2013届人教A版理科数学课时试题及解析(41)空间向量及运算
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案空间向量及其运算1
第六节空间向量及其运算空间向量及其应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系．(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．知识点一空间向量的有关概念1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫作空间向量，其大小叫作向量的长度或模．(2)相等向量：方向相同且模相等的向量．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量，a平行于b记作a∥b.(4)共面向量：平行于同一平面的向量叫作共面向量．2．空间向量中的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一x，y，z使得p＝x a＋y b＋z c.其中{a，b，c}叫作空间的一个基底．个唯一的有序实数组{}3．两个向量的数量积(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.易误提醒(1)共线向量与共面向量区别时注意，平行于同一平面的向量才能为共面向量．(2)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．(3)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0不能作为基向量． (4)基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示．[自测练习]1．已知空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →＝( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12cC.12a ＋12b －12cD.23a ＋23b －12c 解析：如图所示， MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝13OA →＋(OB →－OA →)＋12BC → ＝OB →－23OA →＋12(OC →－OB →)＝12OB →－23OA →＋12OC →＝－23a ＋12b ＋12c .答案：B2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧6＝k (λ＋1)，2μ－1＝0，2λ＝2k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ＝2，μ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3，μ＝12.答案：A知识点二 空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3).向量表示 坐标表示 数量积 a ·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0(a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23易误提醒 (1)空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取无关，这是因为一个确定的几何体，其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的，坐标系的位置不同，只会影响其计算的繁简．(2)进行向量的运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算． 必备方法 用空间向量解决几何问题的一般步骤： (1)适当的选取基底{a ，b ，c }． (2)用a ，b ，c 表示相关向量． (3)通过运算完成证明或计算问题．[自测练习]3．在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________．解析：设M (0，y,0)，由|MA |＝|MB |得(1－0)2＋(0－y )2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y )2＋(1－0)2，解得y ＝－1.∴M (0，－1,0)．答案：(0，－1,0)考点一 空间向量的线性运算|1．设三棱锥O -ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，G 是△ABC 的重心，则OG →等于( ) A ．a ＋b －c B ．a ＋b ＋c C.12(a ＋b ＋c ) D.13(a ＋b ＋c )解析：如图所示，OG →＝OA →＋AG →＝OA →＋13(AB →＋AC →)＝OA →＋13(OB →－OA →＋OC →－OA →)＝13(a ＋b ＋c )．答案：D2.如图所示，已知空间四边形O -ABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为________．解析：∵OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →＝12OA →＋23(ON →－OM →)＝12OA →＋23ON →－23OM →＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA →＝16OA →＋13OB →＋13OC →，又OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →， 根据空间向量的基本定理，x ＝16，y ＝z ＝13.答案：16，13，13(1)选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求．(2)空间向量问题实质上是转化为平面向量问题来解决的，即把空间向量转化到某一个平面上，利用三角形法则或平行四边形法则来解决．考点二 共线向量与共面向量定理的应用|已知E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 中边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)求证：BD ∥平面EFGH ；(3)设M 是EG 和FH 的交点，求证：对空间任一点O ，有OM →＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．[证明] (1)连接BG ，则EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD →)＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由共面向量定理知，E ，F ，G ，H 四点共面．(2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →)＝12BD →，所以EH ∥BD .又EH ⊂平面EFGH ，BD ⊄平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .(3)任取一点O ，并连接OM ，OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OG . 由(2)知EH →＝12BD →，同理FG →＝12BD →，所以EH →＝FG →，即EH 綊FG ， 所以四边形EFGH 是平行四边形， 所以EG ，FH 被点M 平分．故OM →＝12(OE →＋OG →)＝12OE →＋12OG →＝12⎣⎡⎦⎤12(OA →＋OB →)＋12⎣⎡⎦⎤12(OC →＋OD →)＝14(OA →＋OB →＋OC →＋OD →)．证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P ，A ，B ，C 四点共面，只要能证明P A →＝xPB →＋yPC →或对空间任一点O ，有OA →＝OP →＋xPB →＋yPC →或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)即可．共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件．1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB→＋OC →)．(1)判断MA →、MB →、MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由已知OA →＋OB →＋OC →＝3 OM →， ∴OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， ∴MA →，MB →，MC →共面．(2)由(1)知MA →，MB →，MC →共面且过同一点M ，所以四点M ，A ，B ，C 共面，从而点M 在平面ABC 内．考点三 利用空间向量证明平行、垂直|如图所示的长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：OD 1⊥平面AB 1C .[证明] (1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)，D 1(0,0，2)， ∴OD 1→＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM →＝(－1，－1，2)，∴OD 1→＝BM →.又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .∵OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .(2)连接OB 1，点B 1(2,2，2)，A (2,0,0)，C (0,2,0)， ∵OD 1→·OB 1→＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0， OD 1→·AC →＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，∴OD 1→⊥OB 1→， OD 1→⊥AC →，即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ， 又OB 1∩AC ＝O ，∴OD 1⊥平面AB 1C .(1)设直线l 1的方向向量为v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量为v 2＝(a 2，b 2，c 2)，则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0，l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )．(3)设平面α的法向量为n 1＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.2.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2BC ，E ，F ，E 1分别是棱AA 1，BB 1，A 1B 1的中点．(1)求证：CE ∥平面C 1E 1F ； (2)求证：平面C 1E 1F ⊥平面CEF .证明：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设BC ＝1，则C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，F (1,1,1)，E 1⎝⎛⎭⎫1，12，2.(1)设平面C 1E 1F 的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵C 1E 1→＝⎝⎛⎭⎫1，－12，0，FC 1→＝(－1，0,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ n ·C 1E 1→＝0，n ·FC 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1，得n ＝(1,2,1)．∵CE →＝(1，－1,1)，n ·CE →＝1－2＋1＝0， ∴CE ⊥n .又∵CE ⊄平面C 1E 1F ， ∴CE ∥平面C 1E 1F .(2)设平面EFC 的法向量为m ＝(a ，b ，c )， 由EF →＝(0,1,0)，FC →＝(－1,0，－1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m ·EF →＝0，m ·FC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，－a －c ＝0.令a ＝－1，得m ＝(－1,0,1)．∵m ·n ＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， ∴平面C 1E 1F ⊥平面CEF .16.混淆空间“向量平行”与“向量同向”致错【典例】 已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(x ，x 2＋y －2，y )，并且a ，b 同向，则x ，y 的值分别为________．[解析] 由题意知a ∥b ，所以x 1＝x 2＋y －22＝y 3，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，x 2＋y －2＝2x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6.当⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－6，时，b ＝(－2，－4，－6)＝－2a ，所以a ，b 两向量反向，不符合题意，舍去．当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，时，b ＝(1,2,3)＝a ，a 与b 同向，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3. [答案] x ＝1，y ＝3[易误点评] 只考虑a ∥b ，忽视了同向导致求解多解．[防范措施] 两向量平行和两向量同向不是等价的，同向是平行的一种情况，两向量同向能推出两向量平行，但反之不成立，也就是说两向量同向是两向量平行的充分不必要条件．[跟踪练习] (2015·成都模拟)已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2u －1,2λ)，若a ∥b ，则λ与u 的值可以是( )A ．2，12B ．－13，12C ．－3,2D ．2,2解析：由a ∥b 验证当λ＝2，u ＝12时成立．答案：AA 组 考点能力演练1．(2015·深圳模拟)已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →等于( )A.12(b ＋c －a ) B.12(a ＋b －c ) C.12(a －b ＋c ) D.12(c －a －b ) 解析：MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝12(c －a －b )．答案：D2．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为( )A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形解析：由AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，知该四边形一定不是平面图形，故选D.答案：D3．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)．若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.657解析：由题意得c ＝t a ＋μb ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝337，μ＝177，λ＝657.答案：D4．(2016·东营质检)已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，OA →＋λOB →与OB →的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66C ．－66D ．±6解析：OA →＋λOB →＝(1，－λ，λ)， cos 120°＝λ＋λ1＋2λ2·2＝－12，得λ＝±66.经检验λ＝66不合题意，舍去，∴λ＝－66. 答案：C5．设A (3,3,1)，B (1,0,5)，C (0,1,0)，AB 的中点为M ，则|CM |等于( ) A.534 B.532 C.532D.132解析：设M (x ，y ，z )，则x ＝3＋12＝2，y ＝3＋02＝32，z ＝1＋52＝3，即M ⎝⎛⎭⎫2，32，3，|CM |＝(2－0)2＋⎝⎛⎭⎫32－12＋(3－0)2＝532.故选C. 答案：C6．(2016·合肥模拟)向量a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，则a ＋6b －8c ＝________. 解析：由a ＝(2,0,5)，b ＝(3,1，－2)，c ＝(－1,4,0)，∴a ＋6b －8c ＝(28，－26，－7)． 答案：(28，－26，－7)7．已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．解析：由于a 与2b －a 互相垂直，则a ·(2b －a )＝0，即2a·b －|a |2＝0，所以2|a ||b |cos a ，b －|a |2＝0，则42cosa ，b －4＝0，则cos a ，b＝22，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos OA →，BC →的值为________．解析：OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →||OC →|cos OA →，OC→－|OA →||OB→|·cos OA →，OB →．∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos OA →，BC →＝0.答案：09．(2016·唐山模拟)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1，1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b＝AC →.(1)求a 和b 夹角的余弦值．(2)设|c |＝3，c ∥BC →，求c 的坐标．解：(1)因为AB →＝(1,1,0)，AC →＝(－1,0,2)，所以a ·b ＝－1＋0＋0＝－1，|a |＝2，|b |＝ 5.所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－12×5＝－1010. (2)BC →＝(－2，－1,2)．设c ＝(x ，y ，z )，因为|c |＝3，c ∥BC →，所以x 2＋y 2＋z 2＝3，存在实数λ使得c ＝λBC →，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2λ，y ＝－λ，z ＝2λ联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2，y ＝－1，z ＝2，λ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，z ＝－2，λ＝－1，所以c ＝±(－2，－1,2)．10．(2016·太原模拟)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的模．(2)求cos 〈BA 1→，CB 1→〉的值．(3)求证：A 1B ⊥C 1M .解：如图，建立空间直角坐标系．(1)依题意得B (0,1,0)，N (1，0,1)，所以|BN →|＝(1－0)2＋(0－1)2＋(1－0)2＝ 3.(2)依题意得A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)，B 1(0,1,2)．所以BA 1→＝(1，－1,2)，CB 1→＝(0,1,2)，BA 1→·CB 1→＝3，|BA 1→|＝6，|CB 1→|＝5，所以cos 〈BA 1→，CB 1→〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝11030. (3)依题意，得C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2，A 1B →＝(－1,1，－2)，C 1M →＝⎝⎛⎭⎫12，12，0. 所以A 1B →·C 1M →＝－12＋12＋0＝0， 所以A 1B →⊥C 1M →.所以A 1B ⊥C 1M .B 组 高考题型专练1．(2014·高考广东卷)已知向量a ＝(1,0，－1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是( )A ．(－1,1,0)B ．(1，－1,0)C ．(0，－1,1)D ．(－1,0,1)解析：经检验，选项B 中向量(1，－1,0)与向量a ＝(1,0，－1)的夹角的余弦值为12，即它们的夹角为60°，故选B.答案：B2．(2014·高考江西卷)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝11，AD ＝7，AA 1＝12.一质点从顶点A 射向点E (4,3,12)，遇长方体的面反射(反射服从光的反射原理)，将第i －1次到第i 次反射点之间的线段记为L i (i ＝2,3,4)，L 1＝AE ，将线段L 1，L 2，L 3，L 4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是( )解析：由对称性知质点经点E 反射到平面ABCD 的点E 1(8,6,0)处．在坐标平面xAy 中，直线AE 1的方程为y ＝34x ，与直线DC 的方程y ＝7联立得F ⎝⎛⎭⎫283，7，0.由两点间的距离公式得E 1F ＝53， ∵tan ∠E 2E 1F ＝tan ∠EAE 1＝125，∴E 2F ＝E 1F ·tan ∠E 2E 1F ＝4.∴E 2F 1＝12－4＝8.∴L 3L 4＝E 1E 2E 2E 3＝E 2F E 2F 1＝48＝12.故选C.答案：C3．(2015·高考浙江卷)已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12.若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.解析：∵e 1，e 2是单位向量，e 1·e 2＝12，∴cos 〈e 1，e 2〉＝12，又∵0°≤〈e 1，e 2〉≤180°，∴〈e 1，e 2〉＝60°.不妨把e 1，e 2放到空间直角坐标系O -xyz 的平面xOy 中，设e 1＝(1,0,0)，则e 2＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，再设OB →＝b ＝(m ，n ，r )，由b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，得m ＝2，n ＝3，则b ＝(2，3，r )．而x e 1＋y e 2是平面xOy 上任一向量，由|b －(x e 1＋y e 2)|≥1知点B (2，3，r )到平面xOy 的距离为1，故可得r ＝1.则b ＝(2，3，1)，∴|b |＝2 2.又由|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1知x 0e 1＋y 0e 2＝(2，3，0)，解得x 0＝1，y 0＝2. 答案：1,2,22。
高二数学选一人教A版课时评价作业第一章空间向量与立体几何加练课+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版课时评价作业第一章空间向量与立体几何加练课1空间向量及其运算的综合应用一、单选题（本大题共5小题，共25分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知在斜三棱柱中，底面ABC是等腰直角三角形，，，与AB 、AC均成角，则异面直线与所成角的余弦值为( )A. B. C. D.2.如图，在棱长为2的正方体中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足，则线段的长度的最大值为( )A. B. 2 C. D. 33.在四面体ABCD中，，，，若与互余，则的最大值为( )A. 20B. 30C. 40D. 504.在正方体中，棱长为2，点M为棱上一点，则的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 45.已知四面体ABCD的每条棱长都等于2，点E，F，G分别是棱AB，AD，DC的中点，则等于( )A. 1B.C. 4D.二、填空题（本大题共3小题，共15分）6.如图，在三棱锥中，已知，，设，，，则的最小值为__________.7.如图，平行六面体的棱长均为1，，E 为的中点，则AE 的长是__________.8.已知，，，，点Q 在直线OP 上运动，当取得最小值时，点Q 的坐标是__________.三、解答题（本大题共1小题，共12分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）9.本小题12分已知平行六面体中，棱长均为m ，底面是正方形，且，设，，用，，表示及求求异面直线AC 与所成角的余弦值.答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间异面直线所成角的求法，以及向量法的运用，考查运算能力，属于基础题．可设，，，运用向量的数量积和加减运算，以及向量夹角的公式，计算可得所求值．【解答】解：可设，，，可得，，，，，，，，则，，可得异面直线与所成角的余弦值为2.【答案】D【解析】【分析】本题考查正方体的结构特征，利用空间向量求点线面之间的距离．由题意，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出线段的长度的最大值．【解答】解：以D为原点，以，，分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，设，则，，，，由，则，即，化简得，因为，所以所以，又二次函数的对称轴为，由可得，当时，有最大值故答案为：3.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积运算以及三角函数求最值，属于基础题.设，可得，利用空间向量数量积的定义以及辅助角公式，结合正弦函数的值域可求得的最大值.【解答】解：设，可得，则为锐角，在四面体ABCD中，，，，则，其中为锐角，且，则，所以，当时，取得最大值4.【答案】D【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积，属于基础题.以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求得，结合向量的数量积的运算，即可求解.【解答】解：以分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，设，所以，则，当时，的最小值为故选5.【答案】A【解析】【分析】本题考查空间向量的数量积及运算律，属于基础题．由条件知，四面体ABCD的每个面都是等边三角形，边长都为取AC的中点为H，连接GH、，进而可求得结果．【解答】解：取AC的中点为H，连接GH、由条件知，四面体ABCD的每个面都是等边三角形，边长都为则，所以故选6.【答案】2【解析】【分析】本题考查了空间向量的运算和空间向量的数量积及运算律.设，，，由，平方结合，化简得，由基本不等式可得的最小值.【解答】解：设，，，，，又，，得，，当且仅当时，等号成立，即的最小值是故答案为7.【答案】【解析】【分析】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查向量模的求法，考查运算求解能力，属于基础题．由题意可得，平方后展开，代入数量积，求得得答案．【解答】解：由题意可知，，所以，所以8.【答案】【解析】【分析】本题考查平面向量的数量积和平面向量共线定理．属于基础题.设，得到，可以推知由此得到结果.【解答】解：易知，设，则，所以，所以，，所以，当时，取得最小值，此时Q的坐标为9.【答案】解：易知，，易知，则又，，，，异面直线AC与所成角的余弦值是【解析】本题考查空间向量及其应用.先由空间向量的加减运算求得，再由模的公式计算即得;由题得，，，，再由向量夹角公式计算即可.。
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 9-6空间向量及其运算 理 新人教A版
9-6空间向量及其运算(理)基础巩固强化1.(2011·芜湖模拟)已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x 、y 、z 分别为( )A.337，－157，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15[答案] B[解析] ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ， ∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC →＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.2．(2011·日照模拟)若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( )A.48585B.6985C ．－1515D ．0[答案] C[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515.3．空间直角坐标系中，A (1,2,3)，B (－2，－1,6)，C (3,2,1)，D (4,3,0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )A ．垂直B ．平行C ．异面D ．相交但不垂直[答案] B[解析] AB →＝(－3，－3,3)，CD →＝(1,1，－1)， AB →＝－3CD →，又BC →＝(5,3，－5)，AB →∥\'BC →， ∴AB ∥CD .4．(2011·天津模拟)已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a 、b 、c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.647D.657[答案] D[解析] 由于a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m ，n ，使得c ＝m a ＋n b ， 即有⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n ，5＝－m ＋4n ，λ＝3m －2n ，解得m ＝337，n ＝177，λ＝657.5．(2011·济宁月考)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，AM →＝12MC 1→，点N 为B 1B 的中点，则|MN |＝( )A.216a B.66a C.156a D.153a [答案] A[解析] MN →＝AN →－AM →＝AN →－13AC 1→＝AB →＋BN →－13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋AD →＋AA 1→＝23AB →＋16AA 1→－13AD →. ∴|MN →|＝49|AB →|2＋136|AA 1→|2＋19|AD →|2＝216a . 6.(2012·丽水调研)如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →〉＝33，若以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(1,1，12)C ．(1,1，32)D ．(1,1,2)[答案] A[解析] 由题意知A (2,0,0)，B (2,2,0)，设P (0,0,2m )(m >0)，则E (1,1，m )，∴AE →＝(－1,1，m )，DP →＝(0,0,2m )，∴|AE →|＝2＋m 2，|DP →|＝4m 2，AE →·DP →＝2m 2，∵cos 〈DP →，AB →〉＝33，∴2m 22＋m 2·4m 2＝33， 解之得m ＝1，故选A.7．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝______.[答案] 2[解析] ∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴(c －a )·(2b )＝(0,0,1－x )·(2,4,2)＝2(1－x )＝－2，解得x ＝2.8．若a ＝(3x ，－5,4)与b ＝(x,2x ，－2)之间夹角为钝角，则x 的取值范围为________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4[解析] ∵a 与b 的夹角为钝角， ∴a ·b <0，∴3x 2－10x －8<0，∴－23<x <4，又当a 与b 方向相反时，a ·b <0， ∴存在λ<0，使a ＝λb ，∴(3x ，－5,4)＝(λx,2λx ，－2λ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝λx ，－5＝2λx ，4＝－2λ，此方程组无解，∴这样的λ不存在，综上知－23<x <4.9．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 、N 分别在直线AA 1和BD 1上运动．当M 、N 在何位置时，|MN |最小，且|MN |的最小值是________．[答案]22[解析] 建立如图所示空间直角坐标系，则A (1,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，设M (1,0，t )，BN →＝λBD 1→，则0≤t ≤1,0≤λ≤1，设N (x 0，y 0，z 0)，则(x 0－1，y 0－1，z 0)＝λ(－1，－1,1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0－1＝－λ，y 0－1＝－λ，z 0＝λ，∴N (1－λ，1－λ，λ)，∴MN →＝(－λ，1－λ，λ－t )，|MN →|2＝λ2＋(1－λ)2＋(λ－t )2＝2λ2－2λ＋1＋(λ－t )2＝2(λ－12)2＋(λ－t )2＋12，当且仅当λ＝12＝t 时，|MN →|2取到最小值12，∴|MN →|的最小值为22.10．(2011·福州模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以AB →、AC →为边的平行四边形的面积；(2)若|a |＝3且a 分别与AB →、AC →垂直，求向量a 的坐标． [解析] AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)． (1)因为cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－2＋3＋64＋1＋9·1＋9＋4＝12.所以sin 〈AB →，AC →〉＝32.所以S ＝|AB →|·|AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝7 3. 即以AB →、AC →为边的平行四边形面积为7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，由|a |＝3，a ⊥AB →，a ⊥AC →，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1，z ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.所以a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).能力拓展提升11.三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，已知CA ＝CB ＝CC 1，AC ⊥BC ，E 、F 分别是A 1C 1、B 1C 1的中点．则AE 与CF 所成角的余弦值等于( )A.45B.1213C.35D.513[答案] A[解析] 以C 为原点，CA →、CB →、CC 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC ＝1，则A (1,0,0)，B 1(0,1,1)，C (0,0,0)，C 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，∵E 、F 分别为A 1C 1、B 1C 1的中点，∴E (12，0,1)，F (0，12，1)，∴AE →＝(－12，0,1)，CF →＝(0，12，1)，∴cos 〈AE →，CF →〉＝AE →·CF →|AE →|·|CF →|＝152×52＝45，故选A.12．(2011·天津模拟)正四面体ABCD 的棱长为2，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，则EF 的长为( )A ．1 B.52 C. 2 D ．2[答案] C[解析] EF →＝EA →＋AF →＝－12(AB →＋AC →)＋12AD →，由条件知|AB →|＝|AC →|＝|AD →|＝2，AB →·AC →＝AB →·AD →＝AC →·AD →＝2，∴|EF →|2＝14[|AD →|2＋|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →－2AB →·AD →－2AC →·AD →]＝2，∴|EF →|＝ 2.13．(2012·中山市模拟)如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c [答案] A[解析] BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(B 1A 1→＋B 1C 1→)＝AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝c －12a ＋12b ，故选A.14．(2011·泰安模拟)如图，空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC 中点，则MN →等于________．[答案] －23a ＋12b ＋12c[解析] MN →＝ON →－OM →＝12(OB →＋OC →)－23OA →＝12(b ＋c )－23a ＝－23a ＋12b ＋12c . [点评] 空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．15．(2011·东营期末)若a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)． (1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k .(3)以坐标原点O 为起点作向量OA →＝a ，OB →＝b ，求O 到直线AB 的距离． [解析] k a ＋b ＝(k －2,5k ＋3，－k ＋5)，a －3b ＝(1＋3×2,5－3×3，－1－3×5)＝(7，－4，－16)． (1)∵(k a ＋b )∥(a －3b )， ∴k －27＝5k ＋3－4＝－k ＋5－16，解得k ＝－13. (2)∵(k a ＋b )⊥(a －3b )，∴(k －2)×7＋(5k ＋3)×(－4)＋(－k ＋5)×(－16)＝0. 解得k ＝1063.(3)由条件知A (1,5，－1)，B (－2,3,5)， ∴AO →＝(－1，－5,1)，AB →＝(－3，－2,6)，AO →·AB →＝19，|AB →|＝7，∴O 到直线AB 的距离d ＝|AO →·AB →||AB →|＝197.16.如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . [解析]由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．如图，以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A －xyz .(1)设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，则由题设得A (0，0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )，F (0,0,2c )．所以，GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →.又点G 不在直线BC 上，则GH 綊BC ， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F (0,0,2c )，所以 EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →， 又C ∉EF ，H ∈FD ，故C 、D 、F 、E 四点共面．(3)由AB ＝BE ，得c ＝a ，所以CH →＝(－a,0，a )，AE →＝(a,0，a )， 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0，CH →·AD →＝0， 即CH ⊥AE ，CH ⊥AD ，又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE .故由CH ⊂平面CDFE ，得平面ADE ⊥平面CDE .[点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时，可不用向量法求解，本题解答如下：(1)由题设知，FG ＝GA ，FH ＝HD ，所以GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，故GH 綊BC ，所以四边形BCHG 是平行四边形．(2)C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下：由BE 綊12AF ，G 是FA 的中点知，BE 綊GF ， 所以EF ∥BG ，由(1)知BG ∥CH ，所以EF ∥CH ，故EC 、FH 共面．又点D 直线FH 上，所以C 、D 、F 、E 四点共面．(3)连结EG ，由AB ＝BE ，BE 綊AG ，及∠BAG ＝90°知四边形ABEG 是正方形， 故BG ⊥EA .由题设知，FA 、AD 、AB 两两垂直，故AD ⊥平面FABE ，因此EA 是ED 在平面FABE 内的射影，∴BG ⊥ED .又EC ∩EA ＝E ，所以BG ⊥平面ADE .由(1)知，CH ∥BG ，所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ，故CH ⊂平面CDE ，得平面ADE ⊥平面CDE .1．(2011·郑州一中月考)已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] C[解析] a ＋b ＝(－1，－2，－3)＝－a ，故(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝7，得a ·c ＝－7，而|a |＝12＋22＋32＝14，所以cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝－12，〈a ，c 〉＝120°. 2．在空间四边形ABCD 中，AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →的值为( )A ．0 B.32 C ．1D ．无法确定[答案] A[解析] AB →·CD →＋AC →·DB →＋AD →·BC →＝AB →·(BD →－BC →)＋(BC →－BA →)·DB →＋(BD →－BA →)·BC →＝AB →·BD →－AB →·BC →＋BC →·DB →－BA →·DB →＋BD →·BC →－BA →·BC →＝0，故选A.3．已知斜三棱柱ABC －A ′B ′C ′，设AB →＝a ，AC →＝b ，AA ′→＝c ，在面对角线AC ′和棱BC 上分别取点M 、N ，使AM →＝kAC ′→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)，求证：三向量MN →、a 、c 共面．[解析] AN →＝AB →＋BN →＝AB →＋kBC →＝AB →＋k (AC →－AB →)＝a ＋k (b －a )＝(1－k )a ＋k b ，AM →＝kAC ′→＝k (AA ′→＋AC →)＝k b ＋k c ， MN →＝AN →－AM →＝(1－k )a －k c .∵向量a 和c 不共线，∴MN →、a 、c 共面．。
(人教A版)高考数学复习：7.6《空间向量及其运算》ppt课件
a－b，那么可以与m，n构成空间另一个基底的向量是( C )
A．a
B．b
C．c
D．2a
解析：∵a＋b，a－b分别与a，b，2a共面，
∴它们分别与a＋b，a－b均不能构成一组基底．
栏目 导引
第七章 立体ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ何
1．辨明四个易误点 (1)注意向量夹角与两直线夹角的区别． (2)共线向量定理中a∥b⇔存在唯一的实数λ∈R，使a＝λb易 忽视b≠0. (3)共面向量定理中，注意有序实数对(x，y)是唯一存在的． (4)向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即 (a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝|aa|··b|b|＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 a21＋a22＋a23· b21＋b22＋b32
.
(2)设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则A→B＝O→B－O→A＝__(_x_2_－__x_1，__y_2_－__y_1，__z_2_－__z_1)_．
1，0，1)，
∴B→A1＝(0，1，1)， A→C1＝(－1，0，1)， ∴cos〈B→A1，A→C1〉
＝|BB→→AA11|··A|A→→CC11|＝
1 2×
2＝12，
∴〈B→A1，A→C1〉＝60°，
∴异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于 60°.
栏目 导引
第七章 立体几何
4．已知 A(3，2，1)，B(1，0，4)，则线段 AB 的中点坐标 和|A→B|分别是___(2_，__1_，__52_)_，___1_7_____． 解析：设 P(x，y，z)是 AB 的中点，则 O→P＝12(O→A＋O→B)＝12[(3，2，1)＋(1，0，4)] ＝(2，1，52)， dAB＝|A→B|＝ （3－1）2＋（2－0）2＋（1－4）2＝ 17.
人教A版选修1-1教案：空间向量及其运算第2课时(含答案)
§3.1.2空間向量的數乘運算【學情分析】：本節，空間向量的數乘運算共有4個知識點：空間向量的數乘、共線向量或平行向量、方向向量與共面向量、空間向量的分解定理這一節是全章的重點，有了第一節空間向量加減法的基礎，我們就很容易把平面向量及其運算推廣到空間向量由於本教材學習空間向量的主要目的是，解決一些立體幾何問題，所以例習題的編排也主要是立體幾何問題當我們把平面向量推廣到空間向量後，很自然地要認識空間向量的兩個最基本的子空間：共線向量和共面向量把平行向量基本定理和平面向量基本定理推廣到空間然後由這兩個定理推出空間直線和平面的向量運算式有了這兩個運算式，我們就可以很方便地使用向量工具解決空間的共線和共面問題【教學目標】：（1）知識與技能：掌握空間向量的數乘運算（2）過程與方法：進行類比學習，會用空間向量的運算意義和運算律解決立幾問題（3）情感態度與價值觀：會用平面的向量運算式解決共面問題【教學重點】：空間向量的數乘運算及運算律【教學難點】：用向量解決立幾問題得：AP xAB y AC =+，或對空間任意一點OP OA x AB y AC =++。
推論：已知空間任意一點O 和不共線的三點C ，則點P 與點A ，B ，C 共面的充要條件是(++=OC z OB y OA x OP 其中求證：E ，F ，G ，H 四點共面分析：欲證E ，F ，G ，H 四點共面，只需證明EH ，EF ，EG 共面。
下麵我們利用AD ，AB ，AC 共面來證明。
證明：因為k ODOHOC OG OB OF OA OE ====，所以 OA k OE =，OB k OF =，OC k OG =，OD k OH =，由於四邊形ABCD 是平行四邊形，所以AD AB AC +=，因此，OE OG EG -=)(AD AB k AC k OA k OC k +==-=OE OH OE OF OA OD OA OB k -+-=-+-=)(EH EF +=由向量共面的充要條件知E ，F ，G ，H 四點共面 進一步：請學生思考如何證明：面AC//面EG 四．練習鞏固 1、如圖，已知空間四邊形ABCD ，連結AC ，BD ，E ，F 分別是BC ， CD 的中點，化簡下列各運算式，並標出化簡結果的向量。
2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第6课时 空间向量及运算
y2－y1，z2－z1)． _________________
6．向量 a 与 b 的夹角 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
Cos<a，b>＝
a1b1＋a2b2＋a3b3 2 2 a2＋a2＋a2· b1＋b2＋b2 1 3 2 3
.
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
高三数学（新课标版· 理）
→ 1→ 1 → → 解析 FG＝ AC＝ (BC－BA)， 2 2 → → 1 → → → ∴FG· ＝ (BC－BA)· BA BA 2 1 → → →2 1 1 1 ＝ (BC· －BA )＝ ×( －1)＝－ . BA 2 2 2 4
第八章
第6课时
高考调研
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第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
5．空间向量的直角坐标运算 设 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)则 ①a＋b＝ ； (a1－b1，a2－b2，a3－b3) ②a－b＝ ；
2 a1b1＋a2b2＋a3b3 ， a2＋a2＋a2 ； 3 ③a· b＝ 特殊地 a· a＝ 1 a1 ④a∥b⇔ a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0)或b1
|a|cos<a，e>，e 为单位向量
；
b＝0 ； ②a⊥b⇔ a·
a ③|a|2＝ a· .
第八章
第6课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
向量的数量积满足如下运算律：
b) ①(λ· b＝ λ(a· ； a)·
②a· b＝ b· a ③a· (b＋c)＝
(交换律)；
高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题一、选择题1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ）A ．(16,0,4)B ．(8，－16,4)C ．(8,16,4)D ．(8,0,4)2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →＝ （ ）A ．a ＋b －cB ．a －b ＋cC ．－a ＋b ＋cD ．－a ＋b －c3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为12的是 （ ） A. ⋅ B. BD AB ⋅ C.DA AB ⋅ D.⋅ 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ）A.OM →＝2OA →－OB →－OC →B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC →C.MA →＋MB →＋MC →＝0D.OM →＋OA →＋OB →＋OC →＝05．若向量{,,}是空间的一个基底，向量-=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( )A ．aB ．bC ．cD ．2a6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→.其中能够化简为向量BD 1→的是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是A ．1B ．15C ．35D ．－2098．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ）A ．4B ．15C ．7D ．39．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB →>0，则该四边形为 （ ）A ．平行四边形B ．梯形C ．长方形D ．空间四边形10．设OABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上一点，且OG ＝3GG 1，若OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( )A.⎝⎛⎭⎫14，14，14B.⎝⎛⎭⎫34，34，34C.⎝⎛⎭⎫13，13，13D.⎝⎛⎭⎫23，23，23 11. 如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ， AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b ＋cD ．12a －12b ＋c 12.给出命题：①若a 与b 共线，则a 与b 所在的直线平行；②若a 与b 共线，则存在唯一的实数λ，使b ＝λa ；③若A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外一点，OM →＝13OA → ＋13OB →＋13OC ，则点M 一定在平面ABC 上，且在△ABC 的内部．上述命题中的真命 题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题13．A(1,0,1)，B(4,4,6)，C(2,2,3)，D(10,14,17)这四个点________(填“共面”或“不共面”)．14．已知向量a ＝(－1,2,3)，b ＝(1,1,1)，则向量a 在b 方向上的投影为________．15．已知G 是△ABC 的重心，O 是空间与G 不重合的任一点，若OA →＋OB →＋OC →＝λOG →，则λ＝________.16．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)共线，那么a －b ＝________.三、解答题17. 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.18．如图所示，在空间四边形OABC 中，OA ＝8，AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，∠OAC ＝ 45°，∠OAB ＝60°，求OA 与BC 夹角的余弦值．19．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．21. 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3，0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值．22.如图，已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为32，点E 在侧棱AA 1上，点F 在侧棱BB 1上，且AE ＝22，BF ＝ 2.(1)求证：CF ⊥C 1E ；(2)求二面角E -CF -C 1的大小．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2，32)，E (0，0，22)，F (3，1，2)．(1) C 1E →＝(0，－2，－2)，CF →＝(3，－1，2)，C 1E →·CF →＝0＋2－2＝0， 所以CF ⊥C 1E .(2)CE →＝(0，－2,22)，设平面CEF 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，由m ⊥CE →，m ⊥CF →，得⎩⎪⎨⎪⎧ m ·CE →＝0，m ·CF →＝0，即⎩⎨⎧－2y ＋22z ＝0，3x －y ＋2z ＝0.可取m ＝(0，2，1)． 设侧面BC 1的一个法向量为n ，由n ⊥CB →，n ⊥CC 1→，及CB →＝(3，－1,0)，CC 1→＝(0,0,32)， 可取n ＝(1，3，0)．设二面角E -CF -C 1的大小为θ，于是由θ为锐角可得cos θ＝|m·n ||m|·|n |＝63×2＝22，所以θ＝45°， 即所求二面角E -CF -C 1的大小为45°.1.D 提示：4a ＋2b ＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(12，－8，4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)．2. D 提示： A 1B →＝A 1A →＋AB →＝－c ＋(b －a )＝－a ＋b －c .3\ D 提示：向量的夹角是两个向量始点放在一起时所成的角，经检验只有⋅＝12. 4. C 提示：MA →＋MB →＋MC →＝0，即MA →＝－(MB →＋MC →)，所以M 与A 、B 、C 共面．5\ 解析 C ∵a ＋b ，a －b 分别与a 、b 、2a 共面，∴它们分别与a ＋b ，a －b 均不 能构成一组基底．6. A 提示：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →＝AD 1→－AB →＝BD →1；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→＝BC 1→－D 1C 1→＝ BD 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→＝BD →－2DD 1→≠BD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→＝B 1D →＋DD 1→＝B 1D 1→≠BD 1→，故选A.7. D 提示：∵k a －b ＝(k ＋1，－k －2，k －1)，a －3b ＝(4，－7，－2)，(k a －b )⊥(a －3b )，∴4(k ＋1)－7(－k －2)－2(k －1)＝0，∴k ＝－209. 8\解析 D ∵b ＋c ＝(2,2,5)，∴a ·(b ＋c )＝(2，－3,1)·(2,2,5)＝3.9解析 D 由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中任一四边 形的外角和是360°，这与已知条件矛盾，所以该四边形是一个空间四边形．10.解析 A OG 1→＝OA →＋AG 1→＝OA →＋23×12(AB →＋AC →)＝OA →＋13[(OB →－OA →)＋(OC →－OA →)] ＝13(OA →＋OB →＋OC →)，由OG ＝3GG 1知，OG →＝34OG 1→＝14(OA →＋OB →＋OC →)， ∴(x ，y ，z )＝⎝⎛⎭⎫14，14，14.11 A 解析 由图形知：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →)＝－12a ＋12b ＋c . 12. B 解析 ①中a 与b 所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a ＝0，b ≠0 时，找不到实数λ，使b ＝λa ，故②是假命题；可以证明③中A ，B ，C ，M 四点共面，因为13OA →＋13OB →＋13OC →＝OM →，等式两边同时加上MO →，则13(MO →＋OA →)＋13(MO →＋ OB →)＋13(MO →＋OC →)＝0，即MA →＋MB →＋MC →＝0，MA →＝－MB →－MC →，则MA →与MB →，MC → 共面，又M 是三个有向线段的公共点，故A ，B ，C ，M 四点共面，所以M 是△ABC 的重心，所以点M 在平面ABC 上，且在△ABC 的内部，故③是真命题．13. 解析 AB →＝(3,4,5)，AC →＝(1,2,2)，AD →＝(9,14,16)，设AD →＝xAB →＋yAC →.即(9,14,16)＝(3x ＋y,4x ＋2y,5x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，从而A 、B 、C 、D 四点共面． 14. 433 解析 向量a 在b 方向上的投影为：|a |·cos a ，b ＝14×－1＋2＋314×3＝433. 15. 3 解析 因为OA →＋AG →＝OG →，OB →＋BG →＝OG →，OC →＋CG →＝OG →，且AG →＋BG →＋CG →＝0，所以OA →＋OB →＋OC →＝3OG →.16. 1 解析:AB →＝(1，－1,3)，BC →＝(a －2，－1，b ＋1)，若使A 、B 、C 三点共线，须满 足BC →＝λAB →，即(a －2，－1，b ＋1)＝λ(1，－1,3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ，－1＝－λ，b ＋1＝3λ，解得a ＝3，b ＝2，所以a －b ＝1.17. 解析 (1)EF →·BA →＝12BD →·BA → ＝12|BD →||BA →|cos 〈BD →，BA →〉＝12cos 60°＝14.(2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12cos 0°＝12. (3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 120°＝－14. 18. 解析 ∵BC →＝AC →－AB →，∴OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →＝|OA →|·|AC →|·cos 〈OA →，AC →〉－|OA →|·|AB →|·cos 〈OA →，AB →〉＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16 2.∴cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →|·|BC →|＝24－1628×5＝3－225. ∴OA 与BC 夹角的余弦值为3－225. 19.解析 (1)∵AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝714×14＝12， ∴∠BAC ＝60°∴S ＝|AB →||AC →|sin 60°＝7 3.(2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →⇒－2x －y ＋3z ＝0，a ⊥AC →⇒x －3y ＋2z ＝0，|a |＝3⇒x 2＋y 2＋z 2＝3，解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．21.解析∵A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，a ＝AB →，b ＝AC →，∴a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)．(1) cos θ＝a·b |a||b|＝－1＋0＋02×5＝－1010， ∴a 与b 的夹角θ的余弦值为－1010. (2) ∵k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，k a －2b ＝(k ＋2，k ，－4)，且(k a ＋b )⊥(k a －2b )，∴(k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4)＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝2k 2＋k －10＝0，则k ＝－52或k ＝2.。
空间向量及其线性运算(26张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
2.已知空间任一点O 和不共线的三点A,B,C, 下列能得到P,A,B,C四点共面的是(B )A.OP=OA+OB+OC
解 析 ：若点P,A,B,C 共面，设OP=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1, 满足条件的只有B, 故选B.
D. 以上都不对
(2)∵M 是AA的中点，
又N 是BC的中点，
回顾一下本节课学习了哪些新知识呢?1.空间向量的概念2.空间向量的运算律3.共线向量和共面向量
小结：
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
的充要条件是
如图，0是直线1上一点，在直线1上取非零向量a, 则对于直线1上任意一 点P, 由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ,使得
直线的方向向量
OP=λa. 把与向量a 平行的非零向量称为直线l的方向向量.
共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线1平行或重合，那么称向量α平行于直线l.如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.a0 Aa 1aa如果两个向量a,b 不共线，那么向量p 与 向 量a,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 使 P=xa+yb.
证明：设 DA=a,DC=b.则DB=DC+CB=b+a,
10.如图，在平行六面体ABCD-A₁B₁CD₁中，设AA M,N,P 分别是AA,BC,C₁D₁的中点，试用a,b,c
=a,AB=b,AD=c,表示以下向量：
人教版高中数学选择性必修第一册-空间向量及其线性运算-课时作业【含解析】
第一章空间向量与立体几何课时作业1空间向量及其线性运算【原卷版】时间：45分钟一、选择题1．在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＋AD →＋BB ′→＝()A.AC → B.AC ′→C.BC ′→ D.BD→2．已知三棱锥A BCD 中，E 是BC 的中点，则AE →－12(AC →＋AD →)＝()A.BD →B.DB →C.12BD → D.12DB→3.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是D 1D 的中点，点N 是AC 1上的点，且AN →＝13AC 1→，用a ，b ，c 表示向量MN →的结果是()A.12a ＋b ＋c B.15a ＋15b ＋45c C.15a －310b －15c D.13a －23b －16c 4．在四面体ABCD 中，P 在平面ABC 内，Q 在平面BCD 内，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，AQ →＝sAB →＋tAC →＋μAD →，若x y ＝st，则线段AQ 与DP 的位置关系是()A ．AQ 与DP 所在直线是异面直线B ．AQ 与DP 所在的直线平行C ．线段AQ 与DP 必相交D ．线段AQ 与DP 延长后相交5．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝()A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b －cC.12a －12b －c D ．－12a ＋12b －c6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →＝14OA →＋16OB →＋λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝()A.12 B.13C.512 D.712.7．如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，E 是CC ′的中点，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b＋z c ，则()A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ＝12，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ＝12，y ＝1，z ＝328．(多选题)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是()A.AA 1→－B 1C 1→＋D 1C 1→B.AB →＋BC →＋CC 1→C.AB →－C 1C →＋B 1C 1→D.AA 1→＋DC →＋B 1C 1→二、填空题9．在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，连接DE ，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为10.在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 为△A 1B 1C 1的重心，若AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝，CM →＝.11．已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝－2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝2.三、解答题12.如图，已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，点E 在AC ′上，且AE EC ′＝12，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，试用BB ′→，BA →，BC →表示以下向量：(1)AE →；(2)BF →；(3)GF →.13.如图，已知ABCD A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．14．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列选项中与向量MC 1→相等的是()A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b －cD.12a ＋12b －c15．(多选题)若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量共面的是()A ．b －c ，b ，b ＋cB ．a ＋b ，c ，a ＋b ＋cC ．a ＋b ，a －b ，cD ．a －b ，a ＋b ，a16.如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：(1)OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．第一章空间向量与立体几何课时作业1空间向量及其线性运算【解析版】时间：45分钟一、选择题1．在长方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，AB →＋AD →＋BB ′→＝(B )A.AC → B.AC ′→C.BC ′→ D.BD→解析：AB →＋AD →＋BB ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AC ′→.故选B.2．已知三棱锥A BCD 中，E 是BC 的中点，则AE →－12(AC →＋AD →)＝(D )A.BD →B.DB →C.12BD → D.12DB →解析：如图，取CD 的中点F ，连接AF ，EF ，∵三棱锥A BCD 中，E 是BC 的中点，∴AE →－12(AC →＋AD →)＝AE →－AF →＝FE →＝12DB →.故选D.3.如图所示，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，M 是D 1D 的中点，点N 是AC 1上的点，且AN →＝13AC 1→，用a ，b ，c 表示向量MN →的结果是(D)A.12a ＋b ＋c B.15a ＋15b ＋45c C.15a －310b －15c D.13a －23b －16c 解析：∵M 是D 1D 的中点，AN →＝13AC 1→，∴MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DD 1→－AD →＋13AC 1→＝－12AA 1→－AD →＋13(AA 1→＋AD→＋AB →)＝13AB →－23AD →－16AA 1→＝13a －23b －16c .故选D.4．在四面体ABCD 中，P 在平面ABC 内，Q 在平面BCD 内，且满足AP →＝xAB →＋yAC →，AQ →＝sAB →＋tAC →＋μAD →，若x y ＝st，则线段AQ 与DP 的位置关系是(C )A ．AQ 与DP 所在直线是异面直线B ．AQ 与DP 所在的直线平行C ．线段AQ 与DP 必相交D ．线段AQ 与DP 延长后相交解析：∵x y ＝s t ，∴s x ＝t y ，不妨设s x ＝ty ＝λ，则s ＝λx ，t ＝λy .∴AQ →＝sAB →＋tAC →＋μAD →＝λxAB →＋λyAC →＋μAD →＝λ(xAB →＋yAC →)＋μAD →＝λAP →＋μAD →，即AQ →＝λAP →＋μAD →.∴A ，P ，D ，Q 四点共面．又AQ 与DP 不平行．∴线段AQ 与线段DP 相交．故选C.5．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则B 1M →＝(D)A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b －cC.12a －12b －c D ．－12a ＋12b －c解析：B 1M →＝B 1B →＋BM →，BM →＝12BD →，BD →＝BA →＋BC →，∴B 1M →＝－AA 1→＋12(－AB →＋AD →)＝－c －12a ＋12b .故选D.6．在四面体OABC 中，空间的一点M 满足OM →＝14OA →＋16OB →＋λOC →，若MA →，MB →，MC →共面，则λ＝(D )A.12 B.13C.512D.712解析：由MA →，MB →，MC →共面知，14＋16＋λ＝1，解得λ＝712.故选D.7．如图，已知正方体ABCD A ′B ′C ′D ′中，E 是CC ′的中点，a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，AE →＝x a ＋y b＋z c ，则(A)A ．x ＝1，y ＝2，z ＝3B ．x ＝12，y ＝1，z ＝1C ．x ＝1，y ＝2，z ＝2D ．x ＝12，y ＝1，z ＝32解析：AE →＝AB →＋BC →＋12CC ′→＝AB →＋AD →＋12AA ′→∵a ＝12AA ′→，b ＝12AB →，c ＝13AD →，∴AE →＝a ＋2b ＋3c ，∴x ＝1，y ＝2，z ＝3.8．(多选题)在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为AC 1→的是(BCD )A.AA 1→－B 1C 1→＋D 1C 1→ B.AB →＋BC →＋CC 1→C.AB →－C 1C →＋B 1C 1→ D.AA 1→＋DC →＋B 1C 1→解析：如图，AA 1→－B 1C 1→＋D 1C 1→＝AA 1→－AD →＋DC →＝DA 1→＋A 1B 1→＝DB 1→，故选项A错误；AB →＋BC →＋CC 1→＝AC →＋CC 1→＝AC 1→，故选项B 正确；AB →－C 1C →＋B 1C 1→＝AB →＋BC →－C 1C →＝AC →－C 1C →＝AC 1→，故选C 正确；AA 1→＋DC →＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋BC →＝AA 1→＋AC →＝CC 1→＋AC →＝AC 1→，故选项D 正确．二、填空题9．在空间四边形ABCD 中，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，连接DE ，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为0.解析：延长DE ，交BC 于点F ，则F 为BC 的中点，∴12BC →＝BF →，32DE →＝DF →，∴AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →＋FD →＋DA →＝0.10.在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 为△A 1B 1C 1的重心，若AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝b ＋c ，CM →＝c ＋a 3－2b3.解析：∵在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，M 为△A 1B 1C 1的重心，AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，∴AC 1→＝AC →＋CC 1→＝b ＋c ，CM →＝CC 1→＋C 1M →＝c ＋23C 1D →＝c ＋23×12(C 1A 1→＋C 1B 1→)＝c ＋13(－b ＋AB →－AC →)＝c ＋13(－b ＋a －b )＝c ＋a 3－2b3.11．已知点P 和不共线三点A ，B ，C 四点共面且对于空间任一点O ，都有OP →＝－2OA →＋OB →＋λOC →，则λ＝2.解析：AP →＝OP →－OA →＝－3OA →＋OB →＋λOC →，BP →＝OP →－OB →＝－2OA →＋λOC →，CP →＝OP →－OC →＝－2OA →＋OB →＋(λ－1)OC →，∵P ，A ，B ，C 四点共面，∴存在m ，n ∈R 使得AP →＝mBP →＋nCP →，－2m －2n ＝－3，n ＝1，n (λ－1)＋mλ＝λ，m ＝12，n ＝1，λ＝2.三、解答题12.如图，已知平行六面体ABCD A ′B ′C ′D ′中，点E 在AC ′上，且AE EC ′＝12，点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，试用BB ′→，BA →，BC →表示以下向量：(1)AE →；(2)BF →；(3)GF →.解：(1)AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝－BA →＋BC →＋BB ′→，∵AE EC ′＝12，∴AE →＝13AC ′→＝－13BA →＋13BC →＋13BB ′→.(2)∵F 是B ′D ′的中点，∴BF →＝12BB ′→＋12BD ′→＝12BB ′→＋12(BA →＋BC →＋BB ′→)＝12BA →＋BB ′→＋12BC →.(3)∵点F ，G 分别是B ′D ′和BD ′的中点，∴GF →＝12BB ′→.13.如图，已知ABCD A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α，β，γ的值．解：∵MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC 1→＝12(AB →－AD →)＋34(CC 1→－CB →)＝12AB →－12AD →＋34(AA 1→＋AD →)＝12AB →＋14AD →＋34AA 1→，又MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，∴α＝12，β＝14，γ＝34.14．如图，平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则下列选项中与向量MC 1→相等的是(B)A ．－12a －12b －cB.12a ＋12b ＋cC.12a －12b －cD.12a ＋12b －c 解析：∵平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，∴12a ＋12b ＋c ＝12(AB→＋AD →)＋AA 1→＝12AC →＋CC 1→＝MC 1→.故选B.15．(多选题)若向量a ，b ，c 不共面，则下列选项中三个向量共面的是(ABD )A ．b －c ，b ，b ＋c B ．a ＋b ，c ，a ＋b ＋c C ．a ＋b ，a －b ，cD ．a －b ，a ＋b ，a解析：向量a ，b ，c 不共面，则A.b －c 与b ＋c 共面，进而得出三个向量共面．B.a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋c ，因此三个向量共面．C.三个向量不共面．D.不含有c ，三个向量一定共面．故选ABD.16.如图，在空间四边形SABC 中，AC ，BS 为其对角线，O 为△ABC的重心，试证：(1)OA →＋OB →＋OC →＝0；(2)SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．证明：(1)∵O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－13(AB →＋AC →)，①OB →＝－13(BA →＋BC →)，②OC →＝－13(CA →＋CB →)，③∴①＋②＋③得：OA →＋OB →＋OC →＝－13(AB →＋AC →)－13(BA →＋BC →)－13(CA →＋CB →)＝0.(2)∵SO →＝SA →＋AO →，④SO →＝SB →＋BO →，⑤SO →＝SC →＋CO →，⑥且由(1)得：AO →＋BO →＋CO →＝0.∴④＋⑤＋⑥得：3SO →＝(SA →＋AO →)＋(SB →＋BO →)＋(SC →＋CO →)＝SA →＋SB →＋SC →，即SO →＝13(SA →＋SB →＋SC →)．。
数学 人教A版 选择性必修第一册第一章(空间向量与立体几何)1.1.1-1空间向量及其线性运算
第1课时 空间向量及其 线性运算
学习目标
1.经历由平面向量推广到空间向量的过程，了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其运算律推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算．(重点)
导语
你见过做滑翔伞运动的场景吗？可以想象在滑翔过程中， 飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的 拉力、风力、重力等，显然，这些力不在同一个平面 内．联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向 量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？
内容索引
一、空间向量的有关概念 二、空间向量的加减运算 三、空间向量的数乘运算 随堂演练 课时对点练
一 空间向量的有关概念
问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 提示 平面内既有大小又有方向的量叫做平面向量，空间向量是平面向 量的推广，其表示方法以及一些相关概念与平面向量一致.
∴四边形ABCD为平行四边形.
1234
4.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在 平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中点，若 O→Q＝P→Q ＋xP→C＋yP→A ，则x＝_－__12___，y＝_－__12___.
知识梳理
注意点： (1)当λ＝0或a＝0时，λa＝0. (2)λ的正负影响着向量λa的方向，λ的绝对值的大小影响着λa的长度. (3)向量λa与向量a一定是共线向量.
例3 (1)(多选)已知m，n是实数，a，b是空间任意向量，下列命题正确
的是
√A.m(a－b)＝ma－mb √B.(m－n)a＝ma－na
四
随堂演练
1.(多选)下列命题中，真命题是
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间向量及其线性运算
B
A.若,则向量,的长度相同,方向相同或相反B.若向量是向量的相反向量,则C.两个向量相等,若它们的起点相同,则其终点不一定相同D.若,,则
[解析] 两个向量是相反向量时,它们的模必相等,故选项B正确.
探究点二 空间向量的线性运算
【例2】如图所示，在平行六面体中，设，，，，，分别是，，的中点，试用，，表示以下各向量：
规律方法 空间向量概念的辨析
1
空间向量的两个要素是大小与方向,两者缺一不可
2
单位向量的方向虽然不一定相同,但长度一定为1
3
两个空间向量的模相等,但方向不确定,即两个空间向量（非零向量）的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件
4
由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的,但空间向量的模是可以比较大小的
知识点2 空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法
类似平面向量,定义空间向量的加法、减法运算（如图）._______；______
空间向量的数乘
_当时,;当时,;当时，___
运算律
①交换律:;②结合律:,_______;③分配律：________,________.（其中,）
续表
过关自诊
1.空间两个向量的加法、减法与平面内两个向量的加法、减法有没有区别？
【例3】在正方体中,点在体对角线上,且,点在棱上,若,,三点共线,,求.
解在正方体中,.因为,,所以,即.因为,,三点共线,所以,解得.
规律方法利用空间共线向量定理可解决的主要问题（1）判断任意两个空间向量是否共线:判断任意两个空间向量,是否共线,即判断是否存在实数,使.（2）求解参数:已知两个非零向量共线,可求其中参数的值,即利用“若,则”.（3）判断或证明空间中的任意三点（如,,）是否共线:①考查是否存在实数,使;②考查对空间任意一点,是否有;③考查对空间任意一点,是否有.
2013届高考数学三维设计课后练习(人教A版)第七章第七节空间向量及其运算(理)
一、选择题1．空间四点A (2,3,6)、B (4,3,2)、C (0,0,1)、D (2,0,2)的位置关系为( ) A ．共线 B ．共面 C ．不共面D ．无法确定解析：可在空间直角坐标系中作图分析，知A 、B 、C 、D 不共面． 答案：C2.如图，在底面ABCD 为平行四边形的四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AC 与BD 的交点，若AB ＝a ，11A D ＝b ，1A A ＝c 则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋cD ．－12a －12b ＋c解析：1B M ＝1B A ＋AM ＝1B B ＋BA ＋AM ＝－12a ＋12b ＋c .答案：A3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段AB 的延长线上 C ．点P 在线段BA 的延长线上 D ．点P 不一定在直线AB 上解析：∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上． 答案：A4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627 B.637 C.607D.657解析：∵a 、b 、c 三向量共面，所以存在实数m 、n ，使得c ＝ma ＋nb .即⎩⎪⎨⎪⎧7＝2m －n 5＝－m ＋4n λ＝3m －2n∴λ＝657. 答案：D5．(2011·济宁第一次月考)正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( ) A.216a B.66a C.156aD.153a 解析：如图设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则|MN |＝|MA ＋AB ＋BN | ＝|－131AC ＋AB ＋121BB |＝|－13(a ＋b ＋c )＋a ＋12c |＝|23a －13b ＋16c | ∴|MN |2＝(23a －13b ＋16c )2可求|MN |＝216a . 答案：A 二、填空题6．(2012·海口模拟)已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．则以AB ，AC 为边的平行四边形的面积为________．解析：由题意可得：AB ＝(－2，－1,3)，AC ＝(1，－3,2)，∴cos 〈AB ，AC 〉＝AB ·AC| AB ||AC |＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin 〈AB ，AC 〉＝32. ∴以AB ，AC 为边的平行四边形的面积S ＝2×12|AB |·|AC |·sin 〈AB ，AC 〉＝14×32＝7 3.答案：7 37．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(11A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·(11A B －11A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．解析：由1AA ⊥11A D ，1AA ⊥11A B ，11A D ⊥11A B ⊥11A B ，得(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝3(11A B )2，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．答案：①② 三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB ＝e 1＋e 2，AC ＝2e 1＋8e 2，AD ＝3e 1－3e 2，求证：A 、B 、C 、D 共面．证明：令λ(e 1＋e 2)＋μ(2e 1＋8e 2)＋v (3e 1－3e 2)＝0. 则(λ＋2μ＋3v )e 1＋(λ＋8μ－3v )e 2＝0.∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＋3v ＝0，λ＋8μ－3v ＝0.易知⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－5，μ＝1，v ＝1，是其中一组解，则－5AB ＋AC ＋AD ＝0. ∴A 、B 、C 、D 共面．9．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算2a ＋3b,3a －2b ，a ·b 以及a 与b 所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使λa ＋μb 与z 轴垂直．解：2a ＋3b ＝2×(3,5，－4)＋3×(2,1,8) ＝(6,10，－8)＋(6,3,24)＝(12,13,16)．3a －2b ＝3×(3,5，－4)－2×(2,1,8) ＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)． a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21. ∵|a |＝32＋52＋(－4)2＝50， |b |＝22＋12＋82＝69， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－2150·69＝－7138230.∵λa ＋μb 与z 轴垂直，∴(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1) ＝－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ.∴当λ，μ满足λ＝2μ时，可使λa ＋μb 与z 轴垂直． 10.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA ＝a ，CB ＝b ，CC '＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0. ∴CE ＝b ＋12c ，A D '＝－c ＋12b －12a .∴CE ·A D '＝－12c 2＋12b 2＝0，∴CE ⊥A D '，即CE ⊥A ′D .(2) AC '＝－a ＋c ，∴|AC '|＝2|a |，|CE |＝52|a |. AC '·CE ＝(－a ＋c )·(b ＋12c )＝12c 2＝12|a |2，∴cos 〈AC '，CE 〉＝12|a |22·52|a |2＝1010.即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010.高考∠试(题#库。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(41)空间向量及运算
课时作业 (四十一 ) [第 41 讲 空间向量及运算 ][时间： 45 分钟分值： 100 分]基础热身11．已知 a ＝ (2,3，－ 4)， b ＝ (－ 4，－ 3，－ 2) ， b ＝ 2x － 2a ，则 x 等于 ( )A ． (0,3，－ 6)B ． (0,6，－ 20)C ．(0,6，－ 6)D ． (6,6，－ 6) 2．已知向量 a ＝ (1,1,0) ，b ＝ (－ 1,0,2) ，且 k a ＋ b 与 2a － b 相互垂直，则k 的值是 ()1 3 7 A ．1 B.5C.5D.53．与向量 a ＝ (6,7，－ 6)平行的单位向量是 ()A. 6，7，－6121 121121B.6，7，－6 或 －6，－ 7，611 11111111 116 7 6C. 11，11，－1167667 6D. 121 ， 121，－ 121 或 － 121，－121， 121 4．已知 a ＝ (1－ t,1－ t ， t)， b ＝ (2， t ， t)，则 |b － a |的最小值是 ()5 55A.5B. 5 3 511C. 5D. 5 能力提高5．如图 K41 －1，在空间直角坐标系中，正方体ABCD － A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1，B 1E ＝14→A 1B 1，则 BE 等于 ()图 K41－1A. 0， 14，－ 1B. －1，0，1 4C. 0，－ 1，11 4D. 4， 0，－ 1ππ ，|c |＝ 3，则 |a ＋ b ＋ c |＝ ()6．已知 a ⊥ b ，〈 a ，c 〉＝ ，〈 b ，c 〉＝ ，且 |a |＝ 1，|b |＝ 23 6A ．17＋6 3B ．17－6 3C. 17＋6 3D. 17－ 6 37．如图 K41 － 2，在大小为 45°的二面角长为 1 的正方形，则 B ， D 两点间的距离是 (A －EF －D )中，四边形ABFE ， CDEF都是边图 K41－2A. 3B. 2C ．1D. 3－ 28． 到点 A(－ 1，－ 1，－ 1)和点 B(1,1,1)的距离相等的点 P( x ，y ， z)的坐标知足 () A ． x ＋ y ＋ z ＋ 1＝ 0 B ． x ＋ y ＋ z － 1＝ 0 C ．x ＋ y ＋ z ＝ 0 D ． x ＋ y － z ＝ 09．若 { a ， b ，c } 为空间的一个基底，则以下各项中能组成基底的一组向量是 ()A ． a ， a ＋ b ， a － bB ． b ，a ＋ b ， a － bC ．c ， a ＋ b ， a － bD ． a ＋b ， a － b ，a ＋ 2b10．已知 |a |＝ 3， |b |＝5，且 a ·b ＝ 12，则向量 a 在向量 b 的方向上的投影为 ________．11．已知空间三点→ → θ 的大小是A(1,1,1) ， B(－ 1,0,4)， C(2，－ 2,3)，则 AB 与 CA 的夹角 ________．x ＋ y＝ 1，12． 在平面直角坐标系中， 由点 A(a,0)，B(0，b)(ab ≠ 0)确立的直线的方程为a b 类比到空间直角坐标系中，由A(a,0,0)， B(0， b,0)， C(0,0，c)( abc ≠0) 确立的平面的方程可以写成 ________．13．在平行六面体 (即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD － A ′B ′ C ′ D ′中， AB＝ 1，AD ＝ 2，AA ′＝ 3，∠ BAD ＝ 90°，∠BAA ′＝∠ DAA ′＝ 60°，则 AC ′的长为________．14． (10 分)若( a ＋ b )⊥ (2a － b )， (a － 2b )⊥ (2a ＋ b )，试求 cos 〈 a ， b 〉． 15． (13 分)把边长为 a 的正方形 ABCD 沿对角线 AD 、BC 的中点，点 O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；AC折起成直二面角，点E 、 F分别是(2)折起后∠EOF的大小．难点打破→ →16．(12 分 )已知 A(1,2,3) ，B(2,1,2) ，P(1,1,2) ，O(0,0,0) ，点 Q 在直线 OP 上运动，当QA ·QB 取最小值时，求点 Q 的坐标．课时作业 (四十一 )【基础热身】1． B [ 分析 ] 因为 b ＝12x － 2a ，则 x ＝2b ＋ 4a ＝2( － 4，－ 3，－ 2)＋ 4(2,3 ，－ 4)＝ (0,6，－ 20)．2．D[分析 ] 因为 k a ＋ b ＝ k(1,1,0) ＋ (－ 1,0,2)＝( k －1，k,2)，2a － b ＝2(1,1,0)－ (－ 1,0,2)＝(3,2，－ 2)，而两向量相互垂直，则有 7(k － 1)× 3＋ k × 2＋ 2× (－2) ＝0，解得 k ＝ .53． B [分析 ] 设与 a 平行的单位向量为b ＝ (x ， y ， z)，则 x 2＋ y 2＋ z 2＝ 1，且 x ＝6λ， y＝7λ， z ＝－ 6λ，因此 λ＝ ±1，则 b ＝ 6，7，－ 6 或－6，－7，611 11 11 11 11 11 11 .4． C [分析 ] 因为 b － a ＝ (2， t ， t)－ (1－ t,1－ t ， t) ＝(1＋ t,2t － 1,0)，则 |b － a |＝ 1＋ t 2 ＋ 2t － 1 2 25 t － 1 2 9 3 5 ＝ 5t － 2t ＋ 2＝ 5 ＋ ≥ 5 .5【能力提高】5．C [分析 ] B 点坐标为 (1,1,0)，E 点坐标为3 → 3 －1，1－0 ＝1， ，1 ，则 BE ＝ 1－ 1， 4 40，－ 1，1 .46．C [分析 ]7．D [分析 ]由 |a ＋b ＋ c |＝ a ＋ b ＋c 2求得正确选项为 C.→ →→→→2→2 → 2 → 2 →→→→∵ BD ＝ BF ＋ FE ＋ ED ，∴ |BD | ＝ |BF| ＋ |FE| ＋ |ED | ＋ 2BF ·FE ＋ 2FE ·ED ＋→ →1＋1＋ 1－ 2＝ 3－→3－ 2.2BF ·ED ＝ 2，故 |BD|＝8． C [分析 ] 由空间两点间距离公式可得 x ＋ y ＋ z ＝0. ＝1 9． C [分析 ] 关于实数 λ、 μ，形如 λa ＋ μb 的向量都与向量 a ， b 是共面向量．因为 a a ＋ b ＋ 1 － ，应选项 中的三个向量共面； 因为 ＝ 1 ＋ － 1 － ，应选项中 2( 2(a b ) A 2(a b ) 2(a b ) B ) b的三个向量共面；因为 3 1 中的三个向量共面．对选项C ，a ＋ 2b ＝ (a ＋ b )－ (a － b )，应选项 D 2 2我们设 c ＝ λ(a ＋ b )＋ μ(a － b )，则 (λ＋ μ)a ＋ (λ－μ)b － c ＝ 0，因为 { a ，b ，c } 为空间的一个基底，故 a ，b ，c 不共面，因此 (λ＋ μ)a ＋ (λ－ μ)b － c ＝ 0? λ＋ μ＝ 0，λ－ μ＝ 0，－ 1＝0，这明显是不可能成立的，应选项 C 中的三个向量是不共面的，正确选项为 C.12a ·b a ·b 1210. 5 [ 分析 ] 向量 a 在向量 b 的方向上的投影等于 |a | ·cos 〈 a ，b 〉＝ |a ||a ||b |＝|b | ＝ 5 . 11． 120 ° [分析 ] → →→ →因为 AB ＝ (－ 2，－ 1,3)，CA ＝ (－ 1,3，－ 2) ，则 cos θ＝ cos 〈AB ，CA 〉 －2 × －1 ＋ －1 ×3＋3× －2 1＝ 14× 14 ＝－ 2，则 θ＝120°.12. x ＋ y ＋ z＝1 [分析 ] 依据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的状况a b c x ＋ y ＋ z＝ 1. 进行类比．经过直线方程的构造形式，能够类比得出平面的方程为a b c 13. 23 [分析 ] → → →→ → → →如图， AC ′ ＝AB ＋BC ＋ CC ′ ＝ AB ＋ AD ＋ AA ′ ， → → → →因此 |AC ′ |＝|AC ′|＝ |AB ＋AD ＋AA ′|＝ → 2 → 2 → 2 →→→→→→AB ＋AD ＋ AA ′ ＋ 2 AB ·AD ＋ AB ·AA ′ ＋AD ·AA ′＝ 1＋ 4＋ 9＋ 2 1× 3× cos60°＋ 2×3× cos60°＝ 23.14． [解答 ] 因为 (a ＋ b )⊥ (2a － b )，则 (a ＋ b ) ·(2a － b )＝ 2a 2－b 2 ＋a ·b＝ 2|a |2－ |b |2＋ |a | ·|b |cos 〈 a ， b 〉＝ 0，即 cos 〈 a ， b 〉＝ |b |2－ 2|a |2|a | ·|b | ，又 (a － 2b )⊥ (2a ＋ b )，则(a － 2b ) ·(2a ＋ b )＝ 2a 2－ 2b 2 －3a ·b ＝ 2|a |2－ 2|b |2－ 3|a | ·|b |cos 〈 a ， b 〉 ＝ 0，即 cos 〈 a ， b 〉＝ 2|a |2－ 2|b |2 3|a | |·b | ，|b |2－ 2|a |2 2|a |2－ 2|b |2222 因此|a | |·b | ＝3|a | ·|b |，即5|b | ＝ 8|a | ，即 |b |＝228|a |2－ 2|a |2 10因此 cos 〈a ， b 〉＝|b | －2|a |＝ 5＝－ |a | |·b |2 10 10.|a | ·5 |a |105|a |，2 215．[解答 ] 如图，以 O 点为原点成立空间直角坐标系 O －xyz ，则 A0，－ 2 a,0，B 2 a,0,0，2 2 2 2 2 2C0，2 a,0，D 0,0，2 a ， E0，－4 a ， 4 a ， F 4 a ， 4a,0.→2222 2222323(1)|EF | ＝4 a － 0 ＋ 4 a ＋ 4 a ＋ 0－ 4 a ＝ 4a ，∴ |EF|＝2 a.→2 2 → 2 2(2)OE ＝0，－ 4 a ， 4 a ， OF ＝ 4 a ， 4 a ， 0 ，→ → 2 2 2 2 a 2 OE ·OF ＝ 0× 4 a ＋ － 4 a ×4a＋ 4 a × 0＝－ 8 ，→ a→ a→→ → → 1〉＝ OE ·OF|OE|＝， |OF|＝ ， cos 〈OE ， OF→ → ＝－ ，222∴∠ EOF ＝ 120°.|OE||OF | 【难点打破】→→＝(λ， λ， 2λ)，16． [解答 ] 设OQ ＝λOP→ 则 QA ＝ (1－ λ， 2－ λ， 3－ 2λ)， →QB ＝ (2－ λ，1－ λ， 2－ 2λ)，4→ → ·(2 － λ)＋ (2 － λ)(1 － λ)＋ (3－22－∴ QA ·QB ＝ (1 － λ)2λ)·(2－ 2λ)＝ 6λ－ 16λ＋ 10＝ 6 λ－3 2，3→ →2，∴当λ＝4时， QA·QB获得最小值－33→448448此时 OQ＝3，3，3，即 Q 3，3，3.。
2013届人教A版理科数学课时试题及解析(1)集合及其运算
课时作业 (一 ) [第 1 讲会合及其运算][时间：45 分钟分值： 100 分]基础热身1．已知会合M＝{0,1,2,3,4} ，N＝ {1,3,5} ， P＝M∩ N，则 P 的子集共有 ( A．2个B．4 个C．6 个D．8 个2．已知全集是实数集R ，M＝{ x|x≤1}，N＝{1,2,3,4}，则(?R M)∩N等于(A ． {4}B ．{3,4}C．{2,3,4}D． {1,2,3,4}3．已知会合A＝ { y|y＝ lgx，x>1} ，B＝{ x|0<|x|≤ 2，x∈Z } ，则以下结论正确的选项是A ． A∩ B＝ { －2，－ 1}B． A∪ B＝ { x|x<0}C．A∪ B＝ { x|x≥ 0}D． A∩ B＝ {1,2}))()4．对于平面上的点集上的凸集，给出平面上Ω，假如连结Ω 中随意两点的线段必然包括于4 个点集的图形如图 K1 － 1(暗影地区及其界限Ω，则称Ω为平面)，此中为凸集的是()图 K1－1A ．①③B．②③C．③④ D ．①④能力提高5．已知会合M＝ { － 4，－ 3，－ 2，－ 1，0,1,4} ，N＝ { － 3，－ 2，－ 1,0,1,2,3} ，且 M，N 都是全集I 的子集，则图K1 － 2 中暗影部分表示的会合为()图 K1－2A ． { － 1，－ 2，－ 3}B ． {0,1,2,3}C．{2,3}D． {0 ，－ 1，－ 2，－ 3}6．若全集 U＝ {1,2,3,4,5,6} ， M＝ {2,3} ，N＝{1,4} ，则会合 {5,6} 等于 ()A．M∪ N B． M∩ NC．( ?U M)∪ (?U N) D ． (?U M)∩( ?U N)7．已知会合A＝ { x|－2≤ x≤ 7} ，B＝ { x|m＋1<x<2m－ 1} 且 B≠ ?，若 A∪ B＝ A，则 m 的取值范围是 ()A ．－ 3≤ m≤ 4B ．－ 3<m<4C．2< m<4D． 2<m≤ 48．设全集 U ＝ {( x，y)|x∈R，y∈R} ，A＝ {( x，y)|2x－ y＋ m>0} ，B＝ {( x，y)|x＋ y－ n≤0} ，那么点 P(2,3)∈A∩ (?U B)的充要条件是 ()A ． m>－1 且 n<5B ．m<－ 1 且 n<5C．m>－1 且 n>5 D ．m<－ 1 且 n>512，则A∩B＝() 9．设会合 A＝{ x|y＝ ln(x－ 3)} ， B＝ xy＝－ 4＋5x－ xA ． ?B． (3,4)C ．( －2,1)D ． (4，＋∞ )10．设会合 A ＝ { －1,1,3} ，B ＝ { a ＋ 2，a 2＋ 4} ，A ∩ B ＝ {3} ，则实数 a 的值为 ________． 11．若全集 U ＝ {0,1,2,4,16} ，会合 A ＝ {0,2 ，a} ，?U A ＝ {1 ， a 2} ，则 a 的值为 ________． 12．设数集 M ＝ x m ≤ x ≤ m ＋3，N ＝ x n － 1≤ x ≤ n ，且 M 、N 都是会合 { x|0≤x ≤ 1}4 3的子集，假如把 b － a 叫做会合 { x|a ≤ x ≤ b} 的“长度”，那么会合 M ∩N 的“长度”的最小值是 ________．13．已知会合 A ＝ { x|1≤log 2x ≤ 2} ， B ＝ [a ， b] ，若 A? B ，则实数 a － b 的取值范围是________．已知会合 A ＝ { x||x － 1|<2} ， B ＝ { x|x 2＋ ax － 6<0} ， C ＝ { x|x 2－ 2x －15<0} ． 14． (10 分) (1)若 A ∪ B ＝ B ，求 a 的取值范围；(2)能否存在 a 的值使得 A ∪ B ＝ B ∩C ？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明原因．2－ 1 的定义域为会合A ，函数 g(x)＝1－ a 2－ 2ax － x 2的15．(13 分 )设函数 f(x)＝ lg x ＋ 1定义域为会合 B.(1)求证：函数 f(x)的图象对于原点成中心对称；(2)a ≥ 2 是 A ∩ B ＝?的什么条件 (充足不用要条件、必需不充足条件、充要条件、既不充足也不用要条件 )？并证明你的结论．难点打破16． (12 分)会合 A ＝{ x|－ 2≤ x ≤5} ， B ＝ { x|m ＋ 1≤ x ≤ 2m － 1} ． (1)若 B? A ，务实数 m 的取值范围；(2)当 x ∈ Z 时，求 A 的非空真子集的个数；(3)当 x ∈ R 时，若 A ∩ B ＝ ?，务实数 m 的取值范围．作业手册课时作业 ( 一)【基础热身】1． B [ 分析 ] 由于 M＝ {0,1,2,3,4} ， N＝ {1,3,5} ，因此 P＝ M∩ N＝ {1,3} ，因此会合 P 的子集共有 ?， {1} ， {3} ， {1,3}4 个．2． C[ 分析 ] 由于 ?R M＝ { x|x>1} ，因此 (?R M)∩ N＝ {2,3,4} ．3． D[ 分析 ] A＝ { y|y>0} ， B＝ { － 1，－ 2,1,2} ，故 A∩ B＝{1,2} ．4． B[ 分析 ] 只有②③两个图形内随意两点所连线段仍在图形内．【能力提高】5． C [ 分析 ] 依据补集和交集的运算，把N 中属于 M 的元素去掉即可．6． D[ 分析 ] 方法一：∵ M∪ N＝ {1,2,3,4} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ ?U(M∪ N)＝ {5,6} ．应选 D.方法二：∵ ?U M＝ {1,4,5,6} ，?U N＝ {2,3,5,6} ，∴(?U M)∩ (?U N)＝ {5,6} ．应选 D.7． D [分析 ] ∵A∪ B＝ A，∴ B? A，又 B≠ ?，m＋ 1≥－ 2，∴ 2m－ 1≤ 7，解得 2＜ m≤ 4.m＋1<2m－ 1，8． A [ 分析 ] ∵P∈ A，∴ m>－ 1，又 ?U B＝{( x， y)|x＋ y－ n>0} ，∵ P∈ (?U B)，∴ n<5 ，应选 A.9． B [ 分析 ] 会合 A， B 均是函数的定义域，求出定义域后计算即可．22，即得会合 A＝ (3，＋∞ ) ，会合 B 中的 x 知足－ 4＋ 5x－x >0，即 x － 5x＋4<0即会合 B＝ (1,4)，故 A∩ B＝ (3,4) ．应选 B.10． 1[ 分析 ] ∵ A＝{ － 1,1,3} ，B＝ { a＋ 2， a2＋ 4} ， A∩ B＝ {3} ，∴ a＋ 2＝ 3＝3，又∵ a2＋ 4＝ 3 不切合题意，无解．∴ a＝ 1，经查验，切合题意．11． 4[分析 ] a 只可能等于 4.1<x<4 ，或 a2＋ 413112.12[ 分析 ] 由题意，知会合M 的“长度”是4，会合 N 的“长度”是3，由会合 M、N 是 { x|0≤ x≤ 1} 的子集，知当且仅当M∪ N＝ { x|0≤x≤ 1} 时，会合 M∩N 的“长度”最小，311最小值是4＋3－ 1＝12.13．(－∞，－ 2][ 分析 ] 会合 A 是不等式 1≤ log2x≤ 2 的解集，求出这个会合，依据集合之间的关系得a，b知足的条件，即可求出 a－ b 的取值范围．由题意，会合A＝ [2,4] ，因为 A? B，故 a≤ 2， b≥ 4，故 a－ b≤ 2－ 4＝－ 2，即 a－b 的取值范围是(－∞，－ 2]．14． [解答 ] A＝ { x|－ 1< x<3} ， C＝ { x|－ 3<x<5} ．f － 1 ＝－ 1 2－ a－ 6≤0，(1)由A∪B＝B知，A? B，令f(x)＝x2＋ax－6，则f 3＝32＋3a－6≤0，解得－ 5≤ a≤－ 1，即 a 的取值范围是 [－ 5，－ 1]．(2)假定存在 a 的值使得A∪ B＝ B∩C，由 A∪ B＝ B∩C? B 知 A? B，由 A∪B＝B∩ C? C 知 B? C，于是 A? B? C，由 (1)知若 A? B，则 a∈ [－ 5，－ 1]，当 B? C 时，由＝a2＋24>0，知B不行能是空集，f － 3 ＝－ 3 2－3a－ 6≥ 0，f 5 ＝52＋5a－ 6≥0，于是－3<－a<5，2解得 a∈ －19， 1 ，519综合 a∈ [－ 5，－ 1]知存在 a∈ －5，－ 1 知足条件．15． [解答 ] (1) 证明： A＝ x2－1>0，x＋ 1由2－1>0?x－ 1x＋1<0 ? (x＋ 1)(x－ 1)<0，x＋ 1∴－ 1<x<1，∴ A＝ (－ 1,1)，故 f(x)的定义域对于原点对称．1－ x 1＋ x 1－ x 又 f(x) ＝lg x＋1，则 f(－ x)＝ lg－x＋1＝ lg x＋1－1＝－ lg1－x＝－ f(x)，x＋1∴ f(x)是奇函数．即函数 f(x)的图象对于原点成中心对称．(2)B＝ { x|x2＋2ax－ 1＋ a2≤0} ，得－ 1－ a≤ x≤ 1－ a，即 B＝ [ － 1－ a,1－a]．若 A∩ B＝ ?，则只要要－ 1－ a≥1 或许 1－ a≤－ 1，解得 a≤－ 2 或许 a≥ 2，故 A∩ B＝ ?等价于 a≤－ 2 或许 a≥ 2，而 { a|a≥a|a≤－ 2 或 a≥ 2} ．因此， a≥ 2 是 A∩ B＝?的充足不用要条件．【难点打破】16． [解答 ] (1) ①当 m＋ 1>2m－1，即 m<2 时， B＝ ?知足 B? A.②当 m＋ 1≤2m－1，即 m≥ 2 时，要使 B? A 建立，m＋ 1≥－ 2，需可得 2≤m≤3.2m－ 1≤5，综上， m 的取值范围是m≤3.(2)当 x∈Z时， A＝ { － 2，－ 1,0,1,2,3,4,5} ，8(3)由于 x∈R，且 A＝ { x|－ 2≤ x≤ 5} ， B＝{ x|m＋ 1≤ x≤2m－ 1} ，又 A∩ B＝ ?，则①若 B＝ ?，即 m＋ 1>2m－ 1，得 m<2，知足条件．②若 B≠ ?，则要知足的条件是m＋ 1≤ 2m－ 1，m＋1≤ 2m－ 1，或m＋ 1>52m－ 1<－ 2，解得 m>4.综上， m 的取值范围是m<2 或 m>4.。
人教A版选修1-1教案：空间向量及其运算第1课时(含答案)
§3.1.1空間向量及加減其運算【學情分析】：向量是一種重要的數學工具，它不僅在解決幾何問題中有著廣泛的應用，而且在物理學、工程科學等方面也有著廣泛的應用。
在人教A版必修四中，讀者已經認知了平面向量，現在，學習空間向量時要注意與平面向量的類比，體會空間向量在解決立體幾何問題中的作用。
【教學目標】：（1）知識與技能：理解和掌握空間向量的基本概念，向量的加減法（2）過程與方法：通過高一學習的平面向量的知識，引申推廣，理解和掌握向量的加減法（3）情感態度與價值觀：類比學習，注重類比、推廣等思想方法的學習，運用向量的概念和運算解決問題，培養學生的開拓創新能力。
【教學重點】：空間向量的概念和加減運算【教學難點】：空間向量的應用babD BAOC（2）在平面圖形中向量加減法的可以通過三角形和平行四邊形法則，同樣對於空間任意兩個向量b a ,都看作同一平面內的向量，它們的加法、減法當然都可以按照平面上的向量的加法和減法來進行，不需要補充任何新的知識，具體做法如下：如圖，可以從空間任意一點O 出發作b OB a OA ==,，並且從A 出發作b AC =，則BA b a OC b a =-=+,.babD BACOC探索1：空間三個以上的非零向量能否平移至一個明面上？ 探索2：多個向量的加法能否由兩個向量的加法推廣？ （3） 思考《選2-1》課本P85探究題歸納：向量加（減）法滿足交換律和結合律。
空間三個或更多的向量相加，不能同時將這些向量都用同一個平面上的有限線段來表示，但仍然可以用將它們依次用首尾相接的有向線段來表示，得到它們的和。
比如：三個向量的和ADCD BC AB =++,一般地,空間中多個依次用首尾相接的有向線段相加的結果等於起點和終點相連的有向線段。
我們常常把向量的這種性質ADCD BC AB =++簡稱為“封口向量”。
四．練習鞏固1．課本P86練習1-32．如圖，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中點，化簡下列各式，並在圖中標出化簡得到的向量： （1）1BA CB +;鞏固知識，注意區別加減法的不同處.（2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =--五．小結1．空間向量的概念：2．空間向量的加減運算反思歸納六．作業 課本P97習題3.1，A 組 第1題（1）、（2）練習與測試：（基礎題）1．舉出一些實例，表示三個不在同一平面的向量。
人教A版选修1-1教案：空间向量及其运算第4课时(含答案)
§3.1.4空間向量的正交分解及座標表示【學情分析】：本小節首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理這種推廣對學生學習已無困難但仍要一步步地進行，學生要時刻牢記，現在研究的範圍已由平面擴大到空間這樣做，一方面復習了平面向量、學習了空間向量，另一方面可加深學生的空間觀念讓學生從二維到三維發現規律，培養學生的探索創新能力。
【教學目標】：（1）知識與技能：掌握空間向量基本定理，會判斷空間向量共面（2）過程與方法：正交分解推導入手，掌握空間向量基本定理（3）情感態度與價值觀：認識將空間向量的正交分解，能夠將空間向量在某組基上進行分解【教學重點】：空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用【教學難點】：空間向量的分解AMp ，存在一個唯一的有序實數組z b y a x ++由此定理， 一向量都p ，，使是不共面的四點，則對空OP xOA yOB zOC =++ 1． 如圖，已知空間四邊形OABC ,OB AC ，,M N 分別是對邊,OA BC 上段MN 上，且2MG GN =,,OA OB OC 表示向量OG解：OG OM MG =+2312()231211[()]2322111()233111633OM MNOA ON OM OA OB OC OA OA OB OC OA OA OB OC =+=+-=++-=++-=++ ∴ 111633OG OA OB OC =++四．練習鞏固1、如圖，在正方體///B D CA OADB -中，，點E 是AB 與OD 的交點,M 是OD /與CE 的交點，試分別用向量OC OB OA ,,表示OD 和OM解：OC OB OA OD ++=/OC OB OA OM 313131++=課本P94練習1、2、3五．拓展與提高1．設A 、B 、C 、D 是空間任意四個點，令u ＝AD BC +，v ＝AB CD +，w ＝AC BD +，則u 、v 、w 三個向量A ．互不相等B ．至多有兩個相等C ．至少有兩個相等D ．有且只有兩個相等2．若a 、b 、c 是空間的一個基底，下列各組 ①l a 、m b 、n c (lmn ≠0)； ②a +2b 、2b +3c 、3a －9c ； ③a +2b 、b +2c 、c +2a ； ④a +3b 、3b +2c 、－2a +4c 中，仍能構成空間基底的是充分認識基底的特徵，即線性無關的三個向量就可以構成空間的一個基底。
人教A版高中同步学案数学选择性必修第一册精品习题课件 第一章 空间向量基本定理及运算的坐标表示
由( + )//( − ),得( + , , − ) = ( − , , − − ),得
+ = ( − ), = , − = (− − ),
解得 =
,
=
,
= −.
6.已知点(1 − , 1 − , )，(2, , )，则，两点的距离的最小值为() C
() B
1
3
1
2
1
4
A. = , = 1B. = , = −4C. = 2, = − D. = 1, = −1
[解析] + = (, , −) + (, , ) = (, , −) + (, , ) = ( + , , − ),
− = (, , −) − (, , ) = (, , −) − (, , ) = ( − , , − − ).
证明∵ = 1 + 2 + 3 ,
∴ ⋅ = (1 + 2 + 3 ) ⋅ = 1 ⋅ + 2 ⋅ + 3 ⋅ .又{,,}为单位正交基底，
∴ ⊥ , ⊥ , ⊥ .
∴ ⋅ = 2 = 1, ⋅ = 0, ⋅ = 0，∴ ⋅ = 1 .
,
1
12 +22 +32
.
个；易知D错.故选C.
4.如图,在长方体 − 1 1 1 1 中, = 4, = 1,
1 = 3,已知向量在基底{,,1 }下的坐标为
(2,1, −3).若分别以,,1 的方向为轴、轴、轴正方
向建立空间直角坐标系,则的空间直角坐标为() D
A. = = =
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课时作业(四十一) [第41讲 空间向量及运算][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于( )A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6)2．已知向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15 C.35 D.753．与向量a ＝(6,7，－6)平行的单位向量是( )A.⎝⎛⎭⎫6121，7121，－6121B.⎝⎛⎭⎫611，711，－611或⎝⎛⎭⎫－611，－711，611C.⎝⎛⎭⎫611，711，－611D.⎝⎛⎭⎫6121，7121，－6121或⎝⎛⎭⎫－6121，－7121，6121 4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值是( )A.55B.555C.355D.115 能力提升5．如图K41－1，在空间直角坐标系中，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，B 1E ＝14A 1B 1，则BE →等于( )A.⎝⎛⎭⎫0，14，－1 B.⎝⎛⎭⎫－14，0，1 C.⎝⎛⎭⎫0，－14，1 D.⎝⎛⎭⎫14，0，－16．已知a ⊥b ，〈a ，c 〉＝π3，〈b ，c 〉＝π6，且|a |＝1，|b |＝2，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝( )A ．17＋6 3B ．17－6 3 C.17＋6 3 D.17－6 37．如图K41－2，在大小为45°的二面角A －EF －D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，DA. 3B. 2 C ．1D.3－ 28． 到点A (－1，－1，－1)和点B (1,1,1)的距离相等的点P (x ，y ，z )的坐标满足( ) A ．x ＋y ＋z ＋1＝0 B ．x ＋y ＋z －1＝0 C ．x ＋y ＋z ＝0 D ．x ＋y －z ＝09．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是( ) A ．a ，a ＋b ，a －b B ．b ，a ＋b ，a －b C ．c ，a ＋b ，a －b D ．a ＋b ，a －b ，a ＋2b 10．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在向量b 的方向上的投影为________．11．已知空间三点A (1,1,1)，B (－1,0,4)，C (2，－2,3)，则AB →与CA →的夹角θ的大小是________．12． 在平面直角坐标系中，由点A (a,0)，B (0，b )(ab ≠0)确定的直线的方程为x a ＋yb＝1，类比到空间直角坐标系中，由A (a,0,0)，B (0，b,0)，C (0,0，c )(abc ≠0)确定的平面的方程可以写成________．13．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝1，AD ＝2，AA ′＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA ′＝∠DAA ′＝60°，则AC ′的长为________．14．(10分)若(a ＋b )⊥(2a －b )，(a －2b )⊥(2a ＋b )，试求cos 〈a ，b 〉．15．(13分)把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起成直二面角，点E 、F 分别是AD 、BC 的中点，点O 是原正方形的中心，求：(1)EF 的长；(2)折起后∠EOF 的大小．难点突破16．(12分)已知A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，O (0,0,0)，点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取最小值时，求点Q 的坐标．课时作业(四十一)【基础热身】1．B [解析] 由于b ＝12x －2a ，则x ＝2b ＋4a ＝2(－4，－3，－2)＋4(2,3，－4)＝(0,6，－20)．2．D [解析] 由于k a ＋b ＝k (1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，2a －b ＝2(1,1,0)－(－1,0,2)＝(3,2，－2)，而两向量互相垂直，则有(k －1)×3＋k ×2＋2×(－2)＝0，解得k ＝75.3．B [解析] 设与a 平行的单位向量为b ＝(x ，y ，z )，则x 2＋y 2＋z 2＝1，且x ＝6λ，y＝7λ，z ＝－6λ，所以λ＝±111，则b ＝⎝⎛⎭⎫611，711，－611或⎝⎛⎭⎫－611，－711，611. 4．C [解析] 由于b －a ＝(2，t ，t )－(1－t,1－t ，t )＝(1＋t,2t －1,0)，则|b －a |＝(1＋t )2＋(2t －1)2＝5t 2－2t ＋2＝5⎝⎛⎭⎫t －152＋95≥355.【能力提升】5．C [解析] B 点坐标为(1,1,0)，E 点坐标为⎝⎛⎭⎫1，34，1，则BE →＝⎝⎛⎭⎫1－1，34－1，1－0＝⎝⎛⎭⎫0，－14，1.6．C [解析] 由|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2求得正确选项为C.7．D [解析] ∵BD →＝BF →＋FE →＋ED →，∴|BD →|2＝|BF →|2＋|FE →|2＋|ED →|2＋2BF →·FE →＋2FE →·ED →＋2BF →·ED →＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD →|＝3－ 2.8．C [解析] 由空间两点间距离公式可得x ＋y ＋z ＝0.9．C [解析] 对于实数λ、μ，形如λa ＋μb 的向量都与向量a ，b 是共面向量．因为a ＝12()a ＋b ＋12(a －b )，故选项A 中的三个向量共面；因为b ＝12(a ＋b )－12(a －b )，故选项B 中的三个向量共面；因为a ＋2b ＝32(a ＋b )－12(a －b )，故选项D 中的三个向量共面．对选项C ，我们设c ＝λ(a ＋b )＋μ(a －b )，则(λ＋μ)a ＋(λ－μ)b －c ＝0，由于{a ，b ，c }为空间的一个基底，故a ，b ，c 不共面，所以(λ＋μ)a ＋(λ－μ)b －c ＝0⇔λ＋μ＝0，λ－μ＝0，－1＝0，这显然是不可能成立的，故选项C 中的三个向量是不共面的，正确选项为C.10.125 [解析] 向量a 在向量b 的方向上的投影等于|a |·cos 〈a ，b 〉＝|a |a ·b |a ||b |＝a ·b |b |＝125. 11．120° [解析] 由于AB →＝(－2，－1,3)，CA →＝(－1,3，－2)，则cos θ＝cos 〈AB →，CA →〉＝(－2)×(－1)＋(－1)×3＋3×(－2)14×14＝－12，则θ＝120°. 12.x a ＋y b ＋zc＝1 [解析] 根据平面上点的坐标、距离公式、中点坐标公式到空间的情况进行类比．通过直线方程的结构形式，可以类比得出平面的方程为x a ＋y b ＋zc＝1.13.23 [解析] 如图，AC ′→＝AB →＋BC →＋CC ′→＝AB →＋AD →＋AA ′→，所以|AC ′|＝|AC ′→|＝|AB →＋AD →＋AA ′→|＝ AB →2＋AD →2＋AA ′→2＋2(AB →·AD →＋AB →·AA ′→＋AD →·AA ′→) ＝1＋4＋9＋2(1×3×cos60°＋2×3×cos60°)＝23.14．[解答] 由于(a ＋b )⊥(2a －b )则(a ＋b )·(2a －b )＝2a 2－b 2＋a ·b＝2|a |2－|b |2＋|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝0，即cos 〈a ，b 〉＝|b |2－2|a |2|a |·|b |，又(a －2b )⊥(2a ＋b )，则 (a －2b )·(2a ＋b )＝2a 2－2b 2－3a ·b ＝2|a |2－2|b |2－3|a |·|b |cos 〈a ，b 〉 ＝0，即cos 〈a ，b 〉＝2|a |2－2|b |23|a |·|b |，所以|b |2－2|a |2|a |·|b |＝2|a |2－2|b |23|a |·|b |，即5|b |2＝8|a |2，即|b |＝2105|a |，所以cos 〈a ，b 〉＝|b |2－2|a |2|a |·|b |＝85|a |2－2|a |2|a |·2105|a |＝－1010.15．[解答] 如图，以O 点为原点建立空间直角坐标系O －xyz ，则A 0，－22a,0，B 22a,0,0，C 0，22a,0，D 0,0，22a ，E 0，－24a ，2a ，F 2a ，2a,0. (1)|EF →|2＝⎝⎛⎭⎫24a －02＋⎝⎛24a ＋24a ，∴|EF |＝32a .(2)OE →＝⎝⎛⎭⎫0，－24a ，24a ，OF →＝⎝⎛⎭⎫24a ，24a ，0，OE →·OF →＝0×24a ＋⎝⎛⎭⎫－24a ×⎝⎛⎭⎫24a ＋24a ×0＝－a 28，|OE →|＝a 2，|OF →|＝a 2，cos 〈OE →，OF →〉＝OE →·OF →|OE →||OF →|＝－12，∴∠EOF ＝120°. 【难点突破】16．[解答] 设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)， 则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，∴QA →·QB →＝(1－λ)·(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23，∴当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23，此时OQ →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83，即Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83.。