第五章 线性系统的根轨迹法

幅值条件:
n
n
1 kg
(s zi )
i 1
n
(s pj)
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j1
j1
相角条件:
m
n
(s zi ) (s pi ) (1 2k) , k 0,1, 2, 3....
i 1
j1
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我们可以把系统的闭环特征方程的根描述成: 凡是满足幅值条件和相角条件的s值称为特征方程 的根——即闭环极点。
nm
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例5-2 已知系统的开环传递函数,试画出该系统根轨迹的渐近线。
Gk
s
kg (s 2) s2 (s 1)(s
4)
解
1渐近线：系统有n=4,m=1,n-m=3 三条渐近线与实轴交点位置为：
σ 1 4 2 1 3
实轴正方向的交角分别是
j
π 60(k 0) 3
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3
当 kg 0 时, s1 0, s2 2
当 0 kg 1 时, s1与 s2 为不相等的两个负实根；
当 kg 1时， s1 s2 1 为等实根；
当 kg 1 时，s1,2 1 j kg 1 共轭复根。
该系统特征方程
S Kg
j
的根，随开环系
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规则三 根轨迹的分支数、连续性和对称性
根轨迹的分支数即根轨迹的条数。根轨迹是描述闭环系统特 征方程的根（即闭环极点） 在s平面上的分布，那么，根轨迹 的分支数就应等于系统特征方程的阶数。
由例5-1 看出，系统开环根轨迹增益k（g 实变量）与复变量 s有一一对应的关系。
1 Gk
s
0
1
kg
N s Ds
0
即：
N (s) D(s)
1
kg
n
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j1
zi 开环的零点
pi
开环的极点
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根轨迹图是闭环系统特征方程的根（闭环极点）随开环系 统某一参数由0变化到∞时在S平面上留下的轨迹。
由此可得到满足系统闭环特征方程的幅值条件和相角条件为：
近线夹角为：
2k 1
600 ,1800
n m
k 0,1, 2,L ,n m 1
渐近线与实轴的交点为
n
m
Pi Z j
i1
j1 1
nm
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求分离点：kg s3 3s2 2s 由上式可求 dkg 3s2 6s 2
ds 上式的根为 s1 0.423
第五章 线性系统的根轨迹法
5.1 根轨迹的基本概念 5.2 根轨迹的绘制规则 5.3 广义根轨迹 5.4 零度根轨迹 5.5 系统性能分析
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本章重点
➢ 根轨迹的概念、幅值条件、 相角条件 ➢ 根轨迹的基本绘制规则 ➢ 等效传递函数的概念 ➢ 根轨迹的简单应用
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当 k g由0到∞连续变化时，描述系统特征方程根的复变量s 在平面上的变化也是连续的，因此,根轨迹是n条连续的曲线。
由于实际的物理系统的参数都是实数,如果它的特征方程有复 数根的一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称 于实轴的。
结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数。根轨 迹是连续且对称于实轴的曲线。
令此方程中虚部为零，即可求得 根轨迹与虚轴的交点处
的频率为 。用 代入实部方程，即可求出系统开环根
轨迹临界值kc。
(2) 利用劳斯表求取。将劳斯表中s2行系数构造的辅助方 程求得。若根轨迹与虚轴的交点多于两个，则应取劳斯表 中大于2的偶次方行的系数构造的辅助方程求得。
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N (s)
即：dkg D '(s)N (s) D(s)N '(s)
ds
N 2(s)
分离点/会合点:
dkg 0 和 dF (s) 0
ds
ds
以上分析没有考虑 kg 0 (且为实数)的约束条件，所以 只有满足 kg 0 的这些解，才是真正的分离点（或会合
点）。
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D(s) - (s p1)(s p2 )L L (s pn )
即
d [ln N (s)] 1 1 L L 1
ds
s z1 s z2
s zm
所以
d
1
1
1
[ln D(s)]
L L
ds
s p1 s p2
s pn
m
1
n
1
i1 s zi j1 s p j
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n
j
i1
j1, jk
m
n
入射角： i j
i 1,i k
j 1
Im
A
s1
p2
3 p3
1
z1
1
0 p1
Re
2
p2*
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规则八 根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根 （实部为零）。
(1) 用 s jω代入特征方程可得
kg N (s) D(s) |s j 0
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例5-3
绘制开环系统传函数为
Gk (s)
s(s
kg 1)(s
2)
的单位负反馈系统的(180°)根轨迹。
解 1）此系统无开环零点，有三个开环极点，分别为： 2）渐近线： p1 0 p2 1 p3 2
根据规则可知，系统根轨迹有三条分支，当 kg 0分别从
开环极点 p1、p2、p3出发，kg 时趋向无穷远处，其渐
(s d ) 1[(s 1)(s 2 )L (s n )] 0
即可求得 dF (s) 0
ds
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故在重根处有:
dF (s) ds
d (kg
N
(s) ds
D(s))
kg
N
'(s)
D
'(s)
0
D(s)
因为： kg N (s)
所以： D(s) N '(s) D '(s) 0
动态性能 当0 kg 1 时, 所有闭环极点均位于实轴上,系统为过
阻尼系统，其单位阶跃响应为单调上升的非周期过程。
当 kg 1 时，特征方程的两个相等负实根，系统为临界阻尼
系统，单位阶跃响应为响应速度最快的非周期过程。
当 kg 1 时，特征方程为一对共轭复根系统为欠阻尼系统，
单位阶跃响应为阻尼振荡过程，振荡幅度或超调量随K g值的
事实上，分离点还可由下式确定
因为
m
1
n
1
i1 s zi j1 s p j
D(s)N(s) D(s)N(s) 0
即 其中
N (s) D(s) N (s) D(s)
d [ln N (s)] d [ln D(s)]
ds
ds
N(s) (s z1)(s z2 )L L (s zm )
K1
分离点
根轨迹在s平面上相遇，表明系统有相同的根。即在分离点
和会合点处必有闭环特征重根,令闭环特征方程为:
F(s) kg N(s) D(s) (s d ) (s 1)(s 2)L (s n ) 0
如果令
dF (s) ds
(s d )
d ds
[(s
1
)(s
2
)L
(s n )]
统参数k从0变到 ∞时，在S平面 上变化的轨迹如 图所示。
kg 0
P1
kg 1 kg 0
P2
Kg
性能
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二、根轨迹与系统性能
稳定性 当增益K1由0→∞ ，根轨迹不会越过虚轴进入s平面右半 边，因此系统对所有的值都是稳定的。如果系统特征方程的根 都位于s平面的左半部，系统是稳定的，否则是不稳定的。若根 轨迹穿越虚轴进入右半s平面,根轨迹与虚轴交点处的K值，就是 临界稳定的开环增益。 稳态性能 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属Ⅰ型系统, 因而根轨迹上的K值就是静态速度误差系数。如果给定系统的 稳态误差要求，则由根轨迹图确定闭极点位置的允许范围。
注：因为K g从0 变化，因此不论什么s值,总有一个 Kg 存在,使幅值条件得到满足,所以,实际上只要满足 相角条件的s值就是闭环极点,而由此s值,再由幅值条 件可确定此时系统对应的K g值。
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5.2 根轨迹的绘制规则
通常，我们称以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹为 普通根轨迹（或 180°根轨迹），简称根轨迹。
增加而加大，但调节时间不会有显著变化。
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三、根轨迹的概念
设系统的开环传递函数为:
Gk
s
kg N (s) D(s)
k g为根轨迹增益(或根轨迹的放大系数)
其中:
n
N (s) (s z j ),
n
D(s) (s pj )
j 1
j 1
可得到系统的闭环特征方程式为:
规则九、根轨迹的走向
当n-m≥2满足时，随着Kg增加，一些根轨迹分支向左 方移动，则另一些根轨迹分支将向右方移动。
开环传递函数：
m
m
G(s)H(s)
kg(s
z1 )L
L
(s
zm
)
Leabharlann Baidu
(s p1 )L L (s pn )
kg (sm zi sm1 L L zm )
i 1
i 1
n
n
sn pj sn1 L L pj
A
B
60 0
5π 60(k 2) 3
π 180(k 1)
渐近线如图所示。
1800
-4 -3 -2 -1
300 0
0
60 0
C
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规则六 根轨迹的分离点、会（汇）合点
K1
K1 0
K1
K1 K1 0
K1 0
会合点 K1 0
s2 1.577
分离点必位于0至-1之间的线段上， 2 1 故s1 0.423 为分离点d的坐标。
j
S
0
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规则七、根轨迹的出射角和入射角
m
n
由相角条件可直接得到 i j (1 2k)
i 1
j 1
出射角:
m
i
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当 Kg变化时，极点的重心保持 不变。所以，为了平衡“重心” 的位置，当一部分根轨迹随着的 增加向左方移动时，另一部分根 轨迹将向右方移动。
例
G(s)H(s)
K*
s(s p2 )(s p3)(s p4 )
Im p4
p2
0 p1 Re
p3
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规则十、 根轨迹上kg值的计算
当开环极点数 n大于开环零点数m时, 系统有n-m条根轨 迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线 叫做根轨迹的渐近线，因此渐近线也有n-m条, 且它们交于实 轴上的一点。
渐近线与实轴的交点位置 和与实轴正方向的交角 分别为:
n
m
Pi Z j
i1
j1
nm
2k 1 ,k 0,1, 2,L , n m 1
s zj
j1
n
s pi
1 kg
i 1
当 kg 时，必有 s z j ( j 1, 2,L , m)
此时，系统的闭环极点与开环零点相同（重合），我们把 开环零点称为根轨迹的终点。
结论：根轨迹起始于开环极点 (kg 0) ，终止于开环
零点 (kg ) 。
如果开环极点数n大于开环零点数m,则有n-m条根轨迹终止 于S平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环 极点数n，则有m-n 条根轨迹起始于S平面的无穷远处。
特征方程：
j 1
j 1
n
n
m
m
1 G(s)H (s) sn pj sn1 L L pj kg sm kg zi sm1 L L kg zm
j1
j1
i 1
i 1
当满足n-m≥2 时，上式sn-1项将没有同次项可以合并，通
n
常把 pi / n 称为极点的“重心”。 j1
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规则一 根轨迹的起点
m
由根轨迹的幅值条件可知： s z j j 1 n s pi
1 kg
i1
当 kg 0 ,必有 s pi (i 1, 2,L , n)
此时系统的闭环极点与开环极点相同(重合)，把开环极点 称为根轨迹的起点。
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规则二 根轨迹的终点
m
由根轨迹的幅值条件可知：
2
5.1 根轨迹的基本概念
一、一个例子
例5-1 一单位负反馈系统的开环传递函数为：
Gk
s
kg s(s
2)
试分析该系统的特征方程的根随系统参数
k
的变化在S平面
g
上的分布情况。
解 系统的闭环特征方程： s2 2s kg 0
特征方程的根是： s1,2 1 1 k g 设 k的g 变化范围是〔0, ∞﹚
根轨迹上任一点S1处的kg可由幅值条件来确定。即
kg
1
G1(s1 )H (s1 )
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规则四 实轴上的根轨迹
实轴上的根轨迹由相角条件可证:设某段右侧的零,极点数分
别为： N z , N p
m
n
则: i j Nz N p (1 2k)
i 1
j1
即右侧开环零,极点数的和为奇数时,该段为根轨迹。
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规则五 渐近线