《§3 解三角形的实际应用举例》教学案2

《§3 解三角形的实际应用举例》教学案2
教学目标
1、掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形。

2、能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

3、培养和提高分析、解决问题的能力。

教学重点难点
1、正弦定理与余弦定理及其综合应用。

2、利用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。

教学过程 一、复习引入
1、正弦定理：2sin sin sin a b c
R A B C === 2、余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔
bc
a c
b A 2cos 222-+=
,cos 2222B ca a c b -+=⇔
ca b a c B 2cos 222-+=
C ab b a c cos 2222-+=，⇔ab
c b a C 2cos 222-+=
二、例题讲解
引例： (课本P62题2)飞机的飞行线路和山顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海拔20250m ，速度为189km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为/03018，经过960s(秒)后又看到山顶的俯角为
081， 求山顶的海拔高度(精确到1m).
例1 曲柄连杆机构
当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作往复直线运动。

当曲柄
在0
CB 时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在0
A 处。

设连杆A
B 长为lmm ，
曲柄CB 长为rmm ，r l >
(1)当曲柄自0CB 按顺时针方向旋转θ度时，其中003600<≤θ，求活塞移动的
距离(即连杆的端点A 移动的距离A A 0
)。

(2)当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，求A A 0的长(结果精确到mm 1)
分析：不难得到，活塞移动的距离为
AC C A A A -=0
0 易知r l BC AB C A +=+=0
所以，只要求出AC 的长即可，在
ABC ∆中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC 的长
解：(1)设x AC =，若00=θ，则00
=A A ，若0180=θ，则rmm A A 20=
若001800<<θ，在ABC ∆中，由余弦定理得： C BC AC BC AC AB cos 2222⨯-+= 即：0)()cos (2222=---r l x r x θ
解得：
mm r l r r l r r x )sin cos ()cos (cos 2222221θθθθ-+=-++=
)cos (cos 2222<-+-=r l r r x θθ(不合题意，舍去)
AC BC AB AC C A A A -+=-=00
)
(sin cos (222mm r l r r l θθ---+
若00360180<<θ则根据对称性，将上式中的θ改为θ-0360即可 有：
)
(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=
总之，当003600<≤θ时，)
(sin cos (2220mm r l r r l A A θθ---+=
(2)当mm l 340=，mm r 85=，080=θ时，利用计算器得：
)
(8180sin 8534080cos 8585340022200mm A A ≈---+=
答：此时活塞移动的距离约为mm 81
800
B 0
A 0C
B A
例2：a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点C B ,分别在A 的正东方km 20和km 54处，某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，s 8后监测点A ，s 20后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是s km /5.1
(1)设A 到P 的距离为xkm ，用x 表示C B ,到P 的距离，并求x 的值
(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(结果精确到km 01.0)
分析：(1)PC PB PA ,,长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来 (2)作a PD ⊥，垂足为D ，要求PD 的长，只需要求出PA 的长和APD ∠cos ，即PAB ∠cos 的值，由题意，PB PC PB PA --,都是定值，因此，只需要分别在
PAB ∆和PAC ∆中，求出PAB ∠cos ，APC ∠cos 的表达式，建立方程即可
解：(1)依题意，km PB PA 1285.1=⨯=-，km PB PC 30205.1=⨯=-
因此：km x PB )12(-=，km x PC )18(+=，在PAB ∆中，km AB 20=
x
x x x x AB PA PB AB PA PAB 5323202)12(202cos 222222+=
⨯--+=⨯-+=∠
同理：
x
x PAC 372cos -=
∠
由于：
PAC PAB ∠=∠cos cos
即：x
x x x 372532
3-=
+ 解得：
km
x 7
132
= (2)作a PD ⊥，垂足为D ，在PDA Rt ∆中， PAB PA APD PA PD ∠=∠=cos cos
)(71.175
3271323532
3km x
x x ≈+⨯
=+⨯
= 答：静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为km 71.17
练习：1、如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A ，B ，C 三点进行
北
a P D C
B
A
测量。

已知AB=50m ，BC=120m ，于A 处测得水深AD=80m ，于B 处测得水深BE=200m ，于C 处测得CF=110m ，求DEF ∠的余弦值。

解：作DM//AC 交BE 于N ，交CF 于M 。

29810170302222=+=+=DM MF DF 130120502222=+=+=EN DN DE
.
15012090)(2222=+=+-=BC FC BE EF
在DEF ∆中，由余弦定理，
EF DE DF EF DE DEF ⨯-+=
∠2cos 222
.
6516150130229810150130222=
⨯⨯⨯-+=. 2、甲船以每小时230海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西0105方向的1B 处，此时两
船相距20海里．当甲船航行20分钟到达2
A 处时，乙船航行到甲船的北偏西0120方
向的2
B 处，此时两船相距210海里．问乙船每小时航行多少海里？
解：如图，连结21B A ，由已知2
2B A 210=，
2
1060
20
23021=⨯=A A ， ∴21A A 22B A =，又∠00022160120180=-=B A A ，
∴2
21B A A ∆是等边三角形， ∴==2121A A B A 210．由已知，2011=B A ，
∠002
1160105-=B A B =045在121B B A ∆中，
由余弦定理，
021112
212
112
2145cos 2B A B A B A B A B B ⨯-+=
200
2
2
210202)210(202
2
=⨯⨯⨯-+=
北
20
102
12001050
B 2
B 1
A 2
A 1
乙
甲
∴2102
1=B B ．因此，乙船的速度的大小为2306020210=⨯(海里/小时)
答：乙船每小时航行230海里．
课堂小结
1、本节课通过举例说明了解斜三角形在实际中的一些应用。

掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。

2、在分析问题解决问题的过程中关键要分析题意，分清已知 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余 弦定理解题。

3、在解实际问题的过程中，贯穿了数学建模的思想，其流程 图可表示为：
画图形
数模型
解三角形
检验（答）
数模型的解
实际问题的解
实际问题。