一类2m阶抛物方程的弱解存在性与正则性

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一类非线性偏微分方程弱解的存在性

一类非线性偏微分方程弱解的存在性摘要：解的存在性和正则性是偏微分方程研究的重要课题.古典解往往难以直接到达，数学上定义了可微性弱一点的强解和弱解，并发展了先求证强解或弱解的存在性，在利用先验估计提升正则性的方法.该文将证明一类非线性偏微分方程弱解的存在性.关键词：Banach不动点定理弱解存在性非线性偏微分方程取足够小，则有，故是压缩映射。

由Banach不动点定理，知存在唯一不动点。

定理得证。

3 结语由此，我们看到，形如（1）的二阶非线性偏微分方程在一定条件限制下存在唯一的弱解。

事实上，对于各种具体的情况，我们还可以利用各种正则性估计理论将这个弱解的正则性提高，从而使得这个解满足二次可微的性质。

这样的话，就得到物理和实际上需要的强解。

满足了强解的存在性的话，上述证明事实上也给出了利用迭代构造一个可以逼近这个强解的收敛函数列的方法。

在现实情况中，我们只需要取这个函数列的前面几项，就可以得到合乎足够精度要求的数字解。

这也是计算数学中常用的方法。

但是，这样一个解释存在的是可以做数值逼近的前提条件。

这就是理论数学研究的范畴。

参考文献[1] Lawrence C.Evans.Partial Differential Equations.American Mathematicat society.2010.[2] 马天.偏微分方程理论与方法[M].北京：科学出版社，2011.[3] NakhléH.Asmar.Partial Differential Equations with Fourior Series and Boundary Value Problems（Second Edition）.。

一类抛物型方程弱解的正则性

一类抛物型方程弱解的正则性狄华斐;武虔虔;龙群飞【摘要】对一类PDE抛物型方程初边值问题，在一定条件假设下弱解的正则性问题的研究，通过一些技巧和方法。

描述了方程弱解的正则性．这些技巧和方法包括：Galerkin逼近法，解得弱收敛，sobolev不等式，内插不等式等等．%In this paper, we discuss the regularity of the weak solution u to theinitial/boundary value problem for second-order parabolic equations under certain Condition assumption. Via some techniques and methods,we also show the regularity of the weak solution. These techniques and methods include Galinkin-approximation, the weak convergence of the solutions, Sobolev-inequalities, interpolation-inequality, etc.【期刊名称】《贵州师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(030)002【总页数】5页(P28-32)【关键词】抛物型方程;弱解;弱解的正则性;Galerkin逼近【作者】狄华斐;武虔虔;龙群飞【作者单位】云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500【正文语种】中文【中图分类】O29现代抛物型方程问题的可解性的研究总是在合适的泛函空间中考虑其弱解的性质，所以sobolev空间的引进(参看文献［1－2］)为这一研究提供了有效地途径.通过sobolev空间，我们可以在更广泛的函数类中寻求问题的解，这样可解性的问题变得就容易多了，这种解往往就称为“弱解”或“广义解”.本文讨论了抛物型方程:在一定条件假设下弱解的正则性问题.近年来，这类抛物型方程很多学者已经对它进行了广泛的研究，例如文献［2－4］中，作者假设算子L的系数 aij，bi，c是光滑的，并且与时间 t无关.而在本文中我们对L的系数的范围进一步放宽，即aij，bi，c是与时间t有关的，并且只要求c∈L∞ ，要求，则得到与文献［2］中相同的结果.在这里我们假设:U⊂Rn是一个有界开集，∂U光滑;UT=U ×(0，T］(其中T为固定的时间)，在这里f:UT→R，g:U→R为已知函数，u:是未知函数u=u(x，t).偏微分算子L是一致椭圆型算子即存在常数θ＞0，使得:并且L拥有散度形式:并且对方程中的系数aij，bi，c进一步做出额外的假设是Laplace算子－Δ 在空间上的特征函数(光滑)的完备集合(参考文献［2］中的§6.51)，m是一个正整数，在这里我们找函数:其中系数dkm(t)(0≤ t ≤ T ，k=1，…，m)使得:(在这双线性形式表示上的内积).下面我们叙述本文的主要结果:定理1(i)假设算子L的系数，函数同时也假设H－1(U))是方程:的一个弱解，则可得:且其中常数C与U，T及算子L系数有关．(ii)如果假设算子L的系数，函数则可得1)固定m≥1，用乘以等式(4)两边，则可得:在这其中而注记:这里(aij=aji)，所以可得:更进一步得:(这里C为常数，ε＞0且2)综合以上不等式得:我们取且时，由是 L2(U)上的标准正交基，同时是上的标准正交基，所以有:得: 又由得:综合(6)(7)式得:接着用乘以等式(4)两边得:这里因所以存在常数γ≥β≥0 s．t:所以有:(这里 C1，C2为常数)．3)现在记:由 (11)得:η'(t)≤C1η(t)+C2ζ(t)，a．e．0≤t≤T又由Gronwall，s不等式得:所以有:现在对(11)式进行时间t的积分，并利用以上的不等式得:又利用(14)式得:由，所以有:综合以上不等式可得:综合以上不等式可得:取极限m=ml→ ∞ ，可得到u∈ L∞(0，T;H10(U))，u'∈ L2(0，T;L2(U)).4)特别是对任何的时间t，我们有:将上面的不等式重新写为:B[u，v]=(h，v)，其中h=f－ u'，因为h(t)∈L2(U)，a.e.0≤t≤T，所以由椭圆型方程的正则性理论(参考文献[2] §6.32中的定理4)，可得u(t)∈H2(U)，a.e.0≤ t≤ T且有:两边取积分得:综合步骤2)和3)中的不等式，我们即可得到结论(i).5)接下来建立弱解的高阶正则性，假设g∈固定m ≥ 1 ，对方程(u'm，wk)+B[ um，wk;t]=(f，wk)进行时间t求导可得: 注记:这里令有，用，去乘上式的两边，并相加得:其中更进一步得:在式子 (21) 中，有由于因而存在常数γ≥β≥0 s.t:综合(21)(23)(24)式可得:取时，上式可转化为:6)现在记由 (25)式得: η'(t)≤ C1η(t)+C2ζ(t)，a.e.0≤ t≤ T又由Gronwall，s不等式得:所以有对(25)式进行时间t的积分，并利用以上的不等式得:7)我们必须估计(29)式最后一项是Laplace算子－Δ在空间H10(U)上的特征函数(光滑)的完备集合，特别的－Δum=λmum=0 on∂U上，这样:因为且 ( um(0)，wk)=，所以有因此且，所以(29)暗示:8)现在，且－Δwk=－λkwk，用λkdtm(t)乘以上式并将k=1，…，m相加，则可得到:因Δum=0，on∂U，所以B[um，－Δum]=(Lum，－Δum)，接下来引用不等式: 我们从(31)式可得到:综合上式，(16)，(30)和参考文献［2］§5．92 中定理3得:取极限m=ml→∞ ，我们得到对u同样的有界性．9)在这还需证明的是u″∈ L2(0，T;H－1(U))，为了达到目的，取v∈ (U)且，在这里v1∈，因为是的标准正交基所以因为u″m = ~u'm，所以可得 :因为这样，所以u ″m在空间L2(0，T;H－1(U))是有界的．综合以上不等式得:【相关文献】［1］王元明，徐君祥．索伯列夫空间讲义［M］．南京:东南大学出版社，2003:67-83．［2］Lawrence C Evance．Partial Differential Equations［M］．Rhode:Rhode Island，1988:71-73．［3］Lawrence C Evance．A survey of entropy methods for partial differential equations ［J］．Bulletin AMS，2004，41(4):409-438．［4］Zhang Yunzhang，Yang Ganshan．Existence and regularity of weak solutions for the biharmonic equation with complete second order derivative［J］．Dynamics of Continuous，Discrete and Impulsive Systems Series A:Mathematical Analysis，2010(17):215-232．［5］Struwe Michael．On the continuity of bounded weak solutions of quasilinear parabolic systems［J］．Maun math，1981(35):124-145．［6］Boccardo L．Nonlinear elliptic and parabolic equations involving measuredata ［J］．Funct Anal，1989(87):149-169．［7］Lin F H．On the Dirichlet problem forminimal graphs in hyperbolic space ［J］．Inventiones Mathematicae ，1989，96(3):592-612．［8］张德翔．关于热平衡方程的计算和教学［J］．贵州师范大学:自然科学版，1986(1):105-106．［9］F Duzaar，A Gastel，and J F Grotowski．Optimal partial regularity for nonlinear elliptic systems of higher order［J］．Math Sci Tokyo，2001(3):463-499．［10］罗李平，王智慧．具连续分布滞量的偶数阶非线性中立型偏微分方程的振动准则［J］．贵州师范大学学报:自然科学版，2006(02):66-70．［11］J Kinnunen and J L Lewis．Higher integrability for parabolic systems of plaplacian type［J］．Duke Math J，2000(102):253-271．。

一类双重退化抛物方程初边值问题局部解的存在性

化的方法将其正则化，然后基于文中对近似解的若干估计得到该问题局部解存在性的结论。该结论将
相关文献的主要结果推广到了更一般的情形。关键词：重退化抛物方程；边值问题；则化双初正中图分类号：１５８Ｏ７．文献标志码：Ａ
ＥｘｓｅｃｆＬｏａｏｕｉｎｏａＣｌｓｆＤｏｂｌｇｎｒｔｒｂｌｃＥｑｔｏｓｉｔｎｅｏｃｌＳｌｔｏｓｔａｓｏｕｙＤｅｅｅａｅＰａａｏｉｕａｉｎｗｉｈＩｉｉｌ— ｂｕｎｒｌｅＣｏｄｔｏｓｔｎｔａ — ｏｄａｙＶａｕｎｉｉｎ
文章编号：０９— １Ｘ（０８００５０１０３５２０）３— ２０— ４
一
类双重退化抛物方程初边值问题局部解的存在性
丛树强，丛波谢
（大连民族学院理学院，宁大连１６０）辽１６５
摘
要：要研究了一类非线性双重退化抛物方程初边值问题。由于方程的退化性，中首先运用正则主文
ＡｂｓｒｔＴｈｓｐｐｒｄａｓｗｉｈｎｔｌ—ｂｕｄａｙｖｌｒｂｅｏｌｓｆｄｕｌｅｔａｃ：ｉａｅｅｌｔｔｅｉｉｉｈａｏｎｒａｕｅｐｏｌｍｓｆｒａｃａｓｏｏｂｙｄ — ｇｎｒｔａａｏｉｑａｉｎ．Ｏｗｉｇｔｈｅｅｅａｙｏｈｅｅｕｔｏｅｅａｅｐｒｂｌｃｅｕｔｓｏｎｏｔｅｄｇｎｒｃｆｔｑａｉｎ，ｗｅｒｇｌｒｚｄｈ — ｅｕａｅｔｅｅｉｑａｉｎｉｓｌｕｔｓｆｒｔｙ．ｔｅｂａｎｄｔｘｓｅｃｆｌｃｌ— ｉ — ｔｍｅｗｅｋｓｌｔｎａｅｎｓｍｅｏｈｎｏｔｉｅｈｅｅｉｔｎｅｏｏａｎｉａｏｕｉｓｂｓｄｏｏｏｓｉｂｅｅｔｍａｅｎｔｅａｐｏｉａｅｓｌｔｏｓＴｅｃｎｌｓｏｅｅａｉｅｈｉｅｕｔｎｕｔｌｓｉｔｓｏｈｐｒｘｍｔｏｕｉｎ．ｈｏｃｕｉｎｇｎｒｌｚｓｔｅｍａｎｒｓｌｓｉａｔｅｃｒｅｐｎｉｇｒｆｒｎｅｉｄｉｈａｅ．ｈｏｒｓｏｄｎｅｅｅｃｓｃｔｎｔｅｐｐｒｅＫｅｏｄｓｄｕｌｅｅｅａｅｐｒｂｏｉｑａｉｎ；ｉｉｉｌ— ｂｕｎａａｕｒｂｅ；ｒｇｌｒ— ｙｗｒ：ｏｂｙｄｇｎｒｔａａｌｃｅｕｔｏｎｔａｏｄｒｖｌｅｐｏｌｍｙｅｕａｉ

in_关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究

浙江大学博士学位论文关于二阶线性椭圆、抛物型方程正则性的若干研究姓名：***申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：王斯雷;陈杰诚20010401致谢本人的博十论文能够顺利完成，得益丁许多人的关心、支持和帮助。

值此机会，向他们表示我最诚挚的感谢。

在攻读博士学位的这几年中，导师王斯雷教授对我的影响最大。

他对数学的独到见解和研究中的严谨作风使我在做学问和做人两方面均终身受益，他对我的提携和帮助使我终身难忘。

在此，向王老师表达我深深的谢意。

同时，也要感谢王师母对我的关爱。

导师陈杰诚教授对我的悉心指导和热心帮助使我能顺利完成学业，在此向他表示衷心的感谢。

同样，也要感谢师母徐罕老师对我的关心和帮助。

自从进入浙江大学西溪校区（原杭州大学）以来，骆程教授一赢在学业和生活上关心、帮助我，在此向他表示我真诚的感谢。

感谢浙江大学西溪校区数学系的各位老师和资料室的工作人员对我的帮助。

感谢陶祥兴博士、金小刚博士、刘宗光博士、杨益民博士、贾厚玉博士、金永阳博士和孙永忠、刘晓风、应益明、王梦、郭新伟、章志飞诸学友。

与他们的相处和交流使我受益匪浅，也使我度过了五年的美好时光。

最后，我要感谢我的家人和朋友。

没有他们对我的默默支持和无私帮助，我不能想象我能完成这篇论文。

摘要调和分析（或傅里叶分析）起源于法国科学家Ｊ．Ｆｏｕｒｉｅｒ对热流动的研究．从那时起，经过近两个世纪的发展，调和分析业已成为数学的一个重要分支．无论从概念或方法上，它都广泛地影响着数学的其它分支．数学中很多重要思想的形成都与调和分析的发展过程密切相关．故而，调和分析是研究许多数学分支的重要工具，特别对偏微分方程而言更是如此．众所周知，调和分析中的位势理论，极大函数，球调和函数和算子插值等均为研究偏微分方程的重要工具．本论文主要利用调和分析方法研究二阶线性椭圆、抛物方程的正则性问题．本文共分三章，分别研究二阶散度型椭圆方程，退化二阶散度型椭圆方程和非连续系数二阶椭圆、抛物方程的正则性．第一章研究Ｒ“（ｎ≥３）中有界开集ｎ上的二阶散度型椭圆方程（ａｉｊｕ。

二阶抛物型偏微分方程

3.2解的整体存在性
3.3解的正则性
第四章全空间中的抛物型方程
4.1极大值原理
4.2柯西问题与半群方法
4.3抛物型HOLDER空间以及抛物型插值不等式
4.4热方程在HOLDER空间中的可解性
4.5 SCHAUDER估计
4.6解的存在性
4.7内估计
4.8解的正则性
教材：
wrenceC. Evans，《Partial Differential Equations》，Providence，RI: American Mathematical Society，1998。
教学大纲：（章节目录）
第一章二阶线性抛物型方程
1.1预备知识以及抛物型方程定解问题介绍
1.2弱解的存在性
1.3解的正则性
1.4极大值原理
第二章半线性抛物型方程
2.1半线性抛物方程的抽象理论
2.2半线性抛物方程的初值问题
2.3半线性抛物方程的初边值问题
第三章拟线性抛物型方程
3.1分数幂算子与分数幂空间
开课学期：秋
总学时/讲授学时：48/48
学分：3
先修课程要求：广义函数与SOBOLEV空间；偏微分方程概论
课程组教师姓名
职称
专业
年龄
学术专长
汤燕斌
教授
应用数学
42
偏微分方程
杨茵
教授应用数学48偏分方程段志文副教授
应用数学
41
偏微分方程
韩淑霞
讲师
应用数学
35
偏微分方程
课程教学目标：
本课程的目标是掌握二阶抛物型偏微分方程的基本理论；掌握二阶抛物算子的基本解、抛物型偏微分方程的极值原理和 - 衰减估计；掌握抛物型偏微分方程定解问题的古典解和弱解的适定性和解析半群方法，为线性算子半群和微分算子理论、非线性发展方程、反应扩散方程、偏微分方程数值计算以及调和分析等领域的研究打下坚实的基础。

一类二阶抛物型方程初边值问题解的存在定理

（１．２）
的一个先验估计ｌ２－１ＣｌｌＬｕｌｌ０，进而得到了解存在唯一性定理
受到上述思想的启发，我们将对二阶抛物型算子
Ｌｏｕ：Ａｕ— ａｉｒ一ｔ
（１．３）
建立一个优先估计
ｌ２＿１ｃ（ＩＬ￣ｌｌ。＋ＩＩＬｕｌＬ。），
在抛物型偏微分方程解的存在性问题的研究中，一般是先建立一个可能的解的先验估计，
然后利用一些非线性分析的方法证明解的存在性．如Ｅｌｃａｒｔ和Ｓｉｇｉｌｌｉｔｏ在文［１】中先推导出
了抛物算子Ｌ。
Ｌｎｉｔ＝ａｉｊｕ。＋ｂｉｕｔ一０ —ＣＵｔ
有关吸引盆理论的相关知识．
引理１．１［６】设，Ｆ为Ｂａｎａｃｈ空间，日为Ｅ中连通开集．ｆ：ＨｃＥ－＿＋Ｆ在Ｈ上是
局部同胚的Ｃ映射．设Ｘ０∈Ｈ，对于任何Ｘ∈Ｈ，路径提升问题
ｆ．厂（％＠））＝ｆ（ｘｏ）＋ｅ－ｔ（，（）一ｔ厂（ｏ）），ｔ ∈ Ｒ，
考虑二阶抛物算子
Ｌｏｕ＝Ａｕ—ａｕ一ｔ，
（２．１）
己
０
其中ａ（ｘ）是ｔ，Ｘｌ， … ，的有界函数．设Ｗｏ（Ｄ）是以
Ｕ
（ＩＰｕｌ，：／（ “ ，２＋ＩＩ［２＋ｕｔ２）
（１．４）
然后利用非线性分析的方法讨论方程（１．１）解的存在性问题，并推导出一类二阶抛物型方程初边值问题解的存在唯一性的一个充分条件．我们的证明不同于Ｅｌｃａｒｔ和ｓｉｇｉｌｌｉｔｏ给出的证明．一个有趣的工具，吸引盆，在我们的主要定理２．１的证明中起着重要的作用，下面先给出

一类二阶抛物型方程解的研究概要

毕业论文一类二阶抛物型方程解的研究学生姓名：高艳专业班级：数学与应用数学2011级2班指导教师：潘宁讲师学院：理学院2015年6月一类二阶抛物型方程解的研究摘要本篇论文，主要利用Galerkin 方法，并结合o H lder 不等式、Gronwall 不等式和Sobolev 定理等相关知识，研究了以下半线性拟抛物方程初边值问题：00(,0)()|00t t u u u x t u x u x x u t α∂Ω-∆=∈Ω>=∈Ω=>，，，，，，，并对上述问题解的存在唯一性进行了讨论．证明了，若1u C α∈，-1u αα上方有界，且存在常数a ，b 及A ，B 使下面不等式12u au b α+≤+||||u A u B αγ≤+成立，其中1+22132n n n n γγ≤≤∞=+≤≤≥-，，． 1200()()u x W ∈Ω，，则对任意0T >，上述问题存在唯一整体12W ，解 1,1,20(,)((0,);())u x t W T W ∞∈Ω．关键词半线性拟抛物方程；整体1,2W 解；存在唯一性；Galerkin 方法Research of the solutions for a class of secondorder parabolic equationsAbstractIn this paper ，the initial boundary value problem of semi-linear pseudo-parabolic equations is studied00(,0)()|00t t u u u x t u x u x x u t α∂Ω-∆=∈Ω>=∈Ω=>，，，，，，，By mainly using the Galerkin method ，combined the o H lder inequality ，Gronwall inequality and embedded Sobolev theorem and other related knowledge ．In the same time ， it also discusses the existence and uniqueness of the solution ．Then ，it is proven that if 1u C α∈and -1u αα is bounded above ，there are constants a ，b ，A and B such that12u au b α+≤+and||||u A u B αγ≤+1+2n γ≤≤∞=，；2132n n n γ+≤≤≥-，． and 1,200()()u x W ∈Ω，then the problem admits a global 1,2W solution1,1,20(,)((0,);())u x t W T W ∞∈Ω．Keywords se mi-linear pseudo-parabolic equations ；global 1,2W solutions ；existence and uniqueness ；Galerkin method ．目录摘要Abstract1 前言 (1)1.1 一类二阶抛物型方程及研究现状 (1)1.2 Galerkin 方法 (2)1.3 本文要做的工作 (2)2 基本概念 (3)2.1 ()p L 空间及其性质 (3)2.2 Sobolev 空间及其性质 (4)2.3 ([0,];)p L T X 空间及其性质 (5)2.4 1([0,];)p W T X ，空间及其性质 (5)3 初边值问题解的存在唯一性证明 (6)3.1 预备知识 (6)3.2 存在性的证明 (7)3.3 唯一性的证明 (11)结论 (13)参考文献 (14)致谢 (15)1 前言偏微分方程是现代数学的一个重要分支，在物理学、计算机图形学和金融数学等学科中都有很多重要的应用．近年来，随着各个领域的高速发展，非线性偏微分方程得到了广泛的研究.在这一节中，我们将介绍一类二阶非线性抛物方程及研究现状、本文采用的主要方法和本文要做的工作．1.1 一类二阶抛物型方程及研究现状在偏微分抛物型方程中，非线性拟抛物方程是特殊的一类二阶抛物型方程．这一类方程主要是在20实际70年代从大量的实际问题中提出的一类新型非线性发展方程，常用来描述一系列重要的自然现象，如人口聚合、长色散波以及热传导问题，其一类形式为()0t t u u f u x t -∆=∈Ω>，，．这类方程吸引了国内外众多的数学工作者，并取得了令人瞩目的进展.1995年，著名数学家郭柏灵院和苗长兴在文献[1]中研究了GBBM 方程组()()t t u u f u div u ϕ-∆=+具有初边值条件0(,0)()|0u x u x u ∂Ω== 的初边值问题的整体2,p W 强解的存在性，其中n R Ω⊂为有界域．他要求()f u 满足如下增长条件：|()|||12;21 3.2f u A u B n n n n γγγ≤+≤<∞=+≤≤≥-，，，进而得到整体2,p W 强解.在文献[2]中，刘亚成等人研究了文献[1]中GBBM 方程组及初边值问题中()=0u ϕ的特殊情形，即如下半线性拟抛物方程的初边值问题()0t t u u f u x t -∆=∈Ω>，， (11)- 0(,0)()u x u x x =∈Ω， (12)- |00u t ∂Ω=>， (13)- 其中()f u 满足以下两个条件2((),)f u u a b u ≤+ |()|||,0,220,32f u A u B n n n n ααα≤+<<∞=+<<≥-；得到任意维数的广义强解210(,)(0,;()())u x t L T H H ∞∈Ω⋂Ω．在关于非线性项()f u 的不同条件下，已有文献分别证明半线性拟抛物方程的2H 强解[3][4]、1,(2)p W p <<∞解[5]、2,(2)p W p <<∞解[6][7]和Cauchy 问题[8]，实质上改进了以有的结果．在文献[4]中，刘亚成、杨海鸥在关于()f u 的很弱的增长条件下，得到了问题(11)(13)---整体2,2W 解的存在性，改进并丰富了已有结果．但关于问题(11)(13)---的1,2W 解，至今尚无结果．那么，在本文中，我们将针对()f u u α=的特殊形式以及它在不同条件下，讨论整体1,2W 解的存在唯一性.1.2 Galerkin 方法在研究非线性抛物方程整体解的存在性时，Galerkin 方法是一个有力的工具．它不仅给出了一种理论证明的推导过程，在实际计算中也是一种行之有效的方法．Galerkin 方法的主要思想[10]是把原来的偏微分方程初边值问题化为一个常微分方程组的初值问题，在得到常微分方程组的解以后，经线性组合得到原问题的近似解，在极限过程中，近似解收敛到所要求的解.其基本步骤[11]如下：（1）构造近似解在一个适当可分空间中选取一组基函数系，然后构造线性组合形式的近似解，利用常微分方程组解的存在性定理，证明近似解的存在性．（2）作先验估计一般采用乘以近似解或其关于时间变量t 的某阶导数，然后关于空间变量在相应的空间区域积分，而得到先验估计．（3）取极限应用泛函分析Banach 空间内一个有界集的紧致性原理取弱*极限或弱极限，初步得到原方程的解．（4）验证验证所得到的解满足原问题的初边值条件．利用Galerkin 方法，可以将方程简化，此方法在解决物理、生物化学，金融学科等实际问题中得到了广泛的应用研究和发展．1.3 本文要做的工作在本文中，利用Galerkin 方法研究了以下方程0t t u u u x t α-∆=∈Ω>，， (14)-0(,0)()u x u x x =∈Ω， (15)- |00u t ∂Ω=>， (16)- 的初边值问题，其中n R Ω⊂为有界域．要解决的问题：（1）构造Galerkin 近似解，并得出近似解应满足的方程；（2）运用o H lder 不等式、Gronwall 不等式和Sobolev 嵌入定理作先验估计，证明近似解的存在性；（3）说明近似解的极限就是问题式(14)(16)---的解；（4）证明整体解的唯一性.2 基本概念半线性拟抛物方程中的未知函数u 是关于时间变量t 和空间变量x 的向量值函数，然而变量t ，x 在方程中的条件和地位是不同的，如光滑性和可微性的要求有所不同，因此引进不同的函数空间来适应各种相关的需要．本节将介绍()p L Ω、Sobolev 、([0,];)p L T X 、1([0,];)p W T X ，四个与论文有关的空间及其性质．详见文献[12][13][14]．2.1 ()p L Ω空间及其性质定义2.1.1 设Ω是n R 中的可测集合，p 为正实数，用()p L Ω表示定义在Ω上，所有满足()p u x dx Ω≤∞⎰的可测函数()u x 构成的函数类，并装备以范数 {}1()(),1p p p u x u x dx p Ω=≥⎰（如果01p <<，p 不是范数）定义2.1.2 设Ω是n R 中的可测集合，用()L ∞Ω表示在Ω上，全体本性有界函数()u x 组成的向量空间．即存在与()u x 有关的常数0K >，使得不等式|()|u x K ≤几乎处处成立，常数K 的下确界叫()u x 在Ω上的本性上确界，记为sup |()|x ess u x ∈Ω ．并赋予范数()sup |()|x u x ess u x ∞∈Ω=．定理2.1.3 若1p ≤≤∞，则()p L Ω为Banach 空间．定理 2.1.4 （o H lder 不等式）（1）如果1p <<∞，而且()p u L ∈Ω，()q v L ∈Ω ，其中11+1p q=，则1()uv L ∈Ω，并且 ()()q p u x v x dx u v Ω≤⎰成立．（2）如果121m p p p ≤≤∞，，，，()1,,i p i f L i m ∈Ω=，且111m i ip ==∑，则 11()mii f L =∈Ω∏ 且 11||i m m ii p i i f dx f Ω==≤∏∏⎰成立.2.2 Sobolev 空间及其性质定义2.2.1 设n R Ω⊂是一给定的区域，对0m ≥，1p ≤≤∞，定义Sobolev 空间 ,()m p W Ω为满足条件()||p D u L m αα∈Ω≤，的广义函数u 全体所构成的集合，并装备以范数1,||1pp m p p m u D u p αα≤⎛⎫=≤<∞ ⎪⎝⎭∑， ,||max m m u D u αα∞∞≤= 特别当=2p 时，,2()m W Ω为()m H Ω．定义2.2.2 0()C ∞Ω 函数按范数,m p 完备化所得到的空间称为,0()m p W Ω．定理2.2.3 ,()m p W Ω及,0()m p W Ω均为Banach 空间.定理2.2.4 （庞加莱不等式）若1,()p u W ∈Ω，则存在常数C 使得p p u C u ≤∇成立．定义2.2.5 设X 和Y 为两个赋范线性空间，称X 嵌入Y ，如果成立（1） X 是Y 的线性子空间.（2）存在恒等算子I ，它把X 中的元素映为Y 中的元素，并成立嵌入不等式Y X Ix K x ≤其中0K >称为嵌入常数．如果X 嵌入Y ，我们记X Y →．定理2.2.6 （嵌入定理）设Ω是n R 中具有锥性质的区域，存在下列嵌入（1）()()1q p L L p q Ω→Ω≤≤<∞，．（2）j 和m 是非负整数，p 满足1p ≤<∞，则情形A 假定mp n <，有,,()(),j m p j q np W W p q n mp+Ω→Ω≤≤- ，或者,()(),m p q np W L p q n mpΩ→Ω≤≤- ．情形B 假定=mp n ，有,()(),m p q W L p q Ω→Ω≤<∞．情形C 假定mp n >，那么 ,()()j m p j B W C +Ω→Ω ．定理 2.2.7 设Ω是一个具有光滑边界的有界开集，1,()p u W ∈Ω，则当n p >时，只要np q n p<-，1,()p W Ω到()q L Ω的嵌入映射为紧的；当n p ≤时，对任意有限数q ，1,()p W Ω到()q L Ω的嵌入映射为紧的．2.3 ([0,];)p L T X 空间及其性质定义 2.3.1 设1p ≤<∞，X 是具有范数X的Banach 空间，空间([0,];)p L T X 是由满足L 积分 ()1([0,];)0(),1p T p p L T X X zz t dt p =≤<∞⎰的有限的全体强可测函数 :(0,)z T X组成.定义2.3.2 用([0,];)L T X ∞表示满足([0,];)[0,]sup ()L T X X t T zess z x ∞∈=<∞的所有强可测函数 :(0,)z T X的集合.定理2.3.3 设X 是Banach 空间，([0,];)1p L T X p ≤≤∞，也是Banach 空间.2.4 1([0,];)p W T X ，空间及其性质定义2.4.1 （1）设X 是Banach 空间，1([0,];)p W T X ，是由所有函数([0,];)p z L T X ∈组成且()t z t 在弱意义下存在和属于([0,];)p L T X ．赋予范数()110([0,];)(0,)(()()),1sup (()()),p T p p p t X X W T X t X X t T z t z t dt p z ess z t z t p ∈⎧⎪+≤<∞⎪=⎨⎪+=∞⎪⎩⎰，后，称1([0,];)p W T X ，为含有时间的索伯列夫空间．（2）记11([0,];)=([0,];)H T X W T X ，2．定理2.4.2 1([0,];)p W T X ，为Banach 空间. 本文中，用p 表示()p L Ω模，2()L Ω的模简记；用,k p表示,()k p W Ω的模，且 (,)u v uvdx Ω=⎰．3 初边值问题解的存在唯一性证明在文献[4]中，刘亚成、杨海鸥在关于()f u 的很弱的增长条件下，得到了问题(11)(13)---整体2,2W 解的存在性，改进并丰富了已有结果．但关于问题(11)(13)---的1,2W 解，至今尚无结果．那么，在本文中，我们将针对()f u u α=的特殊形式以及它在不同条件下，讨论整体1,2W 解的存在唯一性.即对以下定理给出详细证明：定理：若1u C α∈，-1u αα上方有界，且存在常数a ，b 及A ，B 使下面不等式12u au b α+≤+||||u A u B αγ≤+成立，其中1+22132n n n n γγ≤≤∞=+≤≤≥-，，．且1200()()u x W ∈Ω，，则对任意0T >，问题(14)(16)---存在唯一整体12W ，解 1,1,20(,)((0,);())u x t W T W ∞∈Ω．3.1 预备知识本小节将主要介绍整体1,(2)p W p ≤<∞解的定义、Gronwall 不等式和Young 不等式，详见文献[9][14][18]．定义3.1.1 设1,1,20(,)([0,];())u x t W T W ∞∈Ω，且在1,0()p W Ω中有0(,0)()u x u x =，如果对任意1,0([0,];())q C T W ϕ∈Ω，其中111p q+=，都有 0(,)(,)(,)0,(0,]t t t u u u d t T αϕϕϕτ⎡⎤+∇∇-=∀∈⎣⎦⎰成立，则称(,)u x t 是问题式(14)(16)---在有界域[0,]T Ω⨯上的整体1,(2)p W p ≤<∞解．定理3.1.2 （积分形式的Gronwall 不等式）（1）设()w t 是[0,]T 上的非负可积函数，若几乎处处满足120()()tw t C w d C ττ≤+⎰，其中1C 和2C 是非负常数，则对于几乎处处的0t T ≤≤成立12()C t w t C e ≤．（2）特别地，如果对于几乎处处的0t T ≤≤成立10()()tw t C w d ττ≤⎰，那么几乎处处成立()=0w t ．定理3.1.3（Young 不等式）若a ，0b ≥，1,p q <<∞，且满足111p q +=，那么 p qa b ab p q≤+其中等号成立当且仅当p q a b =．3.2 存在性的证明接下来，我们将利用Galerkin 方法，积分估计和紧致性原理证明初边值问题 (14)(16)---整体1,2W 解的存在性和唯一性．令1{()}j j w x ∞=是空间1,20W 的基函数系，问题(14)(16)---的Galerkin 近似解可表示为：,1(,)()()mm j m j j u x t h t w x ==∑ 12m =，，其中,()(12)j m h t j m =，，是待定系数．假定初值函数0()u x 可表示为：01()()j j j u x a w x ∞==∑其中(12)j a j =，，是常数．将近似解(,)m u x t 和初值函数0()u x 的近似函数01()()mm j j j u x a w x ==∑代入方程(14)-和初值条件(15)-中，可得近似解(,)m u x t 满足下列方程mt mt mu u u α-∆= (31)-和初值条件0(,0)()m m u x u x = (32)- 在式(31)-两端分别乘以()s w x ，并在Ω上积分得：(,)(,)(,),1,2,mt s mt s m s u w u w u w s m α-∆== (33)- 由1()n H R 函数的分部积分可得：(,)(,),1,2,mt s mt s u w u w s m -∆=∇∇= (34)- 将式(34)-代入式(33)-得：(,)+(,)(,),1,2,mt s mt s m s u w u w u w s m α∇∇== (35)- 由近似解的构造式可发现：(,)m u x t 中有且只有,()j m h t 未知，而经过上述推导可知,()j m h t 满足下列关于t 的非线性常微分方程组的初值问题(,)+(,)(,),1,2,mt s mt s m s u w u w u w s m α∇∇== (35)- 1(,0)()mm j j j u x a w x ==∑ (36)- 由常微分方程组解的存在性定理[19]，可知关于t 的非线性常微分方程组(35)-、(36)-可确定,()j m h t ，故问题(14)(16)---的Galerkin 近似解：,1(,)()()mm j m j j u x t h t w x ==∑ 12m =，，是存在的．下面作先验估计引理3.2.1 假设u C α∈，且存在常数a ，b 满足2u u au b α≤+1,200()()u x W ∈Ω，并1,20()0(,0)()W m u x u x Ω−−−→，则对任意0T >，有估计221+(0)m mu u E t T ∇≤≤≤成立．此处及下文中的i E ，(1,2,)i M i =，C 和const 均表示与,m t 无关的常数．证明：在式(35)-两端分别乘以,()s m h t ，对1,2,,s m =求和得(,)+(,)(,)mt m mt m m m u u u u u u α∇∇=由假设2u u au b α≤+可得2221(+)(,)2=||m m m m m m m d u u u u dtu u dxa ub ααΩ∇=≤+Ω⎰ (37)- 其中||Ω表示可测集合Ω的测度．将式(37)-两端分别从0到t 积分得22220022211(+)(+)22||(+)||m m m m tm tm m u u u u a u d b ta u u db Tττ∇-∇≤+Ω≤∇+Ω⎰⎰整理得222200220++2||+(+)m mm m tm m u u u u b T a u u d τ∇≤∇+Ω∇⎰ (38)- 因为1,20()0(,0)()W m u x u x Ω−−−→，所以有22001+m m u u M ∇≤ (39)-将式(39)-代入式(38)-得222220++(+)tm mm m u u M a u u d τ∇≤∇⎰ (310- 对(310)-应用积分形式的Gronwall 不等式得2222+()()0at aT m mu u M e M e t T ∇≤≤≤≤，即有221+0m mu u E t T ∇≤≤≤，推论3.2.2 在引理3.2.1的条件下，还有2m p u E ≤ 其中当1n =时，1p ≤≤∞；当2n =时，1p ≤<∞；当3n ≥时，212np n ≤<-．证明：因为1,20()0(,0)()W m u x u x Ω−−−→，所以1,2mu const ≤而由以下Sobolev 嵌入定理当n p >时，1,,1p q npW L q n p→≤≤- 当=n p 时，1,,1p q W L q →≤<∞当=n p 时1,,=1p n W C pλλ→-知，当上述2p =时，有1,2122,132,12,1qq n L q n n W L q n C n ⎧≤≤≥⎪-⎪⎪→≤<∞=⎨⎪⎪=⎪⎩，，且12,1q C L q →≤≤∞再由Sobolev 嵌入不等式得推论3.2.2的结论．引理3.2.3 设u α，0()u x 满足引理3.2.1的条件，且存在常数A ，B 使条件 ()H ||||u A u B αγ≤+ 成立，其中1+22132n n n n γγ≤<∞=+≤≤≥-，，当1,20()0(,0)()W m u x u x Ω−−−→时，则对任意0T >，有估计223+(0)mtmtu u E t T ∇≤≤≤．证明：在式(35)-两端分别乘以,'()s m h t ，对1,2,,s m =求和得(,)+(,)(,)mt mt mt mt m mt u u u u u u α∇∇=即22+=(,)mtmtm mt u u u u α∇ (311-当1,2n =时，利用o H lder 不等式和Young 不等式得2211(,)+22m mt m mt m mt u u u u u u ααα≤≤ (312)- 将式(312)-代入式(311)-中整理得22211+22mt mtm u u u α∇≤(313)- 由推论3.2.2及条件()H 得2222112112=()()constm m m mmu u dxA uB dxA uB dxA uB ααγγγγΩΩΩ≤+≤+≤+Ω≤⎰⎰⎰其中22+γ≤<∞．即m u const α≤ (314)- 将式(314)-代入式(313)-中得221+2mt mt u u const ∇≤即22+mtmtu u const ∇≤ (315)- 当3n ≥时，利用o H lder 不等式，庞加莱不等式和嵌入定理得(,)m mt m mt m mt q r ru u u u C u u ααα≤≤∇ (316)- 式(316)-中22022n nr q C n n ==>+-，，，而 (||)'||'''rr mm rr m r mru A u B dxA u dxB A u B αγγγγΩΩ≤+≤+≤+Ω⎰⎰ (317)- 因为212n n γ+≤≤-知，2221222n n nr n n n γ+≤≤=-+-．并推论3.2.2知，当3n ≥时，m p u const ≤，212np n ≤<- (318)- 结合(317)-和(318)-得mru const α≤ (319)- 利用Young 不等式整理(311)-、(316)-和(319)-得222211+22mt mt m r u u C u const α∇≤≤ (318)- 即22+mtmtu u const ∇≤ (319)- 综合上述(315)-和(319)-得：存在公共常数3E 使估计223+(0)mtmt u u E t T ∇≤≤≤成立．定理 3.2.4 设u C α∈，2u u au b α≤+，且满足()H ，当1,200()()u x W ∈Ω时，并1,20()0(,0)()W m u x u x Ω−−−→，则对任意0T >，问题(14)(16)---存在整体1,2W 解1,1,20(,)((0,);())u x t W T W ∞∈Ω．证明由u α的连续性及常微分方程组局部解存在性定理可知，式(35)-和(36)-存在局部解．由引理3.2.1和引理3.2.3知，对任意0T >，式(35)-和(36)-存在[0,]T 上的解,()j m h t ，即存在Galerkin 近似解(,)m u x t ．而{(,)}m u x t 在1,1,20([0,];())W T W ∞Ω中有界，由紧致性原理，存在(,)u x t 和{(,)}m u x t 的子序列{(,)}v u x t ，使得v →∞时，(,)(,)v u x t u x t →在1,20((0,);())L T W ∞Ω上弱*收敛； (,)(,)vt t u x t u x t →在1,20((0,);())L T W ∞Ω上弱*收敛．又因为{(,)}m u x t 在1()([0,])T T H Q Q T =Ω⨯上为有界序列，则存在子序列（仍记为）{(,)}v u x t ，使(,)(,)v u x t u x t →在2()T L Q 强收敛，且于T Q 几乎处处收敛．由u α的连续性知，v u u αα→于T Q 几乎处处收敛，且2()TmL Q u α有界，所以有v u u αα→于2()T L Q 弱收敛．由1{()}j j w x ∞=是空间1,20W 的基函数系，且结合式(35)-可得，对于任意函数1,20([0,];())C T W ϕ∈Ω有[(,)(,)(,)]0tvt vt v u u u d αϕϕϕτ+∇∇-=⎰令v →∞可得[(,)(,)(,)]0[0,]tt t u u u d t T αϕϕϕτ+∇∇-=∀∈⎰，另外，由1,20()0(,0)()W m u x u x Ω−−−→知：在1,20W 空间中满足0(,0)=()u x u x所以问题式(14)(16)---存在整体1,2W 解1,1,20(,)((0,);())u x t W T W ∞∈Ω到此问题式(14)(16)---的整体1,2W 的存在性已经得到证明，下面我们将对其整体解的唯一性进行证明。

一类抛物型偏微分方程的W2^1.1弱解存在性

（３）
（４）
［Ｉｂｍ（）ＬＩ
Ｍ１，Ｍ２＞０使０＜Ｍ１ ≤ ≤ Ｍ２．（５）当（）＝ｕ时，若（ａｊ／）为正定矩阵，式（１）就是普通的退化抛物方程；若ａ）只是半正定，式
［收稿日期］２０１２—１２—１１［修回日期】２０１３— ０１ —１９［基金项目］福建省自然科学基金资助项目（２０１２Ｊ０１０１１）［作者简介］汤林冰（１９８９一），男，硕士生，从事偏微分方向研究．通讯作者：詹华税（１９６６一），男，教授，硕导，从事偏微分方程方向研究，Ｅ — ｍａｉｌ：ｈｓｚｈａｎ＠ｊｍｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．
证明先证（，）兰０的情况．对Ｖ叼（，ｆ）∈
数，则 ∈ ’ （Ｑ）且Ｅ（Ｑ）．记：
’
（Ｑ），令＝Ｊ叼（，）ｅ０ｒ打，０为待定正
（Ｑ，），ｕＩ＝０｝，（Ｑ）＝｛ｌｕ∈
ｔｉｏｎ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐｒａａｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ；ｗｅｅｋｅｘｔｒｅｍｕｍｐｉｒｎｃｉｐｌｅ；。。一ｗｅａｋｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ
如果在某点％ ∈Ｑｒ达到非负最大值，则：（Ｍ）Ｊ。 ≥０，ＭＩ知≤Ｏ，Ｉ＝０，ｃＪ如≤０．由此可知
“

关于一个具奇异测度系数抛物型方程径向弱解的存在和唯一性

关于一个具奇异测度系数抛物型方程径向弱解的存在和唯一性在本文中，我们证明了一个二阶线性抛物方程N-D(N＞2)径向弱解的存在和唯一性。

此方程在数学上的研究兴趣在于其系数包含了单边Dirac函数和其径向解在r=O处的退化性。

但我们没有得到类似[1]中1-D情形关于径向弱解的一些正则性的结果。

在薄层导体的研究中，粒子的扩散是一类重要的现象，由于电扩散的降解能导致金属的毁坏。

在很多情况下能产生电扩散，包括因薄层导体工业技术物理状况的处理和薄层导体及替代材料的物理化学特征引起的电机械压力。

具体物理背景参见[8，9]。

在[1]中，作者们研究了有限区间[0，1]上的薄层导体问题，也即是我们将要研究的抛物方程的1维情形。

在本文中，我们将继续研究此抛物方程的N(N＞2)维情形。

于是，在电扩散的条件下，对标准的电机械压力u=u(x，t)可建立如下的模型：设B是R~N(N＞2)中的单位球，B是单位球面，此模型导出如下的抛物方程初边值问题: 在第1节中我们给出问题(11)弱解的定义: 定义1.1称函数试约是问题(11)的弱解，如果关于一个具奇异测度系数抛物型方程径向弱解的存在和唯一性在第2节中，我们先对单边Dirac(H)中方程系数的奇异性以及方程在则化问题:函数进行正则化，另外由于问题的退化性，我们考虑如下的正我们利用比较原理得到了正则解的加权最大模和加权一阶导数的一致性估计;利用Green函数的方法我们证明了正则解二阶导数于区间巨，1{上的一致估计，最终我们得到了如下的引理: 在第3节中，我们先利用前面我们得到的估计，证明了径向弱解的存在性，并有如下的定理: 定理3.1假设f与g满足(1.1)，则问题(11)至少存在一个弱解. 接着，我们利用Holmgren方法得到径向弱解的唯一性，并有如下的定理: 定理3.2在定理3.1的假设下，则问题(H)的弱解是唯一的. 至此，我们完成了径向弱解的存在性和唯一性的证明.。

一类二阶二维常系数抛物型方程的参数估计方法

ｋ＝１，２， … ， Ⅳ
用到实际中的效果并不理想，而且一种方法大多
都只能针对一类问题，因此研究新理论探索新方法是必要的．该文从新的角度出发，在已知模型
令
“ （，ｙｉ）
类型和观测数据的条件下，将偏微分中的数值差分思想与最小二乘理论结合起来，给出一种
常系数非齐次抛物型方程的参数估计方法，并通
０引言
抛物型偏微分方程是偏微分方程的三大类方程之一，实际生活中的许多问题可以归结为抛
过实例模拟来验证该方法的可行性．
１理论推导
形如Ａ辅＋Ｂｕ＋Ｃ＋ｇ（，，，）（１）
将该类抛物型方程的参数估计问题转化成多元线性回归的参数估计问题．并通过
对实例模拟计算验证了该方法的有效性和可行性．
【关键词】抛物型方程；参数估计；数值模拟
中图分类号：０１７５．２７文献标识码：Ａ文章编号：１０００—５６１７（２０１６）０４— ０００８— ４０
第３２卷第４期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＴＵＲＡＬＳＣＩＥＮＣＥＳＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＮＯＲＭＡＬＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ
一
类二阶二维常系数抛物型方程的参数估计方法水
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具有退化扩散的抛物—抛物keller-segel方程组全局弱解的存在性

具有退化扩散的抛物—抛物keller-segel方程组全局弱解的存在性几类退化Keller-Segel方程一致L~∞有界弱解的存在性现如今,随着交叉学科研究风靡全世界,越来越多的数学家开始关注其他学科的模型,例如生物模型,化学模型和物理模型.在这篇文章中,我们将研究一个非常有趣的关于细菌趋化性的生物数学模型:Keller-Segel模型.Keller-Segel模型是由Keller和Segel在1970年[1,2]提出的,它主要描述的是网柄菌的生物趋化性.在这个模型中,细菌被一种化学物质所吸引,并且可以释放出同一种化学物质.我们研究的主要目标是对于两种不同的退化Keller-Segel模型,证明其弱解的全局存在性.这篇文章的主要内容如下:在第一章中,我们介绍了Keller-Segel模型的背景信息.通过叙述原始模型的构造过程,我们希望读者能够更深入而全面的了解Keller-Segel模型.我们还列出了一些著名的简化模型以及优雅的结果,旨在向读者展示Keller-Segel模型的动人之处,从而吸引更多的人投身到研究中来.随后,我们陈述了此文灵感的来源,克服的困难以及得到的结论.我们还在这一章中给出了一些尚未解决的问题.在第二章中,我们研究了如下的退化抛物-抛物Keller-Segel模型:这里d≥3,扩散指数0m2-2/d其中,u(x,t)表示细菌的密度,v(x,t)表示化学物质的浓度.不失一般性地,我们假设v(x,0)=0,即最初的容器中并没有化学物质,随后由细菌产生.为了证明弱解的全局存在性,我们首先要得到先验估计.对于已经被广泛研究的退化抛物-椭圆Keller-Segel方程,具有最佳常数的Hardy-Littlewood-Sobolev不等式是进行估计的关键:然而在退化的抛物一抛物Keller-Segel方程中,HLS不等式不再适用,因为v(x,t)无法由基本解的形式表出.因此,我们利用半群理论代替HLS不等式进行先验估计.以下关于半群的定义及估计是标准的.考虑柯西问题:定义0.0.1.设T＞0，p≥1(?)以及(?).函数(?)满足是问题(2)在[0,T]上唯一的温和解.这里热半群算子et△为(?),其中G(x,t)是热核即(?)不难证明,上面定义的温和解也是方程的一个弱解.接下来,我们介绍一个著名的热核的最大Lp模正则性结论,它是进行先验估计的关键.引理0.0.1.假设1p+∞,T0.那么对每一个f∈Lp(0,T;Lp(Rd)),方程(2)在Lp(0,T;Lp(Rd))的意义下,有且仅有一个解h(x,t)满足h0(x)=0.进一步地,对所有的f∈Lp(0,T;Lp(Rd)存在一个只与p有关的正常数Cp,使得现在,应用最大Lp模正则性以及一些标准估计,我们得到了方程(1)弱解的先验估计：众所周知,弱解的L1模和L∞模有界是两个非常重要的性质.在进行先验估计的过程中,我们能够得到弱解的质量守恒.接下来,我们将应用Bootstrap迭代的方法证明弱解的L∞模是一致有界的.根据上面所得到的弱解的先验估计,我们能够通过构造(1)的正则化问题来证明方程弱解的全局存在性,即证明第二章的主要定理.我们考虑如下的正则化问题:对ε0,其中d≥3,0m2-2/d对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.1中所有的先验估计.在整个证明的过程中,我们主要遇到的困难是无法应用Aubin-Lions引理证明强收敛,因为只得到了的一致有界性而不是▽uε模的.因此,我们需要应用Aubin-Lions-Dubinskii引理[3]:引理0.0.2.设B,Y是Banach空间,M+是B中的一个非负半赋范锥,且满足M+∩Y≠(?),1≤p≤∞.如果(i)M+→B是紧的,(ii)对所有(ωn)(?)B,当n→∞时,在B中有ωn→ω,在Y中有ωn→0,则ω=0,(iii)U(?)Lp(0,T;M+∩Y)且在Lp(0,T;M+)中有界,(ⅳ)当h→0时,在u∈U中一致地有||u(t+h-h)-u(t)||Lp(0,T-h;Y)→0,那么U在Lp(0,T;B)中是相对紧的.为了应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们选取B=Lp(Ω),并构造是一个满足下面定义的Lp+1中的非负半赋范锥.定义0.0.2.设B是一个Banach空间,M+(?)B满足(1)对所有的u∈M+,C≥0有有Cu∈M+,(2)存在函数[·]:M+→[0,∞),使得当且仅当u=0时,[u]=0,(3)对所有C≥0,有[Cu]=C[u],那么M+是B中的一个非负半赋范锥.从而,应用Aubin-Lions-Dubinskii引理,我们可以逐步的证明全局弱解的存在性.此外,当1m2-2/d时,弱解还是一个弱熵解.我们已经列出了证明第二章中存在性定理的重要思想,现在我们给出定理的完整叙述:在第二章的最后,我们证明了弱解的局部存在性并给出了一个爆破准则.当0m2-2/d时,退化抛物-抛物Keller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是一个公开问题.第三章,我们在d≥3的情况下提出了p-LaplaceKeller-Segel方程:其中p1.这个模型是退化抛物-椭圆Keller-Segel模型的一个自然延伸,因为多孔介质方程和p-Laplace方程都叫作非线性扩散方程.二者虽然属于不同的领域,但在描述的现象上,使用的技巧上以及获得的结果上都有很多重合之处.在这个p-LaplaceKeller-Segel方程中,我们找到了一个临界指数p,它与方程(1)中的m=2-2/d扮演相同的角色.当p=3d/d+1时,如果(u,v)是方程(5)的一个解,我们构造u的质量守恒坐标变换以及相应的v的坐标变换那么(uλ,vλ)也是方程(5)的一个解.因此,我们将p=3d/d+1称为临界指数.对一般的p,(u λ,vλ)满足如下的方程根据p的不同取值,我们将问题分为超临界情形和次临界情形.当1p3d/d+1时,我们称为超临界情形.在超临界问题中,当细菌密度很高时,聚合作用强于扩散作用,导致有限时间爆破;当细菌密度很低时,扩散作用强于聚合作用,导致无限时间的传播.相应地,当p3d/d+1时,我们称为次临界情形.在次临界问题中,当细菌密度很高时,扩散作用强于聚合作用,阻止了有限时间爆破;当细菌密度很低时,聚合作用强于扩散作用,从而阻止了无限时间的传播.在第三章中,我们的主要目的是在超临界大初值假设下,证明方程(5)弱解的全局存在性.为了证明定理,我们首先要进行先验估计:对于p-LaplaceKeller-Segel方程,我们并没有像第二章一样得到u的质量守恒,这是一个公开问题.但是使用Bootstrap迭代方法,我们同样能够得到方程(5)弱解的L∞一致有界性.证明过程中的主要思想与定理0.0.2基本相同,但细节上却存在很大差异.得到弱解的先验估计后,我们构造方程(5)对应的正则化问题来证明本章中最主要的存在性定理:对于ε0这里α(d)是d-维单位球的体积.对初值u0ε(x)进行适当的假设,我们能够证明正则化问题存在一个经典解且满足定理0.0.4中所有的先验估计.那么结合Aubin-Lion引理得到的强收敛以及一致有界估计得到的弱收敛,我们能够证明第三章的主要定理:定理0.06.设d≥3,1p3d/d+1,q=d(3-p)/p.如果u0∈L+1(Rd)∩L ∞(Rd),A(d,p)=Cp,d3-p-‖u0‖Lq3-p0,其中Cp,d=[qpp/Kp(d,p)(q-2)+p)p]1/3-p是一个常数,那么方程(5)存在一个非负的全局弱解(u,v),使得定理0.04中所有的先验估计以及定理0.05中的L∞一致有界估计都成立.定理的证明过程中,困难的部分是用单调算子理论得到非线性项的极限.下面的引理是单调算子的一个重要性质:引理0.0.3.对任意η,η'∈Rd,下列不等式成立其中C1和和C2是两个只依赖于p的正数.当1p3d/d+1时,p-LaplaceKeller-Segel方程弱解的有限时间爆破仍然是有待解决的问题。

抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计

抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计抛物型方程组给人们带来了极大的启发和挑战，它涉及到多个领域，如几何学、代数学和分析学等，在很多研究中，抛物型方程组是一个重要的研究问题。

关于抛物型方程组的正解的存在性和界的研究也是数学家们不可避免要面对的问题。

抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计是一门有趣而又有深度的学科，本文主要介绍抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计的原理、方法和应用，以期深入了解此领域的研究内容。

首先，本文将介绍抛物型方程组的正解的存在性和界的概念，以及如何确定它们的迭代估计。

抛物型方程组正解的存在性是一个重要的概念，它涉及正解的有效性、存在性和界的确定。

抛物型方程组正解的存在性可以用方程和非齐次线性方程的求解方法来确定，比如解析法、拉格朗日法等。

其次，抛物型方程组正解的界可以使用对正解的迭代估计来确定，包括奇异值分解（SVD）迭代估计、克拉默法迭代估计和谱绝尔格迭代估计等。

最后，本文将介绍抛物型方程组正解的存在性和界的迭代估计在实际应用中的具体情况。

许多研究表明，抛物型方程组正解的确定对各种数值算法的发展具有重要意义。

例如，在机器学习领域，抛物型方程组的正解的确定有助于解决诸如优化和模式识别等问题。

因此，抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计研究将为机器学习领域的研究提供新的视角。

此外，抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计对各种数理科学领域也有着广泛的应用。

例如，在工程数值分析领域，抛物型方程组的正解的确定有助于解决复杂的边界值问题，如解决 y+xy(x)=f(x)的抛物型方程式的边界值问题。

此外，在概率论领域，抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计可以帮助研究人员更好地理解概率分布的特性，从而提高概率模型的准确性。

总之，抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计是一门有趣而又有深度的学科，它有助于研究各种数学问题，并在实际应用中取得良好的效果。

未来，研究人员将继续深入研究此领域，尽可能地提高此领域的先进性和实用性。

抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计

抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计以“抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计”为标题，本文旨在从抛物型方程组正解的存在性和界的迭代估计研究入手，以期更加深入地研究抛物型方程组正解的存在性和界的迭代估计。

首先，介绍一下抛物型方程组。

抛物型方程组是一种二元非线性方程组，它可以用来描述许多实际问题，如最优化问题和拟合问题。

抛物型方程组的一般形式为：begin{equation}begin{cases}f_1(x_1,x_2) = 0,f_2(x_1, x_2) = 0.end{cases}end{equation}其中，$f_1(x_1,x_2)$和$f_2(x_1,x_2)$是抛物型方程组的两个方程式。

抛物型方程组的解必须满足上述的两个方程式，而这两个方程式可以被求解得出。

其次，本文旨在研究关于抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计。

为了确定抛物型方程组正解的存在性和界，我们需要借助于一种称为“迭代估计法”的方法来解决这个问题。

“迭代估计法”是一种在解决抛物型方程组正解时经常使用的方法，它首先从给定的初始近似解（或无穷大）开始，不断迭代运行，持续搜索抛物型方程组的实解。

在每一个步骤中，我们使用相关的算法，确定抛物型方程组正解的界，从而求解抛物型方程组正解的存在性。

此外，由于抛物型方程组正解的界会发生变化，所以在确定抛物型方程组正解的存在性时，也需要考虑这种变化。

为了解决这一问题，我们采用一种称为“变界法”的方法，用来更新界的迭代估计，从而能够加快求解抛物型方程组正解的存在性。

最后，为了更加深入地研究抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计，我们需要采取一些更有效的方法。

例如，采用随机算法，通过随机采样来检查抛物型方程组正解的存在性，而不是使用迭代估计。

此外，为了优化抛物型方程组正解的界，我们也可以采用贪心算法等启发式方法，从而更快地求解抛物型方程组正解的存在性和界的迭代估计。

综上所述，本文以“抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计”为标题，通过深入研究关于抛物型方程组正解的存在性及界的迭代估计，并通过引入多种更有效的方法，以期更加深入地研究抛物型方程组正解的存在性和界的迭代估计。

m-拉普拉斯型抛物方程解的有界支集

m-拉普拉斯型抛物方程解的有界支集拉普拉斯型抛物方程是一类二阶非线性微分方程，表示为：u''(x)+λu(x)=0，其中λ为正数。

这类方程的解具有有界性，因而有界支集也就成为一个重要的问题。

在这里，我们将讨论有界支集的问题，以及如何用它来解决拉普拉斯型抛物方程。

有界支集要求对每一个给定的x限定函数值u(x)在一定范围内，即存在上限M>0使得|u(x)|<=M，所有x均具有这种性质。

因此，拉普拉斯型抛物方程的有界支集是一个有限数目的实数坐标点的集合，其坐标是u(x)的有界范围。

从理论上讲，解拉普拉斯型抛物方程的有界支集必须满足两个条件：一是支集必须有效，即能够有效地控制函数的有界性；二是支集必须有限，以便更好地控制函数的变化范围。

显然，满足上述两个条件的有界支集是解拉普拉斯型抛物方程的最佳选择。

首先，要解拉普拉斯型抛物方程，需要考虑方程的解的对称性。

对称性蕴含一定的“端点数”σ，它描述了抛物线解的对称性，并是得出有界支集的关键。

端点数σ越大，有界支集越多，数量上可分为奇数和偶数两类。

其次，要考虑抛物方程的解的参数，即λ值。

λ值越大，抛物方程的解的范围越大，有界支集的范围就越广。

最后，还要考虑函数值M的数值，M的大小取决于u(x)实际取值的范围。

根据上面几点，可以构建拉普拉斯型抛物方程的有界支集，并根据不同的λ值和端点数σ计算出有界支集的范围，从而实现解拉普拉斯型抛物方程的目的。

综上所述，拉普拉斯型抛物方程的有界支集是一个非常有用的工具，它能够帮助我们有效地控制函数的有界性，从而解决拉普拉斯型抛物方程的问题。

本文详细介绍了拉普拉斯型抛物方程的有界支集的形成原理和构建方法，从而为我们解决抛物线方程提供了一种有效而可靠的手段。

一类二阶二维常系数抛物型方程的参数估计方法

一类二阶二维常系数抛物型方程的参数估计方法抛物型方程是一类很常见的偏微分方程，在数学和工程领域都有着广泛的应用。

通常情况下，我们可以通过已知的数据和条件来求解这类方程的解析解，但是有时候我们并不能得到方程的解析解，这时我们就需要考虑用参数估计的方法来求解方程的解。

在本文中，我们将讨论一类二阶二维常系数抛物型方程的参数估计方法。

这类方程的一般形式可以写为：$$\frac{∂^{2} u}{∂t^{2}} = a\frac{∂^{2} u}{∂x^{2}} +b\frac{∂u}{∂x} + cu$$其中$a,b,c$是常数，$u(x,t)$是变量。

接下来我们将介绍一种基于最小二乘法的参数估计方法，该方法可以帮助我们估计方程中的未知参数。

首先，我们假设我们有一些已知的数据点$(x_{i},t_{i},u_{i}),i=1,2,...,n$，我们可以用数据点构建一个误差函数，使其最小化。

误差函数的一种形式可以写为：$$E(a,b,c) = \sum_{i=1}^{n} (u_{i} - u(x_{i},t_{i}))^{2}$$其中$u(x_{i},t_{i})$是抛物型方程的解析解在点$(x_{i},t_{i})$的取值。

我们的目标是找到$a,b,c$的最优估计值，使得误差函数最小化。

接下来，我们可以用最小二乘法来估计$a,b,c$的值。

最小二乘法的基本思想是通过最小化误差函数来估计参数值。

我们可以将误差函数$E(a,b,c)$对$a,b,c$分别求偏导，并让导数为0，得到方程组：$$\begin{cases}\frac{∂E}{∂a} = 0 \\\frac{∂E}{∂b} = 0 \\\frac{∂E}{∂c} = 0 \\\end{cases}$$解这个方程组，我们就可以得到$a,b,c$的最优估计值。

最后，我们可以用已知的数据点和估计值$a,b,c$来重新求解抛物型方程，得到近似解，并且可以用残差分析方法来检验我们的估计结果是否准确可靠。

一类抛物方程组弱解梯度的有界性

一类抛物方程组弱解梯度的有界性
对于一类抛物方程组$F(u) = 0$，其弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 的有界性取决于其线性部分的系数矩阵是否具有有限的特征值，也就是说是否具有有限的条件数。

如果系数矩阵具有有限的特征值，那么$F(u)$ 的弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 就是有界的。

如果系数矩阵具有无限的特征值，那么$F(u)$ 的弱解$u$ 的梯度$\nabla F(u)$ 就是无界的。

另外需要注意的是，这只是对于某一类抛物方程组，其弱解梯度有界性的一般结论，具体的某个方程组是否有界，还需要具体分析。

如果系数矩阵是有限条件数的，那么它的逆存在，这意味着线性部分对于整个方程组是可逆的。

这样的话，梯度的范数就可以通过系数矩阵的范数来进行估算。

因此当系数矩阵具有有限特征值时，梯度的范数是有界的。

另外，如果系数矩阵是非奇异的，那么它的逆存在，这意味着线性部分对于整个方程组是可逆的。

这样的话，梯度的范数就可以通过系数矩阵的范数来进行估算。

因此当系数矩阵是非奇异的时，梯度的范数是有界的。

总之，具体是否有界需要结合具体的系数矩阵进行分析。

一类抛物型方程混合边值问题弱解的存在性和正则性

一类抛物型方程混合边值问题弱解的存在性和正则性刘乐;夏子伦;李水莲【摘要】对一类抛物型方程的混合边值问题弱解的存在性和正则性进行了讨论.利用Lions定理建立抛物型方程混合边值问题弱解的存在性定理,然后在弱解存在的基础上利用差商方法,通过讨论弱解的导数所属空间来证明弱解的正则性.【期刊名称】《昆明学院学报》【年(卷),期】2012(034)006【总页数】3页(P22-24)【关键词】抛物型方程;弱解;存在性;正则性;差商;Lions定理【作者】刘乐;夏子伦;李水莲【作者单位】云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500;云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明650500【正文语种】中文【中图分类】O175.26抛物型方程是偏微分方程中的基本方程之一.在自然科学的众多领域中，可以用抛物型方程或抛物型方程组来描述其许多现象，例如热传导以及其它扩散现象、化学反应、粒子的运输等.这类偏微分方程通常称之为发展型偏微分方程.近年来关于抛物型方程(组)的基本解、古典解、弱解等已有许多学者［1－2］进行了广泛的研究.在讨论发展型偏微分方程弱解的存在性和正则性时，通常采用Galerkin方法及能量估计来讨论(见文献［1，3～4］).在本文中，我们采用处理椭圆型偏微分方程的Lax-Milgram定理［5］的想法来处理，这种想法就是Lions定理.首先利用Lions 定理建立抛物型方程混合边值问题弱解的存在性定理，再利用差商性质讨论解u的一阶导数来证明其内部正则性.1 预备知识考虑如下二阶线性抛物型方程混合问题.这里aij，bi，c是光滑的，并与时间t无关是Rn中的有界开集，∂Ω是Ω的边界，对于T ＞0，记，通常称ΓT为抛物边界.Γ0是∂Ω 的一部分，mes(Γ0)＞ 0 ，ν=(ν1，ν2，…，νn)为∂Ω 的单位外法向量.［3］引入记号定义空间:Φ =，及其范数φ Φ =Φ1=C(［0，T］;H1(Ω))∩C1(［0，T］;L2(Ω))，及其范数φ Φ1= φ Φ，设u光滑，取φ∈Φ1，φ(x，T)=0，x∈Ω，用φ∈Φ作实验函数同乘(1)式第1个方程两边，并在ΩT上积分可得称满足(2)式的函数u∈C(［0，T］;H1(Ω))为问题(1)的弱解.要说明这个问题我们首先要引入Lions定理.先引入记号:其中φ'= φt，φ(0)= φ(x，0).下面引入 Lions定理.定理1［1］设F是一个Hilbert空间，范数·F，Ψ是F的一个子空间，对于范数·Ψ是Ψ关于(·，·)的一个内积空间，E(u，φ)是定义在F×Ψ上的实双线性型［6］，即设1)存在正常数C，使得φ FC φ Ψ，∀φ ∈ Ψ;2)∀φ∈Φ，E(·，φ)在F上连续;3)存在α ＞0，使得E(φ，φ)≥α φ 2Ψ，∀φ∈Ψ，又设L是Ψ上的一个有界线性泛函，则存在u∈F，使得2 二阶线性抛物型方混合边值问题弱解的存在性下面给出二阶线性抛物型方程混合边值问题(1)弱解的存在性定理.定理2 设f∈L2(0，T;(H1(Ω)')，u0∈L2(Ω)，则问题(1)存在一个弱解u∈L2(0，T;H10(Ω))满足积分方程(2).证明可以类似第一边值问题的证明，设c(x，t)有充分大的正下界c0.即取其中Φ关于(·，·)Φ是一个内积空间.显然φF φ Φ，接下来我们证明E，L满足Lions定理的条件:1)∀φ∈Φ，E(·，φ)在F上连续.由线性泛函的有界性与连续性的关系知，在线性空间中，线性泛函E(·，φ)连续必须且只须E(·，φ)有界.［6］又因为则∀φ∈Φ，E(·，φ)在F上连续.2)存在α ＞0，使得E(φ，φ)≥α‖φ‖，∀φ∈Φ.实际上因为是一正常数.另一方面取c0满足，于是有又因为，所以L(φ)是Φ 上的一个有界线性泛函，由Lions定理可知存在u∈F，F=L2(0，T;H1(Ω))，使得即u是(2)式的一个弱解.3 二阶线性抛物型方混合边值问题弱解的正则性前面讨论的是二阶线性抛物型方程混合边值问题(1)弱解的存在性，u属于L2(0，T;H1(Ω)).接下来讨论它的正则性，即证明u'∈L2(0，T;H1(Ω)).定理3 设f∈ L2(0，T;H1(Ω))，u ∈ L2(0，T;(Ω))为问题(1)的弱解，又设aij(x)∈ C1，bi，c∈L(Ω)，i，j=1，…，n，则u∈ H2(Ω')且对任意的子区域Ω'⊂ Ω 有估计证明由弱解的定义即因此其中选取切断函数ξ∈C0(Ω):ξ≡1在Ω'上，且0 ξ1.令表示k个方向步长为h的差商.记类似于文献［3］中椭圆弱解的内部正则性中A，B的估计，可以得到本文中A，B 的估计接下来再讨论，利用差分算子的性质和文献［5］可知由(7)式、(8)式、(9)式可知由差商的性质知Du∈H1(Ω)，因此u∈H2(Ω)，且u有估计定理证毕.事实上，只要系数和非齐次项f是光滑的，重复使用上述方法，则可得到弱解是可位于更高阶的Sobolve空间中.［参考文献］【相关文献】［1］王耀东.偏微分方程的L2理论［M］.北京:北京大学出版社，1989:181－190.［2］弗里德曼.抛物型偏微分方程［M］.夏宗伟，译.北京:科学出版社，1984.［3］王术.Sobolev空间与偏微分方程引论［M］.北京:科学出版社，2009:210－214.［4］EVANS L C.Partial differential equations:Graduate studies in mathematics［M］.Rhode Island:American Mathenatics Society，1998.［5］伍卓群，尹景学，王春朋.椭圆与抛物型方程引论［M］.北京:科学出版社，2003:57－60. ［6］张恭庆，林源渠.泛函分析讲义:上册［M］.北京:北京大学出版社，1987.。

一个带权函数抛物方程有界弱解的存在性

第5期
李仲庆 :一个带权函数抛物方程有界弱解的存在性
1067
函数且梯度具自然增长条件的椭圆和抛物方程解的 L∞ 估计;文献[5-7]考虑了方程低阶项的正则化效应与解最大模估计的关系,该方法可视为 Giorgi迭代技术做 L∞ 估计的辅助.
Abstract:Theauthorconsideredaparabolicpartialdifferentialequation with weightfunction.By usingGiorgi’siterationtechnique,the maximalnorm estimateof weaksolutionsequenceofthe perturbationproblem oftheequation wasgiven.By meansoftheenergyestimateand Simon’s compactnesstheorem,theexistence of weak solutions oftheequation was proved bythelimit process. Keywords:parabolicequation;weightfunction;L∞ estimate
李仲庆
(贵州财经大学数统学院,贵阳 550025)
摘要:考虑一个带权函数的抛物型偏微分方程,先用 Giorgi迭代技术,给出该方程扰动问题弱解序列的最大模估计,再用能量估计及 Simon紧性定理,并通过极限过程证明该方程弱解的存在性. 关键词:抛物方程;权函数;L∞ 估计中图分类号:O175.8 文献标志码:A 文章编号:1671-5489(2021)05-1066-05
第59卷第5期 2021 年 9 月

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Ｏ引言
近年来，人们对二阶抛物方程的弱解的存在性与正则性有了很多研究，但是鉴于问题的复杂度，对高阶的抛物方程研究不够深入。这篇文章我
们考虑了下述方程的弱解存在性与正则性：
算子Ａ：（ｎｐＱ）ＨＱ）：Ｑ）（（（ｎｐＨＬＬ
（）Ｑ）按如下给出，
Ｉ＝ｌＩ “Ｉ１＝３
Ｖ专。 ∈
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范数．记（ｏ ∞）ｘ）（，，）
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这ａ；。里考考… ＝
ｇｘｚ满足如下约束条件：（，）ｇｘｚｚ－２Ｉｐ１，（，）￣Ｏ（ｌ）＜ｚ－
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则有
性质２Ｖ＜Ｉ＜，ｅＸ， ∈Ｃ（，，，０ｈＩ１１，Ｉ［ ∞】Ｘ）００＜。则有 ≤￡Ｔ
唐适宜
（四川大学数学学院，四川成都６０６）１０４
摘
要：文章研究了一类２ｍ阶非线性抛物方程的弱解存在性与正则性。作者先利用Ｇｌｋ方法结合非线性算子在性，通然后进一步对解的正则性进行了提升，得出的结论适用于任何低阶线性与非线性抛物方程。关键词：全局弱解；弱连续；非线性算子；等度连续中图分类号：１５６０７。２文献标识码：Ａ文章编号：０９８６（０１１— ０５０１０ — ６６２１）２００ — ４
（１Ｐ，，ｍ，＜＜以及Ｐ，２… Ｐ）ＯＴｗ，
的一些性质。
性质１对算子Ａ有
（ ≤一５ｌＰ６ｌｅ， ∈ ，７Ａ，）０ＩＩ＋ＩＩ７ＶＸ（）Ｉｘｅｌ－１Ｈ＋
事实上，利用Ｇｒｎ不等式和（）ａｉｄｇ３可以得
Ｐ，Ｂａ＿］』（ｓ＜ｍ为ａｃＩ＝ｓ（Ｉ）ｎ￣．１ｔ）０ｘｈｈ－记ｑｄ－ｈ
ｈ＜）ｆ１．则
第２卷第１期６２
２１年１月０１２
乐山师范学院学报
ＪｕｌｏｅｈｎＴａｈｒｏｌｇｏｍａｆＬｓａｅｃｅｓＣｌｅｅ
Ｖ０．６Ｎ．２１．ｏ１２
Ｄｅ．０１１ｃ２
一
类２ｍ阶抛物方程的弱麓存在牲与正！牲ｉ！Ｉｊ
（，）。ｚ十）其中ｐ２ｘｚＩ（ｌ１， ≤ＯＩ＞
。
定义２令移Ｌ（）： ∈ ２为给定初值。 ∈ （，Ｑ（０
（）３
ｌ生
ｄＵ
ＩＩ２ｉ ≤ｏ（Ｉ＋）ｚｒ
．
∞，。ｎｐ）Ｃ（，））ｍＨ（（ｎ（ ∞，）Ｑ）ＬＱ）０Ｑ）
５
（ｎｐｃ２．Ｑ）（（Ｌ）Ｌ）
（）５
我们首先考察一Ｆ照（）定义的算子Ａ按４所
定义３一个映射ＴＨ（）（）（，：：．ｎＬＱ × ０ ∞）Ｑｐ
＿Ｈ（）Ｑ） ÷ ＱｎＬ（称着是Ｔ弱连续的，若对Ｐ＝
｛）（ｏ ∞）（）有界，ｃ（，，Ｑ）
二于ｆ（ＯＴ，（）（），（）ＱｎＱ）
，
（＝ＪＡ（）ＤＬ（，）ｄＡ，） —坤ｘＤ＋ｘｌｌｘｇｘｘ
≤ 一１ｌ０ｌｌ０ＩｌｅＩ２２ｌＩｌｌｌｌＰ８２
（，＝ —Ｂ）＋ｘ）ｘＡｆＤ）ＡｘＤｇ，ｖ，（ｄ
Ｖｖ晴（ｎＱ），∈ Ｑ）（．（）４
准备知识
籼
Ｄｔｌ０，， ≤ｍ一１ｚｄＱ＝ＩＩ＇／，
）ｌ，
（）１
定义１定义Ｌ（０Ｔ，）：Ｐ（，）ｘ空间如下，
Ｌ（ｏＴ，＝ｐ（，）ｘ）０Ｔ－ＸＴＩｄ＜，）－ＩＩｃ∞ －＋ｐ
），
其中Ｐ（２… ，ｍ ∈Ｒ，ｉ１１ ≤ｍ）＝ｐ，，Ｐ）ｍＰ（ ≤ｉＰ，
Ａ口ｃ（，∈ ∑ＡＢ）０，ＸＢａ空间Ｉ ∑ ，Ｉ上的 ∈ ｍＮ，（专抽）ｘ ≥ 为ａｃＩ：ｎｈＰＩ为Ｘ半．
被称着（）１的一个全局弱解，若满足
注：这篇文章中０ｉ１２３ … ）ｉ＝，，，均是大于零（
的常数。
（ｔＶ（ＪＡ，ｄ（Ｖ（，Ｖ））Ｑ。Ｖｔ）ＱＶ∈ （，）（），）＝＋
收稿日期：０１０－５２１－９１
作者简介：唐适宜（９７，四川简阳人，１８－）男，四川大学数学学院２０级硕士，究方向：０９研数学物理偏微分方程。
Ｊｉｍ
一
ｎｆ（）ｆＱ
下面给出将要用到的三个引理．
弓理１令 ∈Ｌ（，，，＝Ｐ，２ … ，ｌ（ｏ ∞）Ｘ）Ｐ（Ｐ，
Ｊ（，ｔＣｐ与ＪＩ训，Ａｖ￣ｈＣ：有ｔ）ｖ。Ｔｄ，Ｕ＜
关。事实上，（）８