清华大学结构力学第5章影响线103

（ 1）支座反力的影响线 以整体为分析对象，知影响 线与建支梁相同。
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（2）MC的影响线 FP=1作用在C点右边， MC=FRA*d FP=1作用在C点左边， MC=FRB*3d 作法与简支梁相同。
（3）MD的影响线 FP=1作用在C点右边， MD=FRA*3d/2 FP=1作用在E点左边， MD=FRB*5d/2
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FP1 FP2 FP3 FP4
a1 a2 a3 a4
q b
在移动载荷作用下，结构任意截面的内力（M 、 FQ 、 FN）和位移（△、θ）及支座反力均随移动 荷 载 在 结 构 上 的 位 臵 变 化 而 变 化 。
1）对于给定截面C，其位移或内力（例如Mc） 当给定的移动荷载在什么位臵时得到最大值？该问 题是求移动荷载的最不利位臵问题。
6．竖杆轴力 FNdD
的影响线
假设单位荷载沿下弦移动（下承桁架），dD永远为零杆。 荷载沿桁架上弦移动（上承桁架），由d平衡得： • 当FP=1在结点d时， FNdD 1
• 当FP=1在其它结点时， FNdD
0
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由于结点之间是直线，因此影响线 FNdD 为三角形。
注意：作桁架影响线时，应注意桁架是下弦承载还是上弦承载。
当FP=1在CE段时，取DC段作隔离体(图b)：
M 0 F 0
C y
M C FRA a (a x l d ) FQC FRA (a x l d )
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MC及FQC影响线如下图示：
ab l
bd l
d l
b l
ad l MC影响线
a l
d l
FQC影响线
3. 作FQA右及A左截面内力影响线
P b (3) 虚位移几何关系： P a X
FX X FP P 0
(4) 计算未知力：
FX FP P
b FP a
可以虚设单位位移 δX=1：
FX 1 FP P 0
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几点总结： 1. 虚功方程形式上是功的方程，实际上就是平衡方程； 2. 虚位移是人为虚设的，为了方便, 可以随意虚设 δX=1。显然，虚位移和实际 力系独立无关； 3. 求解时的一个重要步骤是得出位移之间的几何关系，由此得出力系之间的静 力平衡关系。因此虚功原理求解问题的特点是用几何方法求解静力平衡问题。
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d l
l
FQA右影响线
d l
容易求得FQA左及MA左影响线见下图。 d 1
MA左影响线 FQA左影响线
小结： 伸臂梁简支段AB某截面弯矩和剪力的 影响线在AB段与简支梁相同，伸臂段图形则是 简支段图形的延伸。
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§5-3 结点载荷作用下梁的影响线
桥梁结构：荷载 纵梁 横梁 主梁， 主梁承受结点荷载。
时B点需施加的力FX，已知杆各段长为a。 解：（1）建立虚功方程 FX X FP P 0 （2）建立位移之间的几何关系 取杆ACE的转角dθ为位移参数。由图可知：
例 图示机构F点作用载荷FP，求机构平衡
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（3）求未知力 将位移几何关系代入虚功方程得
2. 应用虚功原理求静定结构约束力 – 单位支座位移法
l
lx FRA l
(0 x l )
FRA 与移动荷载位臵
上式是反力影响系数
参数x之间的函数关系，该函数图形就称为
反力 FRA的影响线，见上页图b)。 在影响线图形中，横坐标x表示单位移动 荷载在梁上的位臵；纵坐标y表示当单位荷 载在该位臵时，影响系数 FRA 的大小。
6
若梁上作用有固定荷载（图c），则根据叠
4
现讨论图a)所示简支梁，当单个荷载FP=1在 梁上移动时，支座A的反力FRA的变化规律。
x
a) A FRA y y 1
FP=1
B
l
b)
y1
y2
FRA影响线
x
lx M B 0 FRA l FP (0 x l )
5
由上式可见，FRA与FP成正比，比例系数 lx 称为FRA的影响系数，用 FRA 表示，即：
a
Mc影响线
b
12
l
b l
a l
l
FQC影响线
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下面讨论影响线与内力图的区别。
A
x
FP=1
B
b
A a C
l
FP=1
B
b
a
ab l
C
l
a F 影响线 QC l 影响线
b l
MC影响线
ab l b
M图
a l
l
FQ图
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内力图
1）横坐标x：影响线图中，x是移动荷载的位臵； 内力图中，x是梁截面位臵。 2）纵坐标y：影响线图中，y是当FP=1在该位臵 时影响系数的值；内力图中，y是梁该截面的
F
y
0
FybC FRA
•单位荷载在B点以左时，考虑I-I截面以右部分平衡，得
FybC FRG
• 单位荷载在BC之间时，影响线为直线。 0 利用相应梁节间BC剪力 FQBC ，可将以上概括为一个式子： 0 FybC FQBC
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5．竖杆轴力 FNcC 的影响线 求 FNcC 作截面II-II，利用投影方程 Fy 0 0 0 FQCD 列出下列式子： NcC FQCD F 。可利用相应梁节间CD的剪力 ，将节间剪力影响线反号。
三、伸臂梁的影响线
作伸臂梁的影响线时，先画出简支梁的影 响线，然后延伸至悬臂段。 1. 支座反力影响线
MB 0
FRA lx l
x FP=1
MA 0
FRB x l
D
d l
A a
l
B
C
E
d
b
d x l d
FRA及FRB的影响 线如右图示。
d 1 l
d l
FRA影响线
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M 0 F 0
C y
M C FRB b FQC FRB
当FP=1在CB段，取AC段作隔离体： MC
A
C
FRA
a
M C FRA a FQC FRA
FQC
(a x l ) (a x l )
M 0 F 0
C y
截面C弯矩和剪力影响线如下图示。
ab l
1. 支座反力影响线
M
B
0
lx FRA l
(0 x l )
(0 x l )
10
M
A
0
x FRB l
1 1
FRA影响线 FRB影响线
2. 弯矩和剪力影响线 当FP=1在AC段，取CB段作隔离体：
C
MC
b
B
FQC
FRB
(0 x a ) (0 x a )
(3) 列虚功方程求未知力. 得 FX X 1 + FP1 X δ1 + FP2 X δ2 = 0 求得 FX = 3/4 FP
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例:
求简支梁截面C点弯矩MC.
解: (1) 撤除与弯矩MC对应的约束, 即 将截面C由刚接转为铰接, 则MC 转化为 主动力, 此时体系成为一个机构.
(2) 假设新体系的虚位移(符合约束条件), 设C点竖向位移为 ΔC. 则AC和BC段转角 分别为 α= ΔC /a, β= ΔC /b
做功双方彼此独立无关(虚 ) 理想约束：其约束力在可能位移上所作的功恒等于零的那种约
束（光滑铰接与刚性链杆）。刚体视为刚性链杆相连的具有理 30 想约束质点系，因此内力做功为零。
虚位移原理（虚设位移、求未知力） 虚力原理 （虚设力系，求位移） 已知FP，求杠杆平衡时A需加的FX， (1) 虚设位移： (2) 列虚功方程：
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§5-5 机动法作影响线
一、刚体体系的虚功原理 1. 虚功原理
刚体体系的虚功原理：
对于具有理想约束的刚体体系，设体系上作用任意的平衡 力系，又设体系发生符合约束条件的无限小刚体体系位移， 则主动力在位移上所作的虚功总和恒等于零。
两个状态： 1.体系上作用的任意平衡力系，简称平衡力系； 2.体系发生的符合约束条件的无限小刚体体系位移，简称可能位移。
结构在移动荷载作用下，主要讨论下述问题：
3
2）对于给定的移动荷载组，简支梁AB上哪 个截面的弯矩当移动荷载在什么位臵时取得最 大值？该问题是简支梁绝对最大弯矩的求解问 题。 此外，还要讨论简支梁和连续梁的内力包络 图的画法等问题。
为求解以上问题，首先要讨论结构影响线的 求解。实际移动荷载是由若干集中力及均布荷 载组成的，而且每个集中力的大小也不同。但 我们首先要讨论的是具有共性的问题，即单个 移动荷载FP=1在结构上移动时结构内力和位移 的变化规律。
已知FP，求A点支 座反力FX
撤除支座A, 将结构转换 为机构, 以应用虚功原理 (设定符合约束条件的刚 体位移)
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例: 求C点 支座反力FX, 设载荷FP1和 FP2均为FP
解: (1) 撤除支座C, 将支座反力FX转化 为主动力, 此时体系成为一个机构.
(2) 假设新体系的虚位移(符合约束条件), 并设沿FX方向位移为 δX=1. 根据几何 关系求FP1和FP2分别对应的位移: δ1=-3/2, δ2=3/4
FP=1作用在CE段，则 MD=FRA*3d/2 – (d-x)/2 线性函数,连接CE两点.
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两点结论： 结点荷载下，结构影响线在相邻两结点之间为一直线； 先作直接荷载下影响线，用直线连接相邻两结点竖距， 即得结点荷载作用下的影响线 （4）FQCE的影响线 CE段剪力相等，故写为FQCE，具体作法同上。
Z FP Z Z Z FP
Z 与Z 的量纲不同，它们相差一个荷载FP的量 纲。
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§5-2 静力法作简支梁影响线
一、内力和支座反力的正负号
梁弯矩M的正负号：
剪力FQ的正负号：
轴力FN的正负号： 竖向反力通常以向上为正，向下为负。
9
二、简支梁的影响线
静力法作影响线： 用静力平衡方程求出 Z的函数关系，然后 x 画出函数图形就求得了影响线 。 FP=1 x C A B a b l FRA FRB
(3) 列虚功方程求未知力. 得 MC * (α+β) - M * α = 0 求得 MC =M*b/l
内力值。
3）荷载位臵：求影响线时，FP=1是移动荷载；
内力图中，荷载位臵固定。
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l
b l
a l
l
FQC影响线
b 在FQC影响线图中，竖标 是当FP=1作用 l 于C截面时，FQC左的值；竖标 a 则是FQC右的 l
值，如图所示。
A
b l
FP=1 B C
FQC左=b/l
FQC右= -wk.baidu.com/l
a l
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第五章 影响线
§5-1 移动载荷和影响线的基本概念
§5-2 静力法作简支梁影响线 §5-3 结点载荷作用下梁的影响线 §5-4 静力法作桁架的影响线 §5-5 机动法作影响线 §5-6 影响线的应用
§5-7 铁路、公路的标准载荷制和换算载荷
1
§5-1 移动载荷和影响线的基本概念
一、 移动荷载
荷载的大小 、方向一定，但荷载位臵连续变 化的荷载就称为移动荷载。 例如：吊车在吊车梁上运行时，其轮压对吊 车梁而言是移动荷载。又如汽车、火车在桥梁 上行驶时，其轮压对桥梁来说也是移动荷载。 汽车或火车轮压产生的移动荷载的特点是： 一组竖向集中力（可包括均布荷载），各集中 力的大小、方向固定，相互间的位臵也固定， 作为整体在结构上移动。
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§5-4 静力法作桁架的影响线
桁架通常承受结点荷载， 利用结点荷载作用下影响 线作法。 截面法和结点法
1．FRA和FRB的影响线 同简支梁。
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2．上弦杆轴力FNbc的影响线
即
，顶点竖距为
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3．下弦杆FNCD的影响线
，得
结果为
，与上相反。
4．斜杆bC轴力的竖向分力的影响线 分三段考虑： •单位荷载在C点以右时，考虑I-I截面以左部分平衡，由投影方程
d l
l
FRB影响线
d 1 l
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2. C截面弯矩及剪力影响线 当FP=1在DC段时，取CE段作隔离体(图a)： C
FQC
MC
b
B
d
E
D d
A
FRA
MC
C
FQC
a b)
a)
FRB
C
M 0 F 0
y
M C FRB b (d x a ) FQC FRB ( d x a)
先作FQA右影响线。
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当FP=1在DA段，取AE段作隔离体（图a)： A右
M A右
l
M A右
B
d
E
D
d
A右
FQA 右
a)
FRB
b)
FRA
FQA右
FQA右 FRB
d x 0
(0 x l d )
当FP=1在AE段，取DA段作隔离体（图b)：
FQA右 FRA
FQA右影响线如下图示。
加原理，A支座的反力FRA为：
FRA FP1 y1 FP 2 y2
y b)
y 1 y1 y2 FP1 FP2
FRA影响线
x
c)
A
B
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二、 影响线定义
当单位集中移动荷载FP=1在结构上移动时， 表示结构指定截面的某量值Z变化规律的曲线， 称为Z的影响线。 量值Z可以是截面内力或位移，也可以是支座 反力。 影响系数 Z 是Z与FP的比例系数，即：