2.1.2直线的方程(点斜式)
19-20版 第2章 2.1 2.1.2 第1课时 点斜式
2.1.2直线的方程第1课时点斜式1．直线的点斜式方程(1)过点P1(x1，y1)且斜率为k的直线方程y－y1＝k(x－x1)叫做直线的点斜式方程．(2)过点P1(x1，y1)且与x轴垂直的方程为x＝x1．2．直线的斜截式方程斜截式方程：y＝kx＋b，它表示经过点P(0，b)，且斜率为k的直线方程．其中b为直线与y轴交点的纵坐标，称其为直线在y轴上的截距．思考：(1)“斜截式方程的应用前提是什么？(2)截距是距离吗？提示：(1)斜截式方程应用的前提是直线的斜率存在．(2)纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零．1.思考辨析(1)当直线的倾斜角为0°时，过(x0，y0)的直线l的方程为y＝y0.()(2)直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念．()(3)直线的点斜式方程不能表示坐标平面上的所有直线．()(4)当直线的斜率不存在时，过点(x1，y1)的直线方程为x＝x1.() [答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．过点(2，3)，斜率为－1的直线的方程为________．y＝－x＋5[由点斜式方程得：y－3＝－1·(x－2)，∴y－3＝－x＋2，即y＝－x＋5.]3.过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为________，垂直于x轴的直线方程为________．y＝1x＝1[过点P(1，1)平行于x轴的直线方程为y＝1，垂直于x轴的直线方程为x＝1.]4.已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线方程为________．3x－y－2＝0[k＝tan 60°＝3，且过点(0，－2)，所以直线方程为y＋2＝3(x－0)，即3x－y－2＝0.](1)经过点B(2，3)，倾斜角是45°；(2)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；(3)经过点A(1，1)，B(2，3)．思路探究：先求直线的斜率，再用点斜式求直线的方程．[解](1)∵直线的倾斜角为45°，∴此直线的斜率k＝tan 45°＝1，∴直线的点斜式方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.(2)∵直线与x轴平行，∴倾斜角为0°，斜率k＝0，∴直线方程为y＋1＝0×(x＋1)，即y＝－1.(3)∵直线的斜率k＝3－12－1＝2.∴直线的点斜式方程为y－3＝2×(x－2)，即2x－y－1＝0.1．求直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点P(x0，y0)和斜率k；(2)斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．2．求直线的点斜式方程的步骤是：先确定点，再确定斜率，从而代入公式求解．1．求倾斜角为135°且分别满足下列条件的直线方程：(1)经过点(－1，2)；(2)在x轴上的截距是－5.[解](1)∵所求直线的倾斜角为135°，∴斜率k＝tan 135°＝－1，又直线经过点(－1，2)，∴所求直线方程是y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(2)∵所求直线在x轴上的截距是－5，即过点(－5，0)，又所求直线的斜率为－1，∴所求直线方程是y－0＝－(x＋5)，即x＋y＋5＝0.(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.思路探究：(1)直接利用斜截式写出方程；(2)先求斜率，再用斜截式求方程；(3)截距有两种情况．[解](1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－3 3.由斜截式可得方程为y＝－33x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝3，∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝3x＋3或y＝3x－3.1.直线的斜截式方程使用的前提条件是斜率必须存在．2.当直线的斜率和直线在y轴上的截距都具备时，可以直接写出直线的斜截式方程；当斜率和纵截距不直接给出时，求直线的斜截式方程可以利用待定系数法求解．2．根据下列条件，求直线的斜截式方程．(1)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.(2)倾斜角为直线y＝－3x＋1的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10.[解](1)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝3 3，由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝3 3x.(2)设直线y＝－3x＋1的倾斜角为α，则tan α＝－3，∴α＝120°，∴所求直线的斜率k＝tan 60°＝ 3.∴直线的斜截式方程为y＝3x－10.1．对于直线y＝kx＋1，是否存在k使直线不过第三象限？若存在，k的取值范围是多少？[提示]直线y＝kx＋1过定点(0，1)，直线不过第三象限，只需k<0.2．已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为a.(1)求直线l的方程．(2)当a为何值时，直线l经过点(4，－3)?[提示](1)因为直线l的斜率k＝2，在y轴上的截距为a，由直线方程的斜截式可得y＝2x＋a.(2)由于点(4，－3)在直线l上，把点的坐标代入l的方程y＝2x＋a得－3＝2×4＋a，所以a＝－11.【例3】已知直线l经过点P(4，1)，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为8，求直线l的点斜式方程．思路探究：设出直线的点斜式方程，表示出横、纵截距，利用三角形面积得斜率方程，求解即可．[解]设所求直线的点斜式方程为：y－1＝k(x－4)(k<0)，当x＝0时，y＝1－4k；当y＝0时，x＝4－1 k.由题意，得12×(1－4k)×⎝⎛⎭⎪⎫4－1k＝8.解得k＝－14.所以直线l的点斜式方程为y－1＝－14(x－4)．在利用直线的点斜式方程或斜截式方程表示纵、横截距，从而进一步表示直线与坐标轴围成的三角形面积时，要注意截距并非一定是三角形的边长，要根据斜率进行判断，当正负不确定时，要进行分类讨论．3．已知直线l的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的方程．[解]设直线方程为y＝16x＋b，则x＝0时，y＝b；y＝0时，x＝－6b.由已知可得12·|b|·|－6b|＝3，即6|b|2＝6，∴b＝±1.故所求直线方程为y＝16x＋1或y＝16x－1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.1．本节课的重点是了解直线方程的点斜式的推导过程，掌握直线方程的点斜式并会应用，掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念．难点是了解直线方程的点斜式的推导过程．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)求点斜式方程的方法步骤．(2)求斜截式方程的求解策略．(3)含参数方程问题的求解．3．本节课的易错点是利用斜截式方程求参数时漏掉斜率不存在的情况．1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则()A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－1，－2)，斜率为1C[方程变形为y＋2＝－(x＋1)，∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.]2．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线方程是________．2x－y＋2＋1＝0[由方程知，已知直线的斜率为2 2，∴所求直线的斜率是2，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)，即2x－y＋2＋1＝0.]3．直线x＋y＋1＝0的倾斜角与其在y轴上的截距分别是________．135°，－1[直线x＋y＋1＝0变成斜截式得y＝－x－1，故该直线的斜率为－1，在y轴上的截距为－1.若直线的倾斜角为α，则tan α＝－1，即α＝135°.] 4．求经过点A(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程．[解]设直线方程为y－4＝k(x＋3)(k≠0)．当x＝0，y＝4＋3k，当y＝0，x＝－4k－3，∴3k＋4－4k－3＝12，即3k2－11k－4＝0，∴k＝4或k＝－1 3.∴直线方程为y－4＝4(x＋3)或y－4＝－13(x＋3)，即4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.。
2.1.2 直线的方程-点斜式
重 点
两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方 程和两点式方程上。 1.直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
难 点
2.在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的 方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个 方程的解为坐标的点在直线上。
中 心 发 言 人
张文静
教 具
课 型
y y0 x x0
，可化为：
教 学 过 程
y y0 k ( x x0 )
„„„„„„ ①
【探究】思考下面的问题： （不必严格地证明，只要求验证） （1）过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ，斜率为 k 的直线 l 上的点，其坐 标都满足方程①吗？ （2） 坐标满足方程①的点都在过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ， 斜率为 k 的直线 l 上吗？ 生：经过探究和验证，上述的两条都成立。所以方程① 就是过点 P0 ( x 0 , y 0 ) ，斜率为 k 的直线 l 的方程。 因此得到： 一 直线的点斜式方程：
经过分析，同学们的猜想是正确的。 师：已知直线的斜率为 k，与 y 轴的交点是 P（0，b） ， 求直线 l 的方程。 生： 因为直线 l 的斜率为 k ， y 轴的交点是 P（0，b） 与 ， 代入直线方程的点斜式，得直线 l 的方程为：
y b k ( x 0 ) 即： y kx b
二
直线斜截式方程：
y kx b
„„„„„„„ ②
我们把直线 l 与 y 轴交点（0， b ）的纵坐标 b 叫做直 线 l 在 y 轴上的截距(即纵截距)。方程②是由直线 l 的斜率
k 和它在 y 轴上的截距 b 确定的，所以叫做直线斜截式方
程，简称为斜截式。 师：截距是距离吗？ 生：不是，b 为直线 l 在
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.1.2 直线的方程》
直线的方程——点斜式连云港外国语学校谭军港1教材分析本节内容是苏教版必修2第二章第一节局部的内容。
本节是在初中学习了平面几何和一次函数，之前一节又学习了直线的斜率的根底上，通过以点的集合的方式来研究直线图像上的点应该满足的方程的问题，起着承上启下的作用。
首先它是对初中平面几何知识和一次函数的延续，其次它也是培养平面解析几何思想，〔也就是用代数的方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数的方法研究几何问题〕用来解决后续的圆、圆锥曲线以及直线与圆、圆锥曲线关系等问题的根底。
其地位非常重要，这也是高考考纲中的C级要求知识点。
从研究直线方程开始，学生对“解析几何〞的学习进入了实质性阶段，“直线与方程〞关系的研究，是“曲线与方程〞的关系研究的前奏和根底，直线的点斜式方程的探索过程，对构建前后连贯，逻辑一致的研究过程与方法，起到了重要的根底作用，“直线的点斜式方程〞是“平面解析几何初步〞的起始课，也是高中平面解析几何的起始课，也将是学生亲自经历第一次“求曲线方程〞的探索实践。
所以本节课教学的效果直接决定了整个“解析几何〞教学的效果刚刚接触“解析几何〞的学生，幼稚懵懂的心理致使他们还不能理解“解析几何〞的实质，而本节课那么以比拟浅显的问题开启“解析几何〞学习知识之门，通过求直线方程的一般步骤“建系、设点、代入、化简、验证〞这一本质规律对后续解析几何内容学习产生重要影响，因为它也是求“曲线方程〞的一般步骤。
“解析几何〞中处处渗透了各种数学思想，特别是数形结合与等价转化思想，本节课那么以生动的具体事例有效地促进学生树立、稳固和熟练应用这些数学思想综上，本节课是高中数学教学中极为关键的内容，创设和实施优质的教学程序，在一定程度上影响着后面解析几何教学的成败2教学目标知识与技能1探索确定直线位置的几何要素，知道由一个点和斜率可以确定一条直线，探索、经历并掌握求直线的点斜式、斜截式方程过程与方法；2能根据条件熟练地求出直线的点斜式、斜截式方程，并有直线点斜式方程和斜截式方程代数形式的到直线的几何性质过程与方法1让学生经历求直线方程构建过程，培养学生观察、探究能力；2使学生进一步理解直线的方程与方程的直线之间的对应关系〔方程的解与直线上点的坐标的关系〕，渗透数形结合等数学思想情感态度与价值观1使学生进一步体会化归的思想，逐步培养他们分析问题、解决问题的能力；2利用多媒体课件的精彩演示，增强图形美感，使学生享受数学美，增进数学学习的情趣通过数学史的学习培养学生数学文化素养。
直线的点斜式方程
¤知识要点：1. 点斜式：直线l 过点000(,)P x y ,且斜率为k ，其方程为00()y y k x x -=-.2. 斜截式：直线l 的斜率为k ，在y 轴上截距为b ，其方程为y kx b =+.3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x 轴直线. 若直线l 过点000(,)P x y 且与x 轴垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为00x x -=，或0x x =.4. 注意：y y k x x -=-与00()y y k x x -=-是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点000(,)P x y ，后者才是整条直线.¤例题精讲：【例1】写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； （2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.【例2】已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.【例3】光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.点评：由物理中光学知识知，入射线和反射线关于法线对称. 光线的反射问题，也常常需要研究对称点的问题. 注意知识间的相互联系及学科间的相互渗透. 【例4】已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．点评：已知直线过一点时，常设其点斜式方程，但需注意斜率不存在的直线不能用点斜式表示，从而使用点斜式或斜截式方程时，要考虑斜率不存在的情况，以免丢解. 而直线在坐标轴上的截距，可正、可负，也可以为零，不能与距离混为一谈，注意如何由直线方程求其在坐标轴上的截距.¤知识要点：1. 两点式：直线l 经过两点111222(,),(,)P x y P x y ，其方程为112121y y x x y y x x --=--， 2. 截距式：直线l 在x 、y 轴上的截距分别为a 、b ，其方程为1x ya b+=. 3. 两点式不能表示垂直x 、y 轴直线；截距式不能表示垂直x 、y 轴及过原点的直线.4. 线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++. ¤例题精讲：【例1】已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.【例2】菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程直线的一般式方程¤知识要点：1. 一般式：0Ax By C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A Cy x B B=--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠.¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时：（1）12l l ⊥；（2）12//l l .【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.两条直线的交点坐标¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. ¤例题精讲：【例1】判断下列直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.两点间的距离¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-.特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,PP 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PP k x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点到直线的距离及两平行线距离¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.¤例题精讲：y x B (-c ,0) A (a ,b ) C (c ,0) O【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.圆的标准方程¤知识要点：1. 圆的标准方程：方程222()()(0)x a y b r r -+-=>表示圆心为A （a ，b ），半径长为r 的圆.2. 求圆的标准方程的常用方法：（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；（2）待定系数法：先根据条件列出关于a 、b 、r 的方程组，然后解出a 、b 、r ，再代入标准方程. ¤例题精讲： 【例1】过点(1,1)A -、(1,1)B -且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（ ）. A.（x －3）2＋（y ＋1）2＝4 B.（x ＋3）2＋（y －1）2＝4 C.（x －1）2＋（y －1）2＝4 D.（x ＋1）2＋（y ＋1）2＝4 【例2】求下列各圆的方程： （1）过点(2,0)A -，圆心在(3,2)-；（2）圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --圆的一般方程¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程220x y Dx Ey F ++++= （2240D E F +->）表示圆心是(,)22D E --，半径长为22142D E F +-的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,)x y 满足的关系式.¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.【例2】设方程222422(3)2(14)16790x y m x m y m m +-++-+-+=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.直线与圆的位置关系¤知识要点：1. 直线与圆的位置关系及其判定： 方法一：方程组思想，由直线与圆的方程组成的方程组，消去x 或（y ），化为一元二次方程，由判别式符号进行判别；方法二：利用圆心（,a b ）到直线0Ax By C ++=的距离22||Aa Bb C d A B ++=+，比较d与r 的大小.（1）相交d r ⇔<⇔ 0∆>；（2）相切d r ⇔=⇔0∆=；（3）相离d r ⇔>⇔0∆<. 2. 直线与圆的相切研究，是高考考查的重要内容. 同时，我们要熟记直线与圆的各种方程、几何性质，也要掌握一些常用公式，例如点线距离公式0022||Ax By C d A B ++=+¤例题精讲：【例1】若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为 .【例2】求直线:220l x y --=被圆22:(3)9C x y -+=所截得的弦长.圆与圆的位置关系¤知识要点：两圆的位置关系及其判定： 设两圆圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则：（1）两圆相交121212||||r r O O r r ⇔-<<+；（2）两圆外切1212||O O r r ⇔=+；（3）两圆内切1212||||O O r r ⇔=-； ¤例题精讲：【例1】已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=② （1）试判断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程.【例2】求经过两圆22640x y x ++-=和226280x y y ++-=的交点，并且圆心在直线40x y --=上的圆的方程.课后练习 一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ）A 第一二三象限B 第一二四象限C 第一三四象限D ．第二三四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180，不存在6若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．23-≠m C ．1≠m D ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;3．若原点在直线l 上的射影为)1,2(-，则l 的方程为____________________。
2.2.1直线的点斜式方程 课件
解： 直线 l 经过点 （ − ，），斜率 = ° =
代人点斜式方程得
y-3=x+2
画图时，只需再找出直线 l 上的另一点
, ，例如，取 = − ，则 =
得点 的坐标为（-1，4），过 ， 两
点的直线即为所求，如图.
由于 ° 无意义，直线没有斜率，
这时直线 l 与 y 轴平行或重合，它的方
程不能用点斜式表示。又因为这时直线
l 上每一点的横坐标都等于 ，所以它
的方程是
− = ，即 =
课堂练习
例1 直线 l 经过点 （ − ，） 且倾斜角 = ° ，求直线 l 的点斜式方程，
当 ≠ , y=kx+b 为一次函数，
当 k=0 是，y=b不是一次函数 .
故一次函数 y=kx+b （ ≠ ）一定可以看成是一条直线的斜截式方程，
但斜截式方程不一定是一次函数
一次函数 y=2x-1 ， y=3x 及 y=-x+3 图象的共同特点是：
它们都可以由其斜率及截距唯一确定.
方程 − = − 由直线上一个定点 , 及该直线的斜率k 确定，
我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
新知讲解
注意：
(1)直线的点斜式方程的前提条件是：
①已知一点P(x0，y0)和斜率k； ②斜率必须存在．
只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．
− 0
当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数；
当k＝0时，y＝b不是一次函数，
一次函数y＝kx＋b(k≠0)必定是一条直线的斜截式方程．
截距不是距离，可正、可负也可为零， 而距离是一个非负数．
高中数学 第二章 解析几何初步2.1.2.1 直线方程的点斜式
一般式推导
01 已知直线上一点$P_1(x_1, y_1)$和斜率k，则直线 的点斜式为$y - y_1 = k(x - x_1)$。
02 将点斜式展开，得到$y = kx - kx_1 + y_1$。
02 整理后可得一般式：$kx - y + (y_1 - kx_1) = 0$ ，其中A=k，B=-1，C=$y_1 - kx_1$。
已知直线上一点和斜率，可以直接套用点斜式求 出直线方程。
02 判断两直线是否平行
若两直线斜率相等且不重合，则两直线平行。利 用点斜式可以方便地求出两直线的斜率并进行比 较。
03 解决与直线相关的问题
如求点到直线的距离、判断点是否在直线上等， 都可以通过点斜式进行求解。
03
两点式直线方程
两点式定义
直线方程形式
点斜式
已知直线上一点 $(x_1, y_1)$ 和斜率 $m$，则直线方程可 表示为 $y - y_1 = m(x - x_1)$。
斜截式
已知直线斜率 $m$ 和在 $y$ 轴上的截距 $b$，则直线方程可 表示为 $y = mx + b$。
两点式
已知直线上两点 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，则直线 方程可表示为 $frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = frac{x - x_1}{x_2 x_1}$。
直线方程在几何中的应用
平行与垂直判断
平行直线
两条直线的斜率相等且不重合， 则这两条直线平行。
垂直直线
两条直线的斜率互为相反数的倒 数，则这两条直线垂直。
距离计算
点到直线距离
利用点到直线距离公式，可以求出点 到直线的垂直距离。
21-22版：2.2.1 直线的点斜式方程（创新设计）
∴所求直线的斜截式方程为 y＝ 3x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2). ∴k＝－0－2－40＝12， ∴所求直线的斜截式方程为 y＝21x－2.
索引
2.过点(1，0)且与直线 y＝12x－1 垂直的直线方程是( C )
A.y＝21x－21
B.y＝21x＋12
C.y＝－2x＋2
D.y＝－12x＋12
解析 由于直线 y＝12x－1 的斜率为12，故所求直线的斜率等于－2，故所求直线 的方程为 y－0＝－2(x－1)，即 y＝－2x＋2，故选 C.
索引
2
课堂互动
题型剖析
题型一 求直线的点斜式方程
///////
【例1】 根据条件写出下列直线的点斜式方程： (1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°；
解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 故所求直线的点斜式方程为y－4＝－[x－(－1)].
索引
课堂小结
1.一个依据——建立点斜式方程的依据 建立点斜式方程的依据是：直线上任一点 P(x，y)与这条直线上一个定点 P0(x0， y0)的连线的斜率相同，故有xy－－yx00＝k，此式是不含点 P0(x0，y0)的两条反向射线 的方程，必须化为 y－y0＝k(x－x0)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时， 不能用点斜式表示，此时方程为 x＝x0.
索引
题型二 求直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程：
直线的点斜式方程课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
l
O
（1）当1 = 0 时，1 = 0 ，此时点1 与0 重合， 从而1 在直线l上；
（2）当1 ≠ 0 时， =
1 −0
1 −0
，设过点1 与0 的直线为1 ，则的1 的斜率也
为k，所以l与1 重合.
y3
2
(4)经过点D(-4,-2),倾斜角是 .
3
y 2 3 ( x 4)
(5)过P(-2,3)，Q(5,-4)两点. k PQ
3 (4)
1
25
y 3 ( x 2)
概 念 延 拓
探究点斜式方程的特殊形式
倾斜角特殊化
所过定点特殊化
问题4：如何表示过点 (，)，斜率为k的方程呢？
通过平面直角坐标系建立关系
解 决
代数方法
几何问题
课 前 回 顾
回顾唯一确定一条直线的几何要素
点的坐标
一个点
唯一确定一条直线
直线的斜率
一个方向
在平面直角坐标系中,给定一个点P0(x0, y0)和斜率k（或倾斜角）就能唯一确定一条直线，
即直线上任意一点P的坐标(x, y)与点P0的坐标(x0, y0)和斜率k之间的关系是唯一确定的。
求直线l的方程.
基 础 巩 固
练习3:在△ABC中，已知A(0,0)，B(3,1)，C(1,3)
(1)求AB边上的高所在直线的方程；
(2)求AB边上的中垂线所在直线的方程；
(3)求过点A与BC平行的直线方程．
基 础 巩 固
练习4：直线 = −
A.
B.
1
的图像可能是（
）
C.
3.25数学课件33 2.1.2直线的方程 (1)点斜式
b，则 b 等于( )
A．－2
B．2
C．－5
D．5
答案：B
3．已知直线 l 的倾斜角是直线 y＝x＋1 的倾斜角的 2 倍，且 过定点 P(3，3)，则直线 l 的方程为________． 答案：x＝3
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
4．倾斜角为 30°，且在 y 轴上截距为 2 的直线方程为 ________． 解析：由题意知，k＝tan 30°＝ 33，b＝2.故直线方程为
第2章 平面解析几何初步
2.1.2 直线的方程
第 1 课时 点斜式
第2章 平面解析几何初步
1.了解直线方程点斜式的推导过程，截距的概念，斜截 式与一次函数的关系． 2.理解直线方程点斜式和斜截式的意 义及关系． 3.掌握直线方程的点斜式、斜截式及其应用．
第2章 平面解析几何初步
1．直线的点斜式方程 条件：点 P1(x1，y1)和___斜__率__k__． 图示：
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
1．直线的点斜式方程形式 直线的点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)不能写成 k＝xy－ －yx00的形式， 因为两者不等价，前者是整条直线，后者表示去掉点 P(x0， y0)的一条直线．
栏目 导引
第2章 平面解析几何初步
2．直线的点斜式与斜截式方程的关系 (1)直 线 的 斜 截 式方 程 是 点 斜 式 方 程 的 特 殊 情况 ， 即 过 定 点 P(0，b)，它们都不能表示斜率不存在的直线． (2)在直线方程的各种形式中，点斜式是最基本的形式，它是 推导其他形式的基础(以后学习)． (3)点斜式与斜截式是两种常见的直线方程的形式.
3.求斜率为34，且与坐标轴所围成的三角形的 周长是 12 的直线 l 的方程． 解：由已知直线的斜率为34，可设直线 l 的方程为 y＝34x＋b. 令 x＝0，得 y＝b；令 y＝0，得 x＝－43b. 由题意得：|b|＋43|b|＋53|b|＝12，所以 b＝±3. 所以所求直线方程为 y＝34x±3.
必修二2.1.2直线的方程(2)两点式和截距式课件
例3： 已知：直线 l 过 A(0, 5)
B(5, 0) 求直线 l 的方程
截距式：x y 1 5 5
在x轴上截
距
在y轴上截距
栏目导航
练习2：写出下列直线的截距式方程 (1)x轴上的截距是2，y轴上的截距是3； (2)x轴上的截距是4，y轴上的截距是6；
(3)x轴上的截距是 1 ，y轴上的截距是 1
2
2
(1) x y 1 23
(2) x y 1 46
(3)
x 1
y 1
1
22
例4： ABC中A(5, 0), B(3, 3),C(0, 2)
求三角形各边的直线的方程
解： 由两点式求直线AB
y C
3x+8y+15=0
A
由斜截式求直线BC
O
x 5x+3y-6=0
B
由截距式求直线AC
2x-5y+10=0
栏目导航
学习目标 1．了解直线方程的两点式的推导
核心素养
过程．(难点)
2 ． 会 利 用 两 点 式 求 直 线 的 方 通过学习本节内容来提升学生的
程．(重点)
数学运算核心素养.
3．掌握直线方程的截距式，并会
应用．(易错点)
栏目导航
1、点斜式直线方程
点：P1(x1, y1)
y y1 k(x x1)
（7）斜率为-2，在y轴上的截距为-5
(1) y 2x 3 2 1
(2) y 3 x 6 2 33
(3) y 3
(4) y 3x 4 3 2 (5) y 3x 5 (6)x 2 (7) y 2x 5
第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程 2.1.2 直线的方程 第2课时 两点式和截距式
第1课时 点斜式 学案(含答案)
第1课时点斜式学案（含答案）2.1.2直线的方程第1课时点斜式学习目标1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.知识点一直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点Px0，y0和斜率kyy0kxx0斜率存在的直线知识点二直线的斜截式方程1直线在y轴上的截距直线l与y 轴的交点0，b的纵坐标b，可正，可负，也可为零.2直线的斜截式方程名称已知条件示意图方程使用范围斜截式斜率k和在y轴上的截距bykxb斜率存在的直线一.直线的点斜式方程例1求满足下列条件的直线的点斜式方程1过点P4,3，斜率k3；2过点P3，4，且与x轴平行；3过P2,3，Q5，4两点；4经过点A2,5，且其倾斜角与直线y2x7的倾斜角相等.解1直线过点P4,3，斜率k3，由直线方程的点斜式得直线方程为y33x4.2与x轴平行的直线，其斜率k0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y40x3.3过点P2,3，Q5，4的直线的斜率kPQ1.又直线过点P2,3.直线的点斜式方程为y3x2.4所求直线的斜率k2，又直线过点A2,5，直线的点斜式方程为y52x2.反思感悟求直线的点斜式方程的步骤提示斜率不存在时，过点Px0，y0的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0.跟踪训练11经过点3,1且平行于y 轴的直线方程是________.2一直线l1过点A1，2，其倾斜角等于直线l2yx的倾斜角的2倍，则l1的点斜式方程为________.答案1x32y2x1解析1直线与y轴平行，该直线斜率不存在，直线方程为x3.2直线l2的方程为yx，设其倾斜角为，则tan，30，那么直线l1的倾斜角为23060，则l1的点斜式方程为y2tan60x1，即y2x1.二.直线的斜截式方程例2根据条件写出下列直线的斜截式方程.1斜率为2，在y轴上的截距是5；2倾斜角为150，在y轴上的截距是2；3倾斜角为60，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.解1由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为y2x5.2倾斜角150，斜率ktan150.由斜截式可得直线方程为yx2.3直线的倾斜角为60，斜率ktan60.直线与y轴的交点到原点的距离为3，直线在y轴上的截距b3或b3.所求直线方程为yx3或yx3.反思感悟1斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在.当b0时，ykx表示过原点的直线；当k0时，yb表示与x轴平行或重合的直线.2截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横纵坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数和零，而距离是一个非负数.跟踪训练2已知直线l在y轴上的截距为2，根据条件，分别写出直线l的斜截式方程.1直线l经过点Mm，n，Nn，mmn；2直线l与坐标轴围成等腰三角形.解1由题意得直线l的斜率为k1，所以直线l的斜截式方程为yx2.2因为直线l在y轴上的截距为2，所以l与y轴的交点为P0，2，而直线l与坐标轴围成等腰三角形，又是直角三角形，所以l与x轴的交点坐标为2,0或2,0.由过两点的斜率公式得k1或1，所以直线l的斜截式方程为yx2或yx2.三.直线方程的简单应用例3求经过点A3,4，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程.解方法一点斜式设直线方程为y4kx3k0.当x0时，y43k，当y0时，x3，3k4312，即3k211k40，k4或k.故直线方程为y44x3或y4x3.方法二斜截式设直线方程为ykxb，直线经过点A3,4，3kb40.直线在两坐标轴上的截距之和为12，b12.由得或故直线方程为y4x16或yx3.反思感悟利用待定系数法求直线方程1已知一点，可选用点斜式，再由其他条件确定斜率.2已知斜率，可选用斜截式，再由其他条件确定直线在y轴上的截距.跟踪训练3已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的直线方程.解设直线方程为yxb，则当x0时，yb；当y0时，x6b.由已知可得|b||6b|3，即6|b|26，b1.故所求直线方程为yx1或yx1.1.建立点斜式方程的依据是直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1x1，y1的两条反向射线的方程，必须化为yy1kxx1才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点0，b.斜率为k的直线ybkx0，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程.1.已知直线的方程是y2x1，则A.直线经过点1,2，斜率为1B.直线经过点2，1，斜率为1C.直线经过点1，2，斜率为1D.直线经过点2，1，斜率为1答案C解析由y2x1，得y2x1，所以直线的斜率为1，过点1，2.2.方程yax表示的直线可能是图中的答案B解析直线yax 的斜率是a，在y轴上的截距为.易知a0.当a0时，斜率a0，在y 轴上的截距0，则直线yax过第一.二.三象限，四个选项都不符合；当a0时，斜率a0，在y轴上的截距0，则直线yax过第二.三.四象限，仅有选项B符合.3.过点1,0且在y轴上的截距为的直线的斜截式方程是________.答案yx4.已知直线l过点P2,1，且直线l的斜率为直线x4y30的斜率的2倍，则直线l的方程为________.答案y1x2解析由x4y30，得yx，其斜率为，故所求直线l的斜率为，又直线l过点P2,1，所以直线l的方程为y1x2.5.已知直线l的倾斜角是直线yx1的倾斜角的2倍，且过定点P3,3，求直线l的方程.解直线yx1的斜率为1，所以倾斜角为45，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90，其斜率不存在.又直线过定点P3,3，所以直线l的方程为x3.。
【步步高】高中数学 第二章 2.1.2直线的方程(一)配套名师课件 苏教版必修2
练一练·当堂检测、目标达成落实处
1．方程 y＝k(x－2)表示___③_____． ①通过点(－2,0)的所有直线； ②通过点(2,0)的所有直线； ③通过点(2,0)且不垂直于 x 轴的所有直线； ④通过点(2,0)且除去 x 轴的所有直线． 解析 易验证直线通过点(2,0)，又直线斜率存在， 故直线不垂直于 x 轴．
斜率？ 答 当 x1≠x2 时，kAB＝yx22－－yx11； 当 x1＝x2 时，直线的斜率不存在．
研一研·问题探究、课堂更高效
问题 2 在直角坐标系内确定一条直线，应已知哪些条件？ 答 已知直线上的一个点和直线的倾斜角(斜率)可以确定 一条直线； 已知两点也可以确定一条直线．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.2 直线的方程
第一课时
【学习要求】 1．理解由斜率公式推导直线方程的点斜式的思路，掌握直
线方程的点斜式与斜截式的关系． 2．初步学会利用直线方程的知识解决有关的实际问题． 【学法指导】
通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探讨得 出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解“截距”与 “距离”的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关 系，进一步培养数形结合的思想．
研一研·问题探究、课堂更高效
探究点二 直线的斜截式方程 问题 1 已知直线 l 的斜率为 k，且与 y 轴的交点为(0，b)，
得到的直线 l 的方程是什么？ 答 将 k 及点(0，b)代入直线方程的点斜式得：y＝kx＋b.
研一研·问题探究、课堂更高效
小结 我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距．方程 y＝kx＋b 由 直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也 叫做直线的斜截式方程．
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.2直线方程的点斜式教案 (高中数学必修2北师大版)
直线方程的点斜式(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握直线方程的点斜式．(2)了解斜截式与一次函数的关系．2．过程与方法通过直线点斜式方程的学习，培养学生的探索精神．3．情感、态度与价值观培养学生用代数思维解决几何问题，提高数学的学习兴趣．●重点难点重点：直线方程的点斜式．难点：直线方程的应用．给定点P(x0，y0)和斜率k后，直线就唯一确定了，直线的方程，就是直线上任意一点的坐标(x，y)满足的关系式．(教师用书独具)●教学建议本节是在学习了直线的倾斜角和斜率之后，进行直线方程的学习，因此本节课宜采用探究式课堂模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主为前提，两点斜率公式为基本探究问题，引出直线方程的点斜式，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展、提高．●教学流程创设问题情境，提出问题⇒通过引导学生回答问题，认识掌握直线方程的点斜式⇒通过例1及互动探究，使学生掌握利用点斜式求直线方程⇒通过例2及变式训练，使学生掌握利用斜截式求直线方程⇒通过例3及变式训练，使学生点斜式、斜截式的综合应用⇒归纳整理，进行课堂小结整体认识所学知识⇒完成当堂双基达标巩固所学知识并进行反馈、矫正若直线经过点P (x 0，y 0)，且斜率为k ，则直线上任意一点的坐标满足什么关系？ 【提示】 y －y 0＝k (x －x 0)． 1．直线的方程如果一个方程满足以下两点，就把这个方程称为直线l 的方程： (1)直线l 上任一点的坐标(x ，y )都满足这个方程；(2)满足该方程的每一个数对(x ，y )所对应的点都在直线l 上． 2．直线方程的点斜式和斜截式(1)经过点A (－1,4)，斜率k ＝－3； (2)经过坐标原点，倾斜角为45°； (3)经过点B (3，－5)，倾斜角为90°； (4)经过点C (2,8)，D (－3，－2)．【思路探究】 解答本题可先分析每条直线的斜率是否存在，然后选择相应形式求解． 【自主解答】 (1)y －4＝－3[x －(－1)]，即y ＝－3x ＋1，图形如图(1)所示． (2)k ＝tan 45°＝1，∴y －0＝x －0，即y ＝x .图形如图(2)所示．(3)斜率k 不存在，∴直线方程为x ＝3.图形如图(3)所示．(4)k ＝8－(－2)2－(－3)＝2，∴y －8＝2(x －2)，即y ＝2x ＋4.图形如图(4)所示．1．求直线的斜率是解题的关键，利用“两点确定一条直线”作图．2．利用点斜式求直线方程的步骤：①在直线上找一点，并确定其坐标(x 0，y 0)；②判断斜率是否存在，若存在求出斜率；③利用点斜式写出方程(斜率不存在时，方程为x ＝x 0)．本例第(4)问中“C (2,8)”改为“C (m,8)”，试写出满足条件的直线方程．【解】 当m ＝－3时，斜率不存在，直线方程为x ＝－3；当m ≠－3时，k ＝8－(－2)m －(－3)＝10m ＋3，∴y －(－2)＝10m ＋3[x －(－3)]，即y ＝10m ＋3x ＋24－2m m ＋3.(2)已知直线l 的方程是2x ＋y －1＝0，求直线的斜率k ，在y 轴上的截距b ，以及与y 轴交点P 的坐标．【思路探究】 利用斜截式写直线的方程须先确定斜率和截距，再利用斜截式写出直线方程．【自主解答】 (1)∵直线的斜率为2，在y 轴上截距是3， ∴直线方程的斜截式为y ＝2x ＋3.(2)把直线l 的方程2x ＋y －1＝0，化为斜截式为y ＝－2x ＋1， ∴k ＝－2，b ＝1，点P 的坐标为(0,1)．1．已知直线斜率或直线与y 轴有交点坐标时，常用斜截式写出直线方程．2．利用斜截式求直线方程时，要先判断直线斜率是否存在．当直线斜率不存在时，直线无法用斜截式方程表示，在y 轴上也没有截距．写出斜率为2，在y 轴上截距为m 的直线方程，并求m 为何值时，直线过点(1,1)? 【解】 由题意知，直线方程为y ＝2x ＋m . 把点(1,1)代入得1＝2×1＋m ， ∴m ＝－1.【思路探究】 可以把直线l 的方程变形为点斜式或斜截式，根据其特点证明．【自主解答】 法一 将直线方程变形为y －35＝a (x －15)，它表示经过点A (15，35)，斜率为a 的直线．∵点A (15，35)在第一象限．∴直线l 必过第一象限．法二 将直线方程变形为y ＝ax ＋3－a5，当a ＞0时，不论a 取何值，直线一定经过第一象限；当a ＝0时，y ＝35，直线显然过第一象限；当a ＜0时，3－a5＞0，直线一定经过第一象限．综上，直线5ax －5y －a ＋3＝0一定过第一象限．1．法一是变形为点斜式，法二是变形为斜截式．2．解决此类问题关键是将方程转化为点斜式或斜截式来处理．不论m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点( )A ．(1，12) B ．(－2,1)C ．(2，－1)D ．(－1，－12)【解析】 ∵直线方程可化为y －1＝m [x －(－2)]， ∴直线恒过定点(－2,1)．【答案】B忽视对字母的分类讨论致误求过两点(m,2)，(3,4)的直线方程．【错解】 ∵k ＝4－23－m ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．【错因分析】 未考虑m 与3的关系导致错误的出现．【防范措施】 当m ＝3时斜率不存在，故应该讨论m 与3的关系． 【正解】 当m ＝3时，直线斜率不存在， ∴直线方程为x ＝3，当m ≠3时，k ＝23－m，∴直线方程为y －4＝23－m(x －3)．1．对于利用点斜式求直线方程，首先应先求出直线的斜率，再代入公式求解． 2．对于利用斜截式求直线方程，不仅求斜率，还要求截距．1．过点P (－2,0)，斜率为3的直线方程是( ) A ．y ＝3x －2 B ．y ＝3x ＋2 C ．y ＝3(x －2) D ．y ＝3(x ＋2)【解析】 由点斜式可得y －0＝3(x ＋2)，即y ＝3(x ＋2)． 【答案】 D2．直线y ＝2x －3的斜率和在y 轴上的截距分别等于( ) A ．2,2 B ．－3，－3。
高中数学 2.1.2直线的方程课件 苏教版必修2
学习
栏
目 链
预习
接
典例
►变式训练
1．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为
30°，求直线l的方程．
分析：求出直线l的倾斜角及相应的斜率，再利用点斜式方
学习
程求解．
栏
目 链
预习
接
典例
解析：∵直线 y＝ 3(x－1)的斜率为 3， ∴其倾斜角为 60°，且过点(1，0)． 又直线 l 与直线 y＝ 3(x－1)的夹角为 30°，且过点(1，0)，由 右图可知，直线 l 的倾斜角为 30°或 90°. ∴直线 l 的方程为 y＝ 33(x－1)或 x＝1.
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
的两点式方程得2y－－00＝－x－2－33.
学习
整理可得2x＋5y－6＝0，这就是所求直线AC的方程． 直线AB经过A(－2，2)，B(3，2)，由于其纵坐标相等， 可知其方程为y＝2.
栏
目 链
预习
接
典例
直线BC经过B(3，2)，C(3，0)，由于其横坐标相等，可
知其方程为x＝3.
规律总结：已知直线上两点坐标，应检验两点的 横坐标不相等，纵坐标也不相等后，再用两点式 方程，本题也可用点斜式方程或斜截式方程求 解．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
直线的点斜式方程(张爽)
y − y0 = k ( x − x0 )
概念理解
斜率是k的直线 上的点 上的点,其坐标代入都 （1）过点 0(x0,y0) 斜率是 的直线 l上的点 其坐标代入都 ）过点p 满足方程y-y 满足方程 0=k(x-x0)吗？ 吗 （2）坐标满足方程 0=k(x-xo)的点都在过点 p0(x0, y0) ,斜 ）坐标满足方程y-y 的点都在过点 斜 率为k的直线 上吗 率为 的直线l上吗？ 的直线 上吗？
x
学以致用
1.已知直线经过点p(3,4)，求 （1）倾斜角为0°时的直线方程； （2）斜率为２时的直线方程； （3）倾斜角为90°时的直线方程. 2.经过点p(2,3),倾斜角是30°的直线方程.
3.经过A(-2,-3),B(0,0)两点的直线的点斜式方程. 4.经过点p(0,3),斜率是1的直线方程，并画出图 形.
经过探究,上述两条都成立 所以这个方程就是过 经过探究 上述两条都成立,所以这个方程就是过 上述两条都成立 的直线l的方程 的方程． 点p0(x0,y0)，斜率为 k 的直线 的方程． ，
直线的点斜式方程
方程y-y 由直线上一点 方程 0=k(x-x0)由直线上一点 0(x0,y0)及 由直线上一点p 及 斜率k确定 把这个方程叫做直线的点斜式方 确定， 其斜率 确定，把这个方程叫做直线的点斜式方 简称点斜式 点斜式． 程，简称点斜式．
x − x0 = 0
或
x = x0
x 点斜式的局限性： 点斜式的局限性：只适用于斜率存在 的情形。 的情形。
当直线L的倾斜角为0 当直线L的倾斜角为0°时,直 线的方程怎么表示？ 线的方程怎么表示？
倾斜角为0 倾斜角为 ° 如图： 如图：
y
则 直线与x轴平行或重合；
2.2 2.2.1 直线的点斜式方程
[对点练清] (1)求经过点(0,2)，且与直线 l1：y＝－3x－5 平行的直线 l2 的方 程． (2)求经过点(－2，－2)，且与直线 l1：y＝3x－5 垂直的直线 l2 的方程． 解：(1)由 l1：y＝－3x－5 得 k1＝－3， 由两直线平行知 k2＝k1＝－3， 所以所求直线方程为 y＝－3x＋2. (2)由 l1：y＝3x－5 得 k1＝3， 由两直线垂直知 k1k2＝－1，所以 k2＝－13. 所以所求直线方程为 y＋2＝－13(x＋2)．
(2)由题意知，直线的斜率 k＝tan 0°＝0，所以直线的点斜式 方程为 y－(－1)＝0.
(3)由题意知,直线的斜率不存在，所以直线的方程为 x＝1， 该直线没有点斜式方程．
[方法技巧] 求直线的点斜式方程的方法步骤
(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率 k→ 写出方程 y－y0＝k(x－x0)．
A．y＝x＋1
B．y＝x－1
C．y＝－x＋1
D．y＝－x－1
解析：由题意知，直线的斜率 k＝－1，又在 y 轴上截距为 －1，故直线方程为 y＝－x－1，选 D. 答案：D
3．直线 y＝ 3(x－ 3)的斜率与在 y 轴上的截距分别是( )
A． 3， 3
B． 3，－3
C． 3，3
D．－ 3，－3
解析：由直线方程知直线斜率为 3，令 x＝0 可得在 y 轴 上的截距为 y＝－3. 故选 B.
(2)点斜式方程 y－y0＝k(x－x0)可表示过点 P(x0，y0)的所有 直线，但 x＝x0 除外．
[对点练清] 1．若一条直线经过点(2,5)，倾斜角为 45°，则这条直线的点斜
式方程为________． 解析：因为倾斜角为 45°，所以斜率 k＝tan 45°＝1，所以直 线的点斜式方程为 y－5＝x－2.
2.2.1直线的点斜式方程-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
新知探究
问题1 如图,直线 l 经过点P0(x0，y0),且斜率为k,设点P (x，y)是直线l上不同于点P0 的任
意一点，试问 x 与 y 之间满足怎样的关系式？
y
l
由斜率公式得
k y y0 , 即 y y0 k( x x0 ). ①
? x x0
追问1 直线l上每一个点的坐标(x，y)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
P0(x0, y0) P(x, y)
追问2 坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的每一点是否都在过点 P0(x0,y0)，斜率为 k的直线l上？
O
x
证：设点P1( x1 , y1 )的坐标x1 , y1满足关系式y y0 k( x x0 ), 则y1 y0 k( x1 x0 ),
(3) y 4.
(4) y 3 x 2; 3
(5) y 2x 10; (6) y=2x+5或y=2x 5
新知探究
问题4.1 方程y=kx+b与我们学过的一次函数表达式类似. 我们知道，一次函数的图像是 一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b?
分析：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，对于y=kx+b， 从函数的角度看，表示的是自变量x与因变量y之间的对应关系；
当x1 x0时, y1 y0 , 这时点P1与P0重合, 显然有点P1在直线l上;
当x1
x0时, 有k
y1 x1
y0 x0
, 这表明过点P1,
P0的直线l1的斜率为k .
因为l, l1的斜率都为k且都过点P0 , 所以它们重合. 所以, 点P1在直线l上.
2.1.2.1直线方程的点斜式
第二章
解析几何初步
栏目导引
[自主练习] 1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( A．y＝3x－2 C．y＝3(x－2) B．y＝3x＋2 D．y＝3(x＋2) )
答案：
D
第二章
解析几何初步
栏目导引
2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( A．直线过点(2，－2)，斜率为 2 B．直线过点(－2,2)，斜率为 2 1 C．直线过点(1，－2)，斜率为2 D．直线过点(1，－2)，斜率为 2
设斜截 将点P坐 找到斜率与在y轴 求出斜率 式方程 ―→ 标代入 ―→ 上的截距的关系 ―→ 的范围
第二章
解析几何初步
栏目导引
[规范解答]
方法一：设直线 l 的斜率为 k，
由于这条直线过点 P(－1，－2)， 所以，它的点斜式方程是 y－(－2)＝k[x－(－1)]，3 分 可化为斜截式方程是 y＝kx＋k－2，5 分 所以直线 l 在 y 轴上的截距为 k－2.7 分 由已知得 2≤k－2≤6.9 分 所以 4≤k≤8.11 分 所以直线 l 斜率的取值范围为[4,8].12 分
第二章
解析几何初步
栏目导引
[强化拓展] 一个方程是直线 l 的方程，必须同时具备两个条件，缺一不可． (1)“直线 l 上任一点的坐标(x，y)都满足这个方程”，说明直线 l 上没有坐 标不满足方程的点，也就是说直线 l 上所有的点都适合这个方程而毫无例外． (2)“满足该方程的每一个数对(x，y)所确定的点都在直线 l 上”，说明适合 方程的所有点都在直线 l 上而毫无遗漏． 只有具备了以上两点，某个方程才能与直线 l 的方程建立一一对应关系．
[提示1] 可以．
第二章
解析几何初步
人教版高中数学选修一2.2.1 直线的点斜式方程教案
2.2.1直线的点斜式方程本节课选自《2019人教A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习直线的点斜式方程。
在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。
从一次函数y=kx ＋b(k≠0)引入，自然地过渡到本节课想要解决的问题——求直线的方程问题。
在引入过程中，要让学生弄清直线与方程的一一对应关系，理解研究直线可以从研究方程及方程的特征入手。
在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程。
充分体现坐标法建立方程的一般思路，为后续学习圆的方程及圆锥曲线的方程奠定基础。
发展学生数学抽象、逻辑推理、直观想象和数学运算的核心素养。
1.教学重点：掌握直线方程的点斜式并会应用2.教学难点：了解直线方程的点斜式的推导过程．多媒体教学过程教学设计意图 核心素养目标一、情境导学笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。
在笛卡尔之前，几何与代数是数学中两个不同的研究领域。
他站在方法论的自然哲学的高度，认为希腊人的几何学过于依赖于图形，束缚了人的想象力。
对于当时流行的代数学，他觉得它完全从属于法则和公式，不能成为一门改进智力的科学。
因此他提出必须把几何与代数的优点结合起来，建立一种“真正的数学”。
笛卡尔的思想核心是：把几何学的问题归结成代数形式的问题，用代数学的方法进行计算、证明，从而达到最终解决几何问题的目的。
依照这种思想他创立了“解析几何学”。
我们知道给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线，这样，在平面直角坐标系中给定一个点P 0(x 0,y 0)和斜率k 就能唯一确定一通过对解析几何创始人，数学家笛卡尔的介绍，让学生初步体会坐标法的思想方法，并提出问题，明确研究问题运用方程思想，求解直线点斜式方程。
条直线，也就是说这条直线上任意一点坐标(x,y)与点P0的坐标(x0,y0)和斜率k之间的关系是完全确定的，那么这一关系如何表示呢？二、探究新知在平面直角坐标系中,直线l过点P(0,3),斜率k=-2,Q(x,y)是直线l上不同于P的任意一点,如图所示.由于P,Q都在l上,所以可以用P,Q的坐标来表示直线l的斜率y-3x-0=2,即得方程y=2x+3.这表明直线l上任一点的坐标(x,y)都满足y=2x+3.那么满足方程y=2x+3的每一组(x,y)所对应的点也都在直线l上吗?一、直线的点斜式方程名称已知条件示意图方程使用范围点斜式点P(x0,y0)和斜率ky-y0=k(x-x0)斜率存在的直线点睛1.点斜式应用的前提是直线的斜率存在,若斜率不存在,则不能应用此式.2.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.四、小结五、课时练本课在求直线的方程中，直线方程的点斜式是基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
这条直线方程的形式比较简单，但它很有特殊性。 式中的b即为直线与y轴交点的纵坐标，我们把它叫做直 线 在y轴上的截距（intercept) 而k即为直线的斜率 l 所以这个方程也叫做直线的斜截式方程
数学运用
例3：一直线过点A（-1，-3)，其倾斜角等于直线 的倾斜角的2倍，求直线 l 的方程。
2.1.2直线的方程
问题情境
飞逝的流星形成了一条美丽的弧线,这条弧线可以看 做是满足某种运动规律的点的集合.在平面直角坐标系中, 直线也可以看做是满足某种条件的点的集合,直线的位置 既可由两点惟一确定,也可由一点和一个方向来确定.
问题情境
问题1: 若直线 l 经过点A(-1,3),斜率为-2,点P在 直线 l 上运动,那么点P的坐标(x,y)满足 什么条件?
( x 1) 那么，直线的斜率为 (2)已知直线的点斜式方程是 3 3 30 ___________,倾斜角为_____________ 3 y2 3
3.写出斜率为
3 2
,在y轴上的截距是-2的直线方程.
y 3 2 x2
回顾反思
1、直线的点斜式方程：已知直线 l ：y y k ( x x ) 必经过 ，且斜率为 ，直线的斜率k=0 时，直线方程为 ；当直线的斜率不存在 时，不能用点斜式求它的方程，这时的直线方程 为 . 2、 为直线的斜截式方程其中k为 ， b为 。
1
2
3
4
5
数学之美
y y
y 2x 4
y 2x
y x2
y 2x 4
y 2
o
y 3x 2
xLeabharlann oxy x 2
y 3 x 2
y 2x 1
y 2x 1
直线 y kx 2 是过定点（0， 直线 y 2 x b 表示斜率为2的 2）的直线束； 一系列平行直线。
y
A ( 1, 3 ) B ( 1, 3 )
问题2: 点P(x,y)在直线 l 上运 动时,有什么是不变的?
x
o
P ( x, y )
直线的斜率是不变的
l
建构数学
经过点 P1 ( x 1 , y 1 ) 斜率为k的直线 l 的方程为：
y y 1 k ( x x1 )
这个方程是由一个点和直线的斜率决定的， 所以我们把它叫做直线的点斜式方程 注意：当直线 l 与x轴垂直时，斜率不存在，其 方程不能用点斜式表示。 但因为 l 上每一点的横坐标都等于x1,所 以它的方程是 x x 1
1 1
课后研学
1.在同一直角坐标系中作出直线 l1 : y 2 l l l : y x 2 ；3 : y x 2 ； : y 3 x 2 ； : y 3 x 2 ； l 根据图形你能够推测直线有什么特点？
2
4
5
2.在同一直角坐标系中作出直线 l : y 2 x l : y 2 x 1 ；l : y 2 x 1 ； : y 2 x 4 ； : y 2 x 4 ； l l 根据图形你能够推测直线有什么特点？
数学运用
例１：已知直线经过点Ｐ（-２，３），斜率为 ２，求这条直线的方程。
2x y 7 0
课堂训练：
一条直线经过点Ｐ（-１，３），倾斜角 45 求这条直线方程
y x4
数学运用
例２：已知直线 l 的斜率为k，与y轴的交点是点P（0，b)， 求直线 l 的方程。
解：由直线的点斜式方程，得：
y 3 3 x
y
3x
33
数学运用
例4：求过点A（1，2)且与两坐标轴组成一等腰直角三角形 的直线方程。
x y 1 0或 x y 1 0
课堂小结
问题5: 斜截式与点斜式存在什么关系？
斜截式是点斜式的特殊情况，有时比点斜式更方便
问题6: 斜截式 y kx b 在形式上与一次函数 的表达式一样，他们之间有什么差别？
只有当k≠0时，斜截式方程才是一次函数的表达式
问题7: 斜截式y 什么？
kx b 中，k、b的几何意义是
K为直线的斜率，b是直线y轴上的截距
当堂反馈
1.写出下列直线的点斜式方程 y 1 2 ( x 3) （1）经过点A（3，-1），斜率是 2 3 y 2 (x 2) （2）经过点B ( 2 , 2 ) ，倾斜角是30° 3 （3）经过点C（0，3），倾斜角是0° y 3 0 （4）经过点D（4，-2），倾斜角是120°y 2 3 ( x 4 ) 2.填空题 (1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直线的斜率为 1 ___________,倾斜角为_____________ 45°