2014-2015学年湖北省宜昌市长阳一中高二上学期数学期中试卷带解析(理科)

2014-2015学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．122．（5分）已知α是第二象限角，且的值为（）A．B．C．D．3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．4．（5分）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg5．（5分）若直线l：y=kx﹣与直线x+y﹣3=0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．（，π）6．（5分）在△ABC中，2+•＜0，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形7．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx，如果存在实数x1，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1+2014）成立，则ω的最小正值为（）A．B．C．D．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角9．（5分）在区间[﹣3，3]上任取一个数a，则圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x ﹣a）2+y2=1有公共点的概率为（）A．B．C．D．10．（5分）已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心1为半径的圆上的任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣3，5]D．[1﹣2，1+2]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．12．（5分）甲、乙两人约定在10点半到12点会面商谈事情，约定先到者应等候另一个人20分钟，即可离去，求两人能会面的概率（结果用最简分数表示）．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．14．（5分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），已知修筑篱笆每米的费用为50元，则修筑这个菜园的最少费用为为元．15．（5分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，则下列说法正确的序号是①2a﹣3b+1＞0②a≠0时，有最小值，无最大值③的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（）④存在正实数M，使恒成立．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积S=abcosC （1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值，及取得最大值时角B的值．17．（12分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？（2）求平均成绩；（3）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．18．（12分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求三棱锥A﹣B1DE的体积．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．20．（13分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）若对于区间（0，+∞）内的任意x，总有f（x）≥0成立，求实数k的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个不同的零点x1，x2，求：①实数k的取值范围；②的取值范围．21．（14分）已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=时，求k的值．（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．2014-2015学年湖北省宜昌市长阳一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：∵高一年级有30名，在高一年级的学生中抽取了6名，故每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名，∴要抽取40×=8，故选：B．2．（5分）已知α是第二象限角，且的值为（）A．B．C．D．【解答】解：由sin（π+α）=﹣sinα=﹣，得到sinα=，又α是第二象限角，所以cosα=﹣=﹣，tanα=﹣，则tan2α===﹣．故选：C．3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A．B．C．D．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=．故选：D．4．（5分）从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程=0.56x+，据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为（）A．70.09kg B．70.12kg C．70.55kg D．71.05kg【解答】解：由表中数据可得==170，==69∵（，）一定在回归直线方程=0.56x+上故69=0.56×170+解得=﹣26.2故=0.56x﹣26.2当x=172时，=0.56×172﹣26.2=70.12故选：B．5．（5分）若直线l：y=kx﹣与直线x+y﹣3=0的交点位于第二象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．（，π）【解答】解：联立两直线方程得：，解得：，因为两直线的交点在第二象限，所以得到，解得：k＜﹣1，设直线l的倾斜角为θ，则tanθ＜﹣1，所以θ∈．故选：B．6．（5分）在△ABC中，2+•＜0，则△ABC为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．锐角或钝角三角形【解答】解：在△ABC中，∵2+•＜0，∴c2+accos（π﹣B）＜0，又c＞0，∴c＜acosB，由正弦定理=得：sinC＜sinAcosB，∵△ABC中，A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB＜sinAcosB，∴cosAsinB＜0，而sinB＞0，∴cosA＜0，∴△ABC为钝角三角形，故选：C．7．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx，如果存在实数x 1，使得对任意的实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x1+2014）成立，则ω的最小正值为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）sinωx+cosωx=sin（ωx+），由题意可得2014≥•，求得ω≥，故ω的最小正值为，故选：B．8．（5分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（）A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角D．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角【解答】解：A．∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．又∵SD∩DB=D．∴AC⊥平面SDB，∴AC⊥SB．B．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，又AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD．C．∵AB∥DC，∴∠SCD（为锐角）是AB与SC所成的角，∠SAB（为直角）是DC与SA所成的角；而∠SCD≠∠SAB．∴AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角不正确；D．由A可知：AC⊥平面SDB，∴∠ASO、∠SCO分别是SA与平面SBD所成的角、SC与平面SBD所成的角．由SA=SC，OA=OC，可得∠ASO=∠SCO，因此正确．综上可知：只有C不正确．故选：C．9．（5分）在区间[﹣3，3]上任取一个数a，则圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x ﹣a）2+y2=1有公共点的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：圆C1：x2+y2+4x﹣5=0可化为（x+2）2+y2=9，圆心为（﹣2，0），半径为3，圆C2：（x﹣a）2+y2=1，圆心为（a，0），半径为1，∵圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点，∴2≤|a+2|≤4，∴0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4，∵在区间[﹣3，3]上任取一个数a，∴0≤a≤2，∴所求概率为=．故选：B．10．（5分）已知Rt△ABC的斜边AB的长为4，设P是以C为圆心1为半径的圆上的任意一点，则•的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣3，5]D．[1﹣2，1+2]【解答】解：以CA为x轴，CB为y轴建立直角坐标系，设∠BAC=α，则A（4cosα，0），B（0，4sinα），P（cosθ，sinθ），∴=（4cosα﹣cosθ，﹣sinθ），=（﹣cosθ，4sinα﹣sinθ），∴=cosθ（cosθ﹣4cosα）+sinθ（sinθ﹣4sinα）=1﹣4cos（θ﹣α）∈[﹣3，5]，∴）∈[﹣3，5]．故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填在相应题号后的横线上．11．（5分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，cosC=，则sinB=．【解答】解：∵C为三角形的内角，cosC=，∴sinC==，又a=1，b=2，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：c2=1+4﹣1=4，解得：c=2，又sinC=，c=2，b=2，∴由正弦定理=得：sinB===．故答案为：12．（5分）甲、乙两人约定在10点半到12点会面商谈事情，约定先到者应等候另一个人20分钟，即可离去，求两人能会面的概率（结果用最简分数表示）．【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，设事件A为“两人能会面”，试验包含的所有事件是Ω={（x，y）|10.5＜x＜12，10.5＜y＜12}，则事件对应的集合表示的面积是s=，满足条件的事件是A={（x，y）|10.5＜x＜12，10.5＜y＜12，|x﹣y|＜}，所以事件对应的集合表示的面积是﹣[12﹣（10+）][（12﹣）﹣10]=，根据几何概型概率公式得到P=．故答案为：．13．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA=1，四边形ABCD为边长为1的正方形，∴几何体的体积V=×12×1=．故答案为：．14．（5分）两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m2的直角梯形菜园（墙足够长），已知修筑篱笆每米的费用为50元，则修筑这个菜园的最少费用为为900元．【解答】解：如图，设CD=xm，篱笆总长为ym，（x＞0，y＞0），则BC=y﹣2x，∴，整理得：，．当x∈（0，6）时，y′0．∴当x=6，篱笆总长有最小值18m．∴修筑这个菜园的最少费用为18×50=900元．故答案为：900．15．（5分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0的两侧，则下列说法正确的序号是③④①2a﹣3b+1＞0②a≠0时，有最小值，无最大值③的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（）④存在正实数M，使恒成立．【解答】解：①由已知（2a﹣3b+1）（2﹣0+1）＜0，即2a﹣3b+1＜0，∴①错；②当a＞0时，由3b＞2a+1，可得＞+，∴不存在最小值，∴②错；③∵表示点（a，b）与点（1，0）连线的斜率，如图，由线性规划知识可知，当a＞0，b＞0时，的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．③正确．④表示为（a，b）与（0，0）两点间的距离，由于原点（0，0）到直线2x﹣3y+1=0的距离d=，由此可得：＞=恒成立，∴④正确；故答案是：③④．三、解答题：本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积S=abcosC （1）求角C的大小；（2）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值，及取得最大值时角B的值．【解答】解：（1）由S=absinC及题设条件得absinC=abcosC，即sinC=cosC，∴tanC=，0＜C＜π，∴C=，（2）f（x）=sin cos+cos2=sinx+cosx+=sin（x+）+，∵C=，∴B∈（0，），∴＜B+＜当B+=，即B=时，f（B）有最大值是．17．（12分）某校高三文科分为四个班．高三数学调研测试后，随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计，各班被抽取的学生人数恰好成等差数列，人数最少的班被抽取了22人．抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图所示，其中120～130（包括120分但不包括130分）的频率为0.05，此分数段的人数为5人．（1）问各班被抽取的学生人数各为多少人？（2）求平均成绩；（3）在抽取的所有学生中，任取一名学生，求分数不小于90分的概率．【解答】解：（1）由频率分布条形图知，抽取的学生总数为=100（人）；∵各班被抽取的学生人数成等差数列，设其公差为d，由4×22+6d=100，解得d=2；∴各班被抽取的学生人数分别是22人，24人，26人，28人；…（4分）（2）样本数据的平均数是75×0.05+85×0.20+95×0.35+105×0.25+115×0.10+125×0.05=98，∴平均成绩为98；…（8分）（3）在抽取的学生中，任取一名学生，分数不小于90（分）的概率为0.35+0.25+0.1+0.05=0.75．…（12分）18．（12分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设E是棱CC1的中点．（1）求证：BD⊥AE；（2）求证：AC∥平面B1DE；（3）求三棱锥A﹣B1DE的体积．【解答】解：（1）证明：连接BD，AE，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，又∵EC⊥底面ABCD，BD⊂面ABCD，∴EC⊥BD，且EC∩AC=C，∴BD⊥平面AEC，又AE⊂平面AEC，∴BD⊥AE；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（2）证明：连接AC1，设AC1∩B1D=G，则G为AC1的中点，E为C1C的中点，∴GE为△ACC1的中位线，∴AC∥GE，GE⊂平面B1DE，AC⊄平面B1DE，∴AC∥平面B1DE；（3）由（2）知，点A到平面B 1DE的距离等于点C到平面B1DE的距离，∴三棱锥A﹣B1DE的体积是==•DC=×（×1×2）×2=，∴三棱锥A﹣B1DE的体积为．19．（12分）已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列的前n项和为T n，求证：T n＜．【解答】解：（1）由题意得解得，∴a n=4n+2；（2），∴，∴．20．（13分）已知函数f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．（1）若对于区间（0，+∞）内的任意x，总有f（x）≥0成立，求实数k的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，2）内有两个不同的零点x1，x2，求：①实数k的取值范围；②的取值范围．【解答】解：（1）f （x ）≥0⇒|x 2﹣1|+x 2+kx ≥0⇒k ≥﹣，x ∈（0，+∞），记g （x ）=﹣=，易知g （x ）在（0，1]上递增，在（1，+∞）上递减， ∴g （x ）max =g （1）=﹣1， ∴k ≥﹣1；（2）①（ⅰ）0＜x ≤1时，方程f （x ）=0化为kx +1=0，k=0时，无解；k ≠0时，x=﹣；（ⅱ）1＜x ＜2时，方程f （x ）=0化为2x 2+kx ﹣1=0，x=，而其中＜≤0，故f （x ）=0在区间（1，2）内至多有一解x=；综合（ⅰ）（ⅱ）可知，k ≠0，且0＜x ≤1时，方程f （x ）=0有一解x=﹣，故k ≤﹣1；1＜x ＜2时，方程f （x ）=0也仅有一解x=，令1＜＜2，得﹣＜k ＜﹣1，∴实数k 的取值范围是﹣＜k ＜﹣1； ②方程f （x ）=0的两解分别为x 1=﹣，x 2=，=﹣k +=﹣k +==2x 2∈（2，4）．21．（14分）已知圆O ：x 2+y 2=2，直线l ：y=kx ﹣2． （1）若直线l 与圆O 交于不同的两点A ，B ，当∠AOB=时，求k 的值．（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；（3）若EF、GH为圆O：x2+y2=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），求四边形EGFH的面积的最大值．【解答】解：（1）∵∠AOB=，∴点O到l的距离…（2分）∴=•，∴…（4分）（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，设，其方程为：，即，又C、D在圆O：x2+y2=2上∴，即…（7分）由，得，∴直线CD过定点…（9分）（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d1，d2．则…（11分）∴|EF|=2，∴当且仅当即时，取“=”∴四边形EGFH的面积的最大值为．…（14分）。