三角形4学案
高中数学第一讲四直角三角形的射影定理学案含解析新人教A版选修4
四角三角形的射影定理1．射影(1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影．(2)线段在直线上的正射影：线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段．(3)射影：点和线段的正射影简称为射影．2．射影定理(1)文字语言：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)图形语言：如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，则有CD2＝AD·BD，AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.射影定理的有关计算如图，在Rt，求CD，AC，BC的长．在直角三角形内求线段的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．∵CD2＝AD·DB＝2×6＝12，∴CD＝12＝23(cm)．∵AC2＝AD·AB＝2×(2＋6)＝16，∴AC＝16＝4(cm)．∵BC2＝BD·AB＝6×(2＋6)＝48，∴BC＝48＝43(cm)．故CD，AC，BC的长分别为2 3 cm,4 cm，4 3 cm.(1)在Rt△ABC中，共有AC，BC，CD，AD，BD和AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两条可求出第三条．1.如图，在△ABC 中，AB ＝m ，∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3，CD ⊥AB 于点D .求BD ，CD 的长．解：设∠BAC 的度数为x ，则由∠BAC ∶∠ABC ∶∠ACB ＝1∶2∶3， 得∠ABC 的度数为2x ，∠ACB 的度数为3x . 因为∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， 所以x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°. 所以∠ABC ＝60°，∠ACB ＝90°. 因为AB ＝m ， 所以BC ＝12m .又因为CD ⊥AB ， 所以BC 2＝BD ·AB ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 2＝BD ·m .所以BD ＝14m .AD ＝AB －BD ＝m －14m ＝34m .由CD 2＝AD ·BD ＝34m ·14m ＝316 m 2，得CD ＝34m . 因此，BD 的长是14m ，CD 的长是34m .2．已知CD 是直角三角形ABC 斜边AB 上的高，如果两直角边AC ，BC 的长度比为AC ∶BC ＝3∶4.求：(1)AD ∶BD 的值； (2)若AB ＝25 cm ，求CD 的长． 解：(1)∵AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AD ·AB BD ·AB ＝AC 2BC 2. ∴AD BD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC BC 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝916.(2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16，∴AD＝99＋16×25＝9(cm)，BD＝169＋16×25＝16(cm)．∴CD＝AD·BD＝9×16＝12(cm).利用射影定理证明如图所示，CD垂直平分AB，点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F，G分别为垂足．求证：AF·AC＝BG·BE.先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．∵CD垂直平分AB，∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.又∵DF⊥AC，DG⊥BE，∴AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2.∵AD2＝DB2，∴AF·AC＝BG·BE.将原图分成两部分来看，就可以分别在两个三角形中运用射影定理，实现了沟通两个比例式的目的．在求解此类问题时，关键就是把握基本图形，从所给图形中分离出基本图形进行求解或证明．3．如图，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D，G分别在AB，AC上，E，F在斜边BC上．求证：EF2＝BE·FC.证明：过点A 作AH ⊥BC 于H . 则DE ∥AH ∥GF . ∴DE AH ＝BE BH ，GF AH ＝FCCH .∴DE ·GF AH 2＝BE ·FCBH ·CH. 又∵AH 2＝BH ·CH ， ∴DE ·GF ＝BE ·FC .而DE ＝GF ＝EF ，∴EF 2＝BE ·FC .4.如图，已知∠CAB ＝90°，AD ⊥CB ，△ACE ，△ABF 是正三角形， 求证：DE ⊥DF . 证明：在Rt △ABC 中，AC 2＝CD ·CB ，AB 2＝BD ·BC ，AD 2＝CD ·BD . 所以AC AB＝CD BD＝ CD 2CD ·BD＝CD 2AD 2＝CD AD ＝AD BD. 因为AC ＝AE ，AB ＝BF ， 所以AE BF ＝ADBD.又∠FBD ＝60°＋∠ABD ，∠EAD ＝60°＋∠CAD ，∠ABD ＝∠CAD ， 所以∠FBD ＝∠EAD ， 所以△EAD ∽△FBD . 所以∠BDF ＝∠ADE .所以∠FDE ＝∠FDA ＋∠ADE ＝∠FDA ＋∠BDF ＝90°. 所以DE ⊥DF .课时跟踪检测(五)一、选择题1．已知Rt △ABC 中，斜边AB ＝5 cm ，BC ＝2 cm ，D 为AC 上一点，DE ⊥AB 交AB 于点E ，且AD ＝3.2 cm ，则DE 等于( )A ．1.24 cmB ．1.26 cmC ．1.28 cmD ．1.3 cm 解析：选C 如图，∵∠A ＝∠A ， ∴Rt △ADE ∽Rt △ABC ，∴AD AB ＝DEBC， ∴DE ＝AD ·BC AB ＝3.2×25＝1.28 (cm)． 2．已知直角三角形中两直角边的比为1∶2，则它们在斜边上的射影比为( ) A ．1∶2 B ．2∶1 C ．1∶4D ．4∶1解析：选C 设直角三角形两直角边长分别为1和2，则斜边长为5，∴两直角边在斜边上的射影分别为15和45.3．一个直角三角形的一条直角边为3 cm ，斜边上的高为2.4 cm ，则这个直角三角形的面积为( )A ．7.2 cm 2B ．6 cm 2C ．12 cm 2D ．24 cm 2解析：选B 长为3 cm 的直角边在斜边上的射影为32－2.42＝1.8(cm)， 由射影定理知斜边长为321.8＝5(cm)，∴三角形面积为12×5×2.4＝6(cm 2)．4．如图所示，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足，若CD ＝6 cm ，AD ∶DB ＝1∶2，则AD 的长是( )A ．6 cmB ．3 2 cmC ．18 cmD ．3 6 cm解析：选B ∵AD ∶DB ＝1∶2， ∴可设AD ＝t ，DB ＝2t .又∵CD 2＝AD ·DB ，∴36＝t ·2t ，∴2t 2＝36，∴t ＝32(cm)，即AD ＝3 2 cm. 二、填空题5．若等腰直角三角形的一条直角边长为1，则该三角形在直线l 上的射影的最大值为________．解析：射影的最大值即为等腰直角三角形的斜边长． 答案： 26．如图所示，四边形ABCD 是矩形，∠BEF ＝90°，①②③④这四个三角形能相似的是________．解析：因为四边形ABCD 为矩形， 所以∠A ＝∠D ＝90°.因为∠BEF ＝90°，所以∠AEB ＋∠DEF ＝90°.因为∠DEF ＋∠DFE ＝90°，所以∠AEB ＝∠DFE . 所以△ABE ∽△DEF . 答案：①③7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，AC ＝6，AD ＝3.6，则BC ＝________.解析：由射影定理得，AC 2＝AD ·AB ，BC 2＝BD ·AB ， ∴AC 2BC 2＝AD BD ，即BC 2＝AC 2·BD AD. 又∵CD 2＝AD ·BD ，∴BD ＝CD 2AD.∴BC 2＝AC 2·CD 2AD 2＝6262－3.623.62＝64. ∴BC ＝8. 答案：8 三、解答题8．如图所示，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．解：在△ABD 中，AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8， 满足AB 2＝AD 2＋BD 2， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC .又∵∠CAD ＝∠B ，且∠C ＋∠CAD ＝90°. ∴∠C ＋∠B ＝90°，即∠BAC ＝90°. 故在Rt △BAC 中，AD ⊥BC ，由射影定理知AD 2＝BD ·CD ，即62＝8·CD ， ∴CD ＝92.9.如图，AD ，BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于点H .求证：DF 2＝GF ·HF . 证明：在△AFH 与△GFB 中，因为∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝ 90°，所以∠H ＝∠GBF .因为∠AFH ＝∠GFB ＝90°，所以△AFH ∽△GFB . 所以HF BF ＝AF GF， 所以AF ·BF ＝GF ·HF .因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，所以DF 2＝AF ·BF ， 所以DF 2＝GF ·HF .10．已知直角三角形的周长为48 cm ，一锐角平分线分对边为3∶5两部分． (1)求直角三角形的三边长； (2)求两直角边在斜边上的射影的长． 解：(1)如图， 设CD ＝3x ，BD ＝5x ， 则BC ＝8x ， 过D 作DE ⊥AB ， 由题意可得，DE ＝3x ，BE ＝4x ，∴AE ＋AC ＋12x ＝48. 又AE ＝AC ，∴AC ＝24－6x ，AB ＝24－2x . ∴(24－6x )2＋(8x )2＝(24－2x )2， 解得x 1＝0(舍去)，x 2＝2. ∴AB ＝20，AC ＝12，BC ＝16， ∴三边长分别为20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF ⊥AB 于点F ， ∴AC 2＝AF ·AB .∴AF ＝AC 2AB ＝12220＝365(cm)；同理，BF ＝BC 2AB ＝16220＝645(cm)．∴两直角边在斜边上的射影长分别为365 cm ，645cm.。
北师大版数学七年级下册第四章三角形 4.4 尺规作图 学案(无答案)
尺规作图【知识点一】尺规作三角形：1．已知三角形的两边和夹角作三角形。
2．已知三角形的两角及夹边作三角形。
3．已知三角形的三边作三角形【典型例题】例1．已知三角形的两边和这两边的夹角作三角形例2．已知三角形的两个角和这两个角的夹边作三角形例3．已知三角形的三条边作三角形12【变式1-1】已知线段a ，c 和夹角a ，作直角三角形。
【变式1-2】已知：线段和，求作：，使．【知识点二】作与已知三角形全等的三角形例4．已知三角形ABC 求作全等三角形DEF【变式4-1】有一个不小心撒上一片墨水的三角形，请重新画一个三角形使它与原来的三角形完全相同b β∠ABC ∆,BC b B C β=∠=∠=∠3【知识点三】利用三角形全等测距离：当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等的三角形，利用三角形全等测出未知的距离．(1)利用三角形全等测距离，实际上仅是三角形全等在生活中应用的一个方面；(2)利用三角形全等解决实际问题的步骤：①先明确实际问题应用哪些知识来解决；①根据实际问题抽象出几何图形；①结合图形和题意分析已知条件，由“已知”想“可知”；①找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．例5．如图，A、B两点分别位于一个假山两边，小明想用绳子测量A，B的距离，但绳子不够长，于是想出一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC，并延长到点E，使AC=CE，连接BC并延长至点D，使BC=CD，连接DE，并测量DE的长度，则DE的距离就是AB的距离。
你能说明其中的道理吗？例6．如图，直线AC和直线DF，C、E分别在AB、DF上，小华想知道∠ACE和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF，再找出CF的中点O，然后连结EO并延长EO和直线AB相交于点B，经过测量，发现EO＝BO，因此他得出结论：∠ACE和∠DEC互补，而且他还发现BC＝EF。
【帮帮群】相似三角形判定4学案
23.2相似三角形的判定4一、学习目标理解相似三角形判定定理3的推理过程，能用相似三角形的判定定理3解决简单问题.二、自主学习（一）复习回顾判定两三角形相似的方法：（1） ；（2）；（3） ；（4）.（二）合作探究仿照前面定理1和定理2的证明，完成下面证明.已知：如图，在△ABC 和∆A 'B 'C 'BCAC =.证明：△ABC ∽∆A 'B 'C '.归纳相似三角形的判定定理2： .简单说成： . 三、学习展示1、根据下列条件，判断△ABC 与∆A 'B 'C '是否相似，并说明理由.AB =4 cm ，BC =6cm ，AC =8cm ，'=12cm ， B 'C '=18cm ，A 'C '=24cm .=''C B BC. = .∴ ∽ （ ）2、已知△ABC 4，5，△DEF 的三边分别为1，试判断△ABC 与△DEF 能否相似？并说明理由.3、如图，△ABC 与∆A 'B 'C '相似吗？A 'B 'CA C 'B4、已知：AC AE AB AD ==5、如图，某地四个乡镇A 、B 、C 、D 之间建有公路，已知AB =14千米，AD =28千米，BD =21千米，BC =42千米，DC =31.5千米，公路AB 与CD 平行吗？说出你的理由.四、拓展提高1、如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．2、如图，在正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ⊥EC 交AB 于F ，连接，那么△AEF ∽△EFC 吗？请说明理由．。
三角形复习学案
三角形复习学案一、同步知识梳理一、三角形及相关线段1、 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 要点：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾顺次相接．2、表示：三角形用符号“△”表示，三角形ABC 用符号表示为△ABC .注：顶点A 所对的边BC 用a 表示，顶点B 所对的边AC 用b 表示，顶点C 所对的边AB 用c 表示． 3、分类：①三角形按角分类如下： ②三角形按边的相等关系分类如下：⎪⎩⎪⎨⎧钝角三角形直角三角形锐角三角形三角形 ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形三边都不相等的三角形三角形 4、三角形的三边关系（“两点之间线段最短”是三边关系得出的理论依据。
）三边关系：三角形两边的和大于第三边，用字母表示：a ＋b ＞c ，c ＋b ＞a ，a ＋c ＞b.三角形两边的差小于第三边，用字母表示：c －b<a ，b －a<c ，c －a<b. 应用:①当线段a ，b ，c 满足最短的两条线段之和大于最长的线段时就可构成三角形；②已知两条线段，可根据第三条线段大于这两边之差，小于这两边之和，来确定第 三条线段的取值范围． 5、三角形的高、中线与角平分线 （1）三角形的高定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
性质：“三角形的三条高(所在直线)交于一点”，当是锐角三角形时，这点在三角形内部；当是直角三角形时，这点在三角形直角顶点上；当是钝角三角形时，这点在三角形外部。
应用：求面积问题，高是垂线段，也是点到直线的距离，是求三角形的面积所必须知道的长度； 高是垂线段，因而一定有直角，根据所有直角都相等或互余关系进行解题。
（2）三角形的中线定义：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
性质：一个三角形有三条中线，每条边上各有一条，三角形的三条中线交于一点．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。
全等三角形教案(5篇)
全等三角形教案(5篇)全等三角形教案(5篇)全等三角形教案范文第1篇教学目标：1、学问目标：（1）知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；（2）知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；（3）能娴熟找出两个全等三角形的对应角、对应边。
2、力量目标：（1）通过全等三角形角有关概念的学习，提高同学数学概念的辨析力量；（2）通过找出全等三角形的对应元素，培育同学的识图力量。
3、情感目标：（1）通过感受全等三角形的对应美激发同学喜爱科学勇于探究的精神；（2）通过自主学习的进展体验猎取数学学问的感受，培育同学勇于创新，多方位端详问题的制造技巧。
教学重点：全等三角形的性质。
教学难点：找全等三角形的对应边、对应角教学用具：直尺、微机教学方法：自学辅导式教学过程：1、全等形及全等三角形概念的引入（1）动画（几何画板）显示：问题：你能发觉这两个三角形有什么奇妙的关系吗？一般同学都能发觉这两个三角形是完全重合的。
（2）同学自己动手画一个三角形：边长为4cm，5cm，7cm.然后剪下来，同桌的两位同学协作，把两个三角形放在一起重合。
（3）猎取概念让同学用自己的语言叙述：全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。
2、全等三角形性质的发觉：（1）电脑动画显示：问题：对应边、对应角有何关系？由同学观看动画发觉，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。
3、找对应边、对应角以及全等三角形性质的应用（1）投影显示题目：D、AD∥BC，且AD＝BC分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。
至于D，由于AD 和BC是对应边，因此AD＝BC。
C符合题意。
说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是简单找错对应角。
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将从简单的图形中分别出来说明：依据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：然后依据已知的对应元素找：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
解三角形复习学案
解三角形一.正弦定理：1.正弦定理： （其中R 是三角形外接圆的半径）2.变形：①C B A c b a sin :sin :sin ::= ②角化边 C R c B R b A R a sin 2sin 2sin 2===③边化角 RcC R b B R a A 2sin 2sin 2sin ===练习：△ABC 中，①B b A a cos cos =②B a A b cos cos =3.三角形内角平分线定理：如图△ABC 中，AD 是A ∠4.判断三角形解的个数：△ABC 中，已知锐角A ，边b ，则 ①A b a sin <时，无解；②A b a sin =或b a ≥时，有一个解； ③b a A b <<sin 时，有两个解。
二.三角形面积 1.B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆ 2. r c b a S ABC)(21++=∆,其中r 是三角形内切圆半径. 注:由面积公式求角时注意解的个数 三.余弦定理1.余弦定理：=2a )cos 1(2)(2A bc c b +-+= =2b )cos 1(2)(2B ac c a +-+= =2c )cos 1(2)(2C ab b a +-+=注：后面的变形常与韦达定理结合使用。
2.变形： =A cos=B cos=C cos注意整体代入，练习：=⇒=-+B ac b c a cos 222。
3.三角形中线：△ABC 中， D 是BC 的中点，则222221BC AC AB AD -+= 4.三角形的形状①若222c b a >+时,角C 是 角 ②若222c b a =+时,角C 是 角 ③若222c b a <+时,角C 是 角练习:锐角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围; 钝角三角形的三边为x ,2,1,求x 的取值范围;5.应用用余弦定理求角时只有一个解 四.应用题1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；③将实际问题转化为数学问题； ④作答2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。
2023-2024学年四年级下学期数学7.1《认识三角形》(教案)
教案标题：2023-2024学年四年级下学期数学7.1《认识三角形》一、教学目标1. 让学生了解三角形的定义，认识三角形的三个角和三条边。
2. 培养学生通过观察、比较、分析，发现三角形的特点，并能用语言进行描述。
3. 引导学生运用三角形的稳定性，解决生活中的实际问题。
二、教学内容1. 三角形的定义2. 三角形的三个角和三条边3. 三角形的稳定性三、教学重点与难点1. 教学重点：三角形的定义，三角形的三个角和三条边。
2. 教学难点：三角形的稳定性，运用三角形的稳定性解决实际问题。
四、教学过程1. 导入新课通过提问学生已知的平面图形，引导学生回顾旧知，为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解新课（1）三角形的定义通过展示生活中的三角形实物，如自行车的三角架、房屋的屋顶等，引导学生发现三角形的特点，进而给出三角形的定义：由三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形。
（2）三角形的三个角和三条边通过展示三角形的图形，让学生观察并指出三角形的三个角和三条边。
讲解三角形各部分的名称，如顶点、底边、腰等。
（3）三角形的稳定性通过实验和实例，让学生体会三角形的稳定性，如用三根木棍组成一个三角形，用手拉扯，发现三角形不容易变形。
讲解三角形的稳定性在实际生活中的应用，如建筑物的三角形结构、自行车的三角架等。
3. 练习巩固让学生完成教材中的练习题，巩固所学知识。
4. 课堂小结通过提问方式，让学生回顾本节课所学内容，加深对三角形知识的理解。
五、课后作业1. 让学生完成教材中的课后习题。
2. 观察生活中哪些地方用到了三角形，思考三角形的稳定性在这些应用中的作用。
六、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，及时调整教学策略，以提高教学质量。
同时，关注学生在学习过程中遇到的问题，给予个别辅导，确保每位学生都能掌握三角形的知识。
通过本节课的学习，使学生掌握了三角形的定义、三个角和三条边以及三角形的稳定性，培养了学生的观察能力、分析能力和解决问题的能力，为后续学习打下基础。
人教版数学四年级下册第五单元《三角形的认识》(第3课时)教案
人教版数学四年级下册第五单元《三角形的认识》（第3课
时）教案
一、教学目标
1.认识三角形的定义和性质。
2.初步掌握三角形内角和为180度的特点。
3.能够利用三角形的性质解决实际问题。
二、教学重点
1.三角形的定义和性质。
2.三角形内角和为180度的特点。
三、教学难点
1.解决实际问题时如何运用三角形的性质。
四、教学准备
1.教师准备：教案、黑板、彩色粉笔、教具。
2.学生准备：课本、笔、作业本。
五、教学过程
1. 概念讲解
•讲解三角形的定义：三条边所围成的封闭图形叫做三角形。
•介绍三角形的性质：三角形的内角和等于180度。
2. 案例分析
•给出几个实际问题，让学生尝试用三角形的性质解决。
3. 练习与讲解
•让学生做几道练习题，然后让他们展示答案并讲解思路。
4. 小结
•总结本节课的内容，强调三角形的定义和性质。
六、课堂作业
1.完成课后练习题。
2.思考如何运用三角形的性质解决更多实际问题。
此教案主要围绕三角形的认识展开，通过讲解概念、案例分析、练习与讲解等环节，帮助学生掌握三角形的基本性质并学会运用相关知识解决实际问题。
希望学生能够在课后巩固所学知识，并能够灵活运用到日常生活中。
鲁教版五四学制：2024-2025年七年级第一学期上册数学1.1认识三角形(4)学案和答案
2024--2025学年度七年级数学上册学案1.1认识三角形(4)【学习目标】1.理解三角形的中线、角平分线概念及相关性质，并能形象的画出这两条线段；2.能应用三角形的角平分线、中线的性质解决简单的数学问题；【自主学习】阅读课本第10-11页内容,完成下列问题1.三角形的中线的定义：在三角形中，连接一个_________与它对边的_________的线段,叫做这个三角形的中线.2.三角形的角平分线的定义：在三角形中，一个内角的 与它的对边相交，这个角的 与_________之间的线段，叫做三角形的角平分线.注意：①三角形的中线、角平分线都是一条线段;②而角的平分线是一条射线.3.画一画：（1）分别作出下列三角形三边上的中线归纳：在每个三角形中，三条边上的中线都在三角形的 ，并且都相交于 . 简述成：三角形的三条中线交于 ，这点成为三角形的重心.（2）分别作出下列三角形每个角的平分线归纳：在每个三角形中，三条角平分线都在三角形的 ，并且都相交于 .简述成：三角形的三条角平分线交于 .【典型例题】知识点一 三角形的中线1.若AD 为△ABC 的中线，则下列结论中错误的是（ ）A.平分BCB.BD=DCC. AD 平分∠BACD.BC=2DC2.若AD 为△ABC 底边BC 的中线，则S △ABD = =12知识点二 三角形的角平分线3.如图，在△ABC 中，∠A=30°,∠B=50°,CD 平分 ∠ACB 则 ∠ADC 的度数是( )A.80°B.90°C.100°D.110°【巩固训练】1.三角形的中线、角平分线都是一条（ ）A.直线B.射线C.线段D.直线或线段2.如图，BD 是∠ABC 的角平分线，CD 是∠ACB 的角平分线，∠BDC ＝110°，则∠A 的度数为（ ） A C B AC B AC BAC BA ．40°B ．50°C ．60°D ．75°3.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且△ABC 的面积是32，则图中阴影部分面积= ;;4.如图所示，BD 平分∠ABC ，DE ∥BC ，且∠D=25°，则∠AED 的度数为（ ）A.50°B.60°C.70°D.80°【课后拓展】1.如图，已知在△ABC 中，的平分线交于点O ，试说明： （1） （2）2.在△ABC 中，AB=AC ，中线BD 把这个△ABC 的周长分成15和21两部分，求BC 边的长.1.1认识三角形（4）【自主学习】1. 顶点，中点，线段；2. 平分线，顶点，交点，线段；3.（1）内部，一点，一点；（2）内部，一点，一点；【典型例题】1.C2. S △ACD S △ABC3.C【巩固训练】1.C2.A3.84.A【课后拓展】1.解：（1）∵在△ABC 中，ABC ACB ∠∠与的平分线交于点O ，∴∠OBC=21∠ABC 且∠OCB=21∠ACB又∵在△OBC 中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°；第4题图第3题图 第2题图 OC B A 01180()2BOC ABC ACB ∠=-∠+∠01902BOC A ∠=+∠ABC ACB ∠∠与∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=180°-（21∠ABC+21∠ACB ）=180°-21（∠ABC+∠ACB ）（2）又∵在△ABC 中， ∠A+∠ABC+∠ACB=180° ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∴∠BOC=180°-21（∠ABC+∠ACB ）=180°-21（180°-∠A ）=90°+21∠A2. 16或8。
山东省胶南市隐珠街道办事处中学七年级数学下册《5.1 认识三角形》学案(无答案)(4) 北师大版
用心 爱心 专心 1山东省胶南市隐珠街道办事处中学七年级数学下册《5.1 认识三角形》学案（4）北师大版教学目标：1、通过观察、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力；2、了解三角形的高，并能在具体的三角形中作出它们。
教学重点：在具体的三角形中作出三角形的高。
教学过程：过三角形的一个顶点A ，你能画出它的对边BC 的垂线吗？试试看，你准行！1、★三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，线段AM 是BC 边上的高。
∵ AM 是BC 边上的高∴AM ⊥BC做一做：每人准备一个锐角三角形纸片（1）你能画出这个三角形的高吗？你能用折纸的方法得到它吗？（2）这三条高之间有怎样的位置关系呢？小组讨论交流。
结论：3、议一议：每人画出一个直角三角形和一个钝角三角形（1）画出直角三角形的三条高，并观察它 们有怎样的位置关系？（2）你能折出钝角三角形的三条高吗？你能画出它们吗？（3）钝角三角形的三条高交于一点吗？它们所在的直线 交于一点吗？结论：1、直角三角形的三条高交于 。
2、钝角三角形的三条高所在直线交于一点，此点在 。
4、练习：如图，（1）共有 个直角三角形（2）高AD 、BE 、CF 相对应的底分别是 、 。
（3）AD=3、BC=6、AB=5、BE=4，则S △ABC = 、CF= 、AC= 。
检测练习：1、选择：三角形三个内角中，锐角最多可以是（ ） BC用心 爱心 专心 2 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、如下图，△ABC 中，∠A=60°，∠C=80°，∠B= 度；3、如上图，∠1=60°，∠D=20°，则∠A= 度；4、如右图，AD ⊥BC ，∠1=40°，∠2=30°， 则∠B= 度，∠C= 度5、在空白处填入“锐角”、“直角”或“钝角”：（1） 如果三角形的三个内角都相等，那么这个三角形是 三角形； （第4题）（2）如果三角形的两个内角都小于40°，那么这个三角形是 三角形。
新课改2020年中考备考数学总复习分类训练学案系列 - 几何综合(三角形四边形)
新课改2020年中考备考数学总复习分类训练学案系列几何综合（三角形四边形）典题探究例1如图，点C 在线段AB 上，△DAC 和△DBE 都是等边三角形． (1) 求证：△DAB ≌△DCE ；(2) 求证：DA ∥EC ．例2如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC ⊥AB ，AB =2，且AC ︰BD =2︰3． (1) 求AC 的长； (2) 求△AOD 的面积．例3已知：如图，OP 平分∠MON ，点A 、B 分别在OP 、ON 上，且OA =OB ，点C 、D 分别在OM 、OP 上，且∠CAP =∠DBN ．求证：AC =BD ．例4 如图，在四边形ABCD 中，∠D =90°，∠B =60°，AD =6，AB，AB ⊥AC ,在CD 上选取一点E ，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，使点D 落在AC 上的点F 处． 求（1）CD 的长； （2）DE 的长．五、演练方阵A 档（巩固专练）O3已知：如图，AB=AE ，∠1＝∠2，∠B=∠E. 求证：BC=ED.4如图，已知菱形ABCD ，AB=AC ，E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接AE 、CF（1）证明：四边形AECF 是矩形； （2）若AB=8，求菱形的面积。
5已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 是BC 的中点，作∠EAB =∠BAD ，AE 边交CB 的延长线于点E ，延长AD 到点F ，使AF =AE ，连结CF ． 求证：BE =CF ．6如图，四边形ABCD 是矩形，点E 在线段CB 的延长线上，连接DE 交AB 于点F ，∠AED =2∠CED ，点G 是DF 的中点．D12DA CB（1）求证：∠CED =∠DAG ；（2）若BE =1，AG =4，求sin AEB 的值．7．如图，点C 、B 、E 在同一条直线上， AB ∥DE ∠ACB=∠CDE ，AC=CD ．求证：AB=CD ．8一副直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F =∠ACB =90°, ∠E =45°,∠A =60°,AC =10,试求CD 的长．9如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，分别过点C 、B 作射线AD 的垂线段，垂足分别为E 、F ．求证：BF=CE ．10将一副三角板如图拼接：含30°角的三角板（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角板（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝23，P 是AC 上的一个动点，连接DP ． （1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，求DP 的长；（2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；B 档（提升精练）EDCBADEA1 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，AD =AB ，AE ⊥AC ，AE = AC ． 求证：BE =CD ．2 已知：如图，在□ABCD 中，∠BAD ，∠ADC 的平分线AE ，DF 分别与线段BC 相交于点E ，F ，AE 与DF 相交于点G ． （1）求证：AE ⊥DF ；（2）若AD =10，AB =6，AE =4，求DF 的长．3 已知：如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且使AE ＝AD .求证：∠B ＝∠C .4如图，在矩形ABCD 中，AB =3，BC△DCE 是等边三角形，DE 交AB 于点F ，求△BEF的周长．5已知：如图，点A 、E 、B 在同一条直线上，AC ∥DB ，AB =BD ，AC =BE ．求证：BC =DE ．6．如图，在四边形ABCD 中，∠A =∠ADC =120º，AB =AD ，E 是BC 的中点，DE =15，DC =24，求四边形ABCD 的周长．G AEBCDFECA D BA DFEB C ABCDEDCE AB7．已知：如图，在△ABC 中，AD 是中线，分别过点B作AD 及其延长线的垂线BE 、CF ，垂足分别为点E 、F 证：BE =CF ．8．如图，四边形ABCD 中，AB = AD ，∠BAD =90°，∠CBD =30°，∠BCD =45°，若AB =22.求四边形ABCD 的高．9已知：如图，过正方形ABCD 的顶点B 作直线BE 平行于对角线AC ，AE=AC （E ，C 均在AB的同侧）.求证：∠CAE=2∠BAE .10.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,延长AB 到点D ，使BD=AB,取AB 的中点E ，连结CD 和CE.求证： CD=2CE .ABCDE DCBAC 档（跨越导练）1已知：如图，E 、F 为BC 上的点，BF=CE ，点A 、D 分别在BC的两侧，且AE ∥DF ，AE =DF ． 求证：AB ∥CD ．2如图，在平行四边形ABCD 中，AD = 4，∠B =105º，E 是BC 边的中点，∠BAE =30º，将△ABE 沿AE 翻折，点B 落在点F 处，连接FC ，求四边形ABCF 的周长．3已知：如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AC=2AB ，点D 是AC 的中点，以AD 为斜边在△ABC 外作等腰直角三角形AED ，连结BE 、EC ．试猜想线段BE 和EC 的数量关系及位置关系，并证明你的猜想．4如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE=DC ，连接AE ，交BC 于点F ．若∠AFC=2∠D ，连结AC 、BE.求证：四边形ABEC 是矩形.5已知：如图，点E ，F 分别为□ABCD 的边BC ，AD 上的点，且12∠=∠. 求证：AE=CF .ACDE6已知：如图，在菱形ABCD 中，F 为边BC 的中点，DF 与对角线AC 交于点M ，过M 作ME⊥CD 于点E .(1）求证：AM =2CM ；（2）若12∠=∠，CD =ME 的值.7已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，E 、F 在AB 同侧，DE 与CF 相交于点O ，且AC =BD ，AE =BF ，A B ∠=∠.求证：DE =CF .8如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =13，CD =4，点E 在边AB 上，DE ∥BC ．若CB CE =，且3t a n =∠B ，求四边形ABCD 的面积.9已知：如图，B C E ，，三点在同一条直线上，AC DE ∥，AC CE =，B D ∠=∠．求证：ABC CDE △≌△．A C D BEFOADBC10．如图，四边形ABCD 中， CD=2， 90=∠BCD ， 60=∠B , 30,45=∠=∠CAD ACB ，求AB 的长．三角形四边形答案四、典题探究例1：证明：（1）如图1.∵△DAC 和△DBE 都是等边三角形，∴DA =DC ，DB =DE ， ∠ADC =∠BDE =60º .∴∠ADC +∠CDB =∠BDE +∠CDB ， 即∠ADB =∠CDE . 在△DAB 和△DCE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,DE DB CDE ADB DC DA∴ △DAB ≌△DCE. （2）∵△DAB ≌△DCE ，∴ ∠A =∠DCE=60° . ∵∠ADC=60°，∴ ∠DCE =∠ADC .∴DA ∥EC .例2：解：（1）如图2.∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ∴OA = 12AC ，OB = 12BD .∵AC ︰BD =2︰3， ∴OA ︰OB =2︰3 .设OA =2x (x >0)，则OB =3x .∵AC ⊥AB ，∴∠BAC =90°.在Rt △OAB 中，OA 2+AB 2=OB 2. ∵AB =2， ∴(2x )2+22=(3x )2 . 解得x =±255(舍负).DABCABCDE图1∴AC =2OA = 855.（2）∵平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∴OB =OD .∴S △AOD = S △AOB = 12 AO ·AB = 12×455×2= 455.例3：证明：∵OP 平分∠MON ，∴∠COA =∠DOB . ∵∠CAP =∠DBN ， ∴CAO DBO ∠=∠. ∵OA =OB ，∴COA ∆≌DOB ∆. ∴AC =BD .例4：解：（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC =90°. ∵∠B=60°，AB =3， ∴AC =10.∵∠D =90°,AD =6， ∴CD =8.（2）由题意，得∠AFE =∠D=90°，AF=AD =6， EF=DE .∴∠EFC =90°, ∴FC =4.设DE =x ,则EF=x ,CE=8-x .在Rt △EFC 中，由勾股定理,得 2224(8)x x +=-. 解得x =3. 所以DE =3.五、演练方阵A 档（巩固专练）1证明：AB ∥EC ，∴.A DCE ∠=∠ ………………………1分 在△ABC 和△CDE 中，,,,B EDC A DCE AC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△CDE .………………………4分 ∴.BC DE = ………………………5分2解：过点A 作AF ⊥BD 于F .∵∠CDB =90°,∠1=30°,∴∠2=∠3=60°. ………………………1分 在△AFB 中，∠AFB =90°. ∵∠4=45°，AB =,∴AF =BF=.………………………2分 在△AFE 中，∠AFE =90°.∴1,2EF AE ==.………………………3分 在△ABD 中，∠DAB =90°.∴DB =∴1DE DB BF EF =--=.………………………4分∴1131)222ADE S DE AF ∆-=⋅=⨯= 34（1）四边形ABCD 是菱形AB BC ∴= 又AB AC = E ∴是BC 的中点AE BC ∴⊥ ……………………………….1分0190∴∠=E 、F 分别是AD 、BC 的中点11 , EC=BC 22AF AD ∴=菱形AECF ∴A D ∥BC∴AF ∥EC∴四边形AECF 是平行四边形………………2分又0190∠=∴四边形AECF 是矩形………………………3分（2）在Rt ABE 中228AE ==16.1212,.......................2........................................................................4....................................BAD BAD BAC EAD AB AE B EABC AED BC ED ∠=∠∴∠+∠=∠+∠∠=∠=∠=∠∴≅∴=即分又，分............................................5分=8s ∴⨯菱形5证明：∵ AB =AC ，点D 是BC 的中点，∴ ∠CAD =∠BAD ． 又∵ ∠EAB =∠BAD ，∴ ∠CAD =∠EAB ． 在△ACF 和△ABE 中，,,,AC AB CAF BAE AF AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ △ACF ≌△ABE ． ∴ BE =CF ．6解：（1）证明：∵ 矩形ABCD ，∴ AD ∥BC .∴ ∠CED =∠ADE .又∵点G 是DF 的中点， ∴ AG =DG .∴ ∠DAG =∠ADE .∴ ∠CED =∠DAG .(2) ∵ ∠AED =2∠CED ，∠AGE =2∠DAG ， ∴ ∠AED =∠AGE . ∴ AE =AG . ∵ AG =4， ∴ AE =4.在Rt △AEB 中，由勾股定理可求AB∴sin AB AEB AE ∠== 7证明：∵AB ∥DE∴∠ABC=∠E ∵∠ACB=∠CDE ，AC=CD ∴△ABC ≌△CED ∴AB=CD8解：过点B 作BM ⊥FD 于点M ． 在△ACB 中，∠ACB =90°, ∠A =60°,AC =10,∴∠ABC =30°, BC =AC tan 60°, ∵AB ∥CF ，∴∠BCM =30°．∴1sin 302BM BC =⋅︒==cos3015CM BC =⋅︒==-------4分在△EFD 中，∠F =90°, ∠E =45°, ∴∠EDF =45°,∴MD BM ==∴15CD CM MD =-=-．9证明：∵CE ⊥AF ，FB ⊥AF∴∠DEC ＝∠DFB ＝90° 又∵AD 为BC 边上的中线 ∴BD ＝CD又∵∠EDC ＝∠FDB ∴△BFD ≌△CED ∴BF=CE10解：（1）在Rt △ABC 中，AB ＝23，∠BAC ＝30°∴BC ＝3，AC ＝3． 如图（1），作DF ⊥AC∵Rt △ACD 中，AD ＝CD ∴DF ＝AF ＝CF ＝23 ∵BP 平分∠ABC ∴∠PBC ＝30° ∴CP ＝BC·tan30°＝1 ∴PF ＝21∴DP ＝22DF PF +＝210．（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝23，∠ADF ＝45° 又PD ＝BC ＝3∴cos ∠PDF ＝PDDF ＝23∴∠PDF ＝30°∴∠PDA ＝∠ADF －∠PDF ＝15°当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF ＝30°． ∴∠PDA ＝∠ADF ＋∠PDF ＝75°B 档（提升精练）1证明：∵AD ⊥AB ，AE ⊥AC ，∴∠DAB=∠EAC =90°．∴∠DAB+∠1=∠EAC+∠1． 即∠DAC=∠EAB ． 又∵AD=AB ，AE=AC ， ∴△DAC ≌△EAB (SAS)． ∴CD = BE ．2(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥DC .∴∠BAD +∠ADC=180°. ∵AE 、DF 分别平分∠BAD 、∠ADC ， ∴111,222BAD ADC ∠=∠∠=∠ .∴112()902BAD ADC ∠+∠=∠+∠=︒ .∴∠AGD=90°.∴AE ⊥DF .(2)由（1）知：AD ∥BC ,且BC= AD = 10，DC =AB =6，∠1=∠3,∠2=∠4 . ∴∠1=∠AEB ,∠2=∠DFC . ∴∠3=∠AEB ,∠4=∠DFC . ∴BE=AB =6，CF=DC =6. ∴BF =4.∴EF =2. ∵AD ∥BC ,∴△EFG ∽△ADG . ∴15EG EF AG AD ==. 1DBCEA4321GAE B CDF∴145EGEG =-.∴EG=23.∴AG=103.由（1）知∠FGE=∠AGD=90°， 由勾股定理，得DG=3，FG=3.∴DF=.3证明：在△ABE 和△AC D 中∵ .AB AC A A AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，∴△ABE ≌△ACD （SAS ）.∴B C ∠=∠.4解：∵矩形ABCD ，△DCE 是等边三角形，∴30ADF ECB ∠=∠=o ，3ED EC ==， 在Rt △ADF 中，90A ∠=o，AD =∴tan AFADF AD∠=，tan 303==o ， ∴1AF =，∴312FB AB AF =-=-=，2FD =， ∴321EF ED DF =-=-=， 过点E 作EG CB ⊥，交CB 的延长线于点G .在Rt △ECG 中，90EGC ∠=o ，3EC =，30ECG ∠=o， ∴1322EG EC ==，cos GCECG EC∠=， 第15题图E C AG 第20题图A BDEFcos 303GC ==o，∴GC =∴GB GC BC =-== 由勾股定理得，222EB EG GB =+，∴EB =∴△BEF 的周长=3EF FB EB ++= . 5证明：∵AC ∥DB ，∴∠BAC =∠DBA ．在△BAC 与△DBE 中，,,,AB BD BAC DBA AC BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DBE ． ∴BC =DE ．6解：如图，过点A 作AF ⊥BD 于F ．∵∠BAD =120°，AB =AD ，∴∠ABD =∠ADB =30°．∵∠ADC =120°， ∴∠BDC =∠ADC －∠ADB =12030︒-︒=90°． 在Rt △BDC 中，∠BDC =90°，DE =15，E 是BC 的中点，DC =24， ∴BC=2DE =30．∴18BD =． ∵AD =AB ，AF ⊥BD ，∴1118922DF BD ==⨯=．在Rt △AFD 中，∵∠AFD =90°，∠ADB =30°，∴9cos cos 30DF DF AD AB ADB =====∠︒∴四边形ABCD 的周长=AB +AD +DC +BC 243054=+++=+7证明：∵在△ABC 中，AD 是中线，∴BD =CD ，-------------- 1分 ∵CF ⊥AD ，BE ⊥AD ， ∴∠CFD ＝∠BED ＝90° ， 在△BED 与△CFD 中， ∠BED ＝∠CFD ，A BDEFB AE CD∠BDE ＝∠CDF ，- BD ＝CD ， ∴△BED ≌△CFD ，∴BE =CF ．8解：过点C 作CE ∥DB ，交AB 的延长线于点E ．∴∠ACE =∠COD =60°． 又∵DC ∥AB ， ∴四边形DCEB 为平行四边形． ∴BD =CE ，BE = DC =3，AE =AB +BE =8+3=11． 又∵DC ∥AB ，AD =BC ， ∴DB =AC =CE ．∴△ACE 为等边三角形．∴AC =AE =11， ∠CAB =60°．过点C 作CH ⊥AE 于点H ．在Rt △ACH 中， CH =AC ·sin ∠CAB =11×23．∴梯形ABCD9证明：过A 作AG ⊥BE 于G ，连结BD 交AC 于点O ，∴ AGBO 是正方形. ∴ AG=AO=21AC =21AE ∴ ∠AEG=30°. ∵ BE ∥AC ，∴ ∠CAE =∠AEG = 30 º. ∴ ∠BAE = 45º – 30º = 15º . ∴ ∠CAE = 2∠BAE .10证明：∵ E 是AB 中点，可设：AE = BE = x∵ AB = AC ，BD = AB ，则有AC = 2x ，AD = 4x∴12AE AC AC AD == 又∵ ∠A = ∠A ， ∴ △AEC ∽△ACD ∴21CD CE = ∴ CD = 2 CE.FE DCBAC 档（跨越导练）1证明：∵AE ∥DF ，∴∠AEB ＝∠DFC . ………………………………………………………………1分∵BF =CE ，∴BF +EF ＝CE +EF .即BE ＝CF . ………………………………………………………………………2分 在△ABE 和△DCF 中，AE DF AEB DFC BE CFì=ïïï??íïï=ïïî∴△ABE ≌△DCF . … ……………………………………………………………3分 ∴∠B =∠C. ………………………………………………………………………4分∴AB ∥CD. … …………2解：作BG ⊥AE ，垂足为点G ，∴∠BGA ＝∠BGE ＝90º.在平行四边形ABCD 中，AD = 4， ∵E 是BC 边的中点，∴11 2.22BE EC BC AD ====……………………………………………………1分∵∠BAE =30º，∠ABC =105º， ∴∠BEG =45º.由已知得△ABE ≌△AFE .∴AB =AF ，BE ＝FE ，∠BEF =90º.在Rt △BGE 中，BG ＝GE……… ………………………………………………………………2分 在Rt △ABG 中，∴AB =AF=………………………………………………………………………3分 在Rt △ECF 中，FC = ………………………………………………… ……4分 ∴四边形ABCF的周长4+……………………………………………………5分3答： BE=EC ，BE ⊥EC .………………………………………1分证明：∵AC=2AB ，点D 是AC 的中点 ∴AB=AD=CD∵∠EAD=∠EDA=45° ∴∠EAB=∠EDC=135° ∵EA=ED∴△EAB ≌△EDC …………………………………………3分 ∴∠AEB=∠DEC ，EB=EC ………………………………4分 ∴∠BEC=∠AED=90° ………………………………5分 ∴BE=EC ，BE ⊥ECAB CDE4证明：解法：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴ AB=CD=EC ，AB ∥EC ，∴ 四边形ABEC 是平行四边形．……………………1分 ∴ AF=EF ， BF=CF ． ………………………2分 ∵ ∠ABC=∠D ，∠AFC=2∠D ， ∴∠AFC=2∠D=2∠ABC ． ∵∠AFC=∠ABF+∠BAF ， ∴∠ABF=∠BAF ．∴FA=FB ． ………………………………………3分∴FA=FE=FB=FC,∴AE=BC ． ………………………………………4分∴□ABEC 是矩形．………………………………………5分56解：（1）∵四边形ABCD 是菱形．∴BC//AD .∴△∽△CFM ADM . ∴CF CMAD AM=. ∵F 为边BC 的中点，∴1122CF BC AD ==. ∴12CF CM AD AM ==. ∴2AM MC =. （2）∵A B//DC ， ∴1=4∠∠.∵1=2∠∠,FEDC BAE∴2=4∠∠.∵ME ⊥CD ， ∴12CE CD =. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴ 3=4∠∠. ∵F 为边BC 的中点， ∴12CF BC =. CF CE ∴=.在△CMF 和△CME 中，3=4∠∠，CF =CE ，CM 为公共边，∴△CMF ≌△CME ． ∴ =90CFM CEM ∠∠=︒. ∵2=34∠∠=∠, ∴2=3430∠∠=∠=︒.∴ME CE =∵2CD CE ==∴CE =. ∴1ME =.7证明：∵ AC =BD ,∴ AD =BC .∵ A B ∠=∠ ，AE =BF ∴ △ADE ≌△BCF .∴ DE =CF .8解：过点C 作AB CF⊥于点F .∵AB ∥CD ，DE ∥BC∴四边形BCDE 为平行四边形 ∴BE=CD∵CD=4 ，∴BE=4.∵CB CE =，BE CF ⊥∴BF=2在Rt △BCF 中， 3tan =∠B ，2=BF ∴6=CF . ∴四边形ABCD 的面积=6)94(21⨯+=39 9证明：∵AC ∥DE ，∴∠ACB ＝∠E.-------------- 1分 在△ABC 和△CDE 中， ∠ACB ＝∠E ，∠B ＝∠D ， -------------- 4分 AC ＝CE ，∴△ABC ≌△CDE.-------------- 5分10解：过点D 作DE ⊥AC 于E,过点A 作AF ⊥BC 于F.∵∠ACB =45°，∠BCD =90°， ∴∠ACD =45°.∵CD，∴DE =EC =1. ∵∠CAD =30°， ∴AE∴AC1.∴FA =FC=∵∠ABF =60°,∴sin 60AF AB ===︒DABCFE。
三角形复习学案
《三角形》复习学案考点1 三角形的边、高，中线和角平分线、三角形的分类 1、在下图中，正确画出AC 边上高的是（ ）．2、下列说法错误的是( ).A ．三角形的三条高一定在三角形内部交于一点B ．三角形的三条中线一定在三角形内部交于一点C ．三角形的三条角平分线一定在三角形内部交于一点D ．三角形的三条高可能相交于外部一点 3、下面说法正确的是个数有（ ）①如果三角形三个内角的比是１∶２∶３，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，则这么三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果∠A=∠B=21∠C ，那么△ABC 是直角三角形；⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形；⑥在∆ABC 中，若∠A ＋∠B=∠C ，则此三角形是直角三角形。
A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、5个 4、下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是( )A. 3cm, 4cm, 8cmB. 8cm, 7cm, 15cmC. 13cm, 12cm, 20cmD. 5cm, 5cm, 11cm 5.等腰三角形两边长分别为3,7，则它的周长为( ) A 、13 B 、17 C 、13或17 D 、不能确定6.如图，在△ABC 中，D,E 分别是BC ，AD 的中点，ABC S ∆=42cm ，求ABE S ∆.7、用一条长为18cm 的细绳围成一个等腰三角形。
1）、如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ 2）、能围成有一边的长为4cm 的等腰三角形吗？为什么？考点2 三角形的稳定性1、下列图形中具有稳定性有（ ）A 、 2个B 、 3个C 、 4个D 、 5个（1）（2）（3）（4）（5）（6）_ D _ B _ C5题图AOB2、如图，一扇窗户打开后用窗钩AB 可将其固定，这里所运用的几何原理是( ) A 、三角形的稳定性 B 、两点确定一条直线 C 、两点之间线段最短 D 、垂线段最短3.桥梁拉杆，电视塔底座，都是三角形结构，这是利用三角形的 性； 考点3、三角形与角有关的计算1、ABC 的三个内角的度数之比∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B= 0，∠C= 02已知三角形的三个外角的度数比为2∶3∶4，则它的最大内角的度数( ). A. 90° B. 110° C. 100° D. 120°3、已知等腰三角形的一个外角为150°，则它的底角为_______.4、如图所示,在△ABC 中,∠B=∠C,FD ⊥BC,DE ⊥AB,∠AFD=158°, 则∠EDF=________度.5、. 如图（1），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______；如图（2），∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______．6、如图4，∠1+∠2+∠3+∠4等于多少度；7、在△ABC 中，已知∠ABC =66°，∠ACB =54°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，求1）、E 、∠ACF 和∠BHC 的度数. 2）、若AB=5cm, AC=4cm ,BE=3cm,求CF 的长？8、如图，在△ABC 中，∠B, ∠C 的平分线交于点O. (1)若∠A=500,求∠BOC 的度数.(2)设∠A=n 0（n 为已知数），求∠BOC 的度数.图4432140?ABCO43 2110题图CBA D9、如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。
学案04：全等三角形专题训练
第一章《全等三角形》专题训练学案班级 姓名 学号一、填空题（每小题3分，共27分）1．如果△ABC 和△DEF 全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI ______全等， 如果△ABC 和△DEF 不全等，△DEF 和△GHI 全等，则△ABC 和△GHI ______全等．（填“一定”或“不一定”或“一定不”）2．如图1，△ABC ≌△ADE ，∠B ＝100°，∠BAC ＝30°，那么∠AED ＝______．3．△ABC 中，∠BAC ∶∠ACB ∶∠ABC ＝4∶3∶2，且△ABC ≌△DEF ，则∠DEF ＝______． 4．如图2，BE ，CD 是△ABC 的高，且BD ＝EC ，判定△BCD ≌△CBE 的依据是“______”．5．如图3，AB ，CD 相交于点O ，AD ＝CB ，请你补充一个条件，使得△AOD ≌△COB ．你补充的条件是______．6．如图4，AC ，BD 相交于点O ，AC ＝BD ，AB ＝CD ，写出图中两对相等的角______． 7．如图5，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，AB ＝5，CD ＝2，则△ABD 的面积是______．8．地基在同一水平面上，高度相同的两幢楼上分别住着甲、乙两位同学，有一天，甲对乙说：“从我住的这幢楼的底部到你住的那幢楼的顶部的直线距离，等于从你住的那幢楼的底部到我住的这幢楼的顶部的直线距离．”你认为甲的话正确吗？答：______．9．如图6，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝8，△ABD 的面积为16，则ACE △的面积为______．A D E CB 图1A D E CB 图2 A D OC B 图3 AD O C B图4 A DCB图5 A D C B 图6 E A D C B 图7E F二、选择题（每小题3分，共24分）1．如图7，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是（ ）A ．PE PF =B ．AE AF =C ．△APE ≌△APFD ．AP PE PF =+ 2．下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．①和③D ．①②③3．如图8， AD 是ABC △的中线，E ，F 分别是AD 和AD 延长线上的点，且DE DF =，连结BF ，CE ．下列说法：①CE ＝BF ；②△ABD和△ACD 面积相等；③BF ∥CE ；④△BDF ≌△CDE ．其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 4．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是（ ） A ．形状相同 B ．周长相等 C ．面积相等 D ．全等5．如图9，AD AE =，= = =100 =70BD CE ADB AEC BAE ︒︒，，∠∠∠，下列结论错误的是（ ）A ．△ABE ≌△ACDB ．△ABD ≌△ACEC ．∠DAE =40°D ．∠C =30°6．已知：如图10，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则图中共有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对7．将一张长方形纸片按如图11所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ）A ．60°B ．75°C ．90°D ．95° 8．根据下列已知条件，能惟一画出△ABC 的是（ ）A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30° C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝6AD C B图8E FD A C B图9 A D E CB 图10 FG A E C 图11 B A ′E ′ D三、解答题 （本大题共69分）1．（本题8分）（2009年黄石市）如图，C F 、在BE 上，A D AC DF BF EC ∠=∠=，∥，．求证：AB DE =．2．(本题10分)如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AE 是过A 的一条直线，且B ，C 在AE 的两侧，D 在A ，E 之间，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，请找出BD ，DE ，CE 的关系并证明3．(本题10分)如图13，工人师傅要检查人字梁的∠B 和∠C 是否相等，但他手边没有量角器，只有一个刻度尺．他是这样操作的： ①分别在BA 和CA 上取BE CG =； ②在BC 上取BD CF =；③量出DE 的长a 米，FG 的长b 米．如果a b =，则说明∠B 和∠C 是相等的．他的这种做法合理吗？为什么？4．(本题10分)如图15，O 为码头，A ，B 两个灯塔与码头的距离相等，OA ，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿∠AOB的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A ，B 的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由．ABC FEDAD E C B图13F G5．(本题9分) （2014•龙岩）如图16，E 、F 分别是等边三角形ABC 的边AB ，AC 上的点，且BE=AF ，CE 、BF 交于点P ． （1）求证：CE=BF ；（2）求∠BPC 的度数．6．(本题10分) 如图17，ABC △中，AB AC ，过点A 作GE BC ∥，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G ,试在图中找出３对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．7．(本题12分)（2014•泸州）已知，如图18，四边形ABCD 中，∠ABC=∠BCD=900，AB=BC ，AE ⊥BF ，垂足为G ， 求证：AE=BF ．图16图17图18。
三角形全等的判定第4课时用“HL”判定直角三角形全等学案
第4课时用“HL”判定直角三角形全等1．掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”)．2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等．阅读教材P42，完成预习内容．知识探究1．判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是____________．2．直角三角形全等的判定方法有________(用简写)．自学反馈1．如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌________，全等的根据是________．2．判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由．①一个锐角和这个角的对边对应相等；( )②一个锐角和这个角的邻边对应相等；( )③一个锐角和斜边对应相等；( )④两直角边对应相等；( )⑤一条直角边和斜边对应相等．( )3．下列说法正确的是( )A．一直角边对应相等的两个直角三角形全等B．斜边相等的两个直角三角形全等C．斜边相等的两个等腰直角三角形全等D．一边长相等的两等腰直角三角形全等直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”．活动1小组讨论例1已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC；(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中，∵AD＝CB，BD＝DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．∴AB＝DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.善于发现隐藏条件“公共边”．例2已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.证明：连接CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中，∵AC＝BD，DC＝CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD＝BC.活动2跟踪训练1．已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝AB，ED＝AC.求证：ED⊥AC.2．已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.3．已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？具体方法要根据条件来选择，但要做到有依有据．活动3课堂小结1．“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法．2．证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等．【预习导学】知识探究1．直角边，斜边 2.HL自学反馈1．△DFE HL 2.①AAS②AAS或ASA③AAS④SAS⑤HL 3.C【合作探究】活动2跟踪训练1．证明：先证Rt△AED≌Rt△BAC(HL)，∴∠E＝∠CAB.∵∠E＋∠EDA＝90°，∴∠CAB＋∠EDA＝90°.∴∠DFA＝90°.∴ED⊥AC. 2.证明：先证Rt△AED≌Rt△CFB，得AE＝CF.∴AF＝CE.再证Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠BAC＝∠DCA.∴AB∥DC. 3.需添加AC＝DB或∠1＝∠2或∠E＝∠F均可，理由依次为SAS、AAS、ASA.。
第11章 三角形全章教案(共11课时)-4
复习归纳
常见的图形,它是所有直线图形的基础,以后学习复杂
的几何图形,往往通过三角形来研究,同时,三角形的知
识还将广泛应用到其他学科,因此,我们应牢固掌握这
部分内容.我们分两节课的时间复习这一章.
二.讲授新课
1.知识要点:(教师问:学生思考,回答.教师画图补充说
明)
(1)三角形的定义
学生讨论
归纳
2.本章知识结构图
三角形与三角形有关的线
三角形的边
三角形的角平分线
三角形的中线
三角形的高
三
角
形
的
三
边
关
系
内角的关系解:
∠BOE(过程略)
=
120
例3:三角形的最长边为10,另两边的长分别为x和4,周长为c,求x和c的取值范围.
解:已知三角形的两边为10和 4.那么第三边x的范围应满足:
<
-x即6<x<14.
4
<
10+
10
4
10是最长边。
市一等奖 《三角形全等的判定HL(第4课时)》学案
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
直角三角形全等的判定1.掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”).2.能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形全等的特殊方法判定两个直角三角形全等.阅读教材P42“探究5及例5”，掌握判定直角三角形全等的特殊方法“HL”，学生独立完成下列问题：(1)判定两直角三角形全等的“HL”这种特殊方法指的是直角边，斜边.(2)直角三角形全等的判定方法有HL(用简写).自学反馈(1)如图，E、B、F、C在同一条直线上，若∠D＝∠A＝90°，EB＝FC，AB＝DF.则△ABC≌△DFE，全等的根据是HL.(2)判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由.①一个锐角和这个角的对边对应相等；(AAS)②一个锐角和这个角的邻边对应相等；(AAS或ASA)③一个锐角和斜边对应相等；(AAS)④两直角边对应相等；(SAS)⑤一条直角边和斜边对应相等.(HL)(3)下列说法正确的是(C)A.一直角边对应相等的两个直角三角形全等B.斜边相等的两个直角三角形全等C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等D.一边长相等的两等腰直角三角形全等直角三角形除了一般证全等的方法，“HL”可使证明过程简化，但前提是已知两个直角三角形，即在证明格式上表明“Rt△”.活动1 小组讨论例1 已知：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.求证：(1)AB＝DC;(2)AD∥BC.证明：(1)∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°.在Rt△ABD与Rt△CDB中,∵AD=CB，BD=DB，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).∴AB=DC.(2)∵Rt△ABD≌Rt△CDB(已证)，∴∠ADB＝∠CBD.∴AD∥BC.善于发现隐藏条件“公共边”.例2 已知：如图，AC＝BD，AD⊥AC，BC⊥BD.求证：AD＝BC.证明：连结CD.∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A＝∠B＝90°.在Rt△ADC与Rt△BCD中,∵AC=BD，DC=CD，∴Rt△ADC≌Rt△BCD.∴AD=BC.一般三角形全等的证明方法对于特殊的直角三角形同样适用，同时要善于发现隐藏条件“对顶角相等”. 活动2 跟踪训练(小组合作完成后交流)1.已知：如图，AE⊥AB，BC⊥AB，AE＝A B，ED＝AC.求证：ED⊥AC.证明：先证Rt△AED≌Rt△BAC(HL),∴∠E=∠CAB.∵∠E+∠EDA=90°,∴∠CAB+∠EDA=90°,∴∠DFA=90°.∴ED⊥AC.2.已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC，DE＝BF.求证：AB∥DC.证明：先证Rt△AED≌Rt△CFB，得AE=CF.∴AF=CE.再证Rt△ABF≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCA.∴AB∥DC.3.已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证△ACE≌△DBF，需要添加什么条件？证明全等的理由是什么？解：需添加AC=DB或∠1＝∠2或∠E=∠F均可，理由依次为SAS、AAS、ASA.具体方法要根据条件来选择，但要做到有依有据.活动3 课堂小结1.“HL”判别法是证明两个直角三角形全等的特殊方法，它只对两个直角三角形有效，不适合一般三角形，但两个直角三角形全等的判定，也可以用前面的各种方法.2.证明两个三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS，以及用HL，注意SSA和AAA条件不能判定两个三角形全等.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
直角三角形全等的判定学案设计
业
7、如下图，已知∠ABC=∠ADC=90°，E 是 AC 上一点，AB=AD，求证：EB=ED.
8、如图：在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，过点 C 在△ABC 外作直线 MN，AM⊥MN 于 M，BN⊥MN 于 N。 求证：MN=AM+BN。
M C N
A
B
教研组 （教导处） 审批：
年
学
习Байду номын сангаас
流
程
、2、如图 ，Rt△ABC 中，直角边
预 习
1、判定两个三角形全等的方法： 、 、 是 、 ，斜边是 3、如图，AB⊥BE 于 C，DE⊥BE 于 E， （1）若∠A=∠D，AB=DE， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） （2）若∠A=∠D，BC=EF， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） （3）若 AB=DE，BC=EF， 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法） （4）若 AB=DE，BC=EF，AC=DF 则△ABC 与△DEF （填“全等”或“不全等” ） 根据 （用简写法）
达 标 测 试
独店中学学案设计
科目：八年级数学 班级： 学生： 批阅等次： 第 次批阅 ） 1.如下图，O 是∠BAC 内一点，且点 O 到 AB，AC 的距离 OE=OF，则△AEO≌△AFO 的依据是（
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA 2.在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，如下图，那么下列各条件中，不能使 Rt △ABC≌ Rt△A′B′C′的是（ ）
独店中学学案设计
科目： 八年级数学 班级： 课题 学习 目标 重点 难点 考点 主备人：姚亚琼 授课日期： 年 月 日 第 周 星期 总 第 课时
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7.2.2三角形的外角
学习目标
1.在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质.
2.能利用三角形的外角性质解决实际问题.
一、回顾总结
1.三角形的内角和是多少？
2．△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则∠C=________．
3.△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：2，则∠A=_____，∠B=______，∠C=_______．
二、自主探究
阅读教材P137回答下列问题：
1.如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的
一边与另一边的延长线组成的角，叫做________________.
如图2，一个三角形有___个外角. 每个顶点处有___个外角，这两个外
角是_______.
2.如图1，△ABC中，∠A＝80°,∠B＝40°,∠ACD是△ABC的一个外角，
则∠ACD＝___°.
试猜想∠ACD与∠A,∠B的关系是
__________________________.
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个外角
是否都有这种关系？试结合图3写出证明过程. 证明：
过点C作CM∥AB，延长BC到D .
则∠ACM=∠A，( )
∠MCD=∠B.( )
所以∠ACM + ∠MCD =∠A+∠B.即∠ _____=∠A+∠B.
一般地，有下面的结论：
三角形的一个外角等于与它不相邻的______________________.
由图3，易知：∠ACD_____∠A，∠ACD _____∠B.
也就是说：三角形的一个外角大于与它不相邻的_________________ .
例1.如图△ABC中,∠A=80°,∠B、∠C的角平分线交于点O,∠ACD=30°,求∠DOB 的度数.
A
D
O
B
C
例2、如图，在⊿ABC,BD是∠ABC的平分线，∠ABD=∠A,∠C=3∠A,
求⊿ABC各个内角的度数。
B
C D A
练习、如图，已知∠ACD=150°,∠A=2∠B,求∠B的度数。
A
D C B
当堂检测
1.如图，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，用“<”表示∠1，∠2，∠A之间的关
系为__________________ .
2.如图，D是AB上一点，E是AC上一点，BE，CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=35°，
∠ABE=20°，则∠BDC=_______，∠BFD=_______ .
3．如图，AB∥CD，∠A=45°，∠C=∠E，∠C= .
4.如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数.
5.图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数等于______ .
6．如图，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．
7．如图，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求
∠AEB 的度数
8.如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACD ，试探究∠A 与∠BPC 之间的关系.
9、（挑战自我）.如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，DE ⊥AB 于E ，交AC 于F ， ∠B =50°，∠CFD =60°，求∠ACB 度数。
、
10、（挑战自我）已知：如图，在△ABC 中，BD 、CE 是∠B 、∠C 的平分线，且相交于点O .
求证：∠BOC =90°+21∠A .
等级 自评 他评 红笔改错。