⊂，A α∈，∴点,,A B C α∈， 由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过l 和点A 的平面只有一个。

类似地，得出以下两个推论：（由学生证明） 推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。

（三）例题分析：例1．两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内。

已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B C ，求证：直线,,AB BC CA 共面。

证明：∵直线AB AC A = ，∴直线AB 和AC 可确定平面α， ∵B AB ∈，C AC ∈， ∴B α∈，C α∈，∴BC α⊂，即,,AB BC CA α⊂即直线,,AB BC CA 共面。

例2．在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线。

解：①在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ，∴由推论3可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ， ∴1AA 与1CC 在同一平面内。

②∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D∴点1,,B C D 在同一平面内。

③∵AC BD O = ，11D C DC E = ， ∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ， 又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BCD ， ∴平面1AC 平面1BC D 1OC =，同理平面1ACD 平面1BDC OE =．例3．若l αβ= ，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线。

A 1βα DlB C∙ ∙ ∙ A五．课堂练习：课本第6页 练习第7题，第7页 练习第1，2，3．六．小结：公理3的三个推论及应用。

七．作业：1．课本第11页 第5，6题，补充：如图，已知ABC ∆中，AB D α= ，BC E α= ，画出直线AC 与平面α的交点R ，并证明点R 、D 、E 三点共线。

一．课题：平面直观图的画法——斜二测法二．教学目标：掌握用斜二测法画水平放置的平面图形和空间图形的画法和画图的一般步骤。

三．教学重、难点：斜二测画法的主要步骤，空间图形直观图的画法。

四．教学过程： （一）新课讲解：1．空间图形的直观图的概念：在一个平面内不可能画出空间图形的真实形状，为了便于对空间图形的研究，我们将作出空间图形的直观图，即用平面图形表示空间图形，它不是空间图形的真实形状，但它具有立体感。

2．画水平直观图的方法——斜二测画法 例1．坐标平面中，点的直观图的画法．画法：（1）设点(,)C a b ，作坐标系x O y '''，使45x O y '''∠=；（2）在x 轴上的点A ，画在x '轴上，使O A OA ''=； （3）在y 轴上的点B ，画在y '轴上，使12O B OB ''=； （4）在xOy '''中，作y '轴的平行线x a '=，作x '轴的平行线2b y '=，直线x '与直线y '相交于C '点(,)2b a ．点C '即为点C 的直观图．图（2）例2．坐标平面内直线与线段的直观图的画法。

画法：略。

例3．水平放置的正六边形的直观图。

画法：（1）在已知正六边形ABCDEF 中，取对角线AD 所在的直线为x 轴，取对称轴GH 为y 轴，x 轴、y 轴相交于点O ；任取点'O ，画出对应的'x 轴、'y 轴，使''45x Oy ∠=； （2）以点'O 为中点，在'x 轴上取''A D AD =，在y '轴上取12G H GH ''=，以点H '为中点画//F E x '''轴，,)b (,2b a '并使F E FE ''=；再以G '为中点画//B C x '''轴，并使B C BC ''=； （3）顺次连结,,,A B C D D E F A ''''''''，所得到的六边形A B C D E F ''''''就是水平放置的正六边形ABCDEF 的直观图。

说明：练习：画水平放置的正五边形的直观图。

例4．空间图形的直观图的画法。

画棱长为2cm 的正方体的直观图。

画法：（1）作水平放置的正方形的直观图ABCD ，使45BAD∠=，2AB =cm ，1AD =cm ． （2）过点A 作z '轴使90BAz '∠=，分别过点,,,A B C D ，沿z '轴的正方向取1111AA BB CC DD ====2cm ．（3）连结11111111,,,A B B C C D D A ，得到的图形就是所求的正方体直观图．图（1） 图（2）说明：上述画直观图的方法叫做斜二测法。

这种画法的规则是：（1）在已知图形中取水平平面，取互相垂直的轴Ox ，Oy ，再取Oz 轴，使90xOz ∠=；（2）画直观图时，把它们画成对应的轴''O x ，''O y ，''O z ，使'''45x O y ∠= （或135 ），'''90x O z ∠= ，'''x O y所确定的平面表示水平平面；（3）已知图形中平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于'x 轴、'y 轴、'z 轴的线段；（4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半。

五．小结：斜二测法画空间图形直观图的画法。

六．作业：课本第10页练习3．1C1Cz。