高考数学一轮复习 第4讲 椭 圆课件 理 苏教版
2025高考数学一轮复习-41.1-椭圆的概念及基本性质【课件】
5 ． 已 知 椭 圆 过 点 (3 ， 0) ， 离 心 率 e ＝ 6 ， 则 椭 圆 的 标 准 方 程 为
3 _____2y_72_＋__x9_2_＝__1_或__x9_2_＋__y32_＝__1_．
ay22＋bx22＝1(a＞b＞0)
顶点坐标
A1(－a，0)，A2(a，0) B1(0，－b)，B2 B1(－b，0)，B2(b，0)
性
轴
长轴 A1A2 的长为__2_a___；短轴 B1B2 的长为___2_b__
质
焦距
|F1F2|＝__2_c___
离心率
【解析】由于椭圆的焦点在 x 轴上，故可设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0).由椭 圆的定义知 c＝2，2a＝ 52＋22＋－322＋ 52－22＋－322＝2 10，所以 a＝ 10， 所以 b2＝a2－c2＝10－4＝6，所以所求椭圆的标准方程为1x02 ＋y62＝1. 【答案】D
①焦点三角形的周长为 2(a＋c). ②S△F1PF2＝12|PF1||PF2|sin θ＝b2tan 2θ＝c|y0|. ③当 P 为短轴端点时，θ 最大，S△F1PF2 最大． ④|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c. ⑤|PF1|·|PF2|≤|PF1|＋2 |PF2|2＝a2. ⑥4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
【解析】当椭圆的焦点在 x 轴上时，因为 a＝3，ac＝ 36，所以 c＝ 6，从而 b2＝a2－ c2＝9－6＝3，所以椭圆的标准方程为x92＋y32＝1. 当椭圆的焦点在 y 轴上时，因为 b＝3，ac＝ 36，所以 a2a－b2＝ 36，所以 a2＝27，所 以椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1.综上，椭圆的标准方程为2y72 ＋x92＝1 或x92＋y32＝1.
2024年高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节椭圆课件
知识点99：椭圆的定义及标准方程
教材知识萃取
椭圆的定义和标准方程
（1）定义平面内与两个定点 , 的距离的和等于①______（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的②______，两焦点间的距离叫做椭圆的③______.集合语言： , ,其中 ，且 , 为常数.注意 若 ，则动点的轨迹是线段 ；若 ，则动点的轨迹不存在．
教材素材变式
(2)易知椭圆+y2=1的焦点坐标为(±1,0),设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则c=1,因为椭圆过点(1,),所以2a=+=4,即a=2,所以b=,所以所求椭圆的标准方程为+=1.(3)设所求椭圆方程为+=1(m>0,n>0,m≠n).分别把A(2,-),B(-,-)的坐标代入,得解得所以所求椭圆的标准方程为+y2=1.
教材素材变式
2. “1<m<5”是“曲线+=1表示椭圆”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
教材素材变式
3. 已知椭圆C:+=1(m>0)的一个焦点的坐标为(2,0),则m=A.1 B.2C.5 D.9
教材素材变式
【多维探究】若将本题中的条件“一个焦点的坐标为(2,0)”改为“焦距为4”,则m= .
几何性质
范围
对称性
对称轴：⑥___________.对称中心：⑦______.
轴、 轴
原点
知识点100：椭圆的几何性质
标准方程
几何性质
焦点
顶点
轴
焦距
离心率
续表
知识点100：椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度,当 越接近于1时， 越接近于 ，从而 越小，因此椭圆越扁；当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越大，因此椭圆越接近圆；当 时， , ，两焦点重合，图形就是圆.
椭圆及其性质课件-2025届高三数学一轮复习
,
=
+
向量的数量积求解；
= ，再由 =
+ ，借助
思路二：先利用椭圆定义以及在焦点三角形中用余弦定理先求出
,
=
+
和等于四条边的平方和求解.
思路三：利用等面积，即
点的坐标.ຫໍສະໝຸດ = ，再利用平行四边形对角线的平方
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之椭圆及其性质
1.椭圆的定义
条件
结论1
，
①________为椭
平面内与两个定点 ， 的距离的和等
于常数（大于 ）的点
+ =
>
结论2
点的轨
迹为椭圆
圆的焦点；
②_______为椭圆
求 ⋅ 的值,通过整体代入可求其面积等.
1.(2023·全国甲卷)设 , 为椭圆:
+ = 的两个焦点，点在上，
若 ⋅ = ，则 ⋅ =(
A.1
B.2
√
)
C.4
D.5
解析：选B.方法一：因为 ⋅ = ，所以 ⊥ ,则
的焦距
若= ，则动点的轨迹是线段 ；若< ，
则动点 的轨迹不存在.
2.椭圆的标准方程及几何性质
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形
标准方程
范围
顶点
+
= >>
+
高考江苏数学大一轮精准复习课件椭圆
典型例题解析
例题2
已知椭圆的一个焦点坐标为$(3,0)$，且过点$(5,4)$，求椭圆的标准方程。
解析
设椭圆的标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$）。由题意知，焦点坐标为$(3,0)$ ，则焦距$c = 3$。又因为椭圆过点$(5,4)$，则有$frac{25}{a^2} + frac{16}{b^2} = 1$。结合焦距公式$c^2 = a^2 - b^2$，解得$a = 5, b = 4$。因此，椭圆的标准方程为$frac{x^2}{25} + frac{y^2}{16} = 1$。
高考江苏数学大一轮精准复习 课件椭圆
汇报人:XX
20XX-01-13
目
CONTENCT
录
• 椭圆基本概念与性质 • 直线与椭圆位置关系 • 圆锥曲线中椭圆问题探讨 • 复杂背景下椭圆问题求解策略 • 总结归纳与提高训练
01
椭圆基本概念与性质
椭圆定义及标准方程
椭圆定义
平面内与两定点$F_1, F_2$的距离之和等于常数$2a$（$2a > |F_1F_2|$）的点的轨迹叫做椭圆。
高频考点分析和应对策略
椭圆与直线的位置关系
01
分析椭圆与直线位置关系的高频考点，掌握判断方法，能够熟
练求解相关问题。
椭圆的综合应用
02
探讨椭圆在综合问题中的应用，如最值问题、轨迹问题等，提
高综合运用能力。
应对策略
03
针对高频考点，制定相应的应对策略，如熟练掌握基本方法、
多做典型例题、注重思维训练等。
典型例题解析
例题1
2021年高考数学(江苏版)一轮配套课件：§15.1 椭 圆 .ppt
2,
,
4kt 1 4k2
, 1
t 4k2
由已知OH=1可得t2= (1(4*k).2 )2
16k2 1
因为PQ2=(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]
=(1+k2) 64k2t2 16(t2 1)(1 4k2 )
(1 4k2 )2
=(1+k2)16(1, t2 4k2 )
(4k2 1)2
4
则该椭圆的离心,0),F(-c,0).
∵PF⊥x轴,∴|PF|= b2 .
a
因为|PF|= 1 |AF|,所以b2 1=
4
a4
= c =3 .
a4
(a+c),即(3a-4c)(a+c)=0,∵a,c>0,∴3a-4c=0,∴e
答案 3
4
例3
(2015福建文改编,11,5分)已知椭圆E:
5
≥4b ,即b≥4 1,所以e2=
32 (4)2 5
≤ 3,
2
= c=2 a2≤ b2 ,又4 0<b2e<1,3所以0<e
a2
a2
44
即椭圆E的离心率的取值范围是0<e≤ 3.
2
答案 0<e≤ 3
2
方法 3 椭圆中的最值问题
解决椭圆中的最值问题主要运用数形结合、函数与方程两大数学思想,
具体方法有以下几种:
由OH=1可得PQ= 3,
此时S△POQ= 1 OH·PQ= 3 .
2
2
当PQ不垂直于x轴时,
设直线l的方程为y=kx+t,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由
x
江苏高考数学(理)总复习课件： 椭 圆共46页
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
Байду номын сангаас
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
江苏高考数学(理)总复习课件： 椭 圆
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
2020版高考数学一轮复习课件椭 圆
[解析] 若焦点在 x 轴上，由题知 a＝3，因为椭圆的离心
率 e＝ 35，所以 c＝ 5，b＝2，所以椭圆方程是x92＋y42＝1.若焦
点在 y 轴上，则 b＝3，a2－c2＝9，又离心率 e＝ac＝ 35，解得 a2＝841，所以椭圆方程是8y12 ＋x92＝1.
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[解题技法] 利用定义求方程、焦点三角形及最值的方法
求方程
通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点P 满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程
求焦点 利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点 三角形 三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦
定理．其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧
求最值
抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到基本不 等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|
＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值
[口诀归纳]
椭圆定义是基础，解题过程莫疏忽；
定义等式藏图中，平几知识要活用.
返回
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
椭圆的方程为________．
2b＝4， 解析：由题意得ac＝ 23，
a2＝b2＋c2，
解得ba＝＝24，，
所以椭圆的方程为1x62 ＋y42＝1. 答案：1x62 ＋y42＝1
返回
5
．
若
方
程
x2 5－k
＋
y2 k－3
＝
1
表示椭圆，则
k
的取值范围是
________．
解析：由已知得5k－ －k3>>00， ， 5－k≠k－3.
(江苏专版)高考数学一轮复习第九章解析几何第四节椭圆实用课件文
3.[考点二]已知中心在原点，焦点坐标为(0，±2 6)的椭圆被直线
a42＋b32＝1， c2＝a2－b程为x82＋y62＝1.
[答案] (1)x32＋y22＝1 (2)x82＋y62＝1
第十页，共33页。
[方法技巧] 待定系数法求椭圆方程的思路
第十一页，共33页。
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知椭圆 C：x42＋y32＝1，M，N 是坐标平面内的两点，
MAN 的中位线，则|DF1|＝12|AN|，同理|DF2|＝12|BN|，所以|AN|
＋|BN|＝2(|DF1|＋|DF2|)，因为 D 在椭圆上，所以根据椭圆的定
义知|DF1|＋|DF2|＝4，所以|AN|＋|BN|＝8.
答案：8
第十二页，共33页。
2.[考点一](2018·浙江金丽衢联考)若椭圆 C：x92＋y22＝1 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆 C 上，且|PF1|＝4，则∠F2PF1＝________. 解析：由题意得 a＝3，c＝ 7，则|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△ F2PF1 中，由余弦定理可得 cos∠F2PF1＝42＋22×2－4×22 72＝－12. 又∵∠F2PF1∈(0，π)，∴∠F2PF1＝23π. 答案：23π
第四页，共33页。
2(1．)焦椭点圆在的x标轴准上方的程椭圆的标准方程是__xa_22_＋__by_22＝__1__(a＞b＞0)， 焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2.
(2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是__ay_22_＋__xb_22＝__1__(a＞b＞0)， 焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2.
第五页，共33页。
高考数学大一轮复习 第五节 椭 圆课件 理 苏教版
第九页，共39页。
1.(2014·镇江期末)如图，P 为椭圆2x52＋1y62 ＝1 上一点，F1，F2 分别为其左、右焦点， 则△PF1F2 的周长为________． 解析：根据椭圆第一定义，PF1＋PF2＝2a＝10，F1F2＝2c＝6. 所以△PF1F2 的周长为 PF1＋PF2＋F1F2＝2(a＋c)＝16. 答案：16
第二十页，共39页。
[解] (1)因为 c＝4m，椭圆离心率 e＝ac＝45， 所以 a＝5m，所以 b＝3m. 所以椭圆 C 的标准方程为25xm2 2＋9ym22＝1. (2)在椭圆方程25xm2 2＋9ym22＝1 中， 令 x＝4m，解得 y＝±95m. 因为当 θ＝90°时，即直线 MN⊥x 轴， 此时 MF＝NF＝95m. 所以M1F＋N1F＝91m0 .
(guān xì)
xa22＋by22＝1(a>b>0) A1 (－a,0) ，A2 (a,0)
ay22＋xb22＝1(a>b>0) A1(0，－a)，A2 (0，a)
B1(0，－b) ，B2 (0，b) B1 (－b,0) ，B2 (b,0)
长轴 A1A2 的长为 2a
短轴 B1B2 的长为 2b
|F1F2|＝ 2c
3．注意椭圆的范围，在设椭圆xa22＋by22＝1(a＞b＞0)上点的坐标 为 P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点 P 有关的最值问题中特别 有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．
第四页，共39页。
[试一试] 若直线 x－2y＋2＝0 经过椭圆的一个焦点和一个顶点， 则该椭圆的标准方程为________． 解析：直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当 焦点在 x 轴上时，c＝2，b＝1， ∴a2＝5，所求椭圆的标准方程为x52＋y2＝1. 当焦点在 y 轴上时，b＝2，c＝1， 答∴案a2＝：5x5，2＋所y2求＝椭1 或圆x标42＋准y5方2＝程1为y52＋x42＝1.
2019高考数学大一轮复习 9.5椭圆课件 理 苏教版
集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0， 且a，c为常数： (1)若 a>c ，则集合P为椭圆； (2)若 a＝c ，则集合P为线段； (3)若 a<c ，则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋bx22 ＝1 (a>b>0)
椭圆的方程为_______________.
思维点拨 解析 答案 思维升华
例 1 (3)已知椭圆的中心在原点， 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n).
以∵坐椭标圆轴经为过对点称P轴1、，且P2，经∴过点两P点1、P2的坐标适合椭圆方程.
P1( 6，6m1＋)、nP＝2(1－， 3，－① 2)，则 椭圆则①的、3方m②＋程两2为式n＝_联_1_立，__，__解②__得___mn_＝＝__1319..，
例 1 (3)已知椭圆的中心在原点， 以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)、P2(－ 3，－ 2)，则
椭圆的方程为_______________.
思维点拨 解析 答案 思维升华
例 1 (3)已知椭圆的中心在原点，
以坐标轴为对称轴，且经过两点 P1( 6，1)、P2(－ 3，－ 2)，则
可以用待定系数法求解.
例2 (2)若F1C⊥AB，求椭圆离 心率e的值.
思维点拨
解析
思维升华
求出C的坐标，利用 F1C⊥AB建立斜率之间的 关系，解方程即可求出e 的值.
思维点拨
解析
例 心解所率2 以e的(因2直)值若为线.BFA(1C0B，⊥的bA方)B，，程F为求2(ccx椭,0＋)圆在by＝离直1线. AB上，
苏教版 高三数学 一轮复习---9.6 椭 圆
§9.6椭圆2020高考会这样考 1.考查椭圆的定义及应用；2.考查椭圆的方程、几何性质；3.考查直线与椭圆的位置关系．复习备考要这样做 1.熟练掌握椭圆的定义、几何性质；2.会利用定义法、待定系数法求椭圆方程；3.重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题．1．椭圆的概念(1)第一定义：在平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：①若a>c，则集合P为椭圆；②若a＝c，则集合P为线段；③若a<c，则集合P为空集．(2)第二定义：平面内到一个定点F的距离和到一条定直线(F不在l上)的距离的比是常数e(0<e<1)时，则这个点的轨迹是椭圆．定点是椭圆的焦点，定直线叫椭圆的准线，常数是椭圆的离心率．[难点正本 疑点清源]1．椭圆焦点位置与x 2，y 2系数间的关系：给出椭圆方程x 2m ＋y 2n ＝1时，椭圆的焦点在x 轴上⇔m >n >0，椭圆的焦点在y 轴上⇔0<m <n .2．求椭圆离心率e 时，只要求出a ，b ，c 的一个齐次方程，再结合b 2＝a 2－c 2就可求得e (0<e <1)． 3．求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据：(1)中心是否在原点；(2)对称轴是否为坐标轴．1．若椭圆x 216＋y 2b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为________．答案 4 3解析 ∵点(－2，3)在椭圆上，∴416＋3b 2＝1，即b 2＝4，∴c 2＝16－4＝12，故2c ＝4 3.2．如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是__________． 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k ＝1，∵焦点在y 轴上，∴2k>2，即k <1，又k >0，∴0<k <1.3．已知椭圆的焦点在y 轴上，若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 的值是________．答案 83解析 由题意知a 2＝m ，b 2＝2，∴c 2＝m －2.∵e ＝12，∴c 2a 2＝14，∴m －2m ＝14，∴m ＝83.4．已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为________． 答案 6解析 根据椭圆定义，知△AF 1B 的周长为4a ＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.5．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，若直线y ＝2x 与椭圆的一个交点P 的横坐标恰为c ，则椭圆的离心率为__________________． 答案2－1解析 依题意有P (c,2c )，点P 在椭圆上，所以有c 2a 2＋(2c )2b 2＝1，整理得b 2c 2＋4a 2c 2＝a 2b 2，又因为b 2＝a 2－c 2，代入得c 4－6a 2c 2＋a 4＝0， 即e 4－6e 2＋1＝0，解得e 2＝3－22(3＋22舍去)， 从而e ＝2－1.题型一 求椭圆的标准方程例1 (1)若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形；且焦点到同侧顶点的距离为3，则椭圆的标准方程为____________；(2)(2011·课标全国)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么椭圆C 的方程为__________．思维启迪：根据椭圆的定义和几何性质确定椭圆的基本量．答案 (1)x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1(2)x 216＋y28＝1 解析 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2c ，a －c ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，c ＝ 3.从而b 2＝9，∴所求椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝22知c a ＝22，故b 2a 2＝12. 由于△ABF 2的周长为AB ＋BF 2＋AF 2＝AF 1＋AF 2＋BF 1＋BF 2＝4a ＝16，故a ＝4.∴b 2＝8.∴椭圆C 的方程为x 216＋y 28＝1.探究提高 求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1 (m >0，n >0，m ≠n )的形式．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左，右焦点，A ，B 分别是此椭圆的右顶点和上顶点，P 是椭圆上一点，OP ∥AB ，PF 1⊥x 轴，F 1A ＝10＋5，则此椭圆的方程是____________．答案 x 210＋y 25＝1解析 由于直线AB 的斜率为－b a ，故OP 的斜率为－b a ，直线OP 的方程为y ＝－bax .与椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1联立，解得x ＝±22a .因为PF 1⊥x 轴，所以x ＝－22a ，从而－22a ＝－c ，即a ＝2c .又F 1A ＝a ＋c ＝10＋5，故2c ＋c ＝10＋5，解得c ＝5，从而a ＝10.所以所求的椭圆方程为x 210＋y 25＝1.题型二 椭圆的几何性质例2 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝60°.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：△F 1PF 2的面积只与椭圆的短轴长有关．思维启迪：(1)在△PF 1F 2中，使用余弦定理和PF 1＋PF 2＝2a ，可求PF 1·PF 2与a ，c 的关系，然后利用均值不等式找出不等关系，从而求出e 的范围；(2)利用S △F 1PF 2＝12PF 1·PF 2sin 60°可证．(1)解 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝2a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理可知， 4c 2＝m 2＋n 2－2mn cos 60°＝(m ＋n )2－3mn＝4a 2－3mn ≥4a 2－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4a 2－3a 2＝a 2(当且仅当m ＝n 时取等号)．∴c 2a 2≥14，即e ≥12.又0<e <1，∴e 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，1.(2)证明 由(1)知mn ＝43b 2，∴S △PF 1F 2＝12mn sin 60°＝33b 2，即△PF 1F 2的面积只与短轴长有关．探究提高 (1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、PF 1＋PF 2＝2a ，得到a 、c 的关系． (2)对△F 1PF 2的处理方法⎩⎪⎨⎪⎧定义式的平方余弦定理面积公式⇔⎩⎪⎨⎪⎧(PF 1＋PF 2)2＝(2a )24c 2＝PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos θS △＝12PF 1·PF 2sin θ.(2012·安徽)如图，F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°.(1)求椭圆C 的离心率；(2)已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值． 解 (1)由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12.(2)方法一 a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，直线AB 的方程为 y ＝－3(x －c )，将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝⎛⎭⎫85c ，－335c ，所以AB ＝1＋3·⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12AF 1·AB ·sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403，解得a ＝10，b ＝5 3.方法二 设AB ＝t .因为AF 2＝a ，所以BF 2＝t －a . 由椭圆定义BF 1＋BF 2＝2a 可知，BF 1＝3a －t ， 再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos 60°可得，t ＝85a .由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝40 3知，a ＝10，b ＝5 3.题型三 直线与椭圆的位置关系例3 (2011·北京)已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值．思维启迪：对于直线和椭圆的交点问题，一般要转化为方程组解的问题，充分体现数形结合思想．解 (1)由已知得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)．离心率为e ＝c a ＝32.(2)由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)．此时AB ＝ 3.当m ＝－1时，同理可得AB ＝ 3.当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1. 所以AB ＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2(1＋4k 2)2－4(4k 2m 2－4)1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，AB ＝3，所以AB ＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为AB ＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，且当m ＝±3时，AB ＝2，所以AB 的最大值为2.探究提高 (1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊 情形．设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AF 2，AB ，BF 2成等差数列． (1)求AB ；(2)若直线l 的斜率为1，求b 的值． 解 (1)由椭圆定义知AF 2＋AB ＋BF 2＝4.又2AB ＝AF 2＋BF 2，得AB ＝43.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝1－b 2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c ，x 2＋y 2b 2＝1.化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0， 则x 1＋x 2＝－2c1＋b 2，x 1x 2＝1－2b 21＋b 2.因为直线AB 的斜率为1，所以AB ＝2|x 2－x 1|，即43＝2|x 2－x 1|， 则89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4(1－b 2)(1＋b 2)2－4(1－2b 2)1＋b2 ＝8b 4(1＋b 2)2， 解得b ＝22⎝⎛⎭⎫b ＝－22不合题意，故舍去.步骤表述要规范典例：(16分)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2.点P (a ，b )满足PF 2＝F 1F 2.(1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点．若直线PF 2与圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝16相交于M ，N 两点，且MN ＝58AB ，求椭圆的方程．审题视角 第(1)问由PF 2＝F 1F 2建立关于a 、c 的方程；第(2)问可以求出点A 、B 的坐标或利用根与系数的关系求AB 均可，再利用圆的知识求解． 规范解答解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，因为PF 2＝F 1F 2，所以(a －c )2＋b 2＝2c .整理得2(ca)2＋ca －1＝0， 得c a ＝－1(舍)，或c a ＝12.所以e ＝12.[4分] (2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2，直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0.解得x 1＝0，x 2＝85c .[8分]得方程组的解⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A (85c ，335c )，B (0，－3c )，所以AB ＝(85c )2＋(335c ＋3c )2＝165c . 于是MN ＝58AB ＝2c .[12分]圆心(－1，3)到直线PF 2的距离 d ＝|－3－3－3c |2＝3|2＋c |2.因为d 2＋(MN2)2＝42，所以34(2＋c )2＋c 2＝16.整理得7c 2＋12c －52＝0，得c ＝－267(舍)，或c ＝2.所以椭圆方程为x 216＋y212＝1.[16分]温馨提醒 (1)解决与弦长有关的椭圆方程问题，首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数．(2)用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有一个c )，这样可避免繁琐的运算.方法与技巧1．求椭圆的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指椭圆的对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定椭圆的焦点在哪个坐标轴上．“定式”就是根据“形”设出椭圆方程的具体形式，“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数a ，b 或m ，n .2．讨论椭圆的几何性质时，离心率问题是重点，求离心率的常用方法有以下两种：(1)求得a ，c 的值，直接代入公式e ＝ca 求得；(2)列出关于a ，b ，c 的齐次方程(或不等式)，然后根据b 2＝a 2－c 2，消去b ，转化成关于e 的方程(或不等式)求解． 失误与防范1．判断两种标准方程的方法为比较标准形式中x 2与y 2的分母大小．2．注意椭圆的范围，在设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上点的坐标为P (x ，y )时，则|x |≤a ，这往往在求与点P 有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因． 3．注意椭圆上点的坐标范围，特别是把椭圆上某一点坐标视为某一函数问题，求函数的单调区间、最值时有重要意义．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：62分)一、填空题(每小题5分，共35分)1．(2012·江西改编)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若AF 1，F 1F 2，F 1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为________．答案 55解析 由题意知AF 1＝a －c ，F 1F 2＝2c ，F 1B ＝a ＋c ， 且三者成等比数列，则F 1F 22＝AF 1·F 1B ， 即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2， 所以e 2＝15，所以e ＝55.2．已知椭圆C 的短轴长为6，离心率为45，则椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为________． 答案 1或9 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3c a ＝45a 2＝b 2＋c2，解得a ＝5，b ＝3，c ＝4.∴椭圆C 的焦点F 到长轴的一个端点的距离为a ＋c ＝9或a －c ＝1.3．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是____________．答案 x 24＋y 23＝1解析 由 x 2＋y 2－2x －15＝0，知r ＝4＝2a ⇒a ＝2.又e ＝c a ＝12，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3.4．已知椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到y 轴的距离为_______．答案263解析 由题意，得F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设M (x ，y )，则MF 1→·MF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝0，整理得x 2＋y 2＝3.①又因为点M 在椭圆上，故x 24＋y 2＝1，即y 2＝1－x 24.②将②代入①，得34x 2＝2，解得x ＝±263.故点M 到y 轴的距离为263.5．已知F 1、F 2是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆上，且满足PF 1＝2PF 2，∠PF 1F 2＝30°，则椭圆的离心率为______．答案 33解析 在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得sin ∠PF 2F 1＝1，即∠PF 2F 1＝π2，设|PF 2|＝1，则|PF 1|＝2，|F 2F 1|＝3，所以离心率e ＝2c 2a ＝33.6．已知椭圆x 216＋y225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连结F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是________．答案 165解析 F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4， ∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)，代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.7 . 如图所示，A ，B 是椭圆的两个顶点，C 是AB 的中点，F 为椭圆的右焦点，OC 的延长线交椭圆于点M ，且OF ＝2，若MF ⊥OA ，则椭圆的方程为__________．答案x 24＋y22＝1 解析 设所求的椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，则A (a,0)，B (0，b )，C ⎝⎛⎭⎫a 2，b 2， F (a 2－b 2，0)． 依题意，得a 2－b 2＝2，FM 的直线方程是x ＝2，所以M ⎝⎛⎭⎫2，ba a 2－2.由于O ，C ，M 三点共线，所以b a 2－2a 2＝b 2a 2， 即a 2－2＝2，所以a 2＝4，b 2＝2.所求方程是x 24＋y 22＝1. 二、解答题(共27分) 8．(13分)已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2F 1F 2＝PF 1＋PF 2.(1)求此椭圆的方程；(2)若点P 在第二象限，∠F 2F 1P ＝120°，求△PF 1F 2的面积．解 (1)依题意得F 1F 2＝2，又2F 1F 2＝PF 1＋PF 2，∴PF 1＋PF 2＝4＝2a .∴a ＝2，c ＝1，b 2＝3.∴所求椭圆的方程为x 24＋y 23＝1. (2)设P 点坐标为(x ，y )，∵∠F 2F 1P ＝120°，∴PF 1所在直线的方程为y ＝(x ＋1)·tan 120°，即y ＝－3(x ＋1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－3(x ＋1)，x 24＋y 23＝1， 并注意到x <0，y >0，可得⎩⎨⎧ x ＝－85，y ＝335.∴S △PF 1F 2＝12F 1F 2·335＝335. 9．(14分)(2012·安徽)如图，点F 1(－c ，0)，F 2(c,0)分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过点F 1作x 轴的垂线交椭圆C 的上半部分于点P ，过点F 2作直线PF 2的垂线交直线x ＝a 2c于点Q .(1)如果点Q 的坐标是(4,4)，求此时椭圆C 的方程；(2)证明：直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．(1)解 方法一 由条件知，P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a ，故直线PF 2的斜率为kPF 2＝b 2a －0－c －c＝－b 22ac . 因为PF 2⊥F 2Q ，所以直线F 2Q 的方程为y ＝2ac b 2x －2ac 2b 2，故Q ⎝⎛⎭⎫a 2c ，2a . 由题设知，a 2c＝4,2a ＝4，解得a ＝2，c ＝1. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. 方法二 设直线x ＝a 2c与x 轴交于点M . 由条件知，P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a .因为△PF 1F 2∽△F 2MQ ，所以PF 1F 2M ＝F 1F 2MQ， 即b 2a a 2c－c ＝2c MQ ，解得MQ ＝2a . 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝4，2a ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1. 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 直线PQ 的方程为y －2ab 2a －2a ＝x －a 2c －c －a 2c， 即y ＝c ax ＋a . 将上式代入x 2a 2＋y 2b 2＝1得x 2＋2cx ＋c 2＝0， 解得x ＝－c ，y ＝b 2a. 所以直线PQ 与椭圆C 只有一个交点．B 组 专项能力提升(时间：35分钟，满分：58分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·课标全国改编)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为________． 答案 34解析 由题意，知∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2x ＝60°.∴PF 2＝2×⎝⎛⎭⎫32a －c ＝3a －2c .∵F 1F 2＝2c ，F 1F 2＝PF 2，∴3a －2c ＝2c ，∴e ＝c a ＝34. 2．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．答案 6解析 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)，则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 203＝1. ∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3(1－x 204) ＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.3．在椭圆x 216＋y 24＝1内，通过点M (1,1)，且被这点平分的弦所在的直线方程为____________． 答案 x ＋4y －5＝0解析 设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧ x 2116＋y 214＝1， ①x 2216＋y 224＝1， ②由①－②，得 (x 1＋x 2)(x 1－x 2)16＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)4＝0， 因⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以y 1－y 2x 1－x 2＝－4(x 1＋x 2)16(y 1＋y 2)＝－14， 所以所求直线方程为y －1＝－14(x －1)， 即x ＋4y －5＝0.4．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则PM ＋PF 1的最大值为________．答案 15解析 PF 1＋PF 2＝10，PF 1＝10－PF 2，PM ＋PF 1＝10＋PM －PF 2，易知M 点在椭圆外，连结MF 2并延长交椭圆于P 点，此时PM －PF 2取最大值MF 2，故PM ＋PF 1的最大值为10＋MF 2＝10＋(6－3)2＋42＝15. 5. 如图，已知点P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上一点，若PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝12，则此椭圆的离心率是________．答案 53 解析 由题得△PF 1F 2为直角三角形，设PF 1＝m ，∵tan ∠PF 1F 2＝12，∴PF 2＝m 2，F 1F 2＝52m ， ∴e ＝c a ＝F 1F 2PF 1＋PF 2＝53. 6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率等于13，其焦点分别为A 、B ，C 为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在△ABC 中，sin A ＋sin B sin C的值等于________． 答案 3解析 在△ABC 中，由正弦定理得sin A ＋sin B sin C ＝CB ＋CA AB，因为点C 在椭圆上，所以由椭圆定义知CA ＋CB ＝2a ，而AB ＝2c ，所以sin A ＋sin B sin C ＝2a 2c ＝1e＝3. 二、解答题(共28分)7．(14分)设A 、B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右顶点，⎝⎛⎭⎫1，32为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P (4，x ) (x ≠0)，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交异于A ，B 的点M ，N ，求证：∠MBN 为钝角．(1)解 依题意得，a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝3c 2，设椭圆方程为x 24c 2＋y 23c2＝1， 将⎝⎛⎭⎫1，32代入，得c 2＝1， 故椭圆方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 由(1)知，A (－2,0)，B (2,0)，设M (x 0，y 0)，则－2<x 0<2，y 20＝34(4－x 20)， 由P ，A ，M 三点共线，得x ＝6y 0x 0＋2， BM →＝(x 0－2，y 0)，BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，6y 0x 0＋2， BM →·BP →＝2x 0－4＋6y 20x 0＋2＝52(2－x 0)>0， 即∠MBP 为锐角，则∠MBN 为钝角．8．(14分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，点P 是椭圆上异于顶点的任意一点，过点P 作椭圆的切线l ，交y 轴于点A ，直线l ′过点P 且垂直于l ，交y 轴于点B .(1)求椭圆的方程；(2)试判断以AB 为直径的圆能否经过定点？若能，求出定点坐标；若不能，请说明理由． 解 (1)∵2a ＝4，c a ＝12，∴a ＝2，c ＝1，b ＝ 3.∴椭圆的方程为x24＋y 23＝1.(2)能．设点P (x 0，y 0) (x 0≠0，y 0≠0)，由题意知直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，代入x 24＋y 23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋8k (y 0－kx 0)x ＋4(y 0－kx 0)2－12＝0.∵x ＝x 0是方程的两个相等实根，∴2x 0＝－8k (y 0－kx 0)3＋4k 2，解得k ＝－3x04y 0.∴直线l 的方程为y －y 0＝－3x4y 0(x －x 0)．令x ＝0，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，4y 20＋3x 204y 0.又∵x 204＋y 203＝1，∴4y 20＋3x 20＝12.∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，3y 0.又直线l ′的方程为y －y 0＝4y3x 0(x －x 0)，令x ＝0，得点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－y 03.∴以AB 为直径的圆的方程为x ·x ＋⎝⎛⎭⎫y －3y 0·⎝⎛⎭⎫y ＋y 03＝0.整理，得x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y03－3y 0y －1＝0.令y ＝0，得x ＝±1，∴以AB 为直径的圆恒过定点(1,0)和(－1,0)．。
高三数学理第一轮复习圆锥曲线—椭圆苏教版
高三数学理第一轮复习：圆锥曲线—椭圆苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：圆锥曲线——椭圆二. 教学目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质。
三. 知识要点：1. 定义：①平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|，即21212F F a PF PF >=+），这个动点的轨迹叫椭圆（这两个定点叫焦点）. ②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e （0<e<1），则P 点的轨迹是椭圆。
2. 椭圆参数的几何意义，如下图所示：（1）|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PM 2|+|PM 1|=c a 22，||||11PM PF =||||22PM PF =e ；（2）=11F A c a F A -=22，=21F A c a F A +=12；c a PF c a +≤≤-1（3）|BF 2|=|BF 1|=a ，|OF 1|=|OF 2|=c ；（4）|F 1K 1|=|F 2K 2|=p =cb 2，2221A B A B a b ==+3. 标准方程：椭圆标准方程的两种形式12222=+b y a x 和12222=+bx a y )0(>>b a 其中222b a c -=。
椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c a x 2±=，离心率是a c e =ab 22焦准距（焦点到准线的距离）c b p 2=，焦参数2b a （通径长的一半）。
范围：}{a x a x ≤≤-，}{b y b y ≤≤-，长轴长=a 2，短轴长=2b ，焦距＝2c ，【典型例题】例1. 已知椭圆的焦点是)1,0(),1,0(21F F -，直线4=y 是椭圆的一条准线. ① 求椭圆的方程;② 设点P 在椭圆上，且121=-PF PF ，求cos 21PF F∠.解：①134,2,4,1222=+∴=∴==x y a c a c . ②设n PF m PF ==21,则⎩⎨⎧=-=+14n m n m ⎪⎩⎪⎨⎧==+∴15421722mn n m 又2122cos 24PF F mn n m ∠-+= 53PF F cos 21=∠∴，例2. 求中心在原点，一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为21的椭圆方程.解：设椭圆方程 )0(12222>>=+b a b x a y ，),(11y x A ，),(22y x B ，因为弦AB 中点)21,21(-M ，所以12121,1x x y y +=+=-。
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∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝4c2， ∴2|PF1|·|PF2|＝4a2－4c2＝4b2.
∴|PF1|·|PF2|＝2b2， ∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|
＝12×2b2＝b2＝9. ∴b＝3.
【审题视点 】 关键抓住点 P 为椭 圆 C 上的一点，从而 有|PF1|＋|PF2|＝2a， 再 利 用 P→F1 ⊥ P→F2 进 而得解．
用待定系数法求椭 圆标准方程时，若 焦点位置明确，则 可设出椭圆的标准
2a＝ 3－02＋－ 5＋42＋ 3－02＋－ 5－42， 方程，结合已知条
离心率
e＝ca∈_(_0_,_1_)_
a，b，c 的关系
c2＝ _a__2－ ___b_2__
助学微博 一条规律 椭圆焦点位置与 x2，y2 系数间的关系：
给出椭圆方程xm2＋yn2＝1 时，椭圆的焦点在 x 轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在 y 轴上⇔n>m>0.
两种方法
(1)定义法：根据椭圆定义，确定 a2、b2 的值， 再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在 x 轴还是 y 轴上， 设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于 a、b、c 的方程组，解出 a2、b2，从而写出椭圆的标 准方程．
解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA| ＋|CF|＝2a(F 是椭圆的另外一个焦点)，∴ 周长为 4a＝4 3. 答案 C
【审题视点 】
仍然抓住点 B、C 为
椭圆上的一点，从而 利用椭圆定义求得
【方法锦囊 】
椭圆上一点 P 与椭圆 的两焦点组成的三角 形通常称为“焦点三 角形”，利用定义可 求其周长，利用定义 和余弦定理可求 |PF1|·|PF2|；通过整体 代入可求其面积等．
)．
A.1x62＋y72＝1 B.1x62＋y72＝1 或x72＋1y26＝1
C.1x62＋2y52 ＝1 D.1x62＋2y52 ＝1 或2x52＋1y62 ＝1
y2＝1 的左，右焦点，点 A，B 在椭圆上．若 F→1A＝5F→2B，则点 A 的坐标是________． 5．(2012·四川)椭圆x42＋y32＝1 的左焦点为
考向一 椭圆定义的应用
【例 1】►(2012·中山调研)已知 F1、F2 是椭圆 C：xa22＋by22＝1 (a＞b＞0)的两个焦点，P 为椭
圆 C 上的一点，且P→F1⊥P→F2.若△PF1F2 的面
积为 9，则 b＝________.
解 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，
P→F1⊥P→F2
【例 考2】向►二过点求(椭3圆，－的标5)准，方且程与椭圆2y52 ＋x92＝1
【审题视点 】 利用定义法或待
有相同焦点的椭圆的标准方程为________．
定系数法求解
解 方法1 方法2
【方法锦囊 】
解法 1 椭圆2y52 ＋x92＝1 的焦点为(0，－4)，(0,4) 即 c＝4.由椭圆的定义知，
F，直线 x＝m 与椭圆相交于点 A、B.当
3．(2012·上海)对于常数 m、n，“mn>0”是 “方程 mx2＋ny2＝1 的曲线是椭圆”的(
)．
△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是 ________．
单击题号显示结果 1 2 3
4
5
答案显示
D B B (0,1)或(0,-1)
3
单击图标显示详解
1．椭圆的定义
在平面内与两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|) 的点的轨迹叫做__椭__圆__．_.这两定点叫做椭圆的__焦__点____， 两焦点间的距离叫做椭圆的__焦__距_____． 集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c， 其中 a＞0，c＞0，且 a，c 为常数：
第4讲
【2014年高考会这样考】
椭 圆 1．考查利用椭圆的定义解决与焦点三角形相关的问题．
2．考查椭圆的标准方程及其几何性质，利用椭圆的几何 性质求离心率等问题．
抓住2个考点 突破3个考向
单击标题可完成对应小部
分的学习，每小部分独立
椭圆的定义
成块，可全讲，也可选讲
助学微博
椭圆的标准方程和几何性质
考点自测
(1)若__a_＞___c__，则集合 P 为椭圆； (2)若__a_＝__c___，则集合 P 为线段； (3)若__a_＜___c__，则集合 P 为空集．
考点梳理
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
ax22＋by22＝1 (a>b>0)
ay22＋xb22＝1 (a>b>0)
图形
范围
－a≤x≤a －b≤y≤b
【方法锦囊 】
椭圆上一点 P 与椭圆 的两焦点组成的三角 形通常称为“焦点三
角形”，利用定义可 求其周长，利用定义 和余弦定理可求 |PF1|·|PF2|；通过整体 代入可求其面积等．
考向一 椭圆定义的应用
【训练 1】已知△ ABC 的顶点 B，C 在椭圆x32＋ y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的 另外一个焦点在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 ( )．A．2 3 B．6 C．4 3 D．12
考点自测
1．椭圆1x62＋y82＝1 的离心率为(
)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条
1
1
3
2
件
A.3
B.2
C. 3
D. 2
2．(2013·福州模拟)已知椭圆的长轴长是
8，
4．(2011·浙江)设
F1，F2
分别为椭圆x2＋ 3
离心率是34，则此椭圆的标准方程是(
考向一 椭圆定义的应用 考向二 求椭圆的标准方程 考向三 椭圆几何性质的应用
【例1】 【训练1】 【例2】 【训练2】 【例3】 【训练3】
揭秘3年高考 活页限时训练
高考中椭圆离心率的求解问题
A级 B级
1、选择题 2、填空题 3、解答题
1、选择题 2、 填空题 3、 解答题
考点梳理
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性 质
顶点
轴 焦距
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0)
长轴 A1A2 的长为_2__a__；短轴 B1B2 的长为_2_b_ |F1F2|＝ _2_c__