理科数学培优强化训练8

主视图左视图2222012届上砂中学高三理科数学培优强化训练8一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是非空集合，命题甲：A B B = ，命题乙：A B ⊂≠，那么 （ ） A.甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D. 甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =- （ ） A . 1i - B. 1i -+ C. 1i + D. 1i --3.已知点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，则(,)N x y 所在平面区域的面积是 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．84.等差数列{a n }中，已知35a =，2512a a +=，29n a =，则n 为 （ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 165. 函数21log 1xy x+=-的图像 （ ） A ． 关于原点对称 B. 关于主线y x =-对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y x =对称6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （）A.B.7.已知平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题： A . 若l α⊂，m A α= 则l 与m 必为异面直线； B. 若,l l m α 则m α ；ONC. 若 , , ,l m l m αββα⊂⊂ 则 αβ ；D. 若 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥ ，则l α⊥.其中正确的命题是 （ ）8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2012段、黄“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是 （ ） A. 0B. 1C. 2D. 3第 Ⅱ 卷二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9. 0-=⎰.10.函数2()sin cos2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ，30=∠A ， 1=BC ，D 为斜边AB 的中点，则 ⋅= .12.若双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，则以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排 成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…， 右图所示程序框图用来输出此数列的前若干项并求其和，若输入m=4则相应最后的输出S 的值是__________.（二）选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题．14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，则曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15．（几何证明选讲选做题）如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，若2MA =，4MB =，则MN = .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2si n c o s ,s i n c o s )2Ba B B B=- ，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+ ，//a b ，求角B 的度数；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.17（本小题满分12分）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标，相互 之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ.（结果可以用分数表示）18. （本小题满分14分）如图，四边形ABCD 中（图1），E 是BC 的中点，2DB =，1,DC =BC =，AB AD ==将（图1）沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为060（如图2）（1）求证：AE ⊥平面BDC ；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； （3）求点B 到平面ACD 的距离.19（本小题满分14分）已知函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++ .（1）设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值; （2）a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.（本小题满分l4分）如图，P 是抛物线C ：212y x =上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 处的切线垂直，直线l 与抛物线C 相交于另一点Q .（1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）若0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程.21. （本小题满分l4分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与n a 的等差中项，1 1++n n n b b b 与是的等比中项.(1) 求证: *N n ∈∀有n n n a a 21<<+； (2) 求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .高三数学（理科）试题答案一．选择题：二、填空题：三、解答题：17.解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927；……………………4分 (2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364， 答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364……………………8分（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=……………………12分（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅= 123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分 说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。

第（3）问方法对，算错数的扣2分18.解：（1） 如图取BD 中点M ，连接AM ，ME。

因AB AD ==BD AM ⊥∴ ……1分因 2DB =，1,DC=BC =满足：222BC DC DB =+,所以BCD ∆是BC 为斜边的直角三角形，DC BD ⊥,因E 是BC 的中点,所以ME 为BCD ∆的中位线CD ME 21// ，BD ME ⊥∴,21=ME …… 2分AME ∠∴是二面角A BD C --的平面角AME ∠∴=060 ……3分 BD AM ⊥ ,BD ME ⊥且AM 、ME 是平面AME 内两相交于M 的直线AEM BD 平面⊥∴⊂AE 平面AEM AE BD ⊥∴ ……4分因AB AD ==,2DB =ABD ∆∴为等腰直角三角形121==∴BD AM ，234360cos 2112411cos 2222=∴=︒⨯⨯⨯-+=∠⋅⋅-+=AE AME ME AM ME AM AE ME AE AM ME AE ⊥∴==+∴2221 …… 6分 BDC ME BDC BD ME BD 面面⊂⊂∴,, BDC AE 平面⊥∴ …… 7分（2）如图，以M 为原点MB 为x 轴，ME 为y 轴，建立空间直角坐标系，…….. 8分 则由（1）及已知条件可知B(1,0,0),)0,21,0(E ，)23,21,0(A ,D )0,0,1(-,C )0,1,1(-),0,1,0(),23,21,1(-=--= …… 9分设异面直线AB 与CD 所成角为θ,则=θcos ……10分221221=⨯=……11分由),0,1,0(),23,21,1(-=---=可知)2,0,3( -=n 满足，,0 ,0 =⋅=⋅n n n 是平面ACD 的一个法向量, …… 12分记点B 到平面ACD 的距离d ，则在法向量 n 方向上的投影绝对值为d则d = ……13分 所以d ()()721220330322=-++++=…… 14分 （2），(3)解法二：取AD 中点N ，连接MN,则MN 是ABD ∆的中位线,MN//AB,又ME//CD 所以直线AB 与CD 所成角为θ等于MN 与ME 所成的角，即EMN ∠或其补角中较小之一 …… 8分 DE AE BCD DE BCD AE ⊥∴⊂⊥面面 ,，N 为在AED Rt ∆斜边中点 所以有NE=2221=AD ,MN=2221=AB ,ME=21, MEMN NE ME MN EMN ⋅-+=∠=∴2cos cos 222θ …….9分 =4221222424142=⨯⨯-+ ……10分 (3)记点B 到平面ACD 的距离d ，则三棱锥B-ACD 的体积ACD ACD B S d V ∆-⋅=31, ……11分又由（1）知AE 是A-BCD 的高、CD BD ⊥BCD BCD A ACD B S AE V V ∆--⋅==∴31…..12分 6312212331=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯= E 为BC 中点，AE ⊥BC 2==∴AB AC 又,1,DC = 2=AD , ,∆∆为等腰ACD()4721212121212222=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯=∆CD AD CD S ACD……13分∴ B 到平面ACD 的距离7212476333=⨯==∆-ACDACDB S V d ……14分解法三：(1) 因 2DB =，1,DC=BC =满足：222BC DC DB =+, DC BD ⊥, 1分如图，以D 为原点DB 为x 轴，DC 为y 轴，建立空间直角坐标系， …….. 2分 则条件可知D(0,0,0), B(2,0,0),C(0,1,0)，1(1,,0)2E , A(a,b,c) (由图知a>0,b>0,c>0) …….3分得AB AD ==222222222(2)1,1a b c a b c a b c ++=-++=⇒=+= (4)分平面BCD 的法向量可取1(0,0,1)n =u r,(1,,),(2,0,0)DA b c DB ==u u u r u u u r，所以平面ABD 的一个法向量为1(0,,)n c b =-u r 5分则锐二面角A BD C --的余弦值121212cos ,cos60n n n n n n ⋅<>===︒⋅u r u u ru r u u r u r u u r …..6分从而有1,22b c ==,1(1,(0,0,),(0,1,0)222A EA DC ==uu r uuur 7分0,0,EA DC EA DB EA DC EA DB ⋅=⋅=⇔⊥⊥u u r u u u r u u r u u u r所以AE ⊥平面BDC 9分(3)由),0,1,0(),23,21,1(-=---=CD AD 可知)2,0,3( -=n 满足，,0 ,0 =⋅=⋅n n n 是平面ACD 的一个法向量, …… 12分记点B 到平面ACD 的距离d ，则在法向量 n 方向上的投影绝对值为d则d = ……13分 所以d ()()721220330322=-++++=…… 14分19.（1）2511,()3ln(21),222x a f x x x x=∴=-++>-()f x '=x -3+521x +=(21)(3)521x x x +-++=()()21221x x x --+，………………1分令()f x '=0，则x =1或x =2……………………2分……………………4分()1511=()ln 2228f x f =-极大，()5=(2)ln 542f x f =-极小……………………5分（2）()f x '=x -（1+2a ）+4121a x ++=(21)(1-2)4121x x a x +-+++=()()21221x x a x --+ 令()f x '=0，则x =12或x =2a ……………6分 i 、当2a >1,即a >1时，所以()f x 的增区间为（-2，2）和（2a ，+∞），减区间为（2，2a ）……………8分 ii 、当2a =12,即a =14时，()f x '=()22121x x -+≥0在（12-，+∞）上恒成立，所以()f x 的增区间为（12-，+∞）……………10分 iii 、当-12<2a <12,即-14<a <14时，所以()f x 的增区间为（-2，2a ）和（2，+∞），减区间为（2a ，2）……………12分iv 、当2a ≤-1,即a ≤-1时，所以()f x 的增区间为（2，+∞），减区间为（-2，2）……………14分 综上述：a ≤-14时，()f x 的增区间为（12，+∞），减区间为（-12，12）-14<a <14时，()f x 的增区间为（-12，2a ）和（12，+∞），减区间为（2a ，12） a =14时，()f x 的增区间为（12-，+∞）a >14时，()f x 的增区间为（-12，12）和（2a ，+∞），减区间为（12，2a ） 说明：如果前面过程完整，最后没有综上述，可不扣分20解：（Ⅰ）把x =2代入212y x =，得y =2， ∴点坐P 标为（2，2）. ……………………1分由 212y x =， ① 得y x '=， ∴过点P 的切线的斜率切k =2，……………………2分 直线l 的斜率1k =切k 1-=,21- ……………………3分∴直线l 的方程为2y -=1(2)2x --， 即260x y +-=……………………4分 （Ⅱ）设00(,),P x y 则2001.2y x =∵ 过点P 的切线斜率切k 0x =，因为00.x ≠ ∴ 直线l 的斜率1k =切k 1-=01x -，直线l 的方程为 200011().2y x x x x -=-- ②……………………5分 设11(,)Q x y ，且(,)M x y 为PQ 的中点，因为0OP OQ =，所以过点,,P Q O 的圆的圆心为(,)M x y半径为r PM =，……………………6分 且22010********x x y y x x x x +=+=，……………………8分 所以010x x =（舍去）或014x x =-……………………9分联立①②消去y ，得22220o x x x x +--= 由题意知01,x x 为方程的两根，所以201024x x x=--=-，又因为00x >， 所以0x =，01y =；所以1x =-，14y =……………………11分∵M 是PQ的中点，∴,25.2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………12分 2220027()()4r x x y y =-+-=……13分所以过点,,P Q O 的圆的方程的方程为22527(()224x y ++-=……………………14分（2）由（1）得 2132231n n n a ⋅+⋅=12ln ln ln 12： 12122213 ,1223212)1(2321111-<+++<-∴->-+=--≤-+=----n n n n n n n n n n n b b b a a 只需证 6分 1 1++n n n b b b 与是的等比中项n n n b b b +=⇒+217 2411 10 ,121212分时eb e b b b ，n b e b n ++-=⇒==+=>=分所证不等式成立8 121) 1ln(ln , )12(01ln ln 1,129184 111111111-=<+<-==><=+=+->∴>-b b b e b eb b e分分时10 )1(23)12( 2210ln ln ln 9 2ln 2.ln 2lnln 2ln 2122122211221-≥-=++++>+++=≥>>∴>⇒>+=≥-----++n n n n n n n n n n n n n n a b b b b b b b b b b b b n13 12222113 )1ln()1ln()1ln(ln ln ln 12 2)1ln(2)1ln(2)1ln(2)1ln( 11 )1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln( 1221211112212221-<-=++++<++++++<+++<+<+<+<+∴+=+=+++<++=+-----+n n n n n n n n n n n n n n n n n n a b b b b b b b b b b b b b b b b b b 分分分又综上所述，总有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a 成立 14分解法二：分1 22 22111111n n n n n n n n n n n n a a S S a a S a S +=∴-=-=⇒-=++++++分成立时当2 2 2322,12,1)21121111<<∴=+==⇒-===a a a a a a S a n i分成立可知综合也成立分时有则时假设4 2)),2 022222 ;0222222 3 , 221 ,2,)112111112111121121n n n k k k k k k k k k k k k k k k k k k kk k a a ii i a a a a a a a a a k n a a k n ii <<<<>->-=-<-<-=-+=+=<<=++++++++++++++++++（2）分分6 )222(31223121)231(2315 )231(21231212 221111111n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a +=⇒⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-=⋅-∴⋅-=⋅-∴+=⇔+=-++-++1 1++n n n b b b 与是的等比中项n nn b b b +=⇒+21分时当分8 1321) 1ln(ln , )1(2301ln ln 1,12911n i) 7 2411 0 ,11111111121212-=<<+<-==>∴<=+=+->=++-=⇒==+>=a b b a b e b eb b eb e b b b b e b nii)假设*,N k k n ∈=时不等式13ln ln ln )1(2321-<+++<-k k k a b b b a 成立， 则n=k+1时要证明13ln ln ln ln )1(2311211-<++++<-+++k k k k a b b b b a 只需证明：)13(13ln )1(23)1(23111---<<---+++k k k k k a a b a a即只需证明：k k k k k b 212ln 212111-<<-++- ….9分1112112112212122ln 2.ln 2ln 2ln ln 2ln +----+++->=≥>>>⇒>⇒>+=k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b ……..10分分分又12 )1ln(2)1ln(2)1ln(2)1ln(ln 11 )1ln(2)1ln()1ln()1ln( 211211221+≤+<+<+<∴+=+<++=+--+++b b b b b b b b b b k k k k k k k k k k 只需证明k k kk e b 411411)1ln(21212)1ln(221-≤-<+⇔-<+-只需证明32)1(23)1l n (e e e <+⇔<+ 13分由3327.23.01.81.816)1(e e <=⨯⨯<<+ 可知上面结论都成立 综合(i)(ii)可知*N n ∈∀,13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a 成立 …..14分法三：n=1时同法一：2≥n 时左边证明同法一 10分 当2≥n 时，证明右边如下：11112312212111ln ln ln ln ln ln ln ln ln )1ln()1ln()1ln(ln ln ln ln ln )1ln()1ln(ln ln +++++<-=-++-+-=++++++≤+++∴-=+⇒++=n n n n n n nn n n n n b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b只需证明)2(1312ln 1≥-<-≤+n a b n n n11分e)ln(1 2)1ln(2)1ln(2)1ln(2)1ln(ln 12 )1ln(2)1ln()1ln()1ln()1ln( 12112112221+=+≤<+<+<+<∴+=+=+++<++=+---+++n n n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b b b b 分又 只需证明)2(212)1ln(12)1ln(211≥-<+⇔-<+--n e e n nn∴≥≥--)2(232121n n 只需证明32)1(23)1ln(e e e <+⇔<+ 13分由3327.23.01.81.816)1(e e <=⨯⨯<<+ 可知上面结论都成立 综上所述*N n ∈∀,13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a 成立 …..14分 注1：n nn n b b b 211)1ln(12)1ln(2ln 111-<+⇔-<+<+若证必须3≥n 才行不成立时当n b n 211)1ln(2,11-<+=实际上才有时当，n b 3,79.0)1ln(1≥≈+成立n b 211811)1ln(1-≤-<+ 31212)(21 22)2(21)2(212:21111-=⇒=⋅-⋅∴=⋅-⋅⋅+=⋅+-+++λλλλλλλn n n n n n n a a 则设注附件1：律师事务所反盗版维权声明附件2：独家资源交换签约学校名录（放大查看）学校名录参见：/wxt/list.aspx?ClassID=3060。