一类时滞SIQRS网络病毒传播模型的稳定性和Hopf分支
一类具有时滞和免疫反应的病毒感染模型的稳定性和Hopf分支
３４ ７
北华 大学学报 （ 自然科 学版 ）
第１ ２卷
要一定的时间， 机体 内的免疫系统从接受抗原（ 病毒） 刺激到产生免疫细胞（ Ｃ Ｌ 也需要一段时间． 如 Ｔ） 文献［ ］ ４ 考虑到抗原刺激产生免疫细胞 Ｃ Ｌ 需要的时间滞后效应 ， Ｔｓ 得到了如下具时滞和双线性发生
一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析
程所构 成 的系统
ｆ 一 ， Ｉ ＋Ｓ ）７ｔ ｌ 一 １ａｔ 一 …一Ｉ） ｄ （ ） （ ‘ ．
系统 （ ）的初始 条件 定义 为 ： ２ ｓ （ ） ， ２ ， （ ） ０ ０∈ ［ ｒ０ ， （ ） ０ ｉ １ ２ ． （ ）一 ，（ ）一 （） ≥ ， 一 ，］ ０ ≥ （ 一 ， ）
一 ， ）
１ 一 一 ｙ一 ，ｚ 一 一 （ ｑ ｘ （ ｌ ｌ ７ 。 ７ －／）
一 一 ｒ・ ）
定 理 ｌ 假设 Ｒ． １成立 ， 有不 等式 ． ＞ 且
２ ｓ ＋ ｌ～ Ｋ口 ＞ ０， ａ （ ５）
则 当 ｒ一 ０时 ， 系统 （ ）的地方 平衡 点 Ｅ 是局 部渐 近稳定 的． ２
赵 仕 杰 袁 朝 晖。 ，
（．桂林 电子科 技大学 数学 与计算 科学 学院 ， 西 桂林 １ 广 ２ 湖南 大学 数 学与 计量学 院 ， 南 长 沙 ． 湖 ５１０ ； ４０４ ４０８） １０２
摘 要 研 究 了一类具 有时 滞及非 线性发 生率 的 ＳＲ 传 染病模 型．首先 利 用特 征 值理 论 分 析 了地 方病 平 Ｉ
第２卷 ７
第 ３期
经
济
数
学
Ｖ ｏ ． ７， Ｏ ３ １２ Ｎ ．
Ｓｅ ｐ． ２ ０ １ ０
２ ０ １０ 年 ９ 月
Ｍ ＡＴ Ｈ ＥＭ Ａ ＴＩ ＣＳ Ｎ Ｉ ＥＣ（ Ｎ（ Ｍ Ｉ ） ） ＣＳ
一
类 时滞 ＳＲ传 染 病模 型 的稳定 性 Ｉ 与 Ｈｏ ｆ 岔 分 析 ｐ 分
性饱 和 函数 发生率．
本文将考 虑下列 Ｓ Ｒ传 染病模 型 Ｉ
ｆ 一 ， ｛ｄ ： １ａｔ 一 … ｙｔ １ｔ Ｓ） ｆ Ｉ ， ＋ （ ） （’ ） 一
一类具有时滞的生态一流行病系统的稳定性和Hopf分支
ｄ ｉ ｒ ｅ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏｎｓ ａ ｎｄ ｔ ｈｅ ｓ ｔ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｂｉ ｆ ｕ ｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｎｇ ｐ ｅ ｒ ｉ ｏ ｄｉ ｃ ｓ ｏ ｌ ｕ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ｂｙ ｕｓ ｉ ｎｇ ｔ ｈ ｅ ｎ ｏｒ ｍａ ｌ ｆ ｏｒ ｍ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｙ ａ ｎｄ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｍａ ｎｉ ｆ ｏ ｌ ｄ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ． Ｎｕｍｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｓ ｉ ｍｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏ ｎｓ ａ ｒ ｅ ｃ ａ ｒ ｒ ｉ ｅ ｄ ｏ ｕｔ ｔ ｏ ｉ ｌ ｌ ｕ ｓ ｔ ｒ ａ ｔ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔ ｈ ｅ ｏｒ ｅ ｔ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄｓ ： ｐｒ ｅ ｄａ ｔ ｏｒ — ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙ ｓ ｔ ｅ ｍ； ｔ ｉ ｍｅ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ； Ｈｏｐ ｆ ｂｉ ｆ ｕｒ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ａ ｐｒ ｅ ｄ ａ ｔ ｏｒ — ｐｒ ｅ ｙ ｓ ｙｓ ｔ ｅ ｍ ｗｉ ｔ ｈ ｔ ｉ ｍｅ ｄｅ ｌ ａ ｙ ａ ｎ ｄ ｄ ｉ ｓ ｅ ａ ｓ ｅ ｉ ｎ ｔ ｈｅ ｐｒ ｅ ｙ ｉ ｓ ｉ ｎｖ ｅ ｓ ｔ ｉ ｇ ａ ｔ ｅ ｄ． Ｂｙ ａ ｎ ａ ｌ ｙ — ｚ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｃ ｏ ｒ ｒ ｅ ｓ ｐ ｏ ｎｄ ｉ ｎｇ ｃ ｈａ ｒ ａ ｃ ｔ ｅ ｒ ｉ ｓ ｔ ｉ ｃ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ， ｔ ｈｅ ｌ ｏｃ ａ ｌ ｓ ｔ ａ ｂｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ａ ｐ ｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｖ ｅ ｅ ｑ ｕｉ ｌ ｉ ｂ ｒ ｉ ｕｍ ｉ ｓ ｉ ｎ ｖ ｅ ｓ —
具有时滞的生态-流行病SIS模型的稳定性和Hopf分支
Ｖ ０ Ｉ ＿ ３ ２ Ｎ ｏ ． ２
Ｊ ｕ ｎ ． ２ ０１ ３
ＤＯＩ ： １ ０． ３ ９ ６ ９ ／ Ｊ ． Ｉ Ｓ Ｓ Ｎ． １ ０ ０ ４—６ ０ ２ Ｘ． ２ ０１ ３ ． ０ ２ ． ０ ２ ６
具 有 时滞 的 生 态 一流 行 病 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 的 稳定 性 和 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 支
其模 型 为
ｄ Ｘ
＝
２ ０ ０ ３年 ， 孙树 林 、 原 存德 考 虑 了疾 病 只 在捕 食 者
之间传播 ， 染病的捕食 者会 因病死亡 ， 食饵有密度制 约 的捕食 一 被 捕食 的 Ｓ Ｉ Ｓ模 型 ¨ Ｊ ：
ｄ Ｘ
＝
（ 口一ｂ ｘ）一
（ 。一ｂ ｘ）一
警 ＝ ｅ Ｘ Ｓ ｓ 一 ＋ ６ Ｉ
Ｅ 。 和Ｅ 两个非负平衡点 ， 当 ∈（ 堕
，
为接触率 ， ６ 为恢复率 ， 易感捕食者 的怀孕所需要 的 时问为 丁 ≥ ０ ， 在这段时间里食饵转化为捕食者 自身
的能量 。
衡点 Ｅ 。 ， Ｅ 外， 边 界平衡 点 Ｅ 也 存 在 。当 ｅ ∈（ ｅ ， ｃ ］ 时， 除了 Ｅ 。 ， Ｅ 和 Ｅ 外， 正衡点 Ｅ ，出现 。
赵红妮 ， 窦霁 虹 ， 刘艺艺
（ 西北大学 数学系 ， 陕西 西安 ７ １ ０ １ ２ ７ ）
摘
要： 该文考 虑一 类含 有 时滞的捕 食者 染病 的 生态一 流行病 Ｓ Ｉ Ｓ模型 ， 主要 利 用特征 根 法讨论 了
平衡点的存在性及其稳定性 ， 证 明了＇ ３ －时滞 ＝ ０时， 正平衡 点是局部渐近稳定的， 随着时滞增加 ，
，
数， ａ 为食饵的内禀增长率 ， ｂ 为密度制约系数 ， Ｃ 为
时滞SVIR计算机病毒传播模型稳定性和Hopf分
时滞SVIR计算机病毒传播模型稳定性和Hopf分作者：岔曹春段爱华门秀萍张子振来源：《荆楚理工学院学报》2019年第06期摘要：目的：本文以反病毒软件清理病毒需要的时间周期为分岔参数，研究了一类时滞SVIR计算机病毒传播模型的稳定性与Hopf分岔。
方法：首先通过讨论特征根分布，得到模型局部渐近稳定性和产生Hopf分岔的充分条件，进而利用中心流形定理和规范型理论确定了Hopf分岔的方向和分岔周期解的稳定性。
结论：理论研究和matlab仿真表明，当时滞τ∈[0，τ0）时，模型处于局部渐近稳定状态，当时滞τ>τ0时，模型失去稳定性，产生Hopf分岔。
关键词：计算机病毒;SVIR模型;Hopf分岔;中心流形定理;规范型理论中图分类号：O175 文献标志码：A 文章编号：1008-4657（2019）05-0014-070 引言根据第44次《中国互联网络发展状况统计报告》，截止2019年6月，我国网民规模达8.54亿，较2018年底增长2 598万，互联网普及率达61.2%，较2018年提升1.6个百分点[1]。
互联网在给社会生产生活方式带来巨大变革、推动社会发展的同时，也使得网络安全成为国家和个人重点关注的问题。
而计算机病毒是网络安全的最大威胁[2-3]。
根据国家计算机病毒应急处理中心发布的《计算机病毒疫情分析报告》，2019年6月，共发现新增病毒2 929万个，比5月上升48.9%，感染计算机21 704万台次，比5月上升4.7%[4]。
计算机病毒的可复制性和破坏性使得其一旦爆发，便会给社会和个人带来难以估计的损失[5]。
为了降低计算机病毒的危害，人们采取了各种各样的措施，最典型的就是安装杀毒软件。
然而，没有什么软件可以清除所有病毒，而且，往往是病毒先出现，反病毒软件等措施后查杀病毒。
因此，为了更好地抑制网络病毒的传播，很多学者根据计算机病毒与生物病毒传播的相似性，利用研究生物病毒的数学模型来分析计算机病毒的传播规律[6-11]。
一类时滞SIQS传染病模型的Hopf分支
一类时滞SIQS传染病模型的Hopf分支刘娟【摘要】研究了一类具有非线性发生率的时滞SIQSR传染病模型的Hopf分支，以模型中染病者和隔离者的临时免疫期时滞为分支参数，利用特征值方法得到模型局部渐近稳定和Hopf分支存在的充分条件，并通过实例验证了所得结果的正确性。
研究表明，延迟Hopf分支的发生，可以有效控制疾病的传播。
%Hopf bifurcation of a delayed SIQS epidemic model with nonlinear incidence is investigated. Sufficient conditions for local stability and the existence of Hopf bifurcation are established by regarding the time delay due to the temporary period of the infective and the quarantined individuals as the bifurcation parameter. Finally,a numerical example is also provided to verify the obtained results. It is found that the disease can be controlled by putting off the occurrence of the Hopf bifurcation.【期刊名称】《北华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(017)005【总页数】5页(P561-565)【关键词】SIQS模型;稳定性;Hopf分支;时滞【作者】刘娟【作者单位】蚌埠学院数学与物理系，安徽蚌埠 233030【正文语种】中文【中图分类】O175.12【引用格式】刘娟.一类时滞SIQS传染病模型的Hopf分支[J].北华大学学报(自然科学版)，2016，17(5)：561-565.为了有效控制传染病的传播，基于不同的疾病感染率学者们提出了很多不同的传染病模型.文献[1-2]分别研究一类具有双线性发生率的传染病模型，文献[3-5]分别研究了一类具有标准发生率的传染病模型.考虑到以上两种发生率在描述某些传染病传播机理时的局限性，不少学者提出并研究了具有非线性发生率的传染病模型[6-9].文献[6]提出了如下具有非线性发生率的时滞SIQS传染病模型：文献[6]研究了模型(1)的局部和全局稳定性.显然，文献[6]是假设染病者和隔离者是瞬时向易感群体中转移的，即文献[6]忽略了模型中染病者和隔离者的临时免疫期时滞因素.因此，受文献[6]启发，本文研究另外一种形式的时滞SIQS传染病模型：根据文献[6]的分析，当时，系统(2)具有唯一的地方病平衡点E*(S*，I*，Q*)，其中：p0=(α2α3-α1α4)α6，p1=α1α4+α1α6+α4α6-α2α3，p2=-(α1+α4+α6)，q0=α2α3β4+α3α6β1-α1α4β4-α1α6β3，q1=β4(α1+α4)+β3(α1+α6)-α3β1， q2=-(β3+β4)，s0=(α3β1-α1β3)β4，s1=β3β4，，，，，α5=δ，α6=-d，β1=r，β2=ε，β3=-r，β4=-ε.其中，p00=p0+q0+s0，p01=p1+q1+s1，p02=p2+q2.显然，如果条件 (H1)：p02>0，p02p01>p00 成立，则根据Routh-Hurwithz 稳定性判据可知，地方病平衡点E*(S*，I*，Q*)此时是局部渐近稳定的.当τ>0时，在方程(3)的左右两边同时乘以eλτ，方程(3)变为令λ=iω(ω>0) 为方程(4)的根，则有如果模型(2)的系数全部给定，那么我们很容易利用Matlab软件计算得到方程(5)的根.所以，为了得到本文的主要结果，我们给出下列假设:(H2) 方程(5) 至少存在一个正根.如果条件(H2)成立，则方程(5)存在一个正根ω0使得方程 (3)有一对纯虚根±iω0.对于ω0，有.将λ(τ) 代入方程(3)并在方程(3)左右两边求λ关于τ的导数，得到PR=2q2ω0sin(τ0ω0)+q1cos(τ0ω0)+s1cos(2τ0ω0)，PI=2q2ω0cos(τ0ω0)-q1sin(τ0ω0)-s1sin(2τ0ω0)，，).定理1 对于模型(2)，如果条件 (H1)和(H2)成立，那么当τ∈[0，τ0)时，地方病平衡点E*(S*，I*，Q*) 局部渐近稳定；当τ=τ0时系统(2)产生局部Hopf分支并在地方病平衡点E*(S*，I*，Q*)处产生一簇分支周期解.为了对本文的理论结果进行验证，我们给出一个仿真示例.选取文献[6]中的一组相同的参数值，即A=100，β=0.05，m=1.1，d=0.2，r=0.1，δ=0.7，ε=0.3.则可以得到模型(2)的如下示例：经过计算可以得到R0=25>1，进而得到系统(6)的唯一地方病平衡点E*(452.8，19.7，27.6)，并得到ω0=3.966 4和τ0=10.925 5.根据定理1可知，当τ∈[0，τ0)时，地方病平衡点E*(452.8，19.7，27.6)是渐近稳定的，如图1所示(选取τ=9.089 3).τ>τ0时，地方病平衡点E*(452.8，19.7，27.6)则失去稳定性，系统(6)产生Hopf分支并在E*(452.8，19.7，27.6)附近产生一簇分支周期解.如图2. 本文基于文献[6]中所提出的时滞SIQS传染病模型，进一步考虑了染病者和隔离者的临时免疫期，并以临时免疫期时滞为分支参数，研究了另外一种形式的时滞SIQS传染病模型的Hopf分支问题.研究表明，临时免疫期时滞对模型的稳定性具有重要的影响作用.当时滞的取值适当小时，模型将处于一种理想的渐近稳定状态.而一旦时滞的取值超越了临界点τ0，模型将失去稳定性，产生Hopf分支.此时，不利于对疾病的传播进行控制，因此，应该采取有效措施尽量控制、延迟Hopf分支的产生.【相关文献】[1] Song Mei，Ma Wanbiao.Asymptotic properties of a revised SIR epidemic model with density dependent birth rate and time delay[J].Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems Series A： Mathematical Analysis，2006，13(3)：199-208.[2] Wen Luo-sheng，Yang Xiao-fan.Stability and Hopf bifurcation analysis of an eco-epidemic model with a stage structure[J].Nonlinear Analysis，2011，74(4)： 1088-1106.[3] Hu Zhi-xing，Liu Sheng，Wang Hui.Stability and Hopf bifurcation analysis of an eco-epidemic model with a stage structure[J].Nonlinear Analysis： Real World Applications，2008，9(5)：2302-2312.[4] Yoshida Naoki，Hara Tadayuki.Global stability of a delayed SIR epidemic model with density dependent birth and death rates[J].Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，201 (2) ：339 -347.[5] 苟清明．一类具有阶段结构和标准发生率的SIS模型[J]．西南大学学报(自然科学版)，2007，29(9)： 6-13．[6] 杨俊仙，徐丽.一类具非线性发生率和时滞的SIQS传染病模型的全局稳定性[J].山东大学学报(理学版)，2014，49(5)：67-74.[7] 宫兆刚，杨柳，李浏兰.具有常数输入率的SIRS传染病模型的稳定性分析[J].应用数学，2013，26(3)：477-481.[8] 杨秀香，程纪远，薛春荣.一类具有隔离干预的非线性传染率的传染病模型的全局稳定性分析[J].生物数学学报，2012，27(4)： 577-588．[9] 周艳丽，张卫国.一类具有非单调传染率的SEIRS时滞传染病模型的全局稳定性[J].上海理工大学学报(自然科学版)，2014，36(2)：103-109.[10] Hassard B D，Kazarinoff N D，Wan Y H.Theory and applications of Hopf bifurcation[M].Cambridge：Cambridge University Press，1981.。
一类具有时滞的HIV-1型传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析
一类具有时滞的HIV-1型传染病模型的稳定性与Hopf分岔
分析
郭少军;寇春海;申明圆
【期刊名称】《东华大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2016(042)006
【摘要】利用特征值理论分析了无病平衡点和地方病平衡点的局部渐近稳定性.同时,由于时滞r的出现,Hopf分岔行为在系统中产生,应用中心流形定理和规范形理论,给出系统的分岔方向及分岔周期解稳定性计算公式.最后,通过数值模拟验证了理论分析结果.
【总页数】10页(P906-915)
【作者】郭少军;寇春海;申明圆
【作者单位】东华大学理学院,上海201620;东华大学理学院,上海201620;东华大学理学院,上海201620
【正文语种】中文
【中图分类】O175.6
【相关文献】
1.一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析 [J], 陈方方;洪灵
2.一类时滞SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析 [J], 赵仕杰;袁朝晖
3.一类带时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析 [J], 高彩琳
4.具有B-DA功能项的时滞传染病模型的稳定性与Hopf分岔的分析 [J], 邱成燕;黄东卫;郭永峰;刘雍;;;;
5.一类具有潜伏感染细胞的时滞HIV-1传染病模型 [J], 杨俊仙;谢宝英
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一类具有时滞的病毒模型的稳定性及Hopf分支
— Ｃ 则 （） ｔ ， １ 化为
ｆ（＝ ） ￡（ ｄ ａ￡ ）￡ ｘ ） （一 ） ｔ
ｄ （） ｙ ｔ 一 ｃ 是 一 （） （ ￡ ）＋ （ ￡一 ｒ （ ） ） ￡ （） ２
【 ” 一）） ） ｄ ） ｒ￡ ￡ ｚ 一 （ 一 （ ￡ （ ｔ
定 义 １ 若方程 （） ｆ ｔ ￡）ｘ（ — ｒ ） 其 中 ∈ Ｒ ， ２ ￡ 一 （， ） ， ｔ ） ， （ ｒ ０的零解 都是渐 近稳定 的． 则 其零解 称为全时滞稳定 的．
（） （ ， ）一 ｄ ｔａ ＋ ｂ ｉ△ Ｏ ｅｌ， 一
夏 学 文 教 授 推 荐 收 稿 日期 ：０ ６ １ ２ ０ 年 ０月 １ ６日
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１４ Ｏ
数 学理 论 与 应 用
第２ ７卷
．
７（ ）一 Ｖ（ ）， （ ）一 Ｅ户 ￡ （ ）＝ Ｅ ￡ ， 一 ， Ｃ￡ ￡ ￡ （ ）， ￡ （ ）口 ６— ７ Ｅ， ｖ ｃ— Ｃ ｐ， 一 ｂ 行一 ｂ ， Ｉ Ｅ 户， ａ ｋ— Ｅｏ ｐ ｒ Ａ ｉａ ｄ ｌ ｔ ｅ ａ ｓ ｉ ｎ ｅ ｔ ａ ｅ ｔ ｅ ｓ ｆ ｉｉｎ ｎ ｅ ｅ ｓ ｒ ｏ ｄ ｔｏ ｓｏ ｓ ｒ ｃ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ 。 ｖ ｒ ｌｍｏ ｅ ｗｉｈ ｄ ｌ ｙ ｎ ｉ ｖ ｓ ｉ ｔ ｄ， ｈ ｕ ｆｃｅ ｔ ａ ｄ ｎ ｃ ｓ ａ ｙ ｃ ｎ ｉ ｎ ｆ ｇ ｉ ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｅ ｅ ｄ ｌｙ ｓ ａ ｉ ｔ ｒ ｉ ｅ Ｔｈ ｏ ｄ ｔ ｎ ｒ ｒｅ ｎ ｒ ｃ ｉ ｌ ｌ ｅ ｒ ｉ ｒｔ ｒ ｎ ． ｕ ｔ ｅ ｍｏ ｅ ｈ ｏ ｌｔ ｅａ ｔ ｂ ｌ ｙ ａ ｅｇ ｖ ｎ． ｅｃ ｎ ｉ ｏ ｓａ ｅｂ ｉｆ ｄ ｐ ａ ｔｃ ｇ ｂ ａｃ ｃ ｉｅ ｉ ｓ Ｆ ｒ ｈ ｒ ｒ 。 ｉ ｉ ａ ａ ａ ｏ Ｔｈ ｅａ ｏ ｎ ｎ ｈ ｏ ｄｔｏ ｓ ｏ ｈ ｘ ｓ ｅ ｃ ｆＨｏ ｆｂ ｆ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｅ ｏ ｔ ｉ ｅ ． ｅｄ ｌ ｙ ｂ ｕ ｄ ａ ｄ ｔ ｅ ｃ ｎ ｉｉ ｎ ｆｔ ｅ ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｐ ｉ ｃ ｔｏ ｒ ｂ ａｎ ｄ ｕ
一类具时滞病毒模型的局部稳定性及Hopf分支
一类具时滞病毒模型的局部稳定性及Hopf分支本文对一类具时滞的病毒模型进行分析,得到该模型平衡点的稳定性情况。
对正平衡点,导出了存在Hopf分支的条件,并给出了时滞界限τ<sub>0</sub>,确定在适当参数条件下,τ<sub>0</sub>为Hopf分支值,接着计算了分支方向,讨论了分支周期解的稳定性等性质。
本文作如下安排:第一节介绍时滞微分方程的特征方程,及基本的定义,理论和用到的主要的理论工具,第二节分析了一类具有时滞的病毒模型,得到了该模型正平衡点的稳定条件,这些条件都是简明的代数判据,同时得到了时滞界限。
给出了存在Hopf分支的条件,运用Hassard的方法讨论了分支方向及分支周期解的稳定性等性质。
第三节给出一个例子,对所得公式进行了数值检验。
一类时滞SLA计算机病毒传播模型Hopf分支
Ｐｏ ＝ ｎ１ ０６ ７ ＋ ２ ０４ ０８ — ０３ ０４ ０７，
［ 关键词 ］ 计算机病毒 ； Ｓ Ｌ Ａ模型 ； 稳定性 ； 周期解 ［ 中图分类号 ］ ０ １ ７ ５ ． １ ２ ［ 文献标 识码 ］ Ａ ［ 文章编号 ］ １ ０ ０ ４— ７ ０ ７ ７ （ ２ ０ １ ７ ） ０ ２— ０ ０ ９ １ — ０ ４
０ 引 言
随着 网 络 通 信 技 术 的快 速 发 展 ， 计 算 机 病 毒 对 社 会 的 危 害 亦 日益 明 显 突 出 ． 基 于计
・
９１ ・
枣 庄 学 院学 报
２ ０ １ ７年 第 ２期
ｆ
＝ 一 。 ５ （ ） （ ￡ ） 一 ｓ （ ￡ ） （ ￡ ） ＋ （ 一 丁 ） 一 ６ ｓ （ ）
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（ ３）
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进 而 可 得 到 模 型 （ ２）在 正 平 衡 点 Ｅ （ Ｓ ，
张子振 ， 李佳倩 ， 江月 ， 谢伟 杰
（ 安徽财经大学 管理科学与工程学院 ， 安徽 蚌埠 ２ ３ ３ ０ ３ ０ ）
［ 摘
要］ 研究 了一类具有分级感染率 的时滞计算机病毒传播模型． 通过 分析模 型特征方程 根的分布 ， 以时滞为分支参
具有时滞的SIR网络病毒传播模型的稳定性
具有时滞的SIR网络病毒传播模型的稳定性郭成娟【摘要】提出了一个具有时滞的SIR计算机网络病毒传播模型.以杀毒软件清理网络病毒所花费的时间周期时滞为变量,通过讨论模型特征方程的根的分布,研究了模型的局部稳定性和Hopf分支的存在性,并利用数值模拟证明了分析的理论结果.【期刊名称】《滨州学院学报》【年(卷),期】2019(035)002【总页数】4页(P53-56)【关键词】SIR模型;稳定性;时滞;Hopf分支【作者】郭成娟【作者单位】安徽财经大学管理科学与工程学院,安徽蚌埠233030【正文语种】中文【中图分类】O175.12互联网技术的迅猛发展给人们带来便利的同时，也使得计算机网络病毒日益猖獗，造成了巨大的社会资源浪费和财富流失。
为了能够更加深入地了解计算机网络病毒的传播机制，Kephart等[1]首次把传染病学的数学模型应用到计算机网络病毒传播的研究中，此后越来越多的学者从不同的角度研究了新的计算机网络病毒传播模型[2-10]，文献[5]提出了如下的SIR计算机网络病毒传播模型：(1)模型(1)创新地考虑了各种状态的节点移除率的差异以及注重了对潜伏期时滞的考虑。
但该模型假设杀毒软件清理已感染节点中的病毒是瞬时的，显然不符合实际情况。
受模型(1)的启发，进一步考虑因杀毒软件清除网络病毒而花费的时间周期所导致的时滞，建立了SIR计算机网络病毒传播模型：(2)其中，S(t)，I(t)，R(t)分别指t时刻易中毒、已中毒以及具备免疫功能的节点数，p,n,β,μ1,μ2,μ3,k和γ均为正常数，其物理意义均与文献[5]一致。
τ指因软件杀毒而花费的时间周期而存在的时滞。
1 稳定性研究当时，模型(2)只有一个正平衡点E(S*,I*,R*),整理得模型(2)在正平衡点E(S*,I*,R*)处的特征方程为λ3+A2λ2+A1λ+A0+(B2λ2+B1λ+B0)e-λτ=0。
(3)其中A0=μ2μ3(μ1+k+βI*)-μ3β(μ1+k)S*,A1=μ1μ2+μ1μ3+μ2μ3+k(μ2+μ3)+β(μ2+μ3)I*-β(μ1+μ3+k)S*,A2=βI*+μ1+k-βS*+μ2+μ3,B0=μ3γ(βI*+μ1+k),B1=γ(βI*+μ1+μ3+k),B2=γ。
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析作者：孔建云刘茂省王弯弯来源：《河北科技大学学报》2017年第03期摘要：为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响，建立了一类具有饱和发生率和指数出生且帶有时滞的SIR模型，通过对模型特征方程的分析，判定了系统的地方病平衡点的稳定性，并找到了系统发生分支的临界值，通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性。
结果表明：当时滞小于临界值时，地方病平衡点是局部渐近稳定的；当时滞大于临界值时，地方病平衡点不稳定，并产生了Hopf分支。
研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用。
关键词：稳定性理论；SIR模型；时滞；饱和发生率；Hopf分支中图分类号：O175.13文献标志码：Adoi： 10.7535/hbgykj.2017yx03003Abstract：In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model， a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed. By considering the characteristic equation of the system， the stability of the endemic equilibrium is analyzed， and the critical value of the bifurcation is found. The theoretical analysis results are verified by numerical simulations. The result shows that when the delay is less than the critical value， the endemic equilibrium is locally asymptotically stable； When the delay is larger than the critical value， the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation. The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases， and guide the prevention and control of the spread of the disease.Keywords：stability theory； SIR model； delayed； saturated incidence rate； Hopf bifurcation由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。
一类具有时滞的SIR_传染病模型的稳定性与Hopf_分支
第37卷第1期2023年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.37No.1Feb.2023收稿日期:2022-10-01基金项目:湖南省自然科学基金项目(2020JJ4516);湖南省研究生科研创新项目(CX20220980)作者简介:李伟南(1998 ),女,硕士研究生,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:2634945248@㊂∗通信作者:廖茂新(1969 ),男,教授,博士,主要从事微分方程方面的研究㊂E-mail:841139745@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2023.01.009一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支李伟南,廖茂新∗,李冰冰(南华大学数理学院,湖南衡阳421001)摘㊀要:本文研究了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR 模型,考虑了疾病的潜伏期作为时滞因素,首先得到了模型的基本再生数R 0,然后运用时滞微分方程的稳定性和分支理论,分析了模型无病平衡点和地方病平衡点的稳定性,得到了在地方病平衡点Hopf 分支存在的条件,最后用MATLAB 数值模拟验证结果㊂关键词:Hopf 分支;时滞;平衡点;基本再生数中图分类号:O175文献标志码:A文章编号:1673-0062(2023)01-0059-05Stability and Hopf Bifurcation of SIR Infectious Disease Modelwith Time DelayLI Weinan ,LIAO Maoxin ∗,LI Bingbing(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :In this paper,a modified SIR model with nonlinear incidence and recovery rate is studied.The latent period of the disease is considered as the delay factor.First the basic regeneration number R 0of the model is obtained,then the stability of disease-free equilibrium and endemic equilibrium is analyzed by using the stability and bifurcationtheory of delay differential equation.The conditions of Hopf bifurcation at endemic equilib-rium point were obtained,and the results were verified by MATLAB numerical simulation.key words :Hopf bifurcation;delay;balance;basic regeneration number0㊀引㊀言近年来,国际上传染病动力学的研究极为迅速,大量的数学模型被用于分析各种各样的传染病问题㊂Kermack-McKendrick 模型是传染病模型中最经典㊁最基本的模型,后来学者对该模型进行了不同角度的研究,在研究过程中,研究者们发现人体受到感染后,感染初期并不会表现出任何的第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月症状,在一段时间之后,某些症状才会逐步表现出来[1-3]㊂研究初期人们并未考虑到时滞延迟因素,后来研究者们发现引入时滞(单或双时滞)因素,如疾病的潜伏周期,免疫周期以及恢复周期等得到的结果更加逼近实际[4-7]㊂对此方面的研究已经取得了很多成果,为更加有效的预防和治疗传染病提供了依据[8-9]㊂基于前人既有的研究成果,本文在文献[10]一类具有非线性发生率和恢复率的修正SIR 模型中,引入时滞得到以下模型:d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)b b +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t ),d R (t )d t =α0+(α1-α0)b b +I (t )()I (t )-μR (t )㊂ìîíïïïïïïïïïïïï(1)式中:S (t )㊁I (t )㊁R (t )分别表示在t 时刻易感染人群㊁已感染人群和恢复人群的数量;N (t )为t 时刻的人口总数;K 表示干预水平;α0和α1分别表示由于卫生保健资源的不足和亚人口感染造成的最小和最大人均恢复率;b 为医院床位数量对传染病传播的影响;A 为人口的出生率;β为接触率;μ为人口自然死亡率;γ为人群因病死亡率;τ为疾病的潜伏期㊂考虑到生物学意义,假设该系统中所有参数均为非负数㊂因系统(1)的前两个方程中没有出现R (t ),所以只需考虑前两个方程即可,其中R (t )=N (t )-S (t )-I (t )㊂d S (t )d t=A -βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-μS (t ),d I (t )d t =βI (t -τ)S (t -τ)k +I (t -τ)-(α0+(α1-α0)bb +I (t ))I (t )-(γ+μ)I (t )㊂ìîíïïïïïïï(2)1㊀模型的动力学分析1.1㊀平衡点的稳定性经计算可得系统(2)总存在一个无病平衡点E 0Aμ,0(),如果R 0>1,系统有唯一正平衡点(S ∗,I ∗),其中S ∗=(α0I ∗+α1b +bγ+bμ+γI ∗+μI ∗)(k +I ∗)β(b +I ∗),I∗=(A -μS ∗)k μS ∗+βS ∗-A㊂㊀㊀由基本再生数的生物意义,计算系统(2)可得基本再生数R 0=βAkμ(α1+γ+μ)㊂定理1㊀当R 0<1,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的;R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂证明:系统(2)在E 0Aμ,0()附近对应线性近似系统为d S (t )d t=-μS (t )-βA μk I (t -τ),d I (t )d t =-(γ+μ+α1)I (t )+βA μk I (t -τ)㊂ìîíïïïï(3)㊀㊀系统(3)对应的特征方程为㊀(λ+μ)(λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ)=0㊂(4)特征值λ1=-μ,λ2满足λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ=0㊂(5)㊀㊀当R 0<1时,假设λ=α+βi,则代入式(5)可得Re(λ)=βA μke -ατcos βτ-(γ+μ+α1)ɤβAμk-(γ+μ+α1)=(R 0-1)(γ+μ+α1)㊂㊀㊀由于R 0<1,则Re(λ)<0,特征方程(4)所有根具有负实部,所以当R 0<1时,无病平衡点E 0是局部渐进稳定的㊂当R 0>1时,f (λ)=λ+γ+μ+α1-βA μke -λτ,f (0)=γ+μ+α1-βA μk=(1-R 0)(γ+μ+α1)<0,lim λң+ɕf (λ)=+ɕ㊂则f (λ)=0必存在一个正实根,因此当R 0>1,无病平衡点E 0是不稳定的㊂引理1㊀当R 0>1,τ=0时,系统(2)满足文献[10]中定理3的条件,则正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂证明:系统(2)在正平衡点(S ∗,I ∗)附近对应线性近似系统为第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR 传染病模型的稳定性与Hopf 分支2023年2月d S (t )d t =-μS (t )-βI ∗k +I ∗S (t -τ)-kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ),d I (t )d t =(-(α0+γ+μ)-(α0-α1)ˑb 2(b +I ∗)2)I (t )+βI ∗k +I ∗S (t -τ)+kβS ∗(k +I ∗)2I (t -τ)㊂ìîíïïïïïïïïïïïïïï(6)令m 0=-μ,m 1=-βI ∗k +I ∗,m 2=-kβS∗(k +I ∗)2,m 3=-(α0+γ+μ)-(α0-α1)b 2(b +I ∗)2㊂则系统(6)可以改写为:d S (t )d t =m 0S (t )+m 1S (t -τ)+m 2I (t -τ),d I (t )d t=m 3I (t )-m 1S (t -τ)-m 2I (t -τ)㊂ìîíïïïï(7)㊀㊀系统(7)的特征方程为:λ2-(m 0+m 3)λ+m 0m 3+e -λτ((m 2-m 1)λ+㊀m 1m 3-m 0m 2)=0㊂(8)当τ=0时,方程(8)为λ2+(m 2-m 1-m 0-m 3)λ+m 0m 3+m 1m 3-㊀m 0m 2=0㊂根据文献[10]定理3有(H1)m 2-m 1-m 0-m 3>0,m 0m 3+m 1m 3-m 0m 2>0㊂根据Routh-Hurwitz 准则,当R 0>1,τ=0时,正平衡点(S ∗,I ∗)是局部渐进稳定的㊂引理2㊀当τ>0时,方程(8)有一对纯虚根㊂证明:当τ>0时,设λ=ωi(ω>0)是方程(8)的纯虚根㊂代入方程(8)进行分离实部和虚部可得ω2-m 0m 3=(m 2-m 1)ωsin ωτ+(m 1m 3-m 0m 2)cos ωτ,(m 0+m 3)ω=(m 2-m 1)ωcos ωτ-(m 1m 3-m 0m 2)sin ωτ㊂ìîíïïïïïï(9)㊀㊀将式(9)两边平方之后相加可得ω4+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)ω2+(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(10)令Z 2=ω,则式(10)变为Z 2+(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)Z +(m 20m 23-㊀m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)=0㊂(11)假设满足(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,(H3)m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3<0㊂则方程(11)存在唯一正实根Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2,其中Δ=(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)2-4(m 20m 23-m 20m 22-m 21m 23+2m 0m 1m 2m 3)㊂显然,方程(10)仅有一个正实根ω0=Z 0=-(m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2)+Δ2㊂把ω0代入(9)式可得τk =1ω0arccos(1(m 1m 3-m 0m 2)2+(m 2-m 1)2ω20ˑ((ω20-m 0m 3)(m 1m 3-m 0m 2)+ω20(m 0+m 3)(m 2-m 1))+2k πω0,k =(0,1,2,3 )㊂(12)㊀㊀引理3㊀d(Re(λ))d τλ=ω0i,τ=τk>0,其中τk为式(12)㊂证明:现只需证明d(Re(λ))d τ|λ=ω0i >0即可㊂将方程(8)对τ求导可得2λd λd τ-(m 0+m 3)d λd τ+e -λτ-λ-τd λd τ()((m 2-㊀m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)+e -λτ(m 2-m 1)d λd τ=0㊂计算再有d λd τ()-1=2λ-m 0-m 3λ[-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3]+(m 2-m 1)λ[(m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2]-τλ㊂则有signdRe λd τ()λ=ω0i{}=sign Red λd τ()-1λ=ω0i{}=sign Re2λ-m 0-m 3λ(-λ2+(m 0+m 3)λ-m 0m 3)λ=ω0i{}+第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月sign Re(m 2-m 1)λ((m 2-m 1)λ+m 1m 3-m 0m 2)λ=ω0i{}=sign Re 2ω0i -m 0-m 3-(m 0+m 3)ω2+[(ω20-m 0m 3))ω0i (){}+sign Re (m 2-m 1)(-(m 2-m 1)ω20+(m 1m 3-m 0m 2)ω0i)(){}=sign 2ω20+m 20+m 23(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2-(m 2-m 1)2(m 2-m 1)2ω20+(m 1m 3-m 0m 2)2{}=sign 2ω20+m 20+m 23-(m 2-m 1)2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}=sign 2ω20+m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m2(m 0+m 3)2ω20+(ω20-m 0m 3)2{}㊂㊀㊀根据(H2)m 20-m 21-m 22+m 23+2m 1m 2>0,即证明横截性条件满足㊂根据上述引理2㊁引理3㊁引理4,结合Hopf 分支定理,可以得到如下结论:定理2㊀当τ>0且R 0>1时,若条件(H2)㊁(H3)满足,则当τɪ[0,τ0),τ0=min(τk )时,系统(2)的平衡点是局部渐进稳定的;当τ>τ0时,系统(2)的平衡点是不稳定的;在τ=τ0时,系统(2)在平衡点处出现Hopf 分支㊂2㊀数值模拟当系数取A =1,β=0.5,k =1,μ=0.1,r =0.2,α0=0.2,α1=0.3,b =0.05时,系统(2)为d S (t )d t=1-0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-0.1S (t ),d I (t )d t =0.5I (t -τ)S (t -τ)1+I (t -τ)-(0.2+0.0050.05+I (t ))I (t )-0.3I (t )㊂ìîíïïïïïïï㊀㊀此时,R 0=8.3>1,τ0=8.0,系统(2)存在唯一的正平衡点,且正平衡点是局部渐进稳定的,选择τ=7<τ0(见图1);在同样的参数条件下,选择τ=9>τ0,此时正平衡点不再稳定(见图2)㊂图1㊀系统(2)的平衡点渐进稳定(τ=7<τ0)第37卷第1期李伟南等:一类具有时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分支2023年2月图2㊀系统(2)的平衡点失去稳定性,并产生Hopf分支(τ=9>τ0)Fig.2㊀The equilibrium point of system(2)loses stability and produces Hopf bifurcation(τ=9>τ0)3㊀结㊀论本文讨论了一类具有非线性发生率和恢复率的修正的SIR模型,在引入潜伏期作为时滞参数后,对地方病平衡点和正平衡点进行稳定性分析,得到了系统(2)局部渐进稳定和Hopf分支产生的充分条件,并利用数值模拟验证了理论分析的正确性㊂参考文献:[1]RUAN S G,WANG W D.Dynamical behavior of an epi-demic model with a nonlinear incidence rate[J].Journal of differential equations,2003,188(1):135-163. [2]XIAO D,RUAN S G.Global analysis of an epidemic model with nonmonotone incidence rate[J].Mathematical biosciences,2007,208(2):419-429.[3]BRAUER F.The Kermack-McKendrick epidemic model revisited[J].Mathematical biosciences,2005,198(2): 119-131.[4]TCHUENCHE J M,NWAGWO A,LEVINS R.Global be-haviour of an SIR epidemic model with time delay[J].Mathematical methods in the applied sciences,2007,30 (6):733-749.[5]WANG W D.Global behavior of an SEIRS epidemic model with time delays[J].Applied mathematics letters, 2002,15(4):423-428.[6]原三领,韩丽涛,马知恩.一类潜伏期和染病期均传染的流行病模型[J].生物数学学报,2001,16(4): 392-398.[7]许立滨,李冬梅,杨美英.一类具有治愈期和免疫失效期的SIRS模型[J].哈尔滨理工大学学报,2014,19 (6):113-117.[8]谢英超,程燕,贺天宇.一类具有非线性发生率的时滞传染病模型的全局稳定性[J].应用数学和力学2015,36(10):1107-1116.[9]LIU L J.A delayed SIR model with general nonlinear inci-dence rate[J].Advances in difference equations,2015, 2015(1):329.[10]ALSHAMMARIl F S,KHAN M A.Dynamic behaviors ofa modified SIR model with nonlinear incidence and re-covery rates[J].Alexandria engineering journal,2021, 60(3):2997-3005.(下转第100页)第37卷第1期南华大学学报(自然科学版)2023年2月梯状结构连接,形成二维网状结构㊂荧光测试表明,配合物1对2,4,6-三硝基苯酚具有高灵敏性和高选择性识别,淬灭常数为6.5ˑ104L/mol,配合物1对检测废水中的TNP具有潜在的应用价值㊂参考文献:[1]ZHANG J F,LIU Y H,FENG J Y,et al.Decanuclear cluster-based metal-organic framework with a(3,11)-conneced topology and highly sensitive2,4,6-trinitro-phenol detection[J].Inorganic chemistry,2019,58(15): 9749-9755.[2]CHAKRABORTY D,BEJ S,SAHOO S,et al.Novel nan-oporous Ti-phosphonate metal-organic framework for se-lective sensing of2,4,6-trinitrophenol and a promising electrode in an energy storage devive[J].ACS suntainable chemistry&engimeering,2021,9(42):14244-14237. 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一类具有时滞和非线性发生率的SIRS传染病模型稳定性与Hopf分岔分析
（ ｍ＋ ／ ｚ ｏ ） ， ｎ＝
１ 模 型 的 建 立
本章所建立 的 Ｓ Ｉ Ｒ Ｓ 时滞传染病模型 ：
ｄ Ｘ
＝
（
＋ ． ｓ （ ｆ ）一（ ｔ ｏ＋ ｔ Ｚ ｏ ） ）一
一
） 倒 ）
传播仍存在一定 的差距 ， 特别是对某些传染病或接 触性疾病 ， 在不 同的年龄阶段 ， 其传播概率有很大 不 同， 某些类型的疾病在成人中的传播 概率 很大 ， 如淋病 ， Ａ Ｉ Ｄ Ｓ 等， 而有些疾病 ， 如麻疹 ， 水痘等则在 儿童中的传播概 率较大． 因此 ， 为了更 清楚 的描述
疾病 的传播 机理 ， 就需 在 相应 的传 染病 模 型 中考 虑 阶段 结 构 ． 于是 ， 在刻 画传 染病 模 型时 ， 具有 阶段 结 构 的传 染 病 模 型 能更 好 地 反 映 生 物个 体 的 生
ｄ ｔ １
：
－
ｄ Ｓ
口
＝ｃ ｏ Ｘ（ ｃ ）＿
Ｉ － ｏ ｄ（ 一 ）
十通 讯 作 者 Ｅ — ｍ ａ ｉ ｌ ：ｈ ｏ ｎ ｇ ｌ ｉ ｎ ｇ ＠ ｍａ ｉ ｌ ． ｘ ｊ ｔ ｕ ． ｅ ｄ ｕ ． ｃ ｎ
８ ０
动
力
学
与
控
制
学
报
２ ０ １ ４年第 １ ２卷
重新 获得 易感 染 能力 的概率 ， 丁为 疾 病 的 潜 伏 别 ．
“ ＝・＋
，ｓ ＝
１ ６ ７ ２ － ６ ５ ５ ３ ／ ２ ０ １ ４ ／ １ ２ （ １ ） ／ ０ ７ ９ ． ７
动 力 学 与 控 制 学 报
Ｊ ０ＵＲＮ ＡＬ ＯＦ ＤＹＮＡＭＩ Ｃ Ｓ ＡＮＤ ＣＯ ＮＴ ＲＯＬ
一类时滞网络病毒传播模型的Hopf分支
ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｓ ， ａ ｄ ｅ ｌ ａ ｙ ｅ ｄ ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｖ ｉ ｕｓ ｒ ｐ ｏ ｒ ｐ ａ ｇ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｔ ｈ ｅ Ｓ Ｉ Ｑ Ｒ ｃ ｏ ｍ ｐ ｕ ｔ ｅ ｒ ｖ ｉ ｕｓ ｒ ｐ ｒ ｏ ｐ ａ ｇ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｍ ｏ ｄ ｅ ｌ ｉ ｓ ｐ ｒ ｏ ｐ ｏ ｓ ｅ ｄ ．Ｓ ｕ ｆ ｉ －
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ：Ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｄ ｅ ｉ ｒ ｎ ｇ ｔ ｈ ａ ｔ ａ ｎ ｔ ｉ － ｖ ｉ ｒ ｕ ｓ ｓ ｏ ｆ ｔ ｗａ ｒ ｅ ｎ ｅ ｅ ｄ ｓ ａ ｐ ｅ ｉ ｒ ｏ ｄ ｔ ｏ ｃ ｌ ｅ ａ ｎ ｖ ｉ ｒ ｕ ｓ ｅ ｓ ｎｄ ａ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｉ ｓ ａ ｔ ｅ ｍｐ ｏ ｒ ａ ｒ ｙ ｉ ｍｍｕ ｎ ｉ ｔ ｙ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈ ｅ ｒ ｅ ｃ ｏ ｖ ｅ ｒ ｅ ｄ
宋 磊 ， 王春雷
（ １ ． 武汉市妇 女儿童 医疗保健 中心信 息科 ， 湖北 武汉 ４ ３ ０ ０ １ ４ ；２ ． 湖北 医药学院网络 中心 。 湖北 十堰 ４ ４ ２ ０ ０ ０ ） 摘要 ： 考虑到 杀毒软件 查杀病毒需要 一定的 时间周期 ， 以及免疫主机对 网络病毒 的Ｉ 临时免 疫力 ， 本文基 于 Ｓ Ｉ Ｑ Ｒ 网络病毒 传播模 型提 出一类 时滞 Ｓ Ｉ Ｑ Ｒ Ｓ网络病毒传播模 型。以杀毒软件查 杀病 毒 需要 一定的 时间周期 时滞为 分支参数 ， 通过 分 析相应特征 方程根 的分布 ， 得到模 型有病毒平衡点局部 渐近稳 定和 产生 Ｈ ｏ ｐ ｆ 分 支的 充分条件 。给 出一 个仿真示例 ， 对
（ １ ．Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｄ ｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｍ ｅ ｎ ｔ ｏ ｆ Ｗｕ ｈ ａ ｎ Ｗｏ ｍ ｅ ｎ ａ ｎ ｄ Ｃ ｈ ｉ ｌ ｄ ｒ ｅ ｎ ’ Ｓ Ｈｅ ａ ｌ ｔ ｈ Ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ， Ｗｕ ｈ ａ ｎ ４ ３ ０ ０ １ ４， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ２ ． Ｎ ｅ ｔ ｗ ｏ ｒ ｋ Ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ｏ ｆ Ｈ ｕ ｂ ｅ ｉ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｍｅ ｄ ｉ ｃ ｉ ｎ ｅ ， Ｓ ｈ ｉ ｙ ａ ｎ ４ ４ ２ ０ ０ ０ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
一类带时滞的SIR传染病模型的稳定性与Hopf分岔分析
与无 病平 衡 态 中稳定 性讨 论方 法类 似 ， 可得 地方 病平 衡态 Ｅ 附 近的线 性 近似 系统 为 ：
ｆ 尘 一 ｓ ￡一 （一 ） 一 （ ￡ ）
Ｉ ｄ
｛ 一 一 ）￡ ） （ ｒ （ （ ｓ一 ＋ ｔ） （ ） － 【 一（ ） ｖ Ｓ 一 ∽
Ｖｏ．０ Ｎ ． １１ ｏ ２ Ｊ ｎ ２ １ ｕ． ０ １
一
类带时滞 的 ＳＲ传染病模 型的 Ｉ 稳定性 与 Ｈｏ ｆ ｐ 分岔分析
高彩琳
（ 津大学 理学院， 津 ３０７） 天 天 ０ ０ ２
［ 要 ］ 研 究 了 一 类 带 有 时 滞 且 具 有 预 防 接 种 免 疫 力 的 Ｓ Ｒ 传 染 病 模 型 ． 助 特 征 值 理 论 分 摘 Ｉ 借
』 ＋ 十 ｓ 一０ ＿ ｎ ｆ Ａ ｉ （ ｃ ，
（） ６
ｌ — Ｓ 一ｕ — Ｏ／ Ｉ Ｃａ一０ 一 Ｅ
第 ２期
高 彩 琳 ： 类 带 时滞 的 ＳＲ传 染 病 模 型 的 稳 定 性 与 Ｈｏ ｆ 岔 分 析 一 Ｉ ｐ分
１ ３
进一步 得 ０Ｄ ≠Ｔ 整理 ９ “ ２
定理 ２ 假设 。 １ 立 ， ＞ 成 则存在 ｒ （ 一０ １ ２ ， 一 ｎ ， ， …） 无病 平衡 点 Ｅ 在 的两 侧 稳定 性 发生 了变化 ， ０
即产 生 了 Ｈｏ ｆ 岔 ， ｒ ｐ分 且 一 （ ＝０ １ ２ 为 系统 的分 岔值． ｎ＝ ， ， …） ： 证 明 由于在 特征 方程 （ ） ， 一 ｚ － ／ ４ 中 Ｙ ＝ ， 一－ ２ 一 ， 影 响 系 统稳 定 性 及 分 岔 的讨 论 ， 可 将 其 简 化 不 故
具有时滞生态-流行病模型的稳定性与Hopf分岔
Ｊ ｎ ２ １ ｕ ．００
具有时滞生 态 一流行病模型 的稳 定性 与 Ｈｏ ｛ ｐ 分岔
赵 仕 杰 ， 侠 ， 鼎 一 ，袁朝 晖 常 李
（ 林 电 子科 技 大 学 数 学 与 计 算 科 学 学 院 ， 西 桂 林 桂 广 ５１０） ４ ０ ４
摘
要： 具有时滞及非线性发生率 的生态一流行病模 型， 主要通过分 析系统在平衡 点的线性化方 程， 出了正平衡 给
第３ ｏ卷
第３ 期
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｕ ｎａ ｆ Ｇｕ ｌｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉｙ ｏ ｅ ｔ ｏ ｉ ｃ ｎｏ ｏ ｙ ｏ ｒ ｌｏ ｉ ｉ ｅ ｓ ｔ ｆ Ｅｌｃ ｒ ｎ ｃ Ｔｅ ｈ ｌ ｇ ｉ
Ｖｏ ． ０． ． １ ３ Ｎｏ ３
２ １ 年 ６月 ００
ｏ ｅ ｔ ｒｍ ａ ｉｏ ｄ ａ ｄ ｎ ｒ ｌ ｏ ｍ ，ｗｅ ｇ ｔｔ ｅ ｆ ｒ ｌ ｓｆ ｒｄ ｔ ｒ ｎ ｎ ｈ ｉｅ ｔ ｎ ｏ ｐ ｉ ｒ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｔ ｅ ｎ ｃ ｎ ｅ ｎ ｆ ｌ ｎ ｏ ｍａ ｒ ｆ ｅ ｈ ｏ ｍｕ ａ ｏ ｅ ｅ ｍｉ ｉ ｇ ｔ ｅ ｄ ｒ ｃ ｉ ｆ ｏ Ｈｏ ｆｂ ｆ ｃ ｔ ｎ ｏ年 来 ， 着 传 染病 动 力 学 和 种 群 动 力 学 的 随 深 入 研 究 ， 系列 关于 传 染病 的 数学 模 型 ［ ］ 继 建 一 １相 立 ， 过研 究这 些 模 型 ， 们对 传 染病 的 传播 规 律 有 通 人 了更 深刻 的认 识 。在建 立传染 病 动力 学模 型过 程 中 ，
Ｚ ａ ｈｊ ，Ｃｈ ｎ ａ ｈ ｏ Ｓ ｉｅ ｉ ａ ｇＸｉ ，Ｌｉ ｎ ｙ ，Ｙｕ ｎ Ｚ ａ ｈ ｉ ｇｉ Ｄｉ ａ ｈ ｏ ｕ
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析
一类带有时滞的SIR模型的稳定性及分支分析孔建云;刘茂省;王弯弯【摘要】In order to analyze the effects of saturation incidence and time delay on the dynamics of epidemic model,a delayed SIR model with a saturated incidence rate and exponential birth is constructed.By considering the characteristic equation of the system,the stability of the endemic equilibrium is analyzed,and the critical value of the bifurcation is found.The theoretical analysis results are verified by numerical simulations.The result shows that when the delay is less than the critical value,the endemic equilibrium is locally asymptotically stable;When the delay is larger than the critical value,the endemic equilibrium is unstable and there exists a Hopf bifurcation.The results of this study can be used to explain the periodic outbreaks of infectious diseases,and guide the prevention and control of the spread of the disease.%为了研究饱和发生率和时滞对传染病模型动力学性态的影响,建立了一类具有饱和发生率和指数出生且带有时滞的SIR模型,通过对模型特征方程的分析,判定了系统的地方病平衡点的稳定性,并找到了系统发生分支的临界值,通过数值模拟验证了理论分析结果的正确性.结果表明:当时滞小于临界值时,地方病平衡点是局部渐近稳定的;当时滞大于临界值时,地方病平衡点不稳定,并产生了Hopf分支.研究结果对解释传染病的周期性暴发、预防和控制传染病的传播具有借鉴作用.【期刊名称】《河北工业科技》【年(卷),期】2017(034)003【总页数】5页(P167-171)【关键词】稳定性理论;SIR模型;时滞;饱和发生率;Hopf分支【作者】孔建云;刘茂省;王弯弯【作者单位】中北大学理学院,山西太原 030051;中北大学理学院,山西太原030051;中北大学理学院,山西太原 030051【正文语种】中文【中图分类】O175.13由于气候的变化和环境的不断遭到破坏，一些新的突发性传染病威胁着人类的生命，影响着人们的日常生活。
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，
则 系统 （ ２ ） 存 在 唯一 有 病 毒平 衡 点 Ｄ （ ｓ ， ｊ ，
Ｑ ， Ｒ ） ， 其 中
传播模型 ， 研究计算机网络病毒的传播行为． 文献［ １ ］ 研究了一类改进的 Ｓ Ｉ Ｒ网络病毒传播模型的稳定性 ， 并给 出产 生分 岔 的充分 条件 ． 文献 ［ ２ ］ 和文献 Ｅ ３ ３ 分别 研 究 了一 类 具 有 直接 免 疫 的 Ｓ Ｉ Ｒ和 Ｓ Ｉ ＲＳ网络 病 毒 传
播模型． 考虑到网络病毒的潜伏期 ， 文献［ ４ ］ 则在 Ｓ Ｉ Ｒ网络病毒传播模型的基础上 ， 提出了一类 Ｓ Ｅ Ｉ Ｒ网络病 毒传播模型 ， 并研究 了模型的有病毒平衡点的稳定性． 但是， 以上网络病毒传播模型并未考虑到时滞因素． 考 虑到网络病毒的潜伏期时滞 ， 文献Ｅ ５ ］ 提出并研究了一下具有隔离策略的时滞 Ｓ Ｉ Ｑ Ｒ网络病毒传播模型 ：
滞． 文献［ ５ ３ 研究了系统（ １ ） 的全局吸引性和持续性 ， 得到了一些有益的结果． 显然 ， 系统（ １ ） 是假设处于恢 复 状 态 的节 点对 网络病 毒具 有永 久 的免疫 力 ， 这与 现实 中的 网络世 界 是 不相 符 的． 基 于此 ， 并 考 虑 到恢 复 状 态 的节点对网络病毒的临时免疫期时滞 ， 本文提出下列具有临时免疫期时滞 的 Ｓ Ｉ Ｑ Ｒ Ｓ网络病毒传播模型 ：
第３ ７ 卷 第 ５期
Ｖｏ １ ． ３ ７ Ｎｏ ． ５
文章编号 ： １ ６ ７ ３ — ２ １ ０ ３ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ５ — ０ ０ ３ １ — ０ ５
菏 泽 学 院
学 报
２ ０ １ ５年 ｌ ０月
Ｏｃ ｔ ． ２ ０ １ ５
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｈｅ ｚ ｅ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
， 。
系统 （ ２ ）在 有病 毒平衡 点 Ｄ 处 的线性 化 系统为
ｓ∽ ｓ∽ ２ １ （ ） ， （ ３ ）
。
，
∽ ，
一口 ２ Ｉ （ ￡ ） ＋口 ４ ３ Ｑ（ ￡ ） ＋口 Ｒ（ ￡ ） ＋６ Ｒ（ 一ｒ ） ，
产 生 Ｈｏ ｐ ｛ 分 支 的充分 条件． 并 给 出一个仿 真 示例 ， 对理论 分 析结果 的正确 性进 行 了验 证． 关 键词 ： 时滞 ； Ｈｏ ｐ ｛ 分支 ； Ｓ Ｉ ＱＲＳ模 型 ； 稳定 性
中图分 类号 ： Ｏ１ ７ ５ ． １ ２ 文 献标 识码 ： Ａ
引 言
近年来 ， 基于网络病毒的传播与传染疾病 的传播相似性 ， 有不少研究学者提出了不 同的计算机网络病毒
其 中， Ｓ （ ￡ ） ， Ｊ （ ） ， Ｑ（ ） 和 Ｒ（ ￡ ） 分别 表示 易感 状 态 、 感染 状 态 、 隔 离状 态 和恢 复状态 节点 在 时刻 ｔ 的数 量 ．
６ ， Ｐ ， ， ｄ ， ａ ， ａ ｚ ， ） ， ， 和￡ 为系统（ １ ） 的参数 ， 均具有和文献［ ５ ］ 相同的物理含义．ｒ 为网络病毒的潜伏期时
一
一
一
± ± ±
８
Ｉ 一 （ １ －ｐ ） ｂ （ ｄ ＋， Ｐ ５ ＋ｐ ｂ ｌ ｆ ｒ ｌ －ｄ （ ｄ ＋呀 ） （ ＋ ＋ａ ｌ ＋ｙ ）
Ｑ 一
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十 竹
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＋ （ ＋ａ ） ＋ （ ＋ ＋口 ＋ｙ ） ．
一
类 时滞 Ｓ Ｉ ＱＲＳ网络 病 毒 传 播 模 型 的 稳 定 性 和 Ｈｏ ｐ ｛ 分 支
尹 发 ， 张 子振 ， 王 丽 叶
（ 安徽财经大学管理科学与工程学 院， 安徽 蚌埠 ， ２ ３ ３ ０ ３ ０ ）
摘 要 ： 考虑到 网络 中的计算机对网络病毒的临时免疫期， 基于 Ｓ Ｉ Ｑ Ｒ 网络病毒传播模 型提 出了具有ｌ 临 时免疫 期 时滞 的 Ｓ Ｉ ＱＲ Ｓ网络病毒传 播模 型． 利用 特征 方 程方 法 ， 得 到 了模 型 有 病 毒平 衡 点 局部 渐 近 稳定 和
＿（ １ 一ｐ ） ｂ —ｐ ｓ （ ｈ ） Ｉ （
ｄ Ｉ （ ｔ ）
－ —
） 一ｄ Ｓ （
ｐ ｓ （ ￡ 一ｒ ） Ｉ （ 一ｒ ） 一（ ＋ ＋ａ １ ＋） ， ） （ ） ，
∽ ＋ ） Ｑ（
ｄ Ｒ （ ｔ ）
— 一
＝ ＝ ＝ ｙ ｊ （ ） ＋户 ６ ＋ｅ Ｑ（ ） 一ｄ Ｒ （ ） ，
＊
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ８ — ２ ８
基金项 目： 安徽财 经大学 ２ ０ １ ５年 度大 学生科 研 创新 基金 项 目（ Ｘ Ｓ ＫＹ１ ５ ２ ９ ） ， 安徽 省高 等学 校 省级 自然 科 学研 究项 目
（ Ｋ］ ２ ｏ １ ４ Ａ０ ０ ５ ） ．
作者简介 ： 尹发（ １ ９ ９ ５ 一） ， 男， 安 庆宿松人 ， 本科 ， 研究方 向 ： 网络安全 ；
张子振（ １ ９ ８ ２ 一） ， 男， 山东聊城人 ， 博士 ， 研究方 向： 网络安全．
３１
２ ０ １ ５ 生
菏 泽
学 院
学 报
第５ 期
ｄ Ｓ（ ｔ ） ＝ ＝ ＝ （ １ 一 ｐ） ｂ 一 （ ￡ ） 工 （ ￡ 一 ｄ Ｓ（ ） ＋ （ 一ｒ ） ，
ｄ Ｉ （ ｔ ）
一
（ ￡ ） Ｊ （ ） 一（ ＋ ＋ 口 ｌ ＋ｙ ） Ｊ （ ￡ ） ，
ｄ Ｑ（ ｔ ）
＋㈨
㈤ ＋ ＋￡
，
（ ２ ）
） －ｄ Ｒ（
（ ｈ
） ．
其中， 叩 为恢复状态节点向易感节点的转化率 ， ｒ 为恢复状态节点的Ｉ 临时免疫期时滞．
１ 有病毒 平衡点 的稳定性和 Ｈｏ ｐ ｆ分支的存在性