20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.3 证明(原卷版)

11.3 证明一．直接证明(1)定义：直接从原命题的条件逐步推得命题成立的证明方法． (2)一般形式⎭⎪⎬⎪⎫本题条件已知定义已知公理已知定理⇒A ⇒B ⇒C ⇒…⇒本题结论．(3)综合法①定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止．这种证明方法常称为综合法． ②推证过程已知条件⇒…⇒…⇒结论 (4)分析法①定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． ②推证过程结论⇐…⇐…⇐已知条件 二．间接证明(1)常用的间接证明方法有反证法、同一法等． (2)反证法的基本步骤①反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真．②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果．【套路秘籍】---千里之行始于足下③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立．考向一综合法【例1】已知π3A B+=，且()πA B k k≠∈Z，，求证：()()13tan13tan4A B++=.【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始【举一反三】1．已知函数f(x)=(xa−a)lnx(a>0).（1）若函数f(x)在[1,+∞)上是增函数，求正数a的取值范围；（2）当a≠1时，设函数f(x)的图象与x轴的交点为A，B，曲线y=f(x)在A，B两点处的切线斜率分别为k1，k2，求证：k1+k2<0.2．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg a＋b2＋lgb＋c2＋lgc＋a2>lg a＋lg b＋lg c.考向二 分析法【例2】11．已知0a >，0b >，且1a b +=，试用分析法证明不等式11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【举一反三】1．（1）已知a >0，b >0，用分析法证明：a√b+b √a≥√a +√b ；（2）已知a >0，用分析法证明：√a 2+1a 2−√2≥a +1a−2．考向三 反证法【例3】设,,x y z ∈R ，且222a x y π=-+，223b y z π=-+，226c z x π=-+，用反证法证明：,,a b c 至少有一个大于0。

【举一反三】1．（1）已知221,,2,12x a x b x c x x ∈=+=-=-+R ，试用反证法证明：,,a b c 中至少有一个不小于1；（2）已知实数a ，b ，c ，d 满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．考向四 数学归纳法【例4-1】用数学归纳法证明：12×4＋14×6＋16×8＋…＋12n (2n ＋2)＝n 4(n ＋1)(n ∈N *)．【套路总结】应用反证法证明数学命题，一般有以下几个步骤： 第一步：分清命题“p ⇒q ”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q 相反的假设綈q ；【例4-2】用数学归纳法证明不等式：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2>1(n ∈N *且n >1)．【举一反三】1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋...＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)(n ∈N *)．【套路总结】1．由一系列有限的特殊现象得出一般性的结论的推理方法，通常叫做归纳法． 2．用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题时，其步骤如下： (1)归纳奠基：证明取第一个自然数n 0时命题成立；2.求证：对一切正整数n,42n ＋1＋3n ＋2都能被13整除．1．用反证法证明命题：“,,,a b c d R ∈，1a b +=，1c d +=，且1ac bd +>，则,,a b c d ,中至少有一个负数”时的假设为 A ．,,a b c d ,全都大于等于0B ．,,a b c d ,全为正数【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行C ．,,a b c d ,中至少有一个正数D ．,,a b c d ,中至多有一个负数2．利用反证法证明：若0x y +=，则0x y ==，假设为( )A ．,x y 都不为0B ．,x y 不都为0C ．,x y 都不为0，且x y ≠D ．,x y 至少有一个为03．用数学归纳法证明“52n n -能被3整除”的第二步中，1n k =+时，为了使用假设，应将1152k k ++-变形为（ ） A ．()55232k kk-+⨯B ．()52452k kkk -+⨯-C ．()()5252kk--D ．()25235kkk--⨯4．用数学归纳法证明命题“3(1)(1)22n n n n n +++++=”时,在作归纳假设后,需要证明当1n k =+时命题成立,即需证明 ( )A ．3(1)(2)(1)2(1)2k k k k k +++++++=B ．3(1)(2)1(2)2(1)2k k k k k ++++++++=C ．3(1)(1)2(1)2k k k k k ++++++=D ．3(1)1(2)2(1)2k k k k k +++++++=5．数学归纳法证明1n+1+1n+2+⋯+1n+n>12(n >1,n ∈N ∗)，过程中由n =k 到n =k +1时，左边增加的代数式为（ ）A ．12k+2 B ．12k+1 C ．12k+1+12k+2D ．12k+1－12k+26．（1）求证67225++＞．（2）设x ，y 都是正数，且x+y ＞2证明：12x y +＜和12yx+＜中至少有一个成立．7．计算：210.414-≈，320.318-≈；所以2132->-；又计算：520.236-≈，650.213-≈，760.196-≈；所以5265->-，6576->-．（1）分析以上结论，试写出一个一般性的命题；（2）判断该命题的真假。

若为真，请用分析法给出证明；若为假，请说明理由．8．已知0a b >>，求证： （1）322a b ab a b ++>++；（2）1212a a b b +-+>+-+.9（1）用分析法证明7632-<-；（2）已知a b ，为正实数，请用反证法证明：1a b +与1b a+中至少有一个不小于2．10．（1）已知a ，b 都是正数，并且a b ，求证：552332a b a b a b +>+；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y =>，求证：12x y +<与12y x+<中至少有一个成立.11．已知函数()2f x ax bx c =++及函数g （x ）＝﹣bx （a ，b ，c ∈R ），若a ＞b ＞c 且a+b+c ＝0． （1）证明：f （x ）的图象与g （x ）的图象一定有两个交点；（2）请用反证法证明：122ca --＜＜；12．已知1111,,,,,112123123n +++++++，其前n 项和为n S .（1）计算1234,,,S S S S ；（2）猜想n S 的表达式，并用数学归纳法进行证明.13．已知数列{}n a 满足11a =，21122n n n n n a a a -+=-+．(Ⅰ)求234,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式并用数学归纳法证明；(Ⅱ)令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .14．已知数列{}n a ，123111,,, (1447710)a a a ===⨯⨯⨯且n S 为该数列的前n 项和. （1）写出数列{}n a 的通项公式；（2）计算123,,S S S ，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明；（3）求数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围.15．已知()*1111()111114732f n n N n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()*3()31g n n n N =+∈. （1）当1,2,3n =时，分别比较(n)f 与()g n 的大小（直接给出结论）；（2）由（1）猜想(n)f 与()g n 的大小关系，并证明你的结论.16（1）用数学归纳法证明：(3)(4)(13(223))n n n n +++++++=∈*N ； （2）已知0a >，0b >，且2a b +>，求证：1b a +和1a b+中至少有一个小于2．17．（1）用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n(2n －1)(2n ＋1)(n ∈N *)．（2）命题P ：对于任意实数x 都有210ax ax ++>恒成立；命题Q ：关于x 的方程2-0x x a +=有实数根；若命题P Q ∧为假命题，且命题P Q ∨为真命题， 求实数a 的取值范围．17．选择适当的证明方法证明下列问题（1）设{}n a 是公比为q 的等比数列且1q ≠，证明数列{1}n a +不是等比数列.（2）设i 为虚数单位，n 为正整数，[0,2)θπ∈，证明：()cos sin cos sin ni n i n θθθθ+=+.。