离散型随机变量的方差

2.3.2离散型随机变量的方差
教材分析
本节课是数学选修2-3 第二章 随机变量及其分布 第三节的第二小节，这节课内容是离散型随机变量的方差，反映了随机变量与其均值的平均偏离程度，从而更进一步的研究随机变量的现象．解决一些简单的实际问题，揭示了离散型随机变量的统计规律．离散型随机变量的方差作为概率与统计的桥梁与纽带，它既是概率的延伸，也是学习统计学的理论基础，能起到承上启下的作用，是本章的关键知识之一．在本章教学中除了进一步体会概率模型的作用及其运用概率思想思考和解决问题的特点之外，还要培养学生悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值. 充分发挥学生的形象思维、和逻辑思维. 即把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中地形式呈现出来，使学生更加明确.
课时分配
本节内容用1课时的时间完成，主要讲解如何利用离散型随机变量的方差来解决实际问题.
教学目标
重点: 理解离散型随机变量的方差和标准差的含义.
难点：会求离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题. 知识点：离散型随机变量的方差及其有关公式. 能力点：正确理解离散型随机变量的方差的含义.
教育点：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值. 自主探究点：如何正确推导方差的第二公式与二项分布的方差公式. 考试点：离散型随机变量的方差及其有关公式、性质. 易错易混点：注意区分()E aX b +与()D aX b +的公式. 拓展点：学生自己分析错误的原因.
教具准备 多媒体课件 课堂模式 学案导学 一、引入新课
某市有一项比赛要一人去派．现有甲、乙两位射手，甲射手击中环数用X 表示，乙用Y 表示， 分布如下：
如何比较甲、乙两位射手的射击水平？ 生：算他们命中的平均水平（均值）
甲射手：()80.290.6100.29E X =⨯+⨯+⨯=（环） 乙射手：()80.390.4100.39E Y =⨯+⨯+⨯=（环）.
师：通过计算，发现两个均值相等，因此只根据均值不能区分这两位射手. 生：那如何确定？
师：看看命中的环数与其平均环数()E X 偏差的绝对值哪个小？越小，越集中于()E X 附近，就越稳定． 师：然而在实际中偏差带有绝对值，在数学上运算不方便，因而，通常用2(())E X E X -来表达随机 变量X 取值的离散程度． 据此分析，我们可算得：
2222(())(89)0.2(99)0.6(109)0.20.4E X E X -=-⨯+-⨯+-⨯= 2222(())(89)0.3(99)0.4(109)0.30.6E Y E Y -=-⨯+-⨯+-⨯=
所以2(())E X E X -2(())E Y E Y <-.
表明甲射击水平更稳定一些，多数得分在9环的，而乙得分比较分散，近似平均分布在8－10环. 【设计意图】本题X 和Y 所有可能取值一致，只是概率分布情况不同．这时()()9E X E Y ==，就通过
2(())0.4E X E X -=和2(())0.6E Y E Y -=来比较X 和Y 的离散程度，即两名射手成绩的稳定情况.
二、探究新知
1、方差的定义：
设离散型随机变量X 的分布列为：
则2
(())i x E X -描述了(1,2,)i x i n = 相对于均值()E X 的偏离程度，而2
1()(())n
i i i D X x E X p ==
-∑ 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值()E X 的平均偏离程度。

我们称()D X 为随机
变量X 的方差X 的标准差. 2、离散型随机变量X 方差的计算： （1）利用定义计算2
1
()(())
n
i
i i D X x E X p ==-∑； （2）22()()()D X E X E X =-.
3、方差的性质：
（1）2
()()D aX b a D X +=； （2）若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =-；
（3）若(,)X B n p ，则()(1)D X np p =-.
【设计意图】把问题2（2）和3留给学生，让其自主探究，充分调动他们的学习积极性.
三、理解新知
1、方差的意义：随机变量X 方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量X 偏离于均值的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，
即越集中于均值，以()E X 作为随机变量的代表性越好.标准差与随机变量本身单位相同，所以在实际问题中应用更广泛.
2、求离散型随机变量的方差常分为以下三步：
（1）列出随机变量的分布列（2）求出随机变量的均值（3）求出随机变量的方差. 3、方差的公式：
（1）一般的方差：①2
1
()(())
n
i
i i D X x E X p ==
-∑；②22()()()D X E X E X =- .
（2）特殊的方差：①若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =-；
②若(,)X B n p ，则()(1)D X np p =-.
【设计意图】培养学生的归纳概括能力，使学生对所学的知识有一个整体的认识.
四、运用新知
例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差.
X 从而
111111
()123456 3.5666666
E X =⨯+⨯+⨯
+⨯+⨯+⨯=
2222221111
()(1 3.5)(2 3.5)(3 3.5)(4 3.5)6666
11
(5 3.5)(6 3.5) 2.92
66
D X =-⨯+
-⨯+-⨯+-⨯
+-⨯+-⨯≈
1.71≈.
【设计意图】求离散型随机变量的方差常分为以下三步：
（1）列出随机变量的分布列（2）求出随机变量的均值（3）求出随机变量的方差.
变式训练：
1、若随机变量X 的分布如下表所示：求方差()D X ．
解：因为()0(1)1E X p p p =⨯-+⨯=，所以
22()(0)(1)(1)(1)D X p p p p p p =--+-=-，
=注：若X 服从两点分布，则()()1D X p p =-
例2
根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？
解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得
1()12000.4 + 14000.3 + 16000.2 + 18000.1 =1400 E X =⨯⨯⨯⨯
2212
2
()(1200-1400) 0. 4 + (1400-1400 ) 0.3+ (1600 -1400 )0.2+(1800-1400) 0. 1= 40 000
D X =⨯⨯⨯⨯
2()10000.4 +14000.3 + 18000.2 + 22000.1 = 1400E X =⨯⨯⨯⨯
2222
2
()(1000-1400)0. 4+(1400-1400)0.3 + (1800-1400)0.2 + (2200-1400 )0.l = 160000
D X =⨯⨯⨯⨯
因为1()E X 2()E X =，1()D X 2()D X <，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位.
【设计意图】离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平,而方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.因此在实际决策问题中,需先运算均值,看一下谁的平均水平高,然后再计算方差,分析一下谁的水平发挥相对稳定,当然不同的模型要求不同,应视情况而定.
变式训练：
2、甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 和Y , 且X Y (1)求,a b 的值；(2)计算X ,Y 的数学期望与方差,并以此分析甲、乙的技术状况.
答案： 1. (1)=0.3a ， =0.4b (2) () 2.3E X =，()2E Y =；()0.81D X =，()0.6D Y =； 由于()()E X E Y >，说明在一次射击中
,甲的平均得分比乙高，但()()D X D Y >，说明甲得分的稳定
性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势和劣势.
五、课堂小结
教师提问：
本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 1、离散型随机变量的方差定义．
2、求离散型随机变量的方差、标准差的步骤：
（1）列出随机变量的分布列；（2）求出随机变量的均值；（3）求出随机变量的方差、标准差. 3、特殊离散型随机变量的方差，可直接利用公式计算：
（1）若X 服从两点分布，则()(1)D X p p =-；（2）若(,)X B n p ，则()(1)D X np p =-. 4、方差的实际应用
对于两个随机变量1X 和2X ，在1()E X 和2()E X 相等或很接近时，比较1()D X 和2()D X ，可以
确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要．
教师总结:只有在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,才能更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．
六、布置作业
1．阅读教材P64—67； 2.书面作业
必做题： P68 练习1、2 习题2.3 A 组1、5 选做题：
1X
且已知()2E X =，()0.5D X = 求：(1)1p ，2p ，3p ；(2) (12)P X -<<.
2. A 、B 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表所示：
A 机床
B 机床
问哪一台机床加工质量较好？ 选做题答案：1．(1)114p =
，212p =，314p =；(2) 1(12)4
P X -<<=. 2. 因为1()E X 2()0.44E X ==，1()=0.6064D X ，2()0.9264D X =. 所以1()D X 2()D X <，故A 机床加工较稳定、质量较好.
3．课外思考：(1) 方差公式2
2
()()()D X E X E X =- 如何演变来的？
(2)若(,)X B n p ，如何推导()(1)D X np p =-呢？
【设计意图】设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯．书面作业的布置，是为了让学生能够运用离散型随机变量的方差公式，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生理解公式之间的联系，培养学生用整体的观点看问题，起到承上启下的作用．
七、教后反思
本教案的引入是个亮点.在引例的教学中，通过实例向学生介绍离散型随机变量方差的概念，从而给出方差的定义以及常用公式及其有关性质．在例1的教学中，要注重强调求离散型随机变量的方差的三个部分，要求学生熟练掌握．另外，特殊离散型随机变量的方差，可直接利用公式计算，注意把握分寸．
八、板书设计。