2.2弹性的不完全性

弹性函数_精品文档

弹性函数1. 弹性函数的定义弹性函数是指在数学或经济学中用来描述两个变量之间关系的一种函数。

该函数可以衡量两个变量之间的相互作用程度，以及一个变量对另一个变量的影响程度。

在经济学中，弹性函数可以用来衡量某个经济变量对价格、收入或其他相关变量的响应程度。

2. 弹性函数的分类根据不同的应用领域和具体含义，弹性函数可以分为不同的类型。

常见的弹性函数包括价格弹性、需求弹性、供给弹性等。

2.1 价格弹性价格弹性是指描述价格变化对需求变化的影响程度的函数。

通常用价格弹性系数来表示，其定义为需求量相对变化与价格相对变化之比。

价格弹性可以分为三种类型：完全弹性、完全不弹性和部分弹性。

2.2 需求弹性需求弹性是指描述需求量变化对其他因素变化的响应程度的函数。

需求弹性可以衡量多个因素对需求量的影响程度，例如价格、收入、替代品的价格等。

需求弹性系数可以为正、负或零，分别表示正向的响应、负向的响应或没有明显的响应。

2.3 供给弹性供给弹性是指描述供给量变化对其他因素变化的响应程度的函数。

供给弹性可以衡量多个因素对供给量的影响程度，例如价格、生产成本等。

供给弹性系数可以为正、负或零，分别表示正向的响应、负向的响应或没有明显的响应。

3. 弹性函数的重要性弹性函数在经济学和统计学中具有重要的应用价值。

通过分析弹性函数，可以了解经济变量之间的相互关系，从而指导决策和政策制定。

例如，在定价策略中，通过分析价格弹性可以判断价格上涨或下降对需求量的影响程度，进而制定出最优的定价策略。

此外，弹性函数还可以用于预测市场走势、评估政策效果等方面。

4. 弹性函数的计算方法弹性函数的计算方法根据不同的类型和具体应用可以有所不同。

在经济学中，常用的计算方法包括点弹性法、弧弹性法、平均值法等。

这些计算方法可以通过数学模型或统计分析等手段来实现。

5. 弹性函数的实例应用弹性函数在实际应用中具有广泛的应用。

以价格弹性为例，它可以用于评估市场需求的敏感程度，对于制定市场策略和价格策略具有重要意义。

弹性力学知识点总结

一、弹性体的力学性质1.1 弹性体的基本定义弹性体是指在受力作用下可以发生形变，但在去除外力后能够完全恢复原状的物质。

弹性体的形变可以分为弹性形变和塑性形变两种，其中弹性形变是指在外力作用下形变后又能够完全恢复的形变，而塑性形变则是指在外力作用下形变后无法完全恢复的形变。

1.2 林纳与胡克定律弹性体的力学性质可以由林纳和胡克定律来描述。

林纳定律指出，在小形变范围内，弹性体的形变与受力成正比。

而胡克定律则指出，在弹性体上施加的外力与其形变之间存在线性关系，即应力与应变成正比。

二、应力应变关系2.1 应力的定义与计算应力是指单位面积上的受力大小，通常用σ表示。

应力可以分为正应力和剪应力两种，其中正应力是指垂直于物体表面的受力，而剪应力是指平行于物体表面的受力。

在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应力：σ = F / A其中，σ为应力，F为受力大小，A为受力的面积。

2.2 应变的定义与计算应变是指物体在受力作用下的形变程度，通常用ε表示。

应变可以分为正应变和剪应变两种，其中正应变是指物体在受力作用下的长度、体积等发生的相对变化，而剪应变是指物体表面平行位移的相对变化。

在弹性体受力作用下，可以使用以下公式来计算应变：ε = ΔL / L其中，ε为应变，ΔL为长度变化量，L为原始长度。

2.3 应力应变关系应力与应变之间存在一定的关系，这种关系可以用材料的弹性模量来描述。

弹性模量是指在正应变下的应力大小，通常用E表示。

弹性模量可以分为弹性体积模量、剪切模量和弹性体积模量三种，分别对应不同形变情况下的应力应变关系。

3.1 弹性体积模量弹性体积模量是指在正应变下，单位体积的物体受力后的应力大小，通常用K表示。

弹性体积模量是材料的一个重要力学性质，它描述了材料在受力作用下的体积变化情况。

3.2 剪切模量剪切模量是指在剪切应变下，材料受力后的应力大小，通常用G表示。

剪切模量描述了材料在受力作用下的形变情况。

3.3 杨氏模量杨氏模量是衡量正应变下的应力大小的指标，通常用E表示。

生物软组织力学特性及超弹性模型

生物软组织力学特性及超弹性模型生物软齟织力学待性属于生物粘弹性固体力学的研究范峙，己广泛应用于生狗怵的基础研允.如机肉讥皮肤国' 心肌阿及布横阿等.为ia袒工程握供了大盘的生物力学数据.宙于生命体结构与功能的复杂性和特殊性.便软组织在变形时表现岀各向杲性、非线性*粘弹性，墜性等特点(珂・其力学模型主要有粘弹性模型利趙弹性摸型.粘弹件锁魁吧研朮生物轮组织的…个早期榄型*理论成筋，c广泛应用到肌罔、闸帯、柏顺、戌|庆、粘贬朋血倚竽轶殂织的生韌力学研咒」山同吋•诫翦地粘押件理论研兗为超禅性模型的发展幵拓了思齬・尽管软组织的力学行为表现出与时间相黄的特性•但崔好应变卒范鬧内(即准静态条件卜［・展魅可将其觇为超弹性体-自上个世紀80年代以来.各圜学者対生物软组织的翘艸峙和为进苗了广泛地研究・程理论利临氐研冗方而血取得了氏足地逬燧・本章首先介细主物软组织力学性能的研宛冇法和歆组织变形时的力学特征.在介绍趙弹性应变能函数王曲，肯龙从连续介质力学出狀.介貂有限变形理论「在这一部分渓及有限变形时的桶种应山/陶变表达方式；隹介绍粗弹性模型吋.就简单的荐向局性应变能碉毀开始・邃歩引入横向同性超弹性模塑・最后提出前卿録腺准静歩轴向力学件能研託方江口因为木文卞要研究家殒前制艘腺在低疵变率下的撞忡力学忤施・故未研JE材料的粘弹杵櫃型.2 1生物软组织力学特性研究方法生樹软组织不冏于常见的金属或高聚物尊材料.其组织结构貝朵.力学ttttfiffi 处环境和实验方註的雖响较大，研覽具力学性醴的硏究方法構像篇考虫鞠理学与工凰学冇面的知HI.生物力学研眾方法主要包含以下儿个主要步悄问：(1)研眾宦砌須纵的i松在学和细观组织结构.以便于理W0FS对镇的几何构翹及对力学性能的滋响.(2)测定问趣屮涉及的M料或组织的力学性葩°在该却需屮・III/试样欣材不便、fj效试禅尺• f不足威试佯的离体狀态,塔加了确宦本构方程的难度,但可以枚为春晶的建立示构方用的粽学厢式，而把某此嚳筛鬲待牛.网实验卿俯定"(3)粮抿物理学基本定律和材科本构方程，推导岀微分方程或积分方程：⑷井清组织嶠肓府工作坏境.得到肖盘义的边界荼件；同时.粥解析圧或坡值法求解边界値何邂*⑸进存生理丈验.验证上述边界値问遞的解.在该步購中，釦必便实验与靂论相一魏・简華地说就绘幣戒拒同的假说；(6)将实验结果与相应的理论解进行对比.验证假设是否合理.求得本构方程:(7)探讨理论与丈验的实际应用。

动量守恒与碰撞

动量守恒与碰撞动量守恒定律是物理学中的基本定律之一，它与碰撞过程密切相关。

本文将探讨动量守恒与碰撞之间的关系，并探讨在碰撞中如何应用动量守恒定律。

1. 动量的定义动量是物体的运动量，定义为物体的质量乘以其速度。

即动量（p）等于质量（m）乘以速度（v）。

公式表示为p = mv。

2. 碰撞类型碰撞是指物体发生相互作用的过程。

根据碰撞中物体的相对运动情况，碰撞可以分为两种类型：完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞。

2.1 完全弹性碰撞在完全弹性碰撞中，碰撞物体的总动能保持不变。

在这种碰撞中，物体之间相互碰撞之后，能量不会损失，只会转化为势能。

碰撞后物体的速度会发生改变，但总动量在碰撞前后保持不变。

2.2 非完全弹性碰撞在非完全弹性碰撞中，碰撞物体的总动能发生变化。

物体在碰撞过程中会发生形变，能量损失也会发生。

因此，在非完全弹性碰撞中，碰撞后物体的速度以及动量都会发生改变。

3. 动量守恒定律动量守恒定律是指在一个封闭系统内，系统的总动量在碰撞前后保持不变。

无论是完全弹性碰撞还是非完全弹性碰撞，总动量始终保持不变。

根据动量守恒定律，可以用以下公式来描述碰撞过程：m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'其中m₁和m₂分别为两个物体的质量，v₁和v₂为碰撞前物体的速度，v₁'和v₂'为碰撞后物体的速度。

4. 动量守恒定律的应用动量守恒定律在碰撞问题中具有广泛的应用。

通过运用动量守恒定律，可以解决各种碰撞问题，包括弹性碰撞和非完全弹性碰撞。

4.1 弹性碰撞的应用在弹性碰撞中，通过应用动量守恒定律，可以求解碰撞后物体的速度。

根据动量守恒定律的公式，通过已知的物体质量和碰撞前的速度，可以计算出碰撞后物体的速度。

4.2 非完全弹性碰撞的应用在非完全弹性碰撞中，动量守恒定律同样适用。

但由于能量损失的存在，需要额外考虑碰撞中的能量转化和损失。

在求解碰撞后物体速度的问题中，还需要使用能量守恒定律来解决。

什么是碰撞？

什么是碰撞？1. 碰撞的定义碰撞是指物体之间相互接触或相互撞击的过程，通常会产生能量的转移或者形状的改变。

在物理学或者天文学中，碰撞是一种常见的现象，可以产生各种有趣的效果。

2. 碰撞的分类根据碰撞物体的性质，碰撞可以分为完全弹性碰撞和非完全弹性碰撞两种。

在完全弹性碰撞中，碰撞后两个物体的总动能守恒，而在非完全弹性碰撞中，部分动能会转化为其他形式的能量，比如热能或者声能。

2.1 完全弹性碰撞完全弹性碰撞的典型案例是弹珠之间的碰撞。

当两颗弹珠以一定速度相互碰撞时，它们会互相反弹，速度和动能会发生变化，但总动能保持不变。

这种碰撞模型在物理实验和理论研究中被广泛应用。

2.2 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞的例子有很多，比如车辆相撞、球拍击球等。

在这种碰撞中，碰撞后物体的形状会改变，动能也会有损失。

例如，在车辆碰撞中，车辆的外壳可能会受到损坏，而动能则会转化为热能和声能。

3. 碰撞的影响碰撞不仅会导致物体形状的改变和能量的转移，还可能产生一系列有趣的效果。

比如在天文学中，碰撞可以导致恒星的形成，也可以造成行星之间的相互吸引力。

3.1 恒星碰撞当两颗恒星在宇宙空间中相撞时，它们的外壳可能会破碎，内部物质会相互融合，形成一个更大的恒星。

这种过程被称为恒星碰撞，通常发生在星系中心或者星际云中。

3.2 行星碰撞在太阳系形成的早期阶段，行星之间也可能发生碰撞。

这种碰撞可以导致行星的轨道改变，也可能产生新的卫星或者陨石带。

一些科学家认为，地球上月球的形成就可能是一次行星碰撞的结果。

4. 碰撞的应用碰撞不仅在物理学和天文学中具有重要的研究价值，还在工程和技术领域中有着广泛的应用。

比如在汽车安全设计中，工程师会模拟车辆碰撞的过程，以提高车辆的抗撞能力。

4.1 碰撞试验碰撞试验是衡量物体碰撞效果的一种常见方法。

通过在实验室中模拟不同碰撞情况，科学家可以研究碰撞过程中的能量传递和形状变化，为工程设计和研发提供参考。

4.2 碰撞仿真借助计算机技术，工程师可以进行碰撞仿真，模拟不同物体之间的碰撞效果。

弹性力学基础

• (1)判断键盘中有无键按下 • 将全部行线置低电平，列线置高电平，然后检测列线的状态，只要有
一列的电平为低，则说明有键按下，如列线全部为高电平，则说明没有键被按下。
上一页下一页返回
[任务5.1]键盘接口设计
• (1)判断键盘中有无键按下 • (2)去除键的机械抖动 • (3)如有键被按下，则寻找闭合键所在位置，求出其键代码 • (4)程序清单
• 1.并行输出 • 如图5-8所示，这是一个由单片机的P1口驱动1位LE D显示器的电路。 • 2.串行偷出 • 电路如图5-9所示，采用串行输出可以大大节省单片机的I/O口资源。
上一页下一页返回
[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
• 5. 2. 3静态显示电路的软件结构
• 图5-8所示的并行输出的1位共阴LE D静态显示电路比较简单，程序也不复杂。
• 5. 2. 4动态显示电路的结构及原理
• 动态显示就是逐位轮流点亮各位LE D显示器(即扫描)。动态显示电路是单片机中应用最为广泛的显示方式之一。适用于LE D显示器较多的场合。电路如图5-10所示。
上一页下一页返回
[任务5.2]LED数码显示器接口设讨
2.1 弹性力学概述
• 本章主要介绍弹性力学的基本概念，用解析法求解简单弹性力学问题的基础知识，其中主要包括弹性力学基本方程以及边界条件表达式等。掌握这些弹性力学的基础知识对后续有限单元法的学习非常重要。此外，为了更好地理解机械结构有限元分析的基本原理以及将来能对分析结果更好地进行评价和理解，本章还介绍了应变能、虚位移、虚功及最小势能原理。
• 弹性力学的研究方法决定了它是一门基础理论课程，因此，直接把解的困难性。由于经典的解析方法很难用于工程构件分析，因此探讨近似解法是弹性力学发展的特色。近似求解方法，如差分法和变分法等，特别是随着计算机的广泛应用而发展起来的有限单元法为弹性力学的发展和解决工程实际问题带来了广阔的前景。

2--弹性力学基本理论

yz

zx
• 应变的定义
• 设平行六面体单元，3个轴棱边：
– 变形前为MA，MB，MC； – 变形后变为M'A'，M'B'，M'C'
。
x、 y、 z
•正应变（小变形）
•符号规定：正应变以伸长为正。
•剪应变
•符号规定：正应变以伸长为正；剪应变以角度变小为正。
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
y
y
q
q
sx
Í¼ 1-1a
x
0
sx x
Í¼ 1-1b
材料力学 — 区别与联系 — 弹性力学
Í¼ 1-3a Í¼ 1-3b
2.1 弹性力学的基本假定
• 连续性假设：物体所占的空间被介质充满，不考虑材料缺陷，在物体内的物理量是连续的, 可以采用连续函数来描述对象。
虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度，并确定它们的适用范围。
当△S 趋近于0，则为P点的面力
•面力分量 •符号规定：与坐标轴方向一致为正，反之为负。 •面力的量纲：[力]/[长度]^2 •列阵表示：Fs={X Y Z}T
集中力
体力与面力都是分布力，集中力则只是作用在一个点

弹性敏感元件标准

2、垂链式膜片
垂链式膜片的结构及其简化模型，如图所示。其环形槽部分刚度系数减小，它相当于弹簧系统，硬中心（工作区）相当于刚性圆板。垂链式膜片在电容及压电式传感器中作为感压膜片，由于其工作区运动接近于平移运动，所以效果较平膜片优越。
垂链式膜片的特点可归纳为：
①膜片的位移，由于中心与边缘相差很小，硬中心有效宽度部分接近平移区；
1.结构：空心或实心圆柱体
2.特性：在外力作用下，以应变（相对形变）作为输出量。
3.用途：大力测量（0.1吨――数千吨）
悬臂梁
1.结构：一端固定、一端自由的条形弹性元件，分等截面和等强度（变截面）两种。
2.特性：以应变或位移作为输出量。
等截面悬臂梁沿长度方向应变不均匀，根部最大，梢部为0。
等强度悬臂梁（变截面）沿长度方向应变均匀。
（1）梁式弹性元件
一、等截面悬臂梁
二、等强度悬臂梁
由于等强度梁的显著特点，即在梁的各点处的应变相等，用它作为力传感器的弹性敏感元件是很方便的，它能在任意位置取出应变值，因此其应用十分广泛。
三、两端固定梁
四、单孔、双孔和S形梁
将梁做成各种形状，可以改变其应力分布并增强刚度，从而进一步完善梁的特性（提高动态特性，增加灵敏度），它们都是利用弯曲变形的弹性元件。
2.4.常用元件
测力元件：实心或空心圆柱体、等截面环、悬臂梁、轴元件等类型
测压力元件：膜片、膜盒、弹簧管、波纹管、薄壁圆筒、薄壁半球等类型
组合元件（元件的串并联）：平膜片与悬臂梁组合、波纹膜片与圆筒组合等等根据实际需要来进行。目的是提升工作性能，也可起保护作用。
2.5几种常见弹性敏感元件的特性：
弹性圆柱
②膜片的强度及位移线性度和平膜片相比有较大改善；

弹性敏感元件

第二节弹性敏感元件的基本特性 • 2.3 弹性后效
• 弹性敏感元件所加载荷改变后，不是立即完成相应的变形，而是在一定时间间隔中逐渐完成变形的现象 • 弹性后效体现的是时间因素的影响，对传感器的动态特性影响尤其明显
第二节弹性敏感元件的基本特性
• 弹性滞后和后效在本质上是同一类型的缺点，它们与材料的结构、载荷特性以及温度等一系列的因素有关，在应用中，应该合理的选择材料，设计最优的结构和加工方法，从而最大程度地减小由弹性滞后和弹性后效现象产生的误差。
– 做切线 – 找夹角 – 求正切
dF k tan dx
• 如果弹性元件的弹性特性是线性的，则其刚度为常数
第二节弹性敏感元件的基本特性
• 灵敏度
– 灵敏度就是单位力产生变形的大小。 – 灵敏度是刚度的倒数，一般用Sn表示。
dx dF 弹性元件并联时 1 Sn n 1 i 1 S ni Sn 弹性元件串联时 Sn
• 不锈钢波纹管柔性连轴器：是以弹性元件波纹管为核心的联轴器, 用在精密仪器和自动控制装置中,在传递扭矩的同时,消除横向、角向位移或安装误差带来的不利影响,结构精巧, 安装简便,在精密传动方面,有着不可替代的作用。
环行金属波纹管
• 材质：黄铜、锡青铜、铍青铜、弹性合金、不锈钢、高温合金。其中黄铜系列和不锈钢系列广泛用于阀门阀芯配套等.
S
i 1
n
ni
第二节弹性敏感元件的基本特性
• 关于刚度和灵敏度的理解
– 刚度和灵敏度都是描述弹性特性的指标，两者互为倒数 – 刚度与灵敏度是从不同的侧面对同一特性的描述
• 刚度描述的是抵抗变形的能力 • 灵敏度描述的是变形的能力

2.2 弹性专讲

Q

B. E =

无限弹性（perfect elastic）
实例研究：为什么菜市场里卖黄瓜的几个商家开出的黄瓜价几乎每家都是一个价?

含义1：价格为既定时，需求量是无限的。含义2：某个厂商的商 P 品价格比市场价高出一点儿，需求就立即变为零；而当他的商品价格低于市价一点儿时，就会被抢购一空。银行以某一固定的价格收购黄金实行保护价的农产品你还能举出其它例子吗?
回想：其实薄利多销的另一重要前提条件是能够量产，这就涉及到后面章节中的规模经济这个概念。
练习：
已知某种商品的需求是富有弹性的，假定其他条件不变，卖者要想获得更多的收益，应该：
A适当降低价格 B适当提高价格 C保持价格不变
√
通过薄利多销的方法降价来增加总收益的商品是： A. 某品牌大众化妆品 B.单反相机(对于摄影师) C.面粉 D. 药品
如价格上调10%，则总收益？已知：面粉Ed=0.5，P1=0.2元/斤，Q1=100斤。

如价格上调10%，数量则减少5%， P3=0.2 +0.2*10%=0.22元/斤， Q3=100 -100*5%=95斤
TR3=P3×Q3=0.22×95=20.9元 TR3 –TR1=20.9 –20= 0.9元 TR3>TR1，表明面粉价格上调，总收益增加。
D2
Q
C. E = 1 单位弹性（unitary

elastic）
价格变动的比率 = 需求量变动的比率。
这时的需求曲线是一条正双曲线。如运输、住房服务

D3
D.E

< 1
缺乏弹性（inelastic〕

第二章弹性变形及塑性变形

弹性模量：原子间结合力的反映和度量。
1、弹性变形的物理本质
外力(F)与原子间引力(a / r m)、斥力(b / r n) 的平衡过程。
FfFab0 nm rm rn
2、弹性常数
E = 2 (1+ )G
E：正弹性模量（杨氏摸量）：柏松比 G：切弹性模量
3、固体中一点的应力应变状态
z z z
多晶体的塑性变形
3 晶界对变形的阻碍作用（1）晶界的特点：原子排列不规则；分布有大量缺陷。（2）晶界对变形的影响:滑移、孪生多终止于晶界,极少穿过。
3 晶界对变形的阻碍作用
（3）晶粒大小与性能的关系 a 晶粒越细，强度越高(细晶强化：霍尔－配奇公式) s=0+kd-1/2
原因：晶粒越细，晶界越多，位错运动的阻力越大。（有尺寸限制）
材料来说会产生弹性变形、塑性变形，直至断裂。
物体受外力作用产生了变形，除去外力后物体发生的变形完全消失，恢复到原始状态的变形。
弹性变形示意
材料的弹性变形应用
弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件。
材料的弹性变形应用
弹簧是一种利用弹性来工作的机械零件。
弹性变形：变形可逆；应力应变呈线性关系。来自0e0
e
3、内耗 Q-1
弹性滞后使加载时材料吸收的弹性变形能大于卸载时所释放的弹性变形能，即部分能量被材料吸收-弹性滞后环的面积。
工程上对材料内耗应加以考虑
4、包申格效应
产生了少量塑性变形的材料，再同向加载则弹性极限与屈服强度升高；反向加载则弹性极限与屈服强度降低的现象。
2.5 材料的塑性变形
二孪生：在切应力作用下，晶体的一部分相对于另一部分沿一定的晶面和晶向发生均匀切变并形成晶体取向的镜面对称关系。

常用材料弹性模量及泊松比

常用材料弹性模量及泊松比材料的弹性模量和泊松比是工程和材料科学中非常重要的概念。

了解这些数据，就像是拿到了打开材料世界大门的钥匙。

今天，我们就来聊聊这些常用材料的弹性模量及泊松比。

一、弹性模量的定义弹性模量，简单来说，就是材料抵抗变形的能力。

就像一根橡皮筋，拉扯它的时候，它会变长，但放手后又会回到原来的样子。

弹性模量高的材料，比如钢，能承受很大的力而不变形，像个坚韧的战士。

而弹性模量低的材料，比如泡沫，轻轻一捏就会变形，真是脆弱得很。

1.1 拉伸模量拉伸模量是指材料在拉伸时的弹性特性。

这个数值越高，材料在承受拉力时的形变就越小。

钢铁的拉伸模量大约在200 GPa左右，想象一下，它可以承受多大的力量而不屈服。

木材的拉伸模量就低多了，通常在10-20 GPa之间，适合用来建造轻型结构，灵活而富有生命力。

1.2 压缩模量压缩模量则是指材料在压缩时的表现。

像是沙子，放在一只手中，轻轻一握，它就会变形，但放开又会回到原来的样子。

混凝土的压缩模量非常高，约为30 GPa，这是因为它能在建筑中承受巨大的负荷。

与之相对的是泡沫，压缩模量极低，轻轻一捏，立马变形，几乎无法承受重量。

二、泊松比的定义泊松比，听起来有点复杂，其实就是材料在一个方向受力时，另一个方向的变形情况。

比如，当你用力拉伸一根橡皮筋，它不仅会变长，还会变细。

泊松比就是用来描述这种现象的。

2.1 泊松比的计算泊松比的计算方法也很简单，等于材料在一个方向上的应变与另一个方向上的应变的比值。

比如，钢的泊松比大约是0.3，这意味着当它被拉长时，横向的收缩程度是其纵向拉伸的30%。

这就是为什么钢在建筑中被广泛使用，它的各项性能都很均衡。

2.2 不同材料的泊松比每种材料的泊松比都不同，木材的泊松比一般在0.2到0.4之间，稍微有些差异，但在建筑应用中也足够实用。

泡沫的泊松比则接近于0，受力时几乎不收缩，完全是个“厚脸皮”的材料，适合用在包装和保护上。

2.3 泊松比的实际应用泊松比在实际工程中也有很多应用。

02 材料的变形

金属的屈服强度与使位错开动的临界分切应力相关，其值由位错运动所受的各种阻力决定。
① 金属本质及晶格类型
A、晶格阻力：派—纳力
2G 2W exp 1 b
G－切变模量 2 13 ν－泊松比 b－滑移方向上的原子间距，柏氏矢量的模 W－位错宽度：W=a/(1-ν) a－滑移面的晶面间距
p n
B、开动F－R源所需的切应力
T Gb Gb br 2r L
C、位错交互作用阻力
包括平行交互作用和林位错交互作用
Gb
2 15
平行位错下，ρ为主滑移面位错密度；林位错下， ρ为林位错密度
② 晶粒大小和亚结构
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ⊥⊥ ⊥ O
晶界 Hall—Petch公式：
二、弹性模量的影响因素
凡影响键合强度的因素均能影响材料的弹性模量，如键合方式、晶体结构、化学成分、微观组织、温度及加载方式和速度等。
对金属材料E：
1）原子半径和晶体学特征：
非过渡族，原子半径↑、 E↓；
过渡族，原子半径↑、E↑，且E一般都较大。
原子密排向的E大（单晶体）。
2）化学成分：
单晶体的屈服强度随取向因子而改变
；
值小，硬取向。
陶瓷材料的塑性变形
①金属键没有方向性，而离子键与共价键都具有明显的方向性； ②金属晶体的原子排列取最密排、最简单、对称性高的结构，而陶瓷材料晶体结构复杂，对称性低； ③金属中相邻原子（或离子）电性质相同或相近，价电子组成公有电子云，属于整个晶体。陶瓷材料中，若为离子键，则正负离子相邻，位错在其中若要运动，会引起同号离子相遇，斥力大，位能急剧升高。基于上述原因，位错在金属中运动的阻力远小于陶瓷，极易产生滑移运动和塑性变形。陶瓷中，位错很难运动，几乎不发生塑性变形。

第二章弹性力学基础1026

2.3弹性力学基本变量
正面（外法线是沿着坐标轴的正方向）负面（外法线是沿着坐标轴的负方向）正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负
正应力以拉应力为正，压应力为负
2.3弹性力学基本变量
剪应力互等定律：作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交
x
x
y
y
xy
x y
变形协调条件
它的物理意义是：材料在变形过程中应该是整体连续的，不应该出现 “撕裂”和“重叠”现象发生。
2 2 x y 3u 3v 2 2 2 y x xy yx 2
一般而论, 弹性体内任意一点的体力分量、面力分量、应力分量、应变分量和位移分量,都是随着该点的位置而变的, 因而都是位置坐标的函数。
u u ( x, y , z ) v v ( x, y , z ) w w( x, y, z )
2.3弹性力学基本变量
位移与应变的关系
ui ui ij dx j wij dx j
2.3弹性力学基本变量
内力：应力 --外力(或温度)的作用内力
设作用于 A 上的内力为 Q , 则内力的平均集度,即平均应力 ,为 Q / A Q lim S A 0 A
这个极限矢量S,就是物体在截面 mn上、P点的应力。
应力就是弹性体内某一点作用于某截面单位面积上的内力
均匀性：也就是说整个物体是由同一种材料组成的。这样，
整个物体的所有各部分才具有相同的物理性质，因而物体的弹性常数(弹性模量和泊松系数)才不随位置座标而变。
2.2 弹性力学中关于材料性质的假定

材料力学第二版课后答案

材料力学第二版课后答案1. 弹性力学。

1.1. 什么是材料的弹性？材料的弹性是指材料在受力后能够恢复原状的性质。

当外力作用于材料上时，材料会发生形变，但在去除外力后，材料会恢复到原来的形状和尺寸。

1.2. 什么是胡克定律？胡克定律是描述弹性体在弹性变形时，应力和应变之间的关系。

它可以用数学公式表示为，σ = Eε，其中σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。

1.3. 什么是杨氏模量？杨氏模量是描述材料抗拉伸性能的指标，它表示单位面积内的拉应力增加一个单位的长度时，材料的伸长量。

杨氏模量的计算公式为，E = σ/ε。

2. 塑性力学。

2.1. 什么是材料的塑性？材料的塑性是指材料在受力后会发生永久性变形的性质。

当外力作用于材料上时，材料会发生塑性变形，去除外力后，材料无法完全恢复原状。

2.2. 什么是屈服点？屈服点是材料在受力过程中，应力-应变曲线上的一个特殊点，表示材料从弹性变形进入塑性变形的临界点。

在屈服点之后，材料会发生永久性变形。

2.3. 什么是材料的硬度？材料的硬度是指材料抵抗外力压入的能力。

硬度测试可以用来评价材料的耐磨性、耐压性等性能，常用的硬度测试方法包括洛氏硬度、巴氏硬度等。

3. 断裂力学。

3.1. 什么是断裂韧性？断裂韧性是材料抵抗断裂的能力。

它是指材料在受到外力作用时，能够吸收大量的能量而不发生断裂的能力。

3.2. 什么是脆性断裂？脆性断裂是材料在受力过程中，发生迅速、不可逆的断裂现象。

脆性断裂的特点是断裂前往往不伴随明显的塑性变形。

3.3. 什么是韧性断裂？韧性断裂是材料在受力过程中，发生缓慢、可逆的断裂现象。

韧性断裂的特点是断裂前伴随明显的塑性变形，能够吸收大量的能量。

4. 疲劳力学。

4.1. 什么是疲劳寿命？疲劳寿命是指材料在受到交变应力作用下，经过一定次数的循环载荷后发生疲劳断裂的次数。

4.2. 什么是疲劳强度？疲劳强度是指材料在受到交变应力作用下，能够承受的最大应力水平，也可以理解为材料的抗疲劳能力。

动量守恒定律从碰撞看物体间的力与能量交换

动量守恒定律从碰撞看物体间的力与能量交换碰撞是物体间最常见和重要的相互作用方式之一，它涉及到力和能量的交换。

动量守恒定律是描述碰撞过程中物体间力与能量交换的重要规律。

本文将从碰撞的角度探讨动量守恒定律，以及力和能量在碰撞中的转换。

1. 动量守恒定律动量是物体运动状态的量度，它等于物体的质量乘以物体的速度。

当物体碰撞时，动量守恒定律指出，系统总动量在碰撞前后保持不变。

假设有两个物体A和B，在碰撞前它们的动量分别为p₁和p₂，碰撞后，物体A和B的动量分别为p₃和p₄。

动量守恒定律可以表述为：p₁ + p₂ = p₃ + p₄这意味着碰撞前后物体的总动量保持不变。

根据动量的守恒定律，我们可以推导出碰撞中物体间的力与能量交换。

2. 碰撞中的力与能量交换碰撞是由物体之间的相互作用力引起的，因此力与碰撞密切相关。

根据牛顿第三定律，碰撞过程中的相互作用力具有大小相等、方向相反的特点。

2.1 弹性碰撞在弹性碰撞中，碰撞物体具有弹性，碰撞后能够恢复到原来的形状和动能状态。

在这种碰撞中，相互作用力主要是通过弹簧力来实现的。

当物体A和物体B碰撞时，弹簧力将它们推开，物体A和物体B的动量发生改变，但总动量保持不变。

根据动量守恒定律可得：p₁ + p₂ = p₃ + p₄在弹性碰撞中，碰撞力会将动能从一个物体传递到另一个物体，使得它们的速度发生变化，但总动能保持恒定。

这意味着在弹性碰撞中，力与能量交换是相互转化的过程。

2.2 非弹性碰撞在非弹性碰撞中，碰撞物体不能完全恢复到原来的形状和动能状态。

相互作用力引起的变形和损耗会使碰撞物体之间的能量转化为其他形式，例如热能、声能等。

由于非弹性碰撞会产生能量损失，因此碰撞后物体的总动能会减少。

在非弹性碰撞中，力与能量的交换不再是完全转化的过程，而是伴随有能量损失的转化过程。

3. 碰撞实例为了更好地理解动量守恒定律从碰撞中揭示的力与能量交换，我们来看两个具体的碰撞实例。

3.1 砖块碰撞假设有两个砖块，一个静止在桌子上，另一个以一定的速度向它运动。

价格与需求弹性

价格与需求弹性在经济学中，价格与需求弹性是研究市场中产品或服务价格变化对需求量变化的敏感程度的一项重要概念。

价格弹性衡量了需求对价格变化的敏感程度，它的计算方式是需求量变化的百分比除以价格变化的百分比。

本文将探讨价格与需求弹性的概念和意义，以及不同弹性系数对市场的影响。

一、价格弹性1.1 价格弹性的定义价格弹性是描述价格变化对需求量变化影响程度的概念。

它的计算方式如下：价格弹性 = 需求量变化的百分比 / 价格变化的百分比1.2 不同价格弹性的分类根据价格弹性的计算结果，我们可以将其分为三类：1) 价格弹性大于1：需求对价格变化非常敏感，称为弹性需求。

在这种情况下，需求量的变化幅度大于价格变化幅度。

2) 价格弹性等于1：需求对价格变化是完全弹性的，称为单位弹性需求。

在这种情况下，需求量的变化幅度和价格变化幅度相等。

3) 价格弹性小于1：需求对价格变化不敏感，称为非弹性需求。

在这种情况下，需求量的变化幅度小于价格变化幅度。

1.3 价格弹性的影响因素价格弹性受多种因素的影响，包括替代品的可用性、产品是否是必需品或奢侈品、市场的竞争程度以及消费者收入水平等。

二、需求弹性2.1 需求弹性的定义需求弹性是指产品或服务需求量对收入变化的敏感程度。

它的计算方式如下：需求弹性 = 需求量变化的百分比 / 收入变化的百分比2.2 不同需求弹性的分类根据需求弹性的计算结果，我们可以将其分为三类：1) 需求弹性大于1：需求对收入变化非常敏感，称为收入弹性需求。

在这种情况下，需求量的变化幅度大于收入变化幅度。

2) 需求弹性等于1：需求对收入变化是完全弹性的，称为单位弹性需求。

在这种情况下，需求量的变化幅度和收入变化幅度相等。

3) 需求弹性小于1：需求对收入变化不敏感，称为非弹性需求。

在这种情况下，需求量的变化幅度小于收入变化幅度。

2.3 需求弹性的影响因素需求弹性受多种因素的影响，包括产品替代性、购买者比例、产品的重要性以及市场竞争的程度等。

2.2弹性的不完全性概述

弹性的不完全性
弹性变形：当外力去除后，能恢复到原来形状或尺寸的变形。
完善（或完全）的弹性变形 σ=εE τ=Gγ 不完善的弹性变形——弹性不完全性
（与加载时间和方向有关）
一、弹性后效
1. 定义
加载中，应变落后于应力，且应变随时间变化的现象称为正弹性后效或弹性蠕变
卸载时，瞬间去除应力，应变瞬间恢复一部分，剩余部分随时间的延长而逐渐恢复。这种卸载时弹性应变落后于应力，且应变随时间变化的现象称为反弹性后效
二、内耗
吸收的弹性变形能释放的弹性变形能材料吸收而消耗的能量∆W， SacbO面积。因弹性不完善性而引起的不可逆的能量消耗——材料的内耗
二、内耗
对于自由振动的物体，由于内耗会损失振动能，引起振幅衰减。
ln
An An 1
ln
T T T

T T
W 2W
要求内耗小的材料要求内耗高的材料
正弹性后效
弹性后效
反弹性后效
∆e1和∆e2称为滞弹性（黏弹性）
滞弹性的大小于材料的成分、晶体结构、组织、应力状态和试验状态有关。材料对称性越差，弹性后效越明显材料成分组织越不均匀，弹性后效越明显温度升高，弹性后效越明显切应力分量越大，弹性后效越明显
二、内耗
加载和卸载时的应力—应变曲线不重合，形成一个封闭的回线，称为

固体力学进阶考试试题

固体力学进阶考试试题1. 引言固体力学是研究物体在外力作用下的力学性质和变形行为的学科。

它广泛应用于工程领域，如建筑、机械、航空等，对工程结构和材料的设计与优化具有重要意义。

本文将介绍固体力学进阶考试试题，以加深对固体力学的理解与应用。

2. 可塑性理论2.1 弹性与塑性固体的变形可以分为弹性变形和塑性变形两种。

弹性变形是在外力作用下，物体发生形状的改变，但在去除外力后能够恢复原状；而塑性变形是在外力作用下，物体发生的形状改变，即使去除外力也无法完全恢复原状。

2.2 弹性模量与屈服强度弹性模量是衡量固体材料抵抗变形的能力，它有助于反映材料的刚性。

屈服强度则代表了固体材料在受力过程中开始发生塑性变形的能力。

3. 应力分析3.1 应力的定义与分类应力是指物体在外力作用下所产生的内部反抗力。

应力可以分为正应力和剪应力两种类型。

正应力是指垂直于物体截面的应力，而剪应力则是指平行于截面的应力。

3.2 应力的计算和判定应力的计算和判定需要利用弹性力学理论中的公式和原理。

常见的计算方法包括受压弯曲、受弯曲和受剪切等情况下的应力计算。

4. 变形分析4.1 变形的定义与分类变形是指物体在外力作用下所发生的形状改变。

变形可以分为弹性变形和塑性变形两种类型。

弹性变形是指物体在外力作用下发生的可恢复的形状改变，而塑性变形则是指物体在外力作用下发生的不可恢复的形状改变。

4.2 变形的计算和测量变形的计算和测量需要考虑材料的力学性质和受力情况。

常见的计算方法包括应变计算、变形量的测量和形状改变的分析。

5. 破坏机制与破坏准则5.1 破坏机制的分类破坏机制是指物体在外力作用下发生破坏的方式和形式。

常见的破坏机制包括拉断、压碎、剪断和扭曲等。

5.2 破坏准则的应用破坏准则是指判断物体何时发生破坏的准则。

常见的破坏准则包括最大正应力准则、最大剪应力准则和最大应变能准则等。

6. 结论固体力学是工程领域中重要的学科，它对于工程结构和材料的设计与优化具有重要意义。