2018-2019学年广东省珠海市高一(上)期末数学试卷

2018-2019 学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）21．（5 分）已知集合A＝{ x|x ﹣2x﹣3＝0} ，B＝{ x|x﹣2＜0} ，则A∩B＝（）A ．{ ﹣1}B ．{ ﹣3，1} C．{ ﹣3} D．{1}2．（5 分）函数y＝+ 的定义域为（）A ．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）C．（﹣2，2] D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]x3．（5 分）若方程 2 ＝7﹣x 的解为x0，则x0 所在区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）0.9，b＝log 510，c＝log 36，则a，b，c 的大小关系是（）4．（5 分）已知a＝2 ﹣A ．a＜c＜bB ．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b5．（5 分）我国数学史上有一部被尊为算经之首的《九章算术》齐卷五《商功》中有如下问题：今有圆堡墙，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？意思是：今有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是 4 丈8 尺，高1 丈1 尺，问它的体积多少？（注： 1 丈＝10 尺）若π取3，估算小城堡的体积为（）A ．1998 立方尺B ．2012 立方尺C．2112 立方尺D．2324 立方尺6．（5 分）如图，在正方体ABCD ﹣A1B1C1D 1 中，AA1＝a，E，F 分别是BC，DC 的中点，则异面直线AD1 与EF 所成角为（）A ．30°B ．45°C．60°D．90°7．（5 分）已知点P（﹣2，3），点Q 是直线l ：3x+4 y+3＝0 上的动点，则|PQ|的最小值为（）A ．2B ．C．D．8．（5 分）已知函数f（x）＝x2﹣2ax﹣a2﹣1 在区间（﹣∞，3）上是减函数，则 f （2）的第1 页（共18 页）最大值为（）A ．﹣18B ．7 C．32 D．无法确定9．（5 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个结论：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．以上结论正确的个数（）A ．1 个B ．2 个C．3 个D．4 个2 2 a10．（5 分）已知圆x +y +2x﹣6y+5a＝0 关于直线y＝x+b 成轴对称图形，则 b 的取值范围（）A ．（0，8）B ．（﹣∞，8）C．（﹣∞，16）D．（0，16）11．（5 分）在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.71828 为自然对数的底数，k，b 为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120 小时，在30℃时的保鲜时间为15 小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A ．30 小时B ．40 小时C．50 小时D．80 小时12．（5 分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣a＝0 有3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（）A ．（1，4）B ．（0，1）C．[1，3）D．（0，2）二、填空题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.请将答案填写在答题卡相应位置）13．（5 分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣3，2）与点B（2，0，﹣2）之间的距离是．14．（5 分）已知过两点A（4，y），B（2，﹣3 ）的直线的倾斜角是45°，则y＝．15．（5 分）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是底面圆半径的倍．16．（5 分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是．第2 页（共18 页）17．（5 分）已知两条平行直线4x+3y＝0 与8x+ay+10＝0 间离为d，则的值为．18．（5 分）已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间[ ] 上恒有f（x）＞0，则实数 a 的取值范围是．19．（5 分）下列五个结论①f（x）＝a x﹣1 +1（a＞0，a≠1）的图象过定点（1，3）；3②若f（x）＝x +ax﹣6，且f（﹣2）＝6，则f（2）＝18；③已知x＝log 23，4y＝，则x+2 y＝3；④f（x）＝x（﹣）为偶函数；⑤已知集合A＝{ ﹣1，1} ，B＝{ x|mx＝1} ，且B? A，则实数m 的值为 1 或﹣1．其中正确的序号是（请填上你认为正确的所有序号）3 220．（5 分）设f（x）＝x +ax +bx+c，f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）﹣f（0）的值为．三、解答题（本大题共 5 小题，共50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）x+121．（10 分）已知集合A＝{ x∈R| ＜2 ≤16} ，B＝{ x|m﹣2≤x≤2m+1 ，m∈R } ．（1）当m＝1 时，求集合?A B；（2）若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．22．（10 分）已知垂直于3x﹣4y+1＝0 的直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程．23．（10 分）已知定义在R 上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在R 上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．第3 页（共18 页）24．（10 分）已知如图，平面DCBE ⊥平面ABC，四边形DCBE 为矩形，且BC＝5，AB＝4，AC＝3，F，G 分别为AD ，CE 的中点．（1）求证：FG ∥平面ABC ；（2）求证：平面ABE⊥平面ACD ．25．（10 分）已知圆C 的圆心C 在直线x﹣2y＝0 上．（1）若圆 C 与y 轴的负半轴相切，且该圆截x 轴所得的弦长为 4 ，求圆 C 的标准方程；（2）已知点N（0，﹣3），圆C 的半径为3，且圆心C 在第一象限，若圆C 上存在点M，使|MN |＝2|MO |（O 为坐标原点），求圆心C 的纵坐标的取值范围．第4 页（共18 页）2018-2019 学年广东省珠海市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）21．（5 分）已知集合A＝{ x|x ﹣2x﹣3＝0}，B＝{ x|x﹣2＜0} ，则A∩B＝（）A ．{ ﹣1}B ．{ ﹣3，1} C．{ ﹣3} D．{1}【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A＝{ x|x2﹣2x﹣3＝0} ＝{ ﹣1，3} ，B＝{ x|x﹣2＜0} ＝{ x x＜2} ，∴A∩B＝{ ﹣1} ．故选：A．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（5 分）函数y＝+ 的定义域为（）A ．（﹣2，2）B．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2）C．（﹣2，2] D．（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]【分析】可看出，要使得该函数有意义，则需满足，解出x 的范围即可．【解答】解：要使函数有意义，则：；解得﹣2＜x≤2，且x≠﹣1；∴该函数的定义域为：（﹣2，﹣1）∪（﹣1，2]．故选：D ．【点评】考查函数定义域的概念及求法，以及对数函数的定义域．x3．（5 分）若方程2＝7﹣x 的解为x0，则x0 所在区间为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】构造函数（x）＝2x+x﹣7，判断f （2）f（3）＜0，即可得到结论．x x 【解答】解：由 2 ＝7﹣x 得f（x）＝2 +x﹣7，第5 页（共18 页）则f（x）为增函数，2 3∵f（2）＝2 +2 ﹣7＝6﹣7＝﹣1＜0，f（3）＝2 +3﹣7＝11﹣7＝4＞0，∴f（2）f（3）＜0，即在区间（2，3）内，函数存在一个零点x0，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点与方程根的关系，利用根的存在性定理判断f（2）f（3）＜0 是解决本题的关键．0.9，b＝log 510，c＝log 36，则a，b，c 的大小关系是（）4．（5 分）已知a＝2 ﹣A ．a＜c＜bB ．a＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】利用有理指数幂的运算性质与对数的运算性质分别半径a，b，c 与0 和1 的大小得答案．﹣0.90 【解答】解：∵a＝2 ＜2 ＝1，b＝log510＝log 5（5×2）＝1+log 52，c＝log 36＝log 3（3×2）＝1+log 32，且log 52＜log32．∴a＜b＜c．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．5．（5 分）我国数学史上有一部被尊为算经之首的《九章算术》齐卷五《商功》中有如下问题：今有圆堡墙，周四丈八尺，高一丈一尺，问积几何？意思是：今有圆柱形的土筑小城堡，底面周长是 4 丈8 尺，高1 丈1 尺，问它的体积多少？（注： 1 丈＝10 尺）若π取3，估算小城堡的体积为（）A ．1998 立方尺B ．2012 立方尺C．2112 立方尺D．2324 立方尺【分析】根据周长求出城堡的底面半径，代入圆柱的体积公式计算．【解答】解：设圆柱形城堡的底面半径为r，则由题意得2πr ＝48，∴r ＝≈8 尺．又城堡的高h＝11 尺，2∴城堡的体积V＝πr h＝π×64×11≈2112 立方尺．故选：C．【点评】本题考查了圆柱的体积计算，属于基础题．第6 页（共18 页）6．（5 分）如图，在正方体ABCD ﹣A1B1 C1D 1 中，AA1＝a，E，F 分别是BC，DC 的中点，则异面直线AD1 与EF 所成角为（）A ．30°B ．45°C．60°D．90°【分析】连接BD，B1D 1，则EF∥BD ∥B1D1，所以∠AD1B1 就是异面直线AD 1 与EF 所成角，由此能求出异面直线AD1 与EF 所成角．【解答】解：连接BD ，B1D 1，AB1，则EF ∥BD∥B1D1 ，∴∠AD 1B1 就是异面直线AD1 与EF 所成角，∵AD1＝B1D 1＝AB1，∴∠AD 1B1＝60°．∴异面直线AD1 与EF 所成角为60°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．7．（5 分）已知点P（﹣2，3），点Q 是直线l ：3x+4 y+3＝0 上的动点，则|PQ|的最小值为（）A ．2B ．C．D．【分析】|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，由此能求出|PQ|的最小值．【解答】解：点P（﹣2，3），点Q 是直线l ：3x+4y+3＝0 上的动点，|PQ|的最小值为点Q 到直线l 的距离，第7 页（共18 页）∴|PQ|的最小值为d＝＝．故选：B．【点评】本题考查两点间距离的最小值的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2﹣2ax﹣a2﹣1 在区间（﹣∞，3）上是减函数，则 f （2）的8．（5 分）已知函数f（x）＝x最大值为（）A ．﹣18B ．7 C．32 D．无法确定2 2【分析】由已知可得a≥3，又由f（2）＝﹣a ﹣4a+3＝﹣（a+2）+7，可得f（2）的最大值．【解答】解：函数f（x）＝x2﹣2ax﹣a2 ﹣1 的图象开口朝上，且以直线x＝a 为对称轴，若函数f （x）＝x2﹣2ax﹣a2﹣1 在区间（﹣∞，3）上是减函数，则a≥3，2 2 又由f（2）＝﹣a ﹣4a+3＝﹣（a+2 ）+7，故a＝3 时，f（2）的最大值为﹣18，故选：A．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．9．（5 分）已知m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个结论：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．以上结论正确的个数（）A ．1 个B ．2 个C．3 个D．4 个【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断．【解答】解：由m、n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：①若m⊥α，n∥α，则由直线与平面垂直的性质知m⊥n，故①正确；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则由平面与平面平行的判定定理和直线与平面垂直的判定定理知m⊥γ，故②正确；③若m∥α，n∥α，则m 与n 相交、平行或异面，故③错误；④若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故④错误．故选：B．第8 页（共18 页）【点评】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．2 2 a10．（5 分）已知圆x +y +2x﹣6y+5a＝0 关于直线y＝x+b 成轴对称图形，则 b 的取值范围（）A ．（0，8）B ．（﹣∞，8）C．（﹣∞，16）D．（0，16）【分析】根据圆关于直线成轴对称图形得b＝4，根据二元二次方程表示圆得a＜2，再根据指数函数的单调性得4a 的取值范围．2 2【解答】解：∵圆x +y +2x﹣6y+5a＝0 关于直线y＝x+b 成轴对称图形，∴圆心（﹣1，3）在直线y＝x+b 上，∴3＝﹣1+b，解得b＝4又圆的半径r＝＞0，∴a＜2，a ab ＝4 ∈（0，16）故选：D ．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．11．（5 分）在一定的储存温度范围内，某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.71828 为自然对数的底数，k，b 为常数），若该食品在0℃时的保鲜时间为120 小时，在30℃时的保鲜时间为15 小时，则该食品在20℃时的保鲜时间为（）A ．30 小时B ．40 小时C．50 小时D．80 小时【分析】列方程求出e10k 和e b 的值，从而求出当x＝20 时的函数值．【解答】解：由题意可知，∴e30k＝，∴e10k＝，∴e20k+b＝（e10k）2?e b＝?120＝30．故选：A．【点评】本题考查了函数值的计算，属于基础题．12．（5 分）已知函数f（x）＝，若方程f（x）﹣a＝0 有3 个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（）A ．（1，4）B ．（0，1）C．[1，3）D．（0，2）第9 页（共18 页）【分析】函数的零点与方程的根的关系得：方程f（x）﹣a＝0 有3 个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝a 的交点个数，由数形结合的数学思想方法作y＝f（x）的图象与直线y＝a 有的图象，再观察交点个数即可得解【解答】解：方程f（x）﹣a＝0 有3 个不同的实数根等价于y＝f（x）的图象与直线y＝a 的交点个数，由图知：当0＜a＜1 时，y＝f（x）的图象与直线y＝a 有3 个交点，故选：B．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系及数形结合的数学思想方法，属中档题二、填空题（本大题共8 小题，每小题 5 分，共40 分.请将答案填写在答题卡相应位置）13．（5 分）在空间直角坐标系中，点A（1，﹣3，2）与点B（2，0，﹣2）之间的距离是．【分析】利用两点间距离公式直接求解．【解答】解：在空间直角坐标系中，点A（1，﹣3，2）与点B（2，0，﹣2）之间的距离是：|AB|＝＝．故答案为：．【点评】本题考查两点间距离的求法，考查两点间距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（5 分）已知过两点A（4，y），B（2，﹣3）的直线的倾斜角是45°，则y＝﹣1 ．【分析】由两点求斜率公式及斜率等于倾斜角的正切值列式求解．第10 页（共18 页）【解答】解：由已知可得：，即y+3＝2，则y＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查直线的斜率，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．15．（5 分）已知圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则该圆锥的母线长是底面圆半径的 3 倍．【分析】圆锥的侧面展开图是圆心角α，满足，进而得到答案．【解答】解：圆锥的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，即圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，设母线长为R，底面圆的半径为r ，则＝，即该圆锥的母线长是底面圆半径的 3 倍，故答案为：3．【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的几何特征，是解答的关键．16．（5 分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是32 ．【分析】根据三视图求出该四棱锥的底面菱形的面积，再求出四棱锥的高，从而计算出体积．【解答】解：根据三视图得，该四棱锥的底面是菱形，且菱形的对角线分别为8 和4，菱形的面积为×8×4＝16；又该四棱锥的高为＝6，所以该四棱锥的体积为×16×6＝32．故答案为：32．【点评】本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题．17．（5 分）已知两条平行直线4x+3y＝0 与8x+ay+10＝0 间离为d，则的值为 6 ．【分析】根据查两条直线平行的条件，求出 a 的值，再根据两条直线平行线间的距离公式求得d，可得的值．【解答】解：∵两条平行直线4x+3y＝0 与8x+ay+10＝0 间离为d，∴＝≠，求得a＝6，故两条平行直线即8x+6y＝0 与8x+6y+10＝0，∴d＝＝1，∴＝6，故答案为：6．【点评】本题主要考查两条直线平行的条件，两条直线平行线间的距离公式，属于基础题．18．（5 分）已知函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间[ ] 上恒有f（x）＞0，则实数 a 的取值范围是（，1）．【分析】利用对数函数的性质，分类讨论求得 a 的范围．【解答】解：∵函数f（x）＝log a（2x﹣a）在区间[ ]上恒有f（x）＞0，∴a＞1，且2×﹣a＞1；或0＜a＜1，且0＜2×﹣a＜1．解得a∈?，或＜a＜1，故答案为：（，1）．【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题．19．（5 分）下列五个结论x﹣1①f（x）＝a +1（a＞0，a≠1）的图象过定点（1，3）；②若f（x）＝x3+ax﹣6，且f（﹣2）＝6，则f（2）＝18；③已知x＝log 23，4y＝，则x+2 y＝3；④f（x）＝x（﹣）为偶函数；⑤已知集合A＝{ ﹣1，1} ，B＝{ x|mx＝1} ，且B? A，则实数m 的值为 1 或﹣1．其中正确的序号是③④（请填上你认为正确的所有序号）【分析】由指数函数的图象特点，可令x＝1，计算可判断①；由f（﹣x）+f（x）＝﹣12，计算可判断②；由对数的运算性质可判断③；由奇偶性的定义可判断④；讨论B 是否为空集，可判断⑤．【解答】解：对于①，可令x﹣1＝0，即x＝1，f（1）＝2，x﹣1f（x）＝a +1（a＞0，a≠1）的图象过定点（1，2），故①错误；3 3 3 对于②，若f（x）＝x +ax﹣6，且f（﹣2）＝6，由f（﹣x）+f（x）＝﹣x ﹣ax﹣6+x +ax ﹣6＝﹣12，则f（2）＝﹣18，故②错误；y对于③，x＝log 23，4＝，则y＝log 4 ，x+2 y＝log 23+log 2 ＝log 28＝3，故③正确；对于④，f（x）＝x（﹣）＝x? ，定义域为{ x|x≠0} ，f（﹣x）＝﹣x? ＝x? ＝f（x），f（x）为偶函数，故④正确；对于⑤，已知集合A＝{ ﹣1，1} ，B＝{ x|mx＝1} ，且B? A，B＝? ，可得m＝0，B≠?，可得m＝1 或﹣1，则实数m 的值为0 或1 或﹣1，故⑤错误．故答案为：③④．【点评】本题考查函数的图象和性质，考查奇偶性的判断和运用，考查集合的包含关系，转化思想和运算能力，属于中档题．3 220．（5 分）设f（x）＝x +ax +bx+c，f（1）＝1，f（2）＝2，则f（3）﹣f（0）的值为9 ．3 2【分析】由f（x）＝x +ax +bx+c，f（1）＝1，f（2）＝2，列方程组求出3a+b＝﹣6，由此能求出f（3）﹣f（0）的值．3 2【解答】解：∵f（x）＝x +ax +bx+c，f （1）＝1，f （2）＝2，∴，解得3a+b＝﹣6，∴f（3）﹣f （0）＝（27+9a+3b+c）﹣c＝27+9a+3b＝27﹣3×6＝9．故答案为：9．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题（本大题共 5 小题，共50 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）x+121．（10 分）已知集合A＝{ x∈R| ＜2 ≤16} ，B＝{ x|m﹣2≤x≤2m+1，m∈R } ．（1）当m＝1 时，求集合?A B；（2）若A∪B＝A，求实数m 的取值范围．【分析】（1 ）解不等式＜2x+1 ≤16，得 A ＝，当m＝1 时，B ＝，可得解；（2）由A∪B＝A，得：B? A，讨论①当B＝? 时，②当B≠? 时，可得解；【解答】解：（1）解不等式＜2x+1≤16，解得：﹣3＜x≤3，即A＝，当m＝1 时，B＝，所以?A B＝，（2）由A∪B＝A，得：B? A，①当B＝? 时，则有m﹣2＞2m+1，解得：m＜﹣3，符合题意，②当B≠? 时，则有，解得：﹣1＜m≤1，综合①②可得：实数m 的取值范围为：（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1]．【点评】本题考查了集合间的关系及补集及其运算，属简单题．22．（10 分）已知垂直于3x﹣4y+1＝0 的直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程．【分析】根据直线垂直的条件求出直线的斜率，利用待定系数法结合三角形的周长公式进行求解即可．【解答】解：直线l 与直线3x﹣4y+1＝0 垂直，则k＝﹣，设直线l 的方程为y＝﹣+b，则直线l 与x 轴的交点坐标为A（b，0），与y 轴的交点坐标为B（0，b），∴|AB|＝＝| b|，由题意得| b|+| b|+|b|＝15，即|b|＝5，得b＝±5，∴直线l 的方程为y＝﹣x±5，即4x+3y+15 ＝0 或4x+3y﹣15＝0．【点评】本题主要考查直线方程的求解，结合直线垂直的等价条件，利用待定系数法是解决本题的关键．23．（10 分）已知定义在R 上的函数f（x）是奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＝．（1）求函数f（x）在R 上的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论．【分析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，结合函数的奇偶性与奇偶性分析可得f（x）在（0，+∞）上的解析式，综合可得答案；（2）根据题意，设0＜x1＜x2，由作差法分析可得答案．【解答】解：（1）根据题意，f（x）为定义在R 上的函数f（x）是奇函数，则f （0）＝0，设x＞0，则﹣x＜0，则f（﹣x）＝，又由f（x）为R 上的奇函数，则f（x）＝﹣f（x）＝﹣，则f（x）＝；（2）函数f（x）在（0，+∞）上为增函数；证明：根据题意，设0＜x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（﹣）﹣（﹣）＝﹣＝，又由0＜x1＜x2，则（x1﹣x2）＜0，且（1+ x1）＞0，（1+x2）＞0；则f（x1）﹣f（x2）＞0，即函数f （x）在（0，+∞）上为增函数．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断以及应用，涉及掌握函数奇偶性、单调性的定义．24．（10 分）已知如图，平面DCBE ⊥平面ABC，四边形DCBE 为矩形，且BC＝5，AB＝4，AC＝3，F，G 分别为AD ，CE 的中点．（1）求证：FG ∥平面ABC ；（2）求证：平面ABE⊥平面ACD ．【分析】（1）连结BD ，推导出FG∥AB，由此能证明FG∥平面ABC．（2）推导出DC ⊥CB，从而DC⊥平面ABC，进而DC ⊥AB，再求出AB⊥AC，从而AB ⊥平面ACD ，由此能证明平面ABE⊥平面ACD．【解答】证明：（1）连结BD，∵四边形DCBE 是矩形，且G 为CE 的中点，∴BD∩CE＝G，且G 为线段BD 的中点，又∵F 为AD 的中点，∴FG 为△DAB 的中位线，∴FG∥AB，又∵FG ? 平面ABC，AB ? 平面ABC，∴FG∥平面ABC．解：（2）∵DCBE 是矩形，∴DC⊥CB，∵平面DCBE ∩平面ABC＝BC，DC ? 平面DCBE ，∴DC ⊥平面ABC，∴DC⊥AB，∵BC＝5，AB ＝4，AC＝3，∴AB2+AC 2＝BC2，∴AB⊥AC，∵AC∩DC＝C，AC? 平面ACD ，DC? 平面ACD ，∴AB⊥平面ACD ，∵AB? 平面ABE，∴平面ABE⊥平面ACD ．【点评】本题考查线面平行、面面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．25．（10 分）已知圆 C 的圆心C 在直线x﹣2y＝0 上．（1）若圆 C 与y 轴的负半轴相切，且该圆截x 轴所得的弦长为 4 ，求圆 C 的标准方程；（2）已知点N（0，﹣3），圆C 的半径为3，且圆心C 在第一象限，若圆C 上存在点M，使|MN |＝2|MO |（O 为坐标原点），求圆心 C 的纵坐标的取值范围．【分析】（1）根据圆心在直线x﹣2y＝0 上，可设圆心（2a，a），再根据圆 C 与y 轴负半轴相切得r＝﹣2a，弦长为 4 列方程可解得a＝﹣2，从而可得圆 C 的标准方程；2+（y﹣1）2＝4，记为圆D，再根据圆 C （2）根据|MN |＝2|MO |可得点M 的轨迹为圆x和圆D 有公共点列式可解得．【解答】解：（1）因为圆 C 的圆心在直线x﹣2y＝0 上，所以可设圆心为（2a，a）因为圆C 与y 轴的负半轴相切，所以a＜0，半径r＝﹣2a，又因为该圆截学轴所得弦的弦长为 4 ，2 2 2所以a +（2 ）＝（﹣2a），解得a＝﹣2，因此，圆心为（﹣4，﹣2），半径r ＝42 2 所以圆C 的标准方程为（x+4）+（y+2）＝16（2）圆C 的半径为3，设圆C 的圆心为（2a，a），由题意，a＞0则圆C 的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝9又因为|MN |＝2|MO |，N（0，﹣3），设M（x，y）2 2 则＝2 ，整理得x +（y﹣1）＝4，它表示以（0，1）为圆心， 2 为半径的圆，记为圆D，由题意可知：点M 既在圆 C 上又在圆 D 上，即圆 C 和圆D 有公共点．所以|3﹣2|≤≤5，且a＞0所以，即，解得，解得≤a所以圆心 C 的纵坐标的取值范围时[ ，]【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．。