高数复习题2j Microsoft Word 文档
高数复习题二
高数复习题二高数复习题二高等数学作为大学课程中的一门重要学科，对于理工科学生来说是一门必修课程。
而在学习高等数学的过程中，复习题是非常重要的一部分。
通过做复习题，可以巩固知识点，提高解题能力。
本文将介绍一些高数复习题，帮助学生更好地备考。
一、导数与微分1. 求函数f(x) = 3x^2 - 4x + 1的导数。
解析：对于多项式函数，求导的方法是将指数降一，并将系数乘以原指数。
根据这个规则，我们可以得出f'(x) = 6x - 4。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x + 1，求f'(1)的值。
解析：首先求出函数的导数f'(x) = 3x^2 - 4x + 3。
然后将x的值代入导数中，即可得到f'(1) = 3(1)^2 - 4(1) + 3 = 2。
3. 求函数f(x) = sin(x) + cos(x)的导数。
解析：根据导数的求法，我们知道sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、积分1. 求函数f(x) = 2x的不定积分。
解析：对于幂函数，不定积分的方法是将指数加一，并将系数除以新的指数。
根据这个规则，我们可以得出∫f(x)dx = x^2 + C，其中C为常数。
2. 求函数f(x) = e^x的不定积分。
解析：指数函数e^x的不定积分仍然是e^x。
因此，∫f(x)dx = e^x + C，其中C为常数。
3. 求函数f(x) = 1/x的不定积分。
解析：对于函数1/x，我们可以使用ln|x|作为其不定积分。
因此，∫f(x)dx =ln|x| + C，其中C为常数。
三、微分方程1. 求微分方程dy/dx = 2x的通解。
解析：对于一阶线性微分方程dy/dx = f(x)，我们可以通过分离变量的方法解得y = ∫f(x)dx + C，其中C为常数。
(完整word版)大一工科类高数期末考试复习题
第二章末考复习题一、选择题1.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=1312)(3x xx x x f 在x =1处的导数为（ ） A.1 B 。
2 C 。
3 D.不存在2．设f （x )=arccos （x 2），则f ＇（x )=( ） A ．211x--B ．212xx --C ．411x--D ．412xx --3。
设函数f （x)可导,又y=f(—x ），则y '=（ ） A 。
)x (f ' B 。
)x (f -' C 。
-)x (f ' D 。
-)x (f -' 4。
设f (x ）=2x ，则f ″（x )=（ ） A.2x ·ln 22 B.2x ·ln4 C.2x ·2 D 。
2x ·45．设f(x)=ln4,则0x lim→∆=∆-∆+x)x (f )x x (f ( ）A ．4B ．41C ．0D ．∞6.设y=x 4+ln3,则y '=（ )A.4x 3B.31x 43+C.x 4lnx D 。
x 4lnx+317．设⎪⎩⎪⎨⎧==-,2,3t t e y e x 则=dx dy （ ）A ．t e 232B ．t e 232-C ．y x -D ．—xy 8．设y=ln(2x+3)，则y '=（ ) A ．)3x 2(21+ B ．3x 2+ C ．3x 21+ D ．3x 22+9．设y=arcsinx 2,则dy=（ ) A ．dx x1x 24- B ．4x1x 2- C ．dx x1x 24+ D ．4x1x 2+10．f （x)在点x 0的左导数)x (f 0-'及右导数)x (f 0+'都存在且相等是f(x ）在点x 0可导的( ） A ．充分条件 B ．必要条件 C ．无关条件 D ．充分必要条件11．设⎩⎨⎧==tsin y t cos x ,则4t dxdyπ==（ ）A ．-1B ．22-C ．22 D ．1 12、.若函数f （x)在点x 0处可导且0)x (f 0≠'，则曲线y=f （x)在点（x 0， f （x 0））处的法线的斜率等于（ ） A.)x (f 0'- B 。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数第二学期总复习题及答案
高数第二学期复习题及答案1. 求球面222x y z R ++=与x z a +=的交线在x o y 面上的投影曲线的方程.()2222x y a x R z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩2. 判断方程22220,24x y z z x y +-=++=所表示的几何图形.（旋转抛物面，圆锥面） 3. 判断平面:230x y z ∏+-+=与直线112:311x y z l -+-==-的位置关系.（线在面内）4. 求过点()1,1,0且与125:214x y z l ---==垂直相交的直线方程.1121x y z --⎛⎫==⎪-⎝⎭5. 求通过点(1,2,1)-且通过23:212x t L y t z t =+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩的平面方程.()2450x y z --+=6. 求过直线0230x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩且平行于直线23x y z==的平面方程.()726180x y z -+=7. 判断函数1sin ,0(,)0,0x y y f x y y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在(0,0)点与(1,0)点的连续性.（在(0,0)点连续，在(1,0)点不连续）8. 求22(,)(0,0)1lim ()sinx y x y xy→+.()09. 求()()()2222(,)(0,0)221cos limexyx y x y xy+→-++.()010. 求(,)(0,0)lim24x y xy xy →-+.()4-11. 若00(,)0x y f x∂=∂，00(,)0x y f y∂=∂，判断(,)f x y 在点00(,)x y 的连续性和可微性.（不一定连续也不一定可微）12. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，且00(,)0x f x y '=，00(,)0y f x y '=，判断函数(,)f x y 在00(,)x y 处有无极值，如果有，判断是极大值还是极小值.（可能有极值，也可能无极值）13. 设222(,)z x yf x y xy =-，其中f 具有连续偏导数，求d z .()()()3222223121222d 2d xyf x y f x y f x xf x y f x y f y ''''+++-+14. 设(),z z x y =是由e2e 2xyzz -+-=所确定，求d z .()e d d 2exyzy x x y -⎛⎫+ ⎪-⎝⎭15. 设()222,u f x y z xyz =++，其中f 具有二阶连续的偏导数，求2u x y∂∂∂.()22221112222422u xyf x z y z f xyz f zf x y ⎛⎫∂'''''''=++++ ⎪∂∂⎝⎭16. 求曲面222z x y =+在(0,1,1)-处指向下侧的单位法向量.()()0,2,1-- 17. 求曲面arctany z x=在1,1,4π⎛⎫⎪⎝⎭处指向上侧的法向量.()()1,1,2-18. 求函数()22ln u x y z=++在点()1,0,1A 处的梯度.11,0,22⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19. 求曲面2222321x y z ++=平行于平面460x y z ++=的切平面方程.()4621x y z ++=±20. 求曲线2222223472x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在点()2,1,6-处的切线和法平面方程.切线：21627284x y z +--==法平面：2728420x y z +++=21. 求曲线2322y xz x x⎧=⎪⎨=+⎪⎩在点()1,2,3处的切线和法平面方程.切线：123145x y z ---==法平面：45240x y z ++-=22. 在螺旋线()2cos ,sin ,02x y z θθθθπ===≤≤上求一点，使该点处螺旋线的切线平行于平面24x z +=.（2(2,,)24π或23(2,,)24π-）23. 交换二重积分21101d (,)d x xI x f x y y --=⎰⎰的积分次序. 21101d (,)d y yy f x y x --⎛⎫⎪⎝⎭⎰⎰ 24. 交换二重积分e ln 1d (,)d x I x f x y y =⎰⎰的积分次序.()1e 0ed (,)d yy f x y x ⎰⎰25. 把220d (,)d a ax x xI x f x y y -=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 24d cos ,sin d a f πθπθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 26. 把22222d ()d y y I y f x y x -=+⎰⎰化为极坐标形式. ()2sin 2200d d f πθθρρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 27. 把21110d (,)d y yI y f x y x +-=⎰⎰化为极坐标形式.()2cos 400d cos ,sin d f πθθρθρθρρ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰ 28. 求22d d Dx y x y +⎰⎰，其中区域D 为由222x y y +=及0x =所围在第一象限内的区域.169⎛⎫⎪⎝⎭29. 求()22ln 1d d Dx yx y ++⎰⎰，其中区域D为由221,0,0x y x y +≤≥≥所围成的区域.()ln 414π⎛⎫-⎪⎝⎭30. 求arctand d Dy x y x⎰⎰，其中区域D 为22224,1,,0x y x y y x y +≤+≥≤≥所围成的区域.2364π⎛⎫⎪⎝⎭31. 求224d d Dx y x y --⎰⎰，其中区域D 为以222x y x +=为边界的上半圆域.41639π⎛⎫-⎪⎝⎭32. 求2d d Dx y x y ⎰⎰，其中区域D 为1,,2xy y x x ===所围成的区域.118⎛⎫⎪⎝⎭33. 求22d d Dxx y y ⎰⎰，其中区域D 为2,x y x ==及双曲线1xy =所围成的区域.94⎛⎫⎪⎝⎭34. 设积分区域:Ω2222(0)x y z az a ++≤>，把三重积分22()d x y v Ω+⎰⎰⎰化为球面坐标下的三次积分. 22cos 432000d d sin d a r r ππϕθϕϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰35. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是由圆柱面22y x x =-及平面0,0y z ==和1z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度为22(,,)x y z z x y ρ=+，计算该物体的质量. 89⎛⎫⎪⎝⎭36. 设有一物体，占有空间闭区域Ω是以221z x y =--及0z =围成的，在点(,,)x y z 处的密度222(,,)x y z x y z ρ=++，计算该物体的质量. 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭37. 利用三重积分计算由曲面221()2z x y =+与平面0z =和2z =所围成的介于两平面之间的立体的体积. ()4π38. 设222:1,0,0,0x y z x y z Ω++≤≥≥≥，求4d v Ω⎰⎰⎰.23π⎛⎫⎪⎝⎭39. 设L 为椭圆2212yx +=，其周长为a ，求22(2)d Lx y s +⎰ .()2a40. 设空间曲线22222:x y z x y⎧+=⎪Γ⎨=+⎪⎩，求22e d x ys +Γ⎰ .()22eπ41. 求d xyz s Γ⎰ ，其中Γ是点()1,0,2A 与()2,3,1B 之间的直线段.13114⎛⎫⎪⎝⎭42. 求()2d d 2L xxy x x y ++⎰其中L 沿222x y R +=顺时针从()0,A R 到(),0B R .22R ⎛⎫⎪⎝⎭43. 求()()esin d e cos d xxLy my x y my y -+-⎰其中L 为22x y ax +=从点(),0A a 到()0,0O 的上半圆弧，m 为常数.28m a π⎛⎫⎪⎝⎭44. 求()()22d sin d Lxy x x y y --+⎰其中L 是22y x x =-由点()0,0到()1,1的一段弧.sin 2746⎛⎫-⎪⎝⎭45. 设2222:x y z a ∑++=，求2d S ∑⎰⎰.()28a π46. 求(e cos 5)d (e sin 5)d x xCy y x y y --+-⎰，其中C 为222x y x +=自(2,0)A 到(0,0)O 的一段弧. 25(e 1)2π⎛⎫+- ⎪⎝⎭47. 计算22d d d d d d x y z xy z x y x y ∑++⎰⎰，其中∑为抛物面22z x y =+被4z =所截下部分的下侧. ()4π-48. 计算()d d ()d d ()d d y z y z z x z xx y x y ∑-+-+-⎰⎰，其中∑为圆锥面22z x y=+被1z =所截下部分的下侧.()049. 计算22222()d d I x y z x y x y ∑=+++⎰⎰，∑为下半球面221z x y=---的下侧.23π⎛⎫- ⎪⎝⎭50. 设级数21nn u ∞=∑和21nn v ∞=∑均收敛，判断以下结论是否成立（()21n n n u v ∞=+∑收敛成立 ）1n n u ∞=∑收敛；1n n n u v ∞=∑条件收敛；()21n n n u v ∞=+∑收敛； ()211nn n u ∞=-∑条件收敛.51. 判别下列级数的收敛性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛.21(1)sin ln(1)nn n ∞=⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦∑（条件收敛），11(1)1ln n n n n n-∞=-+∑（绝对收敛），31arctan n n n ∞=∑（绝对收敛），()111n n n n ∞=+-∑（发散），()()12111n n n n ∞-=-+∑（条件收敛），()()111ln 1n n n -∞=-+∑（条件收敛）. 52. 判断1!nn n n∞=∑的敛散性.（收敛）53. 判断1!21nn n ∞=+∑的敛散性.（发散）54. 判断13!nnn nn ∞=∑的敛散性.（收敛）55. 求幂级数2321(1)2nn nn xn∞-=-∑的收敛域. ()2,2⎡⎤-⎣⎦56. 求幂级数21212n nn n x∞=-∑的收敛域. ()(2,2)-57. 求幂级数()112(1)nn n x n∞-=+-∑的收敛域.(]()3,1--58. 求幂级数()21211nnn x n ∞=-+∑的收敛域.13,22⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭59. 微分方程323e x y y y x -'''++=的特解形式为________.()e ()x x Ax B -+ 60. 微分方程369(1)e x y y y x '''-+=+的特解形式为________.()23e ()x x Ax B + 61. 微分方程244e x y y y x '''-+=的特解形式为________.()()22e x Ax B x +62. 求以12e (cos 2sin 2)xy C x C x =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()250y y y '''-+=63. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为212e ,e x xy y -==，求其方程.()20y y y '''+-=64. 已知二阶常系数齐次线性微分方程的两个特解为12e ,e x xy y x ==，求其方程.()20y y y '''-+=65. 求以12e xy C C =+为通解的二阶常系数齐次线性微分方程.()0y y '''-=66. 已知123,,y y y 是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，且2131y y y y -≠-常数，则方程的通解为________.()()()1212311C y y C y y y -+-+ 67. 求微分方程2d 1d 0xy x x y +-=满足初始条件1e x y ==的特解.()211e xy +-=68. 求解2110x y y x x y =⎧'=-+⎪⎨⎪=⎩.ln x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭69. 求解32cos xy y x x '-=.()()2sin y x x C =+70. 求解004306,10x x y y y y y =='''-+=⎧⎪⎨'==⎪⎩.()32e 4e x x y =+1.求过直线1123:11x y z L ---==-且平行于直线221:211x y z L +-==的平面方程．解：直线1L 上的一点(1,2,3)A ，方向向量1(1,0,1)s =-，2L 的方向向量2(2,1,1)s = 从而所求平面的法向量121013211ijkn s s i j k =⨯=-=-+∴所求平面的方程为：(1)3(2)(3)0x y z ---+-=即320x y z -++=2.设()22,,z f xy x y=+其中f具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．解：121222z f y f x yf xf x∂''''=⋅+⋅=+∂()()2111122122222z z f y f x f y x f x f y x yy x ∂∂∂⎛⎫'''''''''==+⋅+⋅+⋅+⋅ ⎪∂∂∂∂⎝⎭()221112122224f xyf x y f xyf '''''''=++++ 3.求曲线e cos ,e sin ,e t t t x t y t z ===在0t =时的法平面与切线方程. 解：()e (cos sin ),()e (sin cos ),()e t t t x t t t y t t t z t '''=-=+= ∴在0t =处的切向量为：()(0),(0),(0)(1,1,1)T x y z '''==又 0t =时对应曲线上的点(1,0,1)，∴切线方程：101111x y z ---==，法平面方程：1010x y z -+-+-=，即20x y z ++-= 4.计算22()d d ,Dx y x y +⎰⎰其中 22:24,02D x x y x x -≤≤-≤≤．解：:0,2cos 22D πθθρ≤≤≤≤22223202cos ()d d d d d d DDx y x y πθρρρθθρρ+=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()42041cos d πθθ=-⎰20312+2cos2+cos 4d 22ππθθθ⎛⎫=-⎪⎝⎭⎰20312+sin2+sin 4)28ππθθθ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦54π=5.计算()22d ,x y v Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面222x y z +=与平面2z =所围成的空间闭区域．解：2:02,02,22z ρθπρΩ≤≤≤≤≤≤，则()223d d d d x y v z ρθρΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰222232d d d z πρθρρ=⎰⎰⎰2246230162(2)d 222123ρρρππρρπ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰6.计算22()d (sin )d ,LI x y x x y y =--+⎰其中L 是圆周22y x x =-由点(0,0)到 (1,1)的一段弧．解：22,sin P x y Q x y =-=--，则1P Q yx∂∂=-=∂∂ ∴曲线积分与路径无关取折线:0,:01;:1,:01OB y x BA x y =→=→∴OBBAI =+⎰⎰1122d (1sin )d x x y y =+--⎰⎰131sin 2324⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭71sin 264=-+7.计算()()()222d d d d d d ,y z y z z x z x x y x y ∑-+-+-⎰⎰其中∑为锥面22(0)z x y z h =+≤≤的外侧．解：补*222:()z h x y h ∑=+≤取上侧，则2P y z =-，2Q z x =-，2R x y =-， 0P Q R xyz∂∂∂===∂∂∂由Gauss 公式得，*0d 0v Ω∑+∑==⎰⎰⎰⎰⎰**22()d d ()d d xyD x y x y x y x y ∑∑=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224d (cos sin )d 4h h ππθρθρθρρ=-=⎰⎰故**44044h h ππ∑∑+∑∑=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰8.判定级数12ln 2n nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑的敛散性． 解：0lim2n n n→∞= n ∴→∞时，ln 122n n n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴由比较审敛法知：1ln 12n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑与12n n n ∞=∑有相同的敛散性.下面只要判定12nn n ∞=∑的敛散性1121lim 122nn n n n +→∞+⋅=< ，故由比值法，知12n n n∞=∑收敛 ∴12ln 2n n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛 9.求幂级数12121(1)n nn n xn∞-=+-∑的收敛域．解：()2121121211nn nn n n n xxnn∞∞-==++-=∑∑，令221nn n u xn+=，则22212(23)limlim1(21)n n nn n nn xu n x u n n x++→∞→∞+=⋅=++当21x <，即1x <时，2121nn n xn∞=+∑收敛，21x>，即1x >时，2121nn n xn∞=+∑发散，当1x =时，121n n n∞=+∑发散；1x =-时，121n n n∞=+∑发散， ∴原级数的收敛域：()1,1-10.求微分方程cos d cot 5ed xy y x x+=的通解．解： 对应的齐次线性方程：d cot 0d y y x x+=，即1cos d d sin x y x yx=-两端积分，得ln ln(sin )ln y x C =-+ sin Cy x∴=用常数变易法，设原方程的通解为：()sin C x y x=代入原方程，得cos 2()sin ()cos ()cos 5e sin sin x C x x C x x C x x x x'-+=cos ()5sin e xC x x '∴= 从而cos ()5e xC x C =-+∴原方程的通解：cos 5esin xCy x-+=1.求直线⎩⎨⎧=---=+-0923042:z y x z y x l 在平面14:=+-∏z y x 上的投影直线的方程．解：过直线l 的平面束()092342=---++-z y x z y x λ即()()()0921432=--++-+λλλλz y x ，又l 的投影直线与l 确定的平面与平面∏垂直()()01,1,421,4,32=-⋅---+∴λλλ 即01311=+λ，解得1113-=λ所以投影直线⎩⎨⎧=+-=--+140117373117z y x z y x 。
专科高数(2) 复习题 doc
装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容1．与向量{3,0,3}a =-平行的单位向量为 .2. 判断级数1n ∞=∑的收敛性（填收敛或者发散） .3. 交换二次积分的积分次序2 1(,)xxdx f x y dy ⎰⎰= .4. 设函数()y f x =由方程221x y +=确定 ，则dydx.5. 如果级数∑∞=0n n u 收敛，则lim n n u →∞= .10 分，共 60 分）1. 求以(1,2,3),(3,4,5),(2,4,7)A B C 为顶点的ABC ∆的面积。
2. 一个平面通过两点(1,1,1)A 和(0,1,1)B -且垂直于平面0x y z ++=，求此平面的方程。
3. 将直线的一般方程32402350x y z x y z +--=⎧⎨-+-=⎩化为点向式方程及参数方程。
4. 设22sin ,,uz e v u x y v xy ==+=，求,z z x y∂∂∂∂。
------------------------------------------------ 装 ---------------------------------订 ---------------------------------线 ------------------------------------------------装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容5. 计算二重积分DI xydxdy =⎰⎰，其中:D 由2yx =和2y x =-所围成区域。
6. 求幂级数11(1)2nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域。
三.解答题（每题10分，共 20 分）1．求由旋转抛物面22z x y =+和222z x y =--围成的立体的体积。
专升本高数二总复习参考题笫2篇.doc
笫二章 一元函数微分学一. 求导数、微分与二阶导数1. 基本求导表重点记住 11()'0,()',()',(ln )',x x C x xe e x xααα-====21(sin )'cos ,(cos )'sin ,(arcsin )'(arctan )'1x x x x x x x ==-==+ 11-3. 设函数21()f x x =, 则'y = A. 31x - B. 32x- C. 31x D. 1x [ ] 【11-3、B 】10-2. 设函数()f x e =, 则'(1)f =A. 2e +B. 1e +C.12 D. 12- [ ] 【10-2、C 】 09-2. 设2sin ln 2y x x =++, 则'y =A. 2sin x x +B. 2cos x x +C. 12cos 2x x ++D. 2x 【09-2、B 】 08-22. 设函数3sin 3y x x =++, 求'y . 【08-22. 32'()'(sin )'3'3cos y x x x x =++=+】08-3. 设函数ln y x =, 则'y = A.1x B. 1x- C. ln x D. xe [ ] 【08-3. A 】 07-3. 设函数y x =, 则'y =A. 1B. xC. 22x D. 2x [ ] 【07-3. 1】06-3. 巳知()3xf x x e =+,则'(0)f =A.1B. 2C. 3D. 4 [ ] 【06-3. D 】 05-2. 设33y x-=+,则'y 等于A.43x -- B. 23x -- C. 43x - D. 433x --+ [ ]【05-2. A 】04-9. 设函数21y x π=-,则'y = ____________ . 【04-9. 32x 】 03-9. 设函数2arcsin e x y +=,则'y = ____________ . 【03-9.211x-】00-8.设函数xx y 22sin 2++=,则dx dy=______________ . 【00-8. 2ln 22x x +】2.乘除求导法则：2''()''',()'u u v uv uv u v uv vv-=+= 11-22. 设函数1sin x y x+=, 求'y . 【11-22.2(1)'sin (1)(sin )''(sin )x x x x y x +-+=2sin (1)cos sin x x xx-+=】 09-3. 设函数()ln xf x e x =, 则'(1)f =A. 0B. 1C. eD. 2e 【09-3、C 】 08-13. 设函数cos y x x = 则'_______y =. 【08-13. cos sin x x x -】07-13. 设函数ln x y x = 则'_______y = 【07-13. 2ln 1ln x x-】 04-19. 设函数ln y x x =,求'y . 【04-19. 1'ln ln 1y x x x x=+⋅=+】03-10. 设函数x exy =,则)0('f = ____________ . 【03-10. 1】02-10. 设函数xy cos 11+=,则'y =_____________. 【02-10. 2)cos 1(sin x x +】 02-3. 设函数)(),(x v x u 可导,若)()(x v x u y ⋅=,则'y 等于 A. )(')()()('x v x u x v x u + B. )(')()()('x v x u x v x u -C. )()()(')('x v x u x v x u +D. )(')('x v x u [ ] 【02-3. A 】 01-22. 设函数1cos 2-=x xy ,求'y . 【01-22. 2222222)1(cos 2sin )1()1(cos 2)1(sin )'1cos ('----=---⋅-=-=x xx x x x x x x x x x y 】 00-18. 设函数x xxx f ln sin 1)(--=, 求)('πf .【00-18. x x x x x x x x x x x f 1)sin 1(cos sin 11)sin 1()cos (sin 1)(22'--+-=-----=ππππππππ111)sin 1()cos (sin 1)(2'--=-----=f 】3. 复合函数求导法则（简单型）(由外到里逐层处理) 10-3. 设函数()cos 2f x x =, 则'()f x =A. 2sin 2xB. 2sin 2x -C. sin 2xD. sin 2x - [ ]【10-3、B 】06-2. 设函数25xy e=+, 则'y =A. 2xe B. 22xe C. 225xe+ D. 25x e + [ ] 【06-2. B 】05-3. 设()cos 2f x x =, 则'(0)f 等于A. 2-B. 1-C. 0D. 2 [ ] 【05-3. 0】 04-18. 设函数()1sin 2f x x =+,求'(0)f .【04-18. '()0cos 2(2)'2cos 2,f x x x x =+⋅= '(0)2f =】02-10. 设函数xy cos 11+=,则'y =_____________.【02-10. 11,1cos ,,1cos y x u y x u=+==+令则''2211sin '()(1cos )(sin )(1cos )u x x y x x u u x =⋅+=--=+】00-10.设函数x y arcsinln =,则'y =________________________.【00-10.xx x arcsin )1(21-】00-2. 下列函数中,在点0=x 处导数等于零的是A. )1(x x y -=B. xex y 2sin 2-+=C. x x y arctan cos -=D. )1ln(x y += [ ] 【00-2. B 】 样题-12. 设函数cos()xy e -=,则'(0)y = ____________ .【样题-12. 00'sin (1)sin ,'(0)sin sin1xx x x y ee e e y e e ------=-⋅⋅-===】样题-23. 设函数(sin 2)f x y e=，其中()f u 可导，求'y .【样题-23. (sin 2)(sin 2)''(sin 2)cos 222cos 2'(sin 2)f x f x y ef x x x e f x =⋅⋅⋅=⋅⋅】(与复合函数记号有关的题型)要点：巳知x x f sin )(=，怎样求出()f x ？（见01-9）t =，解出2x t =，原式为2()sin f t t =，把t 更名为x ，得2()sin f x x =，04-20. 设函数3(cos )1cos f x x =+,求'()f x .【04-20. 33cos ,1cos 1,x t x t =+=+设则332()1,()1,'()3f t t f x x f x x =+=+=所以故则】02-23. 设函数x x g e x f xsin )(,)(==,且)]('[x g f y =,求dxdy. 【02-23. 因为x x g cos )('=,所以xex f y cos )(cos ==,则x e dxdyx sin cos -=】02-11. 设函数x x f ln )2(=,则)('x f =___________. 【02-11. x1】01-9. 设函数x x f sin )(=,则)('x f = ________________ . 【01-9. )cos(22x x 】样题-13. 设函数211()1f x xx=++,则)('x f = ____________ . 【样题-13. 22311112,,()1,()1,'()1t x f t t f x x f x x t t x x-===++=++=+令得于是】4. 复合函数与四则运算混合型(由外到里逐层处理) 07-22.设函数ln(y x =+, 求'y 【07-22. 'y x =+=】03-18. 设函数x x y +=,求'y .【03-18. xx x x xx xxx x x y ++=++=++=242122112)'('】02-17. 设函数21xx y +=,求'y . 【02-17. 2322222)1(111221'x xx x x y +=++-+=】5. 二阶导数(连续求二次导数)11-14. 设函数sin y x =，则 '''______y =. 【11-14. cos x -】10-15. 设函数ln(1)y x =+ 则''_______y =. 【10-15.21(1)x -+ 】09-15. 函数sin y x x = 则''_______y =. 【09-15.2cos sin x x x - 】08-14. 设函数5y x = 则''_______y =. 【08-14. 320x 】07-14. 设函数x y e -= 则'''_______y =. 【07-14. x e -】06-15. 设函数sin 2y x = 则'''_______y =. 【06-15. 4sin 2x -】 05-14. 设函数2xy e = 则''(0)_______y =. 【05-14. 4】 04-21. 设函数11y x=+,求''y . 【04-21. 2332'(1)(1),''(1)(2)(1)(1)y x y x x --=-+=--+=+】03-11. 设函数x e x y 22+=,则y 的50阶导数)50(y=___________. 【03-11. xe 2502】02-12. 设函数xxe y =,则)0(''y =___________. 【02-12. 2】 01-8. 设函数x x x f ln )(3=,则)1("f =_____________________ . 【01-8. 5】00-20. 若 x x y arctan )1(2+=, 求"y .98-10. 设 a a x n a x a y++=-)2( (其中 )1,0≠>a a , 则 )(n y = ______________ .【98-10. ()(2)[]"()''n n x a a yy a x a -==++=22)1(ln --+a x x a a a a 】【00-20. 1arctan 2)1(1)1(arctan 222'+=+++=x x x x x x y ，2"12arctan 2x x x y ++=】样题-15. 设函数y 的2n -阶导数(2)n x yxe -=, 则()(0)_______n y =【样题-15. ()(2)()[]''()''()'n n x x x yx y xe e xe -===+()2,x x x x x e e xe e xe =++=+()(0)2n y =】6. 变限积分求导（参见第三章相应条款）7. 微分计算(先求导,然后乘上dx ：'dy y dx =)11-5. 设函数cos 1y x =+, 则dy = [ ] A. (sin 1)x dx + B. (cos 1)x dx +C. sin xdx -D. sin xdx【11-5、C 】10-22. 设函数3cos x y x=, 求dy .【10-22. 332()'cos (cos )''(cos )x x x x y x -=2323cos sin (cos )x x x xx += 则2323cos sin '(cos )x x x xdy y dx dx x +===】09-22. 设函数sin xy e=, 求dy .【09-22. sin '(sin )'xy ex =sin cos x e x =则sin cos x dy e xdx =】08-5. 设函数2xy e =+, 则dy = [ ]A. (2)xe dx + B. (2)x e x dx + C. (1)x e dx + D. xe dx 【08-5. D 】07-5. 设函数2sin(1)y x =-, 则dy = [ ]A. 2cos(1)x dx - B. 2cos(1)x dx -- C. 22cos(1)x x dx - D. 22cos(1)x x dx --【07-5. C 】 06-22. 设函数4sin y x x =, 求dy =【06-22. 34'4sin cos y x x x x =+, 34(4sin cos )dy x x x x dx =+】 05-22. 设函数3cos y x x =, 求dy .【05-22. 3323'()'cos (cos )'3cos sin y x x x x x x x x =+=-,23(3cos sin )dy x x x x dx =-.】03-19. 设函数2arctan x y =,求dy .【03-19. dx x x dy x x x x y 442412,12)'(11'+=+=+=】01-7. 设函数21x y +=,则dy =____________ . 【01-7. dx xx 21+】00-9.设函数)(cos 2x y -=,则dy = ____________________ .【00-9. 2sin cos x xdx -， 也可写成sin 2xdx -. 注意cos()cos x x -=】8.** 幂指函数求导（对数求导法或e-ln 法） **01-23. 设函数xxx y +=sin ,求'y .【01-23. sin y x =+'(sin )'(cos ((*)y x x =+=+L笫2项那个导数属幂指函数求导问题，采用对数求导法，先记2y =,两边取对数2ln ln y x ==，然后对x 求导，得2211'y x x y x ==+22'y y x x =+=+即(x =+，代回（*）式，得'cos y x x =++. 】二. 隐函数求导数与微分 (做法分两步：（1）原式两边对x 求导，注意把y 视为x 的抽象函数；（2）解出y')注：一元隐函数求导数与微分的题目在2000-2011年中皆没有出现，这里只找了94-99年的3个题目作参考. 学员务必把精力集中到第四章二元隐函数求偏导数和全微分上，因为连续多年都有一个这样的大题目。
高数2 期末复习题
高等数学Ⅱ期末复习题一、单项选择题1、下列函数中是奇函数的是（）A 、()1sin f x x =+B 、)xC 、()arccos f x x =D 、1cos xx +2、设11)(+=x x f ，则))((x f f =（ ） A 、11++x x B 、x x +1 C 、21x x++ D 、x +11 3、当0x →时，下列函数哪个是x 的高阶无穷小量（ ）A 、sin 2x x +B 、tan sin x x -C 、2sin x x + D 、cos()2x π+4、当0x →时，下列函数哪个不是x 的同阶无穷小量（ ）A 、tan sin 2x x +B 、21xe- C 1 D 、1cos3x -5、下列式子不正确的是（ ）A 、0sin lim 1x x x →=B 、01lim sin 1x x x →=C 、10lim(1)x x x e →+=； D 、1lim (1)x x e x→∞+=6、当0x →时，下列函数哪个不是x 的等价无穷小量（ ）A 、sin 2tan x x -B 、1xe - C 、ln(1)x + D 、2(1cos )x - 7、2x =是函数1()arctan2f x x =-的 （ ） A 、连续点； B 、可去间断点； C 、跳跃间断点； D 、第二类间断点；8、sin 0( )xd dx =⎰ A 、cos cos x x B 、cos x C 、2cos x - D 、cos x9、设2x y xe -=的，则下列说法正确的是（ ）。
A 、12x =是极小值点； B 、12x =是极大值点； C 、12x =不是极值点； D 、12x =是拐点.10、 函数()f x =[0,1]上满足拉格朗日中值定理条件的( )ξ=A 、 1/2B 、 1/3C 、 2/3D 、 3/4 11、设()f x 在0x x =处可导，则000()()limx f x f x x x∆→--∆∆等于（ ）A 、0 ()f x 'B 、0()f x '-C 、02()f x 'D 、0 ()f x '-12、设)()(x G x F '='，则（ ）A 、 ()()0F x G x -=B 、 ()()0F x G x +=C 、()()F x G x +为常数D 、 ()()F x G x - 为常数 13、函数2()x f x xe -=的下凸区间为A 、1(,)2-∞B 、1(,)2+∞ C 、(,1)-∞ D 、(1,)+∞. 14、设函数()f x 满足0()0f x '=，且()f x 在1x x =处不可导, 则（ ） A 、01x x x x ==和都是极值点 B 、只有0x x =是极值点C 、只有1x x =是极值点D 、01x x x x ==和都有可能不是极值15、1, 0,() 0 , 0.x f x xx >=⎪≤⎩, 则(0)f ='（ ） A 、0 B 、1 C 、-1D 、不存在16、设函数()f x 在0x 可导，则 02200()()lim x x f x f x x x →-=- （ ）A 、0()f x 'B 、0()f xC 、0D 、002()()f x f x '17、1sin , 0,() 0 , 0.x x f x xx α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处可导, 则（ ） A 、1α= B 、1α≥ C 、1α> D 、2α>18、极限()y x y x y x --→→sin lim11 （ ） A 、等于0 B 、等于1 C 、等于2 D 、不存在 19、设33()3f x xy x y =--+，则下列说法中正确的是（ ） A 、（0, 0）是极小值点； B 、（0, 0）是极大值点； C 、（1，-1）是极小值点； D 、（1, -1）是极大值点20、下列级数中发散的是A 、1n ∞= B 、13!n n n ∞=∑ C 、321n n ∞-=∑ D 、1n n ∞=21、设a 为常数，且0a >，则级数()111cos nn a n ∞=⎛⎫-- ⎪⎝⎭∑（ ）A 、发散B 、条件收敛C 、绝对收敛D 、收敛性与α有关22. 级数1(1)ln(2)nn n ∞=-+∑ A 发散； B 绝对收敛； C 条件收敛； D 无法判断.23. 下列结论错误的是A 若1n n u ∞=∑收敛，则lim 0n n u →∞=；B 若11n n u u +<，则正项级数1n n u ∞=∑收敛； C 若1nn u∞=∑收敛，则1nn u∞=∑收敛；D1()nn n uv ∞=+∑收敛，则1n n u ∞=∑与1n n v ∞=∑都收敛.24. 下列说法正确的是： A 级数1nn x∞=∑收敛，则级数21nn x∞=∑也收敛. B 绝对收敛的级数一定收敛.C 级数1nn k u∞=∑和1nn u∞=∑同敛散. D 收敛级数去括弧后所成的级数一定收敛.25、微分方程yy x x'-=的通解为( ) A 、 2Cx x + B 、 2x x C ++ C 、 2x Cx + D 、2Cx x -26、曲线21xxe y =的渐近线的条数有A 、 0B 、 1C 、2D 、 3 27、方程ln 0x x +=实数根的个数是（ ） A 、0 个 B 、1个 C 、2个D 、3个28、已知2y z x =，则下列结论正确的是（ ）A 、220z z x y y x ∂∂->∂∂∂∂B 、220z z x y y x ∂∂-<∂∂∂∂C 、220z z x y y x ∂∂-≠∂∂∂∂D 、220z z x y y x∂∂-=∂∂∂∂29.改换1d (,)d y f x y x ⎰的次序，则下列结果正确的是 ( )(A) 11d (,)d x f x y y -⎰；(B)11d (,)d x f x y y -⎰⎰；(C)11d (,)d x f x y y -⎰；(D)1d (,)d x f x y y ⎰．30. 设22sin()z x y =-，则2z x y∂=∂∂ ( ) (A) 22sin()x y --； (B) 22sin()x y -； (C) 22(22)sin()x y x y +-； (D) 224sin()xy x y -．二、填空题1、由曲线21y y x ==-所围成的平面图形的面积为 2、函数()arcsin f x x =在[0, 1]上满足拉格朗日中值定理的ξ=_______. 3、设函数()y y x =由方程1sin y x y =+确定，则dydx=_________. 4、函数33()3,[2,]2f x x x x =-∈-的最大值为5、微分方程440y y y '''++=满足初始条件()02, (0)0y y '==的特解为6、2arccos y x = 则(0)y '=_________.7、 曲线2yx =上点(1，1)处的切线方程为_______.8、级数112(1)1n n nn x n ∞-=-+∑的收敛半径R = ______. 9、设D 是由曲线1,1x y x y +=-=及0x =所围的区域，则⎰⎰Ddxdy =_______.10、设()(1)(2)(100)f x x x x x =--- ，则(1)f '=___11.极限10lim(12sin)xx x →+=12.设函数2sin xy ze y x =+，则它的全微分(,1)d zπ=13.222sin ln(x x x ππ-+=⎰14. 某商品需求函数为200.25Q P =-，则当10P =时的需求价格弹性为 15. 微分方程2d 3d y x y x =的通解为三 、 计算题 1、求3113lim 11x x x →-⎛⎫-⎪++⎝⎭2、求 3232342lim 753x x x x x →∞-++-3、求20cos 1lim x x x →-，30tan sin lim (arctan )x x xx →-，()20ln 1lim sec cos x x x x →+-． 4、讨论函数 1,01,()1,1,3,1 2.x x f x x x x -+≤≤⎧⎪==⎨⎪-+<≤⎩在点1x =处的连续性．5．下列各题中均假定0()f x '存在，按照导数定义求下列极限，指出A 表示什么？(1)000()()lim x f x x f x A x∆→-∆-=∆；(2) 0()lim x f x A x→=，其中(0)0f =，且(0)f '存在；(3) 000()()lim h f x h f x h A h→+--=．6、3221x y -=, 求dxdy7、212sin x x y +=, 求dxdy8．求下列函数的导数：(1)2sin x y e x =； (2)2(43)y x =+； (3)tan(12)y x =-； (4)arctan()x y e =；(5)ln(sin )y x =；(6)2cos3x y ex -=；(7)1ln 1ln xy x-=+；(8)sin cos n y x nx =；(9)ln ln ln y x =；(10) 21sin xy e -=； (11)cos 3x y xarc =9．用微分求由方程1sin()xyx y e -++=确定的函数()y y x =的微分与导数．10．求下列函数的二阶偏导数22z x ∂∂，2z x y ∂∂∂，22zy ∂∂：(1)2y z x =； (2)22xz x y =+．11．求下列函数的全微分:(1)arctan x yz x y+=-； (2)22cos()z y x y xy =-+；(3)z = (4)u xy yz zx =++． 12．求下列方程所确定的隐函数的导数或偏导数：(1)22sin()xy x y x y =++，求dy dx ； (2)2224x y z z ++=，求zx∂∂，z y ∂∂．13、求函数45x y e =的弹性函数EyEx及在3x =处的弹性3x Ey Ex =。
高等数学Ⅱ复习题部分答案
一、单选题（共86题，86分）1、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 42、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 43、A、 0B、 2C、 3D、 1E、 4 4、A、 0B、 1C、 2D、 eE、 3 5、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 46、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 47、A、 ln3B、 ln2C、 0D、 1E、 28、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 49、A、 1-exB、 eC、 ex+eD、 0E、 110、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、连续且偏导存在D、既不连续偏导也不存在11、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 412、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 413、A、 1B、 2C、 3D、 4E、 014、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 e15、A、 0B、 2C、 3D、 4E、 116、A、 eB、 1C、 2D、 4E、 317、A、 ln3B、 ln2C、 1D、 2E、 318、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 419、A、 1-exB、 ex+eC、 eD、 0E、 120、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、既不连续偏导也不存在D、连续且偏导存在21、下列关于多元函数连续、偏导及可微说法正确的是（）A、若可微，则偏导存在B、若连续，则偏导存在C、若偏导存在，则连续D、若偏导存在，则可微22、A、B、C、D、23、A、 dx+2dy+dzB、 dx+dy+dzC、 2dx+dy+dzD、 2dx+2dy+dz24、A、 1B、 -1C、 0D、 225、A、B、C、D、26、设u=cos(xy),则du=( ).A、 -cos(xy)(ydx+xdy)B、 -sin(xy)(ydx+xdy)C、 cos(xy)(ydx+xdy)D、 sin(xy)(ydx+xdy)27、A、 2B、 4C、 -2D、 128、A、 2B、 0C、 1D、 329、A、 3B、 2C、 1D、 030、A、B、C、 yD、31、A、B、C、D、32、A、 2x+2y-z=0B、 2x+2y-z-1=0C、 2x+2y-z-2=0D、 2x+y-z-2=033、A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、既非必要条件也非充分条件D、充要条件34、A、 4B、 8C、 6D、 1035、A、 x+y-8z=116B、 x-y-8z=120C、 x-y+8z=110D、 x+y+8z=14036、A、 2B、 1C、 3D、 437、A、 4,0B、 1,2C、 0,4D、 2,138、A、 -2B、 2C、 -4D、 439、A、 (1,1)B、 (1,2)C、 (1,-1)D、 (2,1)40、A、 1B、 2C、 0D、 341、A、 3B、 6C、 9D、 042、A、 1+sin1B、 1-cos1C、 1-sin1D、 043、A、 4B、 5C、 -4D、 -544、A、 2B、 3C、 1D、 445、A、 3SB、 2SC、 SD、 4S46、A、 2B、 3C、 1D、 047、A、 2B、 1C、 0D、 448、A、 1B、 0C、 2D、 -149、A、大于0B、等于0C、无法确定D、小于050、A、B、C、 0D、 151、A、 1B、 2C、 3D、 052、A、 aB、 abcC、 bD、 053、A、 22πB、 21πC、 20πD、 25π54、A、 2πB、 4πC、 0D、 8π55、A、πB、π/2C、 0D、 256、A、 13/9B、 14/9C、 1D、 057、A、 0B、C、 2D、 158、A、 2πB、 4πC、πD、 3π59、A、 2B、 1C、 0D、 360、A、B、C、D、61、B、 16C、 8D、 1062、A、 3B、 1C、 0D、 463、A、I=JB、I<JD、无法判断I,J大小64、A、4πB、0C、2D、2π65、A、0B、4πC、266、A、-2B、4C、-4D、267、A、πB、2πC、π/2D、4π68、A、10B、8C、-8D、-1069、A、1B、2C、4D、070、A、dxB、dx+dyC、-dyD、dy71、A、（0,0）不是函数的极小值点B、（0,0）是函数的极大值点C、(0,0)是函数的极小值点D、（0,0）不是函数的极值点72、A、{4,4,8}B、{2,4,4}C、{4,4,12}D、{2,2,4}73、A、B、C、D、74、A、B、2C、/2D、175、A、B、C、D、76、A、连续B、极限不存在C、极限存在但不连续D、没有定义77、A、 0B、1C、 2D、 378、A、1B、2C、-2D、079、A、1B、-1C、2D、 380、A、48πB、16πC、24πD、π81、A、B、C、D、82、A、0B、1C、2D、383、A、B、C、D、84、A、e+1B、e-1C、-e-1D、e85、设C为一条平面闭曲线，方向为逆时针，则下面可表示所围区域D面积的是( )A、B、C、D、86、A、B、C、D、二、判断题（共18题，18分）1、√2、×3、√4、5、是否正确？√6、质心与形心两个概念没有任何区别.7、8、9、偏导存在且连续可以推出函数可微√10、计算空间体的体积只有二重积分和三重积分两种方法，其他类型的积分不能处理体积的问题.×11、二元函数在某点极值存在，且该点处偏导存在，则偏导数一定为零.12、二元函数在开区域内部如果只有一个极值点，则该极值点为最值点.13、二元函数在某点极限存在当且仅当沿任何方向任意路径趋近于该点处极限均存在且相等.14、偏导存在能推出连续，连续不能推出偏导存在×15、二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和.√16、质心与形心两个概念是有所不同的.√17、方向导数是一个数，梯度是一个向量√18、×19、函数f(x,y,z)在有界闭区Ω上连续时，f(x,y,z)在Ω三重积分必存在。
高等数学2期末复习题与答案
《高等数学》2期末复习题一、填空题:1、函数得定义域就是 1≦X^2+Y^2<3 、2、设则、3、函数在点得全微分4.设则、设则、5、设而则6.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)得方向导数就是7、改换积分次序 ; 、8.若L就是抛物线上从点A到点B得一段弧,则=9、微分方程得通解为、二、选择题:1. 等于 ( )(上下求导)A.2, B、 C、0 D、不存在2.函数得定义域就是( D )A. B、C、 D.3、 ( B )A、 B、C、 D、5、设,且F具有导数,则(D )A、;B、;C、 ;D、、6.曲线 ,,,在处得切向量就是 ( D )A. B、 C、 D、7.对于函数 ,原点 ( A )A.就是驻点但不就是极值点 B、不就是驻点 C、就是极大值点 D、就是极小值点8.设I=, 其中D就是圆环所确定得闭区域,则必有( )A.I大于零 B、I小于零 C、I等于零 D、I不等于零,但符号不能确定。
9、已知L就是平面上不包含原点得任意闭曲线,若曲线积分,则a等于( )、A -1B 1C 2D -210.若L为连接及两点得直线段,则曲线积分=( )A.0 B、1 C、 D、211、设D为则( )A、;B、 ;C、 ;D、、12、微分方程得通解为( )A、;B、;C、;D、13、( )就是微分方程在初始条件下得特解、A、;B、;C、;D、、三、计算题:1、设,求及,其中f 具有一阶连续偏导数、2．设, 求 ,3．求旋转抛物面在点处得切平面及法线方程。
4．求函数得极值5．计算,其中D就是由圆周及轴所围成得右半闭区域、6．计算,其中D就是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点得三角形闭区域、7、计算 ,其中就是三个坐标面与平面所围成得区域、8、计算 ,其中L为圆得正向边界。
9、计算曲线积分其中L就是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0)、10、验证:在整个面内,就是某个函数得全微分,并求出这样得一个函数、11、求微分方程得通解、12、求解微分方程得特解:13、解微分方程、四、应用题:1、用钢板制造一个容积为V得无盖长方形水池,应如何选择水池得长、宽、高才最省钢板、2、已知矩形得周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时得矩形面积、3、求抛物线所围成得闭区域得面积、4、求抛物面与锥面所围成得立体得体积、高等数学2期末复习题答案一、填空题:1、2、3、4、5、6、(注:方向导数)7、;8、(注:) 9、二、选择题:1、A;2、 D;3、 B;4、缺5、 D;6、 D;7、 A;8、 A;9、 A; 10、C;11、 C; 12、C; 13、D三、计算题:1、解:令,则2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2、 解:两方程分别两边对求偏导数,注意就是关于得二元函数,得即这就是以为未知量得二元线性方程组。
《高等数学二》期末复习试题和答案解析-2817146241836170
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI xy dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A)224ad a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 22402ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D)235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰101d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()Lx y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12nn a∞=∑收敛 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
《高等数学Ⅱ》复习题及答案
课程名称：《高等数学Ⅱ》一、 单项选择题 （从下列各题的四个备选答案中选出一个正确答案，选错或未选者，此题不得分，每小题2分，共40分。
）二、 多项选择题 （从下列各题四个备选答案中选出正确答案，答案选错者，该题不得分，每小题 4分，共 40 分。
）三、 判断题 (你认为下列命题是正确的，就在题后方括号内加“A ”，错误的加“B ”。
每小题判断2分，共20分。
)《高等数学Ⅱ》（A ）卷一、 单选题 (每题2分，共40分）1. 当+∞→n 时，下列数列中哪项数列收敛（ ）A 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1B 、{}n n )1(-C 、{}n lgD 、{}2n2.=-→)3(lim 22x x （ ）A 、1-B 、2C 、1D 、3-3.=-+∞→)213lim 2x x x （（ ）A 、∞B 、3C 、0D 、44. =---→24lim 222x x x x （ ）A 、∞B 、34C 、0D 、15. 下列哪项为无穷小？（ ）A 、x cos )0(→xB 、x 1)0(→xC 、x tan )0(→xD 、x2)0(→x6. =→x xx 5sin lim0（ ） A 、51B 、1C 、0D 、5 7. =+∞→x x x 2)21(lim （ ）A 、2eB 、1C 、eD 、4e8. 若x x y 1ln +=，则=dy （ ）A 、211x x -B 、211x x +C 、dx x x )11(2-D 、dx x x )11(2+9. 由参数方程⎩⎨⎧=+=t y t x sin 2143确定的函数的导数=dx dy （ ）A 、26cos t t B 、t t cos 62 C 、26cos t t- D 、t t cos 62-10. =+∞→x xx ln lim（ ）A 、0B 、∞-C 、∞+D 、1 11. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）.A 、()()2ln 2ln f x x g x x == 和B 、()||f x x = 和 ()g x =C 、()f x x = 和 ()2g x =D 、()||x f x x=和 ()g x =1 12. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠⎪=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ ）.A 、0B 、14 C 、1 D 、213. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. A 、1y x =- B 、(1)y x =-+ C 、()()ln 11y x x =-- D 、y x = 14. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）.A 、连续且可导B 、连续且可微C 、连续不可导D 、不连续不可微14. 点0x =是函数4y x =的（ ）.A 、驻点但非极值点B 、拐点C 、驻点且是拐点D 、驻点且是极值点15. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ ）. A 、只有水平渐近线 B 、只有垂直渐近线C 、既有水平渐近线又有垂直渐近线D 、既无水平渐近线又无垂直渐近线 17.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ ）. A 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B 、1fC x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭C 、1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭D 、1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭18.x x dxe e -+⎰的结果是（ ）.A 、arctan x e C +B 、arctan x eC -+ C 、x x e e C --+D 、ln()x x e e C -++ 19. 下列定积分为零的是（ ）.A 、424arctan 1x dx x ππ-+⎰ B 、44arcsin x x dx ππ-⎰ C 、112x xe e dx --+⎰ D 、()121sin x x x dx -+⎰ 20. 设()f x 为连续函数，则()12f x dx '⎰等于（ ）.A 、()()20f f -B 、()()11102f f -⎡⎤⎣⎦C 、()()1202f f -⎡⎤⎣⎦ D 、()()10f f - 二、 多选题 (每题4分，共40分)21、在空间直角坐标系中，不是方程22z x y =+的图形是( )。
高等数学Ⅱ复习题部分答案
新建试卷20181221084106一、单选题（共86题，86分）1、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 42、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 43、A、 0B、 2C、 3D、 14、A、 0B、 1C、 2D、 eE、 3 5、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 4 6、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4A、 ln3B、 ln2C、 0D、 1E、 2 8、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 4 9、A、 1-exB、 eC、 ex+eD、 0E、 110、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、连续且偏导存在D、既不连续偏导也不存在11、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 412、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 413、B、 2C、 3D、 4E、 014、A、 0B、 1C、 2D、 3E、 e15、A、 0B、 2C、 3D、 4E、 116、B、 1C、 2D、 4E、 317、A、 ln3B、 ln2C、 1D、 2E、 318、A、 1B、 0C、 2D、 3E、 419、A、 1-exB、 ex+eD、 0E、 120、A、连续但偏导不存在B、偏导存在但不连续C、既不连续偏导也不存在D、连续且偏导存在21、下列关于多元函数连续、偏导及可微说确的是（）A、若可微，则偏导存在B、若连续，则偏导存在C、若偏导存在，则连续D、若偏导存在，则可微22、A、B、C、D、23、A、 dx+2dy+dzB、 dx+dy+dzC、 2dx+dy+dzD、 2dx+2dy+dz24、A、 1B、 -1C、 0D、 225、A、B、C、D、26、设u=cos(xy),则du=( ).A、 -cos(xy)(ydx+xdy)B、 -sin(xy)(ydx+xdy)C、 cos(xy)(ydx+xdy)D、 sin(xy)(ydx+xdy)27、A、 2B、 4C、 -2D、 128、A、 2B、 0C、 1D、 329、A、 3B、 2C、 1D、 030、A、B、C、 y D、31、A、B、C、D、32、A、 2x+2y-z=0B、 2x+2y-z-1=0C、 2x+2y-z-2=0D、 2x+y-z-2=033、A、必要条件但非充分条件B、充分条件但非必要条件C、既非必要条件也非充分条件D、充要条件34、A、 4B、 8C、 6D、 1035、A、 x+y-8z=116B、 x-y-8z=120C、 x-y+8z=110D、 x+y+8z=14036、A、 2B、 1C、 3D、 437、A、 4,0B、 1,2C、 0,438、A、 -2B、 2C、 -4D、 439、A、 (1,1)B、 (1,2)C、 (1,-1)D、 (2,1)40、A、 1B、 2C、 0D、 341、A、 3B、 6C、 942、A、 1+sin1B、 1-cos1C、 1-sin1D、 043、A、 4B、 5C、 -4D、 -544、A、 2B、 3C、 1D、 445、A、 3SB、 2SC、 SD、 4S46、A、 2B、 3C、 1D、 047、A、 2B、 1C、 0D、 448、A、 1B、 0C、 2D、 -149、A、大于0B、等于0C、无法确定D、小于050、A、B、C、 0D、 151、A、 1B、 2C、 3D、 052、A、 aB、 abcC、 bD、 053、A、 22πB、 21πC、 20πD、 25π54、A、 2πB、 4πC、 0D、 8π55、A、πB、π/2C、 0D、 256、A、 13/9B、 14/9C、 1D、 057、A、 0B、C、 2D、 158、A、 2πB、 4πC、πD、 3π59、A、 2B、 1C、 0D、 360、A、B、C、D、61、A、 4B、 16C、 8D、 1062、A、 3B、 1C、 0D、 463、A、I=JB、I<JC、I>JD、无法判断I,J大小64、A、4πB、0C、2D、2π65、A、0B、4πC、2D、2π66、A、-2B、4C、-4D、267、A、πB、2πC、π/2D、4π68、A、10B、8C、-8D、-1069、A、1B、2C、4D、070、A、dxB、dx+dyC、-dyD、dy71、A、（0,0）不是函数的极小值点B、（0,0）是函数的极大值点C、(0,0)是函数的极小值点D、（0,0）不是函数的极值点72、A、{4,4,8}B、{2,4,4}C、{4,4,12}D、{2,2,4}73、A、B、C、D、74、A、B、2C、/2D、175、A、B、C、D、76、A、连续B、极限不存在C、极限存在但不连续D、没有定义77、A、 0B、1C、 2D、 378、A、1B、2C、-2D、079、A、1B、-1C、2D、 380、A、48πB、16πC、24πD、πA、B、C、D、82、A、0B、1C、2D、383、A、B、C、D、84、A、e+1B、e-1C、-e-185、设C为一条平面闭曲线，方向为逆时针，则下面可表示所围区域D面积的是( )A、B、C、D、86、A、B、C、D、二、判断题（共18题，18分）1、√2、×3、√4、5、是否正确？√6、质心与形心两个概念没有任何区别.7、8、9、偏导存在且连续可以推出函数可微√10、计算空间体的体积只有二重积分和三重积分两种方法，其他类型的积分不能处理体积的问题.×11、二元函数在某点极值存在，且该点处偏导存在，则偏导数一定为零.12、二元函数在开区域部如果只有一个极值点，则该极值点为最值点.13、二元函数在某点极限存在当且仅当沿任何方向任意路径趋近于该点处极限均存在且相等.14、偏导存在能推出连续，连续不能推出偏导存在×15、二重积分的几何意义是曲顶柱体体积的代数和.√16、质心与形心两个概念是有所不同的.√17、方向导数是一个数，梯度是一个向量√18、×19、函数f(x,y,z)在有界闭区Ω上连续时，f(x,y,z)在Ω三重积分必存在。
高数2试题及答案.(DOC)
模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。
（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0φa ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。
2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。
高数(2)复习题加答案
高等数学（二）复习参考考试涉及范围：空间解析几何 向量运算；平面方程、直线方程、曲线方程、常见曲面 多元函数微分 概念；偏导数、全微分的计算；多元函数复合求偏导；隐函数求偏导数；几何应用；极值重积分 二重积分的计算及交换积分先后次序；三重积分的计算曲线与曲面积分 对弧长曲线积分的计算；对坐标曲线积分的计算；格林公式； 对面积曲面积分的计算；对坐标曲面积分的计算；高斯公式 无穷级数 常数项级数的审敛法及求和；幂级数的收敛域，和函数考试题型：一、选择题（5道题，每小题3分，共15分） 二、填空题 （5道题，每小题3分，共15分） 三、计算题（7道题，每小题8分，共56分） 四、应用题 （1道题，共8分） 五、证明题（1道题共6分）复习题一一、选择题1． 曲面624222=+-z y x 上点)3,2,2(处的法线方程为（ ）．A ．334212-=--=--z y x B ．334212-=--=-z y x C ．334212-=-=--z y x D ．334212-=-=-z y x 2．(),z f x y =偏导数z x∂∂及z y∂∂在点(),x y 处存在且连续是(),z f x y =在该点可微的( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件 3．二元函数206922+-++-=y x y xy x z （ ）．A ．无驻点B ．有驻点但无极值C ．有极大值D ．有极小值 4．设L 为222R y x =+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（ ）．A ．2RB ．2R πC ．0D ．22R π 5．下列级数中为条件收敛的级数是（ ）． A ．∑+∞=-121)1(n nnB ．n n n∑+∞=-1)1( C ．∑+∞=-11)1(n nnD ．∑+∞=-121)1(n nn二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则=⨯b a .2．()()=+-→xyxy y x 42lim02，， .3．223y xy x z ++=，21==y x dz= .4．交换二次积分的积分次序⎰⎰10),(y x d y x f yd = .5．⎰Lx d xy = ，其中L 是抛物线x y =2上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v yx u 23-==，，求 xz ∂∂、yz ∂∂．2．设04222=-++z z y x ，求22x z ∂∂．3．计算 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x z d y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体． 4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分． 6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数∑∞=++-11212)1(n n nn x 收敛域及和函数．四、应用题求内接于半径为a 的球且有最大体积的长方体． 五、证明题1.证明：y d y n i s x x n i s y x d x s o c y y s o c x )2()2(22-++在整个y O x 平面内是某一函数),(y x u 的全微分，并求),(y x u ．2.证明: 设()22y z f x y=-，其中()f u 为可导函数，证明：211z z z x xy yy∂∂+=∂∂．复习题二一、选择题1．(),z f x y =偏导数z x∂∂及z y∂∂在点(),x y 处存在是(),z f x y =在该点可微的( )．A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无关条件 2．二元函数xy x z +=2（ ）．A ．有极大值B ．有极小值C ．有驻点但无极值D ．无驻点 ３．交换二次积分⎰⎰ex dy y x f dx 1ln 0),(的积分次序为（ ）． A ．⎰⎰10),(e e ydx y x f dy B ．⎰⎰eey dx y x f dy 1),(C ．⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( D ．⎰⎰e x dx y xf dy 1ln 0),(4．设L 为x y x 222=+，取逆时针方向，则⎰-Lx d y y d x =（ ）．A ．1B ．πC ．0D ．π2 5．若级数∑+∞=1n n u 收敛，则下列级数中（ ）发散．A ．∑+∞=+1100n n u B ．∑+∞=+1100n n u C ．()∑+∞=+1100n n u D ．∑+∞=1100n n u二、填空题1．设,2,23k j i b k j i a -+=--=则()=⋅-b a 2 .2．()()=→y xy y x ）（，，tan lim04 .3．xye z =，12==y x dz= .4．曲面14222=++z y x 在点()3,2,1处的切平面方程为 .5．⎰-Lx d y x )(22= ，其中L 是抛物线2x y =上从点)0,0(到点)4,2(的一段弧．三、计算题 1．设 222z y x eu ++=，而y x z sin 2=，求xu ∂∂、yu ∂∂．2．设 ,0=-z y x e z求 22x z ∂∂．3．计算⎰⎰⎰Ωz d y d x d z y x ，其中Ω为球面1222=++z y x 及三个坐标面所围成的在第一象限内的闭区域． 4．⎰Γ++s d z y x 2221，其中L 为 曲线t n i s e x t =， t s o c e y t =，t e z =上相应于t 从0变到2的这段弧． 5．⎰⎰∑+--S d z x x y x )22(2 ，其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分． 6.⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222，其中∑为平面0=x ，0=y ， 0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．7．求幂级数()∑∞=+++-11212121n n n n x 收敛域及和函数．四、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积．五、证明题 1.证明：曲线积分⎰-+-)4,3()2,1(2232)36()6(y d y x y x x d y y x 在整个y O x 平面内与路径无关，并计算曲线积分的值． 2. 证明：()()dx x f e x a dx x f e dy x a m a yx a m a )()()(0--⎰⎰⎰-=．复习题一参考答案一、选择题1．B ； ２．A ； 3．Ｄ； 4．D ； 5．C ．二、填空题1．k j i 75++； ２．41-； 3．dy dx 78+； 4．⎰⎰110),(xy d y x f x d ；5． 54．三、计算题1．设 v n l u z 2=，而y x v y x u 23-==，，求x z ∂∂、yz ∂∂．解xv vz xu uz xz ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂3122⋅+⋅=vu yv n l uy vv zy u u zy z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2(222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=v u y xv n l u 2．设04222=-++z z y x ，求22x z ∂∂．解 设()=z y x F ,,z z y x 4222-++，则x F x 2=，42-=z F z 当2≠z 时，zx F F xz zx -=-=∂∂2，故，()()22222z xz xz xz -∂∂+-=∂∂()()2222z z xx z -⎪⎭⎫⎝⎛-+-=()()32222z xz -+-= 3．计算 ⎰⎰⎰Ω+++3)1(z y x z d y d x d ，其中Ω为平面0=x ，0=y ，0=z ，1=++z y x 所围成的四面体． 解 原式z d z y x yd x d y x Dyx ⎰⎰⎰--+++=103)1(1z d z y x yd xd y x x 3101010)1(1+++=⎰⎰⎰---⎰⎰-+++-=x y d y x xd 10210))1(2181(165221))1(21883(10-=+++-=⎰n l x d x x ．4．⎰Ls d x ，其中L 为直线x y =及抛物线2x y =所围成的区域的整个边界．解 记 ,:21xy L =则 )10(41)()(222≤≤+=+=x dx x y d x d s d ；,:2x y L =则 .)10(2)()(22≤≤=+=x dx y d x d s d于是，⎰Ls d x ⎰⎰+=21L L s d x s d x⎰⎰++=10102241x d x x d x x)12655(121221215125-+=+-=5．计算⎰⎰∑+S d y x )(22 ，其中∑是：锥面22y x z +=被平面0=z 和1=z 所截得的部分．解 ∑：22y x z +=，有,22yx x xz +=∂∂,22yx y yz +=∂∂2122=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y zx z ．于是，⎰⎰+S d y x)(22⎰⎰+=yxD y d x d y x 2)(22⎰⎰+=yxD y d x d y x )(222πρρρθπ22210220=⋅=⎰⎰d d6.()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ，其中∑为平面0=x ，0=y ，0=z ，a x =，a y =， a z =所围成的立体的表面的外侧．解 解法一：y x P +=，z y Q +=，x z R +=，于是1=∂∂xP ，1=∂∂yQ ，1=∂∂zR ．由高斯公式，有⎰⎰∑++y d x d z x d z d y z d y d x 222⎰⎰⎰Ω++=z d y d x d )111(333a z d y d x d ==⎰⎰⎰Ω．解法二：由对称性有()()()⎰⎰∑+++++y d x d x z x d z d z y z d y d y x ()⎰⎰∑+=z d y d y x 3，记∑在平面0=x ，a x =，0=y ，a y =， 0=z ，a z =所在的部分为1∑，2∑，3∑，4∑，5∑，6∑。
高数复习题doc
高数复习题doc一、单项选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在点x=-1处的导数是：A. 2B. -1B. 1D. 02. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 若函数f(x)在区间(a,b)内连续，则下列哪个选项是错误的：A. 函数f(x)在(a,b)内必有极值点B. 函数f(x)在(a,b)内可导C. 函数f(x)在(a,b)内可能无极值点D. 函数f(x)在(a,b)内单调递增或递减二、填空题1. 函数f(x)=sin(x)的n阶导数是_______。
2. 若f(x)=x^3+2x^2-5x+6，则f'(1)=_______。
3. 曲线y=x^2与直线y=4x相切的点是_______。
三、计算题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2在区间[0,3]上的最大值和最小值。
2. 已知函数f(x)=e^x，求f'(x)，并证明f'(x)>0。
四、证明题1. 证明：若函数f(x)在区间(a,b)内连续且可导，且f'(x)>0，则函数f(x)在该区间内单调递增。
2. 证明：若函数f(x)在点x=c处可导，则f(x)在点x=c处的导数是该点处曲线的切线斜率。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=50x+100，其中x为生产的产品数量。
求当生产数量为多少时，单位产品的成本最低。
2. 一个物体从静止开始，以初速度v0=10m/s开始运动，其加速度函数为a(t)=-2t+5，求物体在第2秒末的速度。
六、综合题1. 某公司计划生产一种新产品，其生产成本函数为C(x)=100x+0.2x^2，其中x为生产的产品数量。
求该公司生产该产品的边际成本，并讨论其生产数量的最优解。
2. 考虑一个物体在直线上运动，其位移函数为s(t)=4t^3-6t^2+2t，求该物体在任意时刻t的速度和加速度。
高等数学II试题6套(精品文档)
高等数学II 试题解答一、填空题（每小题3分，共计15分）1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定，则 z x ∂=∂xz xzxe y zey --++-。
2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =(4,0,-12)的方向导数最大。
3．L 为圆周224x y +=，计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π。
4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--。
5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32。
二、解答下列各题（每小题7分，共35分）1．设) ,(y x f连续，交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序。
解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰2．计算二重积分D，其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域。
解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域，试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分。
解：()()drr r f d d dxdydzz y x f I ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=++=Ω4012220222sin ππφφθ4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关，其中()f x 具有一阶连续导数，且(0)1f =，求()f x 。
解：[()]xP f x e y =-，()Q f x =-。
高数Ⅱ(2)复习题
高数Ⅱ（2）历届试题汇编（2003——2008）一、填空题和单项选择题: 1、（2003）交换二次积分的次序⎰⎰+=10122),(x xdy y x f dx ⎰⎰⎰⎰-+2/1212/010),(),(y y y dx y x f dy dx y x f dy .2、（2003）幂级数n n n n x n n )32(1∑∞=+的收敛域为)31,31[-. 3、（2004）交换二次积分的次序⎰⎰---=10112),(y y dx y x f dy ⎰⎰⎰⎰---+x x dy y x f dx dy y x f dx 1010101),(),(2 .4、（2004）级数∑∞=-+1/1)1(12n nen n α收敛的充要条件是α满足不等式2/5>α. 5、（2004）设nn nx a)1(0∑∞=+在2-=x 处条件收敛，则其在2=x 处( A ) A.发散 B.条件收敛 C.绝对收敛 D.敛散性不确定6、（2005）由方程5222=+++xyz z y x 所确定的隐函数),(y x z z =在点），，（2010-P 处的全微分=P dz dy dx 521-. 7、（2005）.交换二次积分的次序⎰⎰--=20422),(x x dy y x f dx ⎰⎰⎰⎰-+-+y y dx y x f dy dx y x f dy 40402002),(),(.8、（2005）将21)(+=x x f 展开成2-x 的幂级数,并指出其收敛域:=)(x f )62(,)2(4)1(01<<---∑∞=+x x n nn n .9、（2005）.设+∞=∞→n n u lim ,则级数)11(11+∞=-∑n n nu u ( B )A.收敛于0B.收敛于11u C.发散 D.敛散性不确定10、（2006）设D :,122≤+y x 所围成,则⎰⎰+Ddxdy y x)]tan(1[2=π .11、（2006）交换二次积分的次序⎰⎰-=20),(y ydx y x f dy ⎰⎰⎰⎰+--2202022),(),(xxdy y x f dx dy y x f dx .12、（2006）级数∑∞=--+1211n nn n 的敛散性为 收敛 . 13、（2007）考虑二元函数),(y x f 的下面四条性质：①函数),(y x f 在点),(00y x 处连续 ②函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数连续③函数),(y x f 在点),(00y x 处可微 ④函数),(y x f 在点),(00y x 处两个偏导数存在则下面结论正确的是( A )A.②⇒③⇒①B.③⇒②⇒①C.③⇒④⇒①D.③⇒①⇒④ 14、（2007）二次积分⎰⎰2/0cos 0)sin ,cos (πθθθθrdr r r f d 可以写成( D )A.⎰⎰-102),(y y dx y x f dy B.⎰⎰-1102),(y dx y x f dyC.⎰⎰1010),(dy y x f dx D.⎰⎰-102),(x x dy y x f dx15、（2007）XOY 平面上的抛物线x z 52=绕X 轴旋转而成的旋转曲面的方程为x z y 522=+.16、（2007）二次积分⎰⎰-2121sin y dx x xdy =2cos 1cos -.17、（2007）设{}1|),(222≤+∈=y x R y x D ,则⎰⎰-Ddxdy y x)(2=4π.18.（2008）已知三角形ABC 的顶点分别为)2,0,1(),2,3,2(),1,1,1(-C B A ，则三角形ABC 的面积为233.19.（2008）设函数xye y x y x z )(),(-=，则全微分=)0,2(dz dy dx 3+. 20.（2008）交换二次积分的次序⎰⎰--=0121),(ydx y x f dy ⎰⎰-2101),(xdy y x f dx .21.（2008）函数xx f 2)(=展开成)1(-x 的幂级数为∑∞=-0)1(!)2(ln 2n n nx n .22.（2008）设b a b a b a b a 24,42-⊥+-⊥+，则a 与b的夹角为（ B ）A.0 B.2/πC.6/πD.3/π23.（2008）设)sin(22z x y z x -=+确定了隐函数),(y x z z =，则=∂∂+∂∂yzy x z z （ A ）A.x B.y C.z D.)sin(22z x y - 24.（2008）设D ：⎰⎰=+≤+Ddxdy y x y x )|(|,1||||则( C ) A.0 B.1/3 C.2/3D.4/3 25.（2008）设n n nx a)3(1∑∞=-在4=x 处发散，则其在0=x 处( C ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.无法判断敛散性二、解答题:1、（2003）求幂级数∑∞=+1122n n nx 的和函数)(x s . 答案：)(x s =)1ln(212x x --, )1,1(-∈x2、（2003）将)32ln(2x x y +-=展开成x 的幂级数,并求展开区间.答案: ∑∞=+++++-=01112)1()21(2ln n n n n n x y ,)1,1[-∈x 3、（2004）求函数y x y x z 161222+-+=在区域22y x +25≤上的最大值和最小值。
高数2复习题
高数2复习题练习题一一.填空题 1、曲线32,1,1t z t y t x =+=-=在点()1,2,0P 的法平面方程为 . 2、设Ω为由曲面22y x z +=和平面z=1所围成的闭区域，则Ωzdv 的值是 .3、设∑为球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧，则∑=zdxdy .4、设级数∑∞=1n n u 为正项级数，其部分和为nn n s v S 1,=，且∑∞=1n n v 收敛，则∑∞=1n n u = .二、选择题1、设??+=4arctan πxy z ，则=??x z (A)++41πxy xy(B)2411+++πxy x (C)22414sec ?++?+ππxy xy xy (D)241?++πxy y2、下列级数中，发散的是(A) ∑∞=-1!2n nn n n (B)()[]∑∞=+11ln 1n n n (C) ∑∞=-1213n n n (D)∑∞=123n n n 3、微分方程x xe y y y 265=+'-''的特解形式是=*y(A)()x xe B Ax 2+ (B) ()xe B Ax 2+ (C)B eAx x+22 (D)B Ae x +2三、计算题2、求x xydy ye dx 1221; 4、求幂级数∑∞=+153n nn n x n 的收敛半径5、求微分方程022=+-y dx dydxy d 满足()()20,00='=y y 的特解. 四、综合题;1、求由,2,2122z y x z ≤+≥及224y x z +-≤所确定的立体的体积五、证明题1、设()v u ,Φ具有连续偏导数，试证明：由方程()0,=--Φbz cy az cx 所确定的函数()y x f z ,=满足c yz b x z a=??+??.练习题二一.填空题 1、(),,,zyxz y x f =则()=1,1,1df . 2、2()=+??-x x dy y x dx 221210 .3、设L 是连接A(1,0)和B(0,1)的直线段，则()=+?Lds y x .4、将()xx f -=21展开为x 的幂级数时，其收敛域是 . 二、选择题1设γβα,,是平面三角形的内角则γβαcos cos cos =y 的极大值是(A)81 (B)41 (C)21 (D)121 3、设()x ?连续可微，且(),10=?曲线积分()()()-=4,40,0tan ππ??dy x xdx x y A 与路径无关，则()x ?=(A)1cos +x (B)x cos 1- (C)x cos (D)x sin 三、计算题 3、计算∑xyzdxdy 式中∑为球面1222=++z y x位于第一卦限内部分的上侧。
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08秋高数复习题2J1．设⎰∞-∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛+a taxx dt te x x 1lim , 则a = ________. 解. 可得⎰∞-=at adt te e =a a t t e ae ae te -=∞--)(, 所以 a = 2.2. ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =________. 解. nn n n n n n n n n +++++++++22221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <11211222+++++++++n n n n n n n所以 n n n n +++++221 <n n n nn n n n +++++++++2222211 <1212+++++n n n212)1(2122→+++=+++++n n n n n n n n n , (n →∞) 2112)1(12122→+++=+++++n n n n n n n , (n →∞) 所以 ⎪⎭⎫⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2222211lim =213. ⎪⎭⎫⎝⎛-→x x x x 1sin 1cot lim 0=______.解. 616sin lim 3cos 1lim sin lim sin sin sin cos lim020300==-=-=-⋅→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x4. 已知f(－x) =－f(x), 且k x f =-)('0, 则=)('0x f ______. 解. 由f(－x) =－f(x)得)(')('x f x f -=--, 所以)(')('x f x f =- 所以 k x f x f =-=)(')('005. 极限⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n 的值是 (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在 解. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⨯+++⨯+⨯∞→222222)1(12325213lim n n n n =1)1(11lim )1(1131212111lim 2222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+-∞→∞→n n n n n , 所以(b)为答案. 6. )1(ln lim-∞→nn n nn解. n nn n n n n n n n ln 1lim )1(ln lim -=-∞→∞→ x n n =-1令 1)1ln(lim0=+→x x x 7.讨论函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=11sin cos 2)2()(2x xx x x f π 的间断点.解. f(+0) =－sin1, f(－0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;11s i n l i m)(l i m 211-=→→x x f x x 不存在. 所以x = 1为第二类间断点; )2(π-f 不存在, 而2cos 2)2(lim2πππ=+-→x x x x ,所以x = 0为第一类可去间断点;∞=+--→xx x k x c o s 2)2(lim 2πππ, (k = 1, 2, …) 所以x =2ππ--k 为第二类无穷间断点.8 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧+=βαx e x x x f 1sin )(00≤>x x 在x = 0处的连续性. 解. 当0≤α时)1sin (lim 0xx x α+→不存在, 所以x = 0为第二类间断点;当0>α, 0)1sin (lim 0=+→xx x α, 所以 1-=β时,在 x = 0连续, 1-≠β时, x = 0为第一类跳跃间断点.9. xx x e x 1)(lim ++∞→解. e e e eee x xxx x x x e x e x e x xe x x xxx =====++++++∞→+∞→+∞→+∞→11lim)ln(lim)ln(1lim )(lim10. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且0 ≤ f(x) ≤ 1, 试证在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ. 证明: (反证法) 反设0)()(],1,0[≠-=∈∀x x f x x ϕ. 所以x x f x -=)()(ϕ恒大于0或恒小于0. 不妨设0)()(],1,0[>-=∈∀x x f x x ϕ. 令)(min 10x m x ϕ≤≤=, 则0>m .因此m x x f x x ≥-=∈∀)()(],1,0[ϕ. 于是01)1(>+≥m f , 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个ξ, 使f(ξ) = ξ.11. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且0)(3sin lim 230=⎪⎭⎫⎝⎛+→x x f xx x , 求)0(''),0('),0(f f f 及23)(limx x f x +→. 解. 0)(3sin lim )(3sin lim )(3sin lim 2030230=+=+=⎪⎭⎫⎝⎛+→→→x x f x xx x xf x x x f xx x x x . 所以 0)(3s i n l i m 0=⎪⎭⎫⎝⎛+→x f x x x . f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以)('),(x f x f 在x = 0连续. 所以f(0) = －3. 因为0)(3sin lim 20=+→x x f x x x , 所以03)(33sin lim20=++-→x x f x x x , 所以 2030202033c o s 33lim 3sin 3lim 3sin 3lim 3)(lim xx x x x x x x x x f x x x x -=-=-=+→→→→ =2923sin 3lim0=→x x x 02903)(lim 3)(lim 0)0()(lim)0('2000=⨯=+⋅=+=--=→→→x x f x x x f x f x f f x x x由293)(lim20=+→x x f x , 将f(x)台劳展开, 得293)(0)0(''!21)0(')0(lim 2220=++++→x x x f x f f x , 所以29)0(''21=f , 于是 9)0(''=f .12. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且2)]([)('x f x f =, 则当n 为大于2的正整数时, f(x)的n 阶导数是(a) 1)]([!+n x f n (b) 1)]([+n x f n (c) n x f 2)]([ (d) n x f n 2)]([! 解. 3)]([!2)(')(2)(''x f x f x f x f ==, 假设)()(x f k =1)]([!+k x f k , 所以 )()1(x fk +=2)]([)!1()(')]([!)1(++=+k k x f k x f x f k k , 按数学归纳法)()(x f n =1)]([!+n x f n 对一切正整数成立. (a)是答案.13. 2. 设函数对任意x 均满足f(1 + x) = af(x), 且=)0('f b, 其中a, b 为非零常数, 则 (a) f (x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f a (c) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f b (d) f(x)在x = 1处可导, 且=)1('f ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入)0()1(,0af f x ==得x f x f f x ∆-∆+=→∆)1()1(lim)1('0=ab af xaf x af x ==∆-∆→∆)0(')0()(lim0, 所以. (d)是答案 14. 已知'.,sin cos 2022y y tdt dt e x y t 求+=⎰⎰解. 两边对x 求导, 2222cos 2cos 2',cos '2cos 2'22yy ex x y y yy x x y e y y -=+=15.⎰+)1(8x x dx解. 方法一: 令tx 1=,c t t dt t dt t t t x x dx ++-=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=+⎰⎰⎰)1ln(8111111)1(887828 = c x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+-811ln 81 16.⎰+)41(2x x dx解. 令xt 2=, 2ln t dtdx =c tt dt t tt t dt dx x x +--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⎰⎰⎰2ln arctan 2ln 11112ln 12ln )1()41(22222 =c x x ++--)2arctan 2(2ln 117. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且)0()(3132f dx x f =⎰. 证明: 在(0, 1)内存在一个ξ, 使0)('=ξf . 证明: )()321)((3)(3)0(11132ξξf f dx x f f =-==⎰, 其中ξ1满足1321<<ξ.由罗尔定理, 存在ξ, 满足0 < ξ < ξ1, 且 0)('=ξf .18. . 设函数f (x )在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个ξ ∈ (0, 1), 使 ξξξ-=1)('2)(''f f证明: (x x f x f -=1)('2)('', xx f x f -=12)(')(''二边积分可得c x x f =-2)1)(('ln , 所以c e x x f =-2)1)((')令 2)1)((')(-=x x f x F . 由f(0) = f(1) = 0知存在η ∈ (0, 1), 0)('=ηf . 所以F(η) = F(1) = 0, 所以存在 ξ ∈ (η, 1), 0)('=ξF . 立即可得ξξξ-=1)('2)(''f f19. 设三次函数d cx bx ax x f y +++==23)(, 若两个极值点及其对应的两个极值均为相反数, 则这个函数的图形是(a) 关于y 轴对称 (b) 关于原点对称 (c) 关于直线y = x 轴对称 (d) 以上均错 解. 假设两个极值点为x = t 及 x = －t (t ≠ 0), 于是f(t) =－f(－t). 所以 d ct bt at d ct bt at -+-=+++2323, 所以b + d = 0023)('2=++=c bx ax x f 的根为 x = ± t, 所以 b = 0. 于是d = 0. 所以cx ax x f +=3)(为奇函数, 原点对称. (b)为答案20.求 x 2 + y 2 = a 2绕x =－b (b > a > 0)旋转所成旋转体体积. 解.由图知⎰+---+-=ady b y a b y a V 0222222])()[(2π=⎰⎰⎰+==-22202202222cos 18cos 842πππππdt tb a tdt b a dy y a b a=222248πππba b a =⋅21. 在直线x －y + 1=0与抛物线542+-=x x y 的交点上引抛物线的法线, 试求由两法线及连接两交点的弦所围成的三角形的面积. 解. 由联立方程⎩⎨⎧+-==+-54012x x y y x 解得交点坐标)2,1(),(33=y x , )5,4(),(22=y x由42'-=x y 求得二条法线的斜率分别为211==x k , 414-==x k . 相应的法线为 )1(212-=-x y , )4(415--=-x y . 解得法线的交点为)29,6(),(11=y x .已知三点求面积公式为 3232313121y y x x y y x x S ----±=所以41533255212132323131=±=----±=y y x x y y x x S . 22. 求通过点(1, 1)的直线y = f (x )中, 使得⎰-222)]([dx x f x为最小的直线方程.解. 过点(1, 1)的直线为 y = kx + 1－k 所以 F (k ) =⎰---222)]1([dx k kx x=⎰-+-+-++-222234])1()1(2)22(2[dx k x k k x k k kx x=2223245)1()1(322425⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-++-x k x k k x k k x k x =22)1(2)1(4)22(388532k k k k k k -+-+-++- 03834)1(4)84()22(388)('=-=---+++-=k k k k k Fk = 2 所求直线方程为 y = 2x －1。