人教版高中数学必修四平面向量单元复习3优质课件
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新人教版数学必修4同步课件：平面向量基本定理
(方法 2)因为������������ = ������������ + ������������,
而������������
=
1 2
������������
=
1 2
(������������
−
������������ ),
所以������������
=
������������
+
1 2
(������������
分析根据平面向量基本定理,结合向量的线性运算进行求解.
解(1)(方法 1)如图,因为������������ = ������������ + ������������, ������������ = ������������ + ������������, 所以 2������������ = ������������ + ������������ + ������������ + ������������.
的其他向量的基底的是( )
A.①②
B.①③
C.①④ D.③④
解析∵������������ 与������������ 不共线,������������ 与������������ 不共线,∴①③可以作为基底,
其他两组分别共线,故不可以,选 B.
答案B
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
平面向量基本定理的应用
2.3.1 平面向量基本定理
-1-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.理解基底的定义,并能判断两个向量是否是 平面向量基本定理
基底.培养数学抽象及逻辑推理素养. 2.理解并掌握平面向量基本定理,会用基底表 示平面向量.培养数学抽象、数学运算素养. 3.掌握两个向量夹角以及两个向量垂直的定 义.培养数学运算、数学抽象素养.
高中人教B版必修四课件：复习课(三) 平面向量
4．在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的中点．若 AC ·BE ＝1，则 AB 的长为________． 解析：设| AB|＝x，x＞0，则 AB·AD＝12x.又 AC ·BE ＝( AD ＋ AB)· AD－12 AB＝1－12x2＋14x＝1，解得 x＝12，即 AB 的长为12. 答案：12
(2)解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据 数量积的定义，即 a·b＝|a||b|cos θ，二是利用坐标运算，即 a·b＝x1x2 ＋y1y2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判 断两个向量垂直的方法．
[典例] (1)设 a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若 b⊥c，则
[答案] (1)A (2)C
[类题通法] (1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运 算，数量积的几何意义； (2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中 已知向量的模和夹角进行计算．
[题组训练]
1．已知 a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝ 19，则向量 a 与 b
由―O→C ＝λ―O→A ＋μ―O→B ，
得(1,0)＝λ(0,1)＋μ 23，－12＝ 23μ，λ－12μ，
∴
23μ＝1，
λ－12μ＝0，
解得μ＝2 3 3，
λ＝
3 3.
∴λ＋μ＝ 3. 答案： 3
平面向量的数量积
(1)题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运 算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识 交汇命题．
3.如图，半径为 1 的扇形 AOB 的圆心角为 120°， 点 C 在 AB 上，且∠COB＝30°.若―O→C ＝λ―O→A ＋ μ―O→B ，则 λ＋μ＝________.
必修四_平面向量知识点梳理58页PPT
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
必修四_平面向量知识点梳理
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是ห้องสมุดไป่ตู้毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
人教版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示课件 (3)
互相垂直
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
2
3
4
1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
1
2
3
4
2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
填要点·记疑点
单位向量
xi＋yj
有序数对(x，y)
a＝(x，y)
2.平面向量的坐标运算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝ ，即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和.
(x，y)
(x2－x1，y2－y1)
(x1＋x2，y1＋y2)
反思与感悟 选定基底之后，就要“咬定”基底不放，并围绕它做中心工作，千方百计用基底表示目标向量.要充分利用平面几何知识，将平面几何知识中的性质、结论与向量知识有机结合，具体问题具体分析，从而解决问题.
反思与感悟 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时，首先仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理，结合平面向量基本定理解决.
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形.
解 (1)∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD，
∵∠DBC＝120°，
解 ∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，
当堂测·查疑缺
1
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3
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1.等边△ABC中， 与的夹角是( )A.30° B.45° C.60° D.120°
D
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2.设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是_________.(写出所有满足条件的序号)解析 对于③4e2－2e1＝－2e1＋4e2＝－2(e1－2e2)，∴e1－2e2与4e2－2e1共线，不能作为基底.
思考2 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.如图，向量i、j是两个互相垂直的单位向量，向量a与i的夹角是30°，且|a|＝4，以向量i、j为基底，向量a如何表示？
人教A版高中数学必修4课件：第二章《平面向量》复习课(共23张PPT)
uur a0 (
2, 2
2) 2
ur b0
(
4
41 41
,
5
41 ) 41
题型二：利用向量知识证明
例27.（a1b1＋a2b2）2≤（a12＋a22）·（b12＋b22）
r
r
证则明rar：arr2 设bra1r2aa1ra2b21,(bar a212,abb2122r,),
b
rb22
(b1,
b2
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
3)坐标表示 a xi y j (x, y)
r uuur a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
a MN (xN xM , yN yM )
一.基本概念
2.零向量及其特殊性
(1)0方向任意(2)0 // a(3)0 0(4) 0 0
r
在正八r边形A1Ar2Ar3……A8中，设A1A2= a ，
A1A8u=uubu，r 试uu用uuuar
，b表示：
uuuuur uuuur
uuuuur
uuuur
A2 A3, A2 A4, A4 A5, A5 A6, A6 A7 , A7 A8
A6 A7
A5 A4
A8
A3
b
A1 a A2
uuuur r r A2 A3 2a b
|a|
可正可负可为零
二r.基本运算（r 坐标途径）
若a r
( r
x1,
y1 ),
b
(
x2
,
y2
),
则
1)a b (x1 x2 , y1 y2 ) rr
人教A版高中数学必修四课件：模块复习课3 平面向量
2.两个重要定理 (1)向量共线定理：向量 a(a≠0) ________与b共线，当且仅当
有唯一一个 b=λa
实数λ ，使______.
不共线向量
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两
=λ1e1+λ2e2 个a ___________ ，
那么对于这一平内的任一向量 a ，有且只有一对实 数λ 1 ，λ 2 ，
类型一
平面向量的线性运算及应用
【典例1】(1)化简： AD BC AC DB （ ）
A.2CD B.CD C.AD D.0
(2)已知A(-2，4)，B(3，-1)，C(-3 设AB， a-4). ， BC b， CA c.
①求3a+b-3c；
②求满足a=mb+nc的实数m，n.
第三课 平面向量
【网络体系】
【核心速填】 1.五种常见的向量
(1)单位向量：模为 __的向量. 1
(2)零向量：模为 __的向量. 0
(3)平行(共线)向量：方向 ___________的向量. 相同或相反
(4)相等向量：模相等、方向 _____的向量 相同 (5)相反向量：模相等、方向 _____的向量 相反
6m n 5， m 1， 所以解得 解得 3m 8n 5， n 1.
【方法技巧】向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运 算.向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对 它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量 的大小和方向两个方面.
6.向量的运算律 (1)交换律： a+b=b+a， a·b=b·a. (2)结合律：
a+b+c=(a+b)+c，
高中数学必修4第二章平面向量小结复习课ppt课件
(3)证明两直线平行的问题:
A
AB CD AB // CD
B与CD不在同一直线上
直线A
B
//
直线CD 7
平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e，e 叫做表示这一平面内 12
第二章 平面向量复习课
1
一.基本概念
1.向量及向量的模、向量的表示方法 B
1)图形表示 A
r uuur有向线段AB
2)字母表示 a AB r uuur
3)坐标表示
r
向量的模
rr
:|
a
||
AB
|
a xi y j (x, y)
r uuur
a OA (x, y) 点A(x, y)
r uuuur
的夹角为钝角(k a 2b)（ 2a 4b） 0且k 1,
即14(k 6) 4(2k 4) 0且k 1k 50 且k 1
3
13
已知a 1,sin ,b 1, cos , R.
1若a b 2,0,求sin 2 2sin cos的值;
2若a b 0, 1 , ,2 ,求sin cos的值
所有向量的一组基底.
8
平面向量数量积
ar
•
r b
ar
•
r b
• cos
B
b
O
a B1 A
作OA a，OB b ，过点B作BB1
垂直于直线OA，垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cosθ
| b | cosθ叫向量 b 在 a 方向上的投影．
人教版必修四第二单元平面向量的复习课件
变式：若等边 ABC 的边长为 2
3 ，平面内一点
M
满足 CM
1
CB
2 CA
,则
63
MA• MB ________.
题型五: 向量与三角函数的综合
例 已知向量 a (sin ,2) 与 b (1, cos ) 互相垂直，其中 (0, ) ．
2 （1）求 sin 和 cos 的值；
（2）若 sin( ) 10 , 0 ，求tan( )的值．
4.注意掌握一些重要结论，灵活运用结论解题。如向量的共线定理， 平面向量基本定理，三角形四心与向量有关的常见结论等。
1. (湖南)设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,
且 =2 ， =2 ， =2 ,则
（）
A.反向平行
B.同向平行
C.互相垂直
A
解:
E F
D.既不平行也不垂直
B
C
D
仿照上题，用坐标运算的方法解决下列问题：
例 已知 ABC，AD 为中线，求证 AD2 1 AB2 AC2 BC 2
2
2
例 设两个向量 e1 、e2 ，满足| e1 | 2 ，| e2 | 1 ，e1 、e2 的夹角为 60°，若向量 2te1 7e2
与向量 e1 te2 的夹角为钝角，求实数 t 的取值范围.
3
3
OM ,ON, MN
B
D
M
N C
A O
题型三: 向量平行与垂直的条件
4、已知 O，N，P 在 ABC 所在平面内，且 OA OB OC , NA NB NC 0 ，
且 PA• PB PB • PC PC • PA ，则点 O，N，P 依次是 ABC 的
人教A版数学必修四第二章平面向量单元复习课件ppt
D
A
M
MN
C N
B
1 3
MC
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
例4
在Rt△ABC中，已知斜边BC=2，
线段PQ以A为中点，且PQ=4，向量 B C 与
P Q 的夹角为60°，求 BP CQ .
（5）相等向量： 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用 长度相等且方向相同的向量. （6）相反向量： 长度相等且方向相反的向量. （7）平行向量（共线向量）： 方向相同或相反的非零向量. （8）向量的数量积： a·b=|a||b|cosθ.
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
d＝(－2，－6)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
Cபைடு நூலகம்
Q
BPCQ 2 A
B
P
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
知识梳理 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
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（7）|a| = ； x12 + y12
(8) cos q = a ?b =
x 1x 2
ab
x
2 1
+
y12
y 1y 2
x
2 2
+
y22
范例分析
例1设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，
c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，
2(a－c），d 的有向线段首尾相接能构 成四边形，求向量d 的坐标.
2.向量的坐标运算
设向量a=(x1，y1),b=(x2，y2),则
（1）a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)；
（2）a－b＝(x1－x2，y1－y2)；
（3）λ a＝(λ x1，λ y1)；
（4）a·b＝x1x2＋y1y2；
（5）向量a，b(b≠0)共线 x1y2 =x2y1；
Û （6）a⊥b
x1x2＋y1y2＝0；
第二章 平面向量 单元复习 第三课时
知识结构
t
p
1 2
5730
线性运算
基本定理
向 量
实际背景 向量
的 实
际
坐标表示
应 用
数量积
知识梳理
1.向量的坐标表示 （1）设i、j是与x轴、y轴同向的两个单 位向量，若a＝xi＋yj，则a＝(x，y)；
（u2u）ur 若点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 A B ＝(x2－x1，y2－y1).
角θ 的取值范围.
q Î [0, p ] 6
例7 已知实数x、y满足：x＋y＝1， 求证：(x + 2)2 + (y + 2)2 ? 25 .
2
作业：
P119复习参考题A组： 7，8，9，10，12.
a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8，16)，求
cosθ 的值.Biblioteka cos q = - 63 65
例5 已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，
－4)，|c|= 5 ，若(a＋b)·c = 5 ，求
向量a与c的夹角.
2
120°
例6 已知点A(0，1)，B(0，－1)，
AuCu(Pur1?，Buu0Pur)，2O(为PuuC坐ur)2标,原求点向，量动OuuP点ur 与P满OuuC足ur的：夹
d＝(－2，－6)
(向－量例12，AuuC2ur已 )的，知坐且向O标u量uCu.rOuu^Aur O=uu(Bur3，，Bu1uCu)r，/ /OuOuuBuurAur，= 求
uuur AC
= (11，6)
例3 已知向量a＝(2，3)，b＝(－4，
3)，求向量a在b方向上的投影.
1 5
例4 设向量a与b的夹角为θ ，已知