18 静电场-场强2

= Φ1 + Φ 2 + LΦ外
dS
q1
qi
qi +1
∴Φ = ∫∫ E cos θdS = Φ 1 + Φ 2 + L
S
q = + + ...... = ∑ qii ∑ ε ε = Φ =0∫∫ E0⋅ dS cos θ ε 0 ii S 证毕 ε 0
q1
q2
1
注意
Φ =
静电场为有源场 静电场为有源场
Q 4πε 0 x
2
r0
λ dx
特别注意：由于电荷在自身场中不受力,故这里 故这里E 特别注意：由于电荷在自身场中不受力 故这里 不应包含dq的场 不应包含 的场
求无限大均匀带电平面的场强分布。 例、求无限大均匀带电平面的场强分布。 设面电荷密度为σ e 电场分布对该平面对称, 解：电场分布对该平面对称, 即离平面等远处的场强大小 都相等、 都相等、方向都垂直于平面 σe
r E
n
面的法线方向与电力线方向相同 r
∆Φ e = E∆S cosθ
∆S ′ ∆S
θ
非均匀场任意曲面情况 （2） 非均匀场任意曲面情况
dΦ = E cos θ ⋅ dS
Φ =
=
∫∫ d Φ = ∫∫ E cos θ d S
S
r E r E
r r E dS r ⋅ d s >0 r ⋅ d s <0
课堂讨论： 课堂讨论：
r r r 1. 关于 E和 Φ = ∫∫ E ⋅ dS 的讨论 .
S
？
P
E与E的通量是两个完全不同的概念。 S
S
r r Φ = ∫∫ E ⋅ dS = 0
S
r r Φ = ∫∫ E ⋅ dS ≠ 0
S
不能推断S 不能推断S面上各 点场强一定为零. 点场强一定为零.
不能推断S 不能推断S面上各 点场强一定不为零. 点场强一定不为零.
+σ
−σ
σ E = ε0
A
C
B
思考：带电量为 的平板电容器两极板间的相互作用力 的平板电容器两极板间的相互作用力？ 思考：带电量为q的平板电容器两极板间的相互作用力？
σ − q2 F= q= 2ε 0 2ε 0 S
那一个对？ 那一个对？
σ − q2 F = q= ε0 ε0S
σ E= ε0
——已包含板自身的电场了 已包含板自身的电场了
例、求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。 求两个平行无限大均匀带电平面的场强分布。 设面电荷密度分别为 σ 1 = +σ 和 σ 2 = −σ −σ +σ C A B
EA = 0 ,EB = 0
σ σ EC = E+ + E− = 2 × = 2ε0 ε0
直流电路中的平行板电容器间 的场强，就是这种情况。 的场强，就是这种情况。
r r Φ = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS cos θ =
S S
∑q
i
i
q2
qi
q1
ε0
qi +1
高斯定理的证明
r r Φ = ∫∫ E ⋅ dS = ∫∫ E ⋅ dS cosθ =
S S
∑q
i
i
（1）通过包围点电荷 q的 同心球面的电通量都为 q / ε 0 r r q ⋅ dS Φ = ∫∫ E ⋅ d S = ∫∫ 2 4πε 0 r S S q ds = q ⋅ 4πr 2 = q = 4 πε 0 r 2 ∫∫ 4πε 0 r 2 ε0 S （2） 证明包围点电荷的任一闭合曲面 的电通量 Φ 等于 q / ε0
aபைடு நூலகம்
3
k 2ε 0 a2
= =
∑ qi / ε 0 =
1
常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 柱对称 面对称 无限大 平板 平面
带 无限长 电 球体 柱体 体 球面 柱面 点电荷) (点电荷) 带电直线
要点： 要点：
•电荷分布的对称性与场强分布的对称性相同 电荷分布的对称性与场强分布的对称性相同
•场强分布的对称性－－取Gauss面的关系 场强分布的对称性－－取 场强分布的对称性－－ 面的关系 v v 使 ∫∫ E ⋅ dS 容易计算
+λ
−λ
E− =
λ
2πε 0 (d − x)
+λ
a
b
λ 1 1 E = Ex = ( + ) 2πε 0 x + d d − x
0x 2d
c
a
−λ
已知…; 例：已知 ;求场强 解： E 1 = 0
Φ e = E 2 ∆S + E 2 ∆S = 2 E 2 ∆S
ρ=Kx
v E
v E2
1
2
v E
v E2
dN E= dS
dS
r E
dS
电场强度方向为电力线切向方向
r EA r EB
r E
r EC
B A
C
二.电场强度通量
电通量： 通过任意曲面 任意曲面的电力线条数 电通量： 通过任意曲面的电力线条数 （1） 均匀场情况 均匀场情况
∆S
r n
∆N E= ∆S
∆N = E∆S
∆Φ = E ∆ S ∆N = E∆S ′ = E∆S cosθ
∫∫
S
r r E ⋅ dS
电场线穿出多于穿入量时: 电场线穿出多于穿入量时:Φ >0;
r dS r dS r dS r dS
r r Φ = ∫∫ E ⋅ dS
电 通 量 为 多 少
S
的 题 ： 三 个 闭 合 曲 面
问
?
+q
+q
R
+q
三
真空中的高斯定理
高斯(Gauss,1777--1855)德国数学家 高斯(Gauss,1777--1855)德国数学家 (Gauss,1777--1855) 高斯定理表述如下： 高斯定理表述如下： 在真空中任意一闭合曲面的电场强度通量等于 该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 ε 0
Qa
Rb
3 1 2
Ra
1
E
2
=
Q 4 πε
a 0
r
2
E
3
=
( Q a－ 4 πε
Q 0 r
b 2
)
已知R 例: 已知 ,Q, L,r , λ
0
L
带电细线所受的电场力？ 求：带电细线所受的电场力？ R 0
r0
解：
dF = Edq
x
dq dx
x
E =
Q 4πε 0 x 2
r0 + L
F = ∫ dF = ∫ Edq = ∫
∫∫
S
EdS cos θ =
∫∫
S
r r E ⋅ dS
1 1 Φ = ∑qi = ε0 ∫∫∫ρdV ε0 S面所包围 S所包围的体积 V
r 闭合面内、 闭合面内、外电荷 对 E 都有贡献 都有贡献
对电通量
∫
S
r r E ⋅ dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 只有闭合面内的电量对电通量有贡献 电通量
1
v E
电力线的性质 1） 电力线不会形成闭合 曲线 2）.它起始于正电荷终止于 负电荷。电力线不会无电荷处中断。 负电荷。电力线不会无电荷处中断。
−q
v E
在没有电荷的空间里, 电力线不会相交。 3）. 在没有电荷的空间里, 电力线不会相交。
电场线举例
+2q
-q
电场线密度
r n
dN E∝ dS
S S S
（3）封闭面的电通量: 封闭面的电通量: 规定：闭合曲面外法线方向 规定： 自内向外) (自内向外) 为正
r rθ E n
r E
r r dΦ = EdS cos θ = E ⋅ dS
穿入 θ > 90 0,
Φ <0.
r n
θ
穿出 θ < 90 0 ,Φ >0,
Φ =
∫∫
S
EdS cos θ =
ε0
r
r r n
E
高斯面上任一处 cos θ = 1
(3) 通过不包围点电荷的任意闭合曲面 的电通量恒为0 的电通量恒为0。 因为电力线的连续性
－Φ穿入 = Φ穿出
r nθ
r E
Φ = Φ穿入 + Φ穿出 = 0
Φe =
θ
r E
∫∫
S
E cos θ dS = 0
Q
结论一： 结论一：通过任意形状的包围点电荷的闭合 面的电通量都是q 面的电通量都是q /ε0 结论二： 结论二：不包围任何点电荷的任意形状的闭 合面的电通量都是0 合面的电通量都是0
r rn r dS θ E
S
∫∫
r r E ⋅ dS
S
r S r d S方向为法线方向 n
r n θ
r dS
r n
r E
S
S
θ Φ =E⋅S⋅cosθ r r = E ⋅ Sn
r E
Φ=E⋅S
r r dΦ = E d S = E ⋅ d S
r r Φ = ∫∫ dΦ = ∫∫ E cos θdS = ∫∫ E ⋅ dS
证明： （4）证明：多个点电荷的电通量等于 它们单独存在时的电通量的代数和。 它们单独存在时的电通量的代数和。
r n
θ
r E
r r v r v E = E1 + E 2 + ... + E i + E i +1 + ...