应用抽样技术课后习题答案

5.5 证明：由（5.6）得：
V ( yR ) ≈ 1− f n (Yi − RX i )2 ∑
i =1 N
N −n 2 令 Sd = V , Nn
2 d
N −1
=
N −n 2 Sd Nn
则n(NV + S ) = NS ，
2 d
S 2 NSd 从而n = = V 2 2 NV + Sd Sd 1+ NV
∗ lr
2 E( ylr ) = Y , V ( ylr ) = 1− f SY (1− ρ2 )
1− f 2 1− f 2 2 2 (SY + 4B2 S X − 4BSYX ) = [SY + 4B(BS x − SYX )] n n 1 f 2 1− f 2 － = SY ≥ SY (1 − ρ 2 ) = V ( ylr ) n n =
，
PQ (1) 由 n0 = 得： V ( p)
1 0
0.08 × 0.92 n = = 30 2 0.05 Q 得： (2) 由 n0 = 2 Cv ( p)P
0.92 n = = 4600 2 0.05 × 0.08
1 0
0.05 × 0.95 n = = 19 2 0.05
2 0
0.95 n = = 7600 2 0.05 × 0.05
2 d
简单估计: 5.6 解 (1) 简单估计 总产量: 总产量: Ysrs=(N/n)∑i=1n Yi=(140/10)[1400+1120+…+480] =176400(斤) 斤 v(Ysrs)=[N2(1—f)/n]SY2 =[1402(1—10/140)/10]*194911.1 = 354738222 se(Ysrs)= 18834.496
面积/ 产量/ 面积/ 产量/ 亩 斤 3 1400 1120 2.5 4.2 1710 3.6 1500 1.8 720 5.2 1980 3.2 1310 2.4 1080 2.6 1300 1.2 480 29.7 12600
回归估计: 5.6 解 (3) 回归估计 回归系数 b = Sxy/Sxx2= 370.5965 ylr=x—b(x—X)=1260—370.5965*(2.97—460/140)=1377.089 Ylr=Nylr=192792.47(斤) 斤 v(Ylr)=[N2(1—f)/n] *∑i=1n [yi—y—b(xi—x)]2/(n--2) =[1402(1—10/140)/80]*89480.59 = 20356834 se(Ylr)= 4511.855
=(0.0907,0.4433)
N1的95%的置信区间为: (159，776) 95%的置信区间为 (159， 的置信区间为:
(3)N=1750，n=30， (3)N=1750，n=30，n1=8, t=1.96, p=0.267, q=1q=1-0.267=0.733 由此可计算得： t 2q 1.962 × 0.733 n0 = 2 = =1054.64 r p 0.01× 0.267 n = n0/[1+(n0—1)/N] = 1054.64/[1+1053.64/1750]=658.2942 = 659 计算结果说明，至少应抽取一个样本量为659的简单随机 样本，才能满足95%置信度条件下相对误差不超过10%的精度 要求。
∗ 故估计量 ylr虽然与
一样都是 Y的无偏估计， ylr
但方差不小于 ylr 的方差，
∗ 当 ρ ≠ 0时 V ( ylr ) > V ( ylr ) ，
∗ 故 ylr不优于
ylr。
第六章 不等概率抽样
6.1假设对某个总体，事先给定每个单位的与 规模成比例的比值 Zi ，如下表，试用代码 法抽出一个n=3的 PPS 样本。
，
若ρ<
y ˆ 1− f R2 (C2 + C2 − 2ρC C ) V ( ) = V (R) = Y X Y X x n y y 1− f C
X
则
ρ
ρ
2CY CX ＝ 2CY C > X 2CY
V ( ) −V ( ) = R2CX (2ρCY − CX )＜0 X x n
y y 1− f 2 V ( ) −V ( ) = R CX (2ρCY − CX ) = 0 X x n
4.6 解 已知 1=0.2，W2=0.3，W3=0.5， 已知W ， ， ， P1=0.1，P2=0.2，P3=0.4 ， ， P=ΣhWhPh=0.28，Q=1—P=0.72 ， n=100的简单随机抽样估计方差： 的简单随机抽样估计方差： 的简单随机抽样估计方差 V(Psrs) ≈ [(1—f ’)/100]PQ ≈ 0.28*0.72/100 = 0.002016 按比例分配的分层抽样的估计方差： 按比例分配的分层抽样的估计方差： V(Pprop) ≈ΣhWh2 [(1—fh)/nh] Ph Qh ≈ n-1ΣhWh Ph Qh = n-1[0.2*0.1*0.9+0.3*0.2*0.8+0.5*0.4*0.6] = 0.186 n-1 故 n ≈ 92.26 ≈93
ρ 5.3当 CX 方法，当 ρ ＝ 时两种方法都可使用。这是因为：
>
ρ < CX 时用第一种方法，当 2CY
CX 2CY时用第二种
2CY y 1− f 2 2 1− f 2 2 1 − f 2 1− f 2 2， V ( ) = Y CY = R CY 2 V ( y) = SY = Y CY X nX n n n
4.8 解 已知 1=0.7，W2=0.3，p1=1/43，p2=2/57 已知W ， ， ， （1）简单随机抽样 ） Psrs=(1+2)/100=0.03 V(P)=PQ/(n-1)=0.03*0.97/99=0.0002937 （2）事后分层 ） Ppst=ΣhWhph=0.7*1/43+0.3*2/57=0.0268 V(Ppst) =ΣhWh2[(1—fh)/(nh—1)]phqh =0.72*[1/42](1/43)(42/43)+0.32*[1/56](2/57)(55/57) =0.00031942
y y 1− f 2 V ( ) −V ( ) = R CX (2ρCY − CX ) X x n
﹥0
5.4 解： V(YR)≈[(1—f)/n]Y2[CY2+CX2—2rCYCX] V(Ysrs)=[(1—f)/n]SY2 =[(1—f)/n] CY2Y2
故
来自百度文库
V(YR)/V(Ysrs) = 1—[2rCX/CY—CX2/CY2] = 1-[2*0.696*1.054/1.063-1.0542/1.0632] = 1-0.397076 = 0.602924
5.7解：
n 1 n ∗ ylr = ylr + B( X − x) = y + 2B( X − x) = ∑[ yi − 2B(xi − X )] n i =1 ∗ E( ylr ) = E( ylr ) + B[ X − E(x)] = Y
1 f 1 N － 1 n ＝ V ( y ) = V{ ∑[ yi − 2B(xi − X )]} ∑[Yi − 2B( Xi − X ) −Y ]2 n N −1 i =1 n i =1
2 0
第四章 分层抽样
4.3解： 解
（元） （元） s( yst ) = 3.08 （1） yst = 20.07 ） ， n=186 186， 57， 92， （2）按比例分配 n=186，n1=57，n2=92，n3=37 ） （3）Neyman分配 n=175，n1=33，n2=99，n3=43 ） 分配 ， ， ， 4.5 yst = 75.79 元 ，置信区间（60.63，90.95）元。 ， ） （ ） 置信区间（
3.5要调查甲乙两种疾病的发病率，从历史资料得知， 甲种疾病的发病率为8％，乙种疾病的发病率为5 ％，求： (1) (1)要得到相同的标准差0.05，采用简单随机抽样各 0.05 需要多大的样本量？ (2)要得到相同的变异系数0.05，又各需要多大的样 本量？
3.5解：已知
P1= 0.08, Q1= 1-P1 = 0.92; P2= 0.05, Q2 = 1– P2 = 0.95; V(p) = 0.05*0.05
^ ^ ^
比率估计: 5.6 解 (2) 比率估计 R =∑i=1n Yi/ ∑i=1n Xi = 12600/29.7 = 424.2424 YR= XR = 460*424.2424 = 195151.5(斤) 斤 v(YR)=[N2(1—f)/n] *∑i=1n (yi—RXi )2/(n--1) =[1402(1—10/140)/90]*124363.5 = 25149054 se(Ysrs)= 5014.883
(1 − f ) pq = 0.03389 × 0.1957 = 0.08144 n −1
1 = 0.0167 2n
95%的置信区间为 的置信区间为: P 的95%的置信区间为:
p ± (u
1−
α
2
(1− f ) pq 1 + ) = 0.267 ± (1.96 × 0.08144 + 0.0167) n −1 2n
v( y) = 0.03276 × 798.73 = 26.168
se( y) = v( y) = 5.115
因此，对该校学生某月的人均购书支出额的估计为56.07 （元），由于置信度95%对应的 t=1.96, 所以，可以以95%的把 ， 握说该学生该月的人均购书支出额大约在56.07±1.96×5.115， 即50.96--61.19元之间。
表1 总体单位规模比值
表1
样本 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30名学生某月购书支出金额的样本数据
支出额 （元） 85 62 42 15 50 39 83 65 32 46 样本 序号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 支出额 （元） 20 75 34 41 58 63 95 120 19 57 样本 序号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 支出额 （元） 49 45 95 36 25 45 128 45 29 84
第五章 比率估计与回归估计
5.2 N＝2000, n＝36, 1－α＝0.95, t＝1.96, ˆ f = n/N＝0.018， v(R) = 0.000015359， ˆ se(R) ＝0.00392 置信区间为[40.93%,42.47%]。 置信区间为[40.93%,42.47%]。
第五章 比率估计与回归估计
第三章 简单随机抽样
3.3为调查某中学学生的每月购书支出水平，在全校 名学生中，用不放回简单随机抽样的方法抽得一 个的样本。对每个抽中的学生调查其上个月的购 书支出金额 yi （如表1所示）。 (1)在95%的置信度下估计该校学生该月平均购书支 出额； (2)试估计该校学生该月购书支出超出70元的人数； (3)如果要求相对误差限不超过10%，以95%的置信 度估计该校学生该月购书支出超出70元的人数比 例，样本量至少应为多少。
应用抽样技术答案
第二章 抽样技术基本概念
2.7（1）抽样分布： 3 3.67 4.33 5 5.67 6.33 7 1/10 1/10 2/10 2/10 2/10 1/10 1/10 （2）期望为5，方差为4/3 （3）抽样标准误1.155 （4）抽样极限误差2.263 （5）置信区间（3.407，7.933）
3.3解：(1)依据题意和表 的数据，有： 解 依据题意和表1的数据 依据题意和表 的数据，
1682 2 = 56.07(元), sy = (118266 −16822 /30)/30 = 798.73 ∑ yi = 1682, y = 30
1 − f N − n 1750 − 30 = = = 0.03276 b2 − 4ac n n × N 30 ×1750
t=1.96 (2)易知，N=1750，n=30， n = 8 1 n 8 N − n 1750 − 30 1− f p= 1 = = 0.267 = = = 0.03389 n −1 (n −1)N 29 ×1750 n 30
pq = p(1 − p) = 0.267 × 0.733 = 0.1957