① 排列与组合知识研习
高三数学排列和组合知识点
高三数学排列和组合知识点数学作为一门理科学科，其中的排列和组合是高三学生必须掌握的重要知识点。
本文将为大家详细介绍高三数学排列和组合的知识，并提供一些相关例题和解析，帮助大家理解和掌握这一知识点。
一、排列的概念和性质排列是从给定的对象中选出一部分进行有序排列的方式，每个对象只能使用一次。
在排列中，对象的顺序是重要的。
下面是排列的一些基本概念和性质：1. 排列的定义：从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，称为从n个对象中取出m个的排列，记作P(n,m)。
2. 排列的计算公式：P(n,m) = n!/(n-m)!3. 重要性质一：对于任意正整数n，有P(n,n) = n!，即n个不同的对象全排列的总数为n的阶乘。
排列数为1。
5. 重要性质三：P(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行排列的方式数为n。
二、组合的概念和性质组合是从给定的对象中选出一部分进行无序组合的方式，每个对象只能使用一次。
在组合中，对象的顺序不重要。
下面是组合的一些基本概念和性质：1. 组合的定义：从n个不同的对象中取出m个进行无序组合，称为从n个对象中取出m个的组合，记作C(n,m)。
2. 组合的计算公式：C(n,m) = n!/[(n-m)!*m!]3. 重要性质一：对于任意正整数n，有C(n,n) = 1，即n个不同的对象全组合的总数为1。
组合数为1。
5. 重要性质三：C(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行组合的方式数为n。
三、排列与组合的应用排列和组合在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。
下面是一些常见的应用领域：1. 排列的应用：排列在一些需要考虑顺序的情况下很有用，比如密码的穷举破解和赛车比赛的计算等。
2. 组合的应用：组合在一些不考虑顺序的情况下很有用，比如从一组物品中选取特定数量的搭配问题和抽奖活动中奖的计算等。
四、例题和解析下面是一些与排列和组合相关的例题和解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点：例题一：有6个人参加足球比赛，其中3人是A队的球员，3人是B队的球员。
高考数学排列与组合知识点
高考数学排列与组合知识点在高考数学中，排列与组合是一个重要的知识点。
它涉及到集合中元素的选择和排列方式，充满了逻辑思维和计算技巧。
掌握好这个知识点对于高考数学的考试是至关重要的。
下面我将从几个重要方面介绍排列与组合的基础知识和解题技巧。
一、基本概念1. 排列：排列是指从给定的元素集合中选择一部分元素，按照一定的顺序排列起来。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行排列，那么排列的数目用P(n, m)表示，其计算公式为：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，"!"表示阶乘运算，即n! = n(n-1)(n-2)...1。
2. 组合：组合是指从给定的元素集合中选择一部分元素，不考虑顺序的方式。
如果从n个不同元素中选取m个元素进行组合，那么组合的数目用C(n, m)表示，其计算公式为：C(n, m) = n! / [(n-m)! * m!]二、排列与组合的性质和定理1. 重复排列：当元素中有重复的情况时，排列的计算公式需要进行相应的修正。
假设有n个元素中有r1个元素相同，r2个元素相同......ri个元素相同，排列的数目可以通过以下公式计算：P(n, m) = n! / (r1! * r2! * ... * ri! * (n-m)!)2. 求整数解的排列：当要求整数解的排列时，我们可以使用分别代表每个数位的元素进行排列的方法。
比如，要求x、y、z三个整数之和为10，且满足x>0，y>0，z>0，我们可以将它们看作是从[1, 10]的元素集合中选取的排列。
3. 禁忌排列：禁忌排列是指排列中出现某些特殊情况需要剔除的情况。
比如，要求三个不同字母A、B、C排列成3位数，且BC不得出现，那么我们可以通过计算总的排列数减去BC出现的排列数得到最终的结果。
三、解题技巧1. 确定问题类型：在解决排列与组合问题时，首先需要明确题目中给出的要求是排列还是组合。
排列要考虑元素顺序，组合则不考虑。
排列与组合的基本概念知识点总结
排列与组合的基本概念知识点总结在数学中，排列与组合是一种常见且重要的概念，用于解决计数问题。
它们在组合数学、概率论、统计学等领域有着广泛的应用。
本文将对排列与组合的基本概念进行总结。
一、排列排列是指从给定的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
常用的符号表示为P。
排列根据是否考虑顺序的不同又可分为两类：有重复排列和无重复排列。
1. 无重复排列无重复排列是指从不同的对象中选取一部分对象，按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个不同的对象，如果要选取r个对象进行排列，则无重复排列数记为P(n, r)。
其计算公式为：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 3 × 2 × 1。
2. 有重复排列有重复排列是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，并按照一定的顺序进行排列的过程。
对于n个对象中，其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行排列的过程，有重复排列数记为P(n; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：P(n; p1, p2, ..., pk) = n! / (p1! × p2! × ... × pk!)二、组合组合是指从给定的对象中选取一部分对象，不考虑顺序进行组合的过程。
常用的符号表示为C。
组合根据是否考虑选取对象的不同又可分为两类：有重复组合和无重复组合。
1. 无重复组合无重复组合是指从n个不同的对象中选取r个对象进行组合的过程。
无重复组合数记为C(n, r)。
其计算公式为：C(n, r) = n! / (r! × (n - r)!)2. 有重复组合有重复组合是指从给定的对象中选取一部分对象，重复选取某些对象，不考虑顺序进行组合的过程。
其中p1个对象相同，p2个对象相同，……，pk个对象相同，选取r个对象进行组合的过程，有重复组合数记为C(n + r -1; p1, p2, ..., pk)，其计算公式为：C(n + r -1; p1, p2, ..., pk) = (n + r -1)! / (r! × p1! × p2! × ... × pk!)三、排列与组合的应用排列与组合在实际生活中有着广泛的应用。
排列与组合知识点复习
排列与组合基本知识点复习
1、排列、排列数的概念；排列数公式
2、组合、组合数的概念；组合数公式；组合数的性质
3、排列与组合的联系与区别
4、求排列数与组合数的常用方法和原则：
①注意方法：
相邻问题捆绑法；不相邻问题插空法；
多排问题单排法；定序问题倍缩法(先排后除)；
定位问题优先法（特殊优先）；有序问题分步法；
多元问题分类法；交叉问题集合法；
至少（多）问题间接法；选排问题先取后排法（先选后排）；
复杂问题转化法；局部与整体排除法.
②其他方法：
小集团先整体后局部；隔板法；平均分组和分派；不平均分组和分派；实际操作穷举法.。
排列与组合知识讲解
排列与组合知识讲解排列与组合是概率论中的一个重要概念，用于描述集合中元素的不同排列方式和组合方式。
在数学中，排列和组合是两种基本的计数方法，它们在解决概率和组合问题时起着至关重要的作用。
首先，让我们来了解一下排列和组合的概念。
排列是指从给定的元素集合中取出一部分元素，按照一定的顺序排列的方式。
而组合是指从给定的元素集合中取出一部分元素，不考虑元素的排列顺序。
简而言之，排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
接下来，让我们分别来看一下排列和组合的计算公式。
排列的计算公式为P(n, k) = n! / (n-k)!，其中n表示元素的总数，k表示取出的元素的个数。
组合的计算公式为C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n和k的含义同排列的计算公式。
举个例子来说明排列和组合的计算方法。
假设有5个不同的球，要从中选出3个球排成一列，这就是一个排列问题。
根据排列的计算公式，我们可以得到排列的结果为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 60。
也就是说，有60种不同的排列方式。
如果是组合问题，要从5个不同的球中选出3个球，不考虑排列顺序，这就是一个组合问题。
根据组合的计算公式，我们可以得到组合的结果为C(5, 3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10。
也就是说，有10种不同的组合方式。
排列和组合的应用非常广泛，特别是在概率论和组合数学中。
在解决排列和组合问题时，需要根据具体情况选择合适的计算方法，正确应用排列和组合的计算公式。
排列和组合的概念和计算方法，不仅在数学中有重要的意义，也在实际生活中有着广泛的应用，是我们理解和解决各种概率和组合问题的基础。
排列与组合知识点资料
排列与组合知识点资料一、排列的重点名词术语1、什么是排列？排列就是从指定数量的元素中取出确定个数的元素进行有序的排列。
2、什么是全排列？它的定义是，把n个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做n个不同元素的全排列。
它的计算公式是:pⅴn]=n(n-1)(n-2)…3.2.1注意:右边是前个n个自然数的连乘积，用符号n！表示，读作n 的阶乘。
公式(P)可以写成Pⅴn]=n！例如计算:Pv5解:Pv5]=1ⅹ2x3x4ⅹ5=120由此我们总结出阶乘的定义:自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用符号n！表示。
3、什么叫做选排列？它的定义是:从m个不同的元素中，每次取出n(n<m)个不同的元素，按着一定的顺序排成一列叫做从m个不同的元素中每次取n个不同元素的选排列。
注意:所有不同的选排列的种数用符号Avm.n表示例如Av3.6]=6，注意它的操作法则mn都是正整数，且m>n它的计算公式:Aⅴm.n]=m(m-1)(m-2)…(m-n+1)应用阶乘符号:公式A可以写成:Aⅴm.n]=m！/(m-n)！计算Av7.4]=7x6ⅹ5ⅹ4=840二、组合的重点名词述语1、什么是组合？组合是从给定的数量中取出确定个数的元素进行组合，但是不用考虑它的排序。
它的计算公式Avm.n]=(Cvm.n)(pvn)计算组合种数的公式:Cvm.n]=m！/n！(m-n)！计算组合数:Cv15.2]=15x14/1x2)=1052、重点提示操作法则(1)、按公式当n=m时Cvm.m]=m！/m！0！因为Cvm.m]=1，为了使公式当n=m时也成立，所以我们规定:0！=1。
(2)、当n=0时，按公式Cm.0]=m！/0！m！]=1因此规定:Cvm.0]=1三、几个重点名词述语1、排列组合是研究什么问题的？排列组合的中心问题，是研究给定要求的排列与组合，可能出现的总数。
另外排列组合与古典概率有密切的关系。
2、排列组合的定理加法原理，乘法原理，这两个原理，如果是贯穿始终的法则与序无关是组合。
排列与组合知识总结及经典例题OK
排列与组合1.排列与排列数“排列”的定义包含两个基本内容: 一是“取出元素；二是“按一定的书序排列。
“排列数”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个数”, 它是所有排列的个数, 是一个数值。
)1()2)(1(+---=m n n n n A m n 或)!(!m n n A m n -= （其中m ≤n m,n ∈Z ） 全排列、阶乘的意义；规定 0!=12.组合与组合数“一个组合”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素合成一组”, 它是一件事情, 不是一个数；（隐含n ≥m ）“组合数”是指“从n 个不同元素中取出m 个元素的所有组合的个数”, 它是一个数值。
基本公式: 或)!(!!m n m n C mn -=),,(n m N m n ≤∈*且 组合数公式具有的两个性质: （1）常用的等式:（3）0132n n n n n n C C C C ++++= （由二项式定理知）证明: ∵又)!(!!m n m n C m n -=∴m n n m n C C -= )]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n)!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n)!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n)!1(!)!1(+-+=m n m nm n C 1+=∴ ＝ + .式（1）说明从n 个不同元素中取出m 个元素, 与从n 个不同元素中取出n-m 个元素是一一对应关系, 即“取出的”与“留下的”是一一对应关系；式（2）说明从a, b, c ……（n+1个元素）中取出m 个元素的组合数可以分为两类: 第一类含某个有元素（ ）, 第二类不含这个元素（ ）要解决的问题是排列问题还是组合问题, 关键是看是否与顺序有关排列问题的主要题型⑴ 有特殊元素或特殊位置的排列问题, 通常是先排特殊元素或特殊位置, 称为优先处理特殊元素（位置）法（优先法）；⑵ 某些元素要求必须相邻时, 可以先将这些元素看作一个元素, 与其他元素排列后, 再考虑相邻元素的内部排列, 这种方法称为“捆绑法”；⑶ 某些元素不相邻排列时, 可以先排其他元素, 再将这些不相邻元素插入空挡, 这种方法称为“插空法”；⑷ 在处理排列问题时, 一般可采用直接和间接两种思维形式, 从而寻求有效的解题途径, 这是学好排列问题的根基．第一部分1.⑴ 7位同学站成一排, 共有多少种不同的排法？⑵ 7位同学站成两排（前3后4）, 共有多少种不同的排法？ ⑶ 7位同学站成一排, 其中甲站在中间的位置, 共有多少种不同的排法？⑷7位同学站成一排, 甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？⑸7位同学站成一排, 甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？2.7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？⑵甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？⑶甲、乙两同学必须相邻, 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？3.7位同学站成一排.⑴甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？⑵甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？4.从10个不同的文艺节目中选6个编成一个节目单, 如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上, 则共有多少种不同的排法？5.⑴八个人排成前后两排, 每排四人, 其中甲、乙要排在前排, 丙要排在后排, 则共有多少种不同的排法？⑵不同的五种商品在货架上排成一排, 其中a, b两种商品必须排在一起, 而c, d两种商品不排在一起, 则不同的排法共有多少种？⑶6张同排连号的电影票, 分给3名教师与3名学生, 若要求师生相间而坐, 则不同的坐法有多少种？6.⑴由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字的正整数？⑵由数字1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字, 并且比13 000大的正整数？7、用1, 3, 6, 7, 8, 9组成无重复数字的四位数, 由小到大排列．⑴第114个数是多少？⑵ 3 796是第几个数？8、用0, 1, 2, 3, 4, 5组成无重复数字的四位数, 其中⑴能被25整除的数有多少个？⑵十位数字比个位数字大的有多少个？9、现有8名青年, 其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任）, 现在要从中挑选5名青年承担一项任务, 其中3名从事英语翻译工作, 2名从事德语翻译工作, 则有多少种不同的选法？10、甲、乙、丙三人值周, 从周一至周六, 每人值两天, 但甲不值周一, 乙不值周六, 问可以排出多少种不同的值周表？11.6本不同的书全部送给5人, 每人至少1本, 有多少种不同的送书方法？变题1: 6本不同的书全部送给5人, 有多少种不同的送书方法？变题2: 5本不同的书全部送给6人, 每人至多1本, 有多少种不同的送书方法？变题3: 5本相同的书全部送给6人, 每人至多1本, 有多少种不同的送书方法？12、6本不同的书, 按下列要求各有多少种不同的选法:⑴分给甲、乙、丙三人, 每人两本；⑵分为三份, 每份两本；⑶分为三份, 一份一本, 一份两本, 一份三本；⑷分给甲、乙、丙三人, 一人一本, 一人两本, 一人三本；⑸分给甲、乙、丙三人, 每人至少一本．13.身高互不相同的7名运动员站成一排, 甲、乙、丙三人自左向右从高到矮排列且互不相邻的排法有多少种？14.⑴四个不同的小球放入四个不同的盒中, 一共有多少种不同的放法？⑵四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空盒的放法有多少种？15、马路上有编号为1, 2, 3, …, 10的十盏路灯, 为节约用电又不影响照明, 可以把其中3盏灯关掉, 但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏, 在两端的灯都不能关掉的情况下, 有多少种不同的关灯方法？16.九张卡片分别写着数字0, 1, 2, …, 8, 从中取出三张排成一排组成一个三位数, 如果6可以当作9使用, 问可以组成多少个三位数？17、平均分组问题除法策略6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？18、重排问题求幂策略把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法19、排列组合混合问题先选后排策略有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.20、小集团问题先整体后局部策略用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, ５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？第二部分一. 选择题1.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检, 每校分配1名医生和2名护士, 不同分配方法共有（）（A）90种（B）180种（C）270种（D）540种2.从8盒不同的鲜花中选出4盆摆成一排, 其中甲、乙两盆不同时展出的摆法种数为（）A. 1320B. 960C. 600D. 3603.20个不加区别的小球放入编号为1号, 2号, 3号三个盒子中, 要求每个盒子内的球数不小于盒子的编号数, 则不同的放法总数是（）（A）760 （B）764 （C）120（D）914. 从10名女学生中选2名, 40名男生中选3名, 担任五种不同的职务, 规定女生不担任其中某种职务, 不同的分配方案有（）A. B. C. D.5．编号1, 2, 3, 4, 5, 6的六个球分别放入编号为1, 2, 3, 4, 5, 6的六个盒子中, 其中有且只有三个球的编号与盒子的编号一致的放法种数有（）A. 20B. 40C. 120D. 4806．如果一个三位正整数形如“”满足, 则称这样的三位数为凸数（如120、363.374等）, 那么所有凸数个数为（）A. 240B. 204C. 729D. 9207．有两排座位, 前排11个座位, 后排12个座位, 现安排2人就座, 规定前排中间的3个座位不能坐, 并且这2人不左右相邻, 那么不同排法的种数是( )A. 234B. 346C. 350D. 3638. 某校高二年级共有六个班级, 现从外地转入4名学生, 要安排到该年级的两个班级且每班安排2名, 则不同的安排方案种数( )A. B. C. D.9．4名教师分配到3所中学任教, 每所中学至少1名教师, 则不同的分配方案共有( )A. 12 种B. 24 种 C 36 种 D. 48 种10．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师, 派到3个班担任班主任（每班1位班主任）要求这3位班主任中男、女教师都要有, 则不同的选派方案共有A. 210种B. 420种C. 630种D. 840种11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种, 分别种在不同土质的三块土地上, 其中黄瓜必须种植, 不同的种植方法共有( )A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种12．用0、1.2.3.4这五个数字组成无重复数字的五位数, 其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的五位数的个数是（）A. 48B. 36C. 28D. 1213．已知集合A={1, 2, 3, 4}, B={5, 6}, 设映射, 使集合B中的元素在A中都有原象, 这样的映射个数共有（）A. 16B. 14C. 15D. 12 14．ABCD—A1B1C1D1是单位正方体, 黑白两个蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行, 每走完一条棱称为“走完一段”.白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→……, 黑蚂蚁爬行的路是AB→BB1→……, 它们都遵循如下规则: 所爬行的第段所在直线必须是异面直线（其中i是自然数）.设白、黑蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处, 这时黑、白两蚂蚁的距离是A. 1B.C.D. 015.5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为.. )A.480B.240C.120D.9616.从1, 2, 3, 4, 5, 6中任取3个数字组成无重复数字的三位数,其中若有1和3时,3必须排在1的前面,若只有1和3其中一个时,也应排在其它数字的前面,这样的不同三位数个数有( )A321144432A A C C++ B.311443A A C+ C.3612A+24A D.36A17.有7名同学站成一排照毕业照, 其中甲必须站在中间, 并且乙、丙两位同学要站在一起, 则不同的站法有( )（A）240 （B）192 （C）96 （D）48二. 填空题1. 五个不同的球放入四个不同的盒子, 每盒不空, 共有____ 种放法。
数学中的排列与组合知识点总结
数学中的排列与组合知识点总结在数学中，排列和组合是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，特别是在概率论、统计学和组合数学中。
本文将对排列和组合的概念、性质和应用进行总结。
一、排列的概念与性质排列是从一组元素中选取若干个元素按照一定的顺序进行排列。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行排列的方式记为P(n, m)。
排列的计算公式为：P(n, m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
排列的性质如下：1. 排列数P(n, m)满足如下关系：P(n, m) = P(n-1, m) + P(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有P(n, n) = n!，即n个元素的全排列数为n 的阶乘。
3. 当m>n时，P(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行排列。
4. 当m=0时，P(n, m) = 1，即不取任何元素进行排列时，排列数为1。
二、组合的概念与性质组合是从一组元素中选取若干个元素组成一个集合，而不考虑元素的顺序。
设有n个元素，则从中选取m个元素进行组合的方式记为C(n, m)。
组合的计算公式为：C(n, m) = n!/(m!(n-m)! )组合的性质如下：1. 组合数C(n, m)满足如下关系：C(n, m) = C(n-1, m) + C(n-1, m-1)2. 对于任意正整数n，有C(n, 0) = C(n, n) = 1，即不取任何元素或者取出全部元素的组合数为1。
3. 当m>n时，C(n, m) = 0，即不能取出超过给定元素总数的元素进行组合。
4. 组合数C(n, m)与排列数P(n, m)之间存在以下关系：C(n, m) = P(n, m)/m!三、排列与组合的应用1. 概率计算：排列和组合在概率计算中有广泛的应用。
探索小学数学中的排列与组合
探索小学数学中的排列与组合在小学数学中，排列与组合是一个重要的概念。
通过排列与组合，可以帮助学生培养逻辑思维能力，提高解决问题的能力。
本文将探索小学数学中排列与组合的相关知识，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、排列排列是指从一组事物中选取多个事物进行组合，按照一定的顺序进行排列。
在小学数学中，排列通常用符号P表示，排列的结果数量可以用P(n,m)表示，其中n表示待排列的事物总数，m表示选择的事物数量。
例如，有3个小朋友A、B、C，现需要从中选取2个小朋友进行比赛，按照先后顺序进行排列。
根据排列的原理，我们可以计算出排列的结果数量P(3,2)为：P(3,2) = 3! / (3-2)! = 6因此，从3个小朋友中选取2个小朋友进行比赛的排列结果有6种。
二、组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合，不考虑顺序。
在小学数学中，组合通常用符号C表示，组合的结果数量可以用C(n,m)表示，其中n表示待选事物的总数，m表示选择的事物数量。
继续以之前的例子为例，现在我们需要从3个小朋友A、B、C中选取2个小朋友组成一个小组。
根据组合的原理，我们可以计算出组合的结果数量C(3,2)为：C(3,2) = 3! / ((3-2)! * 2!) = 3因此，从3个小朋友中选取2个小朋友组成一个小组的组合结果有3种。
通过排列与组合的概念，我们可以解决很多实际问题。
例如，在数学班上，有5个小朋友A、B、C、D、E，老师要从中选取3个小朋友进行参赛。
根据排列与组合的原理，我们可以计算出排列与组合的结果数量：从5个小朋友中选取3个小朋友进行排列的结果数量P(5,3)为：P(5,3) = 5! / (5-3)! = 60从5个小朋友中选取3个小朋友进行组合的结果数量C(5,3)为：C(5,3) = 5! / ((5-3)! * 3!) = 10通过以上计算，我们可以知道有60种不同的排列方式和10种不同的组合方式。
这样，老师就可以根据实际情况灵活选择参赛的小朋友。
排列与组合基础知识.doc
排列与组合基础知识与习题一.基础知识 (一)计数原理1.加法原理: 完成一件事，共有n 类办法，在第一类中有1m 种有不同的方法，在第2类中有2m 种不同的方法……在第n 类型有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=21种不同的方法.2.乘法原理: 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法......做第n 步有n m 种不同的方法；那么完成这件事共有n m m m N ⨯⋅⋅⋅⨯⨯=21种不同的方法.3.提示: 分类计数原理与“分类”有关，要注意类与类之间所具有的独立性和并列性；分步计数原理与“分步”有关，要注意步与步之间具有的相依性和连续性，应用这两个原理进行正确地分类、分步, 做到不重不漏.(二)排列与组合1.排列定义: 从n 个不同的元素中任取m (m ≤n )个元素, 按照一定的顺序排成一列, 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.2.排列计算公式：),,()1()1(N m n n m m n n n A mn∈≤+--= ; 规定1!0= 3.组合定义: 从n 个不同的元素中任取m (m≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.4.组合计算公式: )!(!!m n m n A A C m m m nm n-==两个公式：①mn n m n C C -= ②m n m n m n C C C11+-=+ 5.排列与组合的区别: 排列有顺序关系，组合无顺序关系. (三)含有相同元素的排列问题设重集},,,{21n a a a S =有k 个不同元素, 其中重复数为k n n n ,,,21 , 则S 的排列个数为!!...!!21k n n n n n =.例如：设数字3、2、2，求其排列个数3!2!1!3=⋅=n .例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数1!3!3==n .二.典型例题例1 (排列问题) 六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？ (1)甲不站两端； (2)甲、乙必须相邻；(3)甲、乙不相邻； (4)甲、乙之间间隔两人；(5)甲、乙站在两端； (6)甲不站左端，乙不站右端.例1答案: (1) <法一> 要使甲不站在两端，可先让甲在中间4个位置上任选1个，有14A 种站法，然后其余5人在另外5个位置上作全排列有55A 种站法，根据乘法原理，共有站法：4805514=⋅A A .<法二> 由于甲不站两端，这两个位置只能从其余5个人中选2个人站，有25A 种站法，然后中间4人有44A 种站法，根据乘法原理，共有站法：4804425=⋅A A . <法三> 若对甲没有限制条件共有66A 种站法，甲在两端共552A 种站法，从总数中减去这两种情况的排列数，即共有站法：48025566=-A A . (2) <法一> (捆绑法) 先把甲、乙作为一个“整体”，和其余4人进行全排列有55A 种站法，再把甲、乙进行全排列，有22A 种站法，根据乘法原理，共有2402255=A A . <法二>先把甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种站法，再在5个空档中选出一个供甲、乙放入，有15A 种方法，最后让甲、乙全排列，有22A 种方法，共有240221544=A A A . (3) <法一> (插空法) 第一步先让甲、乙以外的4个人站队，有44A 种站法；第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，有25A 种站法，故共有站法为4802544=A A . <法二> (间接法) 6个人全排列有66A 种站法，由(2)已知甲、乙相邻有2402255=A A 种站法，所以不相邻的站法有480225566=-A A A .(4) <法一> 先将甲、乙以外的4个人作全排列，有44A 种，然后将甲、乙按条件插入站队，有223A 种，故共有44A ·（3A 22）=144（种）站法.<法二>先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上，有A 24种，然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有A 33种方法，最后对甲、乙进行排列，有A 22种方法，故共有A 24·A 33·A 22=144（种）站法. (5) <法一>首先考虑特殊元素，甲、乙先站两端，有A 22种，再让其他4人在中间位置作全排列，有A 44种，根据分步乘法计数原理，共有A 22·A 44=48（种）站法.<法二>首先考虑两端两个特殊位置，甲、乙去站有A 22种站法，然后考虑中间4个位置，由剩下的4人去站，有A 44种站法，由分步乘法计数原理共有A 22·A 44=48（种）站法.(6) <法一>甲在左端的站法有A 55种，乙在右端的站法有A 55种，且甲在左端而乙在右端的站法有A 44种，共有A 66-2A 55+A 44=504（种）站法.<法二>以元素甲分类可分为两类：①甲站右端有A 55种站法，②甲在中间4个位置之一，而乙不在右端有A 14·A 14·A 44 种，故共有A 55+A 14·A 14·A 44=504（种）站法.例2 (组合问题) 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？(1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员；(3)队长中至少有1人参加； (4)既要有队长，又要有女运动员.例2答案: (1)第一步：选3名男运动员，有C 36种选法. 第二步：选2名女运动员，有C 24种选法. 共有C 36·C 24=120种选法. (2) “至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”. 从10人中任选5人有C 510种选法，其中全是男运动员的选法有C 56种. 所以“至少有1名女运动员”的选法为C 510-C 56=246.(3) <法一>可分类求解：“只有男队长”的选法为C48；“只有女队长”的选法为C48; “男、女队长都入选”的选法为C38；所以共有2C48+C38=196种选法.<法二> (间接法) 从10人中任选5人有C510种选法. 其中不选队长的方法有C58种. 所以“至少1名队长”的选法为C510-C58=196种.(4)当有女队长时，其他人任意选，共有C49种选法. 不选女队长时, 必选男队长，共有C48种选法. 其中不含女运动员的选法有C45种，所以不选女队长时的选法共有C48-C45种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C49+C48-C45=191种.例3 (综合问题) 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？例3答案: (1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由乘法原理，共有C14C24C13×A22=144种.(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法.(3)确定2个空盒有C24种方法. 4个球放进2个盒子可分成（3，1）、（2，2）两类，第一类有序不均匀分组有C34C11A22种方法；第二类有序均匀分组有222224ACC·A22种方法. 故共有C24( C34C11A22+222224ACC·A22）=84种.三. 当堂测试1. 从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A.70 种B.80种C.100 种D.140 种2. 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )A. 48 种B.12种C.18种D.36种3. 从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数的个数为( )A.48B.12C.180D.1624. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学，2名女同学。
组合和排列知识点总结
组合和排列知识点总结1. 组合和排列的定义组合和排列是两种基本的组合数学概念，它们都与集合相关。
在数学中，集合是由一些互不相同的对象组成的整体，而排列和组合则是从一个给定的集合中选取一定数量的对象并按照一定的规则进行排列或组合。
排列是指从一个集合中取出一定数量的对象，并按照一定的顺序进行排列，即排列是有序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，符合条件的排列个数称为排列数。
通常用P(n, m)表示排列数。
组合是指从一个集合中取出一定数量的对象，但不考虑其排列顺序，即组合是无序的。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，符合条件的组合个数称为组合数。
通常用C(n, m)表示组合数。
2. 排列的性质排列具有一些基本的性质，这些性质在排列的计算中具有重要的意义。
（1）排列的计算公式在排列中，通过一个简单的计算公式可以求出排列数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象按照一定的顺序进行排列，则排列数可以用以下公式计算：P(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × … × 2 × 1。
（2）排列的性质排列具有如下的性质：- P(n, m) = n × (n-1) × … × (n-m+1)- P(n, n) = n!3. 组合的性质组合也具有一些基本的性质，这些性质在组合的计算中同样具有重要的意义。
（1）组合的计算公式在组合中，同样可以通过一个简单的计算公式求出组合数。
假设集合中有n个对象，要从中取出m个对象，组合数可以用以下公式计算：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]（2）组合的性质组合具有如下的性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, 1) = n- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4. 组合和排列的应用组合和排列在实际中有着广泛的应用，它们在数学、计算机科学、统计学等领域都有着重要的作用。
排列与组合知识讲解
排列与组合是数学中的基本概念，尤其在概率论、统计学和离散数学等领域中有着重要的应用。
以下是关于排列与组合知识的详细讲解：一、基本概念排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列的个数用符号Pₙₙ或P(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行排列，可能的排列有：12、13、21、23、31、32，共6种。
因此，P₃₂= 6。
组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
组合的个数用符号Cₙₙ或C(n,m)表示。
例如，从3个不同的数字（1、2、3）中任取2个数字进行组合，可能的组合有：12、13、21、23、31、32，但由于组合不考虑顺序，所以这6种排列被视为同一种组合。
因此，C₃₂= 1。
二、计算公式排列的计算公式：Pₙₙ= n! / (n-m)!，其中“!”表示阶乘，即n! = n ×(n-1) ×(n-2) × ... ×3 ×2 ×1。
例如，P₄₂= 4! / (4-2)! = (4×3×2×1) / (2×1) = 12。
组合的计算公式：Cₙₙ= n! / [m!(n-m)!]。
这个公式也可以理解为从n个不同元素中取出m个元素的排列数除以m个元素的排列数。
例如，C₄₂= 4! / [2!(4-2)!] = (4×3×2×1) / (2×1) / (2×1) = 6。
三、排列与组合的关系排列和组合之间存在密切的关系。
对于从n个不同元素中取出m个元素的情况，排列数Pₙₙ和组合数Cₙₙ之间的关系为：Pₙₙ= m ×Cₙₙ。
这意味着从n个不同元素中取出m个元素的排列数等于从n个不同元素中取出m个元素的组合数乘以m。
数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享
数学复习排列与组合问题的解题技巧与实例分享一、引言数学中的排列与组合问题在高中和大学阶段经常出现，是数学复习中的重点之一。
掌握解题技巧对于应对这类问题非常重要。
本文将分享一些解题技巧，并结合实例进行详细说明。
二、排列与组合的基本概念1. 排列排列是指从给定的元素集合中取出若干元素按照一定的顺序排列，形成不同的序列。
排列问题可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
- 无重复元素的排列：从n个不同元素中取出r个元素进行排列，排列的种数用P(n, r)表示。
- 有重复元素的排列：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行排列，排列的种数用P(n; r1, r2, ..., rk)表示。
2. 组合组合是指从给定的元素集合中取出若干元素不考虑顺序的组合方式。
组合问题同样可以分为有重复元素和无重复元素的情况。
- 无重复元素的组合：从n个不同元素中取出r个元素进行组合，组合的种数用C(n, r)表示。
- 有重复元素的组合：从n个元素中取出r1个相同的元素，r2个相同的元素，...，rk个相同的元素进行组合，组合的种数用C(n; r1, r2, ..., rk)表示。
三、排列与组合问题的解题技巧1. 理解题意在解题过程中，首先要理解题意，明确给定的条件和问题要求。
根据题目所描述的具体情形，确定是要求排列还是组合，以及所涉及的元素个数。
2. 使用数学公式根据问题的具体情况，运用排列组合的基本公式来解决问题。
对于排列问题，使用排列公式计算排列的种数；对于组合问题，使用组合公式计算组合的种数。
3. 分解问题有时候，一个排列或组合问题可以转化为多个小问题的组合。
通过分解问题，可以简化解题的过程。
将整个问题划分为子问题，逐一解决，最后将得到的结果进行组合。
4. 注意特殊情况在解题过程中，要注意考虑特殊情况。
例如，当n和r相等时，即n个元素中取出n个元素进行排列或组合时，排列和组合的种数都只有1种。
数学高三复习知识点组合与排列
数学高三复习知识点组合与排列数学高三复习知识点：组合与排列在数学中，组合与排列是两个重要的概念，也是数学高三复习的重点知识点之一。
组合与排列在概率统计、离散数学等领域都具有广泛的应用。
本文将介绍组合与排列的基本概念及其相关性质，帮助高三学生复习和理解这一知识点。
一、排列的概念和性质排列是指从一组元素中按一定顺序取出若干个元素的方式。
设有n个元素，从中选取m个进行排列，则记为P(n,m)。
排列的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!其中，n!表示n的阶乘，表示从1乘到n的乘积。
排列的性质有以下几点：1. 排列的个数是固定的，对于不同的n和m，排列的个数是不同的。
2. 当m=n时，全排列的个数为n!。
3. 当m>n时，排列的个数为0。
4. 当m<n时，排列的个数为负数，表示无意义。
排列涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行排列，问有多少种不重复的排列方式；从n个元素中选出m个元素进行排列，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。
二、组合的概念和性质组合是指从一组元素中选取若干个元素的方式，不考虑元素的顺序。
设有n个元素，从中选取m个进行组合，则记为C(n,m)。
组合的计算公式为：C(n,m) = n!/((n-m)!m!)组合的性质有以下几点：1. 组合的个数是固定的，对于不同的n和m，组合的个数是不同的。
2. 当m=0或m=n时，组合数为1。
3. 当m>n时，组合数为0。
4. 当m<n时，组合数为正整数。
组合涉及的经典问题有：从n个元素中选出m个元素进行组合，问有多少种不重复的组合方式；从n个元素中选出m个元素进行组合，再将这m个元素进行重排列，问有多少种不同的结果等。
三、排列与组合的联系与应用排列与组合有很多联系与应用，在实际问题中经常出现。
以下是一些常见的联系与应用：1. 从n个元素中选取m个元素进行排列，等价于从n个元素中选取m个元素进行组合，再将这m个元素进行排列。
排列与组合如何正确运用排列组合知识解决组合问题
排列与组合如何正确运用排列组合知识解决组合问题排列与组合是数学中的基础知识，广泛应用于各个领域中。
在解决组合问题时，正确运用排列组合知识是非常关键的。
本文将介绍排列与组合的概念、特点，以及如何正确应用排列组合知识解决组合问题。
一、排列与组合的概念与特点排列与组合是数学中的两个重要概念，它们在数学中有着不同的含义和特点。
1. 排列的概念与特点排列是指从一组元素中按照一定的顺序或规则选择若干个元素组成一个序列的方式。
排列的特点是每个元素的选择都会影响后续元素的选择，且元素之间存在顺序关系。
例如，有A、B、C三个元素，从中选择两个元素组成序列。
可以得到的排列有AB、AC、BA、BC、CA、CB。
可以看到，同样的元素组合，只需改变顺序，就会得到不同的排列。
2. 组合的概念与特点组合是指从一组元素中按照一定的顺序或规则选择若干个元素组成一个组合的方式。
组合的特点是每个元素的选择不会影响后续元素的选择，且元素之间不存在顺序关系。
继续以A、B、C三个元素为例，从中选择两个元素组成组合。
可以得到的组合有AB、AC、BC。
可以看到，不同的顺序选择相同的元素，得到的组合是相同的。
二、如何正确运用排列组合知识解决组合问题在实际问题中，经常需要通过排列组合的方法解决一些组合问题。
下面将介绍如何正确运用排列组合知识解决组合问题。
1. 明确问题首先需要明确问题的要求和限制条件，具体了解问题中的元素个数、选择个数，以及是否允许重复选择等信息。
2. 判断问题类型根据问题的具体要求，判断是属于排列问题还是组合问题。
在判断问题类型时，需要注意是否考虑了元素的顺序，以及是否允许元素的重复选择。
3. 利用排列组合公式计算根据问题的类型，利用相应的排列组合公式进行计算。
在计算时，需要注意将问题中的要求和限制条件转化为公式中的变量。
4. 解决问题根据计算结果，得出问题的解答或结论。
在解决问题时，需要根据具体情况进行说明和解释，确保答案的准确性和可读性。
初中数学知识归纳排列与组合的基本概念和计算
初中数学知识归纳排列与组合的基本概念和计算归纳、排列和组合是初中数学中重要的概念和方法，通过对不同情况进行分类和组织，帮助我们解决各种问题。
在本文中，我们将详细介绍归纳、排列和组合的基本概念，并提供一些常见的计算方法。
一、归纳的基本概念归纳是一种通过分析和总结大量的具体例子，得出普遍规律的方法。
在数学中，归纳法通常用于证明数列、等式等数学性质。
我们以数列为例来介绍一下归纳的基本概念。
数列是按照一定规则排列的一系列数。
通过对数列中的数进行观察和分析，我们可以找到数列的通项公式，从而可以计算数列中任意一项的值。
二、排列的基本概念和计算方法排列是从一组事物中按照一定的顺序选取若干个进行排列。
在排列中，每个事物只能选取一次，并且顺序不能改变。
对于n个不同的元素进行全排列，有n!种排列方式。
其中，n!表示n的阶乘，即n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
在计算排列时，常常出现以下两种情况：1. 从n个不同的元素中选取m个，且考虑选取元素的顺序。
这种情况下的排列数可以通过公式P(n, m) = n! / (n-m)!计算。
其中，P表示排列，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数。
2. 从n个不同的元素中选取m个，但不考虑选取元素的顺序，即认为选取了相同的元素顺序也算作同一种情况。
这种情况下的排列数可以通过公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)计算。
其中，C表示组合，n表示总的元素个数，m表示选取的元素个数。
三、组合的基本概念和计算方法组合是从一组事物中不考虑顺序地选取若干个进行组合。
与排列不同，组合中选取的元素顺序并不影响结果。
在计算组合时，我们常常遇到以下两种情况：1. 从n个不同的元素中选取m个，且不考虑选取元素的顺序。
这种情况下的组合数可以通过公式C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)计算。
2. 从n个不同的元素中选取m个，但同一组元素的不同顺序算作同一种情况。
排列与组合的基础知识与应用
排列与组合的基础知识与应用排列与组合是数学中的重要概念，它们广泛应用于各个领域，包括概率论、统计学、计算机科学等。
在本文中，我们将介绍排列与组合的基础知识，以及它们的一些常见应用。
一、排列与组合的基本概念排列和组合是两个不同的概念，它们的区别在于是否考虑元素的顺序。
1. 排列排列是指从给定的元素集合中选取一部分元素，并按照一定的顺序排列成一列。
对于一个包含n个元素的集合，从中选取m个元素进行排列，记作P(n, m)或者nPm。
排列的计算公式为：\[P(n, m) = \frac{{n!}}{{(n-m)!}}\]其中，n!表示n的阶乘，即从1到n的所有正整数相乘。
2. 组合组合是指从给定的元素集合中选取一部分元素，不考虑元素的顺序。
对于一个包含n个元素的集合，从中选取m个元素进行组合，记作C(n, m)或者nCm。
组合的计算公式为：\[C(n, m) = \frac{{n!}}{{m!(n-m)!}}\]二、排列与组合的应用1. 概率论与统计学在概率论与统计学中，排列与组合有着广泛的应用。
例如，在排列中，我们可以使用P(n, m)来计算从一副扑克牌中选取m张牌的不同结果的数量。
在组合中，我们可以使用C(n, m)来计算从一组人员中选取一部分人作为样本的不同组合的数量。
2. 计算机科学在计算机科学中，排列与组合常用于解决算法问题。
例如，在密码学中，排列与组合可以用来破解密码，通过枚举不同的排列或组合来尝试解密。
在图论中，排列与组合也常用于计算图的不同排列或组合方式，从而解决各种图相关的问题。
3. 组合优化组合优化是一种将组合数学与优化方法相结合的领域。
它涉及到在给定的集合中寻找出最优的子集，以满足特定的约束条件。
组合优化在运筹学、物流、流程优化等领域中有着广泛应用。
4. 组合拆分组合拆分是将一个集合拆分成若干子集的问题。
在计算机科学中，组合拆分可以用于动态规划等算法中，以解决各种具有拆分子结构的问题。
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
考点三 组合应用问题 【案例3】 (2009·辽宁)从5名男医生、4名女医生中选3 ) 名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则 不同的组队方案共有(
A．70种 B．80种 C．100种 D．140种
关键提示：本题可用直接法，也可考虑用间接法．
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
【即时巩固1】 解下列方程：
(1)A2x＋14＝140Ax3； (2)Cx＋3x＋1＝Cx＋1x－1＋Cx＋1x＋Cx＋2x－2. 分析：(1)根据排列的意义和排列数公式求解；(2)利用 组合数的性质．
解：(1)根据排列的意义及公式得 4≤2x＋1， 3≤x， 2x＋12x2x－12x－2＝140xx－1x－2，
共有A51A77＋A31A51A66＝36 000种不同排法．
方法二：8人任意排共有A88种排法，从中扣除两端都是 女生的情况A32A66种，即可得到符合题意的排法数共有A88－ A32A66＝36 000种．
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
【即时巩固2】
A．720种
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
8！ 8！ ＋ 5 4 A8 ＋A8 3！ 4！ 4×8！＋8！ 解：(1)方法一： 6 ＝ ＝ 5＝ A9 －A9 9！ 9！ 4×9！－9！ － 3！ 4！ 5 . 27 A85＋A84 4A84＋A84 5A84 5 方法二： 6 ＝ . 5＝ 4 4＝ 27A84 27 A9 －A9 36A8 －9A8 (2)若C2n－3n－1＋Cn＋12n－3有意义， 0≤n－1≤2n－3， 则0≤2n－3≤n＋1， n∈N*， 解得2≤n≤4.
40种组法，当组队中有2名女医生时，有C42C51＝30种组法，
综上，共有70种组队方法． 答案：A
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
【即时巩固3】
4名．
有10名教师，其中男教师6名，女教师
(1)现要从中选2人去参加会议，有多少种不同的选法？
(2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少
放入三个不同的盒子中，使得每个盒子有且只有一球的放法 种数有________．
解析：C52·C31·A33＝180.
答案：180 4．用数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，若 要求1、2相邻，则这样的五位数有________个． 解析：相邻要用捆绑法．A22·(A44－A33)＝36. 答案：36
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
关键提示：分析问题，要注意“均匀分组必须除以组数
的全排列”的原则，避免出现重复计数． 分析：分组问题是排列组合中一类重要的问题，包括非
均匀分组、均匀分组，其中特别注意均匀分组的顺序问题．
解：(1)从6本书中，先取2本给甲，再从剩下的4本书中 取2本给乙，最后剩2本给丙，共C62·C42＝90种不同的分配方 法．
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
1．排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序 有关．
2．复杂的排列问题常常通过试验、画简图、小数字简
化等手段使问题直观化，从而寻求解题途径．因为结果的正 确性难以直接检验，所以常需要用不同的方法求解来获得检
验．
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种排法． 方法三：8人任意排共有A88种排法．从中排除至少有一 端是女生的情况即可．共有A88 －2A31A77 ＋A32A66 ＝14 400 种．
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
(4)方法一：因为只要求两端不都排女生，所以如果首位
排了男生，则末位不再受限制，共有A51A77种排法．如果首 位排女生，则末位只能排男生，共有A31A51A66种排法．因此
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
当n＝2时，有C11＋C31＝4； 当n＝3时，有C32＋C43＝7； 当n＝4时，有C53＋C55＝11. (3)C22＋C32＋C42＋„＋C1002 ＝C33＋C32＋C42＋„＋C1002 ＝C43＋C42＋C52＋„＋C1002 ＝C53＋C52＋„＋C1002 ＝„ A1013 101×100×99 ＝C1013＝ 3 ＝ ＝166 650. A3 3×2×1
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第十一章
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考点二 排列应用问题
【案例2】 三个女生和五个男生排成一排． (1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？
(2)如果女生必须分开，可有多少种不同的排法？
(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？ (4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？ 关键提示：(1)相邻问题捆绑法；(2)不相邻问题插空法； (3)(4)特殊位置优先考虑．
m
规定Cn0＝1. 7．组合数的两个性质 ①Cnm＝ Cnn－m . ②Cnm＋Cnm－1＝ Cn＋1m .
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第十一章
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1．用1、2、3、4四个数字中三个组成的三位数有 ________个． 解析：C43A33＝24. 答案：24
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x≥3， 则有 xx－14x－23x－3＝0.
解之并检验得x＝3. (2)由组合数的性质可得 Cx＋1x－1＋Cx＋1x＋Cx＋2x－2＝Cx＋12＋Cx＋11＋Cx＋24＝Cx＋22＋ Cx＋24， 又Cx＋3x＋1＝Cx＋32，所以Cx＋32＝Cx＋22＋Cx＋24. 即Cx＋21＋Cx＋22＝Cx＋22＋Cx＋24. 所以Cx＋21＝Cx＋24. 所以5＝x＋2，x＝3.经检验知x＝3.
个数． 2．Anm＝ n(n－1)(n－2)„(n－m＋1) ，n、m∈N*，m≤n. 全排列 nn＝ 当m＝n时，Ann叫做n个元素的 ．A n！ 3．Anm还可以写成 n－m！ .
.
n！
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4．组合
一般地，从n个 素 并成一组 不同元素 中，任意取出m(m≤n)个元 中取出m个 ，叫做从n个 不同元素
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2．从全校12位数学老师中选3位担任高一数学授课任务，
则不同的选派方法有________种．
12×11×10 解析：C12 ＝ ＝220. 3×2×1
3
答案：220
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3．从5个不同的白球中选2个，3个不同的红球中选1个，
元素的一个组合．
5．组合数 从n个 不同元素 中取出m(m≤n)个元素的 所有不同组合 的 个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cnm 表示．
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6．组合数公式
n！ Anm nn－1n－2„n－m＋1 Cn ＝ m＝ ＝ Am m！ m！n－m！
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考点四 分堆问题
【案例4】 有6本不同的书．
(1)甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分配方法？ (2)分成3堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(3)分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不
同的分堆方法？ (4)分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本， 有多少种不同的分配方法？ (5)分3堆，有2堆各1本，另一堆4本， 有多少种不同的 分堆方法？ (6)摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？
6名同学排成一排，其中甲、乙两人必
) C．240种 D．120种
须在一起的不同排法共有( B．360种
解析：因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在
一起视作一人，与其余四人全排列，共有全排列A55 种排法， 但甲、乙两人之间有A22 种排法．由分步计数原理可知：共 有A55·A22＝240种不同的排法．故选C. 答案：C
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第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
(4)正难则反、等价转化；
(5)相邻问题捆绑处理； (6)不相邻问题插空处理；
(7)定序问题除法处理；
(8)分排问题直排处理； (9)“小集团”排列问题中先整体后局部； (10)构造模型．
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第十一章
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解析：方法一：当选择的3名医生都是男的或都是女的 时候，共有C53＋C43＝14种方法，从9人中选择3人一样有C93
＝84种方法，所以要求男，女都有，共有84－14＝70种组队
方法． 方法二：(直接法)当队中有一名女医生时，有C41C52 ＝
第十一章
计数原理、概率、随机变量及其分布
1．从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同元素中任取m个元素的 一个排列 ；两个 相同排列 是指当且仅当它们的元素完 全相同，并且元素的排列顺序也完全相同的排列；排列数 是
指从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有 不同排列 的
种不同的选法？
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第十一章