第九章 电路的复频域分析法.
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电路复频域分析PPT课件
0
1
∞ e(sa)t
sa
0
1 sa
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14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若 L [f1(t)] F1(s) , L [f2 (t)] F2 (s) 则 L A1 f1(t) A2 f2(t) A1L f1(t) A2L f2(t)
A1F1(s) A2F2 (s)
1
1 e
sT
F1 ( s)
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L
[
f
(t
)]
1
1 e sT
F1(s)
对于本题脉冲序列
T
f1(t) ε(t) ε(t 2 )
F1 ( s)
(1 s
1 s
e sT
/
2
)
L
[
f
(t)]
1 1 esT
(1 1 esT /2) ss
1 s
( 1
1 e sT
/2
)
5.拉普拉斯的卷积定理
解
设f1(t)为一个周期的函数
f(t) 1
...
L [ f1(t)] F1(s)
t
O T/2 T
因为 f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
L [ f (t)] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
F1(s)[esT e2sT e3sT ]
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一些常用的变换 ① 对数变换
乘法运算变换为加法 运算
A B AB
lg A lg B lg AB
② 相量法
1
∞ e(sa)t
sa
0
1 sa
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14-2 拉普拉斯变换的基本性质
1.线性性质
若 L [f1(t)] F1(s) , L [f2 (t)] F2 (s) 则 L A1 f1(t) A2 f2(t) A1L f1(t) A2L f2(t)
A1F1(s) A2F2 (s)
1
1 e
sT
F1 ( s)
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L
[
f
(t
)]
1
1 e sT
F1(s)
对于本题脉冲序列
T
f1(t) ε(t) ε(t 2 )
F1 ( s)
(1 s
1 s
e sT
/
2
)
L
[
f
(t)]
1 1 esT
(1 1 esT /2) ss
1 s
( 1
1 e sT
/2
)
5.拉普拉斯的卷积定理
解
设f1(t)为一个周期的函数
f(t) 1
...
L [ f1(t)] F1(s)
t
O T/2 T
因为 f (t) f1(t) f1(t T )ε(t T )
f1(t 2T )ε(t 2T )
L [ f (t)] F1(s) esT F1(s) e2sT F1(s)
F1(s)[esT e2sT e3sT ]
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一些常用的变换 ① 对数变换
乘法运算变换为加法 运算
A B AB
lg A lg B lg AB
② 相量法
动态电路的复频域分析-运算法
THANKS.
分析方法
基于传递函数的极点分布，判断 系统是否稳定。若极点全部位于 复平面的左半部分，则系统稳定； 否则，系统不稳定。
分析步骤
首先求出传递函数，然后找出传 递函数的极点，最后根据极点的 位置判断系统的稳定性。
运算法在动态电路分
06
析中的应用
运算法的基本原理和步骤
01
基本原理：运算法基于复频域分析，通过拉普拉斯变换将 时域电路转换为复频域电路，从而简化动态电路的分析过 程。
时域分析的局限性
复杂度高
对于复杂电路，时域分析需要解高阶微分方程，计算量大且容易出 错。
频率特性不明确
时域分析难以直观反映电路的频率特性，如谐振频率、带宽等。
不便于系统设计
在电路设计和分析中，通常需要了解系统的频率响应和稳定性等特 性，时域分析难以直接提供这些信息。
复频域分析的基本原
03
理
拉普拉斯变换的定义和性质
结论与展望
07
研究成果总结
提出了基于复频域分析的动态电路运算法，该方法能够有效地解决动态电 路的时域分析问题，提高了计算效率和精度。
通过实验验证了该方法的可行性和有效性，结果表明该方法具有较高的准 确性和稳定性，适用于各种不同类型的动态电路分析。
该方法不仅可以应用于电路仿真和设计中，还可以为电路故障诊断和性能 优化提供有力的支持。
03
频域方程
电路在正弦激励下的稳态响应， 通过复数形式的傅里叶变换表示。
电路元件在复频域中的阻抗特性， 包括电阻、电感和电容的复数形 式。
描述电路在复频域中行为的数学 方程，通常通过拉普拉斯变换得 到。
元件的复频域模型
电阻元件
在复频域中，电阻的阻抗为实数，与频率无 关。
第二节 拉普拉斯反变换的部分分式展开法动态电路的复频域分析.
第二节 拉频拉斯反变换的部 第九章 动态电路的复频域分析 分分式展开法 s3 F ( s ) 2 例9-9求 ( s 1)(s 2s 5) 的原函数f(t) 。
* K1 K2 K2 解：F ( s) ( s 1) ( s 1 j ) ( s 1 j ) s3 1 3 K1 [ F ( s )(s 1)]s 1 [ 2 ] | s 1 0.5 s 2s 5 1 2 5 s3 K 2 [ F ( s )(s 1 j 2)]s 1 j 2 [ ] |s 1 j 2 ( s 1)(s 1 j 2)
Kn K1 K2 F ( s) ... s p1 s p2 s pn
(9-3)
式中K1、 K2、 ... Kn、是待定系数。 确定系数，将上式两边同乘(s- p1)得
令s=p1
Kn K2 ( s p1 ) F ( s) K1 ( s p1 )( ... ) s p2 s pn
2
电路基本分析 第九章 动态电路 的复频域分析
第二节 拉频拉斯反变换的部 第九章 动态电路的复频域分析 分分式展开法 1 4 4 所以 F ( s ) s 1 s 2 s 3 原函数 f (t ) 1et 4e2t 4e3t
2 s 2 5s 5 的原函数f(t)。 例9-8 求 F ( s) 2 s 3s 2 2 2 2s 5s 5 2( s 3s 2) s 1 解：F ( s) 2 2 2 s 3s 2 s 3s 2 s 3s 2 s 1 K1 K2 2 2 ( s 1)(s 2) s 1 s 2 s 1 11 K1 [(s 1) ]t 1 2 ( s 1)(s 2) 1
《简明电路》第9章 动态电路的复频域分析
F ( s)
f (t)est dt (t)est dt
0
0
F ( s)
f (t)est dt (t)est dt
0
0
根据冲击函数的取样性质有
(t ) f (t )dt
0
(t ) f (0)dt f (0)
0
(t ) dt f (0)
首页
知识点 拉普拉斯变换及性质 拉普拉斯反变换 s域的电路模型 线性动态电路的复频域分析法
重点和难点 拉氏变换的含义、求象函数 由象函数求原函数 用部分分式法求原函数 将电路的时域模型转换为复频域模型 线性动态电路的复频域解法
首页
第1节 拉普拉斯变换及其基本性质
一、拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换的性质
1 j t 1 1 1 j t L sin t L (e e ) 2 j 2 j s j s j 2 s 2
(2) 根据欧拉公式及线性性质，可求出
1 1 j t j t 1 1 L cos t L (e e ) 2 2 s j s j s 2 s 2
t 0 (t ) 0 t 0 (t )dt 1
0
st e e st dt K ( ) s
0
K s
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
结论：时间函数一阶导数的象函数是时间函数 的象函数乘复频率s，再减初始值。
f (t)est dt (t)est dt
0
0
F ( s)
f (t)est dt (t)est dt
0
0
根据冲击函数的取样性质有
(t ) f (t )dt
0
(t ) f (0)dt f (0)
0
(t ) dt f (0)
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知识点 拉普拉斯变换及性质 拉普拉斯反变换 s域的电路模型 线性动态电路的复频域分析法
重点和难点 拉氏变换的含义、求象函数 由象函数求原函数 用部分分式法求原函数 将电路的时域模型转换为复频域模型 线性动态电路的复频域解法
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第1节 拉普拉斯变换及其基本性质
一、拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换的性质
1 j t 1 1 1 j t L sin t L (e e ) 2 j 2 j s j s j 2 s 2
(2) 根据欧拉公式及线性性质，可求出
1 1 j t j t 1 1 L cos t L (e e ) 2 2 s j s j s 2 s 2
t 0 (t ) 0 t 0 (t )dt 1
0
st e e st dt K ( ) s
0
K s
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
结论：时间函数一阶导数的象函数是时间函数 的象函数乘复频率s，再减初始值。
电路复频域 频域 时域 相量关系 分析
哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。
纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。
而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。
对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。
数学模型建立起来之后就要求解。
在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。
人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。
这就是傅立叶和拉普拉斯解法。
在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。
/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。
动态电路的复频域分析
例1.9 试求 e及t sin t 的e拉t氏co变s换t 。
解：
ℒ
[sin t]
s2
2
ℒ
[cost]
s
s2 2
根据频移性质可求得
ℒ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[et
sin
t]
(s
)2
2
ℒ
[et cost] s (s )2 2
六、初值定理
若ℒ[f(t)] = F(s)，且lim sF(s存) 在，则 s
1拉普拉斯变换及其性质
1.1 拉普拉斯变换的定义
设时域函数f(t)在区间 [0，∞ )内的定积分为
f (t)estdt 0-
式中，s=σ+jω为复频率。若该定积分在s某一域内收敛，
则由此积分确定的复频域函数可表示为
F(s) f (t)estdt 0-
8
cos t
9
et sin t
t
ℒ[ f (])d 0
1 F(s) s
拉氏变换的积分性质表明，时域中由0到t的积分运算，对
应于复频域中除以s的运算
例1.6 试求电感元件电压——电流关系的复频域形式。 解：在时域中线性非时变电感元件
iL
iL (0 )
1 L
t
0 uL ( )d
对电感电压、电流进行拉氏变换，并由积分性质和线 性性质可得
例2.3 试求
F (s)
(s2
s的2 原3s函数7 f(t)。
4s 13)(s 1)
解： F(s)极点分别为p1 = 2+j3，p2 = 2 j3， 则F(s)的p部3 =分分1式。展. 开式
电路复频域 频域 时域 相量关系 分析
哈为啥有这些呢，产生这些概念的前提：正弦量被广泛采用，原因如下1. 电力工程，发电输电用电，正弦量使设备简单，效率高，经济2. 实验室易于产生标准的正弦量3. 有一套成熟的正弦电路的算法4. 正弦量可以利用傅里叶级数分解为不同频率的正弦量对于正弦的使用以及电路分析有这样的解释：对电路的分析其实就是对电路的建模，包括对每个元器件的建模。
纯阻性元件的数学模型很简单，只有一个方程。
而理想电感的方程会复杂一点，电压电流满足一个微分方程，而且还有关于磁链的方程。
对于非线性的二极管等等，就有更复杂的数学模型。
数学模型建立起来之后就要求解。
在求解过程中，人们发现，只有e^x和正弦函数具有一个特殊的性质，那就是不管求导多少次，都满足函数的相似性。
人们就开始研究，能否把输入都用正弦信号或者指数信号的叠加代替，带入电路的数学模型之后，计算非常简便，得到输出之后，再把输出恢复成实际的信号。
这就是傅立叶和拉普拉斯解法。
在用正弦信号求解的时候，指数函数和正弦函数又有一个牛逼的公式将两者联系起来，这就是欧拉公式，这样正弦函数的相位信息就可以放到指数函数中去。
/question/23290060/answer/24128688（转自知乎）所以与其相关的算法如期而至首先，时域算法，最容易理解，首先描述正弦量的是时域的算法（其定义的时候就是用的时间，随时间按正弦规律变化的电压和电流就是正弦量）基本的单位有：频率，周期，角频率，瞬时值，最大值，有效值相位（瞬时值变化进程）初相位相位差（前提，频率相同，反映了两个正弦量变化进程差异，而非产生波形先后，超前滞后同相反相正交）①时域——相量（将时域分析换为频域分析）细节一点，在时域的正弦表示中，根据欧拉公式，转化为了相量的形式，这其中，相量形式保持了原来正弦量的幅值、初相位信息，即两者联系为通过欧拉公式实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应但是需要注意的是，此时，我们取到的仅仅是复指数的实数部分，而且不研究旋转因子e^jwt ,原因是，在线性的电路中，全部的稳态响应也是同频率的正弦函数，没有新的频率，w显然不是研究问题的中心，也就在相量分析中放在了一边。
线性动态电路的复频域
复频域性质
复频域具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等基本性质，这些性质使得在复频域中对电路进行分析和 计算更为方便。
拉普拉斯变换及其性质
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，它将一个实数函数或复数函数转换为另一个复数函数，通过选择 合适的变换核，可将时域函数转换为复频域函数。
拉普拉斯变换性质
线性动态电路复频域
03
模型建立
元件复频域模型建立
电阻元件
在复频域中，电阻元件的阻抗为实数，与频 率无关，表示为$R$。
电感元件
电感元件在复频域中的阻抗为$jomega L$，其中 $omega$为角频率，$L$为电感值。
电容元件
电容元件在复频域中的阻抗为$1/( jomega C)$，其中$C$为电容量。
频率特性
线性动态电路的频率特性是指电 路对不同频率信号的响应特性， 这对于分析和设计滤波器、振荡 器等电路具有重要意义。
线性动态电路分析方法
时域分析法
时域分析法是通过求解电路的时域微分方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于简单电路的分析和设计。
复频域分析法
复频域分析法是通过将电路的微分方程转换为复数域的代数方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于复杂电路的 分析和设计。复频域分析法具有计算简便、物理概念清晰等优点，被广泛应用于线性动态电路的分析和设计。
复杂网络复频域模型建立
串联与并联
在复频域中，元件的串联和并联规则与 实数域相同，阻抗相加或倒数相加。
VS
复杂网络
对于复杂网络，可以通过节点电压法和回 路电流法等方法建立复频域模型。
状态变量法建立复频域模型
状态变量选择
选择一组能够完全描述系统动态行为的状态变 量。
复频域具有线性性、时移性、频移性、微分性、积分性等基本性质，这些性质使得在复频域中对电路进行分析和 计算更为方便。
拉普拉斯变换及其性质
拉普拉斯变换定义
拉普拉斯变换是一种线性积分变换，它将一个实数函数或复数函数转换为另一个复数函数，通过选择 合适的变换核，可将时域函数转换为复频域函数。
拉普拉斯变换性质
线性动态电路复频域
03
模型建立
元件复频域模型建立
电阻元件
在复频域中，电阻元件的阻抗为实数，与频 率无关，表示为$R$。
电感元件
电感元件在复频域中的阻抗为$jomega L$，其中 $omega$为角频率，$L$为电感值。
电容元件
电容元件在复频域中的阻抗为$1/( jomega C)$，其中$C$为电容量。
频率特性
线性动态电路的频率特性是指电 路对不同频率信号的响应特性， 这对于分析和设计滤波器、振荡 器等电路具有重要意义。
线性动态电路分析方法
时域分析法
时域分析法是通过求解电路的时域微分方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于简单电路的分析和设计。
复频域分析法
复频域分析法是通过将电路的微分方程转换为复数域的代数方程来分析电路的动态行为，这种方法适用于复杂电路的 分析和设计。复频域分析法具有计算简便、物理概念清晰等优点，被广泛应用于线性动态电路的分析和设计。
复杂网络复频域模型建立
串联与并联
在复频域中，元件的串联和并联规则与 实数域相同，阻抗相加或倒数相加。
VS
复杂网络
对于复杂网络，可以通过节点电压法和回 路电流法等方法建立复频域模型。
状态变量法建立复频域模型
状态变量选择
选择一组能够完全描述系统动态行为的状态变 量。
电路原理第九章拉普拉斯变换
稳定性分析方法
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
利用拉普拉斯变换，通过计算系统的极点和零点，判 断系统的稳定性。
电路系统的频率响应分析
频率响应定义
电路系统在不同频率下的输入与输出关系称为频率响应。
频率响应分析方法
通过拉普拉斯变换将时域函数转换为复频域函数，进而分析频率 响应。
频率响应特性
频率响应具有幅度和相位特性，这些特性决定了电路系统在不同 频率下的性能表现。
到该函数的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换具有线性性和时移性等性质，使得复杂电路的分
03
析变得简单。
拉普拉斯变换的性质
1 2 3
线性性
如果函数$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换分别为 $F(s)$和$G(s)$，那么对于任意实数$k$和$l$， 有$(kf(t)+lg(t))的拉普拉斯变换=kF(s)+lG(s)$。
04
拉普拉斯变换的逆变换
逆变换的定义和性质
逆变换的定义
如果一个函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么就存在另一个函数g(s)的拉普拉斯 变换等于f(t)，并且g(s)可以通过一定的积分运算从f(t)得到，这个过程就是逆 变换。
逆变换的性质
逆变换具有线性、时移、频移、微分、积分等性质，这些性质在求解逆变换时 非常有用。
时移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$a$，有$(f(t-a))的拉普拉斯变换 =e^{-as}F(s)$。
频移性
如果函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$F(s)$，那么 对于任意实数$b$，有$(f(t)e^{bt})的拉普拉斯 变换=F(s-b)$。
拉普拉斯变换的应用
拉普拉斯变换的微分性质
微分性质
如果函数f(t)的拉普拉斯变换存在，那么对于实数a，函数f''(t)的拉普拉斯变换等于函数f(t)的拉普拉斯变换乘以 s^2。
电路原理拉普拉斯变换
U0 s 1
RC
t
uc (t ) U0e RC
验证初值定理和终值定理
UC
(s)Βιβλιοθήκη sU0 1RC
t
uc (t ) U0e RC
uC
(0
)
limsUC
s
(s)=lim s
s
sU0 1
U0
RC
uC
()
limsUC
s0
(s)=lim s0
s
sU0 1
0
RC
6. 时域卷积定理 (timedomain convolution theorem)
根据延迟性质 F (s) 1 1 esT ss
例6 求三角波旳象函数
f(t) T
解 f (t) t[ (t) (t T )]
F (s) 1 esT s2 s2
f (t) t (t) (t T ) (t T ) T (t T )
F (s) 1 1 esT T esT
s2 s2
拉普拉斯变换旳基本概念
拉普拉斯 变换
拉普拉斯变换旳基本性质
拉普拉斯反变换
反变换公式 拉普拉斯变换表 部分分式展开
§91 拉普拉斯变换
一、拉普拉斯变换简介
拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其关键是把时 间函数f(t)与复变函数F(s)联络起来，把时域问题经过数学 变换为复频域问题，把时间域旳高阶微分方程变换为复频 域旳代数方程以便求解。
t
[f(t)]
d dt
f (t)
s
f (t) f (0 )
微分定理能够推广至求原函数旳二阶及二阶以上导数旳 拉普拉斯变换，即
d2
dt
2
f (t) s{s
复频域分析
t 0 时，电路处于稳态，t 0 时，开关闭合。 2、电路如图，已知： 试用运算法求出 t 0时的电压 u C (t ) 1H iL 4 4
+ 60V _#43; uC _
15 A
3、电路为零状态，已知 uS 5 (t )V 。求电压
1H
i1 1 uS 1 1 u1 _ 3i1
网络函数
Y ( s) H ( s) X ( s)
def
Y(s)：零状态响应的象函数
X(s)：激励的象函数
网络函数H(s)和单位冲激特性h(t)都反映网络的固有性质。
H ( s) L {h(t )} h(t ) L 1{H ( s)}
复频域网络函数与复数网络函数的关系
s=j
H (s )
拉氏变换的主要常用性质
1．线性性质
若 L { f1 (t )} F1 (s), L { f 2 (t )} F2 (s) ，a、b为任意常数，则
L {af1 (t ) bf 2 (t )} aF1 ( s) bF2 ( s) L 1{aF1 ( s) bF2 ( s)} af1 (t ) bf 2 (t )
(t )
A
A(1 e t )
1
A s A s( s ) n! s n 1
sin( t ) cos( t )
e at sin( t ) e at cos( t )
t
n
(n为正整 数)
n! ( s a) n 1 s (s )2 s sin cos s2 2 s cos sin s2 2 ( s a) sin cos ( s a) 2 2 ( s a) cos sin ( s a) 2 2
第九章 电路的复频域分析法
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c j st f (t ) c j F (s)e ds 2j
2 [t ε( t )] 3 s
2
求 : f ( t ) tε( t )和f (t ) t 2 ε(t )的象函数 11 [tε( t )] [ 0 ε( t )dt ] s s
F ( s) θ( s ) s
[t ε( t )] 20 tdt
2 t
④延迟性质
0
d st f ( t ) lim e dt f (t ) s0 dt 0 f ( ) f ( 0 ) lim SF ( S ) f ( 0 )
2
3S 4S 5 例1：已知F ( S ) 求f ( 0 ) 2 S ( S 2 S 3) 3S 2 4S 5 lim 2 3 s ( S 2 S 3)
T 本例中：f1 ( t ) ε( t ) ε( t ) 2
1 1 sT / 2 F ( s) ( e ) 1 s s
1 1 1 sT / 2 1 1 [ f ( t )] ( e ) ( ST / 2 ) sT S 1 e 1 e s s
f ( t )] 1 t 例1：L[te ( t )] ( S )2 S t 例2：L[e cost ( t )] 2 2 (S )
第九章 电路的复频域分析法
电路的复频域分析
则
过阻尼
● 可见网络函数与激励源无关，可由复频域电路模型直接求出，即完全由电路的原始参数和结构决定。
求得H(S)后，进行反变换就可求得冲激响应h(t)
例9-4-4仍为上例RLC串联电路，激励源由冲激改为矩形脉冲电压，求零状态响应UC(t)
解：u(t)=5ε(t)- 5ε(t-2)
UC(s)=H(s)U(s)
例9-4-2求电压比
解：
可见，网络函数由网络结构与参数有关，而与激励源的波形无关。
9-4-2网络函数与冲激响应
当已知e(t)=δ(t) ,零状态响应r(t)=h(t)时,有E(S)=1
则R(S)=E(S)H(S)=H(S)=L[h(t)]
可见网络函数就是冲激响应的象函数。其实网络函数的定义，与时域卷积定理密切相关。
三、网络的稳定性
●当极点位于左闭平面（G≥0），
如在虚轴上应是单极点。
这时的网络是稳定的，如图所示。
●当极点位于右闭平面时，
冲激响应为增幅振荡或单调增长，随t的增加无限增大，这样的网络是不稳定的。如图所示。如在虚轴上时，应是多重的虚极点。
例如当 （查《积分变换》）
S1,S2是实部为零的二重共轭复极点
第九章
电路的复频域分析
基本要求：
1.正确计算电容电压的原始值和电感电流的原始值；
2.正确作出换路后的复频域电路模型；
3.根据复频域电路模型对电路进行正确的分析计算；
4.掌握网络函数的基本概念；根据复频域电路模型计算网络函数；根据网络函数求电路的零状态响应；
5.绘制网络函数的极零图，根据网络函数的极点定性的分析电路的冲激响应以及网络的稳定性。
画极零图如右
二、网络函数的极点对冲激响应的影响·根轨迹图
过阻尼
● 可见网络函数与激励源无关，可由复频域电路模型直接求出，即完全由电路的原始参数和结构决定。
求得H(S)后，进行反变换就可求得冲激响应h(t)
例9-4-4仍为上例RLC串联电路，激励源由冲激改为矩形脉冲电压，求零状态响应UC(t)
解：u(t)=5ε(t)- 5ε(t-2)
UC(s)=H(s)U(s)
例9-4-2求电压比
解：
可见，网络函数由网络结构与参数有关，而与激励源的波形无关。
9-4-2网络函数与冲激响应
当已知e(t)=δ(t) ,零状态响应r(t)=h(t)时,有E(S)=1
则R(S)=E(S)H(S)=H(S)=L[h(t)]
可见网络函数就是冲激响应的象函数。其实网络函数的定义，与时域卷积定理密切相关。
三、网络的稳定性
●当极点位于左闭平面（G≥0），
如在虚轴上应是单极点。
这时的网络是稳定的，如图所示。
●当极点位于右闭平面时，
冲激响应为增幅振荡或单调增长，随t的增加无限增大，这样的网络是不稳定的。如图所示。如在虚轴上时，应是多重的虚极点。
例如当 （查《积分变换》）
S1,S2是实部为零的二重共轭复极点
第九章
电路的复频域分析
基本要求：
1.正确计算电容电压的原始值和电感电流的原始值；
2.正确作出换路后的复频域电路模型；
3.根据复频域电路模型对电路进行正确的分析计算；
4.掌握网络函数的基本概念；根据复频域电路模型计算网络函数；根据网络函数求电路的零状态响应；
5.绘制网络函数的极零图，根据网络函数的极点定性的分析电路的冲激响应以及网络的稳定性。
画极零图如右
二、网络函数的极点对冲激响应的影响·根轨迹图
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反变换
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 + 开始，称为0+ 拉氏变换 。 积分下限从 0 0
今后讨论的拉氏变换均为 0 拉氏变换,计及t=0时f(t) 包含的冲击。
F ( S ) 简写 f (t )
注
1
f (t ) 1 F ( S )
第九章 电路的复频域分析法
重点
1. 拉普拉斯变换的基本原理和性质; 2. 掌握用拉普拉斯变换分析线性电路的方法和步骤; 3. 电路的时域分析变换到频域分析的原理; 4. 网络函数的概念;
5.网络函数的极点和零点;
6.网络函数的极点和零点分布与时域响应和频域 响应的联系。
9.1 引 言
1. 拉氏变换法 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函 数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变 换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域 的代数方程以便求解。
e st dt (t )e dt 0
st
(2)单位冲激函数的象函数
f (t ) (t )
F ( s) [ (t )] 0 (t )e dt 0 ( t )e st dt
st
0
e s0 1
(3)指数函数的象函数
st 0
正变换
反变换
st
F ( S ) 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e dt 0 f ( t )e st dt
在t＝0 至t＝0＋ f(t)=(t)时此项 0
2
象函数F(s) 用大写字母表示,如I(s)，U(s)。 原函数f(t) 用小写字母表示，如 i(t), u(t)。
求 : f (t ) sin( t )的象函数
F (s)
sin(t )
1 j t j t 2 j ( e e )
1 1 1 2 2 j S j S j S 2
② 微分性质
① 时域导数性质
[ f 2 ( t )] F2 ( S )
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
st A f ( t ) A f ( t ) e dt 证： A1 f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) 0 1 1 2 2
0 A1 f1 ( t )e dt 0 A 2 f 2 ( t )e dt
总可以找到一个合适的s值使上式积分为有限值， 即f(t)的拉氏变换式F(s)总存在。
3.典型函数的拉氏变换
F (S)
f (t ) (t )
0
f ( t )e
st
dt
(1)单位阶跃函数的象函数
F ( s) [ (t )] 0
1 st 1 e s s 0
3
象函数F(s) 存在的条件：
0
f ( t )e
st
dt
e st 为收敛因子
如果存在有限常数M和c使函数f(t)满足：
f ( t ) Me ct t [0, )
则
0
f (t ) e dt Me
st 0
(s c ) t
dt
M sC
若： f (t ) F ( S )
则
udv
uv vdu
df ( t ) sF ( s ) f (0 ) dt
df ( t ) 证： dt
0
e f (t )
st
st df ( t ) st e dt 0 e df ( t ) dt
0
0 e f ( t )( s )dt
st
f (0 ) sF (s)
例1
求 : f (t ) cos( t )的象函数
dsin(ωt ) 1 dsin(ωt ) 解 ωcos(ωt ) cos(ωt ) dt ω dt 1 d [cosωt ] (sin( ωt ) ω dt s s 0 2 2 2 s s 2
f (t ) e
F( s )
at
e
at
0
e e dt
at
st
1 ( s a )t e sa 0
1 sa
4.拉普拉斯变换的基本性质
①线性性质
若
则
A
[ f1 ( t )] F1 ( S ) ,
1
f1 ( t ) A 2 f 2 ( t ) A1 f1 ( t ) A2 f 2 ( t )
简写 F (s)
s为复频率
f ( t )
s j
应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域分析 法，又称运算法。
2. 拉氏变换的定义
t < 0 , f(t)=0
正变换
F (s) f (t )e st dt 0 1 c jห้องสมุดไป่ตู้st F (s)e ds f (t ) 2j c j
例2 解
求 : f (t ) δ( t )的象函数
1 dε( t ) [ε( t )] δ( t ) s dt 1 d δ(t ) [ ε(t )] S 1 S dt
例
熟悉的变换 把乘法运算变换为加法运算
①对数变换
A
B AB
lg A lg B lg AB
②相量法
把时域的正弦运算变换为复数运算
正弦量 i1 i2 i 相量
拉氏变换： 时域函数f(t)(原函数)
I I I 1 2
对应
复频域函数F(s)(象函数)
st st
A1 F1 ( S ) A 2 F2 ( S )
根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个 函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行 计算。
例1 解 例2 解
求 : f (t ) U ( t )的象函数
U F (s) [U ( t )] U ( t ) S